人教版小升初数学总复习资料

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人教版小升初数学总复习资料 一、基本概念 第一章 数和数的运算 一 概念 （一）整数 1 整数的意义 自然数和 0 都是整数。 2 自然数 我们在数物体的时候，用表示物体个数的 1，2，3⋯⋯叫做自然数。 一个物体也没有，用 0 表示。 0 也是自然数。 3 计数单位 一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿⋯⋯都是计数单 位。 每相邻两个计数单位之间的进率都是 10。这样的计数法叫做十进制 计数法。 4 数位 计数单位按照一定的顺序排列起，它们所占的位置叫做数位。 5 数的整除 整数 a 除以整数 b(b ≠ 0 ），除得的商是整数而没有余数， 我们就说 a 能被 b 整除，或者说 b 能整除 a 。 如果数 a 能被数 b（b ≠ 0 ）整除， a 就叫做 b 的倍数， b 就叫做 a 的因数（或 a 的约数）。倍数和因数是相互依存的。 因为 35 能被 7 整除，所以 35 是 7 的倍数， 7 是 35 的因数。 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是 1，最大的 因数 是它本身。例如： 10 的因数有 1、2、5、10，其中最小的因数是 1， 最大的因数是 10。 一个数的倍数的个数是无限的， 其中最小的倍数是它本身。 3 的倍数 有： 3、6、9、12⋯⋯其中最小的倍数是 3 ，没有最大的倍数。 个位上是 0、2、4、6、8 的数，都能被 2 整除，例如： 202、480、 304，都能被 2 整除。。 个位上是 0 或 5 的数，都能被 5 整除，例如： 5、30、405 都能被 5 整除。。 一个数的各位上的数的和能被 3 整除，这个数就能被 3 整除，例如： 12、108、204 都能被 3 整除。 一个数各位数上的和能被 9 整除，这个数就能被 9 整除。 能被 3 整除的数不一定能被 9 整除，但是能被 9 整除的数一定能被 3 整除。 一个数的末两位数能被 4（或 25）整除，这个数就能被 4（或 25） 整除。例如： 16、404、1256 都能被 4 整除， 50、325、500、1675 都能被 25 整除。 一个数的末三位数能被 8（或 125）整除，这个数就能被 8（或 125） 整除。例如： 1168、4600、5000、12344 都能被 8 整除，1125、13375、 5000 都能被 125 整除。 能被 2 整除的数叫做偶数。 不能被 2 整除的数叫做奇数。 0 也是偶数。自然数按能否被 2 整除的特征可分为奇数和偶数。 一个数，如果只有 1 和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素 数），100 以内的质数有： 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、 31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 一个数，如果除了 1 和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数， 例如 4 、6、8、9、12 都是合数。 1 不是质数也不是合数，自然数除了 1 外，不是质数就是合数。如果 把自然数按其因数的个数的不同分类，可分为质数、合数和 1。 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个 合数的因数，叫做这个合数的质因数，例如 15=3×5，3 和 5 叫做 15 的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出，叫做分解质因数。 例如把 28 分解质因数 几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个，叫 做这几个数的最大公因数，例如 12 的因数有 1、2、3、4、6、12； 18 的因数有 1、2、3、6、9、18。其中， 1、2、3、6 是 12 和 1 8 的 公因数， 6 是它们的最大公因数。 公因数只有 1 的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下 列几种情况： 1 和任何自然数互质。 相邻的两个自然数互质。 两个不同的质数互质。 当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。 两个合数的公因数只有 1 时，这两个合数互质，如果几个数中任意 两个都互质，就说这几个数两两互质。 如果较小数是较大数的因数，那么较小数就是这两个数的最大公因 数。 如果两个数是互质数，它们的最大公因数就是 1。 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫 做这几个数的最小公倍数，如 2 的倍数有 2、4、6 、8、10、12、14、 16、18 ⋯⋯ 3 的倍数有 3、6、9、12、15、18 ⋯⋯ 其中 6、12、18⋯⋯是 2、3 的公倍数， 6 是它们的最小公倍数。 。 如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍 数。 如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。 几个数的公因数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限 的。 （二）小数 1 小数的意义 把整数 1 平均分成 10 份、 100 份、 1000 份⋯⋯ 得到的十分之几、 百分之几、千分之几⋯⋯ 可以用小数表示。 一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千 分之几⋯⋯ 一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。数中的圆点叫 做小数点，小数点左边的数叫做整数部分，小数点左边的数叫做整 数部分，小数点右边的数叫做小数部分。 在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是 10。小数部分的最 高分数单位“十分之一”和整数部分的最低单位“一”之间的进率 也是 10。 2 小数的分类 纯小数：整数部分是零的小数，叫做纯小数。例如： 0.25 、 0.368 都是纯小数。 带小数：整数部分不是零的小数， 叫做带小数。 例如： 3.25 、 5.26 都是带小数。 有限小数：小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数。 例如： 41.7 、 25.3 、 0.23 都是有限小数。 无限小数：小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。 例如： 4.33 ⋯⋯ 3.1415926 ⋯⋯ 无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限， 这样的小数叫做无限不循环小数。 例如：∏ 循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断 重复出现， 这个数叫做循环小数。 例如： 3.555 ⋯⋯ 0.0333 ⋯⋯ 12.109109 ⋯⋯ 一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环 小数的循环节。 例如： 3.99 ⋯⋯的循环节是 “ 9 ”， 0.5454 ⋯⋯ 的循环节是“ 54 ” 。 纯循环小数： 循环节从小数部分第一位开始的， 叫做纯循环小数。 例 如： 3.111 ⋯⋯ 0.5656 ⋯⋯ 混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小 数。 3.1222 ⋯⋯ 0.03333 ⋯⋯ 写循环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只需写出一个循环 节，并在这个循环节的首、末位数字上各点一个圆点。如果循环 节 只有 一个数字，就只在它的上面点一个点。例如： 3.777 ⋯⋯ 简 写作 0.5302302 ⋯⋯ 简写作 。 （三）分数 1 分数的意义 把单位“ 1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分 数。 在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母， 表示把单位“ 1”平均分成多少份；分数线下面的数叫做分子，表示 有这样的多少份。 把单位 “1”平均分成若干份， 表示其中的一份的数， 叫做分数单位。 2 分数的分类 真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于 1。 假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。 假分数大于或等于 1。 带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。 3 约分和通分 把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数 ，叫做约 分。 分子分母是互质数的分数，叫做最简分数。 把异分母分数分别化成和原分数相等的同分母分数，叫做通分。 （四）百分数 1 表示一个数是另一个数的百分之几的数 叫做百分数 , 也叫做百分 率 或百分比。百分数通常用 "%"表示。百分号是表示百分数的符号。 二 方法 （一）数的读法和写法 1. 整数的读法：从高位到低位，一级一级地读。读亿级、万级时， 先按照个级的读法去读，再在后面加一个“亿”或“万”字。每一 级末尾的 0 都不读出，其它数位连续有几个 0 都只读一个零。 2. 整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个 单位也没有，就在那个数位上写 0。 3. 小数的读法：读小数的时候，整数部分按照整数的读法读，小数 点读作“点” ，小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字。 4. 小数的写法：写小数的时候，整数部分按照整数的写法写，小数 点写在个位右下角，小数部分顺次写出每一个数位上的数字。 5. 分数的读法：读分数时，先读分母再读“分之”然后读分子，分 子和分母按照整数的读法读。 6. 分数的写法：先写分数线，再写分母，最后写分子，按照整数的 写法写。 7. 百分数的读法： 读百分数时， 先读百分之， 再读百分号前面的数， 读数时按照整数的读法读。 8. 百分数的写法：百分数通常不写成分数形式，而在原的分子后面 加上百分号“ %”表示。 （二）数的改写 一个较大的多位数， 为了读写方便， 常常把它改写成用 “万” 或 “亿” 作单位的数。有时还可以根据需要，省略这个数某一位后面的数， 写成近似数。 1. 准确数：在实际生活中，为了计数的简便，可以把一个较大的数 改写成以万或亿为单位的数。改写后的数是原数的准确数。 例如把 1254300000 改写成以万做单位的数是 125430 万；改写成 以亿做 单位 的数 12.543 亿。 2. 近似数：根据实际需要，我们还可以把一个较大的数，省略某一 位后面的尾数，用一个近似数表示。 例如： 1302490015 省略亿后 面的尾数是 13 亿。 3. 四舍五入法： 要省略的尾数的最高位上的数是 4 或者比 4 小，就 把尾数去掉；如果尾数的最高位上的数是 5 或者比 5 大，就把尾数 舍去，并向它的前一位进 1。例如：省略 345900 万后面的尾数约是 35 万。省略 4725097420 亿后面的尾数约是 47 亿。 4. 大小比较 1. 比较整数大小：比较整数的大小，位数多的那个数就大，如果位 数相同，就看最高位，最高位上的数大，那个数就大；最高位上的 数相同，就看下一位，哪一位上的数大那个数就大。 2. 比较小数的大小：先看它们的整数部分， ，整数部分大的那个数 就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上 的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大⋯⋯ 3. 比较分数的大小分母相同的分数，分子大的分数比较大；分子相 同的数，分母小的分数大。分数的分母和分子都不相同的，先通分， 再比较两个数的大小。 （三）数的互化 1. 小数化成分数：原有几位小数，就在 1 的后面写几个零作分母， 把原的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分。 2. 分数化成小数：用分母去除分子。能除尽的就化成有限小数，有 的不能除尽，不能化成有限小数的，一般保留三位小数。 3. 一个最简分数，如果分母中除了 2 和 5 以外，不含有其他的质因 数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有 2 和 5 以外的质 因数，这个分数就不能化成有限小数。 4. 小数化成百分数：只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上 百分号。 5. 百分数化成小数：把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时 把小数点向左移动两位。 6. 分数化成百分数：通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留 三位小数 ) ，再把小数化成百分数。 7. 百分数化成小数：先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简 分数。 （四）数的整除 1. 把一个合数分解质因数，通常用短除法。先用能整除这个合数的 质数去除，一直除到商是质数为止，再把除数和商写成连乘的形式。 2. 求几个数的最大公因数的方法是：先用这几个数的公因数连续去 除，一直除到所得的商只有公因数 1 为止，然后把所有的除数连乘 求积，这个积就是这几个数的的最大公因数 。 3. 求几个数的最小公倍数的方法是：先用这几个数（或其中的部分 数）的公因数去除，一直除到互质（或两两互质）为止，然后把所 有的除数和商连乘求积，这个积就是这几个数的最小公倍数。 4. 成为互质关系的两个数： 1 和任何自然数互质 ； 相邻的两个自 然数互质； 当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质； 两个合数的公约数只有 1 时，这两个合数互质。 （五） 约分和通分 约分的方法：用分子和分母的公约数（ 1 除外）去除分子、分母；通 常要除到得出最简分数为止。 通分的方法：先求出原的几个分数分母的最小公倍数，然后把各分 数化成用这个最小公倍数作分母的分数。 三 性质和规律 （一）商不变的规律 商不变的规律：在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相 同的倍，商不变。 （二）小数的性质 小数的性质：在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。 （三）小数点位置的移动引起小数大小的变化 1. 小数点向右移动一位，原的数就扩大 10 倍；小数点向右移动两 位， 原的数就扩大 100 倍； 小数点向右移动三位， 原的数就扩大 1000 倍⋯⋯ 2. 小数点向左移动一位，原的数就缩小 10 倍；小数点向左移动两 位， 原的数就缩小 100 倍； 小数点向左移动三位， 原的数就缩小 1000 倍⋯⋯ 3. 小数点向左移或者向右移位数不够时，要用“ 0" 补足位。 （四）分数的基本性质 分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（零 除外），分数的大小不变。 （五）分数与除法的关系 1. 被除数÷除数 = 被除数 / 除数 2. 因为零不能作除数，所以分数的分母不能为零。 3. 被除数 相当于分子，除数相当于分母。 四 运算的意义 （一）整数四则运算 1 整数加法： 把两个数合并成一个数的运算叫做加法。 在加法里，相加的数叫做加数，加得的数叫做和。加数是部分数， 和是总数。 加数 +加数=和 一个加数 =和－另一个加数 2 整数减法： 已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减 法。 在减法里，已知的和叫做被减数，已知的加数叫做减数，未知的加 数叫做差。被减数是总数，减数和差分别是部分数。 加法和减法互为逆运算。 3 整数乘法： 求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。 在乘法里，相同的加数和相同加数的个数都叫做因数。相同加数的 和叫做积。 在乘法里， 0 和任何数相乘都得 0. 1 和任何数相乘都的任何数。 一个因数× 一个因数 = 积 一个因数 =积÷另一个因数 4 整数除法： 已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做除法。 在除法里，已知的积叫做被除数，已知的一个因数叫做除数，所求 的因数叫做商。 乘法和除法互为逆运算。 在除法里， 0 不能做除数。因为 0 和任何数相乘都得 0，所以任何一 个数除以 0，均得不到一个确定的商。 被除数÷除数 =商 除数=被除数÷商 被除数 =商×除数 （二）小数四则运算 1. 小数加法： 小数加法的意义与整数加法的意义相同。是把两个数合并成一个数 的运算。 2. 小数减法： 小数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中 的一个加数，求另一个加数的运算 . 3. 小数乘法： 小数乘整数的意义和整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和 的简便运算；一个数乘纯小数的意义是求这个数的十分之几、百分 之几、千分之几⋯⋯是多少。 4. 小数除法： 小数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与 其中一个因数，求另一个因数的运算。 5. 乘方 求几个相同因数的积的运算叫做乘方。例如 3 × 3 =32 （三）分数四则运算 1. 分数加法： 分数加法的意义与整数加法的意义相同。 是把两个数合并成一个数 的运算。 2. 分数减法： 分数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中 的一个加数，求另一个加数的运算。 3. 分数乘法： 分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的 简便运算。 4. 乘积是 1 的两个数叫做互为倒数。 5. 分数除法： 分数除法的意义与整数除法的意义相同。就是已知两个因数的积与 其中一个因数，求另一个因数的运算。 （四）运算定律 1. 加法交换律： 两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，即 a+b=b+a 。 2. 加法结合律： 三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两 个数相加， 再和第一个数相加它们的和不变， 即（a+b)+c=a+(b+c) 。 3. 乘法交换律： 两个数相乘，交换因数的位置它们的积不变，即 a×b=b×a。 4. 乘法结合律： 三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数；或者先把后两 个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变，即 (a ×b) ×c=a×(b ×c) 。 5. 乘法分配律： 两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把 两个积相加，即 (a+b) ×c=a×c+b×c 。 6. 减法的性质： 从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数的和， 差不变，即 a-b-c=a-(b+c) 。 （五）运算法则 1. 整数加法计算法则： 相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位 进一。 2. 整数减法计算法则： 相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数不够减，就从它的前一 位退一作十，和本位上的数合并在一起，再减。 3. 整数乘法计算法则： 先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数， 用因数哪一位上的数去乘，乘得的数的末尾就对齐哪一位，然后把 各次乘得的数加起。 4. 整数除法计算法则： 先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位； 如 果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的 上面。如果哪一位上不够商 1，要补“ 0”占位。每次除得的余数要 小于除数。 5. 小数乘法法则： 先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就 从积的右边起数出几位，点上小数点；如果位数不够，就用“ 0”补 足。 6. 除数是整数的小数除法计算法则： 先按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐； 如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“ 0”，再继续除。 7. 除数是小数的除法计算法则： 先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点也向右移动几 位 （位数不够的补 “0”），然后按照除数是整数的除法法则进行计算。 8. 同分母分数加减法计算方法 同分母分数相加减，只把分子相加减，分母不变。 9. 异分母分数加减法计算方法 先通分，然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。 10. 带分数加减法的计算方法 整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的数合并起。 11. 分数乘法的计算法则 分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分 数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。 12. 分数除法的计算法则 甲数除以乙数（ 0 除外），等于甲数乘乙数的倒数。 （六） 运算顺序 1. 小数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。 2. 分数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。 3. 没有括号的混合运算 同级运算从左往右依次运算； 两级运算 先算乘、 除法， 后算加减法。 4. 有括号的混合运算 先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。 5. 第一级运算： 加法和减法叫做第一级运算。 6. 第二级运算： 乘法和除法叫做第二级运算。 五 应用 （一）整数和小数的应用 1 简单应用题 （1） 简单应用题：只含有一种基本数量关系，或用一步运算解答 的应用题，通常叫做简单应用题。 （2） 解题步骤： a 审题理解题意：了解应用题的内容，知道应用题的条件和问题。 读题时，不丢字不添字边读边思考，弄明白题中每句话的意思。也 可以复述条件和问题，帮助理解题意。 b 选择算法和列式计算： 这是解答应用题的中心工作。 从题目中告诉 什么，要求什么着手，逐步根据所给的条件和问题，联系四则运算 的含义，分析数量关系，确定算法，进行解答并标明正确的单位名 称。 C检验： 就是根据应用题的条件和问题进行检查看所列算式和计算过 程是否正确，是否符合题意。如果发现错误，马上改正。 2 复合应用题 （1）有两个或两个以上的基本数量关系组成的，用两步或两步以上 运算解答的应用题，通常叫做复合应用题。 （2）含有三个已知条件的两步计算的应用题。 求比两个数的和多（少）几个数的应用题。 比较两数差与倍数关系的应用题。 （3）含有两个已知条件的两步计算的应用题。 已知两数相差多少 （或倍数关系） 与其中一个数， 求两个数的和 （或 差）。 已知两数之和与其中一个数，求两个数相差多少（或倍数关系） 。 （4）解答连乘连除应用题。 （5）解答三步计算的应用题。 （6）解答小数计算的应用题：小数计算的加法、减法、乘法和除法 的应用题，他们的数量关系、结构、和解题方式都与正式应用题基 本相同，只是在已知数或未知数中间含有小数。 d 答案：根据计算的结果，先口答，逐步过渡到笔答。 ( 3 ) 解答加法应用题： a 求总数的应用题：已知甲数是多少，乙数是多少，求甲乙两数的和 是多少。 b 求比一个数多几的数应用题：已知甲数是多少和乙数比甲数多多 少，求乙数是多少。 (4 ) 解答减法应用题： a 求剩余的应用题：从已知数中去掉一部分，求剩下的部分。 -b 求两个数相差的多少的应用题：已知甲乙两数各是多少，求甲 数比乙数多多少，或乙数比甲数少多少。 c 求比一个数少几的数的应用题：已知甲数是多少， ，乙数比甲数少 多少，求乙数是多少。 (5 ) 解答乘法应用题： a 求相同加数和的应用题： 已知相同的加数和相同加数的个数， 求总 数。 b 求一个数的几倍是多少的应用题： 已知一个数是多少， 另一个数是 它的几倍，求另一个数是多少。 ( 6) 解答除法应用题： a 把一个数平均分成几份， 求每一份是多少的应用题： 已知一个数和 把这个数平均分成几份的，求每一份是多少。 b 求一个数里包含几个另一个数的应用题：已知一个数和每份是多 少，求可以分成几份。 C 求一个数是另一个数的的几倍的应用题：已知甲数乙数各是多少， 求较大数是较小数的几倍。 d 已知一个数的几倍是多少，求这个数的应用题。 （7）常见的数量关系： 总价 = 单价×数量 路程 = 速度×时间 工作总量 =工作时间×工效 总产量 =单产量×数量 3 典型应用题 具有独特的结构特征的和特定的解题规律的复合应用题，通常叫做 典型应用题。 （1）平均数问题：平均数是等分除法的发展。 解题关键：在于确定总数量和与之相对应的总份数。 算术平均数：已知几个不相等的同类量和与之相对应的份数，求平 均每份是多少。数量关系式：数量之和÷数量的个数 =算术平均数。 加权平均数：已知两个以上若干份的平均数，求总平均数是多少。 数量关系式 （部分平均数×权数）的总和÷（权数的和） =加权平 均数。 差额平均数：是把各个大于或小于标准数的部分之和被总份数均 分，求的是标准数与各数相差之和的平均数。 数量关系式： （大数－小数）÷ 2=小数应得数 最大数与各数之差 的和÷总份数 =最大数应给数 最大数与个数之差的和÷总份 数=最小数应得数。 例：一辆汽车以每小时 100 千米 的速度从甲地开往乙地，又以每 小时 60 千米的速度从乙地开往甲地。求这辆车的平均速度。 分析：求汽车的平均速度同样可以利用公式。此题可以把甲地到乙 地的路程设为“ 1 ”，则汽车行驶的总路程为“ 2 ”，从甲地到乙 地的速度为 100 ，所用的时间为 ，汽车从乙地到甲地速度为 60 千米 ，所用的时间是 ，汽车共行的时间为 + = , 汽车的平均 速度为 2 ÷ =75 （千米） （2） 归一问题：已知相互关联的两个量，其中一种量改变，另一 种量也随之而改变，其变化的规律是相同的，这种问题称之为归一 问题。 根据求“单一量”的步骤的多少，归一问题可以分为一次归一问题， 两次归一问题。 根据球痴单一量之后，解题采用乘法还是除法，归一问题可以分为 正归一问题，反归一问题。 一次归一问题，用一步运算就能求出“单一量”的归一问题。又称 “单归一。 ” 两次归一问题，用两步运算就能求出“单一量”的归一问题。又称 “双归一。 ” 正归一问题：用等分除法求出“单一量”之后，再用乘法计算结果 的归一问题。 反归一问题：用等分除法求出“单一量”之后，再用除法计算结果 的归一问题。 解题关键：从已知的一组对应量中用等分除法求出一份的数量（单 一量），然后以它为标准，根据题目的要求算出结果。 数量关系式：单一量×份数 =总数量（正归一） 总数量÷单一量 =份数（反归一） 例 一个织布工人，在七月份织布 4774 米 ， 照这样计算，织布 6930 米 ，需要多少天？ 分析： 必须先求出平均每天织布多少米， 就是单一量。 693 0 ÷（ 477 4 ÷ 31 ） =45 （天） （3）归总问题：是已知单位数量和计量单位数量的个数，以及不同 的单位数量（或单位数量的个数） ，通过求总数量求得单位数量的个 数（或单位数量） 。 特点：两种相关联的量，其中一种量变化，另一种量也跟着变化， 不过变化的规律相反，和反比例算法彼此相通。 数量关系式：单位数量×单位个数÷另一个单位数量 = 另一个单位 数量 单位数量×单位个数÷另一个单位数量 = 另一个单位 数量。 例 修一条水渠，原计划每天修 800 米 ， 6 天修完。实际 4 天修 完，每天修了多少米？ 分析：因为要求出每天修的长度，就必须先求出水渠的长度。所以 也把这类应用题叫做“归总问题” 。不同之处是“归一”先求出单一 量，再求总量， 归总问题是先求出总量， 再求单一量。 80 0 × 6 ÷ 4=1200 （米） （4） 和差问题：已知大小两个数的和，以及他们的差，求这两个 数各是多少的应用题叫做和差问题。 解题关键：是把大小两个数的和转化成两个大数的和（或两个小数 的和） ，然后再求另一个数。 解题规律：（和＋差）÷ 2 = 大数 大数－差 =小数 （和－差）÷ 2=小数 和－小数 = 大数 例 某加工厂甲班和乙班共有工人 94 人，因工作需要临时从乙班调 46 人到甲班工作，这时乙班比甲班人数少 12 人，求原甲班和乙班 各有多少人？ 分析：从乙班调 46 人到甲班，对于总数没有变化，现在把乙数转 化成 2 个乙班，即 9 4 － 12 ，由此得到现在的乙班是（ 9 4 － 12 ）÷ 2=41 （人），乙班在调出 46 人之前应该为 41+46=87 （人）， 甲班为 9 4 － 87=7 （人） （5）和倍问题：已知两个数的和及它们之间的倍数 关系，求两个 数各是多少的应用题，叫做和倍问题。 解题关键：找准标准数（即 1 倍数）一般说，题中说是“谁”的几 倍，把谁就确定为标准数。求出倍数和之后，再求出标准的数量是 多少。根据另一个数（也可能是几个数）与标准数的倍数关系，再 去求另一个数（或几个数）的数量。 解题规律：和÷倍数和 =标准数 标准数×倍数 =另一个数 例汽车运输场有大小货车 115 辆，大货车比小货车的 5 倍多 7 辆，运输场有大货车和小汽车各有多少辆？ 分析： 大货车比小货车的 5 倍还多 7 辆， 这 7 辆也在总数 115 辆 内，为了使总数与（ 5+1 ）倍对应，总车辆数应（ 115-7 ）辆 。 列式为（ 115-7 ）÷（ 5+1 ） =18 （辆） ， 18 × 5+7=97 （辆） （6）差倍问题：已知两个数的差，及两个数的倍数关系，求两个数 各是多少的应用题。 解题规律：两个数的差÷（倍数－ 1 ）= 标准数 标准数×倍数 =另 一个数。 例 甲乙两根绳子，甲绳长 63 米 ，乙绳长 29 米 ，两根绳剪去同 样的长度，结果甲所剩的长度是乙绳 长的 3 倍，甲乙两绳所剩长 度各多少米？ 各减去多少米？ 分析：两根绳子剪去相同的一段，长度差没变，甲绳所剩的长度是 乙绳的 3 倍，实比乙绳多（ 3-1 ）倍，以乙绳的长度为标准数。 列式 （ 63-29 ）÷（ 3-1 ） =17 （米）⋯乙绳剩下的长度， 17 × 3=51 （米）⋯甲绳剩下的长度， 29-17=12 （米）⋯剪去的长度。 （7）行程问题：关于走路、行车等问题，一般都是计算路程、时间、 速度，叫做行程问题。解答这类问题首先要搞清楚速度、时间、路 程、方向、杜速度和、速度差等概念，了解他们之间的关系，再根 据这类问题的规律解答。 解题关键及规律： 同时同地相背而行：路程 =速度和×时间。 同时相向而行：相遇时间 =速度和×时间 同时同向而行（速度慢的在前，快的在后） ：追及时间 =路程速度差。 同时同地同向而行（速度慢的在后，快的在前） ：路程 =速度差×时 间。 例 甲在乙的后面 28 千米 ，两人同时同向而行， 甲每小时行 16 千 米 ，乙每小时行 9 千米 ，甲几小时追上乙？ 分析：甲每小时比乙多行（ 16-9 ）千米，也就是甲每小时可以追 近乙（ 16-9 ）千米，这是速度差。 已知甲在乙的后面 28 千米 （追击路程）， 28 千米 里包含着几个 （ 16-9 ）千米， 也就是追击所需要的时间。 列式 2 8 ÷ （ 16-9 ） =4 （小时） （8）流水问题：一般是研究船在“流水”中航行的问题。它是行程 问题中比较特殊的一种类型，它也是一种和差问题。它的特点主要 是考虑水速在逆行和顺行中的不同作用。 船速：船在静水中航行的速度。 水速：水流动的速度。 顺水速度：船顺流航行的速度。 逆水速度：船逆流航行的速度。 顺速 =船速＋水速 逆速 =船速－水速 解题关键：因为顺流速度是船速与水速的和，逆流速度是船速与水 速的差， 所以流水问题当作和差问题解答。 解题时要以水流为线索。 解题规律：船行速度 =（顺水速度 + 逆流速度）÷ 2 流水速度 =（顺流速度逆流速度）÷ 2 路程 =顺流速度× 顺流航行所需时间 路程 =逆流速度×逆流航行所需时间 例 一只轮船从甲地开往乙地顺水而行，每小时行 28 千米 ，到乙 地后，又逆水 航行，回到甲地。逆水比顺水多行 2 小时，已知水 速每小时 4 千米。求甲乙两地相距多少千米？ 分析：此题必须先知道顺水的速度和顺水所需要的时间，或者逆水 速度和逆水的时间。已知顺水速度和水流 速度，因此不难算出逆水 的速度，但顺水所用的时间，逆水所用的时间不知道，只知道顺水 比逆水少用 2 小时，抓住这一点，就可以就能算出顺水从甲地到乙 地的所用的时间，这样就能算出甲乙两地的路程。列式为 284 × 2=20 （千米） 2 0 × 2 =40 （千米） 40 ÷（ 4 × 2 ） =5 （小 时） 28 × 5=140 （千米） 。 （9） 还原问题：已知某未知数，经过一定的四则运算后所得的结 果，求这个未知数的应用题，我们叫做还原问题。 解题关键：要弄清每一步变化与未知数的关系。 解题规律：从最后结果 出发，采用与原题中相反的运算（逆运算） 方法，逐步推导出原数。 根据原题的运算顺序列出数量关系，然后采用逆运算的方法计算推 导出原数。 解答还原问题时注意观察运算的顺序。若需要先算加减法，后算乘 除法时别忘记写括号。 例 某小学三年级四个班共有学生 168 人，如果四班调 3 人到三 班，三班调 6 人到二班， 二班调 6 人到一班， 一班调 2 人到四班， 则四个班的人数相等，四个班原有学生多少人？ 分析：当四个班人数相等时，应为 168 ÷ 4 ，以四班为例，它调 给三班 3 人，又从一班调入 2 人，所以四班原有的人数减去 3 再 加上 2 等于平均数。四班原有人数列式为 168 ÷ 4-2+3=43 （人） 一班原有人数列式为 168 ÷ 4-6+2=38 （人）；二班原有人数列式 为 168 ÷ 4-6+6=42 （人） 三班原有人数列式为 168 ÷ 4-3+6=45 （人）。 （10）植树问题：这类应用题是以“植树”为内容。凡是研究总路 程、株距、段数、棵树四种数量关系的应用题，叫做植树问题。 解题关键：解答植树问题首先要判断地形，分清是否封闭图形，从 而确定是沿线段植树还是沿周长植树，然后按基本公式进行计算。 解题规律：沿线段植树 棵树 =段数+1 棵树=总路程÷株距 +1 株距 =总路程÷（棵树 -1 ） 总路程 =株距×（棵树 -1 ） 沿周长植树 棵树 =总路程÷株距 株距 =总路程÷棵树 总路程 =株距×棵树 例 沿公路一旁埋电线杆 301 根，每相邻的两根的间距是 50 米 。 后全部改装，只埋了 201 根。求改装后每相邻两根的间距。 分析： 本题是沿线段埋电线杆， 要把电线杆的根数减掉一。 列式为 50 ×（ 301-1 ）÷（ 201-1 ） =75 （米） （11 ）盈亏问题：是在等分除法的基础上发展起的。 他的特点是 把一定数量的物品，平均分配给一定数量的人，在两次分配中，一 次有余，一次不足（或两次都有余） ，或两次都不足） ，已知所余和 不足的数量，求物品适量和参加分配人数的问题，叫做盈亏问题。 解题关键：盈亏问题的解法要点是先求两次分配中分配者没份所得 物品数量的差，再求两次分配中各次共分物品的差（也称总差额） ， 用前一个差去除后一个差，就得到分配者的数，进而再求得物品数。 解题规律：总差额÷每人差额 =人数 总差额的求法可以分为以下四种情况： 第一次多余，第二次不足，总差额 =多余 + 不足 第一次正好，第二次多余或不足 ，总差额 =多余或不足 第一次多余，第二次也多余，总差额 =大多余 - 小多余 第一次不足，第二次也不足， 总差额 = 大不足 - 小不足 例 参加美术小组的同学，每个人分的相同的支数的色笔，如果小组 10 人，则多 25 支，如果小组有 12 人，色笔多余 5 支。求每人 分 得几支？共有多少支色铅笔？ 分析： 每个同学分到的色笔相等。 这个活动小组有 12 人，比 10 人 多 2 人，而色笔多出了（ 25-5 ） =20 支 ， 2 个人多出 20 支， 一个人分得 10 支。列式为 （ 25-5 ）÷（ 12-10 ） =10 （支） 10 × 12+5=125 （支）。 （12）年龄问题：将差为一定值的两个数作为题中的一个条件，这 种应用题被称为“年龄问题” 。 解题关键：年龄问题与和差、和倍、 差倍问题类似，主要特点是随 着时间的变化，年岁不断增长，但大小两个不同年龄的差是不会改 变的，因此，年龄问题是一种“差不变”的问题，解题时，要善于 利用差不变的特点。 例 父亲 48 岁， 儿子 21 岁。 问几年前父亲的年龄是儿子的 4 倍？ 分析：父子的年龄差为 48-21=27 （岁）。由于几年前父亲年龄是儿 子的 4 倍，可知父子年龄的倍数差是（ 4-1 ）倍。这样可以算出 几年前父子的年龄，从而可以求出几年前父亲的年龄是儿子的 4 倍。列式为： 21 （ 48-21 ）÷（ 4-1 ） =12 （年） （13）鸡兔问题： 已知 “鸡兔” 的总头数和总腿数。 求 “鸡” 和 “兔” 各多少只的一类应用题。通常称为“鸡兔问题”又称鸡兔同笼问题 解题关键：解答鸡兔问题一般采用假设法，假设全是一种动物（如 全是“鸡”或全是“兔” ，然后根据出现的腿数差，可推算出某一种 的头数。 解题规律：（总腿数－鸡腿数×总头数）÷一只鸡兔腿数的差 =兔子 只数 兔子只数 =（总腿数 -2 ×总头数）÷ 2 如果假设全是兔子，可以有下面的式子： 鸡的只数 =（4×总头数 - 总腿数）÷ 2 兔的头数 =总头数 - 鸡的只数 例 鸡兔同笼共 50 个头， 170 条腿。问鸡兔各有多少只？ 兔子只数 （ 170-2 × 50 ）÷ 2 =35 （只） 鸡的只数 50-35=15 （只） - （二）分数和百分数的应用 1 分数加减法应用题： 分数加减法的应用题与整数加减法的应用题的结构、数量关系和解 题方法基本相同，所不同的只是在已知数或未知数中含有分数。 2 分数乘法应用题： 是指已知一个数，求它的几分之几是多少的应用题。 特征：已知单位“ 1”的量和分率，求与分率所对应的实际数量。 解题关键：准确判断单位“ 1”的量。找准要求问题所对应的分率， 然后根据一个数乘分数的意义正确列式。 3 分数除法应用题： 求一个数是另一个数的几分之几（或百分之几）是多少。 特征：已知一个数和另一个数，求一个数是另一个数的几分之几或 百分之几。“一个数”是比较量， “另一个数”是标准量。求分率或 百分率，也就是求他们的倍数关系。 解题关键：从问题入手，搞清把谁看作标准的数也就是把谁看作了 “单位一” ，谁和单位一的量作比较，谁就作被除数。 甲是乙的几分之几（百分之几）甲是比较量，乙是标准量，用甲除 以乙。 甲比乙多（或少）几分之几（百分之几） ：甲减乙比乙多（或少几分 之几）或（百分之几） 。关系式（甲数减乙数） / 乙数或（甲数减乙 数） / 甲数 。 已知一个数的几分之几（或百分之几 ) , 求这个数。 特征：已知一个实际数量和它相对应的分率，求单位“ 1”的量。 解题关键：准确判断单位“ 1”的量把单位“ 1”的量看成 x 根据分 数乘法的意义列方程，或者根据分数除法的意义列算式，但必须找 准和分率相对应的已知实际 数量。 4 出勤率 发芽率 =发芽种子数 / 试验种子数× 100% 小麦的出粉率 = 面粉的重量 / 小麦的重量× 100% 产品的合格率 =合格的产品数 / 产品总数× 100% 职工的出勤率 =实际出勤人数 / 应出勤人数× 100% 5 工程问题： 是分数应用题的特例，它与整数的工作问题有着密切的联系。它是 探讨工作总量、工作效率和工作时间三个数量之间相互关系的一种 应用题。 解题关键：把工作总量看作单位“ 1”，工作效率就是工作时间的倒 数，然后根据题目的具体情况，灵活运用公式。 数量关系式： 工作总量 =工作效率×工作时间 工作效率 =工作总量÷工作时间 工作时间 =工作总量÷工作效率 工作总量÷工作效率和 =合作时间 6 纳税 纳税就是把根据国家各种税法的有关规定，按照一定的比率把集体 或个人收入的一部分缴纳给国家。 缴纳的税款叫应纳税款。 应纳税额与各种收入的（销售额、营业额、应纳税所得额 ⋯⋯）的 比率叫做税率。 * 利息 存入银行的钱叫做本金。 取款时银行多支付的钱叫做利息。 利息与本金的比值叫做利率。 利息 =本金×利率×时间 税后利息＝本金×利率×时间× 95％ -- 第二章 度量衡 一 长度 ( 一) 什么是长度 长度是一维空间的度量。 ( 二) 长度常用单位 * 公里 (km) * 米(m) * 分米 (dm) * 厘米 (cm) * 毫米 (mm) * 微米 (um) ( 三 ) 单位之间的换算 * 1 毫米 ＝1000微米 * 1 厘米 ＝10 毫米 * 1 分米 ＝10 厘米 * 1 米 ＝1000 毫米 * 1 千米 ＝1000 米 二 面积 （一）什么是面积 面积，就是物体所占平面的大小。对立体物体的表面的多少的测量 一般称表面积。 （二）常用的面积单位 * 平方毫米 * 平方厘米 * 平方分米 * 平方米 * 平方千米 （三）面积单位的换算 * 1 平方厘米 ＝100 平方毫米 * 1 平方分米 =100 平方厘米 * 1 平方米 ＝100 平方分米 * 1 公倾 ＝10000 平方米 * 1 平方公里 ＝100 公顷 三 体积和容积 （一）什么是体积、容积 体积，就是物体所占空间的大小。 容积，箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的 容积。 （二）常用单位 1 体积单位 * 立方米 * 立方分米 * 立方厘米 2 容积单位 * 升 * 毫升 （三）单位换算 1 体积单位 * 1 立方米 =1000立方分米 * 1 立方分米 =1000 立方厘米 2 容积单位 * 1 升=1000毫升 * 1 升=1 立方米 * 1 毫升 =1 立方厘米 四 质量 （一）什么是质量 质量，就是表示表示物体有多重。 （二）常用单位 * 吨 t * 千克 kg * 克 g （三）常用换算 * 一吨=1000千克 * 1 千克 =1000克 五 时间 （一）什么是时间 是指有起点和终点的一段时间 （二）常用单位 世纪、 年 、 月 、 日 、 时 、 分、 秒 （三）单位换算 * 1 世纪 =100 年 * 1 年=365天 平年 * 一年=366 天 闰年 * 一、三、五、七、八、十、十二是大月 大月有 31 天 * 四、六、九、十一是小月小月 小月有 30 天 * 平年 2 月有 28 天 闰年 2 月有 29 天 * 1 天 = 24 小时 * 1 小时 =60 分 * 一分=60 秒 六 货币 （一）什么是货币 货币是充当一切商品的等价物的特殊商品。货币是价值的一般代表， 可以购买任何别的商品。 （二）常用单位 * 元 * 角 * 分 （三）单位换算 * 1 元 =10 角 * 1 角=10 分 - 第三章 代数初步知识 一、用字母表示数 1 用字母表示数的意义和作用 * 用字母表示数，可以把数量关系简明的表达出，同时也可以表示 运算的结果。 2 用字母表示常见的数量关系、 运算定律和性质、 几何形体的计算公 式 （1）常见的数量关系 路程用 s 表示，速度 v 用表示，时间用 t 表示，三者之间的关系： s=vt v=s÷t t=s ÷v 总价用 a 表示，单价用 b 表示，数量用 c 表示，三者之间的关系 a=bc b=a÷c c=a÷b （2）运算定律和性质 加法交换律： a+b=b+a 加法结合律： （a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律： ab=ba 乘法结合律： （ab)c=a(bc) 乘法分配律： （a+b)c=ac+bc 减法的性质： a-(b+c) =a-b-c （3）用字母表示几何形体的公式 长方形的长用 a 表示，宽用 b 表示，周长用 c 表示，面积用 s 表示。 c=2(a+b) s=ab 正方形的边长 a 用表示，周长用 c 表示，面积用 s 表示。 c=4a s=a2 平行四边形的底 a 用表示，高用 h 表示，面积用 s 表示。 s=ah 三角形的底用 a 表示，高用 h 表示，面积用 s 表示。 s=ah÷2 梯形的上底用 a 表示，下底 b 用表示，高用 h 表示，中位线用 m表 示，面积用 s 表示。 s=(a+b)h ÷2 s=mh 圆的半径用 r 表示，直径用 d 表示，周长用 c 表示，面积用 s 表示。 c=πd=2πr s=πr 2 扇形的半径用 r 表示， n 表示圆心角的度数，面积用 s 表示。 s=πnr 2 ÷360 长方体的长用 a 表示，宽用 b 表示，高用 h 表示，表面积用 s 表示， 体积用 v 表示。 v=sh s=2(ab+ah+bh) v=abh 正方体的棱长用 a 表示，底面周长 c 用表示，底面积用 s 表示， 体 积用 v 表示 . s=6a2 v=a3 圆柱的高用 h 表示，底面周长用 c 表示，底面积用 s 表示， 体积用 v 表示 . s 侧 =ch s 表 =s 侧 +2s 底 v=sh 圆锥的高用 h 表示，底面积用 s 表示， 体积用 v 表示 . v= 1 3 sh 3 用字母表示数的写法 数字和字母、字母和字母相乘时，乘号可以记作“ . ”，或者省略不 写，数字要写在字母的前面。 当“ 1”与任何字母相乘时， “1”省略不写。 在一个问题中，同一个字母表示同一个量，不同的量用不同的字母 表示。 用含有字母的式子表示问题的答案时，除数一般写成分母，如果式 子中有加号或者减号，要先用括号把含字母的式子括起，再在括号 后面写上单位的名称。 4 将数值代入式子求值 * 把具体的数代入式子求值时，要注意书写格式：先写出字母等于 几，然后写出原式，再把数代入式子求值。字母表示的是数，后面 不写单位名称。 * 同一个式子，式子中所含字母取不同的数值，那么所求出的式子 的值也不相同。 二、简易方程 （一）方程和方程的解 1 方程：含有未知数的等式叫做方程。 注意方程是等式，又含有未知数，两者缺一不可。 方程和算术式不同。算术式是一个式子，它由运算符号和已知数组 成，它表示未知数。方程是一个等式，在方程里的未知数可以参加 运算，并且只有当未知数为特定的数值时 ，方程才成立 。 2 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 三、解方程 解方程，求方程的解的过程叫做解方程。 四、列方程解应用题 1 列方程解应用题的意义 * 用方程式去解答应用题求得应用题的未知量的方法。 2 列方程解答应用题的步骤 * 弄清题意，确定未知数并用 x 表示； * 找出题中的数量之间的相等关系； * 列方程，解方程； * 检查或验算，写出答案。 3 列方程解应用题的方法 * 综合法：先把应用题中已知数（量）和所设未知数（量）列成有 关的代数式，再找出它们之间的等量关系，进而列出方程。这是从 部分到整体的一种 思维过程，其思考方向是从已知到未知。 * 分析法：先找出等量关系，再根据具体建立等量关系的需要，把 应用题中已知数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式进 而列出方程。这是从整体到部分的一种思维过程，其思考方向是从 未知到已知。 4 列方程解应用题的范围 小学范围内常用方程解的应用题： a 一般应用题； b 和倍、差倍问题； c 几何形体的周长、面积、体积计算； d 分数、百分数应用题； e 比和比例应用题。 五 比和比例 1 比的意义和性质 （1） 比的意义 两个数相除又叫做两个数的比。 “：”是比号，读作“比” 。比号前面的数叫做比的前项，比号后面 的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。 同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当 于商。 比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。 比的后项不能是零。 根据分数与除法的关系，可知比的前项相当于分子，后项相当于分 母，比值相当于分数值。 （2）比的性质 比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数（ 0 除外），比值不变， 这叫做比的基本性质。 （3） 求比值和化简比 求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是 整数，也可以是小数或分数。 根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果必须是 一个最简比，即前、后项是互质的数。 （4）比例尺 图上距离：实际距离 =比例尺 要求会求比例尺；已知图上距离和比例尺求实际距离；已知实际距 离和比例尺求图上距离。 线段比例尺：在图上附有一条注有数目的线段，用表示和地面上相 对应的实际距离。 （5）按比例分配 在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比进行 分配。这种分配的方法通常叫做按比例分配。 方法：首先求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之 几是多少。 2 比例的意义和性质 （1） 比例的意义 表示两个比相等的式子叫做比例。 组成比例的四个数，叫做比例的项。 两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。 （2）比例的性质 在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积。这叫做比例的基 本性质。 （3）解比例 根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这 个数比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项，叫做解比例。 3 正比例和反比例 （1） 成正比例的量 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种 量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成 正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。 用字母表示 y/x=k( 一定） （2）成反比例的量 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种 量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他 们的关系叫做反比例关系。 用字母表示 x×y=k( 一定 ) 第四章 几何的初步知识 一 线和角 （1）线 * 直线 直线没有端点；长度无限；过一点可以画无数条，过两点只能画一 条直线。 * 射线 射线只有一个端点；长度无限。 * 线段 线段有两个端点，它是直线的一部分；长度有限；两点的连线中， 线段为最短。 * 平行线 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 两条平行线之间的垂线长度都相等。 * 垂线 两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直，其中一条直线 叫做另一条直线的垂线 , 相交的点叫做垂足。 从直线外一点到这条直线所画的垂线的长叫做这点到直线的距离。 （2）角 （1）从一点引出两条射线，所组成的图形叫做角。这个点叫做角的 顶点，这两条射线叫做角的边。 （2）角的分类 锐角：小于 90°的角叫做锐角。 直角：等于 90°的角叫做直角。 钝角：大于 90°而小于 180°的角叫做钝角。 平角： 角的两边成一条直线， 这时所组成的角叫做平角。 平角 180°。 周角：角的一边旋转一周，与另一边重合。周角是 360°。 二 平面图形 1 长方形 （1）特征 对边相等， 4 个角都是直角的四边形。有两条对称轴。 （2）计算公式 c=2(a+b) s=ab 2 正方形 （1）特征： 四条边都相等，四个角都是直角的四边形。有 4 条对称轴。 （2）计算公式 c=4a s=a2 3 三角形 （1）特征 由三条线段围成的图形。内角和是 180 度。三角形具有稳定性。三 角形有三条高。 （2）计算公式 s=ah÷2 （3） 分类 按角分 锐角三角形 ：三个角都是锐角。 直角三角形 ：有一个角是直角。等腰三角形的两个锐角各为 45 度， 它有一条对称轴。 钝角三角形：有一个角是钝角。 按边分 不等边三角形：三条边长度不相等。 等腰三角形：有两条边长度相等；两个底角相等；有一条对称轴。 等边三角形：三条边长度都相等；三个内角都是 60 度；有三条对称 轴。 4 平行四边形 （1） 特征 两组对边分别平行的四边形。 相对的边平行且相等。对角相等，相邻的两个角的度数之和为 180 度。平行四边形容易变形。 （2） 计算公式 s=ah 5 梯形 （1）特征 只有一组对边平行的四边形。 中位线等于上下底和的一半。 等腰梯形有一条对称轴。 （2） 公式 s=(a+b)h ÷2=mh 6 圆 （1） 圆的认识 平面上的一种曲线图形。 圆中心的一点叫做圆心。一般用字母 o 表示。 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。一般用 r 表示。 在同一个圆里，有无数条半径，每条半径的长度都相等。 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用 d 表示。 同一个圆里有无数条直径，所有的直径都相等。 同一个圆里，直径等于两个半径的长度，即 d=2r。 圆的大小由半径决定。 圆有无数条对称轴。 （2）圆的画法 把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离（即半径） ； 把有针尖的一只脚固定在一点（即圆心）上； 把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。 （3） 圆的周长 围成圆的曲线的长叫做圆的周长。 把圆的周长和直径的比值叫做圆周率。用字母∏表示。 （4） 圆的面积 圆所占平面的大小叫做圆的面积。 （5）计算公式 d=2r r= 2 d c=πd c=2πr s=πr 2 7 扇形 （1） 扇形的认识 一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。 圆上 AB两点之间的部分叫做弧，读作“弧 AB”。 顶点在圆心的角叫做圆心角。 在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关。 扇形有一条对称轴。 (2) 计算公式 s=nπr 2 ÷360 8 环形 (1) 特征 由两个半径不相等的同心圆相减而成，有无数条对称轴。 (2) 计算公式 s=π(R2 -r 2 ） 9 轴对称图形 (1) 特征 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个 图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。 正方形有 4 条对称轴， 长方形有 2 条对称轴。 等腰三角形有 2 条对称轴，等边三角形有 3 条对称轴。 等腰梯形有一条对称轴，圆有无数条对称轴。 菱形有 4 条对称轴，扇形有一条对称轴。 三 立体图形 （一）长方体 1 特征 六个面都是长方形（有时有两个相对的面是正方形） 。 相对的面面积相等， 12 条棱相对的 4 条棱长度相等。 有 8 个顶点。 相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长、宽、高。 两个面相交的边叫做棱。 三条棱相交的点叫做顶点。 把长方体放在桌面上，最多只能看到三个面。 长方体或者正方体 6 个面的总面积，叫做它的表面积。 2 计算公式 s=2(ab+ah+bh) V=sh V=abh （二）正方体 1 特征 六个面都是正方形 六个面的面积相等 12 条棱，棱长都相等 有 8 个顶点 正方体可以看作特殊的长方体 2 计算公式 S 表 =6a2 v=a3 （三）圆柱 1 圆柱的认识 圆柱的上下两个面叫做底面。 圆柱有一个曲面叫做侧面。 圆柱两个底面之间的距离叫做高 。 进一法：实际中，使用的材料都要比计算的结果多一些 ，因此，要 保留数的时候，省略的位上的是 4 或者比 4 小，都要向前一位进 1。 这种取近似值的方法叫做进一法。 2 计算公式 s 侧 =ch s 表 =s 侧 +s 底× 2 v=sh （四）圆锥 1 圆锥的认识 圆锥的底面是个圆，圆锥的侧面是个曲面。 从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。 测量圆锥的高：先把圆锥的底面放平，用一块平板水平地放在圆锥 的顶点上面，竖直地量出平板和底面之间的距离。 把圆锥的侧面展开得到一个扇形。 2 计算公式 v= 1 3 sh （五）球 1 认识 球的表面是一个曲面，这个曲面叫做球面。 球和圆类似，也有一个球心，用 O表示。 从球心到球面上任意一点的线段叫做球的半径，用 r 表示，每条半 径都相等。 通过球心并且两端都在球面上的线段，叫做球的直径，用 d 表示 , 每 条直径都相等 , 直径的长度等于半径的 2 倍，即 d=2r。 2 计算公式 - d=2r - - 第五章 简单的统计 一 统计表 （一）意义 * 把统计数据填写在一定格式的表格内，用反映情况、说明问题， 这样的表格就叫做统计表。 （二）组成部分 * 一般分为表格外和表格内两部分。表格外部分包括标的名称， 单位说明和制表日期；表格内部包括表头、横标目、纵标目和数据 四个方面。 （三）种类 * 单式统计表：只含有一个项目的统计表。 * 复式统计表：含有两个或两个以上统计项目的统计表。 * 百分数统计表：不仅表明各统计项目的具体数量，而且表明比较 量相当于标准量的百分比的统计表。 （四）制作步骤 1 搜集数据 2 整理数据： 要根据制表的目的和统计的内容，对数据进行分类。 3 设计草表： 要根据统计的目的和内容设计分栏格内容、分栏格画法，规定横栏、 竖栏各需几格，每格长度。 4 正式制表： 把核对过的数据填入表中，并根据制表要求，用简单、明确的语言 写上统计表的名称和制表日期。 二 统计图 （一）意义 * 用点线面积等表示相关的量之间的数量关系的图形叫做统计 图。 （二）分类 1 条形统计图 用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成长短不同的 直条，然后把这些直线按照一定的顺序排列起。 优点：很容易看出各种数量的多少。 注意：画条形统计图时，直条的宽窄必须相同。 取一个单位长度表示数量的多少要根据具体情况而确定； 复式条形统计图中表示不同项目的直条，要用不同的线条或颜色区 别开，并在制图日期下面注明图例。 制作条形统计图的一般步骤 （1）根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线。 （2）在水平射线上， 适当分配条形的位置， 确定直线的宽度和间隔。 （3）在与水平射线垂直的深线上根据数据大小的具体情况，确定单 位长度表示多少。 （4）按照数据的大小画出长短不同的直条，并注明数量。 2 折线统计图 用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后 把各点用线段顺次连接起。 优点：不但可以表示数量的多少，而且能够清楚地表示出数量增减 变化的情况。 注意：折线统计图的横轴表示不同的年份、月份等时间时，不同时 间之间的距离要根据年份或月份的间隔确定。 制作折线统计图的一般步骤 （1）根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线。 （2）在水平射线上， 适当分配折线的位置， 确定直线的宽度和间隔。 （3）在与水平射线垂直的深线上根据数据大小的具体情况，确定单 位长度表示多少。 （4）按照数据的大小描出各点， 再用线段顺次连接起， 并注明数量。 3 扇形统计图 用整个圆的面积表示总数，用扇形面积表示各部分所占总数的百分 数。 优点：很清楚地表示出各部分同总数之间的关系。 制扇形统计图的一般步骤： （1）先算出各部分数量占总量的百分之几。 （2）再算出表示各部分数量的扇形的圆心角度数。 （3）取适当的半径画一个圆，并按照上面算出的圆心角的度数，在 圆里画出各个扇形。 （4）在每个扇形中标明所表示的各部分数量名称和所占的百分数， 并用不同颜色或条纹把各个扇形区别开。 二、 常用的数量关系式 1、每份数×份数＝总数 总数÷每份数＝份数 总数÷份数＝ 每份数 2、1 倍数×倍数＝几倍数 几倍数÷ 1 倍数＝倍数 几倍数÷倍数 ＝1 倍数 3、速度×时间＝路程 路程÷速度＝时间 路程÷时间＝速度 4、单价×数量＝总价 总价÷单价＝数量 总价÷数量＝单价 5、工作效率×工作时间＝工作总量 工作总量÷工作效率＝工 作时间 工作总量÷工作时间＝工作效率 6、加数＋加数＝和 和－一个加数＝另一个加数 7、被减数－减数＝差 被减数－差＝减数 差＋减数＝被减 数 8、因数×因数＝积 积÷一个因数＝另一个因数 9、被除数÷除数＝商 被除数÷商＝除数 商×除数＝被除数 三、小学数学图形计算公式 1、正方形 （C：周长 S ：面积 a ：边长 ） 周长＝边长× 4 C=4a 面积 =边长×边长 S=a ×a 2、正方体 （V体积 a 棱长 ） 表面积 =棱长×棱长× 6 S 表 =a×a×6 体积 =棱长×棱长×棱长 V=a ×a×a 3、长方形（ C：周长 S ：面积 a ：边长 ） 周长 =( 长 +宽 )×2 C=2(a+b) 面积 =长×宽 S=ab 4、长方体 （V体积 s 面积 a 长 b 宽 h 高） (1) 表面积 ( 长×宽 +长×高 +宽×高 ) ×2 S=2(ab+ah+bh) (2) 体积 =长×宽×高 V=abh 5、三角形 （s：面积 a ：底 h ：高） 面积 =底×高÷ 2 s=ah ÷2 三角形高 =面积 ×2÷底 三角形底 =面积 ×2÷高 6、平行四边形 （s：面积 a ：底 h ：高） 面积 =底×高 s=ah 7、梯形 （s：面积 a ：上底 b ：下底 h ：高） 面积 =(上底 +下底 ) ×高÷ 2 s=(a+b) × h ÷2 8、圆形 （S：面积 C ：周长 л d= 直径 r= 半径） (1) 周长 =直径×π =2×π×半径 C= πd=2πr (2) 面积 =半径×半径×π 9、圆柱体 （v 体积 h 高 s ：底面积 r 底面半径 c 底面周 长） (1) 侧面积 =底面周长×高 =ch(2 πr 或π d) (2) 表面积 =侧面积 + 底面积× 2 (3) 体积 =底面积×高 （4）体积＝侧面积÷ 2×半径 10、圆锥体 （v 体积 h 高 s ：底面积 r 底面半径） 体积 =底面积×高÷ 3 11、总数÷总份数＝平均数 12、和差问题的公式 ( 和＋差 ) ÷2＝大数 ( 和－差 ) ÷2＝小数 13、和倍问题 和÷ ( 倍数－ 1) ＝小数 小数×倍数＝大数 ( 或者 和－小 数＝大数 ) 14、差倍问题 差÷ ( 倍数－ 1) ＝小数 小数×倍数＝大数 ( 或 小数＋差＝ 大数) 15、相遇问题 相遇路程＝速度和×相遇时间 相遇时间＝相遇路程÷速度和 速度和＝相遇路程÷相遇时间 16、浓度问题 溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量 溶质的重量÷溶液的重量× 100%＝浓度 溶液的重量×浓度＝溶质的重量 溶质的重量÷浓度＝溶液的重量 17、利润与折扣问题 利润＝售出价－成本 利润率＝利润÷成本× 100%＝( 售出价÷成本－ 1) ×100% 涨跌金额＝本金×涨跌百分比 利息＝本金×利率×时间 税后利息＝本金×利率×时间× 95% 四、常用单位换算 长度单位换算 1 千米 =1000米 1 米=10分米 1 分米=10 厘米 1 米=100 厘米 1 厘 米=10 毫米 面积单位换算 1 平方千米 =100 公顷 1 公顷 =10000 平方米 1 平方米 =100 平方 分米 1 平方分米 =100平方厘米 1 平方厘米 =100平方毫米 体 ( 容 ) 积单位换算 1 立方米 =1000立方分米 1 立方分米 =1000立方厘米 1 立方分 米=1 升 1 立方厘米 =1 毫升 1 立方米 =1000升 重量单位换算 1 吨=1000 千克 1 千克 =1000 克 1 千克 =1公斤 人民币单位换算 1 元 =10 角 1 角=10 分 1 元 =100分 时间单位换算 1 世纪 =100年 1 年=12月 大月(31 天 )有 135781012 月 小 月(30 天 ) 的有 46911 月 平年 2 月 28 天 , 闰年 2 月 29 天 平年全年 365 天 , 闰年全年 366 天 1 日=24 小时 1 时 =60 分 1 分=60 秒 1 时 =3600秒