2020人教版小学数学1-6年级奥数题库及答案 共130页

2020人教版小学数学1-6年级奥数题库及答案 共130页

‎2020人教版小学数学1-6年级奥数题库及答案 一年级 ‎1.楼层  小宏与爸爸一起上楼，小宏走得慢，爸爸走得快，小宏上了1层时，爸爸已上了2层，问小宏上到3楼时，爸爸上到几楼?‎ ‎2.分水果  一个小组有10个人，7个人爱吃香蕉，5个人爱吃苹果，问既爱吃香蕉又爱吃苹果的有几个人?‎ ‎3.小鸭子 说稀奇，道稀奇，鸭子队里有只鸡，正着数，它第6，倒着数，它第7，小鸭一共有几只?‎ ‎4. 找规律填数：‎ ‎① 5、7、9、11、13、（           ） ‎ ‎​‎ ‎②0、1、1、2、3、5、8、（       ）‎ ‎5. 按要求填数：‎ ‎36、12、45、7、35、23、60、55‎ ‎（   ）＞（   ）＞（    ）＞（    ）＞（    ）＞（    ）＞（    ）＞（     ）‎ ‎13、24、15、7、61、25、14、8‎ ‎（    ）＜（    ）＜（    ）＜（    ）＜（    ）＜（    ）＜（    ）＜（ 　）‎ ‎6、有一个两位数，个为是９十位是４，这个两位数是（　　　　　　）‎ ‎７、有１４小朋友排成一队，从左往右数红红排在第４位，从右向左数明明也是排在第４位，那么红红和明明两人之间有多少人？‎ ‎８、最小三位数的是（　　　　）最大的三位数是（　　　　　　）。‎ ‎９、用５、７、４三个数可以排成（         ）个不相同的三位数。分别写出来。‎ ‎10、要把一根木棒锯成５段需要４分钟，要是想锯成７段需要多少分钟？‎ ‎11、计算：‎ ‎３＋５＋７＋９＋１１＋１３＋１５＋１７＋１９＋２１＝‎ ‎５＋１０＋１５＋２０＋２５＋３０＝‎ ‎12、有１４个小朋友在玩捉迷藏的游戏，有６个小朋友被捉住了，还有多少个小朋友没被捉住啊？‎ ‎13、、有一个个位数，在它的右边加上一个零，构成一个两位数，这个两位比原来的数要大３６，则原来的各位数是（　　　　　）。‎ ‎14、按要求填补算式完整：‎ ‎9+（         ）=21 21—（         ）=19 21—（         ）=18 24+（         ）=43‎ ‎15、老师让小朋友们植树，先植了10棵桃树，然后老师让同学们在每两棵桃树间植一棵梨树，那么一共还可以植多少棵梨树？‎ ‎16.分糖块  三个小朋友分5块糖。要求每人都分到糖，但每人分到的糖块数不能一样多，你能分吗?‎ ‎17.树的年龄   公园里有三棵树，它们的树龄分别由1、2、3、4、5、6这六个数字中的不同的两个数字组成，而其中一棵的树龄正好是其他两棵树龄和的一半，你知道这 三棵树各是多少岁吗?‎ ‎18.奇偶问题 ‎① 把10个球分成三组，要求每组球的个数都是奇数，怎样分?‎ ‎② ②把11个苹果分给三个小朋友，要求每个小朋友分得偶数个苹果，怎样分?‎ ‎19：春游   45个小朋友排成一队去春游。从排头往后数，小刚是第19个;从排尾往前数，小莉是第12个，问小刚和小莉中间有几个人?‎ ‎20：报数   排好队，来报数， 正着报数我报七，倒着报数我报九，一共多少小朋友?‎ ‎21：排队  小朋友排队，小红前面4个人，后面3个人，问这队共有几个人?.‎ ‎22：人数问题   老师带了一些小朋友去看电影，一共买了11张票。问和老师一起看电影的有多少个小朋友?‎ ‎23：等式 把2、3、4、5分别填入（ ）中，每个数只能用一次。‎ ‎（ ）+（ ）-（ ）=（ ）‎ ‎24：排队   小朋友排队。小平的左面有4个人，右面有8个人。这一行有多少个人？‎ ‎25.时间   四个青年人一起玩扑克，玩了40分钟。他们每一个人玩了多长时间？‎ ‎26：寄画  爷爷有一幅名画，卷起来长110厘朱，想寄给远方的伯父，但邮局只准寄长度不超过一米的物品。你能想个办法把这幅名画寄出去吗？‎ ‎27：兔子  某人为打扫兔笼子，将4只活兔子放进装有4只老虎的笼子里，打扫出2个兔笼子后，想把兔子放回兔笼里。这时还有几只活兔子？‎ ‎28：巧算    1+17+26+35+24+13+25+29=‎ 答案 ‎1.  5层。‎ ‎2.既爱吃香蕉又爱吃苹果的有两个人。‎ ‎3.   13只.‎ ‎4. 15（单数） 13（0+1＝1    1+1＝2   1+2＝3  2+3＝5  3+5＝8  5+8＝13 ）‎ ‎5.   60，55，45，36，35，23，12，7‎ ‎7，8，13，14，15，24，25，61‎ ‎6.  49‎ ‎7.   6（***红******明***）‎ ‎8.    100   999‎ ‎9.   6种（574  547  754  745  475  457）‎ ‎10.  6分钟 锯5段要锯4次则每次要用4÷4＝1（分钟）锯七段要锯6次则1*6＝6分钟 ‎11. 120（ （３＋２１）＋（５＋１９）＋（７＋１７）＋(９＋１５)＋(１１＋１３)＝24+24+24+24+24＝120 ）    105（同理）‎ ‎12.  7个（有一个要捉）‎ ‎13.  40‎ ‎14.   12，2，3，19‎ ‎15.9棵 ‎/    *   /    *    /    *     /        *  /       *    /     *    /      *     /       *   /   *      /‎ ‎/为桃树  *为梨树 ‎16.  答案：不够,最少需要6块糖。如果有6块糖，那第一个人分1块糖，第二个人分2块糖，第三个人分3块糖。‎ ‎17.  答案：解：此题与例4相同，除在例4中求出的一个答案外还有以下各种答案也符合题意：‎ ‎21+65=43×2    三棵树的树龄分别是21岁、43岁、65岁。    16+52=34×2‎ 三棵树的树龄分别是16岁、34岁、52岁。    25+61=43×2     三棵树的树龄分别是25岁、43岁、61岁。‎ ‎18.  答案：①不能分。因为如果三组球，每组都是奇数个球的话，总数必是奇数，而不可能是偶数，而10个球却是个偶数。‎ ‎②不能分。因为如果每个小朋友都得到偶数个苹果，那么三个小朋友得到的苹果总数也必定是个偶数。而11个苹果是个奇数，所以无法分。 .‎ ‎19.答案：画示意图。用点“.”代表人 由图可见，小刚和小莉中间的人数是：45-19-12＝14人 ‎20.  15人（******我********)            21.  8人（****红***）‎ ‎22  答案：解：11张票中有老师1张票，     所以11-1=10（张）   答：和老师一起看电影的有10个小朋友。‎ ‎23答案：解：（ 3 ）+（ 4 ）-（ 5 ）=（ 2 ）答案不唯一。‎ ‎24答案：解：4+1+8=13（人）答：这一行有13人。‎ ‎25答案： 答案：每个人都玩了40分钟 ‎26答案：答案:做一个长一米(宽和高适当)的盒子,把画斜着放进去.‎ ‎27答案：   答案：因为老虎吃兔子，所以没有兔子活着 ‎28答案：解：用巧算，凑整法：‎ ‎1+17+26+35+24+13+25+29‎ ‎=1+29+17+13+26+24+35+25‎ ‎=30+30+50+60‎ ‎=170‎ 二年级 ‎1、用0、1、2、3能组成多少个不同的三位数？‎ ‎18个 ‎2、小华参加数学竞赛，共有10道赛题。规定答对一题给十分，答错一题扣五分。小华十题全部答完，得了85分。小华答对了几题？‎ ‎（10×10-85）÷（10+5）=1题 10-1=9题 ‎3、 2，3，5，8，12，( 17 )，( 23 )‎ ‎4、 1，3，7，15，( 31 )，63,( 127 )‎ ‎5、 1，5，2，10，3，15，4，( 20 )，( 5 )‎ ‎6、 ○、△、☆分别代表什么数？‎ ‎(1)、○+○+○=18‎ ‎(2)、△+○=14‎ ‎(3)、☆+☆+☆+☆=20‎ ‎○=( 6 ) △=( 8 ) ☆=( 5 )‎ ‎7、△+○=9 △+△+○+○+○=25‎ ‎△=( 2 ) ○=( 7 )‎ ‎8、有35颗糖，按淘气-笑笑-丁丁-冬冬的顺序，每人每次发一颗，想一想，谁分到最后一颗？‎ ‎35÷4=8……3 丁丁 ‎9、淘气有300元钱，买书用去56元，买文具用去128元，淘气剩下的钱比原来少多少元？‎ ‎56+128=184（元）‎ ‎10、5只猫吃5只老鼠用5分钟，20只猫吃20只老鼠用多少分钟？‎ ‎5分钟 ‎11.修花坛要用94块砖，第一次搬来36块，第二次搬来38，还要搬多少块？(用两种方法计算)‎ ‎94-（36+38）=20（块）‎ ‎94-36-38=20（块）‎ ‎12.王老师买来一条绳子，长20米剪下5米修理球网，剩下多少米？‎ ‎20-5=15（米）‎ ‎13.食堂买来60棵白菜，吃了56棵，又买来30棵，现在人多少棵？‎ ‎60-56+30=34（棵）‎ ‎14、小红有41元钱，在文具店买了3支钢笔，每支6元钱，还剩多少元？‎ ‎41-3×6=23（元）‎ ‎15、二(1)班从书店买来了89本书，第一组同学借了25本，第二组同学借了38本，还剩多少本？‎ ‎89-25-38=27（本）‎ ‎16、果园里有桃树126颗，是梨树棵数的3倍，果园里桃树和梨树一共多少棵？‎ ‎126+126÷3=168‎ ‎17、 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=( 55 )‎ ‎18、 11+12+13+14+15+16+17+18+19=( 145 )‎ ‎19、 按规律填数。‎ ‎(1)1，3，5，7，9，( 11 )‎ ‎(2)1，2，3，5，8，13( 21 )‎ ‎(3)1，4，9，16，( 25 )，36‎ ‎(4)10，1，8，2，6，4，4，7，2，( 11 )‎ ‎20、 在下面算式适当的位置添上适当的运算符号，使等式成立。‎ ‎(1)8 ×（ 8×8 + 8×8）- 8- 8 - 8 =1000‎ ‎(2)（4+4 ）× 4 – 4× 4 =16‎ ‎(3)9 + 8 × 7- 6× 5- 4× 3- 2+ 1=22‎ ‎21、 30名学生报名参加小组。其中有26人参加了美术组，17人参加了书法组。问两个组都参加的有多少人？‎ ‎26+17-30=13‎ ‎22、用6根短绳连成一条长绳，一共要打( 5 )个结。‎ ‎23、篮子里有10个红萝卜，小灰兔吃了其中的一半，小白兔吃了2个，还剩下( 3 )个。‎ ‎24、2个苹果之间有2个梨，5个苹果之间有几个梨？‎ ‎8个 ‎25、用1、2、3三个数字可以组成( 6 )个不同的三位数。‎ ‎26、有两个数，它们的和是9，差是1，这两个数是( 4 )和( 5 )‎ ‎27、3个小朋友下棋，每人都要与其他两人各下一盘，他们共要下( 3 )盘。‎ ‎28、把4、6、7、8、9、10填下入面的空格里(三行三列的格子)，使横行、竖行、斜行上三个数的和都是18。‎ ‎（题目出错）‎ ‎29、15个小朋友排成一排报数，报双数的小朋友去打乒乓，队伍里留下( 8 )人。‎ ‎30、一只梅花鹿从起点向前跳 5米，再向后跳4米，又朝前跳7米，朝后跳10米；然后停下休息，你知道梅花鹿停在起点前还是起点后？与起点相距几米？‎ 起点后2米 ‎31、哥哥给了弟弟2支铅笔后还剩5支，这时两人的铜笔一样多，弟弟原来有铅笔( 3 )支。‎ ‎32、林林、红红、芳芳三个小朋友买糖吃。林林买了7粒，红红买了8粒，芳芳没有买。三个小朋友要平分吃，芳芳一共付了1元钱，其中给林林( 4 )角，给红红( 6角 )。‎ ‎33、三个人吃3个馒头，用3分钟才吃完；照这样计算，九个人吃9个馒，需要( 3 )分钟才吃完？‎ ‎34、环形跑道上正在进行长跑比赛。每位运动员前面有7个人在跑，每位运动员后面也有7个人在跑。跑道上一共有( 8 )个运动员.‎ ‎35、把16只鸡分别装进5个笼子里，要使每个笼子里鸡的只数都不相同，应怎样装？请把每只笼子里的鸡的只数分别填入下面五个方框中。‎ ‎1 、2、3、4、6‎ ‎36、今天红红8岁，姐姐13岁，10年后，姐姐比红红大( 5 )岁。‎ ‎37、汽车每隔15分钟开出一班，哥哥想乘9时10分的一班车，但到站时，已是9时20分，那么他要等( 5 ‎ ‎ )分钟才能乘上下一班车。‎ ‎38、从底楼走到3楼，用了24秒；那么从1楼走到6楼，需要( 60 )秒。‎ ‎39、二(1)班小朋友排成长方形队伍参加体操表演。红红左看是第6名，右看是第2名，前看是第4名，后看是第3名。二(1)班共有( 42 )小朋友。‎ ‎40、汽车场每天上午8时发车，每隔8分钟发一辆。那么从8时到8时40分，共发了( 6 )辆车？‎ ‎41、一只苹果的重量等于一只桔子加上一只草莓的重量，而一只苹果加上一只桔子的重量等于9只草莓的重量，请问，一只桔子的重量等于几只草莓的重量。‎ ‎4只草莓 ‎42、有一个天平，九个砝码，其中一个砝码比另八个要轻一些，问至少要称几次才能将轻的那个找出来？‎ ‎3次 ‎43、按规律填数：‎ ‎(1)54321 43215 32154 ( 21543 ) 154321‎ ‎(2) 1，2，3( 7 ) 2，3，4( 14 ) 3，4，5 , ( 21 )‎ ‎(3)1，4，7，10，( 13 )，16，( 19 )‎ ‎(4)1，2，3，7，11，16，( 21 )，29‎ ‎(5)2，5，4，5，6，5，( 8 )，5‎ ‎(6)7，8，10，13，17，( 22 )28‎ ‎44、10个一百是( 1000 )，10000里面有( 10 )个一千。‎ ‎45、3572最高位是( 千 )位，读作( 三千五百七十二 )，九千零五十写作( 9050 )。‎ ‎46、一个2分币大约重1( 克 )；小明今年7岁，他的体重约是28( 千克 )。‎ ‎47、90里面有( 9 )个十，290里面有( 29 )个十。‎ ‎48、百位上的6比十位上的6多( 590 )。‎ ‎49、49个苹果平均分给9个小朋友，每人分( 5 )个，还剩( 4 )个。‎ ‎50、判断题(对的在括号里打"√"，错的打"×")‎ ‎(1)、一个数除以4，所得的余数最大是3。(√ )‎ ‎(2)、48÷3×2 = 48÷6 (× )‎ ‎(3)、一个苹果重120千克。(× )‎ ‎(4)、千位右面一定是万位。(× )‎ 三年级 一、还原问题 ‎ 1、工程问题 　　绿化队4天种树200棵，还要种400棵，照这样的工作效率，完成任务共需多少天？ ‎ ‎　　解答：200÷4=50 （棵） 　　（200+400）÷50=12（天） 　　【小结】 　　归一思想．先求出一天种多少棵树，再求共需几天完成任务．单一数：200÷4=50 （棵），总共的天数是：（200+400）÷50=12 （天）． 　　2.还原问题 　　3个笼子里共养了78只鹦鹉，如果从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里，再从第2个笼子里取出6只放到第3个笼子里，那么3个笼子里的鹦鹉一样多．求3个笼子里原来各养了多少只鹦鹉? 　　解答： 78÷3=26（只）‎ 第1个笼子：26+8=34（只） ‎ 第2个笼子：26-8+6=24（只）‎ 第3个笼子：26-6=20（只）‎ 二、楼梯问题 ‎　　‎ ‎1、上楼梯问题 　　某人要到一座高层楼的第8层办事，不巧停电，电梯停开，如从1层走到4层需要48秒，请问以同样的速度走到八层，还需要多少秒？ 　　解答：上一层楼梯需要：48÷（4-1）=16（秒） 　　从4楼走到8楼共走：8-4=4（层）楼梯 　　还需要的时间：16×4=64（秒） 　　答：还需要64秒才能到达8层。 　　2.楼梯问题 　　晶晶上楼，从1楼走到3楼需要走36级台阶，如果各层楼之间的台阶数相同，那么晶晶从第1层走到第6层需要走多少级台阶？ ‎ ‎　　解：每一层楼梯有：36÷（3-1）＝18（级台阶）晶晶从1层走到6层需要走：18×（6-1）=90（级）台阶。答：晶晶从第1层走到第6层需要走90级台阶。 ‎ 三、页码问题 ‎　　‎ ‎1.黑白棋子 　　有黑白两种棋子共300枚，按每堆3枚分成100堆。其中只有1枚白子的共27堆，有2枚或3枚黑子的共42堆，有3枚白子的与有3枚黑子的堆数相等。那么在全部棋子中，白子共有多少枚？ 　解答：只有1枚白子的共27堆，说明了在分成3枚一份 中一白二黑的有27堆；有2枚或3枚黑子的共42堆，就是说有 三枚黑子的有42-27=15堆；所以 三枚白子的是15堆：还剩一黑二白的是 100-27-15-15=43堆： 　　白子共有：43×2+15×3=158（枚）。 ‎ ‎　　2.找规律 　　有一列由三个数组成的数组，它们依次是(1 ，5 ，10 )；(2 ，10‎ ‎ ，20 )；( 3，15 ，30 )；……。问第 个数组内三个数的和是多少？ 　　解答：99×5=495 　　99×10=990 　　99+495+990=1584 　　【小结】观察每一组中对应位置上的数，每组第一个是1 、2 、3 .....的自然数列，第二个是5 、10 、15 ......分别是它们各组中第一个数的5 倍，第三个10 、20 、30 ......分别是它们各组中第一个数的10 倍；所以，第99 组中的数应该是：99 、99×5=495 、99×10=990 ，三个数的和 99+495+990=1584 ‎ ‎　　3.页码问题 　　一本书的页码从1至62 ，即共有62页．在把这本书的各页的页码累加起来时，有一个页码被错误地多加了一次．结果，得到的和数为2000 ．问：这个被多加了一次的页码是几？ ‎ ‎ ‎ 四、平均重量 ‎　‎ ‎　1.平均重量 　　小明家先后买了两批小猪，养到今年10月。第一批的3头每头重66千克，第二批的5头每头重42千克。小明家养的猪平均多重？ 　　解答：两批猪的总重量为： 　　66×3＋42×5＝408(千克)。 　　两批猪的头数为3＋5＝8(头)，故平均每头猪重 　　408÷8＝51(千克)。 　　答：平均每头猪重51千克。 　　注意，在上例中不能这样来求每头猪的平均重量： ‎ ‎　　(66＋42)÷2＝54(千克)。 　　上式求出的是两批猪的"平均重量的平均数"，而不是(3＋5＝)8头猪的平均重量。这是刚接触平均数的同学最容易犯的错误！ ‎ ‎　　2.平均数 　　有六个数，它们的平均数是25 ，前三个数的平均数是21 ，后四个数的平均数是32 ，那么第三个数是多少？ 　　解答： 21×3+32×4=63+128=191 　　191-150=41 　　【小结】 6 个数的总和为25×6=150 ，前三个数的和加上后四个数的和为 21×3+32×4=63+128=191，第三个数重叠了，多算了一次，那么第三个数为 191-150=41 五、盈亏问题 ‎　‎ ‎　1.盈亏问题 　　三年级的老师给小朋友分糖果，如果每位同学分4颗，发现多了3颗，如果每位同学分5颗，发现少了2颗。问有多少个小朋友?有多少颗糖? 　　解答：（3+2）÷（5-4）=5÷1=5（位）…人数 　　4×5+3=20+3=23（颗）……糖 　　或5×5-2=25-2=23（颗） 　　2.盈亏问题 　　老师买来一些练习本分给优秀少先队员，如果每人分5本，则多了 14本；如果每人分7本，则多了2本；优秀少先队员有几人？买来多少本练习本？ ‎ ‎ ‎ 六、几何题 ‎　　1.巧求面积 　　一块长方形铁板，长15分米，宽12分米，如果长和宽各减少2分米，面积比原来减少多少平方分米？ ‎ ‎ ‎ ‎　　2.逻辑推理 　　装了神秘礼物的方形箱子上有一幅图画 ，要在图中的七个小区中分别涂上颜色，要求每个小区涂一种颜色，相邻的小区颜色不能相同，并且使用的颜色最少才能打开箱子，那么最少要用多少种颜色？ ‎ ‎ ‎ ‎　　解答：至少需要三种颜色 　　【小结】 　　将原图编号如有上图，看周边的六个小区，奇数号区与偶数号区交替排列，那么可以用两种颜色将它们区分开来，而 号和周边小区都相邻，只能用第三种颜色。也就是说，最少需要三种颜色。 ‎ ‎ 　七、平均身高 ‎　‎ ‎　1.身高 　　三年级二班共有42名同学，全班平均身高为132厘米，其中女生有18人，平均身高为136厘米。问：男生平均身高是多少？ 　　解答：全班身高的总数为 　　132×42＝5544(厘米)， 　　女生身高总数为 　　136×18＝2448(厘米)， 　　男生有42-18＝24(人)，身高总数为 　　5544-2448＝3096(厘米)， 　　男生平均身高为 ‎ ‎　　3096÷24＝129(厘米)。 　　综合列式： 　　(132×42-136×18)÷(42-18)＝129(厘米)。 　　答：男生平均身高为129厘米。 　　2.做题 　　一个学生为了培养自己的数学解题能力，除了认真读一些书外，还规定自己每周(一周为7天)平均每天做4道数学竞赛训练题。星期一至星期三每天做3道，星期四不做，星期五、六两天共做了13道。那么，星期日要做几道题才能达到自己规定的要求？ 　　分析：要先求出每周规定做的题目总数，然后求出星期一至星期六已做的题目数。两者相减就是星期日要完成的题目数。 　　每周要完成的题目总数是4×7=28(道)。星期一至星期六已做题目3×3＋13＝22(道)，所以，星期日要完成28-22＝6(道)。 ‎ ‎　　解：4×7-(3×3＋13)＝6(道)。 　　答：星期日要做6道题。 　　3.做题 　　有位小学生特别喜爱数学，他要求自己在一周内平均每天练8道数学题。星期一至星期四每天都已练9道，星期五参加钢琴比赛没有练数学，星期六练10道题，那么，这个星期日要练几道才达到要求？ 　　分析 不妨先算出每周按要求完成的总数，然后据已练的题算出还缺的数目，这就是要在星期日完成的题数。 　　解每周的总数 8× 7=56（道） 　　已完成的数 9×4＋10=46（道） 　　星期日的数 56-46=10（道） 　　答 按要求在星期日要练10道数学题。 ‎ 八、平均年龄 ‎　　‎ ‎1.平均年龄 　　有2个班，每班的学生数相等。其中一个班平均每人9岁，另一个班平均每人11岁。那么这两个班的学生平均每人几岁？ 　　分析 "两个班的学生平均"年龄按理应把每个人的年龄加起来，这样才可算出总和。但是人数根本不知道，怎么办呢？所以要有新思路才能解此问题。 　　不妨假设每班有30人，则总岁数为9×30＋11×30=600（岁），总人数为30＋30=60（人），平均年龄为600÷60=10（岁）。 　　如果设每班有10人，就可列式计算如下： 　　（9×10＋11×10）÷（10＋10） 　　=200÷20 　　=10（岁） 　　那么更简单些，可设每班1人，则 ‎ ‎ 　　（9×1＋11×1）÷（1＋1） 　　=20÷2 　　=10（岁） 　　三种假设得的结果都相等，因为其中有一个特殊条件，即：两班学生每班人数都相同。 　　这是一种求平均数的特殊情况。两班的人数要是不相同就不能简单地对两种年龄求平均数。 　　解 由于两班中每班人数相同，可在各班抽出一人，并且年龄为各班的平均数。 　　（9＋11）÷（1＋1） 　　=20÷2 　　=10（岁） ‎ ‎　　答 两班学生平均年龄为10岁。 　　2.平均速度 　　一条大河上游与下游的两个码头相距240千米，一艘航船顺流而下的速度为每小时航行30千米，逆流而上的速度为每小时航行20千米。那么这艘船在两码头之间往返一次的平均速度是多大？ 　　分析航行中的速度有两种，然而所求的平均速度并非是这两种速度之和除以2。 　　按往返一次期间的平均速度，就要分别计算总航程与经历的总时间，然后按平均速度的意义求出答案来。 　　解总航程 240×2=480（千米） 　　总时间 240÷30+240÷20 　　=8+12 　　=20（小时） ‎ ‎ 　　平均速度 480÷20=24（千米） 　　答 往返一次的平均速度为每小时航行24千米。 ‎ 九、平均成绩 ‎　　‎ ‎1.平均数 　　有一头母猪产下12头猪娃，先产下的6头恰好每头都重3．5千克，后产下的3头每头都重3千克，最后3头每头都重2千克。那么，这群猪娃平均每头重多少千克？ ‎ ‎ 　　分析 虽然只有3种重量，却不是只有3头猪。所以要先计算12头猪娃的总重量，再平均分配成12份，这才是每头的平均重量。 　　解 3.5×6＋3×3＋2×3 　　=21+9+6 ‎ ‎　　=36（千克） 　　36÷12=3（千克） 　　答 这群猪娃平均每头重3千克。‎ ‎　‎ ‎　十、平均成绩 　　小敏期末考试，数学92分，语文90分，英语成绩比这三门的平均成绩高4分。问：英语得了多少分？‎ ‎　　分析：英语比平均成绩高的这4分，是"补"给了数学和语文，所以三门功课的平均成绩为 　　(92＋90＋4)÷2＝93(分)，由此可求出英语成绩。 　　解：(92＋92＋4)÷2＋4＝97(分)。 　　答：英语得了97分。 ‎ ‎ ‎ 难度：★★★★★ 　　十一、平均数 　　一小组六个同学在某次数学考试中，分别为98分、87分、93分、86分、88分、94分。他们的平均成绩是多少？ ‎ ‎　　总成绩=98＋87＋93＋86＋88＋94＝546(分)。 　　这个小组有6个同学，平均成绩是 　　546÷6＝91(分)。 　　答：平均成绩是91分。‎ 十二、植树问题 ‎　　‎ ‎1.植树问题 ‎ ‎　　某一淡水湖的周长1350米,在湖边每隔9米种柳树一棵,在两棵柳树中间种2棵杨树,可种柳树多少棵?可种杨树多少棵?两棵杨树之间相距多少米? 　　解答： 　　柳树：1350÷9=150（棵） 　　杨树：150×2=300（棵） 　　9÷（2+1）=3（米） ‎ ‎　　2.称水果 　　把40千克苹果和80千克梨装在6个筐内(可以混装)，使每个筐装的重量一样。每筐应装多少千克？ 　　苹果和梨的总重量为 　　40＋80＝120(千克)。 　　因要装成6筐，所以，每筐平均应装 ‎ ‎ 　　120÷6＝20(千克)。 　　答：每筐应装20千克。 　　3.等量代换 　　如下图所示，有七张写有数字的卡片，A 、B 、C 三人分别取其中的两张。 　　A说："我所取的卡片，合起来为12 。" 　　B说："我所取的卡片，合起来为10 。" 　　C说："我所取的卡片，合起来为22 。" 　　那么剩下的一张卡片上写着几呢？‎ ‎ ‎ ‎　　解答：3个笼子里的鹦鹉不管怎样取，78只的总数始终不变．变化后"3个笼子里的鹦鹉一样多"，可以求出现在每个笼里的是78÷3=26 （只）．根据"从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里"，可以知道第1个笼子里原来养了26+8=34 （只）；再根据"从第2个笼子里取出6只放到第3个笼子里"，得出第2 个笼子里有：26+6-8=24 （只），第3个笼子里原有 26-6=20（只）． ‎ 十三、平均数 ‎　　‎ ‎1.数字问题 　　哪吒是个小马虎，他在做一道减法题时，把被减数十位上的7错写成8，减数个位上的7错写成2，最后所得的差是577，那么这道题的正确答案应该是多少呢？ 　　解答：577-（7-2）-（80-70）=562 　　【小结】被减数十位上的7变成8，使被减数增加80-70=10 ，差也增加了10；减数个位上的7错写成2，使减数减少了7-2=5‎ ‎ ，这样又使差增加了5，这道题可以说成：正确的差加上10后又加上5得577，求正确的差．所以列式得：577-（7-2）-（80-70）=562．这题的正确答案应该是562． ‎ ‎　　2.整除 　　 　　3.平均数问题 　　小元在期末考试中，政治、语文、数学、英语、生物五科的平均分是 ‎ ‎ 89分．政治、数学两科的平均分是91.5分．语文、英语两科的平均分是84分．政治、英语两科的平均分是86分，而且英语比语文多10分．问小元这次考试的各科成绩应是多少分？ 十四、差倍问题 ‎　　‎ ‎1.差倍问题 　　甲班的图书本数比乙班多80本，甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？ 　　解答：乙班本数：80÷（3-1）=40（本） 　　甲班本数：40×3=120（本） 　　2.和倍问题 ‎ ‎　　两个数的和是682，其中一个加数的个位是0，若把0去掉则与另一个加数相同，这两个数分别是多少？ 　　解答： 　　682÷（10+1）=62 　　62×10=620 ‎ 十五、乘除法应用题 ‎　　1.乘除法简单应用题 　　某班有45人，先是4人站成一排，最后不够4人的另外站成一排，那么共需要站多少排？ 　　解答：4人站成一排，那么10排共站去40人，11排站44人，剩下的一个人单独站一排，因此共需站11+1=12（排） ‎ ‎　　2.乘除法简单应用题 　　某班同学在操场上站队，共站成12排，最后一排只有1个人，其它每排都有4个人。现在调整队形，每排站6人，最后不够6人的另站成一排，那么共需站几排？ 　　解答：这个班有4×11+1=45（人），调整队形后，每排站6人，那么7排站6×7=42 （人），剩下的3人另站成一排，因此共需站8排。 十六、年龄问题 ‎　　‎ ‎1.年龄问题 　　6年前，母亲的年龄是儿子的5倍。6年后母子年龄和是78岁。问：母亲今年多少岁？ 　　解答：母子今年年龄和：78-6×2=66（岁） 　　母子6年前年龄和：66-6×2=54（岁） 　　母亲六年前的年龄：54÷（5+1）×5=45（岁） ‎ ‎ 　　母亲今年的年龄：45+6=51（岁） 　　2.年龄问题 　　东东、明明两个人的平均年龄是14岁，明明、亮亮两个人的平均年龄是17岁，那么亮亮比东东大几岁？ 　　解答：34-28=6 （岁）． 　　【小结】东东、明明的年龄和是：14×2=28 （岁），明明、亮亮的年龄和是：17×2=34 （岁），所以亮亮、东东的年龄差为：34-28=6 （岁）。‎ 十七、一笔画问题 ‎　　‎ ‎1.一笔画问题 　　判断下列各图能否一笔画出，并说明理由． ‎ ‎ 　　解答：图中⑴⑶均不能一笔画出，这是因为：图⑴中有四个奇点，图⑶有六个奇点．图⑵⑷⑸均可一笔画出，这是因为图⑷和图⑸都没有奇点．画时可以从任一点开始．图⑵有二个奇点，选任何一个奇点为出发点，另外一个奇点就是终点． 　　2.一笔画问题 　　判断下列各图中，哪些图形可以一笔画出，哪些不能一笔画出？能一笔画出的，请用一笔把它们画出来． ‎ ‎ ‎ ‎ 　　解答：都能，如图 ‎ ‎ ‎ ‎ 十八、周期问题 ‎　　1.周期问题 　　小兔和小松鼠做游戏，他们把黑、白两色小球按下面的规律排列： 　　●●○●●○●●○… 　　你知道它们所排列的这些小球中，第90个是什么球？第100个又是什么球呢？ 　　解答： 黑球 ‎ ‎　　2.周期问题 　　小和尚在地上写了一列数：7，0，2，5，3，7，0，2，5，3… 　　你知道他写的第81个数是多少吗？ 　　你能求出这81个数相加的和是多少吗？ 　　解答：⑴从排列上可以看出这组数按7，0，2，5，3依次重复排列，那么每个周期就有5个数．81个数则是16个周期还多1个，第1个数是7，所以第81个数是7，81÷5=16 …1 　　⑵每个周期各个数之和是：7+0+2+5+3=17 ．再用每个周期各数之和乘以周期次数再加上余下的各数，即可得到答案．17×16+7=279 ，所以，这81个数相加的和是279． ‎ ‎　十九、巧算问题 ‎　　1.巧算问题 ‎ ‎　　（1350+249+468）+（251+332+1650） 　　2.巧算问题 　　101+103+107+109+113+127+131+137+139+149+151 ‎ 二十、追及问题 ‎　‎ ‎　1.追及问题 　　桌子和板凳二人同地同方向出发，桌子每小时走7千米，板凳每小时走5 千米．板凳先走2小时后，桌子才开始走，桌子追上板凳需要几小时？ ‎ ‎ 　　解答：板凳每小时走5千米，先走了2小时，这时桌子和板凳之间的路程是 5×2=10（千米）．桌子每小时可追上板凳7-5=2 （千米），10 千米里面包含着几个2千米，就需要几小时追上，追及时间是：10÷2=5 （小时）．‎ ‎　　2.追及问题 　　六年级同学从学校出发到公园春游，每分钟走72米， 15分钟以后，学校有急事要通知学生，派李老师骑自行车从学校出发9分钟追上同学们，李老师每分钟要行多少米才可以准时追上同学们？ 　　解答：同学们 15分钟走 72×15=1080（米），即路程差．然后根据速度差＝路程差÷追及时间，可以求出李老师和同学们的速度差，又知道同学们的速度是每分钟72米，就可以得出李老师的速度．即 1080÷9+70=190（米）． ‎ 二十一、枚举法 ‎　　1.加括号 ‎ ‎　　在下面的算式里加上括号，使它们成为正确的算式。 　　（1）8×6－2－4÷1＝28 　　（2）6×8＋12÷4－3＝12 　　【答案】[8×（6-2）-4]÷1=28 　　6×[（8+12）÷4-3]=12或（6×8+12）÷4-3=12 　　2.枚举法 　　小猫把15条鱼分成4堆，问一共有多少种不同的分法？ 　　【答案】 　　1打头的： 2打头的： 3打头的： 总共： 　　1+1+1+12 2+2+2+9 3+3+3+6 16+8+3=27（种） ‎ ‎　　1+1+2+11 2+2+3+8 3+3+4+5 　　1+1+3+10 2+2+4+7 3+4+4+4 　　1+1+4+9 2+2+5+6 共3种 　　1+1+5+8 2+3+3+7 　　1+1+6+7 2+3+4+6 　　1+2+2+10 2+3+5+5 　　1+2+3+9 2+4+4+5 　　1+2+4+8 共8种 　　1+2+5+7 　　1+2+6+6 　　1+3+3+8 ‎ ‎　　1+3+4+7 　　1+3+5+6 　　1+4+4+6 　　1+4+5+5 　　共16种 ‎ 二十二、相遇问题 ‎　　‎ ‎1.相遇问题 　　小白从家骑车去学校，每小时15千米，用时2小时，回来以每小时10千米的速度行驶，需要多少时间？ 　　解答：从家到学校的路程：15×2=30 （千米），回来的时间30÷10=3 （小时）． ‎ ‎　　2.相遇问题 　　夏夏和冬冬同时从两地相向而行，两地相距1100米，夏夏每分钟行50米，冬冬每分钟行60米，问两人在距两地中点多远处相遇？ ‎ 二十三、相遇问题 ‎　　1.相遇问题 　　小白从家骑车去学校，每小时15千米，用时2小时，回来以每小时10千米的速度行驶，需要多少时间？ 　　解答：从家到学校的路程：15×2=30 （千米），回来的时间30÷10=3 （小时）． 　　2.相遇问题 ‎ ‎　　夏夏和冬冬同时从两地相向而行，两地相距1100米，夏夏每分钟行50米，冬冬每分钟行60米，问两人在距两地中点多远处相遇？ ‎ 二十四、计算 ‎　　1.计算 　　小猫把15条鱼分成数量不等的4堆，问最多的一堆最多有多少条？ 　　【答案】最小三堆为1、2、3 　　15-（1+2+3）=9（条） 　　答：最多的一堆最多有9条。 ‎ ‎　　2.连续偶数和 　　已知9个连续偶数的和是90，求这连续的9个偶数 　　【答案】90÷9=10-----------中间数 　　10往下推：8、6、4、2 　　10往上推：12、14、16、18 　　答：这9个偶数分别是2、4、6、8、10、12、14、16、18。 ‎ 二十五、数论 ‎　　1.数论 　　625×125×25×5×32×16×8×4×2的结果中末尾有多少个零？ 　　【答案】2×5=10 （1个0） ‎ ‎ 　　25×4=100 （2个0） 　　125×8=1000 （3个0） 　　625×32=20000 （4个0） 　　1+2+3+4=10（个）‎ ‎ 　　2.数论 　　一根长288厘米的绳子，每6厘米做个记号，再每4厘米做个记号，然后将有记号的地方剪断，则绳子被剪成了多少段？ 　　【答案】288/6=48（段） 　　288//4=72（段） 　　【6,4】=12 　　288/12=24（段） ‎ ‎　　48+72-24=96（段） ‎ 四年级 ‎【试题】1、烧水沏茶时，洗水壶要用1分钟，烧开水要用10分钟，洗茶壶要用2分钟，洗茶杯用2分钟，拿茶叶要用1分钟，如何安排才能尽早喝上茶。 　　【分析】：先洗水壶 然后烧开水，在烧水的时候去洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶。共需要1+10=11分钟。 　　【试题】2、有137吨货物要从甲地运往乙地，大卡车的载重量是5吨，小卡车的载重量是2吨，大卡车与小卡车每车次的耗油量分别是10公升和5公升，问如何选派车辆才能使运输耗油量最少？这时共需耗油多少升？ 　　【分析】：依题意，大卡车每吨耗油量为10÷5=2(公升)；小卡车每吨耗油量为5÷2=2.5(公升)。为了节省汽油应尽量选派大卡车运货，又由于 　137=5×27+2‎ ‎，因此，最优调运方案是：选派27车次大卡车及1车次小卡车即可将货物全部运完，且这时耗油量最少，只需用油 　10×27+5×1=275(公升) 　　【试题】3、用一只平底锅烙饼，锅上只能放两个饼，烙熟饼的一面需要2分钟，两面共需4分钟，现在需要烙熟三个饼，最少需要几分钟？ 　　【分析】：一般的做法是先同时烙两张饼，需要4分钟，之后再烙第三张饼，还要用4分钟，共需8分钟，但我们注意到，在单独烙第三张饼的时候，另外一个烙饼的位置是空的，这说明可能浪费了时间，怎么解决这个问题呢？‎ ‎    我们可以先烙第一、二两张饼的第一面，2分钟后，拿下第一张饼，放上第三张饼，并给第二张饼翻面，再过两分钟，第二张饼烙好了，这时取下第二张饼，并将第三张饼翻过来，同时把第一张饼未烙的一面放上。两分钟后，第一张和第三张饼也烙好了，整个过程用了6分钟。  ‎ 四年级奥数题：统筹规划问题（二）‎ ‎　　【试题】4、甲、乙、丙、丁四人同时到一个小水龙头处用水，甲洗拖布需要3分钟，乙洗抹布需要2‎ 分钟，丙用桶接水需要1分钟，丁洗衣服需要10分钟，怎样安排四人的用水顺序，才能使他们所花的总时间最少，并求出这个总时间。 　　【分析】：所花的总时间是指这四人各自所用时间与等待时间的总和，由于各自用水时间是固定的，所以只能想办法减少等待的时间，即应该安排用水时间少的人先用。 　　解：应按丙，乙，甲，丁顺序用水。 　　丙等待时间为0，用水时间1分钟，总计1分钟 　　乙等待时间为丙用水时间1分钟，乙用水时间2分钟，总计3分钟 　　甲等待时间为丙和乙用水时间3分钟，甲用水时间3分钟，总计6分钟 　　丁等待时间为丙、乙和甲用水时间共6分钟，丁用水时间10分钟，总计16分钟， 　　总时间为1＋3＋6＋16＝26分钟。‎ 四年级奥数题：统筹规划问题（三）‎ ‎　　【试题】5、甲、乙、丙、丁四个人过桥，分别需要1分钟，2分钟，5分钟，10分钟。因为天黑，必须借助于手电筒过桥，可是他们总共只有一个手电筒，并且桥的载重能力有限，最多只能承受两个人的重量，也就是说，每次最多过两个人。现在希望可以用最短的时间过桥，怎样才能做到最短呢？你来帮他们安排一下吧。最短时间是多少分钟呢？ 　　【分析】：大家都很容易想到，让甲、乙搭配，丙、丁搭配应该比较节省时间。而他们只有一个手电筒，每次又只能过两个人，所以每次过桥后，还得有一个人返回送手电筒。为了节省时间，肯定是尽可能让速度快的人承担往返送手电筒的任务。那么就应该让甲和乙先过桥，用时2分钟，再由甲返回送手电筒，需要1分钟，然后丙、丁搭配过桥，用时10分钟。接下来乙返回，送手电筒，用时2分钟，再和甲一起过桥，又用时2分钟。所以花费的总时间为：2＋1＋10＋2＋2＝17分钟。 　　解：2＋1＋10＋2＋2＝17分钟 　　【试题】6、小明骑在牛背上赶牛过河，共有甲乙丙丁四头牛，甲牛过河需1分钟，乙牛需2分钟，丙牛需5分钟，丁牛需6分钟，每次只能骑一头牛，赶一头牛过河。 ‎ ‎ 　　【分析】：要使过河时间最少，应抓住以下两点：(1)同时过河的两头牛过河时间差要尽可能小(2)过河后应骑用时最少的牛回来。 　　解：小明骑在甲牛背上赶乙牛过河后，再骑甲牛返回，用时2＋1＝3分钟 　　然后骑在丙牛背上赶丁牛过河后，再骑乙牛返回，用时6＋2＝8分钟 　　最后骑在甲牛背上赶乙牛过河，不用返回，用时2分钟。 　　总共用时(2＋1)＋(6＋2)＋2＝13分钟。  ‎ 四年级奥数题：速算与巧算（一）‎ ‎　　【试题】 计算9＋99＋999＋9999＋99999 　　【解析】在涉及所有数字都是9的计算中，常使用凑整法。例如将999化成1000—1去计算。这是小学数学中常用的一种技巧。 ‎ ‎ 　　9＋99＋999＋9999＋99999 　　＝(10－1)＋(100-1)＋(1000－1)＋(10000-1)＋(100000-1) 　　＝10＋100＋1000＋10000＋100000-5 　　＝111110-5 　　＝111105‎ 四年级奥数题：速算与巧算（二）‎ ‎　　【试题】 计算199999＋19999＋1999＋199＋19 　　【解析】此题各数字中，除最高位是1外，其余都是9，仍使用凑整法。不过这里是加1凑整。(如 199＋1＝200) 　　199999＋19999＋1999＋199＋19 　　＝(19999＋1)＋(19999＋1)＋(1999＋1)＋(199＋1)＋(19＋1)－5 ‎ ‎　　＝200000＋20000＋2000＋200＋20-5 　　＝222220-5 　　＝22225‎ 四年级奥数题：速算与巧算（三）‎ ‎　　【试题】计算(2+4+6+…+996+998+1000)－－(1+3+5+…+995+997+999) 　　【分析】：题目要求的是从2到1000的偶数之和减去从1到999的奇数之和的差，如果按照常规的运算法则去求解，需要计算两个等差数列之和，比较麻烦。但是观察两个扩号内的对应项，可以发现2－1=4－3=6－5=…1000－999=1，因此可以对算式进行分组运算。 　　解：解法一、分组法 　　(2+4+6+…+996+998+1000)－(1+3+5+…+995+997+999) 　　=(2－1)+(4－3)+(6－5)+…+(996－995)+(998－997)+(1000－999) ‎ ‎　　=1+1+1+…+1+1+1(500个1) 　　=500 　　解法二、等差数列求和 　　(2+4+6+…+996+998+1000)－(1+3+5+…+995+997+999) 　　=(2+1000)×500÷2－(1+999)×500÷2 　　=1002×250－1000×250 　　=(1002－1000)×250 　　=500‎ 四年级奥数题：速算与巧算（四）‎ ‎　　【试题】计算 9999×2222＋3333×3334 　　【分析】此题如果直接乘，数字较大，容易出错。如果将9999变为3333×3，规律就出现了。 　　9999×2222＋3333×3334 ‎ ‎ 　　＝3333×3×2222＋3333×3334 　　＝3333×6666＋3333×3334 　　＝3333×(6666＋3334) 　　＝3333×10000 　　＝33330000。  ‎ 四年级奥数题：速算与巧算（五）‎ ‎　　【试题】56×3+56×27+56×96-56×57+56 　　【分析】：乘法分配律同样适合于多个乘法算式相加减的情况，在计算加减混合运算时要特别注意，提走公共乘数后乘数前面的符号。同样的，乘法分配率也可以反着用，即将一个乘数凑成一个整数，再补上他们的和或是差。 　　56×3+56×27+56×96-56×57+56 　　=56×(32+27+96－57+1) ‎ ‎ 　　=56×99 　　=56×(100－1) 　　=56×100－56×1 　　=5600－56 　　=5544‎ 四年级奥数题：速算与巧算（六）‎ ‎　　【试题】计算98766×98768－98765×98769 　　【分析】：将乘数进行拆分后可以利用乘法分配律，将98766拆成(98765+1)，将98769拆成(98768+1)，这样就保证了减号两边都有相同的项。 　　解：98766×98768－98765×98769 　　=(98765+1)×98768－98765×(98768+1) 　　=98765×98768+98768－(98765×98768+98765) ‎ ‎ 　　=98765×98768+98768－98765×98768-98765 　　=98768－98765 　　=3‎ 四年级奥数题：年龄问题 ‎　　【试题】： 　　1、父亲45岁，儿子23岁。问几年前父亲年龄是儿子的2倍？(设未知数) 　　2、李老师的年龄比刘红的2倍多8岁，李老师10年前的年龄和王刚8年后的年龄相等。问李老师和王刚各多少岁？ 　　3、姐妹两人三年后年龄之和为27岁，妹妹现在的年龄恰好等于姐姐年龄的一半，求姐妹二人年龄各为多少。(设未知数) 　　4、小象问大象妈妈：“妈妈，我长到您现在这么大时，你有多少岁了？”妈妈回答说：“我有28岁了”。小象又问：“您像我这么大时，我有几岁呢？”妈妈回答：“你才1‎ 岁。”问大象妈妈有多少岁了？ 　　5、大熊猫的年龄是小熊猫的3倍，再过4年，大熊猫的年龄与小熊猫年龄的和为28岁。问大、小熊猫各几岁？ 　　6、15年前父亲年龄是儿子的7倍，10年后，父亲年龄是儿子的2倍。求父亲、儿子各多少岁。 　　7、王涛的爷爷比奶奶大2岁，爸爸比妈妈大2岁，全家五口人共200岁。已知爷爷年龄是王涛的5倍，爸爸年龄在四年前是王涛的4倍，问王涛全家人各是多少岁？ 　　【答案】： 　　1、一年前。 　　2、刘红10岁，李老师28岁。 　　(10+8-8)÷(2－1)=10(岁)。 　　3、妹妹7岁。姐姐14岁。 ‎ ‎　　[27-(3×2)]÷(2+1)=7(岁)。 　　4、小象10岁，妈妈19岁。 　　(28-1)÷3+1=10(岁)。 　　5、大熊猫15岁，小熊猫5岁。 　　(28-4×2)÷(3+1)=5(岁)。 　　6、父亲50岁，儿子20岁。 　　(15+10)÷(7-2)+15=20(岁) 　　7、王涛 12岁，妈妈34岁。爸爸36岁，奶奶58岁，爷爷 60岁。 　　提示：爸爸年龄四年前是王涛的4倍，那么现在的年龄是王涛的4倍少12岁。 　　(200+2+12+12+2)÷(1+5+5+4+4)=12(岁)。 ‎ ‎ ‎ 四年级奥数题：牛吃草问题解析 ‎　　解决牛吃草问题的多种算法     历史起源：英国数学家牛顿(1642—1727)说过：“在学习科学的时候，题目比规则还有用些”因此在他的著作中，每当阐述理论时，总是把许多实例放在一起。在牛顿的《普遍的算术》一书中，有一个关于求牛和头数的题目，人们称之为牛顿的牛吃草问题。 　　主要类型： 　　1、求时间 　　2、求头数 　　除了总结这两种类型问题相应的解法，在实践中还要有培养运用“牛吃草问题”的解题思想解决实际问题的能力。 　　基本思路： 　　①在求出“每天新生长的草量”和“原有草量”‎ 后，已知头数求时间时，我们用“原有草量÷每天实际减少的草量(即头数与每日生长量的差)”求出天数。 　　②已知天数求只数时，同样需要先求出“每天新生长的草量”和“原有草量”。 　　③根据(“原有草量”+若干天里新生草量)÷天数”，求出只数。 　　基本公式： 　　解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是∶ 　　(1)草的生长速度＝对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数÷(吃的较多天数－吃的较少天数)； 　　(2)原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；` 　　(3)吃的天数＝原有草量÷(牛头数－草的生长速度)； ‎ ‎　　(4)牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度 　　第一种：一般解法 　　“有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把草吃尽。如果养牛21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢？并且牧场上的草是不断生长的。” 　　一般解法：把一头牛一天所吃的牧草看作1，那么就有： 　　(1)27头牛6天所吃的牧草为：27×6＝162 (这162包括牧场原有的草和6天新长的草。) 　　(2)23头牛9天所吃的牧草为：23×9＝207 (这207包括牧场原有的草和9天新长的草。) 　　(3)1天新长的草为：(207－162)÷(9－6)＝15 　　(4)牧场上原有的草为：27×6－15×6＝72 　　(5)每天新长的草足够15头牛吃，21头牛减去15头，剩下6头吃原牧场的草：72÷(21－15)＝72÷6＝12(天) ‎ ‎ 　　所以养21头牛，12天才能把牧场上的草吃尽。 　　第二种：公式解法 　　有一片牧场，草每天都匀速生长(草每天增长量相等)，如果放牧24头牛，则6天吃完牧草，如果放牧21头牛，则8天吃完牧草，假设每头牛吃草的量是相等的。(1)如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？(2)要使牧草永远吃不完，最多可放多少头牛？ 　　解答： 　　1) 草的生长速度：(21×8-24×6)÷(8-6)=12(份) 　　原有草量：21×8-12×8=72(份) 　　16头牛可吃：72÷(16-12)=18(天) 　　2) 要使牧草永远吃不完，则每天吃的份数不能多于草每天的生长份数 ‎ ‎　　所以最多只能放12头牛。‎ 五年级 一、工程问题 ‎1．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时.丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，问水池注满还需要多少小时？‎ ‎2．修一条水渠，单独修，甲队需要20天完成，乙队需要30天完成。如果两队合作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲队的工作效率是原来的五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。现在计划16天修完这条水渠，且要求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天？‎ ‎3．一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成。现在先请甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成。乙单独做完这件工作要多少小时？‎ ‎4．一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做这项工程需17天完成，甲单独做这项工程要多少天完成？‎ ‎5．师徒俩人加工同样多的零件。当师傅完成了1/2时，徒弟完成了120个。当师傅完成了任务时，徒弟完成了4/5这批零件共有多少个？‎ ‎6．一批树苗，如果分给男女生栽，平均每人栽6棵；如果单份给女生栽，平均每人栽10棵。单份给男生栽，平均每人栽几棵？‎ ‎7．一个池上装有3根水管。甲管为进水管，乙管为出水管，20分钟可将满池水放完，丙管也是出水管，30分钟可将满池水放完。现在先打开甲管，当水池水刚溢出时，打开乙,丙两管用了18分钟放完，当打开甲管注满水是，再打开乙管，而不开丙管，多少分钟将水放完？‎ ‎8．某工程队需要在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成，若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完成，问规定日期为几天？‎ ‎9．两根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要2小时，而点完一根细蜡烛要1小时，一天晚上停电，小芳同时点燃了这两根蜡烛看书，若干分钟后来点了，小芳将两支蜡烛同时熄灭，发现粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍，问：停电多少分钟？‎ 二．鸡兔同笼问题 ‎1．鸡与兔共100只，鸡的腿数比兔的腿数少28条，,问鸡与兔各有几只？‎ 三．数字数位问题 ‎1．把1至2005这2005个自然数依次写下来得到一个多位数123456789.....2005,这个多位数除以9余数是多少?‎ ‎2．A和B是小于100的两个非零的不同自然数。求A+B分之A-B的最小值...‎ ‎3．已知A.B.C都是非0自然数,A/2 + B/4 + C/16的近似值市6.4,那么它的准确值是多少?‎ ‎4．一个三位数的各位数字 之和是17.其中十位数字比个位数字大1.如果把这个三位数的百位数字与个位数字对调,得到一个新的三位数,则新的三位数比原三位数大198,求原数.‎ ‎5．一个两位数,在它的前面写上3,所组成的三位数比原两位数的7倍多24,求原来的两位数.‎ ‎6．把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数,它与原数相加,和恰好是某自然数的平方,这个和是多少?‎ ‎7．一个六位数的末位数字是2,如果把2移到首位,原数就是新数的3倍,求原数.‎ ‎8．有一个四位数,个位数字与百位数字的和是12,十位数字与千位数字的和是9,如果个位数字与百位数字互换,千位数字与十位数字互换,新数就比原数增加2376,求原数.‎ ‎9．有一个两位数,如果用它去除以个位数字,商为9余数为6,如果用这个两位数除以个位数字与十位数字之和,则商为5余数为3,求这个两位数.‎ ‎10．如果现在是上午的10点21分,那么在经过28799...99(一共有20个9)分钟之后的时间将是几点几分?‎ 四．排列组合问题 ‎1．有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人都相邻的排法有（ ）‎ A 768种 B 32种 C 24种 D 2的10次方中 ‎2 若把英语单词hello的字母写错了,则可能出现的错误共有 ( )‎ A 119种 B 36种 C 59种 D 48种 五．容斥原理问题 ‎1．有100种赤贫.其中含钙的有68种,含铁的有43种,那么,同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是( )‎ A 43,25 B 32,25 C32,15 D 43,11‎ ‎2．在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校25名学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题;(2)在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍:(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人;(4)只解出一道题的学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二题的学生人数是( )‎ A，5 B，6 C，7 D，8‎ ‎3．一次考试共有5道试题。做对第1、2、3、、4、5题的分别占参加考试人数的95%、80%、79%、74%、85%。如果做对三道或三道以上为合格，那么这次考试的合格率至少是多少？‎ 六．抽屉原理、奇偶性问题 ‎1．一只布袋中装有大小相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种，问最少要摸出几只手套才能保证有3副同色的？‎ ‎2．有四种颜色的积木若干，每人可任取1-2件，至少有几个人去取，才能保证有3人能取得完全一样？‎ ‎3．某盒子内装50只球，其中10只是红色，10只是绿色，10只是黄色，10只是蓝色，其余是白球和黑球，为了确保取出的球中至少包含有7只同色的球，问：最少必须从袋中取出多少只球？‎ ‎4．地上有四堆石子，石子数分别是1、9、15、31如果每次从其中的三堆同时各取出1个，然后都放入第四堆中，那么，能否经过若干次操作，使得这四堆石子的个数都相同?（如果能请说明具体操作，不能则要说明理由）‎ 七．路程问题 ‎1．狗跑5步的时间马跑3步，马跑4步的距离狗跑7步，现在狗已跑出30米，马开始追它。问：狗再跑多远，马可以追上它？‎ ‎2．甲乙辆车同时从a b两地相对开出，几小时后再距中点40千米处相遇？已知，甲车行完全程要8小时，乙车行完全程要10小时，求a b 两地相距多少千米？‎ ‎3．在一个600米的环形跑道上，兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步，两人每隔12分钟相遇一次，若两个人速度不变，还是在原来出发点同时出发，哥哥改为按逆时针方向跑，则两人每隔4分钟相遇一次，两人跑一圈各要多少分钟？‎ ‎4．慢车车长125米，车速每秒行17米，快车车长140米，车速每秒行22米，慢车在前面行驶，快车从后面追上来，那么，快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车需要多少时间？‎ ‎5．在300米长的环形跑道上，甲乙两个人同时同向并排起跑，甲平均速度是每秒5米，乙平均速度是每秒4.4米，两人起跑后的第一次相遇在起跑线前几米？‎ ‎6．一个人在铁道边，听见远处传来的火车汽笛声后，在经过57秒火车经过她前面，已知火车鸣笛时离他1360米，(轨道是直的),声音每秒传340米，求火车的速度（得出保留整数）‎ ‎7．猎犬发现在离它10米远的前方有一只奔跑着的野兔，马上紧追上去，猎犬的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但是兔子的动作快，猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步，问猎犬至少跑多少米才能追上兔子。‎ ‎8． AB两地,甲乙两人骑自行车行完全程所用时间的比是4:5,如果甲乙二人分别同时从AB两地相对行使,40分钟后两人相遇,相遇后各自继续前行,这样，乙到达A地比甲到达B地要晚多少分钟?‎ ‎9．甲乙两车同时从AB两地相对开出。第一次相遇后两车继续行驶，各自到达对方出发点后立即返回。第二次相遇时离B地的距离是AB全程的1/5。已知甲车在第一次相遇时行了120千米。AB两地相距多少千米？‎ ‎10．一船以同样速度往返于两地之间，它顺流需要6小时;逆流8小时。如果水流速度是每小时2千米，求两地间的距离？‎ ‎11．快车和慢车同时从甲乙两地相对开出，快车每小时行33千米，相遇是已行了全程的七分之四，已知慢车行完全程需要8小时，求甲乙两地的路程。‎ ‎12．小华从甲地到乙地,3分之1骑车,3分之2乘车;从乙地返回甲地,5分之3骑车,5分之2乘车,结果慢了半小时.已知,骑车每小时12千米,乘车每小时30千米,问:甲乙两地相距多少千米?‎ 八．比例问题 ‎1．甲乙两人在河边钓鱼,甲钓了三条,乙钓了两条,正准备吃,有一个人请求跟他们一起吃,于是三人将五条鱼平分了,为了表示感谢,过路人留下10元,甲、乙怎么分？‎ ‎2．一种商品，今年的成本比去年增加了10分之1，但仍保持原售价，因此，每份利润下降了5分之2，那么，今年这种商品的成本占售价的几分之几？‎ ‎3．甲乙两车分别从A.B两地出发,相向而行,出发时,甲.乙的速度比是5:4,相遇后,甲的速度减少20%,乙的速度增加20%,这样,当甲到达B地时,乙离A地还有10千米,那么A.B两地相距多少千米?‎ ‎4．一个圆柱的底面周长减少25%，要使体积增加1/3，现在的高和原来的高度比是多少？‎ ‎5、某市举行小学数学竞赛，结果不低于80分的人数比80分以下的人数的4倍还多2人，及格的人数比不低于80分的人数多22人，恰是不及格人数的6倍，求参赛的总人数？‎ ‎6、‎ 有7个数，它们的平均数是18。去掉一个数后，剩下6个数的平均数是19；再去掉一个数后，剩下的5个数的平均数是20。求去掉的两个数的乘积。‎ ‎7、小明参加了六次测验，第三、第四次的平均分比前两次的平均分多2分，比后两次的平均分少2分。如果后三次平均分比前三次平均分多3分，那么第四次比第三次多得几分？‎ 某工车间共有77个工人，已知每天每个工人平均可加工甲种部件5个，或者乙种部件4个，或丙种部件3个。但加工3个甲种部件，一个乙种部件和9个丙种部件才恰好配成一套。问应安排甲、乙、丙种部件工人各多少人时，才能使生产出来的甲、乙、丙三种部件恰好都配套？ ‎ ‎ 8、哥哥现在的年龄是弟弟当年年龄的三倍，哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，哥哥与弟弟现在的年龄和为30岁，问哥哥、弟弟现在多少岁？‎ 小学五年级奥数题答案 一、工程问题 ‎1、解：1/20+1/16＝9/80表示甲乙的工作效率 ‎9/80×5＝45/80表示5小时后进水量 ‎1-45/80＝35/80表示还要的进水量 ‎ ‎35/80÷（9/80-1/10）＝35表示还要35小时注满 答：5小时后还要35小时就能将水池注满。‎ ‎2、解：由题意得，甲的工效为1/20，乙的工效为1/30，甲乙的合作工效为1/20*4/5+1/30*9/10＝7/100，可知甲乙合作工效>甲的工效>乙的工效。‎ 又因为，要求“两队合作的天数尽可能少”，所以应该让做的快的甲多做，16天内实在来不及的才应该让甲乙合作完成。只有这样才能“两队合作的天数尽可能少”。‎ 设合作时间为x天，则甲独做时间为（16-x）天 ‎1/20*（16-x）+7/100*x＝1‎ x＝10‎ 答：甲乙最短合作10天 ‎3、由题意知，1/4表示甲乙合作1小时的工作量，1/5表示乙丙合作1小时的工作量 ‎（1/4+1/5）×2＝9/10表示甲做了2小时、乙做了4小时、丙做了2小时的工作量。‎ 根据“甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成”可知甲做2小时、乙做6小时、丙做2小时一共的工作量为1。‎ 所以1－9/10＝1/10表示乙做6-4＝2小时的工作量。‎ ‎1/10÷2＝1/20表示乙的工作效率。‎ ‎1÷1/20＝20小时表示乙单独完成需要20小时。‎ 答：乙单独完成需要20小时。‎ ‎4、解：由题意可知 ‎1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+……+1/甲＝1‎ ‎1/乙+1/甲+1/乙+1/甲+……+1/乙+1/甲×0.5＝1‎ ‎（1/甲表示甲的工作效率、1/乙表示乙的工作效率，最后结束必须如上所示，否则第二种做法就不比第一种多0.5天）‎ ‎1/甲＝1/乙+1/甲×0.5（因为前面的工作量都相等）‎ 得到1/甲＝1/乙×2‎ 又因为1/乙＝1/17‎ 所以1/甲＝2/17，甲等于17÷2＝8.5天 ‎5、答案为300个 ‎120÷（4/5÷2）＝300个 可以这样想：师傅第一次完成了1/2，第二次也是1/2，两次一共全部完工，那么徒弟第二次后共完成了4/5，可以推算出第一次完成了4/5的一半是2/5，刚好是120个。‎ ‎6、答案是15棵 算式：1÷（1/6-1/10）＝15棵 ‎7、答案45分钟。‎ ‎1÷（1/20+1/30）＝12 表示乙丙合作将满池水放完需要的分钟数。‎ ‎1/12*（18-12）＝1/12*6＝1/2 表示乙丙合作将漫池水放完后，还多放了6分钟的水，也就是甲18分钟进的水。‎ ‎1/2÷18＝1/36 表示甲每分钟进水 最后就是1÷（1/20-1/36）＝45分钟。‎ ‎8、答案为6天 解：由“若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完成，”可知：‎ 乙做3天的工作量＝甲2天的工作量 即：甲乙的工作效率比是3：2‎ 甲、乙分别做全部的的工作时间比是2：3‎ 时间比的差是1份 实际时间的差是3天 所以3÷（3-2）×2＝6天，就是甲的时间，也就是规定日期 方程方法：‎ ‎[1/x+1/（x+2）]×2+1/（x+2）×（x-2）＝1‎ 解得x＝6‎ ‎9、答案为40分钟。‎ 解：设停电了x分钟 根据题意列方程 ‎1-1/120*x＝（1-1/60*x）*2‎ 解得x＝40‎ 二．鸡兔同笼问题 ‎1、解：4*100＝400，400-0＝400 假设都是兔子，一共有400只兔子的脚，那么鸡的脚为0只，鸡的脚比兔子的脚少400只。‎ ‎400-28＝372‎ ‎ 实际鸡的脚数比兔子的脚数只少28只，相差372只，这是为什么？‎ ‎4+2＝6 这是因为只要将一只兔子换成一只鸡，兔子的总脚数就会减少4只（从400只变为396只），鸡的总脚数就会增加2只（从0只到2只），它们的相差数就会少4+2＝6只（也就是原来的相差数是400-0＝400，现在的相差数为396-2＝394，相差数少了400-394＝6）‎ ‎372÷6＝62 表示鸡的只数，也就是说因为假设中的100只兔子中有62只改为了鸡，所以脚的相差数从400改为28，一共改了372只 ‎100-62＝38表示兔的只数 三．数字数位问题 ‎1、解：首先研究能被9整除的数的特点：如果各个数位上的数字之和能被9整除，那么这个数也能被9整除；如果各个位数字之和不能被9整除，那么得的余数就是这个数除以9得的余数。‎ 解题：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45；45能被9整除 依次类推：1~1999这些数的个位上的数字之和可以被9整除 ‎10~19，20~29……90~99这些数中十位上的数字都出现了10次，那么十位上的数字之和就是10+20+30+……+90=450 它有能被9整除 同样的道理，100~900 百位上的数字之和为4500 同样被9整除 也就是说1~999这些连续的自然数的各个位上的数字之和可以被9整除；‎ 同样的道理：1000~1999这些连续的自然数中百位、十位、个位 上的数字之和可以被9整除（这里千位上的“1”还没考虑，同时这里我们少200020012002200320042005‎ 从1000~1999千位上一共999个“1”的和是999，也能整除；‎ ‎200020012002200320042005的各位数字之和是27，也刚好整除。‎ 最后答案为余数为0。‎ ‎2、解：(A-B)/(A+B) = (A+B - 2B)/(A+B) = 1 - 2 * B/(A+B)‎ 前面的 1 不会变了，只需求后面的最小值，此时 (A-B)/(A+B) 最大。‎ 对于 B / (A+B) 取最小时，(A+B)/B 取最大，‎ 问题转化为求 (A+B)/B 的最大值。‎ ‎(A+B)/B = 1 + A/B ，最大的可能性是 A/B = 99/1‎ ‎(A+B)/B = 100‎ ‎(A-B)/(A+B) 的最大值是： 98 / 100‎ ‎3、解：因为A/2 + B/4 + C/16＝8A+4B+C/16≈6.4，‎ 所以8A+4B+C≈102.4，由于A、B、C为非0自然数，因此8A+4B+C为一个整数，可能是102，也有可能是103。‎ 当是102时，102/16＝6.375‎ 当是103时，103/16＝6.4375‎ ‎4、解：设原数个位为a，则十位为a+1，百位为16-2a 根据题意列方程100a+10a+16-2a－100（16-2a）-10a-a＝198‎ 解得a＝6，则a+1＝7 16-2a＝4‎ 答：原数为476。‎ ‎5、解：设该两位数为a，则该三位数为300+a ‎7a+24＝300+a a＝24‎ 答：该两位数为24。‎ ‎6、解：设原两位数为10a+b，则新两位数为10b+a 它们的和就是10a+b+10b+a＝11（a+b）‎ 因为这个和是一个平方数，可以确定a+b＝11‎ 因此这个和就是11×11＝121‎ 答：它们的和为121。‎ ‎7、解：设原六位数为abcde2，则新六位数为2abcde（字母上无法加横线，请将整个看成一个六位数）‎ 再设abcde（五位数）为x，则原六位数就是10x+2，新六位数就是200000+x 根据题意得，（200000+x）×3＝10x+2‎ 解得x＝85714‎ 所以原数就是857142‎ ‎8、答案为3963‎ 解：设原四位数为abcd，则新数为cdab，且d+b＝12，a+c＝9‎ 根据“新数就比原数增加2376”可知abcd+2376=cdab,列竖式便于观察 abcd ‎2376‎ cdab 根据d+b＝12，可知d、b可能是3、9；4、8；5、7；6、6。‎ 再观察竖式中的个位，便可以知道只有当d＝3，b＝9；或d＝8，b＝4时成立。‎ 先取d＝3，b＝9代入竖式的百位，可以确定十位上有进位。‎ 根据a+c＝9，可知a、c可能是1、8；2、7；3、6；4、5。‎ 再观察竖式中的十位，便可知只有当c＝6，a＝3时成立。‎ 再代入竖式的千位，成立。‎ 得到：abcd＝3963‎ 再取d＝8，b＝4代入竖式的十位，无法找到竖式的十位合适的数，所以不成立。‎ ‎9、解：设这个两位数为ab ‎10a+b＝9b+6‎ ‎10a+b＝5（a+b）+3‎ 化简得到一样：5a+4b＝3‎ 由于a、b均为一位整数 得到a＝3或7，b＝3或8‎ 原数为33或78均可以 ‎10、解：（28799……9（20个9）+1）/60/24整除，表示正好过了整数天，时间仍然还是10:21，因为事先计算时加了1分钟，所以现在时间是10:20‎ 四．排列组合问题 ‎1、解：根据乘法原理，分两步：‎ 第一步是把5对夫妻看作5个整体，进行排列有5×4×3×2×1＝120种不同的排法，但是因为是围成一个首尾相接的圈，就会产生5个5个重复，因此实际排法只有120÷5＝24种。‎ 第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置，也就是说每一对夫妻均有2种排法，总共又2×2×2×2×2＝32种 综合两步，就有24×32＝768种。‎ ‎2、解：5全排列5*4*3*2*1=120‎ 有两个l所以120/2=60‎ 原来有一种正确的所以60-1=59‎ 五．容斥原理问题 ‎1、解：根据容斥原理最小值68+43-100＝11‎ 最大值就是含铁的有43种 ‎2、解：根据“每个人至少答出三题中的一道题”可知答题情况分为7类：只答第1题，只答第2题，只答第3题，只答第1、2题，只答第1、3题，只答2、3题，答1、2、3题。‎ 分别设各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123‎ 由（1）知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123＝25…①‎ 由（2）知：a2+a23＝（a3+ a23）×2……②‎ 由（3）知：a12+a13+a123＝a1－1……③‎ 由（4）知：a1＝a2+a3……④‎ 再由②得a23＝a2－a3×2……⑤‎ 再由③④得a12+a13+a123＝a2+a3－1⑥‎ 然后将④⑤⑥代入①中，整理得到 a2×4+a3＝26‎ 由于a2、a3均表示人数，可以求出它们的整数解：‎ 当a2＝6、5、4、3、2、1时，a3＝2、6、10、14、18、22‎ 又根据a23＝a2－a3×2……⑤可知：a2>a3‎ 因此，符合条件的只有a2＝6，a3＝2。‎ 然后可以推出a1＝8，a12+a13+a123＝7，a23＝2，总人数＝8+6+2+7+2＝25，检验所有条件均符。‎ 故只解出第二题的学生人数a2＝6人。‎ ‎3、答案：及格率至少为71％。‎ 假设一共有100人考试 ‎100-95＝5‎ ‎100-80＝20‎ ‎100-79＝21‎ ‎100-74＝26‎ ‎100-85＝15‎ ‎5+20+21+26+15＝87（表示5题中有1题做错的最多人数）‎ ‎87÷3＝29（表示5题中有3题做错的最多人数，即不及格的人数最多为29人）‎ ‎100-29＝71（及格的最少人数，其实都是全对的）‎ 及格率至少为71％‎ 六．抽屉原理、奇偶性问题 ‎1、解：可以把四种不同的颜色看成是4个抽屉，把手套看成是元素，要保证有一副同色的，就是1个抽屉里至少有2只手套，根据抽屉原理，最少要摸出5只手套。这时拿出1副同色的后4个抽屉中还剩3只手套。再根据抽屉原理，只要再摸出2只手套，又能保证有一副手套是同色的，以此类推。‎ 把四种颜色看做4个抽屉，要保证有3副同色的，先考虑保证有1副就要摸出5只手套。这时拿出1副同色的后，4个抽屉中还剩下3只手套。根据抽屉原理，只要再摸出2只手套，又能保证有1副是同色的。以此类推，要保证有3副同色的，共摸出的手套有：5+2+2=9（只）‎ 答：最少要摸出9只手套，才能保证有3副同色的。‎ ‎2、解：每人取1件时有4种不同的取法,每人取2件时,有6种不同的取法.‎ 当有11人时,能保证至少有2人取得完全一样:‎ 当有21人时,才能保证到少有3人取得完全一样.‎ ‎3、解：需要分情况讨论，因为无法确定其中黑球与白球的个数。‎ 当黑球或白球其中没有大于或等于7个的，那么就是：‎ ‎6*4+10+1=35(个)‎ 如果黑球或白球其中有等于7个的，那么就是：‎ ‎6*5+3+1＝34（个）‎ 如果黑球或白球其中有等于8个的，那么就是：‎ ‎6*5+2+1＝33‎ 如果黑球或白球其中有等于9个的，那么就是：‎ ‎6*5+1+1＝32‎ ‎4、解：不可能。‎ 因为总数为1+9+15+31＝56‎ ‎56/4＝14。14是一个偶数，而原来1、9、15、31都是奇数，取出1个和放入3个也都是奇数，奇数加减若干次奇数后，结果一定还是奇数，不可能得到偶数（14个）。‎ 七．路程问题 ‎1、解：根据“马跑4步的距离狗跑7步”，可以设马每步长为7x米，则狗每步长为4x米。‎ 根据“狗跑5步的时间马跑3步”，可知同一时间马跑3*7x米＝21x米，则狗跑5*4x＝20米。‎ 可以得出马与狗的速度比是21x：20x＝21：20‎ 根据“现在狗已跑出30米”，可以知道狗与马相差的路程是30米，他们相差的份数是21-20＝1，现在求马的21份是多少路程，就是 30÷（21-20）×21＝630米 ‎2、解：由“甲车行完全程要8小时，乙车行完全程要10小时”可知，相遇时甲行了10份，乙行了8份（总路程为18份），两车相差2份。又因为两车在中点40千米处相遇，说明两车的路程差是（40+40）千米。所以算式是（40+40）÷（10-8）×（10+8）＝720千米。‎ ‎3、解：600÷12=50，表示哥哥、弟弟的速度差 ‎600÷4=150，表示哥哥、弟弟的速度和 ‎（50+150）÷2=100，表示较快的速度，方法是求和差问题中的较大数 ‎（150-50）/2=50，表示较慢的速度，方法是求和差问题中的较小数 ‎600÷100=6分钟，表示跑的快者用的时间 ‎600/50=12分钟，表示跑得慢者用的时间 ‎4、解：算式是（140+125)÷(22-17)=53秒 可以这样理解：“快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车”就是快车车尾上的点追及慢车车头的点，因此追及的路程应该为两个车长的和。‎ ‎5、解：300÷（5-4.4）＝500秒，表示追及时间 ‎5×500＝2500米，表示甲追到乙时所行的路程 ‎2500÷300＝8圈……100米，表示甲追及总路程为8圈还多100米，就是在原来起跑线的前方100米处相遇。‎ ‎6、解：算式：1360÷(1360÷340+57）≈22米/秒 关键理解：人在听到声音后57秒才车到，说明人听到声音时车已经从发声音的地方行出1360÷340＝4秒的路程。也就是1360米一共用了4+57＝61秒。‎ ‎7、答案是猎犬至少跑60米才能追上。‎ 解：由“猎犬跑5步的路程，兔子要跑9步”可知当猎犬每步a米，则兔子每步5/9米。由“猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步”可知同一时间，猎犬跑2a米，兔子可跑5/9a*3＝5/3a米。从而可知猎犬与兔子的速度比是2a：5/3a＝6：5，也就是说当猎犬跑60米时候，兔子跑50米，本来相差的10米刚好追完 ‎8、解：设全程为1,甲的速度为x乙的速度为y 列式40x+40y=1‎ x:y=5:4‎ 得x=1/72 y=1/90‎ 走完全程甲需72分钟,乙需90分钟 故得解答案：18分 ‎9、解：通过画线段图可知，两个人第一次相遇时一共行了1个AB的路程，从开始到第二次相遇，一共又行了3个AB的路程，可以推算出甲、乙各自共所行的路程分别是第一次相遇前各自所走的路程的3倍。即甲共走的路程是120*3＝360千米，从线段图可以看出，甲一共走了全程的（1+1/5）。‎ 因此360÷（1+1/5）＝300千米 ‎10、解：（1/6-1/8）÷2＝1/48表示水速的分率 ‎2÷1/48＝96千米表示总路程 ‎11、解：相遇是已行了全程的七分之四表示甲乙的速度比是4：3‎ 时间比为3：4‎ 所以快车行全程的时间为8/4*3＝6小时 ‎6*33＝198千米 ‎12、解：把路程看成1，得到时间系数 去时时间系数：1/3÷12+2/3÷30‎ 返回时间系数：3/5÷12+2/5÷30‎ 两者之差：（3/5÷12+2/5÷30）-（1/3÷12+2/3÷30）=1/75相当于1/2小时 去时时间：1/2×（1/3÷12）÷1/75和1/2×（2/3÷30）1/75‎ 路程：12×〔1/2×（1/3÷12）÷1/75〕+30×〔1/2×（2/3÷30）1/75〕=37.5（千米）‎ 八．比例问题 ‎1、解：“三人将五条鱼平分，客人拿出10元”，可以理解为五条鱼总价值为30元，那么每条鱼价值6元。‎ 又因为“甲钓了三条”，相当于甲吃之前已经出资3*6＝18元，“乙钓了两条”，相当于乙吃之前已经出资2*6＝12元。‎ 而甲乙两人吃了的价值都是10元，所以 甲还可以收回18-10＝8元 乙还可以收回12-10＝2元 刚好就是客人出的钱。‎ ‎2、解：最好画线段图思考：把去年原来成本看成20份，利润看成5份，则今年的成本提高1/10，就是22份，利润下降了2/5，今年的利润只有3份。增加的成本2份刚好是下降利润的2份。售价都是25份。所以，今年的成本占售价的22/25。‎ ‎3、解：原来甲.乙的速度比是5:4‎ 现在的甲：5×（1-20％）＝4‎ 现在的乙：4×（1+20％）4.8‎ 甲到B后，乙离A还有：5-4.8＝0.2‎ 总路程：10÷0.2×（4+5）＝450千米 ‎4、答案为64：27‎ 解：根据“周长减少25％”，可知周长是原来的3/4，那么半径也是原来的3/4，则面积是原来的9/16。‎ 根据“体积增加1/3”，可知体积是原来的4/3。‎ 体积÷底面积＝高 现在的高是4/3÷9/16＝64/27，也就是说现在的高是原来的高的64/27‎ 或者现在的高：原来的高＝64/27：1＝64：27‎ ‎5、解：设不低于80分的为A人，则80分以下的人数是（A-2）/4，及格的就是A+22，不及格的就是A+（A-2）/4-（A+22）=（A-90）/4，而6*（A-90）/4=A+22，则A=314，80分以下的人数是（A-2）/4，也即是78，参赛的总人数314+78=392‎ ‎6、解： 7*18-6*19=126-114=12‎ ‎ 6*19-5*20=114-100=14‎ ‎ 去掉的两个数是12和14它们的乘积是12*14=168‎ 解：第三、四次的成绩和比前两次的成绩和多4分，比后两次的成绩和少4分，推知后两次的成绩和比前两次的成绩和多8分。因为后三次的成绩和比前三次的成绩和多9分，所以第四次比第三次多9－8=1（分）。‎ ‎8、算式：这道题可以用方程解：解：设加工后乙种部件有x个。 3/5X + 1/4X + 9/3X=77 ‎ x=20 甲：0.6×20=12（人） 乙： 0.25×20=5（人） 丙： 3×20==60（人） 答：甲12人，乙5人，丙60人。 9、算式：这道题可以用方程解：解：设哥哥现在的年龄为x岁。 x-(30-x)=(30-x)-x/3 x=18 弟弟30-18=12（岁） 答：哥哥18岁，弟弟12岁。‎ 六年级 ‎【题-001】抽屉原理 有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.请你证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。‎ ‎【题-002】牛吃草：（中等难度） 一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果10人淘水，3小时淘完；如5人淘水8小时淘完.如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？‎ ‎【题-003】奇偶性应用：（中等难度） 桌上有9只杯子，全部口朝上，每次将其中6只同时“翻转”.请说明：无论经过多少次这样的“翻转”，都不能使9只杯子全部口朝下。‎ ‎【题-004】整除问题：（中等难度）‎ 用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16.被除数、除数、商数与余数的和是933，求被除数和除数各是多少？‎ ‎【题-005】填数字：（中等难度）‎ 请在下图的每个空格内填入1至8中的一个数字，使每行、每列、每条对角线上8个数字都互不相同．  ‎ ‎【题-006】灌水问题：（中等难度）‎ 公园水池每周需换一次水．水池有甲、乙、丙三根进水管．第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、丙……的顺序轮流打开小1时，恰好在打开某根进水管1小时后灌满空水池．第二周他按乙、丙、甲、乙、丙、甲……的顺序轮流打开1小时，灌满一池水比第一周少用了15分钟；第三周他按丙、乙、甲、丙、乙、甲……的顺序轮流打开1小时，比第一周多用了15分钟．第四周他三个管同时打开，灌满一池水用了2小时20分，第五周他只打开甲管，那么灌满一池水需用________小时．‎ ‎【题-007】　浓度问题：（中等难度） ‎ 瓶中装有浓度为15%的酒精溶液1000克，现在又分别倒入100克和400克的A、B两种酒精溶液，瓶中的浓度变成了14%．已知A种酒精溶液浓度是B种酒精溶液浓度的2倍，那么A种酒精溶液的浓度是百分之几？‎ ‎【题-008】水和牛奶：（中等难度） ‎ 一个卖牛奶的人告诉两个小学生：这儿的一个钢桶里盛着水，另一个钢桶里盛着牛奶，由于牛奶乳脂含量过高，必须用水稀释才能饮用．现在我把A桶里的液体倒入B桶，使其中液体的体积翻了一番，然后我又把B桶里的液体倒进A桶，使A桶内的液体体积翻番．最后，我又将A桶中的液体倒进B桶中，使B桶中液体的体积翻番．此时我发现两个桶里盛有同量的液体，而在B桶中，水比牛奶多出1升．现在要问你们，开始时有多少水和牛奶，而在结束时，每个桶里又有多少水和牛奶？‎ ‎【题-009】　巧算：（中等难度） 计算：‎ ‎【题-010】队形：（中等难度） 做少年广播体操时，某年级的学生站成一个实心方阵时（正方形队列）时，还多10人，如果站成一个每边多1人的实心方阵，则还缺少15人.问：原有多少人？‎ ‎【题-011】计算：（中等难度） 一个自然数，如果它的奇数位上各数字之和与偶数位上各数字之和的差是11的倍数，那么这个自然数是11的倍数，例如1001，因为1+0=0+1，所以它是11的倍数；又如1234，因为4+2-（3＋1）=2不是11的倍数，所以1234不是11的倍数.问：用0、1、2、3、4、5这6个数字排成不含重复数字的六位数，其中有几个是11的倍数？‎ ‎【题-012】分数：（中等难度） ‎ 某学校的若干学生在一次数学考试中所得分数之和是8250分.第一、二、三名的成绩是88、85、80分，得分最低的是30分，得同样分的学生不超过3人，每个学生的分数都是自然数.问：至少有几个学生的得分不低于60分？‎ ‎【题-013】四位数：（中等难度） 某个四位数有如下特点：①这个数加1之后是15的倍数；②这个数减去3是38的倍数；③把这个数各数位上的数左右倒过来所得的数与原数之和能被10整除，求这个四位数.‎ ‎【题-014】行程：（中等难度） 王强骑自行车上班，以均匀速度行驶.他观察来往的公共汽车，发现每隔12分钟有一辆汽车从后面超过他，每隔4分钟迎面开来一辆，如果所有汽车都以相同的匀速行驶，发车间隔时间也相同，那么调度员每隔几分钟发一辆车？‎ ‎【题-015】跑步：（中等难度） 狗跑5步的时间马跑3步，马跑4步的距离狗跑7步，现在狗已跑出30米，马开始追它。问：狗再跑多远，马可以追上它？‎ ‎【题-016】排队：（中等难度） 有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有（    ）‎ ‎【题-017】分数方程：（中等难度）‎ 若干只同样的盒子排成一列，小聪把42个同样的小球放在这些盒子里然后外出，小明从每支盒子里取出一个小球，然后把这些小球再放到小球数最少的盒子里去。再把盒子重排了一下．小聪回来，仔细查看，没有发现有人动过小球和盒子．问：一共有多少只盒子?‎ ‎【题-018】自然数和：（中等难度） 在整数中，有用2个以上的连续自然数的和来表达一个整数的方法．例如9：9=4+5，9=2+3+4，9有两个用2个以上连续自然数的和来表达它的方法.‎ ‎【题-019】准确值：（中等难度） 　‎ ‎【题-020】巧求整数部分题目：（中等难度）‎ ‎　　(第六届小数报决赛)A 8.8 8.98 8.998 8.9998 8.99998，A的整数部分是_________.‎ ‎【题目答案】‎ ‎【题-001解答】抽屉原理 首先要确定3枚棋子的颜色可以有多少种不同的情况，可以有：3黑，2黑1白，1黑2白，3白共4种配组情况，看作4个抽屉.把每人的3枚棋作为一组当作一个苹果，因此共有5个苹果.把每人所拿3枚棋子按其颜色配组情况放入相应的抽屉.由于有5个苹果，比抽屉个数多，所以根据抽屉原理，至少有两个苹果在同一个抽屉里，也就是他们所拿棋子的颜色配组是一样的 ‎【题-002解答】牛吃草 这类问题，都有它共同的特点，即总水量随漏水的延长而增加.所以总水量是个变量.而单位时间内漏进船的水的增长量是不变的.船内原有的水量（即发现船漏水时船内已有的水量）也是不变的量.对于这个问题我们换一个角度进行分析。 如果设每个人每小时的淘水量为"1个单位".则船内原有水量与3小时内漏水总量之和等于每人每小时淘水量×时间×人数，即1×3×10＝30. 船内原有水量与8小时漏水量之和为1×5×8=40。 　每小时的漏水量等于8小时与3小时总水量之差÷时间差，即（40-30）÷（8-3）=2（即每小时漏进水量为2个单位，相当于每小时2人的淘水量）。 ‎ ‎　船内原有的水量等于10人3小时淘出的总水量-3小时漏进水量.3小时漏进水量相当于3×2=6人1小时淘水量.所以船内原有水量为30-（2×3）=24。 　如果这些水（24个单位）要2小时淘完，则需24÷2＝12（人），但与此同时，每小时的漏进水量又要安排2人淘出，因此共需12+2＝14（人）。 从以上这两个例题看出，不管从哪一个角度来分析问题，都必须求出原有的量及单位时间内增加的量，这两个量是不变的量.有了这两个量，问题就容易解决了。‎ ‎【题-003解答】奇偶性应用 ‎　要使一只杯子口朝下，必须经过奇数次"翻转".要使9只杯子口全朝下，必须经过9个奇数之和次"翻转".即"翻转"的总次数为奇数.但是，按规定每次翻转6只杯子，无论经过多少次"翻转"，翻转的总次数只能是偶数次.因此无论经过多少次"翻转"，都不能使9只杯子全部口朝下。∴被除数=21×40+16=856。 答：被除数是856，除数是21。‎ ‎【题-004解答】整除问题 ‎∵被除数=除数×商+余数， 即被除数=除数×40+16。 由题意可知：被除数+除数=933-40-16=877， ‎ ‎∴（除数×40+16）+除数=877， ∴除数×41=877-16， 除数=861÷41， 除数=21， ∴被除数=21×40+16=856。 答：被除数是856，除数是21‎ ‎【题-005解答】填数字：‎ 解此类数独题的关键在于观察那些位置较特殊的方格(对角线上的或者所在行、列空格比较少的)，选作突破口．本题可以选择两条对角线上的方格为突破口，因为它们同时涉及三条线，所受的限制最严，所能填的数的空间也就最小． 副对角线上面已经填了2，3，8，6四个数，剩下1，4，5和7，这是突破口．观察这四个格，发现左下角的格所在的行已经有5，所在的列已经有1和 4，所以只能填7．然后，第六行第三列的格所在的行已经有5，所在的列已经有4，所以只能填1．第四行第五列的格所在的行和列都已经有5，所以只能填4，剩下右上角填5． ‎ ‎　再看主对角线，已经填了1和2，依次观察剩余的6个方格，发现第四行第四列的方格只能填7，因为第四行和第四列已经有了5，4，6，8，3．再看第五行第五列，已经有了4，8，3，5，所以只能填6． 　此时似乎无法继续填主对角线的格子，但是，可观察空格较少的行列，例如第四列已经填了5个数，只剩下1，2，5，则很明显第六格填2，第八格填1，第三格填5．此时可以填主对角线的格子了，第三行第三列填8，第二行第二列填3，第六行第六列填4，第七行第七列填5． 　继续依次分析空格较少的行和列(例如依次第五列、第三行、第八行、第二列……)，可得出结果如下图．‎ ‎ ‎ ‎【题-006解答】灌水问题：‎ 如第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、丙……的顺序轮流打开1小时，恰好在打开丙管1小时后灌满空水池，则第二周他按乙、丙、甲、乙、丙、甲……的顺序轮流打开1小时，应在打开甲管1小时后灌满一池水．不合题意． ‎ ‎　　如第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、丙……的顺序轮流打开1小时，恰好在打开乙管1小时后灌满空水池，则第二周他按乙、丙、甲、乙、丙、甲……的顺序轮流打开1小时，应在打开丙管45分钟后灌满一池水；第三周他按丙、乙、甲、丙、乙、甲……的顺序轮流打开1小时，应在打开甲管后15分钟灌满一池水．比较第二周和第三周，发现开乙管1小时和丙管45分钟的进水量与开丙管、乙管各1小时加开甲管15分钟的进水量相同，矛盾． 　　所以第一周是在开甲管1小时后灌满水池的．比较三周发现，甲管1小时的进水量与乙管45分钟的进水量相同，乙管30分钟的进水量与丙管1小时的进水量相同．三管单位时间内的进水量之比为3:4:2．‎ ‎【题-007解答】　浓度问题 ‎【题-008解答】水和牛奶 　‎ ‎【题-009解答】　巧算：‎ 本题的重点在于计算括号内的算式：．这个算式不同于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、或分子是分母的差或和的情况．所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的形式． 法一： 观察可知5=2+3，7=3+4，……即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以 ‎ ‎ ‎【题-010解答】 队形 当扩大方阵时，需补充10+15人，这25人应站在扩充的方阵的两条邻边处，形成一层人构成的直角拐角.补充人后，扩大的方阵每边上有（10+15+1）÷2=13人.因此扩大方阵共有13×13=169人，去掉15人，就是原来的人数 169-15=154人 ‎【题-011解答】计算答案： 用１．２．３．４．５组成不含重复数字的六位数，，它能被11整除，并设a1+a3+a5≥a2+a4+a6，则对某一整数k≥0，有： a1+a3+a5-a2-a4-a6=11k （*） 也就是： a1+a2+a3+a4+a5+a6=11k+2（a2+a4+a6） 15=0+1+2+3+4+5=11k+2（a2+a4+a6） （**） 由此看出k只能是奇数 由（*）式看出，0≤k<2 ，又因为k为奇数，所以只可能k=1，但是当k=1时，由（**）式看出a2+a4+a6=2. 但是在0、1、2、3、4、5中任何三个数之和也不等于2，可见k≠1.因此（*）不成立. ‎ 对于a2＋a4＋a6＞a1＋a3＋a5的情形，也可类似地证明（a2＋a4＋a6）-（a1＋a3＋a5）不是11的倍数. 根据上述分析知：用0、1、2、3、4、5不能组成不包含重复数字的能被11整除的六位数.‎ ‎【题-012解答】 分数：（中等难度）‎ 除得分88、85、80的人之外，其他人的得分都在30至79分之间，其他人共得分：8250-（88＋85＋80）=7997（分）. 为使不低于60分的人数尽量少，就要使低于60分的人数尽量多，即得分在30～59分中的人数尽量多，在这些分数上最多有3×（30＋31＋…＋59）= 4005分（总分），因此，得60～79分的人至多总共得7997-4005=3992分. 　如果得60分至79分的有60人，共占分数3×（60+61+ …+ 79）= 4170，比这些人至多得分7997-4005= 3992分还多178分，所以要从不低于60分的人中去掉尽量多的人.但显然最多只能去掉两个不低于60分的（另加一个低于60分的，例如，178=60＋60＋58）.因此，加上前三名，不低于60分的人数至少为61人.  ‎ ‎【题-013解答】四位数：（中等难度）　四位数答案： ‎ ‎ 　　因为该数加1之后是15的倍数，也是5的倍数，所以d=4或d=9. 因为该数减去3是38的倍数，可见原数是奇数，因此d≠4，只能是d=9.‎ 这表明m=27、37、47；32、42、52.（因为38m的尾数为6） 又因为38m＋3=15k-1（m、k是正整数）所以38m+4=15k. 由于38m的个位数是6，所以5|（38m＋4）， 因此38m+4=15k等价于3|（38m＋4），即3除m余1，因此可知m=37，m=52. 所求的四位数是1409，1979.‎ ‎【题-014解答】 行程答案：‎ 汽车间隔距离是相等的，列出等式为：（汽车速度-自行车速度）×12=（汽车速度+自行车速度）×4 得出：汽车速度=自行车速度的2倍.　汽车间隔发车的时间=汽车间隔距离÷汽车速度=（2倍自行车速度-自行车速度）×12÷2倍自行车速度=6（分钟）.‎ ‎【题-015解答】跑步：（中等难度）‎ 根据"马跑4步的距离狗跑7步"，可以设马每步长为7x米，则狗每步长为4x米。 根据"狗跑5步的时间马跑3步"，可知同一时间马跑3*7x米＝21x米，则狗跑5*4x＝20x米。 可以得出马与狗的速度比是21x：20x＝21：20 根据"现在狗已跑出30米"，可以知道狗与马相差的路程是30米，他们相差的份数是21-20＝1，现在求马的21份是多少路程，就是 30÷（21-20）×21＝630米 ‎【题-016解答】排队：（中等难度）‎ 根据乘法原理，分两步： 第一步是把5对夫妻看作5个整体，进行排列有5×4×3×2×1＝120种不同的排法，但是因为是围成一个首尾相接的圈，就会产生5个5个重复，因此实际排法只有120÷5＝24种。 第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置，也就是说每一对夫妻均有2种排法，总共又2×2×2×2×2＝32种 综合两步，就有24×32＝768种 ‎【题-017解答】分数方程：（中等难度）‎ 设原来小球数最少的盒子里装有a只小球，现在增加了b只，由于小聪没有发现有人动过小球和盒子，这说明现在又有了一只装有a个小球的盒子，而这只盒子里原来装有(a+1)个小球． 同样，现在另有一个盒子装有(a+1)个小球，这只盒子里原来装有(a+2)个小球． 类推，原来还有一只盒子装有(a+3)个小球，(a+4)个小球等等，故原来那些盒子中装有的小球数是一些连续整数． 现在变成：将42分拆成若干个连续整数的和，一共有多少种分法，每一种分法有多少个加数? 因为42=6×7，故可以看成7个6的和，又(7+5)+(8+4)+(9+3)是6个6，从而42=3+4+5+6+7+8+9，一共有7个加数； 又因为42=14×3，故可将42：13+14+15，一共有3个加数； 又因为42=21×2，故可将42=9+10+11+12，一共有4个加数． 所以原问题有三个解：一共有7只盒子、4只盒子或3只盒子.‎ ‎【题-018解答】自然数和：（中等难度）‎ 请写出只有3种这样的表示方法的最小自然数． (2)请写出只有6种这样的表示方法的最小自然数． 关于某整数，它的"奇数的约数的个数减1"，就是用连续的整数的和的形式来表达种数. ‎ 根据（1）知道，有3种表达方法，于是奇约数的个数为3+1=4，对4分解质因数4=2×2，最小的15(1、3、5、15)； 有连续的2、3、5个数相加；7+8；4+5+6；1+2+3+4+5； 根据(2)知道，有6种表示方法，于是奇数约数的个数为6+1=7，最小为729(1、3、9、27、81、243、729)，有连续的2,3、6、9、10、27个数相加： 364+365；242+243+244；119+120+…+124；77+78+79+…+85；36+37+…+45；14+15+…+40‎ ‎【题-019解答】准确值：（中等难度）‎ ‎【题-020解答】巧求整数部分题目：（中等难度）‎