小学数学好题巧解180题

小学数学好题巧解180题

〖第 1 题〗 计算：125+125+125+125+125+125+125+120 【普通解法】 【巧解 1】 【巧解 2】 〖第 2 题〗 在下面的长方形中，用阴影部分表示二分之一。 【普通解法】 【巧解 1】连接长方形四边的中点。 【巧解 2】按下图把长方形分成任意个三角形。 【巧解 3】在长方形中任取一点，然后把这点与各顶点和各边中点连 接起来。 【巧解 4】通过长方形两条对角线的交点，任意作一条直线，必将长 方形二等分。 〖第 3 题〗 有一个正方形池塘，四个角上各栽一棵树，每边栽 6 棵。池塘四周一 共栽树多少棵？ 【普通解法】 如果以每边 6 棵计算，则四周一共栽树是 6×4=24（棵），但四个角 上的树都重复计算了一次，所以，四周栽树的实际棵树是：6×4－4=20 （棵） 【巧解】 把池塘四周的树，照下图分成四部分， 所以四周栽树的棵树是： （6－1）×4=5×4=20（棵） 答：池塘四周一共栽树 20 棵。 第 4 题〗 下图是一块梯形地平面图（单位：厘米），求它的实际面积。 【普通解法】先求出上底、下底和高的实际长度，再求出实际面积。 【巧解】因为图上距离与实际距离的比是 1∶200，所以，图上面积与 实际面积的比是 1²∶200²=1∶40000。因此，只要求出图上面积，再 扩大 40000 倍，就是实际面积。 答：它的实际面积是 64 平方米。 第 5 题〗 把 1~9 九个数字填入下图，使每边上四个数的和都是 20. 【普通解法】采用逐一实验的方法写出圆圈里的数字，很麻烦。 【巧解】因为每条边上四个数的和都等于 20，所以三条边上的数相加 的和是 60，而 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，相差 15。这个相差的 数 15 是由于三个角上圆圈内的数重复相加了一次而造成的。由此可 知，三个角上圆圈内所填的数相加必须是 15。 15=1+9+5 15=2+8+5 15=3+7+5 15=4+6+5 这样可选择任意一组等于 15 的三个数字为角上圆圈内的数。 〖第 6 题〗 计算：9+99+999+9999 【普通解法】（略） 【巧解】从 9 里拿出三个 1，分别与 99、999、9999 组成整百、整 千、整万，然后再相加。 〖第 7 题〗 【普通解法】化成同分母分数比较。 【巧解】用分子、分母交叉相乘的方法比较。 〖第 8 题〗 一根铁丝正好围成一个边长是 6 厘米的正方形。如果把它改围成一个 宽是 4 厘米的长方形，这个长方形的长是多少厘米？ 【普通解法】 由条件可知，长方形的周长与正方形的周长相等，都是 6×4=24（厘 米）。 用周长减去两个宽，剩下的就是两个长，进而求出长方形的长。 【巧解】 长方形有两条长和两条宽，正方形有四条相等的边长。 所以长方形的一条长和一条宽之和正好等于正方形的两条边长之和。 因此，用正方形的两条边长之和减去长方形的宽，就可以得到长方形 的长。 〖第 9 题〗 一个三角形三内角度数之比是 1:2:3，试问这是什么三角形？ 【普通解法】 先求出三角形三个内角的度数，然后再判断三角形的形状。 这个三角形有一个角是直角，所以这个三角形是直角三角形。 【巧解】 判断一个三角形是锐角三角形、钝角三角形，还是直角三角形，只要 看这个三角形的最大角是锐角，还是直角或钝角。根据条件可知，这 个三角形的最大角正好相当于内角和的 ， 所以是直角，因此，这个三角形必定是直角三角形。 〖第 10 题〗 在下面的（ ）里填数。 1 , 4 , 9， 16 ， （ ） ， 36 ， （ ） 【普通解法】 从后一个数比前一个数增加几的规律看，4 ， 9 ， 16， ……都顺次 比前一个数增加了 3 ，5， 7 ，……，增加的数都是奇数。所以得 【巧解】 从每一项的数是自然数的平方数思考：第一项 1 等于 1 的平方，第二 项 4 等于 2 的平方，第三项 9 等于 3 的平方，……这样推理可得，第 五项是 5 的平方等于 25，第七项是 7 的平方等于 49。 〖第 11 题〗 计算：1969+1979+1989+1999+2009 【普通解法】（略） 【巧解】 仔细观察这些数可知，1969 比 1989 少 20，1979 比 1989 少 10； 而 1999 比 1989 多 10, 2009 比 1989 多 20. 因此 1989 正好是这五 个数的平均数（移多补少），所以这五个数的和是：1989×5=9945. 〖第 12 题〗 【普通解法】 先通分，再比较大小。（略） 【巧解】 用“½”作标准进行比较。 〖第 13 题〗 一个长方形与一个正方形的周长相等。长方形的长是 8 米，宽是 6 米。 求这个正方形的面积。 【普通解法】 ①长方形的周长：（8+6）×2=28（米） ②正方形的边长：28÷4=7（米） ③正方形的面积：7×7=49（平方米） 【巧解】 根据“截长补短”的方法，求出正方形的边长，再求出它的面积。 （8+6）÷2=7（米） 7×7=49（平方米） 答：正方形的面积是 49 平方米。 〖第 14 题〗 甲、乙、丙三个数的平均数是 84，甲、乙、丙三个数的比是 3:4:5， 甲、乙、丙三个数各是多少？ 【普通解法】 先求甲、乙、丙三个数的总和，再按比例分配。 【巧解】 仔细观察三个数的比，可以发现，乙恰好就是甲、乙、丙三个数的平 均数。即乙就是 84，显然，甲相当于乙的四分之三，丙相当于乙的四 分之五，由此可求出三个数。 答：甲、乙、丙三个数分别是 63、84、105. 〖第 15 题〗 试比较下面两个数 A 和 B 的大小： A=987654321×123456789 B=987654322×123456788 【普通解法】 分别求出 A、B 的值，然后再作比较。（略） 【巧解】 〖第 16 题〗 计算：2+4+6+8+……+100=？ 【普通解法】（略） 【巧解一】 用“（首项+末项）×项数÷2”的方法来求。 【巧解二】 观察下面的计算结果，可知： 〖第 17 题〗 【普通解法】通分后比较大小（略） 【巧解】 〖第 18 题〗 如图，求阴影部分的面积。（单位：米） 【普通解法】 用大长方形的面积减去小长方形的面积。 【巧解】 把阴影部分分割成两块相等的长方形，然后算出总面积。 答：阴影部分的面积是 600 平方米。 〖第 19 题〗 已知梯形的面积是 12 平方厘米，求阴影部分的面积。（单位：厘米） 【普通解法】 阴影部分是一个三角形，它的底是 3 厘米，要求它的面积，还需要知 道高，根据梯形面积公式可以求出高。 设梯形的高为 x 厘米，则 【巧解】 因为阴影部分与空白部分是两个等高的三角形，所以它们的面积的比 就是它们底的比，即 3:5，由此可知，阴影部分的面积相当于梯形面 积的八分之三，阴影部分的面积可以直接求出。 答：阴影部分的面积是 4.5 平方厘米。 〖第 20 题〗 【普通解法】 【巧解】 仔细观察，可以发现下面的规律： 所以 〖第 21 题〗 计算 1+3+5+7+9+……+1989 【普通解法】（略） 【巧解】 观察下列算式： 发现规律：从 1 开始的连续 n 个奇数的和等于 n 的平方。 可知 〖第 22 题〗 【普通解法】 先通分，然后比较大小，但这种方法太麻烦。（略） 【巧解】 把这些分数变成同分子的分数来比较大小。 〖第 23 题〗 学校操场原来长 50 米，宽 20 米。扩建后长增加 50 米，宽增加 20 米，操场面积增加多少平方米？ 【普通解法】 扩建后操场面积减去原来操场面积，求得增加的面积。 【巧解】 扩建后操场的面积是原来面积的 4 倍，比原来增加 3 倍，由此求出增 加的面积。 答：操场面积增加 3000 平方米。 〖第 24 题〗 一个车间女职工人数比男职工人数少 30 人，男女职工人数之比是 5:3， 女职工有多少人？ 【普通解法】 这是一道按比例分配的问题。 先求出这个车间的总人数，再用按比例分配的方法求出女职工人数。 【巧解一】 把男职工人数看作 5 份，那么女职工人数相当于 3 份，它们的差相当 于 2 份，正好是 30 人。因此，求得 1 份是 15 人，由此可求得女职工 人数。 【巧解二】 把女职工人数看作单位 1，则男职工人数相当于它的三分之五，比它 多三分之二，即女职工人数的三分之二是 30 人，由此可以直接求出 女职工人数。 答：女职工有 45 人。 〖第 25 题〗 【普通解法】 【巧解】 〖第 26 题〗 【普通解法】 （略） 【巧解一】 【巧解二】 〖第 27 题〗 【普通解法】 先通分再比较大小。（略） 【巧解】 〖第 28 题〗 如图，长方形的长是 6 厘米，面积是 24 平方厘米。求阴影部分的面 积。 【普通解法】 先求空白三角形的高与面积，再用长方形面积减去空白三角形面积， 求得阴影部分面积。 【巧解】 因为空白三角形的底和高分别是长方形的长和宽，所以，空白三角形 的面积是长方形面积的一半，由此可知，阴影部分的面积也是长方形 面积的一半。 答：阴影部分的面积是 12 平方厘米。 〖第 29 题〗 甲、乙两列火车同时由相距 765 千米的两地相对行驶，甲、乙两列火 车速度的比是 9:8，经过 9 小时相遇，相遇时，甲车行了多少千米？ 【普通解法】 题目要求甲车 9 小时一共行的路程，需要知道甲车的速度。由条件可 知，甲、乙两车的速度和是 765÷9=85 千米/时，又知甲、乙两车的 速度比是 9:8，所以甲车的速度可以求出。 【巧解】 本题可以根据“在同一时间内，两车的速度比等于它们所行路程的比” 来求解。由条件可知，甲、乙两车速度之比是 9:8，那么相遇时，甲、 乙两车所行路程的比也是 9:8，由此可知，甲车行的路程相当于全程 765 千米的十七分之九。 答：相遇时甲车行了 405 千米。 〖第 30 题〗 【普通解法】（略） 【巧解】 相邻两个自然数的平方差=这两个数的和： 利用上述规律，可将原式化为如下算式：1+2+3+4+5+……+98+99 〖第 31 题〗 计算 72×77 【普通解法】（略） 【巧解】 〖第 32 题〗 【普通解法】 【巧解一】 分子加上 8 后，新的分子变为 12，比原来扩大了 3 倍，根据分数的基 本性质，分母也要扩大 3 倍，才能使分数的大小保持不变，所以分母 应加上 15×3-15=30. 【巧解二】 分子加上 8 就相当于增加了原分子的 2 倍，根据分数的基本性质，要 使分数的大小不变，分母也要增加 2 倍，即要增加 15×2=30. 〖第 33 题〗 某村要在一块长方形地里修两条如图所示的路。问修路后，这地还剩 多少平方米？（单位：米） 【普通解法】 用原长方形的面积减去两条路的面积。 【巧解】 由图示可知，剩下的地是四个梯形。这四个梯形可以合并成一个大长 方形，它的长是 53-3=50（米），宽是 27-3=24（米），求出这个 长方形的面积就是剩下的面积。 〖第 34 题〗 两地间的公路长 342 千米，甲、乙两辆汽车从两地同时相向开出，甲 车每小时行驶 47.5 千米，甲车速度与乙车速度之比是 5:4，两车经过 几小时相遇？ 【普通解法】 先求出乙车的速度，再用路程除以速度和求出相遇时间。 【巧解】 甲车与乙车速度之比是 5:4，那么它们所行的路程之比也是 5:4，由此 可以求出甲车行的路程是： 再除以甲车的速度，就可求出相遇时间。 答：两辆汽车经过 4 小时相遇。 〖第 35 题〗 【普通解法】 用通分的方法计算，但计算非常复杂。（略） 【巧解】放缩法 〖第 36 题〗 【普通解法】 （略） 【巧解】 〖第 37 题〗 在括号内填上适当的数 【普通解法】 先假设一个数，然后再设法求出另外两个数。例如，假定第一个括号 内填上 1，则第二个括号内应填上 第三个括号内应填上 于是得到 【巧解一】 根据“0”在乘法中的特点，在括号内都填上 0，等式永远成立。 【巧解二】 运用倒数，使乘积均为 1. 〖第 38 题〗 如图是一个平行四边形，它的面积是 24 平方厘米，求阴影部分的面积。（单位： 厘米） 【普通解法】 阴影部分是一个直角三角形，它的一条直角边长是 4 厘米，要求它的面积还必须 知道它的另一条直角边。而另一条直角边正好比平行四边形的底短 3.5 厘米，因 此还需求出平行四边形的底。 由条件可求出平行四边形的底是 24÷4=6（厘米），所以问题可解。 【巧解】 如图，将平行四边形划分成一个长方形和两个三角形，则长方形的面积是 4 ×3.5=14（平方厘米），两个三角形的面积是 24－14=10（平方厘米）。 由于两个三角形面积相等，所以，一个三角形的面积是： 答：阴影部分的面积是 5 平方厘米。 〖第 39 题〗 五年级原有学生 42 人，男生和女生的比是 4:3，后来又转来女生若干人，这时 男生和女生的比是 6:5，转来的女生有多少人？ 【普通解法】 由条件可知，男生人数原来相当于全班人数的七分之四，现在相当于全班人数的 十一分之六。已知原来全班的人数，容易求出现在全班的人数，从而求出转来女 生的人数。 【巧解】 把题目的两个比统一起来，即把 4:3 化成 12:9,6:5 化成 12:10，那么可以把男 生人数看作 12 份，原来女生人数看作 9 份，现在女生人数看作 10 份，显然，女 生人数增加了 1 份。因为全班原有人数 42 相当于 12+9=21 份，所以，1 份是 42÷21=2（人），即转来女生 2 人。 答：转来的女生有 2 人。 〖第 40 题〗 三个连续自然数的和是 45，那么，在它们后面三个连续自然数的和是多少？ 【普通解法】 先求出和是 45 的三个连续自然数，然后求出它们后面三个自然数，再求出和。 45÷3=15 即前面三个连续自然数是 14,15,16.后面三个连续自然数是 17,18,19. 它们的和是 17＋18＋19=54. 【巧解】 根据后面三个自然数与前面三个自然数的关系，直接求出后面三个自然数的和。 因为后面三个连续自然数都相应地比前面三个连续自然数大 3，所以，后面三个 连续自然数的和必定比前面三个连续自然数的和大 3×3=9，即是 45+9=54.答： 后面三个连续自然数的和是 54. 〖第 41 题〗 计算： 19.9×25 【普通解法】 （略） 【巧解】 把 19.9 看作（20-0.1），计算比较简便。 19.9×25=（20-0.1）×25=500-2.5=497.5 〖第 42 题〗 【普通解法】 【巧解】 运用“凑 1 法”。 〖第 43 题〗 如图，ABCD 是长方形，BCFE 是平行四边形，BC=3 厘米，AB=6 厘米，CG=4 厘米， 求阴影部分的面积。 【普通解法】 用平行四边形 BCFE 的面积减去三角形 BCG 的面积，求得阴影部分的面积。 3×6-3×4÷2=18-6=12（平方厘米） 【巧解】 因为长方形 ABCD 与平行四边形 BCFE 同底等高，所以面积相等。这样阴影部分的 面积与梯形 BGDA 的面积也相等。因此，只要求出梯形 BGDA 的面积就可以了。 （6-4+6）×3÷2=8×3÷2=12（平方厘米） 答：阴影部分的面积是 12 平方厘米。 〖第 44 题〗 【普通解法】 【巧解】 〖第 45 题〗 由 1、2、3、4 这四个数字，可以组成许多四位数，将它们从小到大依次排列， 那么 4123 是第几个？ 【普通解法】 把 1、2、3、4 四个数字组成的四位数都排起来，然后，把它们从小到大排一次， 是不难找到 4123 所处的次序位置的，但这比较麻烦。 【巧解】 由四个数字一共可以组成 4×3×2×1=24 个不同的四位数，即分别以 1、2、3、 4 作最高位的四位数各有 6 个，4123 是 4 作最高位的最小的一个四位数，比它小 的（即分别以 1、2、3 作最高位的四位数）四位数共有 6×3=18（个），所以 4123 是第 19 个数。 〖第 46 题〗 计算 88×0.125 【普通解法】 （略） 【巧解一】 把 88 分成 80+8，然后分别与 0.125 相乘。 【巧解二】 把 0.125 化作 125/1000=1/8，再相乘。 【巧解三】 把 88 分解成 8×11。 〖第 47 题〗 【普通解法】 小数化成分数或分数化成小数，然后依次计算。（解略） 【巧解】 利用加法的交换律和结合律进行简便计算。 〖第 48 题〗 如图是由大小两个正方形组成的图形。已知大正方形的边长是 6 分米，小正方形 的边长是 4 分米。求阴影部分的面积。 【普通解法】 用两个正方形的面积减去两个空白三角形的面积，求出阴影部分的面积。 【巧解】 将阴影部分划分成两个钝角三角形，其面积之和就是所求阴影部分的面积。 答：阴影部分的面积是 14 平方分米。 〖第 49 题〗 甲、乙、丙三人共做零件 900 个，甲做总数的 30%，乙比丙多做三分之一，三人 各做多少个？ 【普通解法】 用解分数应用题的一般方法求解。 【巧解】 用按比例分配的方法来解，由条件可知，乙与丙所做零件个数的比是（1+3）： 3=4:3，甲与乙和丙所做零件个数和的比是 30%：（1-30%）=3:7，而 4+3 恰好等 于 7，所以甲、乙、丙三人所做零件个数的比是 3:4:3。把 900 按 3:4:3 分配就 可以分别求出甲、乙、丙所做零件的个数。 答：甲、丙各做 270 个零件，乙做 360 个零件。 〖第 50 题〗 71×72×73×74×75×76×77×78×79×80 乘积的末尾数有几个 0？ 【普通解法】 算出它们的乘积，然后看它有几个 0.（略） 【巧解】 用分解质因数的方法来解。因为一个质数 2 和一个质数 5 相乘，末尾就出现一个 0.题目中 10 个数中含有质因数 5 的只有 75 和 80 两个数，它们一共含有三个质 因数 5,10 个数中含有质因数 2 的个数较多，所以 71×72×73×74×75×76×77×78×79×80 乘积的末尾数有 3 个 0. 〖第 51 题〗 计算 3333×3333 【普通解法】 （略） 【巧解】 〖第 52 题〗 【普通解法】 先通分，再相加。 【巧解】 巧算方法掌握后，书写过程可以简缩，而且结果可以口算出来。 〖第 53 题〗 如图，是大小两个正方形组成的图形，大正方形边长是 6 分米，小正 方形边长是 4 分米。求阴影部分的面积。 【普通解法】 用两个正方形的面积之和减去三个空白三角形的面积，求出阴影部分的面积。 【巧解一】 因为三角形 ABE 和三角形 CBE 等底等高，所以它们的面积相等。从这两个三角形 里都减去三角形 BEF,剩下的两个三角形 ABF 和 CEF 的面积也相等。 所以三角形 ABC 的面积与三角形 ACE 的面积也相等。而三角形 ACE 的面积正好是 小正方形面积的一半。因此，本题可以运用等积转化的方法，非常巧妙地求出阴 影部分的面积。 【巧解二】 三角形 ABC 和三角形 AEC 同底等高，所以面积相等。而三角形 AEC 的面积 等于小正方形面积的一半。 答：阴影部分的面积是 8 平方分米。 〖第 54 题〗 一只轮船从甲港开往乙港，8 小时行了全程的七分之四，再行几小时可以到达乙 港？ 【普通解法】 假设全程为“1”，则未行的路程是七分之三。用剩下的路程除以每小时的速度， 就可以求得再行的时间。 【巧解一】 先求每小时行几份，再求剩下的 3 份还要行几小时。 【巧解二】 用正比例方法解，把已行的路程看作 4 分，未行的路程看作 3 份。 设未行的路程需行 x 小时，则 答：再行 6 小时可以到达乙港。 〖第 55 题〗 72 的全部约数有几个？ 【普通解法】 采用枚举法，从小到大一一找出，然后数出个数。（解答略） 【巧解一】 采用分解质因数的方法。72=2³×3²，从 2³来看，72 的约数中有 1,2,2²，2³四 种情况；从 3²来看，72 的约数中有 1,3,3²三种情况。把两者结合起来，即 1,2,2²， 2³分别乘以 1,3 或 3²，即可得到 1,2,4,8,3,6,12,24,9,18,36,72 共 12 个约数。 由以上的解答可知，计算约数的个数不必将约数一一举出，72 的所有约数的个 数 12，实际上是 72 的两个质因数 2 和 3 右上角的数各加上 1 后的乘积，掌握了 这个规律，我们可以很简单地求出任何自然数所有约数的个数。例如，自然数 180 分解质因数是 2²×3²×5，所以它一共有(2+1)×(2+1)×(1+1)=18（个）约 数。 〖第 56 题〗 计算 1999+999×999 【普通解法】 1999+999×999=1999+998001 =1000000 【巧解】 1999+999×999=1000+999+999×999=1000+999×（999+1） =1000+999×1000=1000×（1+999）=1000000 〖第 57 题〗 【普通解法】 先通分，再相加。（略） 【巧解】 〖第 58 题〗 如图，ABCD 是正方形，边长是 8 厘米，E、F 分别是 CB 边与 CD 边上的中点，求 三角形 AEF 的面积。 【普通解法】 用正方形的面积减去三个空白三角形的面积，求出阴影部分的面积。 正方 形的面积：8×8=64（平方厘米） 三角形 ADF 或三角形 ABE 的面积：8× （8÷2） ÷2=16（平方厘米） 三角形 CEF 的面积：（8÷2）×（8÷2）÷2=8 （平方厘米） 所以三角形 AEF 的面积：64-16×2-8=24（平方厘米） 【巧解】 因为 E、F 是边的中点，所以三角形 ABE 和三角形 ADF 等积，且都等于正方形面 积的四分之一；同样可知，三角形 CEF 的面积正好是正方形面积的八分之一。因 此，阴影部分的面积相当于正方形面积的（1-1/4-1/4-1/8）=3/8，从而可以求 出阴影部分 AEF 的面积。 答：三角形 AEF 的面积是 24 平方厘米。 〖第 59 题〗 甲、乙两车的车速之比是 4：3，甲从东镇到西镇需 15 小时，乙从西镇到东镇要 多少小时？ 【普通解法】 假设东镇和西镇之间的距离为“1”，则甲的速度为每小时行全程的 1/15，于是 乙从西镇到东镇的时间是 【巧解一】 把甲的速度假设为“4”，则乙的速度为“3”，因为两镇距离一定，所以两车的 速度与时间成反比例。设乙车从西镇到东镇需行 x 小时，则 【巧解二】 由于路程相同，甲车与乙车所行时间的比等于其速度的反比。设乙车从西镇到 东镇需行 x 小时，则 答：乙从西镇到东镇需 20 小时。 〖第 60 题〗 如图，图中一共有多少个长方形？ 【普通解法】 一个大长方形被分成 15 个不重复的小长方形，我们把 15 个小长方形看作基本长 方形。由两个基本长方形组成的长方形有 22 个；由三个基本长方形组成的长方 形有 14 个；由四个基本长方形组成的长方形有 14 个；由五个基本长方形组成的 长方形有 3 个；由六个基本长方形组成的长方形有 10 个；由八个基本长方形组 成的长方形有 4 个；由九个基本长方形组成的长方形有 3 个；由十个基本长方形 组成的长方形有 2 个；由十二个基本长方形组成的长方形有 2 个；由十五个基本 长方形组成的长方形有 1 个。将上面所有的长方形个数相加，一共是 90 个，即 图中一共有 90 个长方形。 【巧解】 长方形的长 AD 上有 1+2+3=6 条线段，长方形的宽 AB 上有 1+2+3+4+5=15 条线段。 因为 AD 上的任何一条线段与 AB 上的任何一条线段都可以组成一个长方形，所以 图中一共有长方形 15×6=90（个）答：一共有 90 个长方形。 〖第 61 题〗 计算 11.8×43-86×0.9 【普通解法】 （略） 【巧解】 〖第 62 题〗 【普通解法】 先通分，然后再加减。（解略） 【巧解】 〖第 63 题〗 如图一是大小两个正方形。已知大正方形比小正方形的面积大 40 平方厘米，求 小正方形的面积。 【普通解法】 在小学阶段用一般解法很难求得结果。 【巧解】 如图二，在大正方形中去掉和小正方形同样大的正方形，所剩下的 A、B、C 三部 分就是 40 平方厘米。然后把 C 放到如图三的位置，则 A、B、C 三块恰好拼成一 个长方形，它的面积是 40 平方厘米，长是 20 厘米，所以宽是 2 厘米，而宽正好 是两个正方形边长之差，由此可以求出小正方形的边长和面积。（20-40÷20） ÷2=9（厘米）9×9=81（平方厘米）答：小正方形的面积是 81 平方厘米。 〖第 64 题〗 一辆汽车在甲、乙两地间行驶，往返一次共用 4 小时，去时每小时行 45 千米， 回来时每小时行 30 千米，求甲、乙两地间的距离。 【普通解法】 （略） 【巧解】 用比例方法来解。因为往返的路程是一样的，所以去时和回来时所用时间的比等 于它们速度的反比，即是 30:45=2:3.由此可以求出汽车去时和回来时的时间， 进而求出甲、乙两地间的距离。汽车去时和回来时所用时间的比是 30:45=2:3， 汽车去时的时间是 甲、乙两地的距离是 答：甲、乙两地间的距离是 72 千米。 〖第 65 题〗 一个三角形的三条边长是三个不相同的自然数，其中最大的一条边长是 4，求最 小的一条边长。 【普通解法】 用通常地方法来思考，这道题似乎还缺少条件。 【巧解】 因为最大的一条边是 4，所以，其余两条边必定是 1,2,3 中的两个。有因为三角 形的任意两边之和大于第三边，所以，其余两边必定是 2 和 3，由此可知，最小 的一条边长是 2. 〖第 66 题〗 4.7×0.25+7.3÷4 【普通解法】 4.7×0.25+7.3÷4=1.175+1.825=3 【巧解】 0.25 化成分数是 1/4，一个数除以 4 就是一个数乘以 1/4，所以 〖第 67 题〗 计算 56÷3.5 【普通解法】 （略） 【巧解一】 【巧解二】 〖第 68 题〗 如图，长方形 ABCD 中，BE 长多少厘米，才能使三角形 ABE 的面积是梯形 AECD 面积的一半？ 【普通解法】 由条件可知，三角形 ABE 的面积与梯形 AECD 的面积之比是 1:2，所以三角形 ABE 的面积长方形面积的三分之一，据此先求出三角形 ABE 的面积后，再根据它的面 积和 AB 的长，求出 BE 的长度。 【巧解】 如图，作 EF 垂直于 AD，因为三角形 ABE 的面积等于梯形 AECD 面积的一半，所 以，三角形 ABE、三角形 AEF 和长方形 CDFE 的面积都相等。由此可知，长方形 ABEF 的面积相当于长方形 CDFE 面积的 2 倍，由于这两个长方形有一条边相同， 所以 BE 的长必定是 CE 长的 2 倍。即 BE 的长正好是 BC 长的三分之二。据此可求 出 BE 的长度。 答：BE 长 6 厘米，才能使三角形 ABE 的面积是梯形 AECD 面积的一 半。 〖第 69 题〗 一个化工厂原来每天用水 12.5 吨，由于改进用水设备，每天可节约用水 20%， 原来 24 天的用水量现在可用多少天？ 【普通解法】 这是一道反比例应用题，可用反比例方法求解。 【巧解】 把原来每天的用水量假设为单位“1”，仍用反比例方法解。 答：现在可用 30 天。 〖第 70 题〗 甲乙两人同做一道三位数乘以两位数的题目，甲的答案是 1500，乙的答案是 1250。检查后发现，乙做错了，乙把两位数的个位数误看成零，试求这两个数。 【普通解法】 由条件可知，三位数必定是 1500 和 1250 的公约数，1500 和 1250 的公约数是三 位数的只有 125 和 250 两个。如果三位数是 250，那么另外一个两位数是 1500÷250=6，不符合题意，所以三位数只能是 125，另一个两位数是 1500÷125=12. 【巧解】 因为三位数与两位数的乘积是 1500，所以三位数与两位数的最高位的数字只能 是 1，由此可知，三位数是 125÷10=125，两位数是 1500÷125=12.答：三位数 是 125，两位数是 12. 〖第 71 题〗 计算 1988×19891989-1989×19881988 【普通解法】 求出前后两个乘法算式的积，再相减。（具体解法略） 【巧解】 19891989=1989×1000119881988=1988×10001 由此可得如下解 法： 1988×19891989-1989×19881988=1988×1989×10001-1989×1988×10 001=0 〖第 72 题〗 【普通解法】 【巧解】 两个数的和减去这两个数的差必定等于其中较小数的 2 倍，由此可得： 〖第 73 题〗 如图，求阴影部分的面积。（单位：厘米） 【普通解法】 用梯形面积减去空白三角形的面积，求出阴影部分的面积。 【巧解】 因为两块阴影部分是高相等的两个三角形，所以，它们的面积之和相当于底为 6 厘米、高为 3 厘米的一个三角形的面积。由此可求出阴影部分的面积。 答：阴影部分的面积是 9 平方厘米。 〖第 74 题〗 【普通解法】 设剩下的还要修 x 天，则 【巧解】 把全长看作 5 份，修了 2 份，还剩 3 份。 设剩下的还要修 x 天，则 答：剩下的还要 7.5 天才能修完。 〖第 75 题〗 下面等式中的 a 和 b 代表两个不同的数字，ab 是两位数，bbb 是三位数，试问 a 和 b 各代表什么数字时 a×b×ab=bbb? 【普通解法】 (略） 【巧解】 等式两边除以 b，得到 a×b=111.而 111 写成一位数与二位数的乘积只能是 3×37，所以 a 代表数字 3，b 代表数字 7. 〖第 76 题〗 有一个果园原有苹果树 125 棵，桃树 89 棵。今年又栽了 42 棵苹果树和 42 棵桃 树。请问，现在这个果园里两种果树相差多少棵？ 【普通解法】 果园里原有苹果树 125 棵，又栽了 42 棵，一共是 125+42=167 棵；原有桃树 89 棵，又栽了 42 棵，一共是 89+42=131 棵。由此可求出两种果树相差的棵树。 （125+42）-（89+42）=167-131=36（棵） 【巧解】 因为果园里今年栽的苹果树和桃树的棵数相同，都是 42 棵，所以果园里两种果 树相差的棵数仍然是原来果园里两种果树相差的棵数。即 125-89=36（棵）答： 现在这个果园里两种果树相差 36 棵。 〖第 77 题〗 【普通解法】 【巧解】 〖第 78 题〗 如图，求阴影部分的面积。（单位：分米） 【普通解法】 求上图中阴影部分的面积，通常的方法是用梯形的面积减去空白三角形的面积， 但梯形的高不知道，面积无法求出。 【巧解一】 在直角三角形 AED 中，作斜边 AD 上的高 EF（此高也是梯形的高），那么，三角 形 AED 的面积可以用两直角边乘积的一半来计算，也可以用斜边上的高乘以斜边 的积的一半来计算。即 由此可求出梯形面积，从而求出阴影部分的面积。 【巧解二】 把两块阴影部分合并成一块，即把三角形 DEC 的面积转化为等底等高的三角形 AEC 的面积。这样，两块阴影部分正好拼成一个大三角形 ABC。 而这个大三角形与空白三角形等高，所以它们的面积之比等于底边之比，由此得 解。 答：阴影部分的面积是 38.4 平方分米。 〖第 79 题〗 如图，一个长方形被两条直线分成四个长方形，其中三个面积分别是 20 亩，25 亩和 30 亩。求另外一个长方形（阴影部分）的面积是多少亩？ 【普通解法】 按照一般思路，要求阴影部分的面积，必须先求出阴影部分的长和宽，但根据条 件无法求出，所以此题难以解答。 【巧解一】 细心观察，可以发现，左边两个长方形和右边两个长方形都有一条公共的长，所 以它们的面积和宽成正比例，于是，右边两个长方形面积的比应给等于它们宽的 比。同样，左边两个长方形面积的比也应该等于宽的比。而这两个“宽的比”是 一样的，所以右边两个长方形面积的比等于左边两个长方形面积的比。于是可以 求出阴影部分的面积。设另外一个长方形（阴影部分）的面积为 x 亩，则 【巧解二】 如图所示： 要求阴影部分的面积，实际上就是求 OA 与 OB 的积，由上面三个算式可以得出： 答：长方形的面积是 37.5 亩。 〖第 80 题〗 买 6 支圆珠笔，3 支铅笔，共花 1.5 元；买 10 支铅笔，20 块橡皮，共花 2 元。 那么一支圆珠笔，一支铅笔，一块橡皮共花多少元？ 【普通解法】 按照一般的思路，要求买一支圆珠笔，一支铅笔，一块橡皮共花多少钱，必须先 求出一支圆珠笔，一支铅笔，一块橡皮的价钱。但根据条件，无法求出。 【巧解】 答：买一支圆珠笔、一支铅笔、一块橡皮共花 0.35 元。 〖第 81 题〗 两城相距 930 千米，客、货两车同时从两城相向开出，经过 6 小时相遇。客车平 均每小时行 80 千米，货车平均每小时行多少千米？ 【普通解法】 先求出货车行的路程，再求货车的速度。 【巧解】 先求出客车和货车的速度和，再用速度和减去客车的速度，所得的差就是货车的 速度。 答：货车平均每小时行 75 千米。 〖第 82 题〗 【普通解法】 【巧解】 〖第 83 题〗 一个长方形的周长 24 分米，如果它的长和宽各增加 3 分米，得到的新长方形比 原长方形面积大多少平方分米？ 【普通解法】 按一般思路，要求两个长方形的面积差，需要知道这两个长方形的面积，但这两 个面积都无法求得。 【巧解】 如图，题中要求的面积，就是图中阴影部分的面积。把阴影部分分成三块（图示） 拼成一个长方形，它的宽是 3 分米，它的长是新长方形的长加上原长方形的宽的 和，也就是原长方形的长与宽的和再加上 3 分米，原长方形的长与宽的和，就是 它的周长的一半，即是 24÷2=12（分米），于是问题得解。 （24÷2+3） ×3=15×3=45（平方分米）答：得到的新长方形比原长方形面积大 45 平方分米。 〖第 84 题〗 有 10 元和 5 元的人民币共 100 张，总共是 850 元，问每种钞票各有多少张？ 【普通解法】 假设 100 张都是 10 元，则共有 10×100=1000 元，比实际的钱数多 1000-850=150 （元）。这是因为我们把 5 元的都看作 10 元的来计算了。一张 5 元的看作一张 10 元的，就要多出 5 元钱，现在一共多出 150 元钱，说明 100 张票中有 150÷5=30 （张）是 5 元的，其余 70 张是 10 元的。 【巧解】 100 张钞票平均每张是 850÷100=8.5 元，10 元比这个平均值多 1.5 元，5 元比 这个平均值少 3.5 元。所以，10 元与 5 元张数的比应该是 3.5:1.5=7:3。将 100 张按 7:3 分配就可以求出两种钞票的张数。 答：10 元的有 70 张，5 元的有 30 张。 〖第 85 题〗 实验小学共有学生 500 人，上星期有一半男生每人做了 3 件好事，另一半男生每 人做了 5 件好事；一半女生每人做了 2 件好事，另一半女生每人做了 6 件好事。 问全校学生共做了多少件好事？ 【普通解法】 按一般方法思考，要求全校学生共做了多少件好事，必须知道男、女生各有多少 人。但根据条件，无法求出男、女生人数，所以用一般方法难以解答。 【巧解】 由“一半男生每人做了 3 件好事，另一半男生每人做了 5 件好事”可以知道，平 均每个男生做了 4 件好事；由“一半女生做了 2 件好事，另一半女生做了 6 件好 事”可以知道，平均每个女生也做了 4 件好事。这就是说，实验小学平均每人做 了 4 件好事，所以全校学生共做好事 4×500=2000（件）。 〖第 86 题〗 学校组织学生参观展览会，三年级去 150 人，四年级去的比三年级的 2 倍少 20 人，两个年级共去多少人？ 【普通解法】 分别算出三、四年级的人数，再求总人数。 【巧解】 假设四年级去的人数正好是三年级去的 2 倍，那么，两个年级一共去的人数正好 相当于三年及人数的 3 倍，但四年级去的人数比三年级人数的 2 倍少 20 人，所 以两个年级一共去的人数应比三年级人数的 3 倍少 20 人。 答：两个年级共去 430 人。 〖第 87 题〗 【普通解法】 【巧解】 两个带分数，如果它们的整数部分相同，分数部分的和正好是 1，那么这两个分 数相乘时，只要把整数部分的一个整数加上 1 再乘以另一个整数的积，加上分数 部分与分数部分相乘的积。 〖第 88 题〗 把一块正方形木板锯下宽为 1 米的木条以后，这块木板剩下的面积是 3.75 平方 米。问锯下的木条面积是多少平方米？ 【普通解法】 要求锯下木条的面积，就必须求出正方形木板的边长，但这个边长很难求得。 【巧解】 用剩下的 3.75 平方米的长方形拼成如图所示的大正方形。 这个大正方形的中间部分恰好是一个小正方形，它的边长是长方形的长与宽的 差，即 1 米。所以大正方形的面积是 3.75×4+1×1=16（平方米），所以，大正 方形的边长是 4 米，即长方形的长与宽的和是 4 米。由和差问题可知，长方形的 长为（4+1）÷2=2.5（米），即原小正方形的边长为 2.5 米。于是，锯下的木条 的面积是 2.5×1=2.5（平方米）。 〖第 89 题〗 爷爷从果园摘回一些桃子，他见三个孙女都还没有回家，就把这些桃子放在桌上。 小磊放学最早，一眼就看到了桌上的桃子。她知道，一定是爷爷留给她们吃的。 她就把桃子平均分成 3 份，但有一份少 1 个，她拿了少一个的那份桃子。小玲回 来了，她以为别人都没拿去，又重新把桃子平均分成 3 份，结果有一份也少一个， 她也拿了少一个的那份桃子。小容最后回来，她也以为别人都没拿，也重新把桃 子平均分成 3 份，仍有一份少一个，她也拿走少一个的那份桃子。已知小容拿了 4 个桃子，请你算一算，爷爷摘的桃子是多少个？ 【普通解法】 从小容第三次均分后拿到 4 个桃子，向前逆推计算，直到求出总数。 （1）小容拿的是少 1 个那一份，另外两份必定是 5 个，所以小容分桃子时，一 共有 4+5+5=14（个）；（2）小玲拿走的也是少 1 个的那一份，余下的 2 份正好 是 14 个，一份是 7 个，小玲拿的一份是 6 个，所以，小玲分桃子时，一共有 14+6=20 （个）；（3）小磊拿走少一个的那份后，余下的 2 份正好是 20 个，每份必定是 10 个，小磊拿走的一份就是 10-1=9（个），所以，桌子上一共有桃子 20+9=29 （个）。 【巧解】 用假设法。假定从原来的桃子总数中拿掉 2 个，那么小磊把桃子平均分成 3 份时 正好分完。小磊拿走一份后，余下的桃子就比原来余下的桃子少两个，于是，小 玲平均分成 3 份时也正好分完。同样，小容将第二次分后余下的平均分成 3 份也 正好分完，小容拿到其中的三分之一。 要求总数，在假设的情况下，小容拿到的 4 个是第二次分后余下的三分之一，而 第二次分后余下的相当于第一次分后余下的三分之二，第一次分后余下的又相当 于假设后总数的三分之二，所以，小容拿到的 4 个桃子相当于假设后总数的 由此可求出假设后的总数是 原来的总数是 27+2=29（个）。 答：爷爷摘的桃子是 29 个。 〖第 90 题〗 10 千克砂糖的价钱相当于 1.6 千克茶叶的价钱，如果 4 元钱可买 5 千克砂糖， 那么 16 元钱可买多少千克茶叶？ 【普通解法】 先求出 10 千克砂糖的价钱是 4÷5×10=8 元。这个价钱也是 1.6 千克茶叶的价钱， 由此可求出每千克茶叶的价钱是 8÷1.6=5 元，从而求得 16 元钱可买茶叶的千克 数。 【巧解一】 从 4 元钱可买 5 千克砂糖可知，8 元钱可买 10 千克砂糖，也就是可买 1.6 千克 茶叶，因此 16 元钱可以买 1.6×2=3.2 千克茶叶。 【巧解二】 从 4 元钱可买 5 千克砂糖可知，16 元钱可买 20 千克砂糖。因为 10 千克砂糖的 价钱与 1.6 千克茶叶的价钱相等，所以 20 千克砂糖的价钱可买茶叶 1.6×2=3.2 千克。 答：16 元钱可以买 3.2 千克茶叶。 〖第 91 题〗 【普通解法】 【巧解】 〖第 92 题〗 求圆环的面积（单位：厘米） 【普通解法】 大圆面积-小圆面积=圆环面积。 【巧解】 将环形沿着一条半径割开，假设把它拉成一个梯形，则大圆周长为梯形的下底， 小圆周长为梯形的上底，大半径减小半径为梯形的高，则它的面积为： 由此得到下面的解法： 答：圆环的面积是 113.04 平方厘米。 〖第 93 题〗 同学们搞野营活动，班长到老师那里领碗，老师问他领多少？他说 55 个。又问 “多少人吃饭？”他说：“一个人一个饭碗，两人一个菜碗，三人一个汤碗。” 算一算，这个同学给参加野营活动的多少人领碗？ 【普通解法】 先算一个人要用多少个碗，再算有多少人。 【巧解】 假如 6 人编成一组，则每组需要 6 个饭碗，3 个菜碗，2 个汤碗，于是每组需要 碗 6+3+2=11（个） 答：这个同学给参加野营活动的 30 人领碗。 〖第 94 题〗 有两瓶葡萄糖溶液，第一瓶装 400 毫升，第二瓶装 160 毫升。如果第一瓶里每分 钟倒出 15 毫升溶液到第二瓶里，问几分钟后，这两瓶葡萄糖溶液的量会相等？ 【普通解法】 要求出问题答案，就要知道第一瓶里的溶液倒出多少毫升，两瓶溶液才相等，这 就需要知道两瓶溶液达到相等时，每瓶各装多少毫升。因为两瓶倒出倒入，溶液 的总重量不变，所以两瓶溶液相等时，每瓶各有（400+160）÷2=280 毫升，于 是问题可解。 【巧解】 由条件可知，两瓶溶液的量相差 400-160=240 毫升，要使两瓶溶液的量相 等，只要把相差的溶液数量一分为二，即第一瓶里需倒出 240÷2=120 毫 升到第二瓶里，则两瓶溶液量就可相等，由此可得下面的解法： 答：8 分钟后，两瓶溶液会相等。 〖第 95 题〗 【普通解法】 【巧解】 〖第 96 题〗 【普通解法】 （略） 【巧解】 〖第 97 题〗 挖一条 500 米长的水渠，10 天挖了全长的一半，照这样计算，挖完这条水渠共 需多少天？ 【普通解法】 要求挖完这条水渠共需多少天，必须求出一天能挖多少米。 根据题意，10 天挖了全长的一半，即 500÷2=250（米），则每天挖了 250÷10=25 （米）。由此可求得挖完这条水渠共需的天数。 500÷（500÷2÷10） =500÷25=20（天） 【巧解】 10 天挖了全长的一半，剩下的一半照这样的速度挖，也同样需要 10 天。由此可 求出挖完这条水渠共需的天数。 10×2=20（天）答：挖完这条水渠共需 20 天。 〖第 98 题〗 把鸡和兔都放在一起，共有 48 个头、114 只脚。问鸡、兔各有几只？ 【普通解法】 假设 48 只全是兔，那么，应有脚是 4×48=192（只），比实际脚数多 192-114=78 （只），所以多出这些脚，是因为把鸡都假设成兔子了。把一只鸡换成一只兔， 就要多出 2 只脚，现在多出 78 只脚，说明有鸡 78÷2=39（只），有兔 48-39=9 （只）。 （4×48-114）÷（4-2）=78÷2=39（只）……鸡的只数 48-39=9 （只）……兔的只数 【巧解】 如果把鸡和兔的脚数缩小 2 倍，那么，鸡的脚数和它的只数一样，而兔的脚数是 它的只数的 2 倍。所以，总的脚数缩小 2 倍后，鸡和兔的总脚数与它们的总只数 相差的是兔的只数。由此可求出兔的只数和鸡的只数。114÷2-48=9（只）…… 兔的只数 48-9=39（只）……鸡的只数答：有鸡 39 只、兔 9 只。 〖第 99 题〗 莉莉看一本故事书，平均每天看 40 页，5 天正好看完。而结果只看了 4 天，每 天比原计划多看多少页？ 【普通解法】 实际每天看的页数减去原计划每天看的页数等于每天多看的页数。根据这 个数量关系可得到下面的解法： 40×5÷4-40=50-40=10（页） 【巧解】 实际看了 4 天，提前 1 天看完全书，这 1 天应该看的 40 页，实际上就是 4 天多 看的页数，由此可得到平均每天多看的页数。 40÷4=10（页）答：每天比原计划多看 10 页。 〖第 100 题〗 解放军某部进行野营训练，计划行军 1050 千米，15 天行完全程。 结果提前 1 天行完，平均每天比计划多行多少千米？ 【普通解法】 要求实际每天比计划多行多少千米，必须知道实际每天和计划每天行的路程。 【巧解】 由条件可知，实际比计划提前 1 天行完全程。按计划这 1 天要行 1050÷15=70（千 米），但事实上这 70 千米，已被 14 天走掉了。所以每天多走了 70÷14=5（千 米）。 答：平均每天比计划多行 5 千米。 〖第 101 题〗 一筐苹果，连筐共重 26 千克。卖出一半后，连筐还重 13.5 千克， 求筐重几千克？ 【普通解法】 筐和苹果的总重量减去苹果的重量等于筐的重量。由条件可求，半筐苹果重 26-13.5=12.5（千克），则一筐苹果重 12.5×2=25（千克），由此可求得筐重。 【巧解】 由条件可知，半筐苹果和一只筐共重 13.5 千克，则一筐苹果和两只筐共 重 13.5×2=27（千克），再减去一筐苹果连筐的重量，可得一只筐的重量。 答：筐重 1 千克。 〖第 102 题〗 利民机床厂计划在一年内生产机床 180 台，结果 10 个月完成了 任务，照这样计算，全年实际比计划增产多少台？ 【普通解法】 先求出全年实际生产机床的台数，再减去计划生产机床的台数，即可求出实际比 计划增产的台数。 【巧解】 实际 10 个月完成了计划任务，那么后两个月生产的机床就是全年实际比计划多 生产的台数。 答：全年实际比计划增产 36 台。 〖第 103 题〗 学校准备买 26 个篮球，每个价格为 13.3 元。后来从买篮球的钱 里拿出一部分买了排球 14 个，每个价格为 7.6 元。这样，还能买篮球 多少个？ 【普通解法】 要求还能买篮球多少个，必须知道剩下的钱数和篮球的单价。剩下的钱数，可以 用计划买篮球的钱数扣去买排球的钱数求得。再用剩下的钱数除以篮球的单价， 就可求得还能买篮球的个数。 【巧解】 先求出买 14 个排球的钱相当于买几个篮球的钱数，这样就可以简便算出还可买 篮球的个数。 答：剩下的钱还够买篮球 18 个。 〖第 104 题〗 两个钱箱共有 140 元钱。如果从第一个钱箱中取出 15 元放入第 二个钱箱，则两个钱箱的钱数相等。问两个钱箱各有多少元钱？ 【普通解法】 由条件可知，第一个钱箱比第二个钱箱多 15×2=30 元，从而根据两个钱箱的钱 的和是 140 元，差是 30 元，可以求得各是多少元。 【巧解】 如果两个钱箱的钱数相等，则各有 140÷2=70（元），所以第一个钱箱原有钱是 70+15=85（元），第二个钱箱原有钱是 70-15=55（元）。 答：第一个钱箱有 85 元，第二个钱箱有 55 元。 〖第 105 题〗 甲乙两人平均每人有 54 元钱，实际甲有 60 元，甲比乙多多少元？ 【普通解法】 要求甲比乙多多少元，须求出乙有多少元。因为两人平均每人有 54 元，所以两 人共有钱是 54×2=108（元），其中甲是 60 元，乙有钱是 108-60=48（元），从 而可求得甲比乙多的钱数。 【巧解】 由条件可知，甲的钱数比两人钱数的平均数多 60-54=6（元）。那么，乙的钱数 必定比两人钱数的平均数少 6 元，所以甲、乙两人钱数之差，实际上就是 6 元钱 的 2 倍。 答：甲比乙多 12 元。 〖第 106 题〗 一批零件，甲、乙两组合做 15 小时完成。完成时，甲组比乙组少 做零件 450 个。已知甲组每小时做零件 105 个，这批零件共有多少个？ 【普通解法】 要求这批零件的总数，必须知道甲乙两组的工作效率。题中甲组的工作效率已知， 关键要求出乙组的工作效率。由条件可知，乙组 15 小时中比甲组多做零件 450 个，则每小时多做 450÷15=30（个），即乙组每小时做零件 105+30=135（个）。 由此可求出这批零件的总数。 【巧解】 由条件可知，甲组 15 小时做零件是 105×15=1575（个）。假设两组做的零件同 样多，则两组做的零件数是 1575×2=3150（个），但实际乙组多做 450 个，由 此可求得这批零件的总数。 答：这批零件共有 3600 个。 〖第 107 题〗 甲每小时做 24 个零件，乙每小时做 18 个零件。两人同做 8 小时 后，查出有 16 个废品，求两人平均每小时共做多少个正品零件？ 【普通解法】 先求出两人 8 小时共做多少个正品零件，然后再求每小时做多少个正品。 【巧解】 先求出两人平均每小时做多少个废品，再在两人每小时做的零件数中扣除，即可 求得两人每小时做的零件正品数。 答：两人平均每小时共做 40 个正品零件。 〖第 108 题〗 2 台碾米机 3 小时可碾米 1200 千克。照这样计算，4 台同样的碾 米机，3 小时可碾米多少千克？ 【普通解法】 用归一法解，先求一台一小时可碾米多少千克，再求 4 台 3 小时可碾米多少千克。 1200÷3÷2×4×3=200×4×3=2400（千克） 【巧解】 因为碾米时间不变，而碾米机的台数是原来的 4÷2=2 倍，所以碾米的千克数也 同样是原来的 2 倍。即是 1200×（4÷2）=1200×2=2400（千克）答：4 台 3 小时可碾米 2400 千克。 〖第 109 题〗 计算 13.2÷（39.6÷8） 【普通解法】 【巧解】 〖第 110 题〗 期中考试时，小军、小林和小明三人的数学平均成绩是 90 分。其 中小军考 92 分，小明考 97 分，小林考多少分？ 【普通解法】 先求出三个人的总成绩，再分别减去小军和小明的分数，就可得到小林的考试成 绩。 90×3-（92+97）=270-189 =81（分） 【巧解】 由条件可知，小军比平均成绩多考 2 分，小明比平均成绩多考 7 分，这两人多考 的 2+7=9（分），必定是小林比平均成绩少考的分数，由此可求得小林考的分数。 90-【（92-90）+（97-90）】=90-9 =81（分）答：小林考了 81 分。 〖第 111 题〗 一个学习小组有 12 个同学。一次语文考试，李平请假，其余 11 人的平均成绩是 85 分，后来李平补考得 97 分，这样，这个小组的平 均分数是多少分？ 【普通解法】 总分数除以人数等于平均分数。 （85×11+97）÷12 =1032÷12=86（分） 【巧解】 李平补考得 97 分，比 11 人的平均分数多 97-85=12（分），则 12 人的平均分可 比 11 人的多 12÷12=1（分）。因此这个小组的平均成绩是： 85+（97-85） ÷12=85+1=86（分）答：这个小组的平均分数是 86 分。 〖第 111 题〗 一个学习小组有 12 个同学。一次语文考试，李平请假，其余 11 人的平均成绩是 85 分，后来李平补考得 97 分，这样，这个小组的平 均分数是多少分？ 【普通解法】 总分数除以人数等于平均分数。 （85×11+97）÷12 =1032÷12=86（分） 【巧解】 李平补考得 97 分，比 11 人的平均分数多 97-85=12（分），则 12 人的平均分可 比 11 人的多 12÷12=1（分）。因此这个小组的平均成绩是： 85+（97-85） ÷12=85+1=86（分）答：这个小组的平均分数是 86 分。 〖第 112 题〗 【普通解法】 【巧解】 〖第 113 题〗 【普通解法】 （略） 【巧解】 把后一个乘法算式中的两个分数的分子对调，然后运用乘法分配律进 行简便计算。 〖第 114 题〗 【普通解法】 （略） 【巧解】 把 92 缩小 10 倍，同时把 0.54 扩大 10 倍，然后进一步简便计算。 〖第 115 题〗 【普通解法】 【巧解】 将 85 拆成 83+2，然后简便计算。 〖第 116 题〗 【普通解法】 （略） 【巧解】 〖第 117 题〗 【普通解法】 （略） 【巧解】 〖第 118 题〗 一个学习小组有 12 个同学。一次语文考试，李平请假，其余 11 人的平均成绩是 85 分。后来李平补考的成绩比 12 人的平均分还高 5.5 分。李平考了多少分？ 【普通解法】 由条件可知，李平的成绩比 12 人的平均分还高 5.5 分。那么，12 个李平（假设） 的成绩比 12 人的总分高 5.5×12=66（分），即 11 个李平的成绩比其他 11 人的 总分高 66 分，由此可求出李平的成绩。 【巧解】 由条件可知，李平比其余 11 人的平均分高出的考分比这“高出考分”的 12 分之 1 还高 5.5 分，所以李平比其余 11 人的平均分高出 由此可求得他的成绩。 答：李平考了 91 分。 〖第 119 题〗 王师傅加工一批零件，前 4 天每天加工 80 个，后 6 天每天多加工 10 个。这样， 王师傅平均每天加工零件多少个？ 【普通解法】 求平均数的方法是用总数除以份数，因此，王师傅平均每天加工的零件个数可用 加工的零件总数除以天数来求得。 【巧解】 可以这样想，王师傅在前 4 天和后 6 天中，每天都完成了加工 80 个零件的基本 任务，并且在后 6 天中，每天多加工 10 个零件，共多加工了 60 个零件。这多加 工的 60 个零件除以 10，就得到 10 天中平均每天多加工 6 个，用基本任务 80 个 加上多加工的 6 个，可以得到王师傅平均每天加工零件的个数。 答：王师傅平均每天加工零件 86 个。 〖第 120 题〗 甲、乙两城之间的距离是 420 千米，两辆汽车同时从甲城开往乙城，第一辆汽车 每小时行 42 千米，第二辆汽车每小时行 28 千米，第一辆汽车到达乙城后立即返 回，两辆车从开出到相遇共用了几小时？ 【普通解法】 第一辆汽车到达乙城需要的时间：420÷42=10（小时）第一辆汽车到达乙城时， 第二辆汽车行的路程：28×10=280（千米）这时，两车相距的路程：420-280=140 （千米）两车行完这段路程需要的时间：140÷（42+28）=2（小时）从开出到相 遇一共用的时间：10+2=12（小时） 【巧解】 由条件可知，两辆车从出发到相遇共走的路程，正好是甲乙两城距离的 2 倍。因 此，两辆汽车从出发到相遇所需的时间相当于两辆汽车从相距 420×2=840（千 米）的两地相向开出到相遇的时间。所以，只要用 840 千米除以两辆汽车的速度 和，就可以求得开出到相遇共用的时间。 420×2÷（42+28）=840÷70=12（小 时）答：两辆汽车从开出到相遇共用 12 小时。 〖第 121 题〗 甲、乙两列火车从两地相对开出，5 小时在距离中心 30 千米处相遇，快车每小 时行 60 千米，慢车每小时行多少千米？ 【普通解法】 要求慢车的速度，需要知道慢车行的路程和所用的时间。慢车用的时间已知，行 的路程可用两地距离减去快车行的路程求得。由条件可知，相遇时，快车行了 60×5=300 千米，正好过中心点 30 千米。因此，两地距离的一半是 300-30=270 （千米），两地距离是 270×2=540（千米）。所以相遇时慢车行了 540-300=240 （千米），由此可求出慢车的速度。 【（60×5-30）×2-60×5】÷5=【540-300】 ÷5=240÷5=48（千米） 【巧解】 由“两车在距离中心 30 千米处相遇”可知，快车比慢车多行 30×2=60（千米）， 即快车每小时比慢车多行 60÷5=12（千米），由此可求得慢车的速 度。 60-30×2÷5=60-12=48（千米）答：慢车每小时行 48 千米。 〖第 122 题〗 【普通解法】 （略） 【巧解】 〖第 123 题〗 两地距离 400 千米。有两列火车从这两地同时相对开出，甲车每小时行 45 千米， 乙车每小时行 35 千米。一只燕子以每小时 50 千米的速度与甲车同时同向出发， 向乙车飞去，它遇到乙车后，又折回向甲车飞去，再遇到甲车后，又往乙车飞去， 如此继续下去。求两列火车相遇时，这只燕子一共飞了多少千米？ 【普通解法】 要先求燕子每次往返的路程，然后再求飞了多少千米，求法相当麻烦。 【巧解】 已知燕子的飞行速度，要求它飞行的路程，只要求出燕子飞行的时间即可。燕子 飞行的时间恰好与甲乙两列火车从出发到相遇所行的时间相等，为此求出相遇的 时间就可求得燕子飞行的路程。 400÷（45+35）=400÷80=5（小时）50×5=250 （千米）答：燕子一共飞了 250 千米。 〖第 124 题〗 【普通解法】（略） 【巧解】裂项相消法 〖第 125 题〗 【普通解法】 【巧解】 〖第 126 题〗 【普通解法】 （略） 【巧解】 一个分数的分子与分母完全相同，则这个分数的值一定是 1. 〖第 127 题〗 【普通解法】 【巧解】 〖第 128 题〗 某钢铁厂扩建厂房，实际投资 200 万元，比计划节约投资 20%。计划投资是实际 投资的百分之几？ 【普通解法】 先求出原计划投资数，再除以实际投资数。 【巧解】 把计划投资数看作单位 1，则实际投资数是计划投资数的 1-20%=4/5,反过来说， 计划投资数相当于实际投资的 5/4，即 125%。答：计划投资是实际投资的 125%。 〖第 129 题〗 小明看一本书，全书 120 页。如果再看 8 页，那么看过的页数就相当于这本书的 五分之二。小明看过的页数占全书页数的几分之几？ 【普通解法】 要求看了几分之几，就要知道看了几页。由条件可知，如果小明再看 8 页，那么 看过的页数相当于 120 页的五分之二，也就是 48 页，所以小明实际看了 40 页， 由此可求出看了几分之几。 【巧解】 小明再看 8 页，也就是再看全书的 因此，小明实际看过的页数占全书的 答：小明看过的页数占全书的三分之一。 〖第 130 题〗 有一堆煤共 185 吨。第一天运走总数的五分之二，第二天运走 37 吨，剩下的第 三天刚好运完。第三天运走了这堆煤的几分之几？ 【普通解法】 已知一堆煤共 185 吨，要求第三天运走了这堆煤的几分之几，只要求出第三天运 走了多少吨。可以这样想：用总吨数减去第一天和第二天运走的吨数，就可以求 出第三天运走的吨数。 【巧解】 由条件可知，第一天运走了这堆煤的五分之二，第二天运走了 37 吨，也就是运 走了这堆煤的 由此可求出第三天运走了这堆煤的几分之几。 答：第三天运走了这堆煤的五分之二。 〖第 131 题〗 修一条公路，已经修了全长的八分之五，还剩 12 千米没有修，剩下的是已经修 好的百分之几？ 【普通解法】 已知剩下 12 千米，要求剩下的是已经修好的百分之几，还必须求出修好的千米 数，要求修好了几千米，还要先求出全长。由条件可知，剩下的 12 千米相当于 全长的八分之三，于是全长可求，从而问题的解也就可以求出。 【巧解】 由“已经修了全长的八分之五”可以知道，如果把全长看作 8 份，那么已经修好 的公路正好是 5 份，还有 3 份没修。要求剩下的是已经修好的百分之几，实际上 就是求 3 份是 5 份的百分之几。 答：剩下的是修好的 60%。 〖第 132 题〗 电视机厂原计划 20 天装配电视机 800 台，实际只用了 16 天，实际工作效率比原 计划提高了百分之几？ 【普通解法】 分别计算出原计划和实际每天生产电视机的台数，再用除法求出工作效率提高的 百分数。800÷16=50（台）800÷20=40（台）（50-40）÷40=25% 【巧解】 把工作总量，即需要装配的电视机的总台数看作“1”。那么，计划的工作效率 可以用 1/20 来表示，实际的工作效率可以用 1/16 来表示。这样不用“800 台” 这个条件，也能求出问题的解。 答：实际工作效率比原计划提高了 25%。 〖第 133 题〗 某粮店有麻油、豆油、菜籽油共 5 桶，重量分别是 150 千克、90 千克、80 千克、 60 千克、60 千克。已知麻油只有一桶，豆油的重量正好是菜籽油的 2 倍。请问： 三种油各有多少千克？ 【普通解法】 这道题按常规思路考虑似乎缺少条件。但如果仔细观察每桶油重量的数字特点， 可得到巧妙的解法。 【巧解】 由条件可知，麻油一桶，豆油和菜籽油共 4 桶，这 4 桶油的重量可以分成两部分， 使一部分重量恰好是另一部分的 2 倍。因为（150+90）刚好是（60+60）的 2 倍， 可以确定 80 千克一桶装的是麻油；两个 60 千克装的是菜籽油；150 千克和 90 千克的两桶装的是豆油。 〖第 134 题〗 某工厂有一堆煤，原计划每天烧 8 吨，可以烧 24 天，由于改进烧煤技术，结果 烧了 30 天现在每天烧煤量比原计划节约了百分之几？ 【普通解法】 先求出实际每天的烧煤量和实际每天比计划节约的烧煤量，再用节约的烧煤量除 以计划的烧煤量，求出节约的百分数。8×24÷30=6.4（吨）（8-6.4）÷8=20% 【巧解】 因为原计划烧煤 24 天，实际烧了 30 天。所以计划每天的烧煤量是这堆煤的 1/24， 实际每天的烧煤量是这堆煤的 1/30。由此，不用“原计划每天烧 8 吨”这个条 件也能求出实际烧煤量比原计划节约的百分数。 答：现在每天的烧煤量比原计划节约了 20%。 〖第 135 题〗 肥皂厂一个月计划生产 3200 箱肥皂，前 10 天完成 45%，按这样的速度，一个月 （30 天）可超产百分之几？ 【普通解法】 要求超产的百分数，必须先求出一个月实际的产量。由条件可知，这个月前 10 天生产肥皂 3200×45%=1440（箱），平均每天生产了 1440÷10=144（箱），由 此可以求出一个月实际的产量，从而求出超产的百分数。 3200×45%÷10×30=4320（箱）（4320-3200）÷3200=35% 【巧解】 一个月（30 天）有 3 个 10 天，一个 10 天完成了计划的 45%，按这样的速度 3 个 10 天就完成了计划的 45%×3=135%，由此可知，一个月可超产 35%。45%× （30÷10）-1=35%。答：一个月可超产 35%。 〖第 136 题〗 洗衣机厂一月份计划生产洗衣机 240 台，结果上半月完成了全月计划的 60%，下 半月完成的和上半月同样多，这个月可超产多少台？ 【普通解法】 240×60%×2-240=288-240=48（台） 【巧解一】 240×（60%×2-1）=240×20%=48（台）【巧解二】先求出半个月超产 的台数，然后再乘以 2 就可以求出一个月超产的台数。 240×（60%-50%） ×2=24×2=48（台）答：这个月可超产 48 台。 〖第 137 题〗 一本书共 120 页，第一天看了 20 页，第二天看了总页数的 1/3，还剩多少页没 有看？ 【普通解法】 先求出第二天看的页数，然后用总页数减去第一、第二两天看的页数，求出还 剩的页数。 【巧解】 先求出剩下的页数相当于总页数的几分之几，再求剩下的页数。 答：还剩 60 页没有看。 〖第 138 题〗 工厂原计划每天生产 40 台机器，20 天可以完成，如果要提前 4 天完成，每天比 原计划要多生产多少台? 【普通解法】 先求出实际每天生产机器的台数，再减去原计划每天生产的台数，所得的差就 是每天比原计划多生产的台数。 40×20÷（20-4）-40=50-40 =10（台） 【巧解】 计划 20 天生产的任务，要在 16 天（提前 4 天）内完成，那么每天生产的台数必 须相当于原计划的 20/16，也就是要比原计划多生产 4/16，由此可以十分简便地 求出问题的解。 答：每天比原计划要多生产 10 台。 〖第 139 题〗 有甲、乙、丙三桶水，甲桶里的水比丙桶里的水多 20%，乙桶有水 24 千克，比 甲桶少 20%，问哪一桶水最少？ 【普通解法】 要比较三桶水重量的多少，只要求出三桶水的具体重量。乙桶：24（千克）甲桶： 24÷（1-20%）=30（千克）丙桶：30÷（1+20%）=25（千克）因为 30＞25＞24， 所以乙桶水最少。 【巧解】 这道题不求出每桶水的具体重量也可以比较重量的大小。 由条件可知，甲桶里的水最多；乙桶比甲桶少甲桶的 20%，丙桶比甲桶少丙桶的 20%，因为甲桶的 20%比丙桶的 20%多，所以乙桶里的水比丙桶少。由此可知，三 桶水中乙桶里的水最少。答：乙桶里的水最少。 〖第 140 题〗 【普通解法】 【巧解】 答：绳长 12 米。 〖第 141 题〗 一辆汽车从甲地开往乙地，用了 6 小时，由乙地返回甲地时，速度每小时加快 8 千米，结果时间少用了 1 小时，甲乙两地相距多少千米？ 【普通解法】 这是一道比较复杂的分数应用题，关键要求出 8 千米相当于甲乙两地距离的几分 之几。由条件可知，汽车从甲地开往乙地时，每小时行了甲乙两地距离的 1/6， 汽车从乙地返回甲地时，每小时行了甲乙两地距离的 1/(6-1)=1/5，由此可知， 8 千米相当于甲乙两地距离的（1/5-1/6)，问题可求。 【巧解】 汽车从乙地返回甲地时，每小时比去时多走了 8 千米，5 小时一共夺走了 8×5=40 （千米），这 40 千米实际上应该是去时 1 小时行的路程，所以甲乙两地间的距 离是 40×6=240（千米）。答：甲乙两地相距 240 千米。 〖第 142 题〗 张刚看一本书，要 12 天才能看完。他看了 4 天，还剩 40 页，这本书有多少页？ 【普通解法】 用归一法解。40÷（12-4）×12=40÷8×12=60（页） 【巧解】 张刚看了 4 天，正好看了一本书的 4/12=1/3，那么剩下的 40 页就是这本书的 2/3， 由此可以求出总页数。 答：这本书有 60 页。 〖第 143 题〗 某校绿化校园，买来树苗的株数是原来校内树木株数的 7/12，第一天种植买来 树苗的 1/7 后，剩下的树苗比原有树木少 180 株。问原有树木多少株？ 【普通解法】 把原有树木株数看作“1”，第一天种植买来树苗的 1/7，也就是种植树苗数相 当于原有树木株数的 7/12×1/7=1/12，那么剩下的树苗数相当于原有树木株数 的 7/12-1/12=1/2，比原有树木株数少 1/2，由此可以求出原有树木的株数。 【巧解】 将原来校内树木株数平均分成 12 份，那么买来的树苗株数就相当于 7 份，第一 天种了 7 份中的一份，还剩 6 份，正好是原有树木株数的一半，这样就能很简单 地求出原有树木。 答：原有树木 360 株。 〖第 144 题〗 某班有女生 20 人，相当于男生的 4/5，这个班共有学生多少人？ 【普通解法】 先求出男生人数，再把男女生人数相加，求出全班人数。 【巧解】 把全班人数看作“1”，则女生人数相当于全班人数的 4/(5+4)，即全班人数的 4/9 是 20 人，由此可直接求出全班人数。 答：这个班共有学生 45 人。 〖第 145 题〗 甲 8 天生产的机器零件数与乙 7 天生产的机器零件数相等，他们在同一时间内， 共同生产机器零件 60 件，甲比乙少做几个零件？ 【普通解法】 要求甲比乙少做的零件个数，必须知道甲和乙各做的零件个数。如果把乙做的零 件数看作单位 1，那么在同一时间内，甲做的零件数是乙的 7/8，由此可知，乙 做零件数的（1+7/8）正好是 60 个，这样就能求出乙和甲各做的零件数，从而求 出问题的解。 【巧解】 在同一时间内，甲和乙生产零件数的比是 7：8，由此可知，甲乙所做零件个数 的差是它们和的（8-7）/（7+8）=1/15，这样便能直接求出甲比乙少做的零件数。 答：甲比乙少做 4 个零件。 〖第 146 题〗 张庄村前年小麦平均亩产量是 300 千克，去年是 330 千克，今年又丰收，增产的 百分数与去年比前年增产的百分数相同，今年小麦亩产多少千克？ 【普通解法】 先求出去年比前年增加的百分数，再根据“今年增产百分数与去年比前年增产的 百分数相同”这个条件，求出今年小麦的亩产量。（330-300）÷300=10%330× （1+10%）=363（千克） 【巧解】 由条件可知，去年小麦亩产量是前年的 330/300。因为今年增产的百分数与去年 比前年增产的百分数相同，所以今年小麦亩产量也必定是去年小麦亩产量的 330/300，由此可直接求出今年小麦的亩产量。 答：今年小麦亩产 363 千克。 〖第 147 题〗 某生产专业组今年小麦亩产 375 千克，比去年增产 1/4，今年比去年每亩增产多 少千克？ 【普通解法】 先求出去年小麦亩产量，再利用今年小麦亩产量减去去年小麦亩产量，求得今年 比去年每亩增产的千克数。 【巧解】 把去年小麦亩产量看作 4 份，则今年小麦亩产量比去年增加了 1 份，今年的亩产 量相当于 5 份，所以，今年增加的亩产量相当于今年亩产量的 1/5，即相当于 375 千克的 1/5，由此可直接求出今年小麦增加的亩产量。 答：今年比去年每亩增产 75 千克。 〖第 148 题〗 食品店共有白糖和红糖 480 千克，红糖千克数是白糖的 3/5，红糖有多少千克？ 【普通解法】 把白糖千克数看作“1”，红糖千克数就是它的 3/5，白糖和红糖合起来就相当 于白糖的（1+3/5），由此可以求出白糖千克数，从而求出红糖千克数。 【巧解一】 把红糖千克数看作“1”，则白糖千克数相当于它的 5/3，红糖和白糖合起来就 相当于红糖的（1+5/3），由此可直接求出红糖的千克数。 【巧解二】 把白糖千克数看作 5 份，则红糖千克数相当于 3 份，一共是 8 份。由此可知，在 480 千克糖中，白糖占 5/8，红糖占 3/8，红糖千克数可以很容易地求出。 答：红糖有 180 千克。 〖第 149 题〗 电教馆放映一部科教影片，放映了 24 分钟，刚好放映了这部影片的 3/10，照这 样的速度，放完这部影片，还需多少分钟？ 【普通解法】 由条件可知，放完这部影片还需要的时间是放映总时间的（1-3/10），因此，要 求问题必须先求出放映的总时间。因为 24 分钟刚好放映了这部影片的 3/10，所 以，放完这部影片共需要 24÷（3/10）=80（分钟），于是问题得解。 【巧解】 把已经放映的时间看作 3 份，那么还要放映的时间就是 10-3=7（份），相当于 已经放映时间的 7/3，即相当于 24 分钟的 7/3，由此可以直接求出还要放映的时 间。 答：放完这部影片还需 56 分钟。 〖第 150 题〗 有两筐苹果，已知第二筐苹果是第一筐的 9/10，若从第一筐拿出 10 千克放入第 二筐，则两筐苹果重量相等。这两筐苹果共重多少千克？ 【普通解法】 由条件可知，第二筐比第一筐少 10×2=20（千克）苹果，这 20 千克苹果正好相 当于第一筐的（1-9/10），由此可以求出第一筐苹果的千克数，从而求出第二筐 苹果的千克数，以及两筐苹果的总千克数。第一筐苹果的千克数： 第二筐苹果的千克数： 两筐苹果总千克数： 【巧解一】 把第一筐苹果看作 10 份，第二筐苹果看作 9 份，那么，它们一共有 19 份，相差 1 份。由条件可知，两筐苹果相差 20 千克，即 1 份是 20 千克，所以两筐苹果一 共有 20×19=380（千克）【巧解二】把两筐苹果总重量看作“1”，那么第 一筐苹果的重量相当于总重量的 10/19，从第一筐拿出 10 千克放入第二筐后， 两筐重量相等，即第一筐拿出 10 千克后，剩下的重量相当于总重量的 1/2，也 就是总重量的（10/19-1/2)正好是 10 千克，由此可直接求出总重量。 答：两筐苹果共重 380 千克。 〖第 151 题〗 筑路队筑一条路，计划 20 天完成，实际动工 5 天后，工作效率提高 25%，问可 以提前几天完成？ 【普通解法】 要求提前几天完成，关键要求出动工 5 天后，剩下的工作量还要用几天才能完成， 这就要知道动工 5 天后剩下的工作量和实际的工作效率，由条件可知，动工 5 天正好完成了筑路任务的 5/20，还剩下（1-5/20）没有完成。由条件还可知道， 前 5 天的工作效率是 1/20，5 天后的工作效率是 1/20×（1+25%），由此可以求 出实际工作的时间和提前完成的天数。 【巧解】 实际动工 5 天后，计划还要 15 天才能完成任务，但工作效率提高了 25%，根据 工作效率与工作时间成反比关系可知，工作时间可以缩短 即可提前 15×20%=3（天）完成任务。 答：可以提前 3 天完成任务。 〖第 152 题〗 客车从甲地到乙地每小时行全程的 1/5，货车从乙地到甲地，每小时行 30 千米。 两车同时从甲、乙两地相向而行，3 小时后相遇。甲、乙两地相距多少千米？ 【普通解法】 由条件可知，客车 3 小时行驶了全程的 3/5，那么，还有全程的 2/5 必定是货车 3 小时行的，而货车 3 小时正好行了 30×3=90（千米），所以全程的 2/5 正好是 90 千米，全程可求。 【巧解】 因为客车和货车 3 小时相遇，所以客车和货车每小时共行全程的 1/3，由此可知， 货车每小时行全程的 1/3-1/5=2/15，即 30 千米相当于全程的 2/15，全程可求。 答：甲、乙两地相距 225 千米。 〖第 153 题〗 甲、乙两车同时从 A、B 两站相对开出，5 小时后甲车到达中点，乙车离中点还 有 60 千米。已知乙车的速度是甲车的 2/3，求 A、B 两站间的距离。 【普通解法】 已知甲、乙两车行的时间，要求 A、B 两站间的距离（即甲、乙两车一共行的路 程），还需要知道甲、乙两车的速度。由条件可知，乙车 5 小时比甲车共少行了 60 千米，那么，乙车 1 小时比甲车少行 60÷5=12（千米），正好相当于甲车速 度的（1-2/3），由此可以求出甲车的速度，从而求出乙车的速度和 A、B 两站间 的距离。 【巧解】 因为甲车行了 A、B 两站距离的一半，所以把甲车所行路程乘以 2 就可以求出 A、 B 两站间的距离。从“乙车速度是甲车的 2/3”可以知道，乙车 5 小时行的路程 也相当于甲车 5 小时所行路程的 2/3，由此可知，甲、乙两车所行路程的差（60 千米）相当于甲车所行路程的（1-2/3），从这里可以直接求出甲车所行的路程， 从而求出全程。 答：A、B 两站间的距离是 360 千米。 〖第 154 题〗 某小学有科技书、故事书共 630 本，其中科技书占 20%，后来又买进一些科技书， 这时科技书占两种书的 30%，又买进科技书多少本? 【普通解法】 要求出又买进科技书的本数，必须先求出后来两种书一共的本数。根据题意，从 线段图上可以看出故事书没有增加，即故事书的本数既是原来两种书总本数 630 的 80%，又是后来两种书总本数的 70%，由此可以求出后来两种书的总本数，从 而求出问题的解。 【巧解】 后来两种书的总本数可以看作原来两种书总本数与新买进的科技书的本数的和， 所以后来科技书共有的本数相当于 630 本的 30%与新买进的科技书本数的 30%的 和，但从图上还可以看出，后来科技书一共的本数相当于 630 本的 20%与新买进 的科技书本数的和，所以新买进的科技书本数的（1-30%）相当于 630 本的 （30%-20%），由此可以直接求出新买进的科技书的本数。 答：又买进科技书 90 本。 〖第 155 题〗 【普通解法】 【巧解】 〖第 156 题〗 【普通解法】 【巧解】 〖第 157 题〗 扇形的半径是 6 厘米，它的圆心角是 60°，这个扇形面积占与它等半径的圆面 积的几分之几？ 【普通解法】 ①扇形的面积。 ②圆的面积。 ③扇形面积占等半径圆面积的几分之几？ 【巧解】 因为半径为 r，圆心角为 n°的扇形面积是 因此，扇形面积占与它等半径的圆面积的 60/360，即为 1/6. 〖第 158 题〗 如图，正方形的边长为 4 厘米，求阴影部分的面积。 【普通解法】 把阴影部分分成上下两部分（如图）。上面是半圆，下面正好是一个长方形减去 两个扇形的差。求出这些图形的面积，再进行组合，就可以求得组合的阴影部分 的面积。 【巧解】 从图中可以看出，下面两个小扇形拼在一起相当于一个半圆。因此，阴影部分可 以割补成一个长方形，它的面积正好等于正方形面积的一半。 答：阴影部分的面积是 8 平方厘米。 〖第 159 题〗 下图中，圆的半径是 4 厘米，求阴影部分的面积。 【普通解法】 分别求出两个阴影部分的面积，然后再相加。 【巧解】 将图中左面一块阴影部分割下，绕着半径对称地翻转到半圆的右面（如图），则 两块阴影部分正好拼成一个三角形，这个三角形的面积也就是所求的阴影部分的 面积。 答：阴影部分的面积是 16 平方厘米。 〖第 160 题〗 电机厂一车间要制造一批零件，第一天制造 261 个，第二天完成余下的 2/7，这 样两天正好完成这批零件的 1/2，这批零件共有多少个？ 【普通解法】 如下图： 要求零件总数，必须求出 261 个零件相当于总数的几分之几。由条件可知，余下 部分的（1-2/7）相当于零件总数的 1/2，把零件总数看作“1”，则余下部分相 当于零件总数的 1/2÷(1-2/7)=7/10，由此可知，第一天制造 261 个零件，正好 完成了一批零件的（1-7/10），从这里可以求出一批零件的个数。 【巧解】 如下图： 因为前两天正好完成了这批零件的一半，所以其余的一半也可以看作是 261 个与 余下部分的 2/7 组成，显然，261 个零件相当于余下部分的（1-2/7×2），由此 可以求出余下部分，从而求出总数。 答：这批零件有 870 个。 〖第 161 题〗 甲、乙两个仓库共有水泥 2400 袋从两仓库分别运走 40%，再从甲仓调 60 袋给乙 仓后，两仓水泥袋数正好相等。甲仓原来有水泥多少袋？ 【普通解法】 甲、乙两仓分别运走 40%以后，还剩水泥 2400×（1-40%）=1440（袋），这时， 甲仓比乙仓多 60×2=120（袋），由此利用和差问题可以求出甲仓运走 40%以后， 剩下的水泥袋数。于是问题得解。 【巧解】 甲、乙两仓分别运走 40%，甲、乙两仓水泥袋数的差也相应的减少了 40%，如果 甲、乙两仓不运走 40%，那么甲仓应调 60÷（1-40%）=100（袋）给乙仓，两仓 水泥袋数才能正好相等，即甲仓水泥袋数比甲乙两仓的平均袋数多 100 袋。由此 可直接求出甲仓原有水泥的袋数。 答：甲仓库原有水泥 1300 袋。 〖第 162 题〗 车间有 45 吨货物要运到码头，甲车独运 10 小时可以运完，乙车独运 15 小时可 以运完，如果两车合运，多少小时可以运完？ 【普通解法】 【巧解】 把 45 吨货物看作单位 1，用解答工程问题的方法来解。 答：两车合运，6 小时可以运完。 〖第 163 题〗 抄一份书稿，甲、乙两人合抄要 6 小时，甲单独抄要 10 小时，乙单独抄要几小 时？ 【普通解法】 甲、乙合抄 1 小时可以抄完一份书稿的 1/6，甲单独抄 1 小时可以抄完 1/10，所 以乙单独抄 1 小时可以抄完一份书稿的 1/6-1/10=1/15，即乙单独抄 15 小时才 能抄完。 【巧解】 由条件可知，甲、乙两人合抄 6 小时正好可以抄完一份书稿，其中甲抄了 6/10， 还有 4/10 必定是乙 6 小时抄的，即乙单独抄完这份书稿所需的时间 4/10 是 6 小时，由此可以求出问题的解。 答：乙单独抄要 15 小时。 〖第 164 题〗 甲、乙两车同时从两地相向开出，9 小时相遇。相遇时甲行了全程的 2/5，乙车 行完全程要多少时间？ 【普通解法】 要求乙车行完全程需要的时间，关键要求出乙的速度。由条件可知，甲、乙两车 每小时共行了全程的 1/9，甲每小时行了全程的 2/5÷9=2/45.由此可以求出乙每 小时行了全程的几分之几，从而求出问题的解。 【巧解一】 由条件可知，相遇时，甲车行了全程的 2/5，乙车行了全程的（1-2/5)，从这里 可以知道，乙车所行时间 9 小时也将是乙车行完全程所需时间的 1-2/5，于是问 题可解。 【巧解二】 把全程看作 5 份，9 小时相遇的时候，甲车行了 2 份，乙车行了 3 份。所以乙车 走其中的一份用了 9÷3=3（小时），那么乙车走全程 5 份所用的时间为 3×5=15 （小时）。 答：乙车行完全程需要 15 小时。 〖第 165 题〗 一列客车从甲站开到乙站需 10 小时，一列货车从乙站开到甲站需 15 小时，两列 火车同时从两站相向开出后已行驶了 4 小时，问还需行多少小时才能相遇？ 【普通解法】 根据剩下的路程除以速度和等于还要行的时间，很容易想到下面的解法。 【巧解】 根据条件可以求出甲、乙两车自开出后到相遇的时间是 已行驶了 4 小时，那么还要行 6-4=2（小时）才能相遇。 答：还需行 2 小时才能相遇。 〖第 166 题〗 一项工程，甲、乙两个工程队单独做，甲队要 8 天，乙队要 12 天，现在先由两 队合做 2 天后，余下的由乙队独做。完成任务时，乙队一共做了几天？ 【普通解法】 乙队一共做的时间可以分为两部分，一部分是乙和甲一起做的 2 天，另一部分是 乙单独做的天数。要求乙队一共做的时间，就必须先求出乙队单独做的时间。由 条件可知，甲乙两队合做 2 天后，还余下全工程的 又可知道乙队每天做全工程的 1/12，用余下的工作量除以乙队的工作效率就可 求出乙单独做的时间，从而求出乙队一共做的时间。 【巧解】 在完成这项工程的过程中，甲队一共做了 2 天，即做了这项工程的 2/8，还有 6/8 必定是乙做的，用乙做的全部工作量除以乙的工作效率，就可以直接求出乙一共 做的工作时间。 答：乙一共做了 9 天。 〖第 167 题〗 甲、乙两地相距 600 千米，客车行完全程要 12 小时，货车行完全程要 20 小时， 客车上午九点从甲地开往乙地，货车上午十一点从乙地开往甲地，什么时候两车 相遇？ 【普通解法】 分别求出客车和货车的速度，然后根据相遇问题的数量关系进行解答。 即两车在十七点十五分相遇。 【巧解】 把甲、乙两地距离看作”1“，那么客车的速度可以用全程的 1/12 来表示，货车 的速度可以用全程的 1/20 来表示，由此可直接利用相遇问题的数量关系求出相 遇时间。 答：两车在十七点十五分相遇。 〖第 168 题〗 下图中，长方形的长是 4 厘米，宽是长的一半。求阴影部分的面积。 【普通解法】 图中的阴影部分可以看作一个三角形与左上角空白部分的面积之差，而左上角空 白部分又可看作半个长方形面积与一个扇形（1/4 圆）的面积之差。 【巧解】 在长方形的中间画一条虚线，则阴影部分可以分为左右两部分，把右边一部分阴 影割下，拼到左边阴影部分的下方（箭头所示）。这样，阴影部分正好拼成一个 扇形（即 1/4 圆）。 答：阴影部分的面积是 3.14 平方厘米。 〖第 169 题〗 有一项工程，如果甲独做 6 天可以完成这项工程的 3/10，如果乙独做 6 天可以 完成这项工程的一半，如果甲、乙同时合做，几天可以完成全部工程？ 【普通解法】 要求甲、乙合做完成全部工程所需的时间，必须先求出甲、乙各自的工作效率。 由条件可知，甲 6 天完成了全部工程的 3/10，因此，甲一天完成了全部工程的 3/10÷6=1/20，同样可以求出乙一天完成全部工程的 1/2÷6=1/12，由此可以求 出问题的解。 【巧解】 假设甲、乙合做 6 天，那么他们可以完成全部工程的 3/10+1/2=4/5，即甲、乙 合做完成全部工程所需时间的 4/5 是 6 天，由此可以直接求出问题的解。 答：甲、乙合做 7.5 天可以完成全部工程。 第 170 题〗 客车由甲城到乙城需行 10 小时，货车由乙城到甲城需行 15 小时，两车同时相向 开出，相遇时客车距离乙城还有 192 千米，求两城间的距离。 【普通解法】 根据工程问题的解题方法，可以求出客车和货车开出到相遇所需的时间是 于是可知，货车 6 小时行了 192 千米，由此可以求出货车的速度，从而求出两城 间的距离。 【巧解】 因为从甲城到乙城，客车要行驶 10 小时，货车要行驶 15 小时，所以，客车速度 是货车速度的 15/10，在相同时间内，客车所行的路程也是货车的 15/10，由此 可以求出客车行的路程和两城间的距离。 答：两城间的距离是 480 千米。 〖第 171 题〗 两只轮船同时从甲、乙两港相对开出，客轮每小时行 42 千米，货轮每小时行的 速度是客轮的 5/6，两只轮船在离甲、乙两港中点 7 千米处相遇。甲、乙两港间 的距离是多少？ 【普通解法】 先求出相遇时间。由条件可知，相遇时，两船所行路程相差 7×2=14（千米）， 速度相差是每小时 42×（1-5/6）=7（千米），所以两船从出发到相遇共行了 14÷7=2（小时）。再用速度和乘以相遇时间就可以求出甲乙两港之间的距离。 【巧解】 已知货轮速度是客轮的 5/6，那么在相同时间内，货轮所行距离也必定是客轮的 5/6，把客轮所行的路程看作 6 份，货轮所行的路程看作 5 份，则甲、乙两港间 的距离就相当于 11 份，货轮比客轮少行的路程相当于 1 份，由条件可知，货轮 比客轮少行了 14 千米，即 1 份是 14 千米，所以甲、乙两港之间的距离是 14×11=154（千米）。答：甲、乙两港相距 154 千米。 〖第 172 题〗 两列火车同时从两个城市相对开出，6.5 小时相遇，相遇时，甲车比乙车多行 52 千米，乙车的速度是甲车的 7/8，求两城距离。 【普通解法】 先求出两列火车的速度，再用速度和乘以相遇时间求出两城之间的距离。由条件 可知，乙车每小时比甲车少行 52÷6.5=8（千米），正好相当于甲车速度的 （1-7/8），所以甲车速度是每小时 8÷（1-7/8）=64（千米）。于是问题可解。 【巧解】 可以把甲车所行的路程看作 8 份，乙车所行的路程看作 7 份，它们所行路程的差 52 千米正好是 1 份，两城间的距离一共是 15 份，相当于 52×15=780（千米）。 答：两城相距 780 千米。 〖第 173 题〗 师徒两人共要做 140 个零件，当徒弟完成自己任务的 80%和师傅完成自己任务的 75%时，还剩下 32 个零件未做，问师徒两人各要做多少个零件？ 【巧解一】 由条件可知，师傅任务的 25%和徒弟任务的 20%正好是 32 个零件，而师徒两人任 务的 20%是 140×20%=28（个）零件，由此可以知道，师傅任务的 5%是（32-28） 个零件，这样就可以求出师傅和徒弟的任务各是多少。 【巧解二】 由题意可知，徒弟的 20%和师傅任务的 25%正好是 32 个零件，那么徒弟任务的 20%×5 和师傅任务的 25%×5 是 32×5=160（个）零件，由此可知，师傅任务的 （25%×5-1）是（160-140）个零件。这样也能求出师傅的任务，从而求出徒弟 的任务。（1-80%）×5=100%（1-75%）×5=125%（32×5-140）÷（125%-1）=80 （个）…………师傅 140-80=60（个）…………………………………………徒弟 【巧解二】师傅任务的（1-75%）=25%与徒弟任务的（1-80%）=20%正好是 32 个零件，我们把它看作一份。那么在两人已做零件 140-32=108（个）中，有上 面提到的三份，还余下徒弟任务的 20%，这个徒弟任务的 20%应该有零件 108-32×3=12（个）。所以徒弟的任务是 12÷20%=60（个），师傅的任务是 140-60=80（个）。答：徒弟要做 60 个零件，师傅要做 80 个零件。 〖第 174 题〗 甲、乙两人合做零件 2020 个，甲做零件的 10%比乙做零件的 20%多 16 个，求甲、 乙两人各做零件的个数。 【普通解法】 用方程解。 设甲做 x 个零件，则乙做了（2020-x）个零件。 x×10%-(2020-x)×20%=16x×10%-2020×20%+x×20%=16x×30%=16+404x=420÷ 0.3x=1400（个）2020-1400=620（个） 【巧解】 因为甲做零件的 10%与乙做零件的 10%共有 2020×10%=202（个），而甲做零件 的 10%相当于乙做零件的 20%再加上 16，于是有，乙做零件的 30%再加上 16 是 202，所以乙做的零件是（202-16）÷30%=620（个），甲做的零件是 2020-620=1400 （个）。答：甲做了 1400 个零件，乙做了 620 个零件。 〖第 175 题〗 有一堆苹果，平均分给幼儿园大小两个班，每人可得 6 个，如果只分给大班，每 人可得 10 个，如果只分给小班，每人可分得几个？ 【普通解法】 把苹果总数假设为“1”，则幼儿园大小两班的总人数是 1/6，大班人数是 1/10， 于是可求得小班人数是 1/6-1/10=1/15，即小班每人可分得 15 个苹果。 【巧解】 求 6 和 10 的公倍数 120。假设有 120 个苹果，则大班和小班一共有 120÷6=20 （人），大班有 120÷10=12（人），所以小班有 20-12=8（人），平均每人可分 得苹果 120÷8=15（个）答：如果只分给小班，每人可分得 15 个。 〖第 176 题〗 父亲和儿子都是同一工厂的工人，他们从家里步行到工厂，父亲要用 40 分钟， 儿子要用 30 分钟。如果父亲比儿子早 5 分钟离家，问儿子用几分钟可以赶上父 亲？ 【普通解法】 由条件可知，1 分钟内，父亲走了全程的 1/40，儿子走了全程的 1/30，他们的 速度之差相当于全程的 1/30-1/40=1/120。5 分钟内父亲已经走了全程的 1/40×5=1/8。儿子将用 1/8÷1/120=15（分钟）赶上父亲。 【巧解】 由条件可知，父亲从家到工厂，要比儿子多用 10 分钟，父亲比儿子早出发 5 分 钟，那么他还将比儿子晚 5 分钟到，所以，儿子恰好在路程的中点处赶上父亲， 即用了 15 分钟。答：儿子用 15 分钟可以赶上父亲。 〖第 177 题〗 如图是由一个扇形和一个半圆构成的。已知半圆的直径为 4 厘米，求阴影部分的 面积。 【普通解法】 把阴影部分分成左右两部分。左边部分的面积可以用一个大扇形的面积去掉一个 三角形和一个小扇形（1/4 圆）的面积求得。右边部分的面积可以用一个小扇形 （1/4 圆）去掉一个三角形求得。然后把两个阴影部分的面积加起来。 【巧解】 如图，将右面的阴影部分割下，拼到左面对称的位置上。两块阴影部分正好拼成 一块，它的面积可以由一个大扇形的面积减去一个大三角形的面积求得。 答：阴影部分的面积是 2.28 平方厘米。 〖第 178 题〗 如图，半圆的半径是 6 厘米，求阴影部分的面积。 【普通解法】 先求出半圆面积和空白叶形面积，然后相减，求得阴影部分的面积。（解法略） 【巧解】 如图，作一条虚线，将阴影部分分成两部分，把右面的阴影部分割下，正好与左 边的空白部分面积相等，拼上后正好拼成一个正方形。这个正方形的面积和原阴 影部分的面积一样大。 答：阴影部分的面积是 36 平方厘米。 〖第 179 题〗 如图，半圆的空白部分的面积是 6.28 平方厘米，求阴影部分的面积。 【普通解法】 按一般思路，由于阴影部分是一个扇形，要求这个扇形的面积就必须知道它的半 径和圆心角。但根据题目所给的条件，难以求出半径，阴影部分的面积也较难求 得。 【巧解】 因为图中阴影部分和空白部分是两个同半径的扇形，所以它们的面积与圆心角的 度数成正比例。由条件可求得阴影部分放入圆心角是 180°-80°=100°，所以 阴影部分的面积是空白部分的 100/80，即是 6.28 平方厘米的 5/4. 答：阴影部分的面积是 7.85 平方厘米。 〖第 180 题〗 如图，大半径 10 厘米，小半径 4 厘米，求阴影部分的面积。 【普通解法】 用大扇形面积减去小扇形面积。 【巧解】 我们先来总结出圆环的面积公式：将圆环沿着一条半径割开，假设把它拉成一个 梯形，则大圆周长为梯形的下底，小圆周长为梯形的上底，大半径减小半径为梯 形的高，则它的面积为 把阴影部分看作圆环形的 120/360 来计算。 答：阴影部分的面积是 87.92 平方厘米。