六年级奥数答案

六年级奥数答案

目 录 第 1 讲 定义新运算.......................................................................................... 1 第 2 讲 简便运算（一）..................................................................................4 第 3 讲 简便运算（二）..................................................................................7 第 7 讲 转化单位“1”（二）......................................................................20 第 8 讲 转化单位“1”（三）......................................................................26 第 9 讲 设数法解题........................................................................................32 第 10 讲 假设法解题（一）..........................................................................36 第 11 讲 假设法解题（二）..........................................................................40 第 12 讲 倒推法解题......................................................................................44 第 13 讲 代数法解题......................................................................................48 第 14 讲 比的应用（一）..............................................................................52 第 15 讲 比的应用（二）..............................................................................56 第 16 讲 用“组合法”解工程问题..............................................................61 第 17 讲 浓度问题.......................................................................................... 65 第 18 讲 面积计算（一）..............................................................................70 第 19 讲 面积计算（二）..............................................................................76 第 20 讲 面积计算.......................................................................................... 82 第 21 周抓“不变量”解题............................................................................87 第 22 周特殊工程问题....................................................................................91 第 23 周周期工程问题....................................................................................97 第 24 周 比较大小........................................................................................108 2 第 25 周最大最小问题..................................................................................113 第 26 周乘法和加法原理..............................................................................117 第 27 周表面积与体积（一）......................................................................121 第 28 周表面积与体积（二）......................................................................128 第 29 周抽屉原理（一）..............................................................................136 第 30 周抽屉原理（二）..............................................................................141 第 31 周逻辑推理（一）..............................................................................145 第 32 周逻辑推理（二）..............................................................................152 第 33 周行程问题（一）..............................................................................157 第 34 周行程问题（二）..............................................................................163 第 36 周流水行船问题..................................................................................176 第 37 周对策问题.......................................................................................... 185 第 38 周应用同余问题..................................................................................195 第 39 周“牛吃草”问题..............................................................................199 第 40 周不定方程.......................................................................................... 205 1 第 1 讲 定义新运算 一、知识要点 定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种 运算。 解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义 的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。 定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号， 如：*、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。 新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。但它在没有转化前，是不适合于 各种运算定律的。 二、精讲精练 【例题 1】假设 a*b=(a+b)+(a-b)，求 13*5 和 13*（5*4）。 【思路导航】这题的新运算被定义为：a*b 等于 a 和 b 两数之和加上两数之差。 这里的“*”就代表一种新运算。在 定义新运算中同样规定了要先算小 括号里的。因此，在 13*（5*4）中， 就要先算小括号里的（5*4）。 练习 1： 1、将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)×(a-b).。求 27*9。 2、设 a*b=a2+2b，那么求 10*6 和 5*（2*8）。 3、设 a*b=3a－b×1/2，求（25*12）*（10*5）。 【答案】1.648 2.112、65 3.193.25 【例题 2】设 p、q 是两个数，规定：p△q=4×q-(p+q)÷2。求 3△(4△6)。 【思路导航】根据定义先算 4△6。在这里“△”是新的运算符号。 练习 2： 1、设 p、q 是两个数，规定 p△q＝4×q－（p+q）÷2，求 5△（6△4）。 3△(4△6) ＝3△【4×6－（4+6）÷2】 ＝3△19 ＝4×19－（3+19）÷2 ＝76－11 ＝65 13*5=（13+5）+（13-5）=18+8=26 5*4=（5+4）+（5-4）=10 13*（5*4）=13*10=（13+10）+（13-10）=26 2 2、设 p、q 是两个数，规定 p△q＝p2+（p－q）×2。求 30△（5△3）。 3、设 M、N 是两个数，规定 M*N＝M/N+N/M，求 10*20－1/4。 【答案】1.36 2.902 3. 4 12 【例题 3】如果 1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333， 4*2=4+44，那么 7*4=________；210*2=________。 【思路导航】经过观察，可以发现本题的新运算“*”被定义为。因此 练习 3： 1、如果 1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，…… 那么 4*4=________。 2、规定， 那么 8*5=________。 3、如果 2*1=1/2，3*2=1/33，4*3=1/444，那么（6*3）÷（2*6）=________。 【答案】1.4936 2.9872 3. 3 2333 【例题 4】规定②=1×2×3，③=2×3×4 ，④=3×4×5，⑤=4×5×6，……如果 1/⑥－1/⑦ =1/⑦×A，那么，A 是几？ 【思路导航】这题的新运算被定义为：@ = （a －1）×a×（a＋1），据此，可以求出 1/⑥－1/ ⑦ =1/（5×6×7）－1/（6×7×8），这里的分母 都比较大，不易直接求出结果。根据 1/⑥－1/⑦ =1/⑦×A，可得出 A = (1/⑥－1/⑦)÷1/⑦ =（1/ ⑥－1/⑦）×⑦ = ⑦/⑥ －1。即 练习 4： 1、规定：②=1×2×3，③＝2×3×4，④＝3×4×5，⑤＝4×5×6，……如果 1/ ⑧－1/⑨＝1/⑨×A，那么 A=________。 2、规定：③＝2×3×4，④＝3×4×5，⑤＝4×5×6，⑥＝5×6×7，……如果 1/⑩+1/⑾＝1/⑾×□，那么□＝________。 3、如果 1※2＝1+2，2※3＝2+3+4，……5※6＝5+6+7+8+9+10，那么 x※3＝54 7*4=7+77+777+7777=8638 210*2=210+210210=210420 A =（1/⑥－1/⑦）÷1/⑦ =（1/⑥－1/⑦）×⑦ = ⑦/⑥－1 =（6×7×8）/（5×6×7）－1 = 1 又 3/5－1 = 3/5 3 中，x＝________。 【答案】1. 7 3 2. 3 12 3.17 【例题 5】设 a⊙b=4a－2b+1/2ab,求 z⊙（4⊙1）＝34 中的未知数 x。 【思路导航】先求出小括号中的 4⊙1=4×4-2 ×1+1/2×4×1＝16，再根据 x⊙16＝4x－2× 16+1/2×x×16 = 12x－32，然后解方程 12x－32 = 34，求出 x 的值。列算式为 练习 5： 1、设 a⊙b=3a－2b，已知 x⊙（4⊙1）＝7 求 x。 2、对两个整数 a 和 b 定义新运算“△”：a△b= 2a-b (a+b)×(a-b) ，求 6△4+9△8。 3、对任意两个整数 x 和 y 定于新运算，“*”：x*y＝ 4xy mx+3y （其中 m 是一个确定的 整数）。如果 1*2＝1，那么 3*12＝________。 【答案】1.9 2. 85 84 3. 7 33 4⊙1＝4×4-2×1+1/2×4×1＝16 x⊙16＝4x－2×16+1/2×x×16 ＝12x－32 12x－32 = 34 12x= 66 x＝5.5 4 第 2 讲 简便运算（一） 一、知识要点 根据算式的结构和数的特征，灵活运用运算法则、定律、性质和某些公式，可以 把一些较复杂的四则混合运算化繁为简，化难为易。 二、精讲精练 【例题 1】计算 4.75-9.63+（8.25-1.37） 【思路导航】先去掉小括号，使 4.75 和 8.25 相加凑整，再运用减法的性质：a －b－c = a－（b＋c），使运算过程简便。所以 原式＝4.75+8.25－9.63－1.37 ＝13－（9.63+1.37） ＝13－11 ＝2 练习 1：计算下面各题。 1. 6.73－2 又 8/17+（3.27－1 又 9/17） 2. 7 又 5/9－（3.8+1 又 5/9）－1 又 1/5 3. 14.15－（7 又 7/8－6 又 17/20）－2.125 4. 13 又 7/13－（4 又 1/4+3 又 7/13）－0.75 【答案】1.6 2.1 3.11 4.5 【例题 2】计算 333387 又 1/2×79+790×66661 又 1/4 【思路导航】可把分数化成小数后，利用积的变化规律和乘法分配律使计算简便。 所以：原式＝333387.5×79+790×66661.25 ＝33338.75×790+790×66661.25 ＝（33338.75+66661.25）×790 ＝100000×790 ＝79000000 练习 2：计算下面各题： 1. 3.5×1 又 1/4+125％+1 又 1/2÷4/5 2. 975×0.25+9 又 3/4×76－9.75 3. 9 又 2/5×425+4.25÷1/60 5 4. 0.9999×0.7+0.1111×2.7 【答案】1.7.5 2.975 3.4250 4.0.9999 【例题 3】计算：36×1.09+1.2×67.3 【思路导航】此题表面看没有什么简便算法，仔细观察数的特征后可知：36 = 1.2 ×30。这样一转化，就可以运用乘法分配律了。所以 原式＝1.2×30×1.09+1.2×67.3 ＝1.2×（30×1.09+1.2×67.3） ＝1.2×（32.7+67.3） ＝1.2×100 ＝120 练习 3：计算： 1. 45×2.08+1.5×37.6 2. 52×11.1+2.6×778 3. 48×1.08+1.2×56.8 4. 72×2.09－1.8×73.6 【答案】1.150 2.2600 3.120 4.18 【例题 4】计算：3 又 3/5×25 又 2/5＋37.9×6 又 2/5 【思路导航】虽然 3 又 3/5 与 6 又 2/5 的和为 10，但是与它们相乘的另一个因数 不同，因此，我们不难想到把 37.9 分成 25.4 和 12.5 两部分。当出现 12.5×6.4 时， 我们又可以将 6.4 看成 8×0.8，这样计算就简便多了。所以 原式＝3 又 3/5×25 又 2/5＋（25.4+12.5）×6.4 ＝3 又 3/5×25 又 2/5＋25.4×6.4＋12.5×6.4 ＝（3.6+6.4）×25.4＋12.5×8×0.8 ＝254＋80 ＝334 练习 4： 计算下面各题： 1、6.8×16.8＋19.3×3.2 2、139×137/138＋137×1/138 3、4.4×57.8＋45.3×5.6 6 【答案】1.176 2. 69 68138 3.508 【例题 5】计算 81.5×15.8＋81.5×51.8＋67.6×18.5 【思路导航】先分组提取公因数，再第二次提取公因数，使计算简便。所以 原式＝81.5×（15.8＋51.8）＋67.6×18.5 ＝81.5×67.6＋67.6×18.5 ＝（81.5＋18.5）×67.6 ＝100×67.6 ＝6760 练习 5： 1、53.5×35.3＋53.5×43.2＋78.5×46.5 2、235×12.1＋+235×42.2－135×54.3 3、3.75×735－3/8×5730＋16.2×62.5 【答案】1.7850 2.5430 3.1620 7 第 3 讲 简便运算（二） 一、知识要点 计算过程中，我们先整体地分析算式的特点，然后进行一定的转化，创造条件运 用乘法分配律来简算，这种思考方法在四则运算中用处很大。 二、精讲精练 【例题 1】计算：1234＋2341＋3412＋4123 【思路导航】整体观察全式，可以发现题中的 4 个四位数均由数 1，2，3，4 组 成，且 4 个数字在每个数位上各出现一次，于是有 原式＝1×1111＋2×1111＋3×1111＋4×1111 ＝（1＋2＋3＋4）×1111 ＝10×1111 ＝11110 练习 1： 1、23456＋34562＋45623＋56234＋62345 2、45678＋56784＋67845＋78456＋84567 3、124.68＋324.68＋524.68＋724.68＋924.68 【答案】1.222220 2.333330 3.2623.4 【例题 2】计算：2 又 4/5×23.4＋11.1×57.6＋6.54×28 【思路导航】我们可以先整体地分析算式的特点，然后进行一定的转化，创造条 件运用乘法分配律来简算。所以 原式＝2.8×23.4＋2.8×65.4＋11.1×8×7.2 ＝2.8×（23.4＋65.4）＋88.8× 7.2 ＝2.8×88.8＋88.8×7.2 ＝88.8×（2.8＋7.2） ＝88.8×10 ＝888 练习 2：计算下面各题： 1、99999×77778＋33333×66666 2、34.5×76.5－345×6.42－123×1.45 3、77×13＋255×999＋510 【答案】1.9999900000 2.246 3.256256 8 【例题 3】计算（1993×1994－1）/（1993＋1992×1994） 【思路导航】仔细观察分子、分母中各数的特点，就会发现分子中 1993×1994 可变形为 1992＋1）×1994=1992×1994＋1994，同时发现 1994－1 = 1993，这样就 可以把原式转化成分子与分母相同，从而简化运算。所以 原式＝【（1992＋1）×1994－1】/（1993＋1992×1994） ＝（1992×1994＋1994－1）/（1993＋1992×1994） ＝1 练习 3：计算下面各题： 1、（362＋548×361）/（362×548－186） 2、（1988＋1989×1987）/（1988×1989－1） 3、（204＋584×1991）/（1992×584―380）―1/143 【答案】1.1 2.1 3. 143 142 【例题 4】有一串数 1，4，9，16，25，36…….它们是按一定的规律排列的，那 么其中第 2000 个数与 2001 个数相差多少？ 【思路导航】这串数中第 2000 个数是 20002，而第 2001 个数是 20012，它们相 差：20012－20002，即 20012－20002 ＝2001×2000－20002＋2001 ＝2000×（2001－2000）＋2001 ＝2000＋2001 ＝4001 练习 4：计算： 1、19912－19902 2、99992＋19999 3、999×274＋6274 【答案】1.3981 2.100000000 3.280000 【例题 5】计算：（9 又 2/7＋7 又 2/9）÷（5/7＋5/9） 【思路导航】在本题中，被除数提取公因数 65，除数提取公因数 5，再把 1/7 与 1/9 的和作为一个数来参与运算，会使计算简便得多。 原式＝（65/7＋65/9）÷（5/7＋5/9） ＝【65×（1/7＋1/9）】÷【5×（1/7＋1/9）】 ＝65÷5 ＝13 练习 5： 9 计算下面各题： 1、（8/9＋1 又 3/7＋6/11）÷（3/11＋5/7＋4/9） 2、（3 又 7/11＋1 又 12/13）÷（1 又 5/11＋10/13） 3、（96 又 63/73＋36 又 24/25）÷（32 又 21/73＋12 又 8/25） 【答案】1.2 2.2.5 3.3 10 第 4 讲 简便运算（三） 一、知识要点 在进行分数运算时，除了牢记运算定律、性质外，还要仔细审题，仔细观察运算 符号和数字特点，合理地把参加运算的数拆开或者合并进行重新组合，使其变成符合 运算定律的模式，以便于口算，从而简化运算。 二、精讲精练 【例题 1】 计算：（1）44 45 ×37 （2） 27×15 26 （1）原式＝（1－ 1 45 ）×37 （2） 原式＝（26+1）×15 26 ＝1×37－ 1 45 ×37 ＝26×15 26 +15 26 ＝37－37 45 ＝15+15 26 ＝36 8 45 ＝1515 26 练习 1 用简便方法计算下面各题： 1. 14 15 ×8 2. 2 25 ×126 3. 35×11 36 4. 73×74 75 5. 1997 1998 ×1999 【答案】1. 15 77 2. 25 210 3. 36 2510 4. 75 272 5. 1998 19971997 【例题 2】 计算：73 1 15 ×1 8 原式＝（72+16 15 ）×1 8 ＝72×1 8 +16 15 ×1 8 ＝9+ 2 15 11 ＝9 2 15 练习 2 计算下面各题： 1. 64 1 17 ×1 9 2. 22 1 20 × 1 21 3. 1 7 ×571 6 4. 411 3 ×3 4 +511 4 ×4 5 【答案】1. 17 27 2. 20 11 3. 6 18 4.72 【例题 3】 计算：1 5 ×27+3 5 ×41 原式＝3 5 ×9+3 5 ×41 ＝3 5 ×（9+41） ＝3 5 ×50 ＝30 练习 3 计算下面各题： 1. 1 4 ×39+3 4 ×27 2. 1 6 ×35+5 6 ×17 3. 1 8 ×5+5 8 ×5+1 8 ×10 【答案】1.30 2.20 3.5 【例题 4】 计算：5 6 × 1 13 +5 9 × 2 13 + 5 18 × 6 13 原式＝1 6 × 5 13 +2 9 × 5 13 + 6 18 × 5 13 ＝（1 6 +2 9 + 6 18 ）× 5 13 ＝13 18 × 5 13 12 ＝ 5 18 练习 4 计算下面各题： 1、 1 17 ×4 9 + 5 17 ×1 9 2. 1 7 ×3 4 +3 7 ×1 6 +6 7 × 1 12 3、5 9 ×7916 17 +50×1 9 +1 9 × 5 17 4. 15 7 ×3 8 + 1 15 × 7 16 + 1 15 ×31 2 【答案】1. 17 1 2. 4 1 3.50 4. 16 7 【例题 5】 计算：（1）166 1 20 ÷41 （2） 1998÷19981998 1999 解：（1）原式＝（164+2 1 20 ）÷41 （2）原式＝1998÷1998×1999+1998 1999 ＝164÷41+41 20 ÷41 ＝1998÷1998×2000 1999 ＝4+ 1 20 ＝1998× 1999 1998×2000 ＝4 1 20 ＝1999 2000 练习 5 计算下面各题： 1、542 5 ÷17 2、238÷238238 239 3、163 1 13 ÷41 1 39 【答案】1. 5 13 2. 240 239 3. 40 393 13 第 5 讲 简便运算（四） 一、知识要点 前面我们介绍了运用定律和性质以及数的特点进行巧算和简算的一些方法，下面 再向同学们介绍怎样用拆分法（也叫裂项法、拆项法）进行分数的简便运算。 运用拆分法解题主要是使拆开后的一些分数互相抵消，达到简化运算的目的。一 般地，形如 1 a×(a+1) 的分数可以拆成1 a － 1 a+1 ；形如 1 a×（a+n） 的分数可以拆成1 n ×（1 a － 1 a+n ），形如 a+b a×b 的分数可以拆成1 a +1 b 等等。同学们可以结合例题思考其中的规律。 二、精讲精练 【例题 1】 计算： 1 1×2 + 1 2×3 + 1 3×4 +…..+ 1 99×100 原式＝（1－1 2 ）+（1 2 －1 3 ）+（1 3 －1 4 ）+…..+ （ 1 99 － 1 100 ） ＝1－1 2 +1 2 －1 3 +1 3 －1 4 +…..+ 1 99 － 1 100 ＝1－ 1 100 ＝ 99 100 练习 1 计算下面各题： 1、 1 4×5 + 1 5×6 + 1 6×7 +…..+ 1 39×40 2、 1 10×11 + 1 11×12 + 1 12×13 + 1 13×14 + 1 14×15 3、1 2 +1 6 + 1 12 + 1 20 + 1 30 + 1 42 4、1－1 6 + 1 42 + 1 56 + 1 72 【答案】1. 40 9 2. 30 1 3. 7 6 4. 9 8 【例题 2】 14 计算： 1 2×4 + 1 4×6 + 1 6×8 +…..+ 1 48×50 原式＝（ 2 2×4 + 2 4×6 + 2 6×8 +…..+ 2 48×50 ）×1 2 ＝【（1 2 －1 4 ）+（1 4 －1 6 ）+（1 6 －1 8 ）…..+ （ 1 48 － 1 50 ）】×1 2 ＝【1 2 － 1 50 】×1 2 ＝ 6 25 练习 2 计算下面各题： 1、 1 3×5 + 1 5×7 + 1 7×9 +…..+ 1 97×99 2、 1 1×4 + 1 4×7 + 1 7×10 +…..+ 1 97×100 3、 1 1×5 + 1 5×9 + 1 9×13 +…..+ 1 33×37 4、1 4 + 1 28 + 1 70 + 1 130 + 1 208 【答案】1. 99 16 2. 100 33 3. 37 9 4. 16 5 【例题 3】 计算：11 3 － 7 12 + 9 20 －11 30 +13 42 －15 56 原式＝11 3 －（1 3 +1 4 ）+（1 4 +1 5 ）－（1 5 +1 6 ）+（1 6 +1 7 ）－（1 7 +1 8 ） ＝11 3 －1 3 －1 4 +1 4 +1 5 －1 5 －1 6 +1 6 +1 7 －1 7 －1 8 ＝1－1 8 ＝7 8 练习 3 计算下面各题： 1、11 2 +5 6 － 7 12 + 9 20 －11 30 2、11 4 － 9 20 +11 30 －13 42 +15 56 3、1998 1×2 +1998 2×3 +1998 3×4 + 1998 4×5 +1998 5×6 4、6× 7 12 － 9 20 ×6+ 11 30 ×6 15 【答案】1. 6 51 2. 8 11 3.1665 4.3 【例题 4】 计算：1 2 +1 4 +1 8 + 1 16 + 1 32 + 1 64 原式＝（1 2 +1 4 +1 8 + 1 16 + 1 32 + 1 64 + 1 64 ）－ 1 64 ＝1－ 1 64 ＝63 64 练习 4 计算下面各题： 1、 1 2 +1 4 +1 8 +………+ 1 256 2、 2 3 +2 9 + 2 27 + 2 81 + 2 243 3、 9.6+99.6+999.6+9999.6+99999.6 【答案】1. 256 255 2. 243 242 3.111108 【例题 5】 计算：（1+1 2 +1 3 +1 4 ）×（1 2 +1 3 +1 4 +1 5 ）－（1+1 2 +1 3 +1 4 +1 5 ）×（1 2 +1 3 +1 4 ） 设 1+1 2 +1 3 +1 4 ＝a 1 2 +1 3 +1 4 ＝b 原式＝a×（b+1 5 ）－（a+1 5 ）×b ＝ab+1 5 a－ab－1 5 b ＝1 5 （a－b）＝1 5 练习 5 1、（1 2 +1 3 +1 4 +1 5 ）×（1 3 +1 4 +1 5 +1 6 ）－（1 2 +1 3 +1 4 +1 5 +1 6 ）×（1 3 +1 4 +1 5 ） 2、（1 8 +1 9 + 1 10 + 1 11 ）×（1 9 + 1 10 + 1 11 + 1 12 ）－（1 8 +1 9 + 1 10 + 1 11 + 1 12 ）×（1 9 + 1 10 + 1 11 ） 16 3、（1+ 1 1999 + 1 2000 + 1 2001 ）×（ 1 1999 + 1 2000 + 1 2001 + 1 2002 ）－（1+ 1 1999 + 1 2000 + 1 2001 + 1 2002 ） ×（ 1 1999 + 1 2000 + 1 2001 ） 【答案】1. 12 1 2. 96 1 3. 2002 1 17 第 6 讲 转化单位“1”（一） 一、知识要点 把不同的数量当作单位“1”，得到的分率可以在一定的条件下转化。 如果甲是乙的 a/b，乙是丙的 c/d，则甲是丙的 ac/bd；如果甲是乙的 a/b，则乙 是甲的 b/a；如果甲的 a/b 等于乙的 c/d，则甲是乙的 c/d÷a/b＝bc/ad，乙是甲的 a/b÷a/b＝ad/bc。 二、精讲精练 【例题 1】乙数是甲数的 2/3，丙数是乙数的 4/5，丙数是甲数的几分之几？ 2/3×4/5＝8/15 练习 1： 1、乙数是甲数的 3/4，丙数是乙数的 3/5，丙数是甲数的几分之几？ 2、一根管子，第一次截去全长的 1/4，第二次截去余下的 1/2，两次共截去全长 的几分之几？ 3、一个旅客从甲城坐火车到乙城，火车行了全程的一半时旅客睡着了。他醒来 时，发现剩下的路程是他睡着前所行路程的 1/4。想一想，剩下的路程是全程的几分 之几？他睡着时火车行了全程的几分之几？ 【答案】1. 5 3 × 4 3 = 20 9 2. 4 1 +（1- 4 1 ）× 2 1 = 8 5 3. 2 1 × 4 1 = 8 1 2 1 - 8 1 = 8 3 【例题 2】修一条 8000 米的水渠，第一周修了全长的 1/4，第二周修的相当于第 一周的 4/5，第二周修了多少米？ 解一：8000×1/4×4/5＝1600（米） 解二：8000×（1/4×4/5）＝1600（米） 答：第二周修了 1600 米。 练习 2：用两种方法解答下面各题： 1、一堆黄沙 30 吨，第一次用去总数的 1/5，第二次用去的是第一次的 1 又 1/4 倍，第二次用去黄沙多少吨？ 2、大象可活 80 年，马的寿命是大象的 1/2，长颈鹿的寿命是马的 7/8，长颈鹿 可活多少年？ 3、仓库里有化肥 30 吨，第一次取出总数的 1/5，第二次取出余下的 1/3，第二 次取出多少吨？ 18 【答案】1.30× 5 1 × 4 5 =7.5（吨） 2.80× 2 1 × 8 7 =35（年） 3.（30-30× 5 1 ）× 3 1 =8（吨） 【例题 3】晶晶三天看完一本书，第一天看了全书的 1/4，第二天看了余下的 2/5， 第二天比第一天多看了 15 页，这本书共有多少页？ 解： 15÷【（1－1/4）×2/5－ 1/4】＝300（页） 答：这本书有 300 页。 练习 3： 1、有一批货物，第一天运了这批货物的 1/4，第二天运的是第一天的 3/5，还剩 90 吨没有运。这批货物有多少吨？ 2、修路队在一条公路上施工。第一天修了这条公路的 1/4，第二天修了余下的 2/3，已知这两天共修路 1200 米，这条公路全长多少米？ 3、加工一批零件，甲先加工了这批零件的 2/5，接着乙加工了余下的 4/9。已知 乙加工的个数比甲少 200 个，这批零件共有多少个？ 【答案】1. 90÷（1- 4 1 - 4 1 × 5 3 ）=150（吨） 2.1200÷[ 4 1 +（1- 4 1 ）× 3 2 ]=1600（米） 3.200÷[ 5 2 -（1- 5 2 ）× 9 4 ]=1500（个） 【例题 4】男生人数是女生人数的 4/5，女生人数是男生人数的几分之几？ 解：把女生人数看作单位“1”。 1÷4/5＝5/4 把男生人数看作单位“1”。 5÷4＝5/4 练习 4： 1、停车场里有小汽车的辆数是大汽车的 3/4，大汽车的辆数是小汽车的几分之 几？ 2、如果山羊的只数是绵羊的 6/7，那么绵羊的只数是山羊的几分之几？ 3、如果花布的单价是白布的 1 又 3/5 倍，则白布的单价是花布的几分之几？ 【答案】1.1÷ 4 3 = 3 4 2.1÷ 7 6 = 6 7 3.1÷ 5 31 = 8 5 【例题 5】甲数的 1/3 等于乙数的 1/4，甲数是乙数的几分之几，乙数是甲数的 几倍？ 解： 1/4÷1/3＝3/4 1/3÷1/4＝1 又 1/3 19 答：甲数是乙数的 3/4，乙数是甲数的 1 又 1/3。 练习 5： 1、甲数的 3/4 等于乙数的 2/5，甲数是乙数的几分之几？乙数是甲数的几分之 几？ 2、甲数的 1 又 2/3 倍等于乙数的 5/6，甲数是乙数的几分之几？乙数是甲乙两数 和的几分之几？ 3、甲数是丙数的 3/4，乙数是丙数的 2/5，甲数是乙数的几分之几？乙数是甲数 的几分之几？（想一想：这题与第一题有什么不同？） 【答案】1. 5 2 ÷ 4 3 = 15 8 4 3 ÷ 5 2 = 8 71 2. 6 5 ÷ 3 21 = 2 1 1÷（1+ 2 1 ）= 3 2 3. 4 3 × 2 5 = 8 15 5 2 × 3 4 = 15 8 20 第 7 讲 转化单位“1”（二） 一、知识要点 我们必须重视转化训练。通过转化训练，既可理解数量关系的实质，又可拓展我 们的解题思路，提高我们的思维能力。 二、精讲精练 【例题 1】甲数是乙数的 2/3，乙数是丙数的 3/4，甲、乙、丙的和是 216，甲、 乙、丙各是多少？ 解法一：把丙数看所单位“1”那么甲数就是丙数的 3/4×2/3＝1/2， 丙：216÷（1+3/4+3/4×2/3）＝96 乙：96×3/4＝72 甲：72×2/3＝48 解法二：可将“乙数是丙数的 3/4”转化成“丙数是乙数的 4/3”，把乙数看作单 位“1”。 乙：216÷（2/3+1+4/3）＝72 甲：72×2/3＝48 丙：72÷3/4 ＝96 解法三：将条件“甲数是乙数的 2/3”转化为“乙数是甲数的 3/2”，再将条件“乙 数是丙数的 3/4”转化为“丙数是乙数的 4/3”，以甲数为单位“1”。 甲：216÷（1+3/2+3/2×4/3）＝48 乙：48×3/2＝72 丙：72×4/3＝96 答：甲数是 48，乙数是 72，丙数是 96。 练习 1：下面各题怎样计算简便就怎样计算： 1、甲数是乙数的 5/6，乙数是丙数的 3/4，甲、乙、丙三个数的和是 152，甲、 乙、丙三个数各是多少？ 2、橘子的千克数是苹果的 2/3，香蕉的千克数是橘子的 1/2，香蕉和苹果共有 220 千克，橘子有多少千克？ 3、某中学的初中部三个年级中，初一的学生数是初二学生数的 9/10，初二的学 生数是初三学生数的 1 又 1/4 倍，这个学校里初三的学生数占初中部学生数的几分之 几？ 【答案】1.甲=40 乙=48 丙=64 2.220÷（1+ 3 2 × 2 1 ）× 3 2 =110（千克） 3.1÷ 4 11 ÷（1+ 10 9 +1÷ 4 11 ）= 27 8 【例题 2】红、黄、蓝气球共有 62 只，其中红气球的 3/5 等于黄气球的 2/3，蓝 气球有 24 只，红气球和黄气球各有多少只？ 21 解法一：将条件“红气球的 3/5 等于黄气球的 2/3”转化为“黄气球的只数是红 气球的（3/5÷2/3）＝9/10”。先求红气球的只数，再求出黄气球的只数。 红气球：（62－24）÷（1+3/5÷2/3）＝20（只） 黄气球：62－24－20＝18（只） 解法二：将条件“红气球的 3/5 等于黄气球的 2/3”转化为“红气球的只数是黄 气球的（2/3÷3/5）＝10/9”。先求黄气球的只数，再求出红气球的只数。 黄气球：（62－24）÷（1+2/3÷3/5）＝18（只） 红气球：62－24－18＝20（只） 答：红气球有 20 只，黄气球有 18 只。 练习 2： 1、甲数的 2/3 等于乙数的 5/6，甲、乙两数的和是 162，甲、乙两数各是多少？ 2、今年 8 月份，甲所得的奖金比乙少 200 元，甲得的奖金的 2/3 正好是乙得奖 金的 4/7，甲、乙两人各得奖金多少元？ 3、商店运来香蕉、苹果和梨子共 900 千克，香蕉重量的 1/4 等于苹果重量的 1/3， 梨子的重量是 200 千克。香蕉和苹果各多少千克？ 答案 2、解:甲乙获得的奖金比是 (元) (元) 答:甲获得了 1200 元,乙获得了 1400 元. 3、依据题意把苹果看作单位“1” 900÷( +1) 22 =900× =270(千克) 900-270=630(千克) 答：香蕉重 630 千克，苹果种 270 千克. 【例题 3】已知甲校学生数是乙校学生数的 2/5，甲校的女生数是甲校学生数的 3/10，乙校的男生数是乙校学生数的 21/50，那么两校女生总数占两校学生总数的几 分之几？ 解法一：把乙校学生数看作单位“1”。【2/5×3/10+（1－21/50）】÷（1+2/5） ＝1/2 解法二：把甲校学生数看作单位“1”。 （5/2－5/2×2150+3/10）÷（1+5/2） ＝1/2 答：甲、乙两校女生总数占两校学生总数的 1/2。 练习 3： 1、在一座城市中，中学生数是居民的 1/5，大学生是中学生数的 1/4，那么占大 学生总数的 2/5 的理工科大学生是居民数的几分之几？ 2、某人在一次选举中，需 3/4 的选票才能当选，计算 2/3 的选票后，他得到的 选票已达到当选票数的 5/6，他还要得到剩下选票的几分之几才能当选？ 3、某校有 3/5 的学生是男生，男生的 1/20 想当医生，全校想当医生的学生的 3/4 是男生，那么全校女生的几分之几想当医生？ 答案：1、解： 1/5 × 1/4 × 2/5 ＝ 1/50 . 故答案为：1/50 根据题意弄清分率是关键. 2、解： 3/4 ×(1— 5/6 )÷(1— 2/3 )＝ 3/8 故答案为： 3/8 3、解： ( 3/5× 1/20÷ 3/4－ 3/5× 1/20) ÷(1－ 3/5) 23 ＝( 1/25- 3/100 )÷ 2/5 ＝ 1/100÷ 2/5 ＝ 1/40 答：全校女生的 1/40 想当医生. 故答案为： 1/40 【例题 4】仓库里的大米和面粉共有 2000 袋。大米运走 2/5，面粉运作 1/10 后， 仓库里剩下大米和面粉正好相等。原来大米和面粉各有多少袋？ 解法一：将大米的袋数看作单位“1” （1－2/5）÷（1－1/10）＝2/3 2000÷（1+2/3）＝1200（袋） 2000－1200＝800 （袋） 解法二：将面粉的袋数看作单位“1” （1－1/10）÷（1－2/5）＝3/2 2000÷（1+3/2）＝800（袋） 2000－800＝1200 （袋） 答：大米原有 1200 袋，面粉原有 800 袋。 练习 4： 1、甲、乙两人各准备加工零件若干个，当甲完成自己的 2/3、乙完成自己的 1/4 时，两人所剩零件数量相等，已知甲比乙多做了 70 个，甲、乙两人各准备加工多少 个零件？解:设甲准备加工 x 个零件, , (个) 答:甲准备加工 126 个零件,乙准备加工 56 个零件. 2、一批水果四天卖完。第一天卖出 180 千克，第二天卖出余下的 2/7，第三、四天共 卖出这批水果的一半，这批水果有多少千克？解：设这批水果共有 x 千克， 24 180+(x-180)× 2/7= 1/2x， 180+ 2/7x-180× 2/7= 1/2x， 180-180× 2/7= 1/2x- 2/7x， 900/7= 3/14x， 900/7÷ 3/14= 3/14x÷ 3/14 x=600；答：这批水果有 600 千克.故答案为：600 千克 3、甲、乙两人合打一篇书稿，共有 10500 字。如果甲增加他的任务的 20％，乙 减少他的任务的 20％，那么甲打的字数就是乙的 2 倍，问两人原来的任务各是多少？ 甲打字：6000×（1+20%）=7200 乙打字：4500×（1-20%）=3600 【例题 5】400 名学生参加植树活动，计划每个男生植树 20 棵，每个女生植树 15 棵。除抽出 25％的男生搞卫生外，其他的同学都按计划完成了植树任务。问共植树多 少棵？ 解： 20×（1－25％）×400 ＝20×0.75×400 ＝6000（棵） 答：共植树 6000 棵。 练习 5： 1、有一块菜地和一块麦地，菜地的一半和麦地的 1/3 放在一起是 13 公顷，麦地的一 半和菜地的 1/3 放在一起是 12 公顷，那么，菜地有多少公顷？解：设菜地有 x 公顷， 麦地有(13－1/2x)÷1/3 公顷，由题意列方程得： 1/3x+1/2(1/3－1/2x)÷1/3=12 1/3x+39/2－3/4x=12 x=18 答：菜地有 18 公顷. 2、师徒两人加工同样多的零件，师傅要 10 分钟，徒弟要 18 分钟。两人共同加 25 工零件 168 个，如果要在相同的时间内完成，两人各应加工零件多少个？ 总量相同,则时间和效率成反比, 已知,加工同样多的零件,师傅和徒弟所需时间比为 , 可得:师傅和徒弟的效率比为 9:5; 因为时间相同,总量和效率成正比, 可得:在相同的时间内,师傅和徒弟加工零件数之比为 9:5; 所以师傅应该加工 个零件 徒弟应该加工 个零件. 3、有 5 元和 2 元的人民币若干张，其金额之比为 15：4。如果 5 元人民币减少 6 张，则两种人民币的张数相等。求原来两种人民币的张数各是多少？解:设 5 元人民 币 x 张,则 2 元的人民币就是 张,得: (张) 答:5 元人民币 18 张,2 元的人民币 12 张. 26 第 8 讲 转化单位“1”（三） 一、知识要点 解答较复杂的分数应用题时，我们往往从题目中找出不变的量，把不变的量看作 单位“1”，将已知条件进行转化，找出所求数量相当于单位“1”的几分之几，再列 式解答。 二、精讲精练 【例题 1】有两筐梨。乙筐是甲筐的 3/5，从甲筐取出 5 千克梨放入乙筐后，乙 筐的梨是甲筐的 7/9。甲、乙两筐梨共重多少千克？ 解：5÷（5/（5+3）－9/（7+9））＝80（千克） 答：甲、乙两筐梨共重 80 千克。 练习 1： 1、某小学低年级原有少先队员是非少先队员的 1/3，后来又有 39 名同学加入少 先队组织。这样，少先队员的人数是非少先队员的 7/8。低年级有学生多少人？ 解：39÷(7/ 7+8－1/ 1+3) =39÷(7/15－1/4) =39÷13/60 =39×60/13 =180(名) 答：低年级有学生 180 名. 2、王师傅生产一批零件，不合格产品是合格产品的 1/19，后来从合格产品中又 发现了 2 个不合格产品，这时算出产品的合格率是 94％。合格产品共有多少个？ 解：设原来不合格产品的数量为 x，那么原来合格的产品数量为 19x. 19x-2/19x+x×100%=94% x=10 那么合格产品共有 19x－2=19×10－2=188（个） 答：合格产品共有 188 个. 27 3、某校六年级上学期男生占总人数的 54％，本学期转进 3 名女生，转走 3 名男生， 这时女生占总人数的 48％。现在有男生多少人？ 设原来总人数为 x 人,则男生为 0.54x 人,女生为 0.46x 人 由于转走的人数和转进的人数一样多,那么现在班级的总人数也为 x 人. 根据题意列出方程 , 解得 人. 则现在的女生人数为 人. 【例题 2】某学校原有长跳绳的根数占长、短跳绳总数的 3/8。后来又买进 20 根 长跳绳，这时长跳绳的根数占长、短跳绳总数的 7/12。这个学校现有长、短跳绳的总 数是多少根？ 解法一：根据短跳绳的根数没有变，我们把短跳绳看作单位“1”。可以得出原来 的长跳绳根数占短跳绳根数的 3/（8-3），后来长跳绳是短跳绳的 7/（12-7）。这样就 找到了 20 根长跳绳相当于短跳绳的（7/（12-7）－3/（8-3）），从而求出短跳绳的根 数。再用短跳绳的根数除以（1－7/12）就可以求出这个学校现有跳绳的总数。即 20÷【7/（12-7）－3/（8-3）】÷（1－7/12）＝60（根） 解法二：把短跳绳看作单位“1”，原来的总数是短跳绳的 8/（8-3），后来的总数 是短跳绳的 12/（12-7）。所以 20÷（12/（12-7）－8/（8-3））÷（1－7/12）＝60 （根） 答：这个学校现有长、短跳绳的总数是 60 根。 练习 2： 1、阅览室看书的同学中，女同学占 3/5，从阅览室走出 5 位女同学后，看数的同 学中，女同学占 4/7，原来阅览室一共有多少名同学在看书？ 解： 3/（5－3）－ 4/（7－4）= 1/6 5÷ 1/6=30(名) 30÷（ 5－3）/5=75(名)答：原来阅览室一共有 75 名同学在看书. 28 2、一堆什锦糖，其中奶糖占 45％，再放入 16 千克其他糖后，奶糖只占 25％， 这堆糖中有奶糖多少千克？ 解：16÷(1÷25%-1÷45%) =9（千克） 3、数学课外兴趣小组，上学期男生占 5/9，这学期增加 21 名女生后，男生就只 占 2/5 了，这个小组现有女生多少人？ 设兴趣小组共有 x 人， 5/9x=（x+21）×2/5 x=54 54×（1-5/9）+21=45（人） 【例题 3】有两段布，一段布长 40 米，另一段长 30 米，把两段布都用去同样长 的一部分后，发现短的一段布剩下的长度是长的一段布所剩长度的 3/5，每段布用去 多少米？ 解： 40－（40－30）÷（1－3/5）＝15（米） 答：每段布用去 15 米。 练习 3： 1、有两根塑料绳，一根长 80 米，另一根长 40 米，如果从两根上各剪去同样长 的一段后，短绳剩下的长度是长绳剩下的 2/7，两根绳各剪去多少米？ 解:设剪掉的长度为 x,由题意得: . 答:两根绳各剪去 24 米. 2、今年父亲 40 岁，儿子 12 岁，当儿子的年龄是父亲的 5/12 时，儿子多少岁？ 解：（30－2)÷(1－ 5/12)－(30－2)= 20(岁) 3、仓库里原来存大米和面粉袋数相等，运出 800 袋大米和 500 袋面粉后，仓库 里所剩的大米袋数时面粉的 3/4，仓库里原有大米和面粉各多少袋？ 解：把剩下的面粉数看作是单位“1”,剩下的大米数就是 ，剩下的面粉是： 29 ( (袋)仓库里原有大米和面粉各： (袋) 4、甲、乙、丙、丁四个筑路队共筑 1200 米长的一段公路，甲队筑的路时其他三 个队的 1/2，乙队筑的路时其他三个队的 1/3，丙队筑的路时其他三个队的 1/4，丁队 筑了多少米？ 甲队筑的路时其他三个队的 ,那么甲：(乙+丙+丁)=1:2, 即甲占了全部的 同理可得,乙占了 ,丙占了 ,那么 丁占了 即 米. 【例题 4】某商店原有黑白、彩色电视机共 630 台，其中黑白电视机占 1/5，后 来又运进一些黑白电视机。这时黑白电视机占两种电视机总台数的 30％，问：又运进 黑白电视机多少台？ 解： 630×（1－1/5）÷（1－30％）－630＝90（台） 答：又运进黑白电视机 90 台。 练习 4： 1、 书店运来科技书和文艺书共 240 包，科技书占 1/6。后来又运来一批科技书，这 时科技书占两种书总和的 3/11，现在两种书各有多少包？ 解：文艺书包数：240-240× 16=200(包)；科技书包数：200÷(1- 311)-200＝75(包)； 2、 某市派出 60 名选手参加田径比赛，其中女选手占 1/4，正式比赛时，有几名女选 手因故缺席，这样女选手人数占参赛选手总数的 2/11。问：正式参赛的女选手 有多少人？ 男选手人数不变，为：60×(1—1/4 )＝45(人)，则女选手人数为：45÷(1— 2/11 )—45 30 ＝10(人). 3、把 12 千克的盐溶解于 120 千克水中，得到 132 千克盐水，如果要使盐水中含 盐 8％，要往盐水中加盐还是加水？加多少千克？ 解: ,需要加水, (千克) 答:需要加水,加水 18 千克.; 4、东风水果店上午运进梨和苹果共 1020 千克，其中梨占水果总数的 1/5；下午 又运进梨若干千克，这时梨占两种水果总数的 2/5，下午运进梨多少千克？ 解:苹果的量为: (千克) 下午又运进若干千克梨后水果总量: (千克) (千克) 答:下午运进梨 340 千克. 【例题 5】一堆煤，运走的比总数的 2/5 多 120 吨，剩下的比运走的 5/6 多 60 31 吨，这堆煤原有多少吨？ 解： （120+120×5/6+60）÷（1―2/5―2/5×5/6）＝1050（吨） 答：这堆煤原有 1050 吨。 练习 5： 1、修一条路，第一天修了全长的 2/5 多 60 米，第二天修的长度比第一天的 3/4 多 35 米，还剩 100 米没有修，这条路全长多少米？解:设全长是 x 米, 答:这条公路全长是 800 米. 2、修一条路，第一天修了全长的 2/5 多 60 米，第二天修的长度比第一天的 3/4 少 35 米，这两天共修路 420 米，这条路全长多少米？设这条路全长 x 米，根据题意得 ×（ x＋60）－35＋ x＋60＝420 x＝500 答： 这条路全长 500 米 3、某工程队修筑一条公路，第一天修了全长的 2/5，第二天修了剩下部分的 5/9 又 20 米，第三天修的是第一天的 1/4 又 30 米，这样，正好修完，这段公路全长多少 米？ （1-2/5）×5/9=1/3 2/5×1/4=1/10 （20+30）÷（1-2/5-1/3-1/10）=300（米） 32 第 9 讲 设数法解题 一、知识要点 在小学数学竞赛中，常常会遇到一些看起来缺少条件的题目，按常规解法似乎无 解，但仔细分析就会发现，题目中缺少的条件对于答案并无影响，这时就可以采用“设 数代入法”，即对题目中“缺少”的条件，随便假设一个数代入（当然假设的这个数 要尽量的方便计算），然后求出解答。 二、精讲精练 【例题 1】如果△△＝□□□，△☆＝□□□□，那么☆☆□＝（ ）个△。 解： 由第一个等式可以设△＝3，□＝2，代入第二式得☆＝5，再代入第三式左 边是 12，所以右边括号内应填 4。 说明：本题如果不用设数代入法，直接用图形互相代换，显然要多费周折。 练习 1： 1、已知△＝○○□□，△○＝□□，☆＝□□□，问△□☆＝（ ）个○。 2、五个人比较身高，甲比乙高 3 厘米，乙比丙矮 7 厘米，丙比丁高 10 厘米，丁 比戊矮 5 厘米，甲与戊谁高，高几厘米？ 3、甲、乙、丙三个仓库原有同样多的货，从甲仓库运 60 吨到乙仓库，从乙仓库 运 45 吨到丙仓库，从丙仓库运 55 吨到甲仓库，这时三个仓库的货哪个最多？哪个最 少？最多的比最少的多多少吨？ 【答案】1.8 2.101 厘米 3.乙仓库最多，丙仓库最少。115-90=25（吨） 【例题 2】足球门票 15 元一张，降价后观众增加一倍，收入增加 1/5，问一张门 票降价多少元？ 【思路导航】初看似乎缺少观众人数这个条件，实际上观众人数于答案无关，我 们可以随便假设一个观众数。为了方便，假设原来只有一个观众，收入为 15 元，那 么降价后有两个观众，收入为 15×（1+1/5）＝18 元，则降价后每张票价为 18÷2＝9 元，每张票降价 15－9＝6 元。即： 15－15×（1+1/5）÷2＝6（元） 答：每张票降价 6 元。 说明：如果设原来有 a 名观众，则每张票降价： 15－15a×（1+1/5）÷2a＝6（元） 练习 2： 33 1、某班一次考试，平均分为 70 分，其中 3/4 及格，及格的同学平均分为 80 分， 那么不及格的同学平均分是多少分？ 2、游泳池里参加游泳的学生中，小学生占 30％，又来了一批学生后，学生总数 增加了 20％，小学生占学生总数的 40％，小学生增加百分之几？ 3、五年级三个班的人数相等。一班的男生人数和二班的女生人数相等，三班的 男生是全部男生的 2/5，全部女生人数占全年级人数的几分之几？ 【答案】1.40 2.60% 3. 9 4 【例题 3】小王在一个小山坡来回运动。先从山下跑上山，每分钟跑 200 米，再 从原路下山，每分钟跑 240 米，又从原路上山，每分钟跑 150 米，再从原路下山，每 分钟跑 200 米，求小王的平均速度。 【思路导航】题中四个速度的最小公倍数是 1200，设一个单程是 1200 米。则 （1）四个单程的和：1200×4＝4800（米） （2）四个单程的时间分别是； 1200÷200＝6（分） 1200÷240＝5（分） 1200÷150＝8（分） 1200÷200＝6（分） （3）小王的平均速度为： 4800÷（6+5+8+6）＝192（米） 答：小王的平均速度是每分钟 192 米。 练习 3： 1、小华上山的速度是每小时 3 千米，下山的速度是每小时 6 千米，求上山后又 沿原路下山的平均速度。 2、张师傅骑自行车往返 A、B 两地。去时每小时行 15 千米，返回时因逆风，每 小时只行 10 千米，张师傅往返途中的平均速度是每小时多少千米？ 3、小王骑摩托车往返 A、B 两地。平均速度为每小时 48 千米，如果他去时每小 时行 42 千米，那么他返回时的平均速度是每小时行多少千米？ 【答案】1.4 千米/时 2.12 千米/时 3.56 千米/时 【例题 4】某幼儿园中班的小朋友平均身高 115 厘米，其中男孩比女孩多 1/5， 女孩平均身高比男孩高 10％，这个班男孩平均身高是多少？ 34 【思路导航】题中没有男、女孩的人数，我们可以假设女孩有 5 人，则男孩有 6 人。 （1）总身高：115×【5+5×（1+1/5）】＝1265（厘米） （2）由于女孩平均身高是男孩的（1+10％），所以 5 个女孩的身高相当于 5× （1+10％）＝5.5 个男孩的身高，因此男孩的平均身高为： 1265÷【（1+10％）×5+6】＝110（厘米） 答：这个班男孩平均身高是 110 厘米。 练习 4： 1、某班男生人数是女生的 2/3，男生平均身高为 138 厘米，全班平均身高为 132 厘米。问：女生平均身高是多少厘米？ 2、某班男生人数是女生的 4/5，女生的平均身高比男生高 15％，全班的平均身 高是 130 厘米，求男、女生的平均身高各是多少？ 3、一个长方形每边增加 10％，那么它的周长增加百分之几？它的面积增加百分 之几？ 【答案】1. 128 厘米 2.男生：120 厘米 女生：138 厘米 3.10% 21% 【例题 5】狗跑 5 步的时间马跑 3 步，马跑 4 步的距离狗跑 7 步，现在狗已跑出 30 米，马开始追它。问狗再跑多远，马可以追到它？ 【思路导航】马跑一步的距离不知道，跑 3 步的时间也不知道，可取具体数值， 并不影响解题结果。 设马跑一步为 7，则狗跑一步为 4，再设马跑 3 步的时间为 1，则狗跑 5 步的时间 为 1，推知狗的速度为 20，马的速度为 21。那么， 20×【30÷（21－20）】＝600（米） 练习 5： 1、猎狗前面 26 步远的地方有一野兔，猎狗追之。兔跑 8 步的时间狗只跑 5 步， 但兔跑 9 步的距离仅等于狗跑 4 步的距离。问兔跑几步后，被狗抓获？ 2、猎人带猎狗去捕猎，发现兔子刚跑出 40 米，猎狗去追兔子。已知猎狗跑 2 步 的时间兔子跑 3 步，猎狗跑 4 步的距离与兔子跑 7 步的距离相等，求兔再跑多远，猎 狗可以追到它？ 3、狗和兔同时从 A 地跑向 B 地，狗跑 3 步的距离等于兔跑 5 步的距离，而狗跑 2 步的时间等于兔跑 3 步的时间，狗跑 600 步到达 B 地，这时兔还要跑多少步才能到达 35 B 地？ 【答案】1.144 步 2.240 米 3.100 步 36 第 10 讲 假设法解题（一） 一、知识要点 假设法解体的思考方法是先通过假设来改变题目的条件，然后再和已知条件配合 推算。有些题目用假设法思考，能找到巧妙的解答思路。 运用假设法时，可以假设数量增加或减少，从而与已知条件产生联系；也可以假 设某个量的分率与另一个量的分率一样，再根据乘法分配律求出这个分率对应的和， 最后依据它与实际条件的矛盾求解。 二、精讲精练 【例题 1】 甲、乙两数之和是 185，已知甲数的 1/4 与乙数的 1/5 的和是 42，求两数各是多 少？ 【思路导航】假设将题中“甲数的 1/4”、“乙数的 1/5”与“和为 42”同时扩大 4 倍，则变成了“甲数与乙数的 4/5 的和为 168”，再用 185 减去 168 就是乙数的 1/5。 解： 乙：（185－42×4）÷（1－1/5×4）＝85 答：甲数是 100，乙数是 85。 练习 1： 1、甲、乙两人共有钱 150 元，甲的 1/2 与乙的 1/10 的钱数和是 35 元，求甲、 乙两人各有多少元钱？ 2、甲、乙两个消防队共有 338 人。抽调甲队人数的 1/7，乙队人数的 1/3，共抽 调 78 人，甲、乙两个消防队原来各有多少人？ 3、海洋化肥厂计划第二季度生产一批化肥，已知四月份完成总数的 1/3 多 50 吨， 五月份完成总数的 2/5 少 70 吨，还有 420 吨没完成，第二季度原计划生产多少吨？ 【答案】1.甲有 50 元，乙有 100 元 2.甲有 182 人，乙有 156 人 3.1500 吨 【例题 2】 彩色电视机和黑白电视机共 250 台。如果彩色电视机卖出 1/9，则比黑白电视机 多 5 台。问：两种电视机原来各有多少台？ 【思路导航】从图中可以看出：假设黑白电视机增加 5 台，就和彩色电视机卖出 1/9 后剩下的一样多。 黑白电视机增加 5 台后，相当于彩色电视机的（1－1/9）＝ 8/9。 37 （250+5）÷（1+1－1/9）＝135（台） 250－125＝115（台） 答：彩色电视机原有 135 台，黑白电视机原有 115 台。 练习 2： 1、姐妹俩养兔 120 只，如果姐姐卖掉 1/7，还比妹妹多 10 只，姐姐和妹妹各养 了多少只兔？ 2、学校有篮球和足球共 21 个，篮球借出 1/3 后，比足球少 1 个，原来篮球和足 球各有多少个？ 3、小明甲养的鸡和鸭共有 100 只，如果将鸡卖掉 1/20，还比鸭多 17 只，小明家 原来养的鸡和鸭各有多少只？ 【答案】1.姐姐 70 只，妹妹 50 只。2.篮球 12 个，足球 9 个。 3.鸡：60 只 鸭：40 只 【例题 3】师傅与徒弟两人共加工零件 105 个，已知师傅加工零件个数的 3/8 与 徒弟加工零件个数的 4/7 的和为 49 个，师、徒各加工零件多少个？ 【思路导航】假设师、徒两人都完成了 4/7，一个能完成（105×4/7）＝60 个， 和实际相差（60－49）＝11 个，这 11 个就是师傅完成将零件的 3/8 与完成加工零件 的 4/7 相差的个数。这样就可以求出师傅加工了【11÷（4/7－3/8）】＝56 个。即： 师傅：（105×4/7－49）÷（4/7－3/8）＝56（个） 徒弟：105－56＝49（个） 答：师傅加工了 56 个，徒弟加工了 49 个。 练习 3： 1、某商店有彩色电视机和黑白电视机共 136 台，卖出彩色电视机的 2/5 和黑白 电视机的 3/7，共卖出 57 台。问：原来彩色电视机和黑白电视机各有多少台？ 2、甲、乙两个消防队共有 336 人，抽调甲队人数的 5/7、乙队人数的 3/7，共抽 调 188 人参加灭火。问：甲、乙两个消防队原来各有多少人？ 3、学校买来足球和排球共 64 个，从中借出排球个数的 1/4 和足球个数的 1/3 后， 还剩下 46 个，买来排球和足球各是多少个？ 【答案】1.彩色电视机 45 台，黑白电视机 91 台 2.甲消防队 154 人，乙消防队 182 人。 3.排球 40 个，足球 24 个。 38 【例题 4】甲、乙两数的和是 300，甲数的 2/5 比乙数的 1/4 多 55，甲、乙两数 各是多少？ 【思路导航】甲数的 2/5 与乙数的 2/5 的和就是甲、乙两数的 2/5，是 300×2/5 ＝120，因为甲数的 2/5 比乙数的 1/4 多 55，所以从 120 中减去 55 所得的差就可以看 成是乙数的 1/4 与乙数的 2/5 的和。 乙：（300×2/5－55）÷（2/5+1/4）＝100 甲：300－100＝200 答：甲数是 200，乙数是 100。 练习 4： 1、畜牧场有绵羊、山羊共 800 只，山羊的 2/5 比绵羊的 1/2 多 50 只，这个畜牧 场有山羊、绵羊各多少只？ 2、师傅和徒弟共加工零件 840 个，师傅加工零件的个数的 5/8 比徒弟加工零件 个数的 2/3 多 60 个，师傅和徒弟各加工零件多少个？ 3、某校六年级甲、乙两个班共种 100 棵树，乙班种的 1/10 比甲班种的 1/3 少 16 棵，两个班各种多少棵？ 【答案】1.山羊 500 只，绵羊 300 只。 2.师傅加工零件 480 个，徒弟加工零件 360 个。 3.甲班种了 60 棵，乙班种了 40 棵。 【例题 5】育红小学上学期共有学生 750 人，本学期男学生增加 1/6，女学生减 少 1/5，共有 710 人，本学期男、女学生各有多少人？ 【思路导航】假设本学期女学生不是减少 1/5，而是增加 1/6，半学期应该有 750 ×（1+1/6）＝875 人，比实际多 875－710＝165 人，这 165 人是假设女学生也增加 1/6 多出的人数，而实际女学生减少 1/5，所以，这 165 人对应着女学生的（1/5+1/6） ＝11/30。 上学期女生：【750×（1+1/6）－710】÷（1/5+1/6）＝450（人） 本学期女生：450×（1－1/5）＝360（人） 本学期男生：710－360＝350（人） 答：本学期男学生有 350 人，女学生有 360 人。 练习 5： 1、金放在水里称，重量减轻 1/19，银放在水里称，重量减少 1/10，一块重 770 39 克的金银合金，放在水里称是 720 克，这块合金含金、银各多少克？ 2、某中学去年共招新生 475 人，今年共招新生 640 人，其中初中招的新生比去 年增加 48％，高中招的新生比去年增加 20％，今年初、高中各招收新生多少人？ 3、袋子里原有红球和黄球共 119 个。将红球增加 3/8，黄球减少 2/5 后，红球与 黄球的总数变为 121 个。原来袋子里有红球和黄球各多少个？ 【答案】1.合金含金 570 克，含银 200 克 2.初中招收新生 370 名，高中招收新生 270 名。 3.红球 64 个，黄球 55 个。 40 第 11 讲 假设法解题（二） 一、知识要点 已知甲是乙的几分之几，又知甲与乙各改变一定的数量后两者之间新的倍数关 系，要求甲、乙两个数是多少，这样的应用题称为变倍问题。 应用题中的变倍问题，有两数同增、两数同减、一增一减等各种情况。虽然其中 的数量关系比较复杂，但解答时的关键仍是确定哪个量为单位“1”，然后通过假设， 找出变化前后的相差数相当于单位“1”的几分之几，从而求出单位“1”的量，其他 要求的量就迎刃而解了。 二、精讲精练 【例题 1】两根铁丝，第一根长度是第二根的 3 倍，两根各用去 6 米，第一根剩 下的长度是第二根剩下的长度的 5 倍，第二根原来有多少米？ 【思路导航】假设第一根用去 6×3＝18 米，那么第一根剩下的长度仍是第二根 剩下长度的 3 倍，而事实上第一根比假设的少用去（6×3－6）＝12 米，也就多剩下 第二根剩下的长度的（5－3）＝2 倍。 （6×3－3）÷（5－3）+6＝12（米） 答：第二根原来有 12 米。 练习 1： 1、丁晓原有书的本数是王阳的 5 倍，若两人同时各借出 5 本给其他同学，则丁 晓书的本数是王阳的 10 倍，两人原来各有书多少本？ 2、在植树劳动中，光明中学植树的棵数是光明小学的 3 倍，如果中学增加 450 棵，小学增加 400 棵，则中学是小学的 2 倍。求中、小学原来各植树多少棵？ 3、两堆煤，第一堆是第二堆的 2 倍，第一堆用去 8 吨，第二堆用去 11 吨，第一 堆剩下的重量是第二堆的 4 倍。求第二堆煤原来是多少吨？ 【答案】1.丁晓有 45 本书，王阳有 9 本书。 2.中学原来植树 1050 棵，小学原来植树 350 棵。 3.18 吨 【例题 2】王明平时积蓄下来的零花钱比陈刚的 3 倍多 6.40 元，若两个人各买了 一本 4.40 元的故事书后，王明的钱就是陈刚的 8 倍，陈刚原来有零花钱多少元？ 【思路导航】假设仍然保持王明的钱比陈刚的 3 倍多 6.40 元，则王明要相应地 41 花去 4.40×3 ＝13.20 元，但王明只花去了 4.40 元，比 13.20 元少 13.20－4.40＝8.80 元，那么王明买书后的钱比陈刚买书后的钱的 3 倍多 6.40+8.80＝15.20 元，而题中 已告诉：买书后王明的钱是陈刚的 8 倍，所以，15.20 元就对应着陈刚花钱后剩下钱 的 8－3＝5 倍。 【6.40+（4.40×3－4.40】÷（8－3）+4.40＝7.44（元） 答：陈刚原来有零花钱 7.44 元。 练习 2： 1、甲书架上的书比乙书架上的 3 倍多 50 本，若甲、乙两个书架上各增加 150 本， 则甲书架上的书是乙书架上的 2 倍，甲、乙两个书架原来各有多少本书？ 2、上学年，马村中学的学生比牛庄小学的学生的 2 倍多 54 人，本学年马村中学 增加了 20 人，牛庄小学减少了 8 人，则马村中学的学生比牛庄小学的学生的 4 倍少 26 人，上学年马村中学和牛庄小学各有学生多少人？ 3、箱子里有红、白两种玻璃球，红球比白球的 3 倍多 2 粒，每次从箱子里取出 7 粒白球和 15 粒红球，若干次后，箱子里剩下 3 粒白球和 53 粒红球，那么，箱子里白 球原有多少粒？ 【答案】1.甲书架上原来有 350 本书，乙书架上原来有 100 本书。 2.马村中学有 186 人，牛庄小学有 66 人。 3.白球原有 52 个。 【例题 3】小红的彩笔枝数是小刚的 1/2，两人各买 5 枝后，小红的彩笔枝数是 小刚的 2/3，两人原来各有彩笔多少枝？ 【思路导航】假设小刚买了 5 枝后，小红的彩笔仍为小刚的 1/2，则小红只需买 （5×1/2）＝2 又 1/2 枝，但实际上小红买了 5 枝，多买了 5－2 又 1/2＝2 又 1/2 枝。 将小刚买了 5 枝后的枝数看作“1”，小红多买了 2 又 1/2 ，相当于（2/3－1/2）＝1/6。 小刚原来：（5－5×1/2）÷（2/3－1/2）－5＝10（枝） 小红原来：10×1/2＝5（枝） 答：小刚原来有彩笔 10 枝，小红原来有彩笔 5 枝。 练习 3： 1、小华今年的年龄是爸爸年龄的 1/6，四年后小华的年龄是爸爸的 1/4，求小华 和爸爸今年的年龄各是多少岁？ 2、小红今年的年龄是妈妈的 3/8，10 年后小红的年龄是妈妈的 1/2，小红今年多 42 少岁？ 3、甲书架上的书是乙书架上的 5/7，甲、乙两个书架上各增加 90 本后，甲书架 上的书是乙书架上的 4/5，甲、乙两各书架原来各有多少本书？ 【答案】1.小华 6 岁，爸爸 36 岁。 2.小红 15 岁，妈妈 40 岁。 3.甲书架原有书 150 本，乙书架原有书 210 本。 【例题 4】王芳原有的图书本数是李卫的 4/5，两人各捐给“希望工程”10 本后， 则王芳的图书的本数是李卫的 7/10，两人原来各有图书多少本？ 【思路导航】假设李卫捐了 10 本后，王芳的图书仍是李卫的 4/5，则王芳只需捐 10×4/5＝8 本，实际王芳捐了 10 本，多捐了 10－8＝2 本，将李卫捐书后剩下的图书 看作“1”，着 2 本书相当于 4/5－7/10＝1/10。 （10－10×4/5）÷(4/5－710)=30(本) 30×4/5＝24（本） 答：李卫原有图书 30 本，王芳原有图书 24 本。 练习 4： 1、甲书架上的书是乙书架上的 4/5，从这两个书架上各借出 112 本后，甲书架上 的书是乙书架上的 4/7，原来甲、乙两个书架上各有多少本书？ 2、小明今年的年龄是爸爸的 6/11，10 年前小明的年龄是爸爸的 4/9，小明和爸 爸今年各多少岁？ 3、甲车间的工人是乙车间的 1/4，从甲、乙两个车间各抽出 30 人后，甲车间的 工人只占乙车间的 1/6，甲、乙两个车间原来各有多少名工人？ 【答案】1.甲书架原有书 320 本，乙书架原有书 400 本。 2.小明 30 岁，爸爸 55 岁。 3.甲车间 75 人，乙车间 300 人。 【例题 5】某校六年级男生人数是女生的 23，后来转进 2 名男生，转走 3 名女生， 这时男生人数是女生的 3/4，现在男、女生各有多少人？ 【思路导航】假设转走 3 名女生后，男生人数仍是女生的 2/3，则男生应转走 3 ×2/3＝2 人，实际上男生却转进 2 人，与应转走 2 人相差 2+2＝4 人。将转走 3 名女 生后的女生人数看作“1”，则相差的 4 人相当于现在女生的 3/4－2/3。 （2+3×2/3）÷（3/4－2/3）＝48（人） 43 48×3/4＝36（人） 答：现在男生有 36 人，女生有 48 人。 练习 5： 1、甲车间的工人是乙车间的 2/5，后来甲车间增加 20 人，乙车间减少 35 人，这 样甲车间的人数是乙车间的 7/9，现在甲、乙两个车间各有多少人？ 2、有一堆棋子，黑子是白子的 2/3，现在取走 12 粒黑子，添上 18 粒白子后，黑 子是白子的 5/12，现在白子、黑子各有多少粒？ 3、爱华小学和曙光小学的同学参加小学数学竞赛，去年的比赛中，爱华小学得 一等奖的人数是曙光小学的 2.5 倍。今年的比赛中，爱华小学得一等奖的人数减少了 1 人，曙光小学增加了 6 人，这时曙光小学得一等奖的人数是爱华小学的 2 倍。两校 去年的一等奖的同学各有多少人？ 【答案】1.甲车间 70 人，乙车间 90 人。 2.白子 96 颗，黑子 40 颗。 3.曙光小学 2 人，爱华小学 5 人。 44 第 12 讲 倒推法解题 一、知识要点 有些应用题如果按照一般方法，顺着题目的条件一步一步地列出算式求解，过程 比较繁琐。所以，解题时，我们可以从最后的结果出发，运用加与减、乘与除之间的 互逆关系，从后到前一步一步地推算，这种思考问题的方法叫倒推法。 二、精讲精练 【例题 1】一本文艺书，小明第一天看了全书的 1/3，第二天看了余下的 3/5，还 剩下 48 页，这本书共有多少页？ 【思路导航】从“剩下 48 页”入手倒着往前推，它占余下的 1－3/5＝2/5。第一 天看后还剩下 48÷2/5＝120 页，这 120 页占全书的 1－1/3＝2/3，这本书共有 120÷ 2/3＝180 页。即 48÷（1－3/5）÷（1－1/3）＝180（页） 答：这本书共有 180 页。 练习 1： １、某班少先队员参加劳动，其中 3/7 的人打扫礼堂，剩下队员中的 5/8 打扫操 场，还剩 12 人打扫教室，这个班共有多少名少先队员？ ２、一辆汽车从甲地出发，第一天走了全程的 3/8，第二天走了余下的 2/3，第 三天走了 250 千米到达乙地。甲、乙两地间的路程是多少千米？ ３、把一堆苹果分给四个人，甲拿走了其中的 1/6，乙拿走了余下的 2/5，丙拿 走这时所剩的 3/4，丁拿走最后剩下的 15 个，这堆苹果共有多少个？ 【答案】1.共有 56 名少先队员。 2.甲乙两地的路程是 1200 千米。 3.这堆苹果共有 120 个。 【例题 2】筑路队修一段路，第一天修了全长的 1/5 又 100 米，第二天修了余下 的 2/7 ，还剩 500 米，这段公路全长多少米？ 【思路导航】从“还剩 500 米”入手倒着往前推，它占余下的 1－2/7＝5/7，第 一天修后还剩 500÷5/7＝700 米，如果第一天正好修全长的 1/5，还余下 700+100＝ 800 米，这 800 米占全长的 1－1/5＝4/5，这段路全长 800÷4/5＝1000 米。列式为： 【500÷（1－2/7）+100】÷（1－1/5）＝1000 米 45 答：这段公路全长 1000 米。 练习 2： １、一堆煤，上午运走 2/7，下午运的比余下的 1/3 还多 6 吨，最后剩下 14 吨还 没有运走，这堆煤原有多少吨？ ２、用拖拉机耕一块地，第一天耕了这块地的 1/3 又 2 公顷，第二天耕的比余下 的 1/2 多 3 公顷，还剩下 35 公顷，这块地共有多少公顷？ ３、一批水泥，第一天用去了 1/2 多 1 吨，第二天用去了余下 1/3 少 2 吨，还剩 下 16 吨，原来这批水泥有多少吨？ 【答案】1.原有 42 吨。 2.这块地原有 117 公顷。 3.这批水泥原有 44 吨。 【例题 3】有甲、乙两桶油，从甲桶中倒出 1/3 给乙桶后，又从乙桶中倒出 1/5 给甲桶，这时两桶油各有 24 千克，原来甲、乙两个桶中各有多少千克油？ 【思路导航】从最后的结果出发倒推，甲、乙两桶共有（24×2）＝48 千克，当 乙桶没有倒出 1/5 给甲桶时，乙桶内有油 24÷（1－1/5）＝30 千克，这时甲桶内只 有 48－30＝18 千克，而甲桶已倒出 1/3 给了乙桶，可见甲桶原有的油为 18÷（1－1/3） ＝27 千克，乙桶原有的油为 48－27＝21 千克。 甲：【24×2－24÷（1－1/5）】÷（1－1/3）＝27（千克） 乙：24×2－27＝21（千克） 答：甲桶原有油 27 千克，乙桶原有油 21 千克。 练习 3： １、小华拿出自己的画片的 1/5 给小强，小强再从自己现有的画片中拿出 1/4 给 小华，这时两人各有画片 12 张，原来两人各有画片多少张？ ２、甲、乙两人各有人民币若干元，甲拿出 1/5 给乙后，乙又拿出 1/4 给甲，这 时他们各有 90 元，他们原来各有多少元？ ３、一瓶酒精，第一次倒出 1/3，然后倒回瓶中 40 克，第二次再倒出瓶中酒精的 5/9，第三次倒出 180 克，瓶中好剩下 60 克，原来瓶中有多少克酒精？ 【答案】1.小强原有 14 张画片，小华原有 10 张画片。 2.甲有 75 元，乙有 105 元。 3.原来瓶中有 750 克酒精。 46 【例题 4】甲、乙、丙三人共有人民币 168 元，第一次甲拿出与乙相同的钱数给 乙；第二次乙拿出与丙相同的钱数给丙；第三次丙拿出与这时甲相同的钱数给甲。这 样，甲、乙、丙三人的钱数相等，原来甲比乙多多少元钱？ 【思路导航】根据题意，由最后甲钱数是 168÷3＝56 元可推出：第一次甲拿出 与乙同样的钱数给乙后，甲剩下的钱是 56÷2＝28 元，这 28 元就是原来甲比乙多的 钱数。 168÷3÷2＝28 元 答：原来甲比乙多 28 元。 练习 4： １、甲、乙、丙三个班共有学生 144 人，先从甲班调出与乙班相同的人数给乙班， 再从乙班调出与丙班相同的人数到丙班。再从丙班调出与这时甲班相同的人数给甲 班，这样，甲、乙、丙三个班人数相等。原来甲班比乙班多多少人？ ２、甲、乙、丙三个盒子各有若干个小球，从甲盒拿出 4 个放入乙盒，再从乙盒 拿出 8 个放入丙盒后，三个盒子内的小球个数相等。原来乙盒比丙盒多几个球？ ３、甲、乙、丙三个仓库面粉袋数的比是 6：9：5，如果从乙仓库拿出 400 袋平 均分给甲、丙两仓库，则甲、乙两个仓库的数量相等。这三个仓库共存面粉多少袋？ 【答案】1.原来甲班比乙班多 24 人。 2.原来乙盒比丙盒多 12 个球。 3.共存面粉 4000 袋。 【例题 5】甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出 1/4 到乙仓库后，又 从乙仓库运出 1/4 到甲仓库，这时甲、乙两仓库的粮食储量相等。原来甲仓库的粮食 是乙仓库的几分之几？ 【思路导航】解题关键是把两个仓库粮食的和看作“1”，由题意可知，从乙仓库 运出 1/4 到甲仓库，乙仓库最后占两仓库和的 1/2。 ①当乙仓库没有往甲仓库运时，乙仓库占两仓库和的几分之几？ 1/2÷（1－1/4）＝2/3 ②甲仓库占两仓库和的几分之几？ 1－2/3＝1/3 ③甲仓库原来占两仓库和的几分之几？ 1/3÷（1－1/4）＝4/9 ④原来甲仓库时乙仓库的几分之几？ 47 4÷（9－4）＝4/5 答：原来甲仓库的粮食是乙仓库的 4/5。 练习 5： 1、甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出 1/3 到乙仓库后，又从乙仓 库运出 1/3 到甲仓库，这时甲、乙两仓库的粮食储量相等。原来甲仓库的粮食是乙仓 库的几分之几？ ２、甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出 1/5 到乙仓库后，又从乙仓 库运出 1/4 到甲仓库，这时甲、乙两仓库的粮食储量相等。原来甲仓库的粮食是乙仓 库的几分之几？ ３、甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出 1/3 到乙仓库后，又从乙仓 库运出 2/5 到甲仓库，这时乙仓库的粮食是甲仓库的 9/10。原来甲仓库的粮食是乙仓 库的几分之几？ 【答案】1.原来甲仓库的粮食是乙仓库的 5 3 2.原来甲仓库的粮食是乙仓库的 7 5 3.原来甲仓库的粮食是乙仓库的 13 6 48 第 13 讲 代数法解题 一、知识要点 有一些数量关系比较复杂的分数应用题，用算术方法解答比较繁、难，甚至无法 列式算式，这时我们可根据题中的等量关系列方程解答。 二、精讲精练 【例题 1】某车间生产甲、乙两种零件，生产的甲种零件比乙种零件多 12 个，乙 种零件全部合格，甲种零件只有 4/5 合格，两种零件合格的共有 42 个，两种零件个 生产了多少个？ 【思路导航】本体用算术方法解有一定难度，可以根据两种零件合格的一共有 42 个，列方程求解。 解：设生产乙种零件 x 个，则生产甲种零件（x+12）个。 （x+12）×4/5+x＝42 4/5x+9+x＝42 9/5x＝42－9 又 3/5 x＝18 18+12＝30（个） 答：甲种零件生产了 30 个，乙种零件生产了 18 个。 练习 1： 1、某校参加数学竞赛的女生比男生多 28 人，男生全部得优，女生的 3/4 得优， 男、女生得优的一共有 42 人，男、女生参赛的各有多少人？ 2、有两盒球，第一盒比第二盒多 15 个，第二盒中全部是红球，第一盒中的 2/5 是 红球，已知红球一共有 69 个，两盒球共有多少个？ 3、六年级甲班比乙班少 4 人，甲班有 1/3 的人、乙班有 1/4 的人参加课外数学 组，两个班参加课外数学组的共有 29 人，甲、乙两班共有多少人？ 【答案】1.男生参赛 12 人，女生参赛 40 人。 2.两盒球共有 129 个。 3.甲乙两班共有 100 人。 【例题 2】阅览室看书的学生中，男生比女生多 10 人，后来男生减少 1/4，女生 减少 1/6，剩下的男、女生人数相等，原来一共有多少名学生在阅览室看书？ 49 【思路导航】根据剩下的男、女人数相等的题意来列方程求解。 解：设女生有 x 人，则男生有（x+10）人 （1－1/6）x＝（x+10）×（1－1/4） x＝90 90+90+10＝190 人 答：原来一共有 190 名学生在阅览室看书。 练习 2： 1、某小学去年参加无线电小组的同学比参加航模小组的同学多 5 人。今年参加 无线电小组的同学减少 1/5，参加航模小组的人数减少 1/10，这样，两个组的同学一 样多。去年两个小组各有多少人？ 2、原来甲、乙两个书架上共有图书 900 本，将甲书架上的书增加 5/8，乙书架上 的书增加 3/10，这样，两个书架上的书就一样多。原来甲、乙两个书架各有图书多少 本？ 3、某车间昨天生产的甲种零件比乙种零件多 700 个。今天生产的甲种零件比昨 天少 1/10，生产的乙种零件比昨天增加 3/20，两种零件共生产了 2065 个。昨天两种 零件共生产了多少个？ 【答案】1.去年两个小组共有 45 人。 2.原来甲书架有图书 400 本，乙书架有图书 500 本。 3.昨天两种零件共生产了 2100 个。 【例题 3】甲、乙两校共有 22 人参加竞赛，甲校参加人数的 1/5 比乙校参加人数 的 1/4 少 1 人，甲、乙两校各有多少人参加？ 【思路导航】这题中的等量关系是：甲×1/5＝乙×1/4－1 解：设甲校有 x 人参加，则乙校有（22－x）人参加。 1/5x＝（22－x）×1/4－1 x＝10 22－10＝12（人） 答：甲校有 10 人参加，乙校有 12 人参加。 练习 3： 1、学校图书馆买来文艺书和连环画共 126 本，文艺书的比连环画的少 7 本，图 书馆买来的文艺书和连环画各是多少本？ 50 2、某小有学生 465 人，其中女生的比男生的少 20 人，男、女生各有多少人？ 3、王师傅和李师傅共加工零件 62 个，王师傅加工零件个数的比李师傅的少 2 个， 两人各加工了多少个？ 【答案】1.文艺书 54 本，连环画 72 本。 2.男生 225 人，女生 240 人。 3.王师傅加工了 30 个零件，李师傅加工了 32 个零件。 【例题 4】甲书架上的书是乙书架上的 5/6，两个书架上各借出 154 本后，甲书 架上的书是乙书架上的 4/7，甲、乙两书架上原有书各多少本？ 【思路导航】这道题的等量关系是；甲书架上剩下的书等于乙书架上剩下的 4/7。 解：设乙书架上原有 x 本，则甲书架上原有 5/6x 本。 （x－154）×4/7＝5/6x－154 x ＝252 252×5/6 ＝210（本） 答：甲书架上原有 210 本，乙书架上原有 252 本。 练习 4： 1、儿子今年的年龄是父亲的 1/6，4 年后儿子的年龄是父亲的 1/4，父亲今年多 少岁？ 2、某校六年级男生是女生人数的 2/3，后来转进 2 名男生，转走 3 名女生，这时 男生人数是女生的 3/4。原来男、女生各有多少人？ 3、第一车间人数的 3/5 等于第二车间人数的 9/10，第一车间比第二车间多 50 人。两个车间各有多少人？ 【答案】1.父亲今年 36 岁。 2.原来男生 34 人， 原来女生 51 人。 3.第一车间 150 人，第二车间 100 人。 【例题 5】一个班女同学比男同学的 2/3 多 4 人，如果男生减少 3 人，女生增加 4 人，男、女生人数正好相等。这个班男、女生各有多少人？ 【思路导航】抓住“如果男生减少 3 人，女生增加 4 人，男、女生人数正好相等” 这个等量关系列方程。 解：设男生有 x 人，则女生有（2/3x+4）人。 x－3＝2/3x+4+4 51 x＝33 2/3×33+4＝26（人） 答：这个班男生有 33 人，女生有 26 人。 练习 5： 1、某学校的男教师比女教师的 3/8 多 8 人。如果女教师减少 4 人，男教师增加 8 人，男、女教师人数正好相等。这个学校男、女教师各有多少人？ 2、某无线电厂有两个仓库。第一仓库储存的电视机是第二仓库的 3 倍。如果从 第一仓库取出 30 台，存入第二仓库，则第二仓库就是第一仓库的 4/9。两个仓库原来 各有电视机多少台？ 3、某工厂第一车间的人数比第二车间的人数的 4/5 少 30 人。如果从第二车间调 10 人到第一车间，则第一车间的人数就是第二车间的 3/4。求原来每个车间的人数。 【答案】1.男教师有 20 人，女教师有 32 人。 2.第一仓库原有电视机 390 台，第二仓库原有电视机 130 台。 3.第一车间有 170 人，第二车间有 250 人。 52 第 14 讲 比的应用（一） 一、知识要点 我们已经学过比的知识，都知道比和分数、除法其实是一回事，所有比与分数能 互相转化。运用这种方法解决一些实际问题可以化难为易，化繁为简。 二、精讲精练 【例题 1】甲数是乙数的 2/3，乙数是丙数的 4/5，甲、乙、丙三数的比是（ ）： （ ）：（ ）。 【思路导航】 甲、乙两数的比 2：3 乙、丙两数的比 4：5 甲、乙、丙三数的比 8：12：15 答：甲、乙、丙三数的比是 8：12：15。 练习 1： 1、甲数是乙数的 4/5，乙数是丙数的 5/8，甲、乙、丙三数的比是（ ）：（ ）：（ ）。 2、甲数是乙数的 4/5，甲数是丙数的 4/9，甲、乙、丙三数的比是（ ）：（ ）：（ ）。 3、甲数是丙数的 3/7，乙数是丙数的 2 又1/2，甲、乙、丙三数的比是（ ）：（ ）：（ ）。 【答案】1.4;5;8 2.4;5;9 3.6;35;14 【例题 2】光明小学将五年级的 140 名学生，分成三个小组进行植树活动，已知 第一小组和第二小组人数的比是 2：3，第二小组和第三小组人数的比是 4：5。这三 个小组各有多少人？ 【思路导航】先求出三个小组人数的连比，再按求出的连比进行分配。 ①一、二两组人数的比 2:3 二、三两组人数的比 4:5 一、二、三组人数的比 8:12:15 ②总份数：8+12+15＝35 ③第一组：140×8/35＝32（人） ④第二组：140×12/35＝48（人） ⑤第三组：140×15/35＝60（人） 答：第一小组有 32 人，第二小组有 48 人，第三小组有 60 人。 练习 2： 53 1、某农场把 61600 公亩耕地划归为粮田与棉田，它们之间的比是 7：2，棉田与 其他作物面积的比 6：1。每种作物各是多少公亩？ 2、黄山小学六年级的同学分三组参加植树。第一组与第二组的人数的比是 5：4， 第二组与第三组人数的比是 3：2。已知第一组的人数比二、三组人数的总和少 15 人。 六年级参加植树的共有多少人？ 3、科技组与作文组人数的比是 9：10，作文组与数学组人数的比是 5：7。已知 数学组与科技组共有 69 人。数学组比作文组多多少人？ 【答案】1.粮田 46200 公亩，棉田 13200 公亩，其他作物 2200 公亩。 2.六年级参加植树的共有 105 人。 3.数学组比作文组多 12 人。 【例题 3】甲、乙两校原有图书本数的比是 7：5，如果甲校给乙校 650 本，甲、 乙两校图书本数的比就是 3：4。原来甲校有图书多少本？ 【思路导航】由甲、乙两校原有图书本数的比是 7：5 可知，原来甲校图书的本 数是两校图书总数的 7/（7+5），由于甲校给了乙校 650 本，这时甲校的图书占两校图 书总数的 3/（3+4），甲校给乙校的 650 本图书，相当于两校图书总数的 7/（7+5）－ 3/（3+4）＝13/84。 650÷（7/（7+5）－3/（3+4））×7/（7+5）＝2450（本） 答：原来甲校有图书 2450 本。 练习 3： 1、小明读一本书，已读的和未读的页数比是 1：5。如果再读 30 页，则已读和未 读的页数之比为 3：5。这本书共有多少页？ 2、甲、乙两包糖的重量比是 4：1。从甲包取出 130 克放入乙包后，甲、乙两包 糖的重量比为 7：5。原来甲包有多少克糖？ 3、五年级三个班举行数学竞赛。一班参加比赛的占全年级参赛总人数的 1/3，二 班与三班参加比赛人数的比是 11：13，二班比三班少 8 人。一班有多少人参加了数学 竞赛？ 【答案】1.这本书共有 144 页。 2.原来甲包有 480 克糖。 3.一班有 48 人参加了数学竞赛。 【例题 4】从前有个农民，临死前留下遗言，要把 17 头牛分给三个儿子，其中大 54 儿子分得 1/2，二儿子分得 1/3，小儿子分得 1/9，但不能把牛卖掉或杀掉。三个儿子 按照老人的要求怎么也不好分。后来一位邻居顺利地把 17 头牛分完了，你知道这到 底是怎么回事吗？ 【思路导航】因为 1/2+1/3+1/9＝17/18，17/18﹤1，就是说三兄弟并未将全部牛 分完，所以我们求出三个儿子分牛头数的连比，最后再按比例分配。 ① 三个儿子分牛头数的连比：1/2：1/3：1/9＝9：6：2 ② 总份数：9+6+2＝17 ③ 三个儿子各分得牛的头数：17×9/17＝9（头）17×6/17＝6（头）17×2/17 ＝2（头） 答：大儿子分得 9 头，二儿子分得 6 头，小儿子分得 2 头。 练习 4： 1、图书室取出一批书，按照一年级得 1/2，二年级得 1/3，三年级得 1/7，正好 是 41 本，各年级各得多少本？ 2、古罗马富豪约翰逊再临终前，对怀孕的妻子写下这样一份遗嘱：如果生下来 是个男孩，就把遗产的三分之二给儿子，母亲拿三分之一；如果生下来的是女孩就把 遗产的三分之一给女儿，三分之二给母亲。结果他的妻子生了双胞胎，一男一女，这 是他没有预料到的。求出接近于遗嘱条件，把遗产分给三个继承人的比。 （1）从儿子、母亲、女儿所得的比例来看，他们三人所得的遗产的比是（）：（ ）：（ ）。 （2）从母亲至少得遗产的 1/3 来看，儿子、母亲、女儿所得遗产的比是（ ）：（ ）：（ ）。 3、甲、乙、丙三人共做零件 900 个。甲做总数的 30％，乙比丙多做 1/3。三人 各做多少个？ 【答案】1.一年级得 21 本，二年级得 14 本，三年级得 6 本。 2.（1）三人所得的遗产的比是 4;2;1 （2）3;2;1 3.甲做了 270 个，乙做了 360 个，丙做了 270 个。 【例题 5】两个相同的瓶子装满酒精溶液。一个瓶中酒精与水的体积之比是 3：1， 另一个瓶中酒精与水的体积之比是 4：1。若把两瓶酒精溶液混合，混合液中酒精与水 的体积之比是多少？ 【思路导航】抓住两个瓶子相同的关系，分别求出每个瓶中的酒精占瓶子容积的 几分之几再解答。 ① 一个瓶中酒精占瓶子容积的比 3/（1+3）＝ 3/4 ② 另一个瓶中酒精占瓶子容积的比 4/（1+4）＝ 4/5 55 ③ 两瓶子里的酒精占一个瓶子容积的比 3/4+4/5 ＝ 31/20 ④ 水占一个瓶子容积的比 2－31/20 ＝ 9/20 ⑤ 混合液中酒精与水的比 31/20：9/20＝31：9 答：混合液中酒精与水的比是 31：9。 练习 5： 1、两块一样重的合金，一块合金中铜与锌的比是 2：5，另一块合金中铜与锌的 比是 1：3。现将两块合金合成一块，求出锌合金中铜与锌的比。 2、将一条公路平均分给甲、乙两个工程队修筑。甲队已修的与剩下的比是 2：1， 乙队已修的与剩下的比是 5：2。这条公路已修了全长的几分之几？ 3、光华电视机厂上半年生产的电视机产量占全年的 5/8，照这样的速度计算，全 年可超产 1000 台。这个工厂上半年生产电视机多少台？ 【答案】1.铜与锌的比是 15;41 2.这条公路已修了全长的 42 29 3.这个工厂上半年生产电视机 2500 台。 56 第 15 讲 比的应用（二） 一、知识要点 比是反映数量关系的一种常见形式，也是解数学题的一种重要工具，有了它，我 们处理倍数关系、解答分数应用题就方便灵活得多。在这一讲，我们讲探讨稍复杂的 比是应用题。 二、精讲精练 【例题 1】甲、乙两个学生放学回家，甲要比乙多走 1/5 的路，而乙走的时间比 甲少 1/11，求甲、乙两人速度的比。 【思路导航】因为 速度＝路程÷时间，所以，甲、乙速度的比＝甲路程/甲时间： 乙路程/乙时间 （1）甲、乙路程的比：（1+1/5）：1＝6：5 （2）甲、乙时间的比：1：（1－1/11）＝11：10 （3）甲、乙速度的比：6/11：5/10=12：11 答：甲、乙速度的比是 12：11。 练习 1： 1、小明和小芳各走一段路。小明走的路程比小芳多 1/5，小芳用的时间比小明多 1/8。求小明和小芳速度的比。 2、甲走的路程比乙多 1/3，乙用的时间比甲多 1/4。求甲、乙的速度比。 3、一个人步行每小时走 5 千米，如果骑自行车每 1 千米比步行少用 8 分钟。这 个人骑自行车的速度和步行速度的比是多少？ 【答案】1.小明和小芳的速度之比是 27:20 2.甲乙的速度之比是 5:3 3.骑车与步行的速度之比是 3:1 【例题 2】制造一个零件，甲需 6 分钟，乙需 5 分钟，丙需 4.5 分钟。现在有 1590 个零件的制造任务分配给他们三个人，要求在相同的时间内完成，每人应该分配到多 少个零件？ 【思路导航】先求出工作效率的比，然后根据同一时间内，工作总量的比等于工 作效率的比进行解答。 甲、乙、丙工作效率的比： 1/6：1/5：1/1.5＝15：18：20 57 总份数：15+18+20＝53 甲 ：1590×15/53＝450（个） 乙 ：1590×18/53＝540（个） 丙 ：1590×20/53＝600（个） 答：甲、乙、丙分配到的零件分别是 450 个、540 个、600 个。 练习 2： 1、加工一个零件，甲需 3 分钟，乙需 3.5 分钟，丙需 4 分钟。现在有 1825 个零 件需要甲、乙、丙三人加工。如果规定用同样的时间完成任务，那么各应加工多少个？ 2、甲、乙、丙三人在同一时间里共制造 940 个零件。甲制造一个零件需 5 分钟， 比乙制造一个零件所用的时间多 25％，丙制造一个零件所用的时间比甲少 2/5。甲、 乙、丙各制造了多少个零件？ 3、加工某种零件要三道工序，专做第一、二、三道工序的工人每小时分别能完 成零件 48 个，32 个，28 个，现有 118 名工人，要使每天三道工序完成的零件个数相 同，每道工序应安排多少工人？ 【答案】1.甲应加工零件 700 个，乙应加工零件 600 个，丙应加工零件 525 个。 2.甲制造了零件 240 个，乙制造零件 300 个，丙制造零件 400 个。 3.第一道工序 28 人，第二道工序 42 人，第三道工序 48 人。 【例题 3】两个服装厂一个月内生产服装的数量是 6：5，两厂西服价格的比是 11： 10。已知两厂这个月内总产值为 6960 万元。两厂的产值各是多少万元？ 【思路导航】因为产值＝价格×产量，所以 甲产值：乙产值＝（甲价格×甲产量）：（乙价格×乙产量） 两厂的产值比为：（11×6）：（10×5）＝66：50 甲厂产值为：6960×66/（66+50）＝3960（元） 乙厂产值为：6960×50（66+50）＝3000（元） 答：两厂的产值分别是 3960 万元和 3000 万元。 练习 3： 1、甲、乙两个长方形长的比是 4：5，宽的比是 3：2，面积的和是 242 平方厘米。 求甲、乙两个长方形的面积分别是多少平方厘米？ 2、苹果和梨的单价的比是 6：5，王大妈买的苹果和梨的重量的比是 2：3，共花 去 18 元。王大妈买苹果和梨各花了多少元？ 58 3、大、小两种苹果，其单价比是 5：4，重量比是 2：3。把两种苹果混合，成为 100 千克的混合苹果，单价为每千克 4.40 元。大、小两种苹果原来每千克各是多少元？ 【答案】1.甲长方形面积是 132 平方厘米，乙长方形面积是 110 平方厘米。 2.王大妈买苹果花了 8 元，买梨花了 10 元。 3.大苹果每千克 5 元，小苹果每千克 4 元。 【例题 4】A、B 两种商品的价格比是 7：3。如果它们的价格分别上涨 70 元，它 们的价格比就是 7：4，这两种商品原来的价格各是多少元？ 【思路导航】 解法一：因为 A、B 两种商品涨价的数值相同，所以涨价后两种商品价格差不变。 由于价格差不变，所以价格差对应的份数也应该相同。 原价格比＝7：3＝21：9 现价格比＝7：4＝28：16 【这样前后项的差都是 12，价格涨了（28－21）＝7 份，是 70 元】 70÷（28－21）＝10 元 A：10×21＝210（元） B：10×9＝90（元） 解法二：由于两种商品的价格不变，选两种商品的价格差做单位“1“进行解答。 （1）原来 A 商品的几个是价格差的几倍 7÷（7－3）＝7/4 （2）后来 A 商品的价格是价格差的几倍 7÷（7－4）＝7/3 （3）A、B 两种商品的价格差是 70÷（7/3－7/4）＝120（元） （4）原来 A 商品的价格是 120÷（7－3）×7＝210（元） （5） 原来 B 商品的价格是 120÷（7－3）×3＝90（元） 答：A、B 两种商品原来的价格分别是 210 元和 90 元。 练习 4： 用两种思路解答下列应用题： 1、甲、乙两个建筑队原有水泥重量的比是 4：3。甲队给乙队 54 吨水泥后，甲、 乙两队水泥重量的比是 3：4。原来甲队有水泥多少吨？ 2、甲书架上的书是乙书架上的 4/7，两书架上各增加 154 本后，甲书架上的书是 乙书架上的，甲、乙两书架上原来各有多少本书？ 3、兄弟两人，每年收入的比是 4：3，每年支出的比是 18：13。从年初到年底， 他们都结余 720 元。他们每年的收入各是多少元？ 【答案】1.原来甲队有水泥 216 吨。 2.甲书架原有书 56 本，乙书架原有书 98 本。 59 3.哥哥每年的收入是 7200 元，弟弟每年的收入是 5400 元。 【例题 5】如图是甲、乙、丙三地的线路图，已知甲地到丙地的路程与乙地到丙 地的路程比是 1：2。王刚以每小时 4 千米的速度从甲地步行到丙地，李华同时以每小 时 10 千米的速度从乙地骑自行车去丙地，他比王刚早 1 小时到达丙地。甲、乙两地 相距多少千米？ 【思路导航】 解法一：根据路程的比和速度的比求出时间的比，从而求出王刚和李华所用的时 间，再求出各自所走的路程。 王刚和李华所用时间的比 1/4：2/10＝5：4 王刚所用的时间 1÷（5－4）×5＝5（小时） 甲地到丙地的路程 4×5＝20（千米） 甲、乙两地的路程 20×（1+2）＝60（千米） 解法二：如果李华每小时行 4×2＝8 千米，他将与王刚同时到达丙地。现在他每 小时多行 10－8＝2 千米。在王刚从甲地到丙地的这段时间内，李华比应行的路程多 行了 10×1＝10 千米。据此，可求出王刚从甲地到丙地的时间。 王刚从甲地到丙地的时间 10 ×1÷（10－4×2）＝5（小时） 甲、乙两地的路程 4×5×（1+2）＝60（千米） 解法三：如果王刚每小时行 10÷3＝5 千米，就能和李华同时到达。由此可见， 王刚走完甲地到丙地的路程，用每小时 4 千米的速度和每小时 5 千米的速度相比，所 用的时间相差 1 小时。再根据 1 千米的路程，两种速度所用的时间相差 1/4－1/5＝ 1/20 小时。最后求出甲地到丙地的路程。 甲地到丙地的路程 1÷（1/4－1/（10÷÷2）＝20（千米） 甲、乙两地的路程 20×（1+2）＝60（千米） 答：甲、乙两地相距 60 千米。 练习 5： 1、一辆汽车在甲、乙两站间行驶，往返一次共用去 4 小时（停车时间不算在内）。 汽车去时每小时行 45 千米，返回时每小时行 30 千米。甲、乙两地相距多少千米？ 2、甲做 3000 个零件比乙做 2400 个零件多用 1 小时，甲、乙工作效率的比是 6： 5。甲、乙每小时各做多少个？ 3、下图是甲、乙、丙三地的路线图。已知甲地到丙地的路程与乙地到丙地的路 60 程的比是 2：3。一辆货车以每小时 40 千米的速度从甲地开往丙地，一辆客车同时以 每小时 50 千米的速度从乙地开往丙地，客车比火车迟 1 小时到达丙地。求甲、乙两 地的路程？ 【答案】1.甲乙两地相距 72 千米。 2.甲每小时做 120 个零件，乙每小时做 100 个零件。 3.甲乙两地的路程是 500 千米。 61 第 16 讲 用“组合法”解工程问题 一、知识要点 在解答工程问题时，如果对题目提供的条件孤立、分散、静止地看，则难以找到 明确的解题途径，若用“组合法”把具有相依关系的数学信息进行恰当组合，使之成 为一个新的基本单位，便会使隐蔽的数量关系立刻明朗化，从而顺利找到解题途径。 二、精讲精练 【例题 1】一项工程，甲、乙两队合作 15 天完成，若甲队做 5 天，乙队做 3 天， 只能完成工程的 7/30，乙队单独完成全部工程需要几天？ 【思路导航】此题已知甲、乙两队的工作效率和是 1/15，只要求出甲队货乙队的 工作效率，则问题可解，然而这正是本题的难点，用“组合法”将甲队独做 5 天，乙 队独做 3 天，组合成甲、乙两队合作了 3 天后，甲队独做 2 天来考虑，就可以求出甲 队 2 天的工作量 7/30－1/15×3＝1/30，从而求出甲队的工作效率。所以 1÷【1/15－（7/30－1/15×3）÷（5－3）】＝20（天） 答：乙队单独完成全部工程需要 20 天。 练习 1： 1、师、徒二人合做一批零件，12 天可以完成。师傅先做了 3 天，因事外出，由 徒弟接着做 1 天，共完成任务的 3/20。如果这批零件由师傅单独做，多少天可以完成？ 2、某项工程，甲、乙合做 1 天完成全部工程的 5/24。如果这项工程由甲队独做 2 天，再由乙队独做 3 天，能完成全部工程的 13/24。甲、乙两队单独完成这项工程 各需多少天？ 3、甲、乙两队合做，20 天可完成一项工程。先由甲队独做 8 天，再由乙队独做 12 天，还剩这项工程的 8/15。甲、乙两队独做各需几天完成？ 【答案】1.30 天 2.12 天；8 天 3.30 天，60 天。 【例题 2】一项工程，甲队独做 12 天可以完成。甲队先做了 3 天，再由乙队做 2 天，则能完成这项工程的 1/2。现在甲、乙两队合做若干天后，再由乙队单独做。做 完后发现两段所用时间相等。求两段一共用了几天？ 【思路导航】此题很容易先求乙队的工作效率是：（1/2－1/12×3）÷2＝1/8； 再由条件“做完后发现两段所用时间相等”的题意，可组合成由两个乙队和一个甲队 合做需若干天完成，即可求出相等的时间。 62 （1）乙队每天完成这项工程的（1/2－1/12×3）÷2＝1/8 （2）两段时间一共是 1÷（1/8×2+1/12）×2＝6（天） 答：两段时间一共是 6 天。 练习 2： 1、一项工程，甲队独做 15 天完成。若甲队先做 5 天，乙队再做 4 天能完成这项 工程的 8/15。现由甲、乙两队合做若干天后，再由乙队单独做。做完后发现，两段时 间相等。这两段时间一共是几天？ 2、一项工程，甲、乙合做 8 天完成。如果先让甲独做 6 天，再由乙独做，完成 任务时发现乙比甲多了 3 天。乙独做这项工程要几天完成？ 3、某工作，甲单独做要 12 天，乙单独做要 18 天，丙单独做要 24 天。这件工作 先由甲做了若干天，再由乙接着做；乙做的天数是甲 3 倍，再由丙接着做，丙做的天 数是乙的 2 倍。终于完成了这一工作。问总共用了多少天？ 【答案】1.10 天 2.12 天 3.20 天 【例题 3】移栽西红柿苗若干棵，如果哥、弟二人合栽 8 小时完成，先由哥哥栽 了 3 小时后，又由弟弟栽了 1 小时，还剩总棵数的 11/16 没有栽，已知哥哥每小时比 弟弟每小时多栽 7 棵。共要移栽西红柿苗多少棵？ 【思路导航】把“哥哥先栽了 3 小时，弟弟又栽了 1 小时”组合成“哥、的合栽 了 1 小时后，哥哥又独做了 2 小时”，就可以求出哥哥每小时栽总数的几分之几。 哥哥每小时栽总数的几分之几（1－11/16－1/8×1）÷（3－1）＝3/32 一共要移栽的西红柿苗多少棵 7÷【3/32－（1/8－3/32）】＝112（棵） 答：共要移栽西红柿苗 112 棵。 练习 3： 1、加工一批机器零件，师、徒合做 12 小时可以完成。先由师傅加工 8 小时，接 着再由徒弟加工 6 小时，共加工了这批零件的 3/5。已知师傅每小时比徒弟多做 10 个零件。这批零件共有多少个？ 2、修一条公路，甲、乙两队合做 6 天可以完成。先由甲队修 5 天，再由乙队修 3 天，还剩这条公路的 3/10 没有修。已知甲队每天比乙队多修 20 米。这条公路全长多 少米？ 3、修一段公路，甲队独修要 40 天，乙队独修要用 24 天。两队同时从两端开工， 结果在距中点 750 米处相遇。这段公路全长多少米？ 63 【答案】1.600 个 2.600 米 3.6000 米 【例题 4】一项工作，甲、乙、丙 3 人合做 6 小时可以完成。如果甲工作 6 小时 后，乙、丙合做 2 小时，可以完成这项工作的 2/3；如果甲、乙合做 3 小时后，丙做 6 小时，也可以完成这项工作的 2/3。如果由甲、丙合做，需几小时完成？ 【思路导航】将条件“甲工作 6 小时后，乙、丙合做 2 小时，可以完成这项工作 的 2/3”组合成“甲工作 4 小时，甲、乙、丙合做 2 小时可以完成这项工作的 2/3”， 则求出甲的工作效率。同理，运用“组合法”再求出丙的工作效率。 甲每小时完成这项工程的几分之几（2/3－1/6×2）÷（6－2）＝1/12 丙每小时完成这项工程的几分之几（2/3－1/6×3）÷（6－3）＝1/18 甲、丙合做需完成的时间为：1÷（1/12+1/18）＝7 由 1/5（小时） 答：甲、丙合做完成需要 7 有 1/5 小时。 练习 4： 1、一项工作，甲、乙、丙三人合做，4 小时可以完成。如果甲做 4 小时后，乙、 丙合做 2 小时，可以完成这项工作的 13/18；如果甲、乙合做 2 小时后，丙再做 4 小 时，可以完成这项工作的 11/18。这项工作如果由甲、丙合做需几小时完成？ 2、一项工程，甲、乙合做 6 天可以完成，乙、丙合做 10 天可以完成。现在先由 甲、乙、丙合做 3 天后，余下的乙再做 6 天则可以完成。乙独做这项工程要几天就可 以完成？ 3、一项工程，甲、乙两队合做 10 天完成，乙、丙两队合做 8 天完成。现在甲、 乙、丙三队合做 4 天后，余下的工程由乙队独做 5 又 1/2 天完成。乙队单独做这项工 程需多少天可以完成？ 4、一件工作，甲、乙合做 4 小时完成，乙、丙合做 5 小时完成。现在由甲、丙 合做 2 小时后，余下的由乙 6 小时完成。乙独做这件工作需几小时才能完成？ 【答案】1.6 小时 2.15 天 3.15 天 4.20 小时 【例题 5】一条公路，甲队独修 24 天可以完成，乙队独修 30 天可以完成。先由 甲、乙两队合修 4 天，再由丙队参加一起修 7 天后全部完成。如果由甲、乙、丙三队 同时开工修这条公路，几天可以完成？ 【思路导航】将条件“先由甲、乙两队合修 4 天，再由丙队参加一起修 7 天后全 部完成”组合成“甲、乙两队各修（4+7）＝11 天后，再由丙队单独修了 7 天才全部 完成。”就可以求出丙队的工作效率。 64 丙队每天修这条公路的【1－（1/24+1/30）】×（4+7）＝1/40 三队合修完成时间为 1÷（1/24+1/30+1/40）＝10（天） 答：10 天可以完成。 练习 5： 1、一件工作，甲单独做 12 小时完成。现在甲、乙合做 4 小时后，乙又用 6 小时 才完成。这件工作始终由甲、乙合做几小时可以完成？ 2、一条水渠，甲队独挖 120 天完成，乙队独挖 40 天完成。现在两队合挖 8 天， 剩下的由丙队加入一起挖，又用 12 天挖完。这条水渠由丙队单独挖，多少天可以完 成？ 3、一件工作，甲、乙合做 6 天可以完成，乙、丙合做 10 天可以完成。如果甲、 丙合做 3 天后，由乙单独做，还要 9 天才能完成。如果全部工作由 3 人合做，需几天 可以完成？ 4、一项工程，甲、乙两队合做 30 天完成，甲队单独做 24 天后，乙队加入，两 队又合做了 12 天。这时甲队调走，乙队又继续做了 15 天才完成。甲队独做这项工程 需要多少天？ 【答案】1. 3 26 小时 2.36 天 3.5 天 4.90 天 65 第 17 讲 浓度问题 一、知识要点 在百分数应用题中有一类叫溶液配比问题，即浓度问题。我们知道，将糖溶于水 就得到了糖水，其中糖叫溶质，水叫溶剂，糖水叫溶液。如果水的量不变，那么糖加 得越多，糖水就越甜，也就是说糖水甜的程度是由糖（溶质）与糖水（溶液＝糖+水） 二者质量的比值决定的。这个比值就叫糖水的含糖量或糖含量。类似地，酒精溶于水 中，纯酒精与酒精溶液二者质量的比值叫酒精含量。因而浓度就是溶质质量与溶液质 量的比值，通常用百分数表示，即， 浓度＝溶质质量/溶液质量×100％＝溶质质量/（溶质质量＋溶剂质量）×100% 解答浓度问题，首先要弄清什么是浓度。在解答浓度问题时，根据题意列方程解 答比较容易，在列方程时，要注意寻找题目中数量问题的相等关系。 浓度问题变化多，有些题目难度较大，计算也较复杂。要根据题目的条件和问题 逐一分析，也可以分步解答。 二、精讲精练 【例题 1】有含糖量为 7％的糖水 600 克，要使其含糖量加大到 10％，需要再加 入多少克糖？ 【思路导航】根据题意，在 7％的糖水中加糖就改变了原来糖水的浓度，糖的质 量增加了，糖水的质量也增加了，但水的质量并没有改变。因此，可以先根据原来糖 水中的浓度求出水的质量，再根据后来糖水中的浓度求出现在糖水的质量，用现在糖 水的质量减去原来糖水的质量就是增加的糖的质量。 原来糖水中水的质量：600×（1－7％）＝558（克） 现在糖水的质量 ：558÷（1－10％）＝620（克） 加入糖的质量 ：620－600＝20（克） 答：需要加入 20 克糖。 练习 1： 1、现在有浓度为 20％的糖水 300 克，要把它变成浓度为 40％的糖水，需要加糖 多少克？ 2、有含盐 15％的盐水 20 千克，要使盐水的浓度为 20％，需加盐多少千克？ 3、有甲、乙两个瓶子，甲瓶里装了 200 毫升清水，乙瓶里装了 200 毫升纯酒精。 66 第一次把 20 毫升纯酒精由乙瓶倒入甲瓶，第二次把甲瓶中 20 毫升溶液倒回乙瓶，此 时甲瓶里含纯酒精多，还是乙瓶里含水多？ 【答案】1.需要加糖 100 克。 2.需加盐 1.25 千克。 3.甲瓶里含的纯酒精和乙瓶里含的水一样多。 【例题 2】一种 35％的新农药，如稀释到 1.75％时，治虫最有效。用多少千克浓 度为 35％的农药加多少千克水，才能配成 1.75％的农药 800 千克？ 【思路导航】把浓度高的溶液经添加溶剂变为浓度低的溶液的过程称为稀释。在 这种稀释过程中，溶质的质量是不变的。这是解这类问题的关键。 800 千克 1.75％的农药含纯农药的质量为 800×1.75％＝14（千克） 含 14 千克纯农药的 35％的农药质量为 14÷35％＝40（千克） 由 40 千克农药稀释为 800 千克农药应加水的质量为 800－40＝760（千克） 答：用 40 千克的浓度为 35％的农药中添加 760 千克水，才能配成浓度为 1.75％ 的农药 800 千克。 练习 2： 1、用含氨 0.15％的氨水进行油菜追肥。现有含氨 16％的氨水 30 千克，配置时 需加水多少千克？ 2、仓库运来含水量为 90％的一种水果 100 千克。一星期后再测，发现含水量降 低到 80％。现在这批水果的质量是多少千克？ 3、一容器内装有 10 升纯酒精，倒出 2.5 升后，用水加满；再倒出 5 升，再用水 加满。这时容器内溶液的浓度是多少？ 【答案】1.氨的质量不变，需加水 3170 千克。 2.除水以外的部分的质量不变。质量是 50 千克。 3.37.5%。 【例题 3】现有浓度为 10％的盐水 20 千克。再加入多少千克浓度为 30％的盐水， 可以得到浓度为 22％的盐水？ 【思路导航】这是一个溶液混合问题。混合前、后溶液的浓度改变了，但总体上 溶质及溶液的总质量没有改变。所以，混合前两种溶液中溶质的和等于混合后溶液中 的溶质的量。 20 千克 10％的盐水中含盐的质量 20×10％＝2（千克） 67 混合成 22％时，20 千克溶液中含盐的质量 20×22％＝404（千克） 需加 30％盐水溶液的质量（4.4－2）÷（30％－22％）＝30（千克） 答：需加入 30 千克浓度为 30％的盐水，可以得到浓度为 22％的盐水。 练习 3： 1、在 100 千克浓度为 50％的硫酸溶液中，再加入多少千克浓度为 5％的硫酸溶 液就可以配制成 25％的硫酸溶液？ 2、浓度为 70％的酒精溶液 500 克与浓度为 50％的酒精溶液 300 克混合后所得到 的酒精溶液的浓度是多少？ 3、在 20％的盐水中加入 10 千克水，浓度为 15％。再加入多少千克盐，浓度为 25％？ 【答案】1.125 千克。 2.要求混合后的浓度，可用混合后的酒精总质量除以混合后的溶液总质量。62.5% 3.加入盐的质量： 3 15 千克。 【例题 4】将 20％的盐水与 5％的盐水混合，配成 15％的盐水 600 克，需要 20％ 的盐水和 5％的盐水各多少克？ 【思路导航】根据题意，将 20％的盐水与 5％的盐水混合配成 15％的盐水，说明 混合前两种盐水中盐的质量和与混合后盐水中盐的质量是相等的。可根据这一数量间 的相等关系列方程解答。 解：设 20％的盐水需 x 克，则 5％的盐水为 600－x 克，那么 20％x+（600－x）×5％＝600×15％ X ＝400 600－400＝200（克） 答：需要 20％的盐水 400 克，5％的盐水 200 克。 练习 4： 1、两种钢分别含镍 5％和 40％，要得到 140 吨含镍 30％的钢，需要含镍 5％的 钢和含镍 40％的钢各多少吨？ 2、甲、乙两种酒各含酒精 75％和 55％，要配制含酒精 65％的酒 3000 克，应当 从这两种酒中各取多少克？ 3、甲、乙两只装糖水的桶，甲桶有糖水 60 千克，含糖率为 40％；乙桶有糖水 40 千克，含糖率为 20％。要使两桶糖水的含糖率相等，需把两桶的糖水相互交换多 68 少千克？ 【答案】1.需要含镍 5%的钢 40 吨，含镍 40%的钢 100 吨。 2.含酒精 75%的酒 1500 克，取含酒精 55%的酒 1500 克。 3.互相交换 24 千克糖水。 【例题 5】甲、乙、丙 3 个试管中各盛有 10 克、20 克、30 克水。把某种质量分 数的盐水 10 克倒入甲管中，混合后取 10 克倒入乙管中，再混合后从乙管中取出 10 克倒入丙管中。现在丙管中的盐水的质量分数为 0.5％。最早倒入甲管中的盐水质量 分数是多少？ 【思路导航】混合后甲、乙、丙 3 个试管中应有的盐水分别是 20 克、30 克、40 克。根据题意，可求出现在丙管中盐的质量。又因为丙管中原来只有 30 克的水，它 的盐是从 10 克盐水中的乙管里取出的。由此可求出乙管里 30 克盐水中盐的质量。而 乙管里的盐又是从 10 克盐水中的甲管里取出的，由此可求出甲管里 20 克盐水中盐的 质量。而甲管里的盐是某种浓度的盐水中的盐，这样就可得到最初倒入甲管中盐水的 质量分数。 丙管中盐的质量：（30+10）×0.5％＝02（克） 倒入乙管后，乙管中盐的质量：0.2×【（20+10）÷10】＝0.6（克） 倒入甲管，甲管中盐的质量：0.6×【（10+10）÷10】＝1.2（克） 1.2÷10＝12％ 答：最早倒入甲管中的盐水质量分数是 12％。 练习 5： 1、从装满 100 克 80％的盐水中倒出 40 克盐水后，再用清水将杯加满，搅拌后再 倒出 40 克盐水，然后再用清水将杯加满。如此反复三次后，杯中盐水的浓度是多少？ 2、甲容器中又 8％的盐水 300 克，乙容器中有 12.5％的盐水 120 克。往甲、乙 两个容器分别倒入等量的水，使两个容器中盐水的浓度一样。每个容器应倒入多少克 水？ 3、甲种酒含纯酒精 40％，乙种酒含纯酒精 36％，丙种酒含纯酒精 35％。将三种 酒混在一起得到含酒精 38.5％的酒 11 千克。已知乙种酒比丙种酒多 3 千克，那么甲 种酒有多少千克？ 【答案】1.盐水的浓度是 17.28%。 2.每个容器倒入 180 克水。 69 3.甲种酒有 7 千克。 70 第 18 讲 面积计算（一） 一、知识要点 计算平面图形的面积时，有些问题乍一看，在已知条件与所求问题之间找不到任 何联系，会使你感到无从下手。这时，如果我们能认真观察图形，分析、研究已知条 件，并加以深化，再运用我们已有的基本几何知识，适当添加辅助线，搭一座连通已 知条件与所求问题的小“桥”，就会使你顺利达到目的。有些平面图形的面积计算必 须借助于图形本身的特征，添加一些辅助线，运用平移旋转、剪拼组合等方法，对图 形进行恰当合理的变形，再经过分析推导，方能寻求出解题的途径。 二、精讲精练 【例题 1】已知如图，三角形 ABC 的面积为 8 平方厘米， AE＝ED，BD=2/3BC，求阴影部分的面积。 【思路导航】阴影部分为两个三角形，但三角形 AEF 的 面积无法直接计算。由于 AE=ED,连接 DF，可知 S△AEF=S△EDF （等底等高），采用移补的方法，将所求阴影部分转化为求三角形 BDF 的面积。 因为 BD=2/3BC，所以 S△BDF＝2S△DCF。又因为 AE＝ED，所以 S△ABF＝S△BDF ＝2S△DCF。 因此，S△ABC＝5 S△DCF。由于 S△ABC＝8 平方厘米，所以 S△DCF＝8÷5＝1.6 （平方厘米），则阴影部分的面积为 1.6×2＝3.2（平方厘米）。 练习 1： 1、如图，AE＝ED，BC=3BD，S△ABC＝30 平方厘米。求阴影部分的面积。 2、如图所示，AE=ED，DC＝1/3BD，S△ABC＝21 平方厘米。 求阴影部分的面积。 71 3、如图所示，DE＝1/2AE，BD＝2DC，S△EBD＝5 平方厘米。求三角形 ABC 的面积。 【答案】1.阴影部分面积 12 cm2 2.阴影部分面积 9 cm2 3.三角形 ABC 的面积是 22.5 cm2 【例题 2】两条对角线把梯形 ABCD 分割成四个三角形，如图所示，已知两个三角 形的面积，求另两个三角形的面积各是多少？ 【思路导航】已知 S△BOC 是 S△DOC 的 2 倍，且高相等， 可知：BO＝2DO；从 S△ABD 与 S△ACD 相等（等底等高）可 知：S△ABO 等于 6，而△ABO 与△AOD 的高相等，底是△AOD 的 2 倍。所以△AOD 的面积为 6÷2＝3。 因为 S△ABD 与 S△ACD 等底等高 所以 S△ABO＝6 因为 S△BOC 是 S△DOC 的 2 倍 所以△ABO 是△AOD 的 2 倍 所以△AOD＝6÷2＝3。 答：△AOD 的面积是 3。 练习 2： 1、两条对角线把梯形 ABCD 分割成四个三角形，（如图所示），已知两个三角形的 面积，求另两个三角形的面积是多少？ 2、已知 AO＝1/3OC，求梯形 ABCD 的面积（如图所示）。 72 3、已知三角形 AOB 的面积为 15 平方厘米，线段 OB 的长度为 OD 的 3 倍。求梯形 ABCD 的面积。（如图所示）。 【答案】1.三角形 COD 面积是 4，三角形 AOD 面积是 2 2. 3.梯形 ABCD 的面积是 80 平方厘米 【例题 3】四边形 ABCD 的对角线 BD 被 E、F 两点三等分，且四边形 AECF 的面积 为 15 平方厘米。求四边形 ABCD 的面积（如图所示）。 【思路导航】由于 E、F 三等分 BD，所以三角形 ABE、AEF、 AFD 是等底等高的三角形，它们的面积相等。同理，三角形 BEC、 CEF、CFD 的面积也相等。由此可知，三角形 ABD 的面积是三角 形 AEF 面积的 3 倍，三角形 BCD 的面积是三角形 CEF 面积的 3 倍，从而得出四边形 ABCD 的面积是四边形 AECF 面积的 3 倍。 15×3＝45（平方厘米） 答：四边形 ABCD 的面积为 45 平方厘米。 练习 3： 1、四边形 ABCD 的对角线 BD 被 E、F、G 三点四等分，且四边形 AECG 的面积为 15 平方厘米。求四边形 ABCD 的面积（如图）。 2、已知四边形 ABCD 的对角线被 E、F、G 三点四等分，且阴影部分面积为 15 平 方厘米。求四边形 ABCD 的面积（如图所示）。 73 3、如图所示，求阴影部分的面积（ABCD 为正方形）。 【答案】1.15×2=30（cm2） 2.15×4=60（cm2） 3.（6+3）×6÷2=27 【例题 4】如图所示，BO＝2DO，阴影部分的面积是 4 平方厘米。那么，梯形 ABCD 的面积是多少平方厘米？ 【思路导航】因为 BO＝2DO，取 BO 中点 E，连接 AE。根据 三角形等底等高面积相等的性质，可知 S△DBC＝S△CDA；S△COB ＝S△DOA＝4，类推可得每个三角形的面积。所以， S△CDO＝4÷2＝2（平方厘米） S△DAB＝4×3＝12 平方厘米 S 梯形 ABCD＝12+4+2＝18（平方厘米） 答：梯形 ABCD 的面积是 18 平方厘米。 练习 4： 1、如图所示，阴影部分面积是 4 平方厘米，OC＝2AO。求梯形面积。 2、已知 OC＝2AO，S△BOC＝14 平方厘米。求梯形的面积（如图所示）。 3、已知 S△AOB＝6 平方厘米。OC＝3AO，求梯形的面积（如图所示）。 74 【答案】1.4×2=8（cm2）8×2=16（cm2）16+8+8+4=36（cm2） 2.14÷2=7（cm2）7÷2=3.5（cm2）14+7+7+3.5=31.5（cm2） 3.6×（3+1）=24（cm2）6÷3=2（cm2）24+6+2=32（cm2） 【例题 5】如图所示，长方形 ADEF 的面积是 16，三角形 ADB 的面积是 3，三角形 ACF 的面积是 4，求三角形 ABC 的面积。 【思路导航】连接 AE。仔细观察添加辅 助线 AE 后，使问题可有如下解法。 由图上看出：三角形 ADE 的面积等于长 方形面积的一半（16÷2）＝8。用 8 减去 3 得到三角形 ABE 的面积为 5。同理，用 8 减去 4 得到三角形 AEC 的面积也为 4。因此可知三角形 AEC 与三角形 ACF 等底等高，C 为 EF 的中点，而三角形 ABE 与三角形 BEC 等底，高是三角形 BEC 的 2 倍，三角形 BEC 的面积为 5÷2＝2.5，所以，三角形 ABC 的面积为 16－3－4－2.5＝6.5。 练习 5： 1、如图所示，长方形 ABCD 的面积是 20 平方厘米，三角形 ADF 的面积为 5 平方 厘米，三角形 ABE 的面积为 7 平方厘米，求三角形 AEF 的面积。 2、如图所示，长方形 ABCD 的面积为 20 平方厘米，S△ABE＝4 平方厘米，S△AFD ＝6 平方厘米，求三角形 AEF 的面积。 75 3、如图所示，长方形 ABCD 的面积为 24 平方厘米，三角形 ABE、AFD 的面积均为 4 平方厘米，求三角形 AEF 的面积。 【答案】1.连接 AC。20÷2-7=3（cm2）3× 2 1 =1.5（cm2） 20-7-5-1.5=6.5（cm2） 2.连接 AC。20÷2=10（cm2） （10-4）× 10 610  = 5 22 （cm2） 20-6-4- 5 22 = 5 37 （cm2） 3.连接 AC。24÷2=12（cm2） （12-4）×（1- 12 4 ）= 3 15 （cm2） 24-4-4- 3 15 = 3 210 （cm2） 76 第 19 讲 面积计算（二） 一、知识要点 在进行组合图形的面积计算时，要仔细观察，认真思考，看清组合图形是由几个 基本单位组成的，还要找出图中的隐蔽条件与已知条件和要求的问题间的关系。 二、精讲精练 【例题 1】求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。 【思路导航】如图所示的特点，阴影部分的面积可以拼成 1 4 圆的面积。 62×3.14× 1 4 ＝28.26（平方厘米） 答：阴影部分的面积是 28.26 平方厘米。 练习 1： 1、求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。 2、求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。 3、求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。 【答案】1.6×6× 2 1 =18（cm2） 77 2.6×6=36（cm2） 3.10×（10÷2）× 2 1 ×2=50（cm2） 【例题 2】求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。 【思路导航】阴影部分通过翻折移动位置后，构成了一个新的图形（如图所示）。 从图中可以看出阴影部分的面积等于大扇形的面积减去大三角形面积的一半。 3.14× 2 14 4  －4×4÷2÷2＝8.56（平方厘米） 答：阴影部分的面积是 8.56 平方厘米。 练习 2： 1、计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。 2、计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米，正方形边长 4）。 3、计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米，正方形边长 4）。 【答案】1.（2+2）×2=8（cm2） 78 2.4×4× 2 1 =8（cm2） 3.42×3.14× 4 1 -4×4× 2 1 =4.56（cm2） 【例题 3】如图 19－10 所示，两圆半径都是 1 厘米，且图 中两个阴影部分的面积相等。求长方形 ABO1O 的面积。 【思路导航】因为两圆的半径相等，所以两个扇形中的空 白部分相等。又因为图中两个阴影部分的面积相等，所以扇形的面积等于长方形面积 的一半（如图 19－10 右图所示）。所以 3.14×12×1/4×2＝1.57（平方厘米） 答：长方形长方形 ABO1O 的面积是 1.57 平方厘米。 练习 3： 1、如图所示，圆的周长为 12.56 厘米，AC 两点把圆分成相等的两段弧，阴影部 分（1）的面积与阴影部分（2）的面积相等，求平行四边形 ABCD 的面积。 2、如图所示，直径 BC＝8 厘米，AB＝AC，D 为 AC 的中点，求阴影部分的面积。 3、如图所示，AB＝BC＝8 厘米，求阴影部分的面积。 【答案】1.（12.56÷3.14÷2）2×3.14=12.56（cm2） 2.（8÷2）2×3.14× 4 1 =12.56（cm2） 3.（8÷2）2×3.14× 4 1 +（8÷2）2× 2 1 =20.56（cm2） 【例题 4】如图 19－14 所示，求阴影部分的面积（单位： 厘米）。 【思路导航】我们可以把三角形 ABC 看成是长方形的一部 分，把它还原成长方形后（如图所示）。 79 I 和 II 的面积相等。 因为原大三角形的面积与后加上的三角形面积相等，并且空白部分的两组三角形 面积分别相等，所以 6×4＝24（平方厘米） 答：阴影部分的面积是 24 平方厘米。 练习 4： 1、如图所示，求四边形 ABCD 的面积。 2、如图所示，BE 长 5 厘米，长方形 AEFD 面积是 38 平方厘米。求 CD 的长度。 3、图是两个完全一样的直角三角形重叠在一起，按照图中的已知条件求阴影部 分的面积（单位：厘米）。 【答案】1.延长 BC 和 AD 相交于 E，四边形 ABCD 面积 7×7× 2 1 -3×3× 2 1 =20（cm2） 2.7.6cm 3.（120+120-40）×30÷2=3000（cm2） 【例题 5】如图所示，图中圆的直径 AB 是 4 厘米，平行四边形 ABCD 的面积是 7 平方厘米，∠ABC＝30 度，求阴影部分的面积（得数保留两位小数）。 【思路导航】阴影部分的面积等于平行四边形的面积减去扇形 AOC 的面积，再减 80 去三角形 BOC 的面积。 半径：4÷2＝2（厘米） 扇形的圆心角：180－（180－30×2）＝60（度） 扇形的面积：2×2×3.14×60/360≈2.09（平方厘米） 三角形 BOC 的面积：7÷2÷2＝1.75（平方厘米） 7－（2.09+1.75）＝3.16（平方厘米） 答：阴影部分的面积是 3.16 平方厘米。 练习 5： 1、如图所示，∠1＝15 度，圆的周长位 62.8 厘米，平行四边形的面积为 100 平 方厘米。求阴影部分的面积（得数保留两位小数）。 2、如图所示，三角形 ABC 的面积是 31.2 平方厘米，圆的直径 AC＝6 厘米，BD： DC＝3：1。求阴影部分的面积。 3、如图所示，求阴影部分的面积（单位：厘米。得数保留两位小数）。 4、如图所示，求阴影部分的面积（单位：厘米。得数保留两位小数）。 【答案】1.圆心角 AOB 度数是 30°。平行四边形内一个小弓形的面积为（62.8 ÷3.14÷2）2×3.14× 360 30 -100÷4=1.17（cm2）。阴影部分面积是 100÷2-1.17=48.83 （cm2） 81 2.圆心角 AOD 度数 120°，扇形 AOD 面积是（6÷2）2×3.14× 360 120 =9.42（cm2） 阴影面积：9.42-31.2× 13 1  × 2 1 =5.52（cm2） 3.圆心角 AOC 度数 120°，扇形 AOC 面积：（12÷2）2×3.14× 360 120 =37.68（cm2） 三角形 AOC 面积是：（12÷2）×5.2× 2 1 =15.6（cm2） 阴影面积：37.68-15.6=22.08（cm2） 4.圆心角 BOC 度数是 60°，扇形 ABD 面积：602×3.14× 360 30 =942（cm2） 三角形 AOC 面积是（60÷2）2×26× 2 1 =390（cm2） 扇形 BOC 面积：（60÷2）2×3.14× 360 60 =471（cm2） 阴影面积：942-390-471=81（cm2） 82 第 20 讲 面积计算 一、知识要点 对于一些比较复杂的组合图形，有时直接分解有一定的困难，这时，可以通过把 其中的部分图形进行平移、翻折或旋转，化难为易。有些图形可以根据“容斥问题“的 原理来解答。在圆的半径 r 用小学知识无法求出时，可以把“r2”整体地代入面积公 式求面积。 二、精讲精练 【例题 1】如图所示，求图中阴影部分的面积。 【思路导航】解法一：阴影部分的一半，可以看做是扇形中减去一个等腰直角三 角形（如图），等腰直角三角形的斜边等于圆的半径，斜边上的高等于斜边的一半， 圆的半径为 20÷2＝10 厘米 [3.14×102×1/4－10×（10÷2）]×2＝107（平方厘米） 答：阴影部分的面积是 107 平方厘米。 解法二：以等腰三角形底的中点为中心点。把图的右半部分 向下旋转 90 度后，阴影部分的面积就变为从半径为 10 厘米的半 圆面积中，减去两直角边为 10 厘米的等腰直角三角形的面积所得的差。 （20÷2）2×1/2－（20÷2）2×1/2＝107（平方厘米） 答：阴影部分的面积是 107 平方厘米。 练习 1： 1、如图所示，求阴影部分的面积（单位：厘米） 2、如图所示，用一张斜边为 29 厘米的红色直角三角形纸片，一张斜边为 49 厘 米的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形。求红蓝两 张三角形纸片面积之和是多少？ 83 【答案】1.5.13（cm2） 2.710.5（cm2） 【例题 2】如图所示，求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。 【思路导航】解法一：先用长方形的面积减去小扇形的面积，得 空白部分（a）的面积，再用大扇形的面积减去空白部分（a）的面积。如图所示。 3.14×62×1/4－（6×4－3.14×42×1/4）＝16.82（平方厘米） 解法二：把阴影部分看作（1）和（2）两部分如图 20－8 所示。把大、小两个扇 形面积相加，刚好多计算了空白部分和阴影（1）的面积，即长方形的面积。 3.14×42×1/4+3.14×62×1/4－4×6＝16.28（平方厘米） 答：阴影部分的面积是 16.82 平方厘米。 练习 2： 1、如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，求阴影部分的面积（单位：厘米）。 2、如图所示，三角形 ABC 是直角三角形，AC 长 4 厘米，BC 长 2 厘米。以 AC、BC 为直径画半圆，两个半圆的交点在 AB 边上。求图中阴影部分的面积。 3、如图所示，图中平行四边形的一个角为 600，两条边的长分别为 6 厘米和 8 厘米，高为 5.2 厘米。求图中阴影部分的面积。 84 【答案】1.可以看作两个半圆重叠在一起，从中减去一个三角形面积，1.14（cm2） 2.3.85（cm2）3.用大小两个扇形面积的和减去一个平行四边形的面积，就得到 阴影面积的一半。 15 721 cm2 【例题 3】在图中，正方形的边长是 10 厘米，求图中阴影部分的面积。 【思路导航】解法一：先用正方形的面积减去一个整圆的面积，得空部分的一半 （如图所示），再用正方形的面积减去全部空白部分。 空白部分的一半：10×10－（10÷2）2×3.14＝21.5（平方厘米） 阴影部分的面积：10×10－21.5×2＝57（平方厘米） 解法二：把图中 8 个扇形的面积加在一起，正好多算了一个正方形（如图所示）， 而 8 个扇形的面积又正好等于两个整圆的面积。 （10÷2）2×3.14×2－10×10＝57（平方厘米） 答：阴影部分的面积是 57 平方厘米。 练习 3： 1、求下面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。 2、求下面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。 3、求下面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。 【答案】1.四个半圆的面积减去一个正方形的面积：57（cm2） 2.半圆与扇形面积的和减去一个三角形面积：28.5（cm2） 3.整个图形的面积等于两个半圆的面积加上一个三角形的面积，用整个图形的面 85 积减去一个最大半圆的面积就等于阴影面积：6cm2 【例题 4】在正方形 ABCD 中，AC＝6 厘米。求阴影部分的面积。 【思路导航】这道题的难点在于正方形的边长未知，这样扇形的半径也就不知道。 但我们可以看出，AC 是等腰直角三角形 ACD 的斜 边。根据等腰直角三角形的对称性可知，斜边上的 高等于斜边的一半（如图所示），我们可以求出等 腰直角三角形 ACD 的面积，进而求出正方形 ABCD 的面积，即扇形半径的平方。这样虽然半径未求出，但可以求出半径的平方，也可以 把半径的平方直接代入圆面积公式计算。 既是正方形的面积，又是半径的平方为：6×（6÷2）×2＝18（平方厘米） 阴影部分的面积为：18－18×3.14÷4＝3.87（平方厘米） 答：阴影部分的面积是 3.87 平方厘米。 练习 4： 1、如图所示，图形中正方形的面积是 50 平方厘米，分别求出每个图形中阴影部 分的面积。 2、如图所示，图形中正方形的面积是 50 平方厘米，分别求出每个图形中阴影部 分的面积。 3、如图所示，正方形中对角 线长 10 厘米，过正方形两个相对的顶点以其边长 为半径分别做弧。求图形中阴影部分的面积（试一试，你能想出几种办法）。 【答案】1.（50÷4）×3.14=39.25（cm2） 86 2.50×3.14× 4 1 =10.75（cm2） 3.10×（10÷2）×3.14× 4 1 ×2-10×（10÷2）=28.5（cm2） 【例题 5】在图的扇形中，正方形的面积是 30 平方厘米。求阴影部分的面积。 【思路导航】阴影部分的面积等于扇形的面积减去正方形的面积。可是扇形的半 径未知，又无法求出，所以我们寻求正方形的面积与扇形面积的半径之间的关系。我 们以扇形的半径为边长做一个新的正方形（如图所示），从图中可以看出，新正方形 的面积是 30×2＝60 平方厘米，即扇形半径的平方等于 60。这样虽然半径未求出，但 能求出半径的平方，再把半径的平等直接代入公式计算。 3.14×（30×2）×1/4－30＝17.1（平方厘米） 答：阴影部分的面积是 17.1 平方厘米。 练习 5： 1、如图所示，平行四边形的面积是 100 平方厘米，求阴影部分的面积。 2、如图所示，O 是小圆的圆心，CO 垂直于 AB,三角形 ABC 的面积是 45 平方厘米， 求阴影部分的面积。 3、如图所示，半圆的面积是 62.8 平方厘米，求阴影部分的面积。 【答案】1.100÷2×3.14× 4 1 -100× 4 1 =14.25（cm2） 2.45cm2 3.11.4cm2 87 第 21 周抓“不变量”解题 一、知识要点 一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些 量没有变。抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行 分析后，再转化并解答。 二、精讲精练 【例题 1】将43 61 的分子与分母同时加上某数后得7 9 ，求所加的这个数。 解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍 是 18，所以，原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母 少 18，切分子是分母的7 9 ，由此可求出新分数的分子和分母。” 分母：（61-43）÷（1－7 9 ）＝81 分子：81×7 9 ＝63 81-61＝20 或 63-43＝20 解法二：43 61 的分母比分子多 18，7 9 的分母比分子多 2，因为分数的与分母的差不变， 所以将7 9 的分子、分母同时扩大（18÷2=）9 倍。 7 9 的分子、分母应扩大：（61-43）÷（9-7）＝9（倍） 约分后所得的7 9 在约分前是：7 9 ＝7×9 9×9 ＝63 81 所加的数是 81-61＝20 答：所加的数是 20。 练习 1： 1、分数 97 181 的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是2 5 ，那么减去的 数是多少？ 2、分数 1 13 的分子、分母同加上一个数后得3 5 ，那么同加的这个数是多少？ 3、 3 19 的分子、分母加上同一个数并约分后得5 7 ，那么加上的数是多少？ 4、将58 79 这个分数的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是2 3 ，那么减 去的数是多少？ 【例题 2】将一个分数的分母减去 2 得4 5 ，如果将它的分母加上 1，则得2 3 ，求这 88 个分数。 解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减 去 2 得4 5 ”可知，分母比分子的5 4 倍还多 2。由“分母加 1 得2 3 ”可知，分母 比分子的3 2 倍少 1，从而将原题转化成一个盈亏问题。 分子：（2+1）÷（3 2 －5 4 ）=12 分母：12×3 2 -1＝17 解法二：两个新分数在未约分时，分子相同。 ①将两个分数化成分子相同的分数，且使分母相差 3。2 3 ＝4 6 ＝12 18 ，4 5 ＝12 15 ②原分数的分母是： 18-1＝17 或 15+2＝17 答：这个分数为12 17 。 练习 2： 1、将一个分数的分母加上 2 得7 9 ，分母加上 3 得3 4 。原来的分数是多少？ 2、将一个分数的分母加上 3 得3 4 ，分母加上 2 得4 5 。原来的分数是多少？ 3、将一个分数的分母加上 5 得3 7 ，分母加上 4 得4 9 。原来的分数是多少？ 4、将一个分数的分母减去 9 得5 8 ，分母减去 6 得7 4 。原来的分数是多少？ 【例题 3】在一个最简分数的分子上加一个数，这个分数就等于5 7 。如果在它的分 子上减去同一个数，这个分数就等于1 2 ，求原来的最简分数是多少。 解法一：两个新分数在未约分时，分母相同。将这两个分数化成分母相同的分数，即 5 7 =10 14 ，1 2 = 7 14 。根据题意，两个新分数分子的差应为 2 的倍数，所以分别想 10 14 和 7 14 的分子和分母再乘以 2。所以 5 7 ＝10 14 ＝20 28 ，1 2 ＝ 7 14 ＝14 28 故原来的最简分数是17 28 。 解法二：根据题意，两个新分数的和等于原分数的 2 倍。所以 （5 7 +1 2 ）÷2＝17 28 答：原来的最简分数是17 28 。 练习 3： 89 1、一个最简分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于5 8 。如果在它的分 子上减去同一个数，这个分数就等于1 2 ，求这个分数。 2、一个最简分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于6 7 。如果在它的分 子上减去同一个数，这个分数就等于1 3 ，求这个分数。 3、一个分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于7 9 。如果在它的分子上 减去同一个数，这个分数就等于3 5 ，求这个分数。 【例题 4】将一个分数的分母加 3 得7 9 ，分母加 5 得3 4 。原分数是多少？ 解法一：两个新分数在未约分时，分子相同。将两个分数化成分子相同的分数，即7 9 ＝21 27 ，3 4 ＝21 28 。根据题意，两个新分数的分母应相差 2，而现在只相差 1， 所以分别将21 27 和21 28 的分子和分母再同乘以 2。则7 9 ＝21 27 ＝42 54 ，3 4 ＝21 28 ＝ 42 56 。所以，原分数的分母是（54－3＝）51。原分数是42 51 。 解法二：因为分子没有变，所以把分子看做单位“1”。分母加 3 后是分子的9 7 ，分母 加 5 后是分子的4 3 ，因此，原分数的分子是（5－3）÷（4 3 －9 7 ）＝42。原 分数的分母是 42÷7×9-3=51，原分数是42 51 。 练习 4： 1、一个分数，将它的分母加 5 得5 6 ，加 8 得4 5 ，原来的分数是多少？（用两种方法） 2、将一个分数的分母减去 3，约分后得6 7 ；若将它的分母减去 5，则得7 8 。原来的分 数是多少？（用两种方法做） 3、把一个分数的分母减去 2，约分后等于3 4 。如果给原分数的分母加上 9，约分后等 于5 7 。求原分数。 【例题 5】有一个分数，如果分子加 1，这个分数等于1 2 ；如果分母加 1，这个分 数就等于1 3 ，这个分数是多少？ 90 根据“分子加 1，这个分数等于1 2 ”可知，分母比分子的 2 倍多 2；根据“分母加 1 这个分数就等于1 3 ”可知，分母比分子的 3 倍少 1。所以，这个分数的分子是（1+2） ÷（3-2）=3，分母是 3×2+2=8。所以，这个分数是3 8 。 练习 5： 1、一个分数，如果分子加 3，这个分数等于1 2 ，如果分母加上 1，这个分数等于 1 3 ，这个分数是多少？ 2、一个分数，如果分子加 5，这个分数等于1 2 ，如果分母减 3，这个分数等于1 3 ， 这个分数是多少？ 3、一个分数，如果分子减 1，这个分数等于1 2 ；如果分母加 11，这个分数等于1 3 ， 这个分数是多少？ 答案： 练 1 1、 41 2、17 3、 37 4、 16 练 2 1、21 25 2、12 13 3、12 23 4、20 41 练 3 1、 9 16 2、25 42 3、31 45 练 4 1、60 67 2、 84 101 3、165 222 练 5 1、 7 20 2、 7 24 3、 9 16 91 第 22 周特殊工程问题 一、知识要点 有些工程题中，工作效率、工作时间和工作总量三者之间的数量关系很不明显， 这时我们就可以考虑运用一些特殊的思路，如综合转化、整体思考等方法来解题。 二、精讲精练 【例题 1】修一条路，甲队每天修 8 小时，5 天完成；乙队每天修 10 小时，6 天完 成。两队合作，每天工作 6 小时，几天可以完成？ 把前两个条件综合为“甲队 40 小时完成”，后两个条件综合为“乙队 60 小时完 成”。则 1÷[ 1 5×8 + 1 10×6 ]÷6=4（天） 或 1÷[（ 1 5×8 + 1 10×6 ）×6]=4（天） 答：4 天可以完成。 练习 1： 1、修一条路，甲队每天修 6 小时，4 天可以完成；乙队每天修 8 小时，5 天可以 完成。现在让甲、乙两队合修，要求 2 天完成，每天应修几小时？ 2、一项工作，甲组 3 人 8 天能完成，乙组 4 人 7 天也能完成。现在由甲组 2 人 和乙组 7 人合作，多少天可以完成？ 3、货场上有一堆沙子，如果用 3 辆卡车 4 天可以完成，用 4 辆马车 5 天可以运 完，用 20 辆小板车 6 天可以运完。现在用 2 辆卡车、3 辆马车和 7 辆小板车共同运两 天后，全改用小板车运，必须在两天内运完。问：后两天需要多少辆小板车？ 【例题 2】有两个同样的仓库 A 和 B，搬运一个仓库里的货物，甲需要 10 小时， 乙需要 12 小时，丙需要 15 小时。甲和丙在 A 仓库，乙在 B 仓库，同时开始搬运。中 途丙转向帮助乙搬运。最后，两个仓库同时搬完，丙帮助甲、乙各多少时间？ 设搬运一个仓库的货物的工作量为“1”。总整体上看，相当于三人共同完成工作量“2” ①三人同时搬运了 2÷（ 1 10 + 1 12 + 1 15 ）=8（小时） 92 ②丙帮甲搬了 （1- 1 10 ×8）÷ 1 15 =3（小时） ③丙帮乙搬了 8-3=5（小时） 答：丙帮甲搬了 3 小时，帮乙搬了 5 小时。 练习 2： 1、师、徒两人加工相同数量的零件，师傅每小时加工自己任务的 1 10 ，徒弟每小 时加工自己任务的 1 15 。师、徒同时开始加工。师傅完成任务后立即帮助徒弟加工，直 至完成任务，师傅帮徒弟加工了几小时？ 2、有两个同样的仓库 A 和 B，搬运一个仓库里的货物，甲需要 18 小时，乙需要 12 小时，丙需要 9 小时。甲、乙在 A 仓库，丙在 B 仓库，同时开始搬运。中途甲又转 向帮助丙搬运。最后，两个仓库同时搬完。甲帮助乙、丙各多少小时？ 3、甲、乙两人同时加工一批零件，完成任务时，甲做了全部零件的5 8 ，乙每小 时加工 12 个零件，甲单独加工这批零件要 12 小时，这批零件有多少个？ 【例题 3】一件工作，甲独做要 20 天完成，乙独做要 12 天完成。这件工作先由甲 做了若干天，然后由乙继续做完，从开始到完工共用了 14 天。这件工作由甲先做了 几天？ 解法一：根据两人做的工作量的和等于单位“1”列方程解答，很容易理解。 解：设甲做了 x 天，则乙做了（14-x）天。 1 20 x+ 1 12 ×（14-x）=1 X=5 解法二：假设这 14 天都由乙来做，那么完成的工作量就是 1 12 ×14，比总工作量多了 1 12 ×14-1=1 6 ，乙每天的能够做量比甲每天的工作两哦了 1 12 - 1 20 = 1 30 ，因此甲做 了1 6 ÷ 1 30 =5（天） 练习 3： 1、一项工程，甲独做 12 天完成，乙独做 4 天完成。若甲先做若干天后，由乙接 93 着做余下的工程，直至完成全部任务，这样前后共用了 6 天，甲先做了几天？ 2、一项工程，甲队单独做需 30 天完成，乙队单独做需 40 天完成。甲队单独做 若干天后，由乙队接着做，共用 35 天完成了任务。甲、乙两队各做了多少天？ 3、一项工程，甲独做要 50 天，乙独做要 75 天，现在由甲、乙合作，中间乙休 息几天，这样共用 40 天完成。求乙休息的天数。 【例题 4】甲、乙两人合作加工一批零件，8 天可以完成。中途甲因事停工 3 天， 因此，两人共用了 10 天才完成。如果由甲单独加工这批零件，需要多少天才能完成？ 解法一：先求出乙的工作效率，再求出甲的工作效率。最后求出甲单独做需要的天数。 ①甲、乙同时做的工作量为1 8 ×（10-3）＝7 8 ②乙单独做的工作量为 1－7 8 ＝1 8 ③乙的工作效率为1 8 ÷3= 1 24 ④甲的工作效率为1 8 － 1 24 ＝ 1 12 ⑤甲单独做需要的天数为 1÷ 1 12 ＝12（天） 解法二：从题中得知，由于甲停工 3 天，致使甲、乙两人多做了（10-8=）2 天。由此 可知，甲 3 天的工作量相当于这批零件的 2÷8=1/4 3÷[（10-8）÷8]=12（天）或 3×[8÷（10-8）]=12（天） 答：甲单独做需要 12 天完成。 练习 4： 1、甲、乙两人合作某项工程需要 12 天。在合作中，甲因输请假 5 天，因此共用 15 天才完工。如果全部工程由甲单独去干，需要多少天才能完成？ 2、一段布，可以做 30 件上衣，也可做 48 条裤子。如果先做 20 件上衣后，还可 以做多少条裤子？ 3、一项工程，甲、乙合作 6 小时可以完成，同时开工，中途甲通工了 2.5 小时， 因此，经过 7.5 小时才完工。如果这项工程由甲单独做需要多少小时？ 94 4、一项工程，甲先单独做 2 天，然后与乙合作 7 天，这样才完成全工程的一半， 已知甲、乙工作效率的比是 3：2，如果这件工作由乙单独做，需要多少天才能完成？ 【例题 5】放满一个水池的水，如果同时开放①②③号阀门，15 小时放满；如果 同时开放①③⑤号阀门，12 小时可以放满；如果同时开放②④⑤号阀门，8 小时可以 放满。问：同时开放这五个阀门几小时可以放满这个水池？ 从整体入手，比较条件中各个阀门出现的次数可知，①③号阀门各出现 3 次，② ④⑤号阀门各出现 2 次。如果 1 15 + 1 10 + 1 12 +1 8 再加一个1 8 ，则是五个阀门各放 3 小时的 总水量。 1÷[（ 1 15 + 1 10 + 1 12 +1 8 +1 8 ）÷3]=1÷[1 2 ÷3]=6（小时） 练习 5： 1、完成一件工作，甲、乙合作需 15 小时，乙、丙两人合作需 12 小时，甲、丙 合作需 10 小时。甲、乙丙三人合作需几小时才能完成？ 2、一项工程，甲干 3 天，乙干 5 天可以完成1 2 ，甲干 5 天、乙干 3 天可完成1 3 。 甲、乙合干需几天完成？ 3、完成一件工作，甲、乙两人合作需 20 小时，乙、丙两人合作需 28 小时，丙、 丁两人合作需 30 小时。甲、丁两人合作需几小时？ 4、一项工程，由一、二、三小队合干需 18 天完成，由二、三、四小队合干需 15 天完成，由一、二、四小队合干需 12 天完成，由一、三、四小队合干需 20 天完成。 由第一小队单独干需要多少天？ 答案： 练 1 1、1÷（ 1 4×6 + 1 8×5 ）÷2＝7.5 小时 2、1÷（ 1 3×8 ×2+ 1 4×7 ×7）＝3 天 3、（1）共同运两天后，还剩这堆黄沙的 1－（ 1 3×4 ×2+ 1 4×5 ×5+ 1 20×6 ×7）×2＝1 4 95 （2）后两天需要小板车：1 4 ÷（ 1 20×6 ×2）＝15 辆 练 2 1、2÷（ 1 10 + 1 15 ）－10＝2 小时 2、2÷（ 1 18 + 1 12 +1 9 ）＝8 小时 甲帮乙：（1－ 1 12 ×8）÷ 1 18 ＝6 小时 甲帮丙：（1－1 9 ×8）÷ 1 18 ＝2 小时 3、解法一：12×（5 8 ÷ 1 12 ）÷（1－5 8 ）＝240 个 解法二：12÷（8－5）×5×12＝240 个 练 3 1、（1 4 ×6－1）÷（1 4 － 1 12 ）＝3 天 2、甲：（1－ 1 40 ×35）÷（ 1 30 － 1 40 ）＝15 天 乙：35－15＝20 天 3、40－（1－ 1 50 ×40）÷ 1 75 ＝25 天 练 4 1、5×【12÷（15－12）】＝20 天 2、48－48÷30×20＝16 条 3、2.5×【6÷（7.5－6）】＝10 小时 练 5 1、1÷【（ 1 15 + 1 12 + 1 10 ）÷2】＝8 小时 96 2、1÷【（1 2 +1 3 ）÷（3+5）】＝9.6 天 3、1÷（ 1 20 + 1 30 － 1 28 ）＝21 小时 4、1÷【（ 1 18 + 1 15 + 1 12 + 1 20 ）÷3－ 1 15 】＝54 天 97 第 23 周周期工程问题 一、知识要点 周期工程问题中，工作时工作人员（或物体）是按一定顺序轮流交替工作的。解 答时，首先要弄清一个循环周期的工作量，利用周期性规律，使貌似复杂的问题迅速 地化难为易。其次要注意最后不满一个周期的部分所需的工作时间，这样才能正确解 答。 二、精讲精练 【例题 1】一项工程，甲单独做需要 12 小时，乙单独做需要 18 小时。若甲做 1 小时后乙接替甲做 1 小时，再由甲接替乙做 1 小时……两人如此交替工作，问完成任 务时需共用多少小时？ 把 2 小时的工作量看做一个循环，先求出循环的次数。 ①需循环的次数为：1÷（ 1 12 + 1 18 ）=36 5 ＞7（次） ②7 个循环后剩下的工作量是：1-（ 1 12 + 1 18 ）×7= 1 36 ③余下的工作两还需甲做的时间为： 1 36 ÷ 1 12 =1 3 （小时） ④完成任务共用的时间为：2×7+1 3 =141 3 （小时） 答：完成任务时需共用 14 1 3 小时。 练习 1： 1、一项工程，甲单独做要 6 小时完成，乙单独做要 10 小时完成。如果按甲、 乙；甲、乙……的顺序交替工作，每次 1 小时，需要多少小时才能完成？ 2、一部书稿，甲单独打字要 14 小时，乙单独打字要 20 小时。如果先由甲打 1 小时，然后由乙接替甲打 1 小时；再由甲接替乙打 1 小时……两人如此交替工作， 打完这部书稿共需用多少小时？ 3、一项工作，甲单独完成要 9 小时，乙单独完成要 12 小时。如果按照甲、乙； 甲、乙……的顺序轮流工作，每人每次工作 1 小时，完成这项工程的 2/3 共要多少 98 时间？ 【例题 2】一项工程，甲、乙合作 26 2 3 天完成。如果第一天甲做，第二天乙做， 这样交替轮流做，恰好用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流 做，比上次轮流做要多半天才能完成。这项工程由甲单独做要多少天才能完成？ 由题意可以推出“甲先”的轮流方式，完成时所用的天数为奇数，否则不论“甲 先”还是“乙先”，两种轮流方式完成的天数必定相同。根据“甲先”的轮流方式为 奇数，两种轮流方式的情况可表示如下： 甲乙甲乙……甲乙甲 乙甲乙甲……乙甲乙1 2 甲 竖线左边做的天数为偶数，谁先做没关系。竖线右边可以看出，乙做一天等于甲 做半天，即甲的工作效率是乙的 2 倍。 ①甲每天能做这项工程的 1÷262 3 × 2 1+2 = 1 40 ②甲单独做完成的时间 1÷ 1 40 =40（天） 答：这项工程由甲单独做需要 40 天才能完成。 练习 2： 1、一项工程，乙单独做 20 天可以完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样 轮流交替做，也恰好用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样轮流交替 做，比上次轮流做要多半天才能完成。这项工程由甲独做几天可以完成？ 2、一项工程，甲单独做 6 天可以完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样轮 流交替做，恰好也用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样轮流交替做， 比上次轮流做要多1 3 天才能完成。这项工程由甲、乙合作合作几天可以完成？ 3、一项工程，甲、乙合作 12 3 5 小时可以完成。如果第一小时甲做，第二小时 乙做，这样轮流交替做，也恰好用整数小时完成。如果第一小时乙做，第二小时甲 做，这样轮流交替做，比上次轮流做要多1 3 小时才能完成。这项工程由甲独做几小 时可以完成？ 4、蓄水池有一跟进水管和一跟排水管。单开进水管 5 小时灌满一池水，单开排 99 水管 3 小时排完一池水。现在池内有半池水，如果按进水、排水；进水、排水…… 的顺序轮流依次各开 1 小时，多少小时后水池的水刚好排完？ 【例题 3】一批零件，如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，恰好用 整数天数完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，做到上次轮流完成 时所用的天数后，还剩 60 个不能完成。已知甲、乙工作效率的比是 5：3。甲、乙每 天各做多少个？ 由题意可以推出“甲先”的轮流方式，完成时所用的天数为奇数，否则不论“甲 先”还是“乙先”，两种轮流方式完成的天数必定相同。根据“甲先”的轮流方式为 奇数，两种轮流方式的情况可表示如下： 甲乙甲乙……甲乙甲 乙甲乙甲……乙甲乙剩 60 个 竖线左边做的天数为偶数，谁先做没关系。竖线右边可以看出，剩下的 60 个零 件就是甲、乙工作效率的差。 甲每天做的个数为：60÷（5-3）×5=150（个） 乙每天做的个数为：60÷（5-3）×3=90（个） 答：甲每天做 150 个，乙每天做 90 个。 练习 3： 1、一批零件如果第一天师傅做，第二天徒弟做，这样交替轮流做，恰好用整数 天完成。如果第一天徒弟做，第二天师傅做，这样交替轮流做，做到上次轮流完成 时所用的天数后，还剩 84 个不能完成。已知师、徒工作效率的比是 7：4。师、徒 二人每天各做多少个？ 2、一项工程，如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流恰好用整数天完成。 如果死一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做要多2 5 天才能完成。如果让甲、乙 二人合作，只需 2 5 8 天就可以完成。现在，由乙独做需要几天才能完成？ 3、红星机械厂有 1080 个零件需要加工。如果第一小时让师傅做，第二小时让 徒弟做，这样交替轮流，恰好整数小时可以完成。如果第一小时让徒弟做，第二小 时让师傅做，这样交替轮流，做到上次轮流完成时所用的天数后，还剩 60 个不能完 成。如果让师、徒二人合作，只需 3 小时 36 分就能完成。师、徒每小时各能完成多 少个？ 100 【例题 4】打印一部稿件，甲单独打要 12 小时完成，乙单独打要 15 小时完成。 现在，甲、乙两人轮流工作。甲工作 1 小时，乙工作 2 小时；甲工作 2 小时，乙工作 1 小时；甲工作 1 小时，乙工作 2 小时……如此这样交替下去，打印这部书稿共要多 少小时？ 根据已知条件，我们可以把 6 小时的工作时间看做一个循环。在每一个循环中， 甲、乙都工作了 3 小时。 ①每循环一次，他们共完成全部工程的（ 1 12 + 1 15 ）×3＝ 9 20 ②总工作量里包含几个 9/20：1÷ 9 20 =22 9 ③甲、乙工作两个循环后，剩下全工程的 1- 9 20 ×2＝ 1 10 ④由于 1 10 ＞ 1 12 ，所以，求甲工作 1 小时后剩下的工作由乙完成还需的时间为 （ 1 10 - 1 12 ）÷ 1 15 ＝1 4 ⑤打印这部稿件共需的时间为：6×2+1+1 4 =131 4 （小时） 答：打印这部稿件共需 13 1 4 小时。 练习 4： 1、一个水池安装了甲、乙两根进水管。单开甲管，24 分钟能包空池灌满；单 开乙管，18 分钟能把空池灌满。现在，甲、乙两管轮流开放，按照甲 1 分钟，乙 2 分钟，甲 2 分钟，乙 1 分钟，甲 1 分钟，乙 2 分钟……如此交替下去，灌满一池水 共需几分钟？ 2、一件工作，甲单独做，需 12 小时完成；乙单独做需 15 小时完成。现在，甲、 乙两人轮流工作，甲工作 2 小时，乙工作 1 小时；甲工作 1 小时，乙工作 2 小时； 甲工作 2 小时，乙工作 1 小时……如此交替下去，完成这件工作共需多少小时？ 3、一项工程，甲单独做要 50 天完工，乙单独做需 60 天完工。现在，自某年的 3 月 2 日两人一起开工，甲每工作 3 天则休息 1 天，乙每工作 5 天则休息一天，完 101 成全部工程的52 75 为几月几日？ 4、一项工程，甲工程队单独做完要 150 天，乙工程队单独做完需 180 天。两队 合作时，甲队做 5 天，休息 2 天，乙队做 6 天，休息 1 天。完成这项工程要多少天？ 【例题 5】有一项工程，由甲、乙、丙三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、 丙次序轮做，恰好整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用 0.5 天；如果按丙、甲、乙次序做，比原计划多用1 3 天。已知甲单独做 13 天完成。且 3 个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？ 由题意可以推出：按甲、乙、丙次序轮做，能够的天数必定是 3 的倍数余 1 或余 2。如果是 3 的倍数，三种轮流方式完工的天数，必定相同。如果按甲、乙、丙的次 序轮流做，用的天数是 3 的倍数余 1。三种轮流方式做的情况可表示如下： 甲乙丙，甲乙丙，……甲乙丙，甲 乙丙甲，乙丙甲，……乙丙甲，乙1 2 丙 丙甲乙，丙甲乙，……丙甲乙，丙1 3 甲 从中可以退出：丙=2 3 甲；由于乙=甲－1 2 丙=甲－2 3 甲×1 2 ，又推出乙=2 3 甲；与 题中“三个工程队的工效各不相同”矛盾。所以，按甲、乙、丙的次序轮做，用的天 数必定是 3 的倍数余 2。三种轮流方式用的天数必定如下所示： 甲乙丙，甲乙丙，……甲乙丙，甲乙 乙丙甲，乙丙甲，……乙丙甲，乙丙1 2 甲 丙甲乙，丙甲乙，……丙甲乙，丙甲1 3 乙 由此推出：丙=1 2 甲，丙=2 3 乙 ①丙队每天做这项工程的 1 13 ×1 2 = 1 26 ②乙队每天做这项工程的 1 26 ÷2 3 = 3 52 102 ③甲、乙、丙合作完工需要的时间为 1÷（ 1 13 + 1 26 + 3 52 ）=57 9 （天） 答：甲、乙、丙合作要 5 7 9 天完工。 练习 5： 1、有一项工程，由三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好 用整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用1 3 天；如果按丙、甲、 乙次序做，比原计划多用1 4 天。已知甲单独做 7 天完成。且 3 个工程队的工效各不相 同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？ 2、有一项工程，由三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好 整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用1 2 天；如果按丙、甲、 乙次序做，比原计划多用1 2 天。已知甲单独做 10 天完成。且 3 个工程队的工效各不 相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？ 3、有一项工程，由甲、乙、丙三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序 轮做，恰好整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用1 2 天；如果 按丙、甲、乙次序做，比原计划多用1 3 天。已知这项工程由甲、乙、丙三个工程队同 时合作，需 13 7 9 天可以完成，且 3 个工程队的工效各不相同。这项工程由甲独做需 要多少天才能完成？ 4、蓄水池装有甲、丙两根进水管和乙、丁两根排水管。要注满一池水，单开甲 管需要 3 小时，单开丙管需要 5 小时。要排光一池水，单开乙管要 4 小时，单开丁管 要 6 小时。现知池内有1 6 池水，如果按甲、乙、丙、丁，甲、乙、丙、丁……的顺序 轮流各开 1 小时，多长时间后水开始溢出水池？ 答案： 练 1 1、（1）需循环的次数 1÷（1 6 + 1 10 ）＝15 4 ＞3 （2）3 个循环后剩下的工作量 103 1－（1 6 + 1 10 ）×3＝1 5 （3）最后由乙做的时间 （1 5 －1 6 ）÷ 1 10 ＝1 3 小时 （4）需要的总时间 2×3+1+1 3 ＝7 1 3 小时 2、（1）需循环的次数 1÷（ 1 14 + 1 20 ）＝140 17 ＞8 （2）3 个循环后剩下的工作量 1－（ 1 14 + 1 20 ）×8＝ 4 140 （3）最后由乙做的时间 4 140 ÷ 1 14 ＝2 5 小时 （4）需要的总时间 2×8+2 5 ＝16 2 5 小时 3、（1）需循环的次数 2 3 ÷（1 9 + 1 12 ）＝24 7 ＞3 （2）3 个循环后剩下的工作量 2 3 －（1 9 + 1 12 ）×3＝ 1 12 （3）最后由乙做的时间 1 12 ÷1 9 ＝3 4 小时 （4）需要的总时间 2×3+3 4 ＝6 3 4 小时 练 2 1、提示：甲的效率是乙的 2 倍 104 20÷2＝10 天 2、提示：乙的效率是甲的2 3 1÷【1 6 ×（1－1 3 ）+1 6 】＝3 3 5 天 3、提示：乙的效率是甲的2 3 1÷（1÷123 5 × 3 3－1+3 ）＝21 小时 4、（1）需几个周期 1 2 ÷（1 3 －1 5 ）×3＝15 4 ＞3 （2）3 个周期后剩下的水 1 2 －（1 3 －1 5 ）×3＝ 1 10 （3）需要的时间 2×3+1+（ 1 10 +1 5 ）÷1 3 ＝7 9 10 小时 练 3 1、师傅：84÷（7－4）×7＝196 个 徒弟：84÷（7－4）×4＝112 个 2、提示：乙的效率是甲的（1－2 5 ）＝3 5 1÷（1÷25 8 × 3 5－2+5 ）＝7 天 3、 3 小时 36 分＝3 3 5 小时 师、徒效率和：1080÷33 5 ＝300 个 师傅每小时的个数：（300+60）÷2＝180 个 徒弟每小时的个数：（300－60）÷2＝120 个 练 4 105 1、提示：把 6 分钟看作一个循环 （1）每循环一次的工作量 （ 1 24 + 1 18 ）×（1+2）＝ 7 24 （2）总工作量里面有几个 7 24 1÷ 7 24 ＝33 7 （3）3 个循环后剩下的工作量 1－ 7 24 ×3＝1 8 （4）一共需要的时间 6×3+1+（1 8 － 1 24 ）÷ 1 18 ＝20 1 2 分钟 2、提示：把 6 分钟看作一个循环 （1）1 个循环的工作量 （ 1 12 + 1 15 ）×（1+2）＝ 9 20 （2）总工作量里面有几个 9 20 1÷ 9 20 ＝22 9 （3）3 个循环后剩下的工作量 1－ 9 20 ×2＝ 1 10 （4）一共需要的时间 6×2+ 1 10 ÷ 1 12 ＝13 1 5 小时 说明：2 个循环后，是由甲接着干 2 小时，所以直接用 1 10 ÷ 1 12 3、提示：把 12 天看作一个循环 12 天中甲的工作量 106 1 50 ×（3+3+3）＝ 9 50 12 天中乙的工作量 1 60 ×（5+5）＝1 6 总共需要的天数 52 75 ÷（ 9 50 +1 6 ）＝2 （12 天减去最后休息的 1 天） 12×2－1＝23 天 完成全部任务的52 75 为 3 月 24 日。 4、提示：把 7 天看作一个周期 1÷（2 3 ×5+2 3 ×6）＝15 7×15－1＝104 天 练 5 1、提示：按甲、乙、丙的顺序轮流做，所用的整数天数为 3 的倍数余 2， 否则与题意不符。由此推出丙的效率是甲的2 3 ，丙的效率也是乙的3 4 。 （1）丙的工作效率1 7 ×2 3 ＝ 2 21 （2）乙的工作效率 2 21 ÷3 4 ＝ 8 63 （3）甲、乙、丙三队合做的天数 1÷（1 7 + 2 21 + 8 63 ）＝2 17 23 天 2、提示：按甲、乙、丙的顺序轮流做，所用的整数天数为 3 的倍数余 1，否则与 题意矛盾。由此可以推出丙的效率是甲的1 2 ，乙的效率是甲的3 4 。 （1）丙的效率 1 10 ×1 2 ＝ 1 20 （2）乙的效率 1 10 ×（1－1 2 ×1 2 ）＝ 3 40 （3）甲、乙、丙三队合做的天数 1÷（ 1 10 + 1 20 + 3 40 ）＝4 4 9 天 3、由题意可以推出，丙的效率是甲的1 2 ＝2 4 ，丙的效率是乙的2 3 ，进而推出甲、 乙、丙工作效率的比是 4：3：2。 107 1÷（1÷137 9 × 4 4+3+2 ）＝31 天 4、提示：每四个水管轮流打开后，水池中的水不能超过2 3 ，否则开甲管的过程 中水池里的水就会溢出。 （1）水池里的水超过2 3 时需要几个循环 （2 3 －1 6 ）÷（1 3 －1 4 +1 5 －1 6 ）＝30 7 ＞4 （2）循环 5 次以后，池中水占 1 6 +（1 3 －1 4 +1 5 －1 6 ）×5＝3 4 （3）总共需要的时间 4×5+（1－3 4 ）÷1 3 ＝20 3 4 小时 108 第 24 周 比较大小 一、知识要点 我们已经掌握了基本的比较整数、小数、分数大小的方法。本周将进一步研究如 何比较一些较复杂的数或式子的值的大小。 解答这种类型的题目，需要将原题进行各种形式的转化，再利用一些不等式的性 质进行推理判断。如：a＞b＞0，那么 a 的平方＞b 的平方；如果 a＞b＞0，那么1 a ＜ 1 b ；如果a b ＞1，b＞0，那么 a＞b 等等。 比较大小时，如果要比较的分数都接近 1 时，可先用 1 减去原分数，再根据被减 数相等（都是 1），减数越小，差越大的道理判断原分数的大小。 如果两个数的倒数接近，可以先用 1 分别除以这两个数。再根据被除数相等，商 越小，除数越大的道理判断原数的大小。 除了将比较大小转化为比差、比商等形式外，还常常要根据算式的特点将它作适 当的变形后再进行判断。 二、精讲精练 【例题 1】比较777773 777778 和888884 888889 的大小。 这两个分数的分子与分母各不相同，不能直接比较大小，使用通分的方法又太麻 烦。由于这里的两个分数都接近 1，所以我们可先用 1 分别减去以上分数，再比较所 得差的大小，然后再判断原来分数的大小。 因为 1－777773 777778 = 5 777778 ，1－888884 888889 = 5 888889 5 777778 ＞ 5 888889 所以777773 777778 ＜888884 888889 。 练习 1： 1、比较7777775 7777777 和6666661 6666663 的大小。 2、将98765 98766 ，9876 9877 ，987 988 ，98 99 按从小到大的顺序排列出来。 3、比较235861 235862 和652971 652974 的大小。 【例题 2】比较 111 1111 和 1111 11111 哪个分数大？ 可以先用 1 分别除以这两个分数，再比较所得商的大小，最后判断原分数的大小。 109 因为 1÷ 111 1111 ＝1111 111 ＝10 1 111 1÷ 1111 11111 ＝11111 1111 ＝10 1 1111 10 1 111 ＞10 1 1111 所以 111 1111 ＜ 1111 11111 练习 2： 1、比较 A＝ 333 1666 和 B＝ 33 166 的大小 2、比较111111110 222222221 和444444443 888888887 的大小 3、比较8888887 8888889 和9999991 9999994 的大小。 【例题 3】比较12345 98761 和12346 98765 的大小。 两个分数中的分子与分子、分母与分母都较为接近，可以根据通分的原理，用交 叉相乘法比较分数的大小。 因为 12345×98765 ＝12345×98761+12345×4 ＝12345×98761+49380 12346×98761 ＝12345×98761+98760 而 98761＞49380 所以 12346×98761＞12345×98765 则12345 98761 ＜12346 98765 练习 3 1、比较176 257 和177 259 的大小。 2、如果 A＝22221 33332 ，B＝44443 66665 ，那么 A 与 B 中较大的数是_______. 3、试比较1234567 9876543 与12345671 98765431 的大小。 【例题 4】已知 A×15×1 1 99 ＝B×2 3 ÷3 4 ×15＝C×15.2÷4 5 ＝D×14.8×73 74 。A、 B、C、D 四个数中最大的是. 求 A、B、C、D 四个数中最大的数，就要找 15×1 1 99 ，2 3 ÷3 4 ×15，15.2÷4 5 ，14.8 110 ×73 74 中最小的。 15×1 1 99 ＞15 15.2÷4 5 ＞15 2 3 ÷3 4 ×15＝131 3 14.8×73 74 ＝14.6 答：因为2 3 ÷3 4 ×15 的积最小，所以 B 最大。 练习 4 1、已知 A×12 3 ＝B×90％＝C÷75％＝D×4 5 ＝E÷11 5 。把 A、B、C、D、E 这 5 个 数从小到大排列，第二个数是______. 2、有八个数，0.● 5● 1，2 3 ，5 9 ，0.5● 1，24 47 ，13 25 是其中的六个数，如果从小到大排列时， 第四个数是 0.5111…，那么从大到小排列时，第四个数是哪个？ 3、在下面四个算式中，最大的得数是几？ （1）（ 1 17 + 1 19 ）×20 （2）（ 1 24 + 1 29 ）×30 （3）（ 1 31 + 1 37 ）×40 （4）（ 1 41 + 1 47 ）×50 【例题 5】图 24－1 中有两个红色的正方形，两个蓝色的正方形，它们的面积已 在图中标出（单位：平方厘米）。问：红色的两个正方形面积大还是蓝色的两个正方 形面积大？ 红蓝 红蓝 通过计算结果再比较大小自然是可以，但比较麻烦。我们可以采取间接比较的方 法。 19972－19972 ＝（1997+1966）×（1997－1996） ＝3993 19962 19922 19932 19972 111 19932－19922 ＝（1993+1992）×（1993－1992） ＝3985 因为 19972－19972 ＞19932－19922 所以 19972+19972 ＞19932+19922 练习 5 1、如图 24－2 所示，有两个红色的圆和两个蓝色的圆。红色的两圆的直径分别 是 1992 厘米和 1949 厘米，蓝色的两圆的直径分别是 1990 厘米和 1951 厘米。问：红 色的两圆面积之和大，还是蓝色的两圆面积之和大？ 2、如图 24－3 所示，正方形被一条曲线分成了 A、B 两部分，如果 x＞y，是比较 A、B 两部分周长的大小。 3、问1 2 ×3 4 ×5 6 ×7 8 ×…× 99 100 与 1 10 相比，哪个更大？为什么？ x Y 图 24－2 图 24－3 答案： 练 1 1、7777775 7777777 ＞6666661 6666663 2、98 99 ＜987 988 ＜9876 9877 ＜98765 98766 3、235861 235862 ＞652971 652974 练 2 1、 333 1666 ＞ 33 166 红 红 蓝 蓝 A B 112 2、111111110 222222221 ＜444444443 888888887 3、8888887 8888889 ＞9999991 9999994 练 3 1、176 257 ＞177 259 2、22221 33332 ＜44443 66665 3、1234567 9876543 ＜12345671 98765431 练 4 1、六个已知的数的大到小排列是2 3 ＞5 9 ＞13 25 ＞0.● 5● 1＞0.5● 1＞24 47 ，因为 0.5 ● 1是 八个数从小到大排列的第四个，说明另外两个数一定比 0.5 ● 1小，所以这八个数 中第四个大的数是 0.● 5● 1。 2、（3）的积最大 练 5 1、红色两圆的面积大 2、B 的周长大。 3、1 2 ×3 4 ×5 6 ×7 8 ×…× 99 100 ＜ 1 10 。 113 第 25 周最大最小问题 一、知识要点 人们碰到的各种优化问题、高效低耗问题，最终都表现为数学上的极值问题，即 小学阶段的最大最小问题。最大最小问题设计到的知识多，灵活性强，解题时要善于 综合运用所学的各种知识。 二、精讲精练 【例题 1】a 和 b 是小于 100 的两个不同的自然数，求a－b a+b 的最大值。 根据题意，应使分子尽可能大，使分母尽可能小。所以 b=1；由 b=1 可知，分母 比分子大 2，也就是说，所有的分数再添两个分数单位就等于 1，可见应使所求分数 的分数单位尽可能小，因此 a=99 a－b a+b 的最大值是99－1 99+1 =49 50 答：a－b a+b 的最大值是49 50 。 练习 1： 1、设 x 和 y 是选自前 100 个自然数的两个不同的数，求x－y x+y 的最大值。 2、a 和 b 是小于 50 的两个不同的自然数，且 a＞b，求a－b a+b 的最小值。 3、设 x 和 y 是选自前 200 个自然数的两个不同的数，且 x＞y，①求 x+y x－y 的 最大值；②求 x+y x－y 的最小值。 【例题 2】有甲、乙两个两位数，甲数2 7 等于乙数的2 3 。这两个两位数的差最多 是多少？ 甲数：乙数=2 3 ：2 7 =7：3，甲数的 7 份，乙数的 3 份。由甲是两位数可知，每份 的数量最大是 14，甲数与乙数相差 4 份，所以，甲、乙两数的差是 14×（7-3）=56 答：这两个两位数的差最多是 56。 练习 2： 1、有甲、乙两个两位数，甲数的 3 10 等于乙数的4 5 。这两个两位数的差最多 是多少？ 114 2、甲、乙两数都是三位数，如果甲数的5 6 恰好等于乙数的1 4 。这两个两位数 的和最小是多少？ 3、加工某种机器零件要三道工序，专做第一、二、三道工序的工人每小时分 别能做 48 个、32 个、28 个，要使每天三道工序完成的个数相同，至少要安排多 少工人？ 【例题 3】如果两个四位数的差等于 8921，就是说这两个四位数组成一个数对。 问：这样的数对共有多少个？ 在这些数对中，被减数最大是 9999，此时减数是 9999－8921＝1078，被减数和 剑术同时减去 1 后，又得到一个满足题意条件的四位数对。为了保证减数是四位数， 最多可以减去 78，因此，这样的数对共有 78+1＝79 个。 答：这样的数对共有 79 个。 练习 3 1、两个四位数的差是 8921。这两个四位数的和的最大值是多少？ 2、如果两个三位数的和是 525，就说这两个三位数组成一个数对。那么这样的数 对共有多少个？组成这样的数对的两个数的差最小是多少？最大是多少？ 3、如果两个四位数的差是 3456，就说这两个数组成一个数对。那么，这样的数 对共有多少个？组成这样的数对的两个数的和最大是多少？最小是多少？ 【例题 4】三个连续自然数，后面两个数的积与前面两个数的积之差是 114。这 三个数中最小的是多少？ 因为：最大数×中间数－最小数×中间数＝114，即：（最大数－最小数）×中间 数＝114 而三个连续自然数中，最大数－最小数＝2，因此，中间数是 114÷2＝57，最小 数是 57－1＝56 答：最小数是 56。 练习 4 1、桑连续的奇数，后两个数的积与前两个数的积之差是 252。三个数中最小的数 是______. 2、a、b、c 是从小到大排列的三个数，且 a－b＝b－c，前两个数的积与后两个 数的积之差是 280。如果 b＝35，那么 c 是_____。 115 3、被分数6 7 ，5 14 ，10 21 除得的结果都是整数的最小分数是______。 【例题 5】三个数字能组成 6 个不同的三位数。这 6 个三位数的和是 2886。求所 有这样的 6 个三位数中的最小的三位数。 因为三个数字分别在百位、十位、个位各出现了 2 次。所以，2886÷222 能得到 三个数字的和。 设三个数字为 a、b、c，那么 6 个不同的三位数的和为 abc+acb+bac+bca+cab+cba ＝（a+b+c）×100×2+（a+b+c）×100×2+（a+b+c）×100×2 ＝（a+b+c）×222 ＝2886 即 a+b+c＝2886÷222＝13 答：所有这样的 6 个三位数中，最小的三位数是 139。 练习 5 1、有三个数字能组成 6 个不同的三位数。这 6 个不同的三位数的和是 3108。所 有这样的 6 个三位数中最大的一个是多少？ 2、有三个数字能组成 6 个不同的三位数。这 6 个不同的三位数的和是 2220。所 有这样的 6 个三位数中最小的一个是多少？ 3、用 a、b、c 能组成 6 个不同的三位数。这 6 个三位数相加的和是 2886。已知 a、b、c 三个数字中，最大的数字是最小数字的 2 倍，这 6 个三位数中最小的数是多 少？ 答案： 练 1 1、 99 101 2、 1 97 3、（1）399 （2）201 199 练 2 1、甲、乙两数的比是 8：3，甲数最大是 96 ，差最大是 60。 2、甲、乙两数的比是 3：10，甲数最小是 102，和最小是 442。 3、一、二、三道工序所需的工人数的比是 1 48 ：1 32 ： 1 28 ＝14：21：24，所以至少 安排 14+21+24＝59 个工人。 116 练 3 1、9999+（9999－8921）＝11077 2、较小的数最大是（521－1）÷2＝262，100～262 共有 163 个自然数,所以共有 163 对,两个数的差最大是 525－100－100＝325 3、数对共有 9999－3456－1000+1＝5544 个，两个数的和最大是 9999－3456+9999 ＝16542，两个数的和最小是 1000+3456+1000＝5456 练 4 1、最大数－最小数＝4 中间数＝252÷4＝63 最小数＝63－2＝61 2、根据题意可得（a－c）×b＝280，进而可以推出 a－c＝280÷b＝280÷35＝8， 所以，c＝35－8÷2＝31 3、所求的分数，它的分子是 6，5，10 的最小公倍数，分母是 7，14，21 的最大 公约数，所以答案是30 7 。 练 5 1、符合题意的三个数字之和是 3108÷222＝14，因此，所有这样的 6 个三位数中 最大的一个是 941（三个数字不能有 0，否则就不能排出 6 个不同的三位数）。 2、三个数字的和是 2220÷222＝10，最小的一个是 127。 3、最小的数是 346。 117 第 26 周乘法和加法原理 一、知识要点 在做一件事情时，要分几步完成，而在完成每一步时又有几种不同的方法，要知 道完成这件事一共有多少种方法，就用乘法原理来解决。做一件事时有几类不同的方 法，而每一类方法中又有几种可能的做法就用加法原理来解决。 二、精讲精练 【例题 1】由数字 0，1，2，3 组成三位数，问： ①可组成多少个不相等的三位数？ ②可组成多少个没有重复数字的三位数？ 在确定组成三位数的过程中，应该一位一位地去确定，所以每个问题都可以分三 个步骤来完成。 ①要求组成不相等的三位数，所以数字可以重复使用。百位上不能取 0，故有 3 种不同的取法：十位上有 4 种取法，个位上也有 4 种取法，由乘法原理共可组成 3×4 ×4=48 个不相等的三位数。 ②要求组成的三位数没有重复数字，百位上不能取 0，有三种不同的取法，十位 上有三种不同的取法，个位上有两种不同的取法，由乘法原理共可组成 3×3×2=18 个没有重复数字的三位数。 练习 1： 1、有数字 1，2，3，4，5，6 共可组成多少个没有重复数字的四位奇数？ 2、在自然数中，用两位数做被减数，一位数做减数，共可组成多少个不同的减 法算式？ 3、由数字 1，2，3，4，5，6，7，8，可组成多少个： ①三位数； ②三位偶数； ③没有重复数字的三位偶数； ④百位是 8 的没有重复数字的三位数； ⑤百位是 8 的没有重复数字的三位偶数。 【例题 2】有两个相同的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字 1，2，3， 4，5，6。将两个正方体放在桌面上，向上的一面数字之和为偶数的有多少种情形？ 118 要使两个数字之和为偶数，就需要这两个数字的奇、偶性相同，即两个数字同为 奇数或偶数。所以，需要分两大类来考虑： 两个正方体向上一面同为奇数的共有 3×3=9（种）不同的情形； 两个正方体向上一面同为偶数的共有 3×3=9（种）不同的情形； 两个正方体向上一面同为偶数的共有 3×3+3×3=18（种）不同的情形。 练习 2： 1、在 1—1000 的自然数中，一共有多少个数字 1？ 2、在 1—500 的自然数中，不含数字 0 和 1 的数有多少个？ 3、十把钥匙开十把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，问最多试开多少次，就能 把锁和钥匙配起来？ 4、由数字 0，1，2，3，4 可以组成多少个没有重复数字的三位偶数？ 【例题 3】书架上层有 6 本不同的数学书，下层有 5 本不同的语文书，若任意从 书架上取一本数学书和一本语文书，有多少种不同的取法？ 从书架上任取一本数学书和一本语文书，可分两个步骤完成，第一步先取数学书， 有 6 种不同的方法，而这 6 种的每一种取出后，第二步再取语文书，又有 5 种不同的 取法，这样共有 6 个 5 种取法，应用乘法计算 6×5=30（种），有 30 种不同的取法。 练习 3： 1、商店里有 5 种不同的儿童上衣，4 种不同的裙子，妈妈准备为女儿买上衣一件 和裙子一条组成一套，共有多少种不同的选法？ 2、小明家到学校共有 5 条路可走，从学校到少年宫共有 3 条路可走。小明从家 出发，经过学校然后到少年宫，共有多少种不同的走法？ 3、张师傅到食堂吃饭，主食有 2 种，副食有 6 种，主、副食各选一种，他有几 种不同的选法？ 【例题 4】在 2，3，5，7，9 这五个数字中，选出四个数字，组成被 3 除余 2 的 四位数，这样的四位数有多少个？ 从五个数字中选出四个数字，即五个数字中要去掉一个数字，由于原来五个数字 相加的和除以 3 余 2，所以去掉的数字只能是 3 或 9。 去掉的数字为 3 时，即选 2，5，7，9 四个数字，能排出 4×3×2×1=24（个）符 合要求的数，去掉的数字为 9 时也能排出 24 个符合要求得数，因此这样的四位数一 共有 24+24=48（个） 119 练习 4： 1、在 1，2，3，4，5 这五个数字中，选出四个数字组成被 3 除余 2 的四位数， 这样的四位数有多少个？ 2、在 1，2，3，4，5 这五个数字中，选出四个数字组成能被 3 整除的四位数， 这样的四位数有多少个？ 3、在 1，4，5，6，7 这五个数字中，选出四个数字组成被 3 除余 1 的四位数， 这样的四位数有多少个？ 【例题 5】从学校到少年宫有 4 条东西的马路和 3 条南北的马路相通（如图），小 明从学校出发到少年宫（只许向东或向南行进），最后有多少种走法？ 为了方便解答，把图中各点用字母表示如图。根据小明步行规则，显然可知由 A 到 T 通过 AC 边上的各点和 AN 边上的各点只有一条路线，通过 E 点有两条路线（即从 B 点、D 点来各一条路线），通过 H 点有 3 条路线（即从 E 点来有二条路线，从 G 点来 有一条路线），这样推断可知通过任何一个交叉点的路线总数等于通过该点左边、上 方的两邻接交叉点的路线的总和，因此，可求得通过 S 点有 4 条路线，通过 F 点有 3 条路线……由此可见，由 A 点通过 T 点有 10 条不同的路线，所以小明从学校到少年 宫最多有 10 种走法。 练习 5： 1、从学校到图书馆有 5 条东西的马路和 5 条南北的马路相通（如图）。李菊从学 校出发步行到图书馆（只许向东或向南行进），最多有多少种走法？ 2、某区的街道非常整齐（如图），从西南角 A 处走到东北角 B 处，要求走最近的 路，一共有多少种不同的走法？ 3、如图有 6 个点，9 条线段，一只小虫从 A 点出发，要沿着某几条线段爬到 F 点。行进中，同一个点或同一条线段只能经过一次，这只小虫最多有多少种不同的走 法？ 答案： 练 1 1、3×5×4×3＝180 个 2、90×9＝810 个 3、8×8×8＝512 个 4×8×8＝256 个 4×7×6＝168 个 1×7×6＝42 个 1×3×6＝18 个 120 练 2 1、9180+3＝192 个 2、8+8×8+3×8×8＝264 个 3、9+8+7+6+5+4+3+2+1＝45 次 练 3 1、24 个 2、42 个 3、48 个 48 个 练 4 1、48 个 2、24 个 3、72 个 练 5 1、12 个 2、18 个 3、30 个 12 个 121 第 27 周表面积与体积（一） 一、知识要点 小学阶段所学的立体图形主要有四种长方体、正方体、圆柱体和圆锥体。从平面 图形到立体图形是认识上的一个飞跃，需要有更高水平的空间想象能力。因此，要牢 固掌握这些几何图形的特征和有关的计算方法，能将公式作适当的变形，养成“数、 形”结合的好习惯，解题时要认真细致观察，合理大胆想象，正确灵活地计算。 在解答立体图形的表面积问题时，要注意以下几点： （1）充分利用正方体六个面的面积都相等，每个面都是正方形的特点。 （2）把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍。反之， 把两个立体图形粘合到一起，减少的表面积等于粘合面积的两倍。 （3）若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体，应把它们最小的面拼合起 来。若把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面拼合起来。 二、精讲精练 【例题 1】从一个棱长 10 厘米的正方体木块上挖去一个长 10 厘米、宽 2 厘米、 高 2 厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？ 这是一道开放题，方法有多种： ①按图 27-1 所示，沿着一条棱挖，剩下部分的表面积为 592 平方厘米。 图27--1 ②按图 27-2 所示，在某个面挖，剩下部分的表面积为 632 平方厘米。 图27--2 ③按图 27-3 所示，挖通某两个对面，剩下部分的表面积为 672 平方厘米。 122 图27—4 图27--3 练习 1： 1、从一个长 10 厘米、宽 6 厘米、高 5 厘米的长方体木块上挖去一个棱长 2 厘米 的小正方体，剩下部分的表面积是多少？ 2、把一个长为 12 分米，宽为 6 分米，高为 9 分米的长方体木块锯成两个想同的 小厂房体木块，这两个小长方体的表面积之和，比原来长方体的表面积增加了多少平 方分米？ 3、在一个棱长是 4 厘米的立方体上挖一个棱长是 1 厘米的小正方体后，表面积 会发生怎样的变化？ 【例题 2】把 19 个棱长为 3 厘米的正方体重叠起来，如图 27-4 所示，拼成一个 立体图形，求这个立体图形的表面积。 要求这个复杂形体的表面积，必须从整体入手，从上、左、前三个方向观察，每 个方向上的小正方体各面就组合成了如下图形（如图 27-5 所示）。 图27—5 从前往后看 从左往右看 从上往下看 而从另外三个方向上看到的面积与以上三个方向的面积是相等的。整个立体图形 的表面积可采用（S 上+S 左+S 前）×2 来计算。 （3×3×9+3×3×8+3×3×10）×2 =（81+72+90）×2 123 =243×2 =486（平方厘米） 答：这个立体图形的表面积是 486 平方厘米。 练习 2： 1、用棱长是 1 厘米的立方体拼成图 27-6 所示的立体图形。求这个立体图形的表 面积。 图27—6 2、一堆积木（如图 27-7 所示），是由 16 块棱长是 2 厘米的小正方体堆成的。它 们的表面积是多少平方厘米？ 图 27－7 3、一个正方体的表面积是 384 平方厘米，把这个正方体平均分割成 64 个相等的 小正方体。每个小正方体的表面积是多少平方厘米？ 【例题 3】把两个长、宽、高分别是 9 厘米、7 厘米、4 厘米的相同长方体，拼成 一个大长方体，这个大长方体的表面积最少是多少平方厘米？ 把两个相同的大长方体拼成一个大厂房体，需要把两个相同面拼合，所得大厂房 体的表面积就减少了两个拼合面的面积。要使大长方体的表面积最小，就必须使两个 拼合面的面积最大，即减少两个 9×7 的面。 （9×9+9×4+7×4）×2×2—9×7×2 =（63+36+28）×4—126 124 =508—126 =382（平方厘米） 答：这个大厂房体的表面积最少是 382 平方厘米。 练习 3： 1、把底面积为 20 平方厘米的两个相等的正方体拼成一个长方体，长方体的表面 积是多少？ 2、将一个表面积为 30 平方厘米的正方体等分成两个长方体，再将这两个长方体 拼成一个大长方体。求大长方体的表面积是多少。 3、用 6 块（如图 27-8 所示）长方体木块拼成一个大长方体，有许多种做法，其 中表面积最小的是多少平方厘米？ 3厘米 1厘米 2厘米 图 27-8 【例题 4】一个长方体，如果长增加 2 厘米，则体积增加 40 立方厘米；如果宽增 加 3 厘米，则体积增加 90 立方厘米；如果高增加 4 厘米，则体积增加 96 立方里，求 原长方体的表面积。 我们知道：体积=长×宽×高；由长增加 2 厘米，体积增加 40 立方厘米，可知宽 ×高=40÷2=20（平方厘米）；由宽增加 3 厘米，体积增加 90 立方厘米，可知长×高 =90÷3=30（平方厘米）；由高增加 4 厘米，体积增加 96 立方厘米，可知长×宽=96÷ 4=24（平方厘米）。而长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2=（20+30+24） ×2=148（平方厘米）。即 40÷2=20（平方厘米） 90÷3=30（平方厘米） 96÷4=24（平方厘米） （30+20+24）×2 =74×2 =148（平方厘米） 125 答：原长方体的表面积是 148 平方厘米。 练习 4： 1、一个长方体，如果长减少 2 厘米，则体积减少 48 立方厘米；如果宽增加 5 厘 米，则体积增加 65 立方厘米；如果高增加 4 厘米，则体积增加 96 立方厘米。原来厂 房体的表面积是多少平方厘米？ 2、一个厂房体木块，从下部和上部分别截去高为 3 厘米和 2 厘米的长方体后， 便成为一个正方体，其表面积减少了 120 平方厘米。原来厂房体的体积是多少立方厘 米？ 3、有一个厂房体如下图所示，它的正面和上面的面积之和是 209。如果它的长、 宽、高都是质数，这个长方体的体积是多少？ 高 宽 长 图 27－9 【例题 5】如图 27-10 所示，将高都是 1 米，底面半径分别为 1.5 米、1 米和 0.5 米的三个圆柱组成一个物体。求这个物体的表面积。 如果分别求出三个圆柱的表面积，再减去重叠部分的面积，这 样计算比较麻烦。实际上三个向上的面的面积和恰好是大圆柱的一 个底面积。这样，这个物体的表面积就等于一个大圆柱的表面积加 上中、小圆柱的侧面积。 3.14×1.5×1.5×2+2×3.14×1.5×1+2×3.14×1×1+2× 3.14×0.5×1 =3.14×（4.5+3+2+1） =3.14×10.5 =32.97（平方米） 答：这个物体的表面积是 32.97 平方米。 练习 5： 1、一个棱长为 40 厘米的正方体零件（如图 27-11 所示）的上、下两个面上，各 有一个直径为 4 厘米的圆孔，孔深为 10 厘米。求这个零件的表面积。 2、用铁皮做一个如图 27-12 所示的工件（单位：厘米），需用铁皮多少平方厘米？ 126 3、如图 27-13 所示，在一个立方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞， 在上、下侧面的中心打通一个圆柱形的洞。已知立方体棱长为 10 厘米，侧面上的洞 口是边长为 4 厘米的正方形，上、下侧面的洞口是直径为 4 厘米的圆，求该立方体的 表面积和体积（π取 3.14）。 答案： 练 1 1、切下一块后，切口处的表面减少了前、后、上面 3 个 1×1 的正方形，新增加 了左右下面三个 1×1 的正方形，所以表面积大小不变。 2、4×4×6－2×2×2＝92 平方厘米 3、中心挖去的洞的体积是：12×3×3－13×2＝7 立方厘米，挖洞后木块的体积： 33－7＝20 立方厘米，中心挖洞后每面增加的面积是 12×4－12＝3 平方厘米，挖洞后 木块的表面积：（32+3）×6＝72 平方厘米。 练 2 1、从三个不同的方向看，得到图答 27－1： 从上往下看从前往后看从左往右看 （1×1×12+1×1×8+1×1×7）×2＝54 平方厘米 2、（2×2×9+2×2×9+2×2×7）×2＝200 平方厘米 3、因为 64＝4×4×4，所以大正方形的棱长等于小正方形棱长的 4 被，那么大正 方体的表面积是小正方体的 4×4＝16 倍，小正方体的表面积是：384÷16＝24 平方厘 米 练 3 1、将正方体分为两个长方体，表面积就增加了 2 个 30÷6＝15 平方厘米，拼成 大正方体，表面积将减少两个拼合面的面积，正好是 1 个 30÷6＝15 平方厘米，所以 大长方体的表面积是 30+30+6＝35 平方厘米。 2、要是表面积最小，就要尽可能地把大的面拼合在一起。表面积最小的拼法有 如图答 27－2 两种：表面积都是（3×3+3×4×2）×2＝66 平方厘米。 3、设大长方体的宽和高为 x 分米，长为 2x 分米，左面和右面的面积就是 x2 平 127 方分米。其余的面积为 2x2 平方分米，根据题意，大长方体的表面积是：8x2+8×2x2 ＝600 x＝5 大长方体的体积是：5×5×2×5＝250 立方分米 练 4 1、（48÷2+65÷5+96÷4）×2＝122 平方厘米 2、减少的表面积实质是高度分别为 2 厘米和 3 厘米的前、后、左、右四个面的 面积之和。把两个合并起来，用 120÷（2+3）＝24 厘米，求到正方体底面的周长， 正方体的棱长就是 24÷4＝6 厘米。圆长方体的体积是：6×6×（6+3+2）＝396 立方 厘米 3、长方体正面及上面的面积之和恰好等于这个长方体的长×（宽+高），209＝11 ×19，所以长＝11，宽+高＝19，或长＝19，宽+高＝11，根据题意，宽和高只能是 17 和 2，长方体的体积就是 11×17×2＝374 练 5 1、402×6+3.14×4×10×2＝9651.2 平方厘米 2、用两个同样的工件可拼成图答 27－3 的圆柱体。 3.14×15×（46+54）÷2＝2355 平方厘米 3、立方体的表面积和是：6×102－42×4－2×3.14×（4 2 ）2＝510.88 平方厘米 打洞后增加的面积是： 3.14×4×（10－4）+4×（10－4）×4×2+42×2－3.14×（4 2 ）2×2＝274.24 平方厘米 表面积是：510.88+274.24＝785.12 平方厘米 体积是：103－42×10×2+43－3.14×（4 2 ）2×（10－4）＝668.64 平方厘米 128 第 28 周表面积与体积（二） 一、知识要点 解答立体图形的体积问题时，要注意以下几点： （1）物体沉入水中，水面上升部分的体积等于物体的体积。把物体从水中取出， 水面下降部分的体积等于物体的体积。这是物体全部浸没在水中的情况。如果物体不 全部浸在水中，那么派开水的体积就等于浸在水中的那部分物体的体积。 （2）把一种形状的物体变为另一种形状的物体后，形状变了，但它的体积保持 不变。 （3）求一些不规则形体体积时，可以通过变形的方法求体积。 （4）求与体积相关的最大、最小值时，要大胆想象，多思考、多尝试，防止思维 定。 二、精讲精练 【例题 1】有大、中、小三个正方体水池，它们的内边长分别为 6 米、3 米、2 米。把两堆碎石分别沉在中、小水池里，两个水池水面分别升高了 6 厘米和 4 厘米。 如果将这两堆碎石都沉在大水池里，大水池的水面升高多少厘米？ 中、小水池升高部分是一个长方体，它的体积就等同于碎石的体积。两个水池水 面分别升高了 6 厘米和 4 厘米，两堆碎石的体积就是 3×3×0.06+2×2×0.04=0.7（立 方米）。把它沉到大水池里，水面升高部分的体积也就是 0.7 立方米，再除以它的底 面积就能求得升高了多少厘米。 3×3×0.06+2×2×0.04=0.7（立方米） 0.7÷6 的平方=7/360（米）=1 又 17/18（厘米） 答：大水池的水面升高了 1 又 17/18 厘米。 练习 1： 1、有大、中、小三个正方体水池，它们的内边长分别为 4 米、3 米、2 米。把两 堆碎石分别沉没在中、小水池的水中，两个水池的水面分别升高了 4 厘米和 11 厘米， 如果将这两堆碎石都沉没在大水池中，那么大水池水面将升高多少厘米？ 2、用直径为 20 厘米的圆钢，锻造成长、宽、高分别为 30 厘米、20 厘米、5 厘 米的长方体钢板，应截取圆钢多长（精确到 0.1 厘米）？ 3、将表面积为 54 平方厘米、96 平方厘米、150 平方厘米的三个铁质正方体熔铸 成一个大正方体（不计损耗），求这个大正方体的体积。 129 【例题 2】一个底面半径是 10 厘米的圆柱形瓶中，水深 8 厘米，要在瓶中放入长 和宽都是 8 厘米、高是 15 厘米的一块铁块，把铁块竖放在水中，水面上升几厘米？ 在瓶中放铁块要考虑铁块是全部沉入水中，还是部分沉入水中。如果铁块是全部 沉入水中，排开水的体积是 8×8×15=960（立方厘米）。而现在瓶中水深是 8 厘米， 要淹没 15 厘米高的铁块，水面就要上升 15—8=7（厘米），需要排开水的体积是（3.14 ×10×10—8×8）×7=1750（立方厘米），可知铁块是部分在水中。 当铁块放入瓶中后，瓶中水所接触的底面积就是 3.14×10×10—8×8=250（平方 厘米）。水的形状变了，但体积还是 3.14×10×10×8=2512（立方厘米）。水的高度是 2512÷250=10.048（厘米），上升 10.048—8=2.048（厘米） 3.14×10×10×8÷（3.14×10×10—8×8）—8 =2512÷250—8 =10.048—8 =2.048（厘米） 答：水面上升了 2.048 厘米。 练习 2： 1、一个底面积是 15 平方厘米的玻璃杯中装有高 3 厘米的水。现把一个底面半径 是 1 厘米、高 5 厘米的圆柱形铁块垂直放入玻璃杯水中，问水面升高了多少厘米（∏ 取 3）？ 2、一个圆柱形玻璃杯内盛有水，水面高 2.5 厘米，玻璃杯内侧的底面积市 2 平 方里。在这个杯中放进棱长 6 厘米的正方形铁块后，水面没有淹没铁块，这时水面高 多少厘米？ 3、在底面是边长为 60 厘米的正方形的一个长方形容器里，直立放着一个长 100 厘米、底面边长为 15 厘米的正方形的四棱柱铁棍。这时容器里的水 50 厘米深。现在 把铁棍轻轻地向上方提起 24 厘米，露出睡眠的四棱柱铁棍浸湿部分长多少厘米？ 【例题 3】某面粉厂有一容积是 24 立方米的长方体储粮池，它的长是宽或高的 2 倍。当贴着它一最大的内侧面将面粉堆成一个最大的半圆锥体时，求这堆面粉的体积 （如图 28-1 所示）。 130 设圆锥体的底面半径是 r，则长方体的高和宽也都是 r，长是 2r。长方体的容积 是 2r×r×r=24，即 r 的立方=12。这个半圆锥体的体积是 1/3×∏r 的平方×r÷2=1/6 ∏r 的立方，将 r 的立方=12 代入，就可以求得面粉的体积。 设圆锥体的底面半径是 r，则长方体的容积是 2r×r×r=24，r 的立方=12。 1/3×3.14×r 的平方×r÷2 =1/6×3.14×r 的立方 =1/6×3.14×12 =6.28（立方米） 答：这堆面粉的体积是 6.28 立方米。 练习 3： 1、已知一个圆锥体的底面半径和高都等于一正方体的棱长，这个正方体的体积 是 216 立方分米。求这个圆锥体的体积。 2、一个正方体的纸盒中如图 28-2 所示，恰好能装入一个体积 6.28 立方厘米的 圆柱体。纸盒的容积有多大（∏取 3.14）？ 3、如图 28-3 所掷，圆锥形容器中装有 3 升水，水面告诉正好是圆锥高读的一半。 这个容器还能装多少水？ 131 【例题 4】如果把 12 件同样的长方体物品打包，形成一件大的包装物，有几种包 装方法？怎样打包物体的表面积最小呢？ 图28—4 c b a 图28—5 图28—6 设长方体物品的长、宽、高分别是 a、b、c，并且 a＞b＞c（入土 28-4）。比较“3 ×4”和“2×6”两种包法。图 28-5 中大长方体表面积为 6ab+8ac+24bc①，图 28-6 中 大 长 方 体 的 表 面 积 为 4ab+12ac+24bc ② ， 两 个 式 子 中 都 曲 调 相 同 的 部 分 4ab+8ac+24bc 后，①式与②式的大小要看 2ab 与 4ac 的大小。（1）当 b=2c 时，2ab= ￥ac，两种包法相同。（2）当 b＜2c 时，“3×4”的包法表面积最小。（3）当 b＞2c 时，“2×6”的包法表面积最小。 132 练习 4： 1、如果把长 8 厘米，宽 7 厘米，高 3 厘米的 2 件同样的长方体物品打包，形成 一件大的包装物，有几种包装方法？怎样打包，物体的表面积最小？ 2、一个精美小礼品盒的形状是长 9 厘米，宽 6 厘米，高 4 厘米的长方体。请你 帮厂家设计一个能装 10 个小礼品盒的大纸箱，你觉得怎样设计比较合理？为什么？ 3、一包香烟的形状是长方体，它的长是 9 厘米，宽是 5 厘米，高是 2 厘米。把 10 包香烟包装在一起形成一个大长方体，称为一条。可以怎样包装？算一算需要多 少包装纸（包转念能够纸的重叠部分忽略不计）。你认为哪一种包装比较合理？ 【例题 5】一只集装箱，它的内尺寸是 18×18×18。现在有批货箱，它的外尺寸 是 1×4×9。问这只集装箱能装多少只货箱？ 因为集装箱内尺寸 18 不是货箱尺寸 4 的倍数，所以，只能先在 18×16×18 的空 间放货箱，可放 18×16×18÷（1×4×9）=144（只）。这时还有 18×2×18 的空间， 但只能在 18×2×16 的空间放货箱，可放 18×2×16÷（1×4×9）=16（只）。最后剩 下 18×2×2 的空间无法再放货箱，所以最多能装 144+16=160（只）。 18×16×18÷（1×4×9）+18×2×16÷（1×4×9） =144+16 =160（只） 答：这只集装箱能装 160 只货箱。 练习 5： 1、有一个长方体的盒子，从里面量长为 40 厘米、宽为 12 厘米、高为 7 厘米。 在这个盒子里放长 5 厘米、宽 4 厘米、高 3 厘米的长方体木块，最多可放几块？ 2、从一个长、宽、高分别为 21 厘米、15 厘米、12 厘米的厂房体上面，尽可能 大地切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大地切下一个正方体，最后再从第 二次剩余的部分尽可能大地切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？ 3、现有一张长 40 厘米、宽 20 厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是 5 厘米 的长方体无盖铁皮盒（焊接处及铁皮厚度不计，容积越大越好），你做出的铁皮盒容 积是多少立方厘米？ 答案： 练 1 1、（32×0.04+22×0.11）÷42＝0.05 米＝5 厘米 133 2、30×20×5÷【3.14×（20 2 ）2】≈9.6 厘米 3、大正方体的体积等于三个小正方体的体积之和。 54÷6＝9 平方厘米 9＝3×3 它的体积是 3×3×3＝27 平方厘米 96÷6＝16 平方厘米 16＝4×4 它的体积是 4×4×4＝64 立方厘米 150÷6＝25 平方厘米 25＝5×5 它的体积是 5×5×5＝125 立方厘米 27+64+125＝216 立方厘米 练 2 1、铁块全部放入水中，排水的体积是 3×12×5＝15 立方厘米，要使水面升高 2 厘米， 铁块要排水（15－3×12）×2＝24 立方厘米。可见，铁块不能全部放入水中。15×3 ÷（15－3×12）－3＝3 4厘米 2、杯中水的体积是：72×2.5＝180 立方厘米放入铁块后的底面积是 72－62＝36 平方 厘米；水面的高：180÷36＝5 厘米 3、容器中水的体积：（602－152）×50＝168750 立方厘米；当铁棍提起后，仍浸在水 中的部分长：（168750－602×24）÷（602－152）＝24.4 厘米。露出水面的浸湿部分 长：50－24.4＝25.6 厘米 练 3 1、设这个圆锥的底面半径为 r，则正方体的体积为 r3＝216，圆锥体的体积为：1 3×∏ ×r2×r＝226.08 立方分米 2、设圆柱体的底面半径为 x，则正方体的棱长为 2r。圆柱的体积是∏r2×2r＝6.28， 即（2r）3＝8 r3＝8 立方厘米 3、设容器的底面半径为 r，则水面半径为r 2 。水的体积是：1 3 ×∏（r 2 ）2×h 2 ＝3，即∏ r2h＝72。容器的体积是1 3 ×72＝24 升，还能装 24－3＝21 升。 134 练 4 1、20.56÷（1+1+3.14）＝4 分米 3.14×（4 2）2×4＝50.24 立方分米 2、长方体中： （1）高+宽＝（365－5）÷2＝180 厘米 （2）高+长＝（405－5）÷2＝200 厘米 （3）长+宽＝（485－5）÷2＝240 厘米 （4）（2）－（1）得：200－180＝20 厘米 长：（240+30）÷2＝130 厘米 高：200－130＝70 厘米 宽：240－130＝110 厘米 130×110×70＝1001000 立方厘米＝1.001 立方米 3、瓶的容积相当于底面积相同、高为 20+5＝25 厘米的圆柱体的容积。饮料的体积相 当于与瓶同底，高为 20 厘米的圆柱体的体积，所以饮料的体积占瓶容积的： 20 20+5＝4 5。 30× 20 20+5＝24 立方分米 练 5 1、长方体的盒子高是 7 厘米，正好是木块宽与高的和，长方体的宽 12 厘米，正好是 木块宽与高的公倍数，采用如图答 27－4 所示的拼放法可以填满盒子。最多可放：40 ×12×7÷（5×4×3）＝56 个 2、第一次切下的正方体棱长应是 12 厘米，留下的部分如图答 27－5，其中较大的一 块是长为 21－12＝9 厘米，宽为 15 厘米，高为 12 厘米的长方体。第二次切下的正方 体棱长应是 9 厘米，留下的部分如图答 27－6 所示，较大的一块是长为 9 厘米，宽为 15－9＝6 厘米，高为 12 厘米的长方体。第三次切下的正方体棱长应是 6 厘米。上下 的体积是：21×15×12－（123+ 93+ 63）＝1107 立方厘米 3、制作这个铁盒的方法比较多，但容积不一样。 第一种是把铁皮的四角截去边长 5 厘米的正方形。它的体积是（40－5×2） ×（20－5×2）×5＝1500 立方厘米。 第二种是在铁皮的一侧角上截下两个边长 5 厘米的正方形，焊接到铁皮的另一侧的中 135 间位置，这样做成的无盖铁皮盒长是 40－4＝35 厘米，体积是（40－5）×（20－5× 2）×5＝1750 立方厘米。如图 27－7 所示 第三种是在铁皮的两侧各截下一条宽为 5 厘米、长为 20 厘米的长方形铁皮分别焊接 到上、下边上的中间部位，这样做成的无盖铁皮盒的长是 40－5×4＝20 厘米，宽是 20 厘米。体积是（40－5×4）×20×5＝2000 立方厘米。如图答 27－8 所示。 136 第 29 周抽屉原理（一） 一、知识要点 如果给你 5 盒饼干，让你把它们放到 4 个抽屉里，那么可以肯定有一个抽屉里至 少有 2 盒饼干。如果把 4 封信投到 3 个邮箱中，那么可以肯定有一个邮箱中至少有 2 封信。如果把 3 本联练习册分给两位同学，那么可以肯定其中有一位同学至少分到 2 本练习册。这些简单内的例子就是数学中的“抽屉原理”。 基本的抽屉原理有两条：（1）如果把 x+k（k≥1）个元素放到 x 个抽屉里，那么 至少有一个抽屉里含有 2 个或 2 个以上的元素。（2）如果把 m×x×k（x＞k≥1）个元 素放到 x 个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有 m+1 个或更多个元素。 利用抽屉原理解题时要注意区分哪些是“抽屉”？哪些是“元素”？然后按以下 步骤解答：a、构造抽屉，指出元素。b、把元素放入（或取出）抽屉。C、说明理由， 得出结论。 本周我们先来学习第（1）条原理及其应用。 二、精讲精练 【例题 1】某校六年级有学生 367 人，请问有没有两个学生的生日是同一天？为 什么？ 把一年中的天数看成是抽屉，把学生人数看成是元素。把 367 个元素放到 366 个 抽屉中，至少有一个抽屉中有 2 个元素，即至少有两个学生的生日是同一天。 平年一年有 365 天，闰年一年有 366 天。把天数看做抽屉，共 366 个抽屉。把 367 个人分别放入 366 个抽屉中，至少在一个抽屉里有两个人，因此，肯定有两个学生的 生日是同一天。 练习 1： 1、某校有 370 名 1992 年出生的学生，其中至少有 2 个学生的生日是同一天，为 什么？ 2、某校有 30 名学生是 2 月份出生的，能否至少有两个学生生日是在同一天？ 3、15 个小朋友中，至少有几个小朋友在同一个月出生？ 【例题 2】某班学生去买语文书、数学书、外语书。买书的情况是：有买一本的、 二本的、也有三本的，问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书（每 种书最多买一本）？ 137 首先考虑买书的几种可能性，买一本、二半、三本共有 7 种类型，把 7 种类型看 成 7 个抽屉，去的人数看成元素。要保证至少有一个抽屉里有 2 人，那么去的人数应 大于抽屉数。所以至少要去 7+1=8（个）学生才能保证一定有两位同学买到相同的书。 买书的类型有： 买一本的：有语文、数学、外语 3 种。 买二本的：有语文和数学、语文和外语、数学和外语 3 种。 买三本的：有语文、数学和外语 1 种。 3+3+1=7（种）把 7 种类型看做 7 个抽屉，要保证一定有两位同学买到相同的书， 至少要去 8 位学生。 练习 2： 1、某班学生去买语文书、数学书、外语书、美术书、自然书。买书的情况是： 有买一本的、二本的、三本或四本的。，问至少要去几位学生才能保证一定有两位同 学买到相同的书（每种书最多买一本）？ 2、学校图书室有历史、文艺、科普三种图书。每个学生从中任意借两本，那么 至少要几个同学才能保证一定有两人所借的图书属于同一种？ 3、一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的玻璃珠子，颜色有绿、红、黄三种， 问最少要取出多少个珠子才能保证有两个同色的？ 【例题 3】一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、 黄四种。问最少要摸出多少只手套才能保证有 3 副同色的？ 把四种不同的颜色看成是 4 个抽屉，把手套看成是元素，要保证有 1 副同色的， 就是 1 个抽屉里至少有 2 只手套，根据抽屉原理，最少要摸出 5 只手套。这时拿出 1 副同色的后，4 个抽屉中还剩下 3 只手套。再根据抽屉原理，只要再摸出 2 只手套又 能保证有一副手套是同色的，以此类推。 把四种颜色看成是 4 个抽屉，要保证有 3 副同色的，先考虑保证有一副就要摸出 5 只手套。这时拿出 1 副同色的后，4 个抽屉中还剩下 3 只手套。根据抽屉原理，只 要再摸出 2 只手套又能保证有一副手套是同色的。以此类推，要保证有 3 副同色的， 共摸出的手套有 5+2+2=9（只） 答：最少要摸出 9 只手套才能保证有 3 副同色的。 138 练习 3： 1、一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种。 问最少要摸出多少只手套才能保证有 4 副同色的？ 2、布袋中有同样规格但颜色不同的袜子若干只。颜色有白、黑、蓝三种。问： 最少要摸出多少只袜子，才能保证有 3 双同色的？ 3、一个布袋里有红、黄、蓝色袜子各 8 只。每次从布袋中拿出一只袜子，最少 要拿出多少只才能保证其中至少有 2 双不同袜子？ 【例题 4】任意 5 个不相同的自然数，其中至少有两个数的差是 4 的倍数，这是 为什么？ 一个自然数除以 4 的余数只能是 0，1，2，3。如果有 2 个自然数除以 4 的余数相 同，那么这两个自然数的差就是 4 的倍数。 一个自然数除以 4 的余数可能是 0，1，2，3，所以，把这 4 种情况看做时个抽屉， 把任意 5 个不相同的自然数看做 5 个元素，再根据抽屉原理，必有一个抽屉中至少有 2 个数，而这两个数的余数是相同的，它们的差一定是 4 的倍数。所以，任意 5 个不 相同的自然数，其中至少有两个数的差是 4 的倍数。 练习 4： 1、任意 6 个不相同的自然数，其中至少有两个数的差是 5 的倍数，这是为什么？ 2、任意取几个不相同的自然数，才能保证至少有两个数的差是 8 的倍数？ 3、证明在任意的（n+1）个不相同的自然数中，必有两个数之差为 n 的倍数。 【例题 5】能否在图 29-1 的 5 行 5 列方格表的每个空格中，分别填上 1，2，3 这三个数中的任一个，使得每行、每列及对角线 AD、BC 上的各个数的和互不相同？ 由图 29-1 可知：所有空格中只能填写 1 或 2 或 3。因此每行、每列、每条对角线 上的 5 个数的和最小是 1×5=5，最大是 3×5=15。从 5 到 15 共有 11 个互不相同的整 数值，把这 11 个值看承 11 个抽屉，把每行、每列及每条对角线上的各个数的和看承 元素，只要考虑元素和抽屉的个数就可得出结论是不可能的。因为每行、每列、每条 对角线上的 5 个数的和最小是 5，最大是 15，从 5 到 15 共有 11 个互不相同的整数值。 而 5 行、5 列及两条对角线上的各个数的和共有 12 个，所以，这 12 条线上的各个数 的和至少有两个是相同的。 练习 5： 1、能否在 6 行 6 列方格表的每个空格中，分别填上 1，2，3 这三个数中的任一 139 个，使得每行、每列及对角线上的各个数的和互不相同？为什么？ 2、证明在 8×8 的方格表的每个空格中，分别填上 3，4，5 这三个数中的任一个， 在每行、每列及对角线上的各个数的和中至少有两个和是相同的。 3、在 3×9 的方格图中（如图 29-2 所示），将每一个小方格涂上红色或者蓝色， 不论如何涂色，其中至少有两列的涂色方式相同。这是为什么？ 答案： 练 1 1、 1992 年共有 366 天，把它看成是 366 个抽屉，把 370 个人放入 366 个抽屉中， 至少有一个抽屉里有两个人，因此其中至少有 2 个学生的生日是同一天的。 2、 2 月份最多有 29 天，把它看作 29 个抽屉，把 30 名学生放入 29 个抽屉，至 少有一个抽屉里有两个人，因此这 30 名学生中至少有两个学生的生日是在同一天。 3、一年有 12 个月，把 12 个月看作 12 个抽屉，把 15 个小朋友放入 12 个抽屉中， 至少有一个抽屉里有两个小朋友，因此至少有 2 个小朋友是才同一个月出生。 练 2 1、买书的类型中买一本的有 4 种，买二本的有 6 种，买三本的有 4 种，买 4 本 的有一种，共有 4+6+4+1＝15 种情况。把种 15 种情况看出 15 个抽屉，要保证有两位 同学买到相同的书，至少要去 16 位学生。 2、从三周图书种任意借 2 本，只有 6 种情况。要保证有两个所借的图书属于同 一种，至少要 7 个学生。 3、玻璃珠子的颜色有三种，要保证有 2 个同色，最少应取出 4 只珠子。 练 3 1、思路同例 3，最少要摸出 11 只手套才能保证有 4 付同色的。 2、把三种颜色看作 3 个抽屉，要保证有一双同色的就要摸出 4 只袜子，这时拿 出 1 双同色的后，3 个抽屉中还剩 2 只袜子。以后，只要再摸出 2 只袜子就可保证有 一双同色的。因此，要保证有 3 双同色的，最少要摸 4+2+2＝8 只袜子。 3、袋中有三种袜子时。每次从袋中拿出一只袜子，有可能拿出 8 只都是同一颜 色。在余下两种颜色中要拿出一双同色的袜子，最少要取 3 只。因此，最少要拿出 8+3 ＝11 只才能保证其中至少有 2 双颜色不同的袜子。 练 4 1、一个自然数除以 5 的余数可能是 0、1、2、3、4，把这 5 种情况看做 5 个抽屉， 140 6 个不同的自然数放入这 5 个抽屉，必有一个抽屉中至少有两个数，这两数的余数是 相同的，所以它们的差一定是 5 的倍数。 2、一个自然数除以 8 的余数可能是 0、1、2、3、4、6、7，把这 8 种情况看做 8 个抽屉，要保证至少有两个数的差是 8 的倍数，就要保证至少有 1 个抽屉里有两个数， 根据抽屉原理，要取 9 个不同的自然数，才能保证至少有两个数的差是 8 的倍数。 3、一个自然数除以 n 的余数可能是 0、1、2、3、…..n－1，把这 n 种情况看作 n 个抽屉，把（n+1）个自然数反复如 n 个抽屉中去，则必有一个抽屉中有两个数，这 两个数的余数相同，则它们的差一定能被 n 整除，也就是 n 的倍数。 练 5 1、不可能。因为每行、每列、每条对角线上的 6 个数的和最小是 6，最大是 18。 从 6 到 18 共有 13 个不同的整数值，而 6 行、6 列及两条对角线上的各个数的和共有 14 个，所以这 14 条线上的各个数的和至少有两个是相同的。 2、因为每行、每列、每条对角线上的 8 个数的和最小是 24，最大是 40。从 24 到 40 共有 17 个互不相同的整数值，而 8 行、8 列及两条对角线上的各个数的和共有 18 个，所以这 14 条线上的各个数的和至少有两个是相同的。 3、每个方格中可涂上红、蓝两种不同的颜色，每列 3 个方格的土色就有 2×2×2 ＝8 种不同情况，把这 8 种情况看做 8 个抽屉，根据抽屉原理，9 列中至少有两列的 土色方式是相同的。 141 第 30 周抽屉原理（二） 一、知识要点 在抽屉原理的第（2）条原则中，抽屉中的元素个数随着元素总数的增加而增加， 当元素总数达到抽屉数的若干倍后，可用抽屉数除元素总数，写成下面的等式： 元素总数=商×抽屉数+余数 如果余数不是 0，则最小数=商+1；如果余数正好是 0，则最小数=商。 二、精讲精练 【例题 1】幼儿园里有 120 个小朋友，各种玩具有 364 件。把这些玩具分给小朋 友，是否有人会得到 4 件或 4 件以上的玩具？ 把 120 个小朋友看做是 120 个抽屉，把玩具件数看做是元素。则 364=120×3+4， 4＜120。根据抽屉原理的第（2）条规则：如果把 m×x×k（x＞k≥1）个元素放到 x 个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有 m+1 个或更多个元素。可知至少有一个抽屉里 有 3+1=4 个元素，即有人会得到 4 件或 4 件以上的玩具。 练习 1： 1、一个幼儿园大班有 40 个小朋友，班里有各种玩具 125 件。把这些玩具分给小 朋友，是否有人会得到 4 件或 4 件以上的玩具？ 2、把 16 枝铅笔放入三个笔盒里，至少有一个笔盒里的笔不少于 6 枝。这是为什 么？ 3、把 25 个球最多放在几个盒子里，才能至少有一个盒子里有 7 个球？ 【例题 2】布袋里有 4 种不同颜色的球，每种都有 10 个。最少取出多少个球，才 能保证其中一定有 3 个球的颜色一样？ 把 4 种不同颜色看做 4 个抽屉，把布袋中的球看做元素。根据抽屉原理第（2） 条，要使其中一个抽屉里至少有 3 个颜色一样的球，那么取出的球的个数应比抽屉个 数的 2 倍多 1。即 2×4+1=9（个）球。列算式为 （3—1）×4+1=9（个） 练习 2： 1、布袋里有组都多的 5 种不同颜色的球。最少取出多少个球才能保证其中一定 有 3 个颜色一样的球？ 2、一个容器里放有 10 块红木块、10 块白木块、10 块蓝木块，它们的形状、大 小都一样。当你被蒙上眼睛去容器中取出木块时，为确保取出的木块中至少有 4 块颜 色相同，应至少取出多少块木块？ 142 3、一副扑克牌共 54 张，其中 1—13 点各有 4 张，还有两张王的扑克牌。至少要 取出几张牌，才能保证其中必有 4 张牌的点数相同？ 【例题 3】某班共有 46 名学生，他们都参加了课外兴趣小组。活动内容有数学、 美术、书法和英语，每人可参加 1 个、2 个、3 个或 4 个兴趣小组。问班级中至少有 几名学生参加的项目完全相同？ 参加课外兴趣小组的学生共分四种情况，只参加一个组的有 4 种类型，只参加两 个小组的有 6 个类型，只参加三个组的有 4 种类型，参加四个组的有 1 种类型。把 4+6+4+1=15（种）类型看做 15 个抽屉，把 46 个学生放入这些抽屉，因为 46=3×15+1， 所以班级中至少有 4 名学生参加的项目完全相同。 练习 3： 1、某班有 37 个学生，他们都订阅了《小主人报》、《少年文艺》、《小学生优秀作 文》三种报刊中的一、二、三种。其中至少有几位同学订的报刊相同？ 2、学校开办了绘画、笛子、足球和电脑四个课外学习班，每个学生最多可以参 加两个（可以不参加）。某班有 52 名同学，问至少有几名同学参加课外学习班的情况 完全相同？ 3、库房里有一批篮球、排球、足球和铅球，每人任意搬运两个，问：在 31 个搬 运者中至少有几人搬运的球完全相同？ 【例题 4】从 1 至 30 中，3 的倍数有 30÷3=10 个，不是 3 的倍数的数有 30—10=20 个，至少要取出 20+1=21 个不同的数才能保证其中一定有一个数是 3 的倍数。 练习 4： 1、在 1，2，3，……49，50 中，至少要取出多少个不同的数，才能保证其中一 定有一个数能被 5 整除？ 2、从 1 至 120 中，至少要取出几个不同的数才能保证其中一定有一个数是 4 的 倍数？ 3、从 1 至 36 中，最多可以取出几个数，使得这些数中没有两数的差是 5 的倍数？ 【例题 5】将 400 张卡片分给若干名同学，每人都能分到，但都不能超过 11 张， 试证明：找少有七名同学得到的卡片的张数相同。 这题需要灵活运用抽屉原理。将分得 1，2，3，……，11 张可片看做 11 个抽屉， 把同学人数看做元素，如果每个抽屉都有一个元素，则需 1+2+3+……+10+11=66（张） 卡片。而 400÷66=6……4（张），即每个周体都有 6 个元素，还余下 4 张卡片没分掉。 而这 4 张卡片无论怎么分，都会使得某一个抽屉至少有 7 个元素，所以至少有 7 名同 学得到的卡片的张数相同。 143 练习 5： 1、把 280 个桃分给若干只猴子，每只猴子不超过 10 个。证明：无论怎样分，至 少有 6 只猴子得到的桃一样多。 2、把 61 颗棋子放在若干个格子里，每个格子最多可以放 5 颗棋子。证明：至少 有 5 个格子中的棋子数目相同。 3、汽车 8 小时行了 310 千米，已知汽车第一小时行了 25 千米，最后一小时行了 45 千米。证明：一定存在连续的两小时，在这两小时内汽车至少行了 80 千米。 答案： 练 1 1、把 40 名小朋友看做 40 个抽屉，将 125 件玩具放入这些抽屉，因为 125＝3× 40+5，根据抽屉原理，可知至少有一个抽屉有 4 件或 4 件以上的玩具，所以肯定有人 会得到 4 件或 4 件以上的玩具。 2、把三个笔盒看做 3 个抽屉，因为 16＝5×3+1，根据抽屉原理可以至少有一个 笔盒里的笔有 6 枝或 6 枝以上。 3、把盒子数看成抽屉，要使其中一个抽屉里至少有 7 个球，那么球的个数至少 应比抽屉个数的（7－1）倍多 1，而 25＝4×（7－1）+1，所以最多方子 4 个盒子里， 才能保证至少有一个盒子里有 7 个球。 练 2 1、最少应取出（3－1）×5+1＝11 个球 2、至少取出（4－1）×3+1＝10 块木块。 3、如果没有两张王牌，至少要取（4－1）×13+1＝40 张，再加上两张王牌，至 少要摸出 40+2＝42 张，才能保证其中必有 4 张牌点数相同。 练 3 1、小学六年中最多有 2 个闰年，共 366×2+365×4＝2191 天，因为 13170＝6× 2192+18，所以其中一定有 7 人是同年同月同日生的。 2、参加课外兴趣小组的学生共分四种情况，只参加一个组的有 4 种类型，只参 加两个组的有 6 种类型，只参加三个字的有 4 种类型，参加四个组的有 1 种类型。把 4+6+4+1＝15 种类型看作 15 个抽屉，把 46 个学生放入这些抽屉，因为 46＝15×3+1， 所以班级中至少有 4 名学生参加的项目完全相同。 3、全班订阅报刊的类型共有 3+3+1＝7 种，因为 37＝5×7+2，所以其中至少有 6 位学生订的报刊相同。 练 4 1、在 1～50 中，5 的倍数有 50÷5＝10 个，不是 5 的倍数的就有 50－10＝40 个， 144 至少要取出 40+1＝41 个不同的数才能保证其中有个数能贝 5 整除。 2、在 1～120 中，4 的倍数有 120÷4＝30 个，不是 4 的倍数有 120－30＝90 个， 正是要取出 90+1＝91 个不同的数才能保证其中一定有一个数是 4 的倍数。 3、差是 5 的两数有下列 5 组：1、6，11、16，21、26，31、36；2、7，12、17， 22、27；3、8，13、18，23、28、33；4、9，14、19，24、29，34；5、10，15、20， 25、30、35。要使取出的数中没有两个数的差是 5 的倍数，最多只能从每组中各取 1 个数，即最多可以取 5 个数。 练 5 1、把 11 秒钟看做 11 个抽屉，把 100 米看作 100 个元素，因为 100＝9×11+1， 所以必有 1 个抽屉里超过 9 米，即必有某一秒钟，他跑的距离超过 9 米。 2、如图答 30－1，把边长为 2 的等边三角形分成四个边长为 1 的小等边三角形。 把它看作 4 个抽屉，5 个点看作 5 个元素，则一定有一个小三角形内有 2 个点，这 2 个点之间的距离不超过 1。 图 30－1 3、先把长方形的每边剪去宽 1 厘米的长条，余下一个 50×40 的长方形，它的面 积为 2000 平方厘米，再把每个圆的半径放大 1 厘米成为 3 厘米的圆，若剪去后的长 方形至少有一个点未被 70 个镶边后的圆盖住的话，那么原来的长方形中就能放进一 个以这点为圆心的圆。因为×32×70 的值就小于 630×3.15＝1984.52000，所以在 原来的长方形中一定可以放进一个半径为 1 厘米的圆。 145 第 31 周逻辑推理（一） 一、知识要点 逻辑推理题不涉及数据，也没有几何图形，只涉及一些相互关联的条件。它依据 逻辑汇率，从一定的前提出发，通过一系列的推理来获取某种结论。 解决这类问题常用的方法有：直接法、假设法、排除法、图解法和列表法等。 逻辑推理问题的解决，需要我们深入地理解条件和结论，分析关键所在，找到突 破口，进行合情合理的推理，最后作出正确的判断。 推理的过程中往往需要交替运用“排除法”和“反正法”。要善于借助表格，把 已知条件和推出的中间结论及时填入表格内。填表时，对正确的（或不正确的）结果 要及时注上“√”（或“×”），也可以分别用“1”或“0”代替，以免引起遗忘或混 乱，从而影响推理的速度。 推理的过程，必须要有充足的理由或重复内的根据，并常常伴随着论证、推理， 论证的才能不是天生的，而是在不断的实践活动中逐渐锻炼、培养出来的。 二、精讲精练 【例题 1】星期一早晨，王老师走进教室，发现教室里的坏桌凳都修好了。传达 室人员告诉他：这是班里四个住校学生中的一个做的好事。于是，王老师把许兵、李 平、刘成、张明这四个住校学生找来了解。 （1）许兵说：桌凳不是我修的。 （2）李平说：桌凳是张明修的。 （3）刘成说：桌凳是李平修的。 （4）张明说：我没有修过桌凳。 后经了解，四人中只有一个人说的是真话。请问：桌凳是谁修的？ 根据“两个互相否定的思想不能同真”可知：（2）、（4）不能同真，必有一假。 假设（2）说真话，则（4）为假话，即张明修过桌凳。 又根据题目条件了：只有 1 人说的是真话：可退知：（1）和（3）都是假话。由 （1）说的可退出：桌凳是许兵修的。这样，许兵和张明都修过桌凳，这与题中“四 个人中只有一个人说的是真话”相矛盾。 因此，开头假设不成立，所以，（2）李平说的为假话。由此可退知（4）张明说 了真话，则许兵、刘成说了假话。所以桌凳是许兵修的。 146 练习 1： 1、小华、小红、小明三人中，有一人在数学竞赛中得了奖。老师问他们谁是获 奖者，小华说是小红，小红说不是我，小明也说不是我。如果他们当中只有一人说了 真话。那么，谁是获奖者？ 2、一位警察，抓获 4 个盗窃嫌疑犯 A、B、C、D，他们的供词如下： A 说：“不是我偷的”。 B 说：“是 A 偷的”。 C 说：“不是我”。 D 说：“是 B 偷的”。 他们 4 人中只有一人说的是真话。你知道谁是小偷吗？ 3、有 500 人聚会，其中至少有一人说假话，这 500 人里任意两个人总有一个说 真话。说真话的有多少人？说假话的有多少人？ 【例题 2】虹桥小学举行科技知识竞赛，同学们对一贯刻苦学习、爱好读书的四 名学生的成绩作了如下估计： （1）丙得第一，乙得第二。 （2）丙得第二，丁得第三。 （3）甲得第二，丁得死四。 比赛结果一公布，果然是这四名学生获得前 4 名。但以上三种估计，每一种只对 了一半错了一半。请问他们各得第几名？ 同学们的预测里有真有假。但是最后公布的结果中，他们都只预测对了一半。我 们可以用假设法假设某人前半句对后半句错，如果不成立，再从相反方向思考推理。 假设（1）中“丙得第一”说错了，则（1）中“乙得第二”说对了；（1）中“乙 得第二”说对了，则（2）中“丙得第二”说错了；（2）中“丙得第二”说错了，“丁 得第三”说对了；（2）中“丁得第三”说对了，（3）中“丁得第四”说错了；（3）中 “丁得第四”说错了，则（3）中“甲得第二”说对了，这与最初的假设相矛盾。 所以，正确答案是：丙得死一，丁得第三，甲得第二，乙得第四。 练习 2： 1、甲、乙、丙、丁同时参加一次数学竞赛。赛后，他们四人预测名词的谈话如 下： 甲：“丙得第一，我第三”。 147 乙：“我第一，丁第四”。 丙：“丁第二，我第三”。 丁：没有说话。 最后公布结果时，发现甲、乙丙三人的预测都只对了一半。请你说出这次竞赛中 甲、乙、丙、丁四人的名次。 2、某小学最近举行一次田径运动会，人们对一贯刻苦锻炼的 5 名学生的短跑成 绩作了如下的估计： A 说：“第二名是 D，第三名是 B”。 B 说：“第二名是 C，第四名是 E”。 C 说：“第一名是 E，第五名是 A”。 D 说：“第三名是 C，第四名是 A”。 E 说：“第二名是 B，第五名是 D”。 这 5 位同学每人说对了一半，请你猜一猜 5 位同学的名次。 3、某次考试考完后，A，B，C，D 四个同学猜测他们的考试成绩。 A 说：“我肯定考得最好”。 B 说：“我不会是最差的”。 C 说：“我没有 A 考得好，但也不是最差的”。 D 说：“可能我考得最差”。 成绩一公布，只有一个人说错了，请你按照考试分数由高到低排出他们的顺序。 【例题 3】张、王、李三个工人，在甲、乙丙三个工厂里分别当车工、钳工和电 工。 ①张不在甲厂，②王不在乙厂，③在甲厂的不是钳工，④在乙厂的是车工，⑤王 不是电工。 这三个人分别在哪个工厂？干什么工作？ 这题可用直接法解答。即直接从特殊条件出发，再结合其他条件往下推，直到推 出结论为止。 通过⑤可知王不是电工，那么王必是车工或钳工；又通过②可知王不在乙厂，那 么，王必在甲厂或丙厂；又由④知道在乙厂的是车工，所以王只能是钳工；又因为甲 厂的不是钳工，则晚必是丙厂的钳工；张不在甲厂，必在乙厂或丙厂；王在丙厂，则 张必在乙厂，是乙厂的车工，所以张是乙厂的车工。剩下的李是甲厂的电工。 148 练习 3： 1、某大学宿舍里 A，B，C，D，E，F，G 七位同学，其中两位来自哈尔滨，两位 来自天津，两位来自广州，还知道： （1）D，E 来自同一地方； （2）B，G，F 不是北方人； （3）C 没去过哈尔滨。 那么，A 来自什么地方？ 2、每个星期的七天中，甲在星期一、、二、三讲假话，其余四天都讲真话：乙在 星期四、五、六讲假话，其余各天都讲真话。 今天甲说：“昨天是我说谎的日子。”乙说：“昨天也是我说谎的日子。”今天是星 期几？ 3、王涛、李明、江民三人在一起谈话。他们当中一位是校长，一位是老师，一 位是学生家长。现在只知道： （1）江民比家长年龄大。 （2）王涛和老师不同岁。 （3）老师比李明年龄小。 你能确定谁是校长、谁是老师，谁是家长吗？ 【例题 4】六年级有四个班，每个班都有正、副班长各一人。平时召开年级班长 会议时，各班都只有一人参加。参加第一次回师的是小马、小张、小刘、小林；参加 第二次会议的是小刘、小朱、小马、小宋；参加第三次会议的是小宋、小陈、小马、 小张，小徐因有病，三次都没有参加。你知道他们哪两个是同班的吗？ 将条件列在一张表格内，借助于表格进行分析、推理、根据题意，可列表如下： 小张 小马 小刘 小林 小朱 小宋 小陈 小徐 一 √ √ √ √ 二 √ √ √ √ 三 √ √ √ √ 由上表可知，小马三次参加会议，而小徐三次都没参加，他们是同一班级的。小 张和小朱是同班的，小刘和小陈是同班的，小林和小宋是同班的。 练习 4： 1、某市举行家庭普法学习竞赛，有 5 个家庭进入决赛（每家 2 名成员）。决赛时 149 进行四项比赛，每项比赛各家出一名成员参赛，第一项参赛的是吴、孙、赵、李、王； 第二项参赛的是郑、孙、吴、李、周；第三项参赛的是赵、张、吴、钱、郑；第四项 参赛的是周、吴、孙、张、王。另外，刘某因故四次均未参赛。谁和谁是同一家庭呢？ 2、刘刚、马辉、李强三个男孩各有一个妹妹，六个人进行乒乓球混合双打比赛。 事先规定：兄、妹不许搭伴。 第一局：刘刚和小丽对李强和小英； 第二局：李强和小红对刘刚和马辉的妹妹。 那么，三个男孩的妹妹分别是谁？ 3、有三只小袋，一只小袋有两粒红珠，另一只小袋有两粒蓝珠，第三只小袋装 有一粒蓝珠和一粒红珠。小兰不慎把小袋外面的三只标签都贴错了。请问从哪只小袋 中摸出一粒珠，就可以知道三只小袋中各装有什么颜色的珠？ 【例题 5】已知张新、李敏、王强三位同学分别在北京、苏州、南京的大学学习 化学、地理、物理。①张新不在北京学习；②李敏不在苏州学习；③在北京学习的同 学不学物理；④在苏州学习的同学是学化学的；⑤李敏不学地理。三位同学各在什么 城市学什么？ 解答此题的关键是抓住三个人必在三地之一学习三种科目的某一种这个条件。这 种逻辑推理题，须在两方面加以判定。尽管相对的问题要求增多了，但列表法仍然适 用。综合两方面的交错因素，两表对立，一举两得。 由①、②、⑤可列下表 北京 苏州 南京 化学 地理 物理 × 张新 × 李敏 × 王强 由④可知：李敏不在苏州，不学化学、学物理；张新、王强不学物理。 北京 苏州 南京 化学 地理 物理 × 张新 × × 李敏 × × √ 王强 × 由③“在北京学习的不学物理”的条件可知：王强在北京，张新在苏州，李敏在 南京。 北京 苏州 南京 化学 地理 物理 × √ × 张新 × × × √ 李敏 × × √ 150 由④“在苏州学习的学的是化学”的条件可知，王强学习地理。 北京 苏州 南京 化学 地理 物理 × √ × 张新 √ × × × × √ 李敏 × × √ √ × × 王强 × √ × 从上表可以看出，张新在苏州学化学，李敏在南京学物理，王强在北京学地理。 练习 5： 1、甲、乙、丙分别在南京、苏州、西安工作，他们的职业分别是工人、农民和 教师。已知：①甲不在南京工作；②乙不在苏州工作；③在苏州工作的是工人；④在 南京工作的不是教师；⑤乙不是农民。三人各在什么地方工作？各是什么职业？ 2、小明、小青、小菊读书的学校分别是一小、二小、三小，他们各自爱好游泳、 篮球、排球中的一项体育运动。但究竟谁爱好哪一项运动，在哪个学校读书还不清楚， 只知道：（1）小明不在一小。（2）小青不在二小。（3）爱好排球的在二小。（4）爱好 游泳的在一小。（5）爱好游泳的不是小青。 请你说出他们各自就读的学校和爱好的运动项目。 3、甲、乙、丙分别是工程师、会计师和教师。他们的业余爱好分别是文学、绘 画和音乐。现在知道：（1）爱好音乐、文学者和甲一起看电影。（2）爱好绘画者常请 会计师讲经济学。（3）乙不爱好文学。（4）工程师常埋怨自己对绘画和音乐一窍不通。 请问每个人的职业和爱好各是什么？ 答案： 练 1 1 、小明 2、 C 3、 499 1 练 2 1、乙、丁、甲、丙 2、E、C、B、A、D 3、B、A、C、D 练 3 1、天津 2、星期四 √ × × 王强 × 151 3、李明是校长江兵是老师王涛是家长 练 4 1、吴和刘一家，孙和钱一家，赵和周一家，李和张一家 2、李强的妹妹是小丽，马辉的妹妹是小瑛，刘刚的妹妹是小红 3、从标签为“红、蓝”的小袋中摸出一珠，可由表答 30－2 知： 标签 红蓝 红红 蓝蓝 小袋内装 红红 蓝蓝 蓝蓝 红蓝 红蓝 红红 练 5 1、甲在苏州是工人，乙在无锡是教师，丙在南京是农民。 2、小明在二小，爱好排球；小青在三小，爱好篮球；小菊在一小，爱好游泳。 3、甲是教师，爱好绘画；乙是会计师，爱好音乐；丙是工程师，爱好文学。 152 第 32 周逻辑推理（二） 一、知识要点 解数学题，从已知条件到未知的结果需要推理，也需要计算，通常是计算与推理 交替进行，而且这种推理不仅是单纯的逻辑推理，而是综合运用了数学知识和专门的 生活常识相结合来运用。这种综合推理的问题形式多样、妙趣横生，也是小学数学竞 赛中比较流行的题型。 解答综合推理问题，要恰当地选择一个或几个条件作为突破口。统称从已知条件 出发可以推出两个或两个以上结论，而又一时难以肯定或否定其中任何一个时，这就 要善于运用排除法、反证法逐一试验。 当感到题中条件不够时，要注意生活常识、数的性质、数量关系和数学规律等方 面寻找隐蔽条件。 二、精讲精练 【例题 1】小华和甲、乙、丙、丁四个同学参加象棋比赛。每两人要比赛一盘。 到现在为止，小华已经比赛了 4 盘。甲赛了 3 盘，乙赛了 2 盘，丁赛了 1 盘。丙赛了 几盘？ 这道题可以利用画图的方法进行推理，如图 32-1 所示，用 5 个点分别表示小华、 甲、乙、丙、丁。如果两人之间已经进行了比赛，就在表示两人的点之间连一条线。 现在小华赛 4 盘，所以小华应与其余 4 个点都连线…… 甲赛了 3 盘。由于丁只赛了一盘，所以甲与丁之间没有比赛。那么，就连接甲、 乙和甲、丙。这时，乙已有了两条线，与题中乙赛 2 盘相结合，就不再连了。所以， 从图 32-1 中可以看出，丙与小华、甲各赛一盘。即丙赛了两盘。 练习 1： 1、A，B，C，D，E 五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘。到现在为止， A 已经比赛了 4 盘。B 赛了 3 盘，C 赛了 2 盘，D 赛了 1 盘。E 赛了几盘？ 2、A 先生和 A 太太以及三对夫妻举行了一次家庭晚会。规定每两人最多握手一次， 但不和自己的妻子握手。握手完毕后，A 先生问了每个人（包括他妻子）握手几次？ 令他惊讶的是每人答复的数字各不相同。那么，A 太太握了几次手？ 3、五位同学一起打乒乓球，两人之间最多只能打一盘。打完后，甲说：“我打了 四盘”。乙说：“我打了一盘”。丙说：“我打了三盘”。丁说：“我打了四盘”。戊说：“我 153 打了三盘”。 你能肯定其中有人说错了吗？为什么？ 【例题 2】图 32-2 是同一个标有 1，2，3，4，5，6 的小正方体的三种不同的摆 法。图中正方体三个朝左的一面的数字之积是多少？ 用排除法排除不符合条件的情形，最后剩下的情况就是所要的结果。 由（1）、（2）两个图可以看出，1 的对面不可能为 4，6，2，3，所以 1 的对面必 为 5；由（2）、（3）两个图形可以看出，3 的对面不可能为 1，2，4，5，所以 3 的对 面必为 6。由此可知，4 的对面必定为 2。上面正方体三个朝左一面的数字依次为 2， 5，6。所以它们的积为 2×5×6=60。 练习 2： 1、图 32-3 是同一个标有 1，2，3，4，5，6 的小正方体的三种不同的摆法。图 中正方体三个朝左的一面的数字之和是多少？ 2、将红、黄、蓝、白、黑、绿六种颜色分别涂在正方体各面上（每一面只涂一 种颜色）。现有涂色方式完全一样的相同的四块小正方体，把它们拼成长方体（如图 32-4 所示），每个小正房体红色面的对面涂的是什么颜色？黄色对面的？黑色对面 呢？ 3、如图 32-5 所示，每个正方体的 6 个面分别写着数字 1～6，并且任意两个相对 的面上所写的两个数之和都等于 7。把这样的 5 个正方体一个挨一个连接起来后，金 挨着的两个面上的数字之和等于 8。图中写？的这个面上的数字是几？ 【例题 3】某班 44 人，从 A，B，C，D，E 五位候选人中选举班长。A 得选票 23 张。B 得选票占第二位，C，D 得票相同，E 的选票最少，只得了 4 票。那么 B 得选票 多少张？ B，C，D 的选票共 44—23—4=17（张），C，D 的选票至少各 5 张。如果他们的选 票超过 5 张，那么 B，C，D 的选票超过 6+6+6=18（张），这不可能。所以，C，D 各得 5 票，B 得 17—5—5=7（张） 练习 3： 1、某商品编号是一个三位数，现有 5 个三位数：874、765、123、364、925。其 中每一个数与商品编号恰好在同一数位上有一个相同的数字，这个商品编号是多少？ 2、某楼住着 4 个女孩和两个男孩，他们的年龄各不相同，最大的 10 岁，最小的 4 岁。最大的男孩比最小的女孩大 4 岁，最大的女孩比最小的男孩大 4 岁。最大的男 154 孩多少岁？ 3、小明将玻璃球放进大、小两种盒子中。大盒装 12 个玻璃球，小盒装 5 个玻璃 球，正好装完。如果玻璃球总数为 99，盒子超过 10 个，那么两种盒子各有多少个？ 【例题 4】将 1，2，3，4，5，6，7，8 八个数字分成两组，每组 4 个数，并且两 组数之和相等。从 A 组拿一个到 B 组后，B 组五个数之和将是 A 组剩下三数之和的 2 倍。从 B 组拿一个数到 A 组后，B 组剩下的三个数之和 A 组五个数之和的 5/7。这八 个数如何分成两组？ 八个数的和是 1+2+3+4+5+6+7+8=26，所以每组的四个数之和是 36÷2=18。从 A 组取出一个数到 B，两组总和不变。现在 A 组三个数之和是 36÷（1+2）=12，原来 A 组四个数之和是 18，说明 A 组中取 6 到 B 组。 同样道理，从 B 组取一个数到 A 组后，现在 B 组三个数之和是 36÷（1+5/6）× 5/7=15。说明 B 组中取出的数为 18—15=3。 除去 6 和 3，还剩 6 个数。A 组的另外三个数之和应是 18—6=12，在剩下的 6 个 数中只有 1，4，7 三个数，它们的和是 12。所以 A 组四个数是 1，4，6，7。 B 组四个数是 2，3，5，8。 练习 4： 1、某年的 8 月份有 4 个星期四，5 个星期三。这年 8 月 8 日是星期几？ 2、甲、一两个小朋友各有一袋糖，每袋糖不到 20 粒。如果甲给乙一定数量的糖 后，甲的糖的粒数是乙的 2 倍；如果乙给甲同样数量的糖后，甲的糖的粒数就是乙的 3 倍。甲、乙两个小朋友共有糖多少粒？ 3、某各家庭有四个家庭成员。他们的年龄各不相同，总和是 129 岁，其中有三 个人的年龄是平方数。如果倒退 15 年，这四人中仍有三人的年龄是平方数。你知道 他们各自的年龄吗？ 【例题 5】在一次设计联系中，小张、小王、小李各打 4 发子弹，全部中靶。命 中的情况如下： （1）每人 4 发子弹所命中的环数各不相同。（2）每人 4 发子弹所命中的总环数 均为 17 槐。（3）小王有两法命中的环数分别与小张命中的两法一样；小王另两发命 中的环数与小李命中的两法一样。（4）小张和小李只有一发环数相同。（5）每人每发 子弹的最好成绩不超过 7 环。 155 小张、小李命中相同的环数是几环？ 首先，用枚举法找出符合条件（1）、（2）、（5）的所有情况。其次，再用筛选法 从这些情况中去掉不符合条件（3）、（4）的情况。剩下的就符合要求了。 （1）1+7+3+6=17（环） （2）1+7+4+5=17（环） （3）2+6+4+5=17（环） （4）2+7+3+5=17（环） 对照条件可知（2）、（1）式和（3）式分别代表王、张、李，所以，小张和小李 命中相同的环数是 6 环， 练习 5： 1、甲、乙、丙三人玩转盘（如图 32-6 所示），转盘上的数字表示应得的分。 甲说：“我转 8 次得 26 分”。 乙说：“我转 7 次得 34 分”。 丙说：“我转 9 次得 41 分”。 其中有一人没说真话，他是谁？ 2、将 3 张数字卡片（均不超过 10）分给甲、乙、丙三人，各人记下所得卡片上 的数再重新分。分了 3 次后，每人将各字记下的数相加，甲为 13，乙为 15，丙为 23。 你能西饿出三张卡片上的数吗？ 3、A，B，C 三个足球队进行一次比赛，每两个队赛一场。按规定每升一场得 2 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分。现在已知： （1）B 对一球未进，结果得一分； （2）C 队进一球，失 2 球，并且胜一场； 求 A 队结果是得几分，并写出每场比赛的具体比分。 答案： 练 1 1、E 赛了 2 盘 2、A 太太握了三次手 3、肯定有人说错。画图容易得证 练 2 1、5+4+1＝10 156 2、红色对面为绿色，蓝色对面为黄色，黑色对面为白色 3、A 处所写的是“3” 练 3 1、 724 2、最大的男孩儿是 8 岁 3、小盒 15 个，大盒 2 个 练 4 1、星期一 2、24 粒 3、16 岁、24 岁、25 岁、64 岁 练 5 1、得分数 7、4、1 均是 3 的倍数加 1，9 次所得的总分应是 3 的倍数，因此丙没 有说真话。 2、A+B+C=（13+15+23）÷3＝17 A、B、C 粉笔是 3、5、9。 3+3+9＝15 乙 5+5+3 ＝13 甲 9+9+5＝23 丙 3、根据条件列表推理 队名 比赛场数 胜 负 平 进球数 失球数 得分 A 2 1 1 2 0 3 B 2 1 1 0 2 1 C 2 1 1 2 2 A 队得了 3 分，A 和 B 的比分是 0：0 A 与 C 的比分是 2：0 B 与 C 的比分是 0：1 157 第 33 周行程问题（一） 一、知识要点 行程问题的三个基本量是距离、速度和时间。其互逆关系可用乘、除法计算，方 法简单，但应注意行驶方向的变化，按所行方向的不同可分为三种：（1）相遇问题； （2）相离问题；（3）追及问题。 行程问题的主要数量关系是：距离=速度×时间。它大致分为以下三种情况： （1）相向而行：相遇时间=距离÷速度和 （2）相背而行：相背距离=速度和×时间。 （3）同向而行：速度慢的在前，快的在后。 追及时间=追及距离÷速度差 在环形跑道上，速度快的在前，慢的在后。 追及距离=速度差×时间。 解决行程问题时，要注意充分利用图示把题中的情节形象地表示出来，有助于分 析数量关系，有助于迅速地找到解题思路。 二、精讲精练 【例题 1】两辆汽车同时从某地出发，运送一批货物到距离 165 千米的工地。甲 车比乙车早到 8 分钟，当甲车到达时，乙车还距工地 24 千米。甲车行完全程用了多 少小时？ 解答本题的关键是正确理解“已知甲车比乙车早刀 8 分钟，当甲车到达时，乙车 还距工地 24 千米”。这句话的实质就是：“乙 48 分钟行了 24 千米”。可以先求乙的速 度，然后根据路程求时间。也可以先求出全程 165 千米是 24 千米的多少倍，再求甲 行完全程要用多少小时。 解法一：乙车速度：24÷48×60=30（千米/小时） 甲行完全程的时间：165÷30—48 60 =4.7（小时） 解法二：48×（165÷24）—48=282（分钟）=4.7（小时） 答：甲车行完全程用了 4.7 小时。 练习 1： 1、甲、乙两地之间的距离是 420 千米。两辆汽车同时从甲地开往乙地。第一辆 158 每小时行 42 千米，第二辆汽车每小时行 28 千米。第一辆汽车到乙地立即返回。两辆 汽车从开出到相遇共用多少小时？ 2、A、B 两地相距 900 千米，甲车由 A 地到 B 地需 15 小时，乙车由 B 地到 A 地需 10 小时。两车同时从两地开出，相遇时甲车距 B 地还有多少千米？ 3、甲、乙两辆汽车早上 8 点钟分别从 A、B 两城同时相向而行。到 10 点钟时两 车相距 112.5 千米。继续行进到下午 1 时，两车相距还是 112.5 千米。A、B 两地间的 距离是多少千米？ 【例题 2】两辆汽车同时从东、西两站相向开出。第一次在离东站 60 千米的地方 相遇。之后，两车继续以原来的速度前进。各自到达对方车站后都立即返回，又在距 中点西侧 30 千米处相遇。两站相距多少千米？ 从两辆汽车同时从东、西两站相对开出到第二次相遇共行了三个全程。两辆汽车 行一个全程时，从东站出发的汽车行了 60 千米，两车走三个全程时，这辆汽车走了 3 个 60 千米。这时这辆汽车距中点 30 千米，也就是说这辆汽车再行 30 千米的话，共 行的路程相当于东、西两站路程的 1.5 倍。找到这个关系，东、西两这站之间的距离 也就可以求出来了。所以 （60×3+30）÷1.5=140（千米） 答：东、西两站相距 140 千米。 练习 2： 1、两辆汽车同时从南、北两站相对开出，第一次在离南站 55 千米的地方相遇， 之后两车继续以原来的速度前进。各自到站后都立即返回，又在距中点南侧 15 千米 处相遇。两站相距多少千米？ 2、两列火车同时从甲、乙两站相向而行。第一次相遇在离甲站 40 千米的地方。 两车仍以原速继续前进。各自到站后立即返回，又在离乙站 20 千米的地方相遇。两 159 站相距多少千米？ 3、甲、乙两辆汽车同时从 A、B 两地相对开出。第一次相遇时离 A 站有 90 千米。 然后各按原速继续行驶，分别到达对方车站后立即沿原路返回。第二次相遇时在离 A 地的距离占 A、B 两站间全程的 65%。A、B 两站间的路程是多少千米？ 【例题 3】A、B 两地相距 960 米。甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发。若相 向而行，6 分钟相遇；若同向行走，80 分钟甲可以追上乙。甲从 A 地走到 B 地要用多 少分钟？ 甲、乙两人从同时同向出发到相遇，6 分钟共行的路程是 960 米，那么每分钟共 行的路程（速度和）是 960÷6=160（米）；甲、乙两人从同时同向出发到甲追上乙需 用去 80 分钟，甲追乙的路程是 960 米，每分钟甲追乙的路程（速度差）是 960÷80=12 （米）。根据甲、乙速度和与差，可知甲每分钟行（160+12）÷1=86（米）。甲从 A 地 到 B 地要用 960÷86=11 7 43 （分钟），列算式为 960÷[（960÷6+960÷80）÷2]=11 7 43 （分钟） 答：甲从 A 地走到 B 地要用 11 7 43 分钟。 练习 3： 1、一条笔直的马路通过 A、B 两地，甲、乙两人同时从 A、B 两地出发，若先跟 乡行走，12 分钟相遇；若同向行走，8 分钟甲就落在乙后面 1864 米。已知 A、B 两地 相距 1800 米。甲、乙每分钟各行多少米？ 2、父子二人在一 400 米长的环行跑道上散步。他俩同时从同一地点出发。若想 8 背而行，2 6 7 分钟相遇；若同向而行，26 2 3 分钟父亲可以追上儿子。问：在跑道上走 一圈，父子各需多少分钟？ 3、两条公路呈十字交叉。甲从十字路口南 1350 米处向北直行，乙从十字路口处 向东直行。同时出发 10 分钟后，二人离使字路口的距离相等；二人仍保持原来速度 直行，又过了 80 分钟，这时二人离十字路口的距离又相等。求甲、乙二人的速度。 【例题 4】上午 8 时 8 分，小明骑自行车从家里出发。8 分钟后每爸爸骑摩托车 去追他。在离家 4 千米的地方追上了他，然后爸爸立即回家。到家后他又立即回头去 160 追小明。再追上他的时候，离家恰好是 8 千米（如图 33-2 所示），这时是几时几分？ 由题意可知：爸爸第一次追上小明后，立即回家，到家后又回头去追小名，再追 上小明时走了 12 千米。可见小明的速度是爸爸的速度的1 3 。那么，小明先走 8 分钟 后，爸爸只花了 4 分钟即可追上，这段时间爸爸走了 4 千米。列式为 爸爸的速度是小明的几倍：（4+8）÷4=3（倍） 爸爸走 4 千米所需的时间：8÷（3—1）=4（分钟） 爸爸的速度：4÷4=1（千米/分） 爸爸所用的时间：（4+4+8）÷1=16（分钟） 16+16=32（分钟） 答：这时是 8 时 32 分。 练习 4： 1、A、B 两地相距 21 千米，上午 8 时甲、乙分别从 A、B 两地出发，相向而行。 甲到达 B 地后立即返回，乙到达 A 地后立即返回。上午 10 时他们第二次相遇。此时， 甲走的路程比乙走的多 9 千米，甲一共行了多少千米？甲每小时走多少千米？ 2、张师傅上班坐车，回家步行，路上一共要用 80 分钟。如果往、返都坐车，全 部行程要 50 千米；如果往、返都步行，全部行程要多长时间？ 3、当甲在 60 米赛跑中冲过终点线时，比乙领先 10 米，比丙领先 20 米。如果乙 和丙按原来的速度继续冲向终点，那么乙到达终点时将比丙领先多少米？ 【例题 5】甲、乙、丙三人，每分钟分别行 68 米、70.5 米、72 米。现甲、乙从 东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙和乙相遇后，又过 2 分钟与甲相遇。 东、西两镇相距多少器秒年米毫？ 161 如图 33-3 所示，可以看出，乙、丙两人相遇时，乙比甲多行的路程正好是后来 甲、丙 2 分钟所行的路程和，是（68+72）×2=280（米）。而每分钟乙比甲多行 70.5—68=2.5（米）可见，乙、丙相遇时间是 280÷2.5=112（分钟），因此，求东、 西两镇间的距离可用速度和乘以相遇时间求出。列式为 乙、丙相遇时间：（68+72）×2÷2.5=112（分钟） 东、西两镇相距的千米数：（70.5+72）×112÷1000=15.96（千米） 练习 5： 1、有甲、乙、丙三人，甲每分钟行 70 米，乙每分钟行 60 米，丙每分钟行 75 米， 甲、乙从 A 地去 B 地，丙从 B 地去 A 地，三人同时出发，丙遇到甲 8 分钟后，再遇到 乙。A、B 两地相距多少千米？ 2、一只狼以每秒 15 米的速度追捕在它前面 100 米处的兔子。兔子每秒行 4.5 米， 6 秒钟后猎人向狼开了一枪。狼立即转身以每秒 16.5 米的速度背向兔子逃去。问：开 枪多少秒后兔子与狼又相距 100 米？ 3、甲、乙两车同时从 A 地开往 B 地，乙车 6 小时可以到达，甲车每小时比乙车 慢 8 千米，因此比乙车迟一小时到达。A、B 两地间的路程是多少千米？ 答案 练 1 1、420×2÷（42+28）＝12 小时 2、900÷15×【15－900÷（900÷15+900÷10）】＝540 千米 3、甲、乙两车的速度和：112.5×2÷（13－10）＝75 千米 A-B 两地的距离：75×（10－8）+112.5＝262.5 千米 162 练 2 1、（55×3－15）÷1.5＝100 千米 2、40×3－20＝100 千米 3、90×3－（1+1－65％）＝200 千米 练 3 1、【1800÷12－（1864－1800）÷8】÷2＝71 米 【1800÷12+（1864－1800）÷8】÷2＝79 米 2、400÷【（400÷26 7 +400÷262 3 ）÷2】＝5 5 31 分 400÷【（400÷26 7 －400÷262 3 ）÷2】＝6 2 5 分 3、速度和：1350÷10＝135 米/分 速度差：1350÷（10+80）＝15 米/分 甲速：（135+15）÷2＝75 米/分 乙速：（135－15）÷2＝60 米/分 练 4 1、甲行路程：（21×3+9）÷2＝36 千米 甲速：36÷2＝18 千米 2、（80－50÷2）×2＝110 分 3、丙的行程：60×60－20 60－10 ＝48 米 乙到达重点将比丙领先的米数：60－48＝12 米 练 5 1、（70+75）×【（75+60）×8÷（70－60）】÷1000＝15.66 千米 2、（15－4.5）×6÷（16.5+4.5）＝3 秒 3、8×6×（6+1）＝336 千米 163 第 34 周行程问题（二） 一、知识要点 在行程问题中，与环行有关的行程问题的解决方法与一般的行程问题的方法类 似，但有两点值得注意：一是两人同地背向运动，从第一次相遇到下次相遇共行一个 全程；二是同地、同向运动时，甲追上乙时，甲比乙多行了一个全程。 二、精讲精练 【例题 1】甲、乙、丙三人沿着湖边散步，同时从湖边一固定点出发。甲按顺时 针方向行走，乙与丙按逆时针方向行走。甲第一次遇到乙后 1 1 4 分钟于到丙，再过 3 3 4 分钟第二次遇到乙。已知乙的速度是甲的2 3 ，湖的周长为 600 米，求丙的速度。 甲第一次与乙相遇后到第二西与乙相遇，刚好共行了一圈。甲、乙的速度和为 600 ÷（11 4 +33 4 ）=120 米/分。甲、乙的速度分别是：120÷（1+2 3 ）=72（米/分），120—72=48 （米/分）。甲、丙的速度和为 600÷（11 4 +33 4 +11 4 ）=96（米/分），这样，就可以求 出丙的速度。列算式为 甲、乙的速度和：600÷（11 4 +33 4 ）=120（米/分） 甲速：120÷（1+2 3 ）=72（米/分） 乙速：120—72=48（米/分） 甲、丙的速度和：600÷（11 4 +33 4 +11 4 ）=96（米/分） 丙的速度：96—72=24（千米/分） 答：丙每分钟行 24 米。 练习 1： 1、甲、乙、丙三人环湖跑步。同时从湖边一固定点出发，乙、丙两人同向，甲 与乙、丙两人反向。在甲第一次遇到乙后 1 1 4 分钟第一次遇到丙；再过 3 3 4 分钟第二 次遇到途。已知甲速与乙速的比为 3：2，湖的周长为 2000 米，求三人的速度。 2、兄、妹 2 人在周长为 30 米的圆形小池边玩。从同一地点同时背向绕水池而行。 兄每秒走 1.3 米。妹每秒走 1.2 米。他们第 10 次相遇时，劢还要走多少米才能归到 出发点？ 3、如图 34-1 所示，A、B 是圆的直径的两端，小张在 A 点，小王在 B 点，同时出 164 发反向而行，他们在 C 点第一次相遇，C 点离 A 点 80 米；在 D 点第二次相遇，D 点离 B 点 60 米。求这个圆的周长。 【例题 2】甲、乙两人在同一条椭圆形跑道 上做特殊训练。他们同时从同一地点出发，沿相 反方向跑。每人跑完第一圈到达出发点后，立即 回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲 的2 3 ，甲跑第二圈时的速度比第一圈提高了1 3 ， 乙跑第二圈时速度提高了1 5 。已知甲、乙两人第 二次相遇点距第一次相遇点 190 米。这条椭圆形 跑道长多少米？ 根据题意画图 34-2：甲、乙从 A 点出发，沿相 反方向跑，他们的速度比是 1：2 3 =3：2。第一次相 遇时，他们所行路程比是 3：2，把全程平均分成 5 份，则他们第一次相遇点在 B 点。当甲 A 点时，乙 又行了 2÷3×2=11 3 。这时甲反西肮而行，速度提高 了1 3 。甲、乙速度比为[3×（1+1 3 ）：2]=2：1，当乙 到达 A 点时，甲反向行了（3—11 3 ）×2=31 3 。这时 乙反向而行，甲、乙的速度比变成了[3×（1+1 3 ）]：[2×（1+1 5 ）]=5：3。这样，乙 又行了（5—31 3 ）× 3 5+3 =5 8 ，与甲在 C 点相遇。B、C 的路程为 190 米，对应的份数为 3—5 8 =23 8 。列式为 1：2 3 =3：2 2÷3×2=11 3 [3×（1+1 3 ）：2]=2：1 （3—11 3 ）×2=31 3 图 34-1 图 34-2 165 [3×（1+1 3 ）]：[2×（1+1 5 ）]=5：3 （5—31 3 ）× 3 5+3 =5 8 190÷（3-5 8 ）×5=400（米） 答：这条椭圆形跑道长 400 米。 练习 2： 1、小明绕一个圆形长廊游玩。顺时针走，从 A 处到 C 处要 12 分钟，从 B 处到 A 处要 15 分钟，从 C 处到 B 处要 11 分钟。从 A 处到 B 处需要多少分钟（如图 34-3 所 示）？ 图34——3 C B A 图 34-3 图 34-4 2、摩托车与小汽车同时从 A 地出发，沿长方形的路两边行驶，结果在 B 地相遇。 已知 B 地与 C 地的距离是 4 千米。且小汽车的速度为摩托车速度的2 3 。这条长方形路 的全长是多少千米（如图 34-4 所示）？ 3、甲、乙两人在圆形跑道上，同时从某地出发沿相反方向跑步。甲速是乙速的 3 倍，他们第一次与第二次相遇地点之间的路程是 100 米。环形跑道有多少米？ 【例题 3】绕湖的一周是 24 千米，小张和小王从湖边某一地点同时出发反向而行。 小王以每小时 4 千米速度走 1 小时后休息 5 分钟，小张以每小时 6 千米的速度每走 50 分钟后休息 10 分钟。两人出发多少时间第一次相遇？ 小张的速度是每小时 6 千米，50 分钟走 5 千米，我们可以把他们出发后的时间与 行程列出下表： 166 小王 时间 1 小时 5 分 2 小时 10 分 3 小时 15 分 行程 4 千米 8 千米 12 千米 小张 时间 1 小时 2 小时 3 小时 行程 5 千米 10 千米 15 千米 12+15=27，比 24 大，从上表可以看出，他们相遇在出发后 2 小时 10 分至 3 小时 15 分之间。出发后 2 小时 10 分，小张已走了 10+5÷（50÷10）=11（千米），此时两 人相距 24—（8+11）=5（千米）。由于从此时到相遇以不会再休息，因此共同走完这 5 千米所需的时间是 5÷（4+6）=0.5（小时），而 2 小时 10 分+0.5 小时=2 小时 40 分。 小张 50 分钟走的路程：6÷60×50=5（千米） 小张 2 小时 10 分后共行的路程：10+5÷（50÷10）=11（千米） 两人行 2 小时 10 分后相距的路程：24—（8+11）=5（千米） 两人共同行 5 千米所需时间：5÷（4+6）=0.5（小时） 相遇时间：2 小时 10 分+0.5 小时=2 小时 40 分 练习 3： 1、在 400 米环行跑道上，A，B 两点相距 100 米。甲、乙两人分别从 A，B 两点同 时出发，按逆时针方向跑步，甲每秒行 5 米，乙每秒行 4 米，每人跑 100 米都要停留 10 秒钟。那么甲追上乙需要多少秒？ 2、一辆汽车在甲、乙两站之间行驶。往、返一次共用去 4 小时。汽车去时每小 时行 45 千米，返回时每小时行驶 30 千米，那么甲、乙两站相距多少千米？ 3、龟、兔进行 10000 米跑步比赛。兔每分钟跑 400 米，龟每分钟跑 80 米，兔每 跑 5 分钟歇 25 分钟，谁先到达终点？ 【例题 4】一个游泳池长 90 米。甲、乙二人分别从游泳池的两端同时出发，游到 另一端立即返回。找这样往、返游，两人游 10 分钟。已知甲每秒游 3 米，乙每秒游 2 米。在出发后的两分钟内，二人相遇了几次？ 设甲的速度为 a，乙的速度为 b，a：b 的最简比为 m：n，那么甲、乙在半个周期 内共走 m+n 个全程。若 m＞n，且 m、n 都是奇数，在一个周期内甲、乙相遇了 2m 次； 若 m＞n，且 m 为奇数（或偶数），n 为偶数（或奇数），在半个周期末甲、乙同时在乙 （或甲）的出发位置，一个周期内，甲、乙共相遇（2m—1）次。 甲速：乙速=3：2，由于 3＞2，且一奇数一偶数，一个周期内共相遇（2×3—1=） 5 次，共跑了[（3+2）×2=]10 个全程。 167 10 分钟两人合跑周期的个数为：60×10÷[90÷（2+3）×10]=31 3 （个） 3 个周期相遇（5×3=）15（次）；1 3 个周期相遇 2 次。 一共相遇：15+2=17（次） 答：二人相遇了 17 次。 练习 4： 1、甲、乙两个运动员同时从游泳池的两端相向下水做往、返游泳训练。从池的 一端到另一端甲要 3 分钟，乙要 3.2 分钟。两人下水后连续游了 48 分钟，一共相遇 了多少次？ 2、一游泳池道长 100 米，甲、乙两个运动员从泳道的两端同时下水，做往、返 训练 15 分钟，甲每分钟游 81 米，乙每分钟游 89 米。甲运动员一共从乙运动员身边 经过了多少次？ 3、马路上有一辆身长为 15 米的公共汽车，由东向西行驶，车速为每小时 18 千 米。马路一旁人行道上有甲、乙两名年轻人正在练长跑，甲由东向西跑，乙由西向东 跑。某一时刻，汽车追上了甲，6 秒争后汽车离开了甲，半分钟后，汽车遇到迎面跑 来的乙，又经过了 2 秒钟，汽车离开乙，再过几秒钟，甲、乙两人相遇？ 【例题 5】甲、乙两地相距 60 千米。张明 8 点从甲地出发去乙地，前一半时间平 均速度为每分钟 1 千米，后一半时间平均速度为每分钟 0.8 千米。张明经过多少时间 到达乙地？ 因为前一半时间与后一半时间相同，所以可假设为两人同时相向而行的情形，这 样我们可以求出两人合走 60 千米所需的时间为[60÷（1+0.8）=]33 1 3 分钟。因此， 张明从甲地到乙地的时间列算式为 60÷（1+0.8）×2=662 3 （分钟） 答：张明经过 66 2 3 分钟到达乙地。 练习 5： 1、A、B 两地相距 90 千米。一辆汽车从 A 地出发去 B 地，前一半时间平均每小时 行 60 千米，后一半时间平均每小时行 40 千米。这辆汽车经过多少时间可以到达 B 地？ 2、甲、乙两人同时从 A 点背向出发，沿 400 米环行跑道行走。甲每分钟走 80 米， 168 乙蔑分钟走 50 米。两人至少经过多少分钟才能在 A 点相遇？ 3、在 300 米的环行跑道上，甲、乙两人同时并排起跑。甲平均每秒行 5 米，乙 平均每秒行 4.4 米。两人起跑后第一次相遇在起跑线前面多少米？ 答案： 练 1 1、甲、乙的速度和：2000÷（11 4 +33 4 ）＝400 甲速：400× 3 3+2 ＝240 米/分 乙速：400× 2 3+2 ＝160 米/分 甲、丙的速度和：2000÷（11 4 +33 4 +11 4 ）＝320 米/分 丙速：320－240＝80 米/分 2、兄、妹二人共行一周的时间：30÷（1.3+1.2）＝12 秒 第 10 次相遇时妹所行的圈数：1.2×10×12÷30＝4.8 圈即 4 圈又 24 米 再行的米数：30－24＝6 米。 3、A 到 D 的距离：80×3＝240 米 A 到 B（半周长）距离：240－60＝180 米 圆的周长：180×2＝360 米 练 2 1、绕一圈所需的时间：（12+15+11）÷2＝19 分 从 A 到 B 处所需的时间：19－15＝4 分 2、4×2÷3-2 3+2 ＝40 千米 3、100÷（2－1）×（3+1）＝400 米 练 3 1、每跑 100 米，乙比甲多用时间：100÷4－100÷5＝5 秒 甲追上乙要多跑 100 米需 20 秒，休息 4 次：20÷5＝4 次 100×4＝400 米 100×5＝500 米 停了 4 次，共用的时间：20×5+40＝140 秒 2、45：30＝3：2 4× 2 3+2 ×45＝72 千米 169 3、10000÷80＝125 分钟 25×（10000÷400÷5－1）+10000÷400＝125 分钟 练 4 1、【（1 3 + 1 3.2 ）】×48－1÷2+1＝16 次 2、【（81+89）×15－100】÷（100×2）+1＝13 次（取整数部分） 3、甲速：（5×6－15）÷6＝2.5 米/秒 乙速；（15－5×20÷2=2.5 米/秒 汽车离开乙时，两人相距的路程：5×（30+2）－2.5×（30+2）＝80 米 相遇时间：80÷（2.5+2.5）＝16 秒 练 5 1、90÷（60+40）×2＝1.8 小时 2、400÷80＝5 分 400÷50＝8 分 5 和 8 的最小公倍数是 5×8＝40 3、甲、乙两人同时并排起跑到第一次相遇共用的时间：300÷（5－4.4）＝500 秒；第一次相遇时，甲共行的路程：5×500＝2500 米；第一次相遇在起跑线前面的距 离：2500÷300＝8 圈……100 米 170 第 35 周行程问题（三） 一、知识要点 本周主要讲结合分数、百分数知识相关的较为复杂抽象的行程问题。要注意：出 发的时间、地点和行驶方向、速度的变化等，常常需画线段图来帮助理解题意。 二、精讲精练 【例题 1】客车和货车同时从 A、B 两地相对开出。客车每小时行驶 50 千米，货 车的速度是客车的 80%，相遇后客车继续行 3.2 小时到达 B 地。A、B 两地相距多少千 米？ 如图 35-1 所示，要求 A、B 两地相距多少千米，先要求客、货车合行全程所需的 时间。客车 3.2 小时行了 50×3.2=160（千米），货车行 160 千米所需的时间为： 160÷（50×80%）=4（小时） 所以（50+50×80%）×4=360（千米） 答：A、B 两地相距 360 千米。 练习 1： 1、甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发相向而行，相遇点距中点 320 米。已知 甲的速度是乙的速度的5 6 ，甲每分钟行 800 米。求 A、B 两地的路程。 2、甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发相向而行，匀速前进。如果每人按一定 的速度前进，则 4 小时相遇；如果每人各自都比原计划每小时少走 1 千米，则 5 小时 相遇。那么 A、B 两地的距离是多少千米？ 3、甲、乙两人同时骑自行车从东、西两镇相向而行，甲、乙的速度比是 3：4。 已知甲行了全程的1 3 ，离相遇地点还有 20 千米，相遇时甲比乙少行多少千米？ 【答案】1.乙的速度：800÷ 6 5 =960（米/分） 相遇时间：320×2÷（960-800）=4（分） 171 AB 两地距离：（960+800）×4=7040（米） 2.（1+1）÷（ 4 1 - 5 1 ）=40（千米） 3.甲乙之间的距离：20÷（ 34 3  - 3 1 ）=210（千米） 甲比乙少行：210× 34 34   =30（千米） 【例题 2】从甲地到乙地的路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程之比是 1： 2：3，某人走这三段路所用的时间之比是 4：5：6。已知他上坡时的速度为每小时 2.5 千米，路程全长为 20 千米。此人从甲地走到乙地需多长时间？ 要求从甲地走到乙地需多长时间，先求上坡时用的时间。上坡的路程为 20× 1 1+2+3 =10 3 （千米），上坡的时间为10 3 ÷2.5=4 3 （小时），从甲地走到乙地所需的时间 为：4 3 ÷ 4 4+5+6 =5（小时） 答：此人从甲地走到乙地需 5 小时。 练习 2： 1、从甲地到乙地的路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程之比是 2：3：5， 小亮走这三段路所用的时间之比是 6：5：4。已知小亮走平炉时的速度为每小时 4.5 千米，他从甲地走到乙地共用了 5 小时。问：甲、乙两地相距多少千米？ 2、小明去登山，上午 6 点出发，走了一段平坦的路，爬上了一座山，在山顶停 了 1 小时后按原路返回，中午 11 点回到家。已知他走平路的速度为每小时 4 千米， 上坡速度为每小时 3 千米，下坡速度为每小时 6 千米。问：小明一共走了多少千米？ 3、青青从家到学校正好要翻一座小山，她上坡每分钟行 50 米，下坡速度比上坡 快 40%，从就秒到学校的路程为 2800 米，上学要用 50 分钟。从学校回家要用多少时 间？ 【答案】1.走平路所用的时间：5× 456 5  = 3 5 （时） 平路路程：4.5× 3 5 =7.5（千米） 甲、乙两地的距离：7.5÷ 532 3  =25（千米） 2.16 千米 3.2800÷50+2800÷（50+50×40%）-50=46（分） 【例题 3】甲、乙两人分别从 A、B 两地出发，相向而行，出发时他们的速度比是 172 3：2。他们第一次相遇后，甲的速度提高了 20%，乙的速度提高了 30%。这样，当几 B 地时，乙离 A 地还有 14 千米。那么 A、B 两地间的距离是多少千米？ 把 A、B 两地的路程平均分成 5 份，第一次相遇，甲走了 3 份的路程，乙走了 2 份的路程，当他们第一次相遇后，甲、乙的速度比为[3×（1+20%）]：[2×（1+30%）]=18： 13。甲到达 B 点还需行 2 份的路程，这时乙行了 2÷18×13=1 4 9 份路程，从图 35-3 可以看出 14 千米对应（5—2—14 9 ）份 [3×（1+20%）]：[2×（1+30%）]=18：13 2÷18×13=14 9 （份） 5—（2+14 9 ）=15 9 （份） 14÷15 9 ×5=45（千米） 答：A、B 两地间的距离是 45 千米。 练习 3： 1、甲、乙两人步行的速度比是 13：11，他们分别由 A、B 两地同时出发相向而行， 0.5 小时后相遇。如果他们同向而行，那么甲追上乙需要几小时？ 2、从 A 地到 B 地，甲要走 2 小时，乙要走 1 小时 40 分钟。若甲从 A 地出发 8 分 钟后，乙从 A 地出发追甲。乙出发多久能追上甲？ 3、甲、乙两车分别从 A、B 两地出发，相向而行。出发时，甲、乙的速度比是 5： 4，相遇后，甲的速度减少 20%，乙的速度增加 20%，这样，当甲到达 B 地时，乙离 A 地还有 10 千米。那么，A、B 两地相距多少千米？ 【答案】1.（13+11）×0.5=12（长度单位）12÷（13-11）=6（时） 2. 120 1 ×8÷（ 100 1 - 120 1 ）=40（分） 3.[5×（1-20%）]：[4×（1+20%）]=5:6 173 4÷5×6= 5 44 （份） 10÷（5- 5 44 ）×（5+4）=450（千米） 【例题 4】甲、乙两班学生到离校 24 千米的飞机场参观，一辆汽车一次只能坐一 个班的学生。为了尽快到达机场，两个班商定，由甲班先坐车，乙班步行，同时出发。 甲班学生在中途下车步行去机场，汽车立即返回接途中步行的乙班同学。已知凉拌学 生步行的速度相同，汽车的速度是步行的 7 倍，汽车应在距机场多少千米处返回接乙 班同学，才能使两班同学同时到达机场（学生上下车及汽车换向时间不计算）？ 如图 35-4 所示，汽车到达甲班学生下车的地方又返回到与乙班学生相遇的地点， 汽车所行路程应为乙班不行的 7 倍，即比乙班学生多走 6 倍，因此汽车单程比乙班步 行多（6÷2）=3（倍）。 汽车返回与乙班相遇时，乙班步行的路程与甲班学生步行到机场的路程相等。由 此得出汽车送甲班学生下车地点到几长的距离为学校到机场的距离的 1/5。列算式为 24÷（1+3+1）=4.8（千米） 答：汽车应在距飞机场 4.8 千米处返回接乙班学生，才能使两班学生同时到达 飞机场。 练习 4： 1、红星小学有 80 名学生租了一辆 40 座的车去还边观看日出。未乘上车的学生 步行，和汽车同时出发，由汽车往返接送。学校离还边 48 千米，汽车的速度是步行 的 9 倍。汽车应在距还边多少千米处返回接第二批学生，才能使学生同时到达还边？ 2、一辆汽车把货物从甲地云往乙地往返只用了 5 小时，去时所用的时间是回来 的 1 1 2 倍，去时每小时比回来时慢 17 千米。汽车往返共行了多少千米？ 3、甲、乙两人以同样的速度，同时从 A、B 两地相向出发，内向遇后甲的速度提 高了1 3 ，用 2 1 2 小时到达 B 地。乙的速度减少了1 6 ，再用多少小时可到达 A 地？ 174 【答案】1.（9-1）÷2=4 48÷（1+4+1）=8（千米） 2.回来时时间：5÷（1+ 2 11 ）=2（时） 去时所用时间 5-2=3（时） 往返共行路程 17×2÷（3-2）×3×2=204（千米） 3.4 时 【例题 5】一辆汽车从甲地开往乙地，如果把车速提高 20%，可以比原定时间提 前 1 小时到达；如果按原速行驶 120 千米后，再将速度提高 25%，则可提前 40 分钟到 达。那么甲、乙两地相距多少千米？ 此题是将行程、比例、百分数三种应用题综合在了一起。解题时，我们可先求出 改车按原定速度到达乙地所需的时间，再求出甲、乙两地的路程。 由车速提高 20%可知，现在速度与原来速度的比是（1+20%）：1=6：5，路程一定， 所需时间比是速度比的反比。这样可算出原定时间为 6 小时。按原速行驶 120 千米后， 速度提高 25%可知，现速与原速的比是（1+25%）：1=5：4，即所需时间比为 4：5，可 算出行驶 120 千米后，还需2 3 ÷（5—4）×5=31 3 （小时），这样 120 千米占全程的（1—1 6 ×31 3 ），即可算出甲、乙两地的距离。 现速与原速的比：（1+20%）：1=6：5 原定行完全程的时间：1÷（6—5）×6=6（小时） 行 120 千米后，加快的速度与原速的比：（1+25%）：1=5：4 行 120 千米后，还需行走的时间：2 3 ÷（5—4）×5=31 3 （小时） 甲、乙两地的距离：120÷（1—1 6 ×31 3 ）=270（千米） 答：甲、乙两地的距离 270 千米。 练习 5： 1、一辆车从甲地开往乙地。如果把车速提高 25%，呢么可以比原定时间提前 24 分钟到达；如果以原速形式 80 千米后，再将速度提高1 3 ，那么可以提前 10 分钟到达 乙地。甲、乙两地相距多少器秒年米毫？ 2、一个正方形的一边减少 20%，另一边增加 2 米，得到一个长方形。这个长方形 的面积与原正方形的面积想等。原正方形面积是多少平方米？ 3、客、货车同时从甲、乙两地相对开出，相遇时客、货两车所行路程的比是 5： 175 4，相遇后货车每小时比相遇前每小时多走 27 千米。客车仍按原速前进，结果两车同 时到达对方的出发站，已知客车一共行了 10 小时。甲、乙两地相距多少千米？ 【答案】1.120 千米 2.64 平方米 3.600 千米 176 第 36 周流水行船问题 一、知识要点 当你逆风骑自行车时有什么感觉？是的，逆风时需用很大力气，因为面对的是迎 面吹来的风。当顺风时，借着风力，相对而言用里较少。在你的生活中是否也遇到过 类似的如流水行船问题。 解答这类题的要素有下列几点：水速、流速、划速、距离，解答这类题与和差问 题相似。划速相当于和差问题中的大数，水速相当于小数，顺流速相当于和数，逆流 速相当于差速。 划速=（顺流船速+逆流船速）÷2； 水速=（顺流船速—逆流船速）÷2； 顺流船速=划速+水速； 逆流船速=划速—水速； 顺流船速=逆流船速+水速×2； 逆流船速=逆流船速—水速×2。 二、精讲精练 【例题 1】一条轮船往返于 A、B 两地之间，由 A 地到 B 地是顺水航行，由 B 地到 A 地是逆水航行。已知船在静水中的速度是每小时 20 千米，由 A 地到 B 地用了 6 小时， 由 B 地到 A 地所用的时间是由 A 地到 B 地所用时间的 1.5 倍，求水流速度。 在这个问题中，不论船是逆水航行，还是顺水航行，其行驶的路程相等，都等于 A、B 两地之间的路程；而船顺水航行时，其形式的速度为船在静水中的速度加上水流 速度，而船在怒水航行时的行驶速度是船在静水中的速度与水流速度的差。 解：设水流速度为每小时 x 千米，则船由 A 地到 B 地行驶的路程为[（20+x）×6] 千米，船由 B 地到 A 地行驶的路程为[（20—x）×6×1.5]千米。列方程为 （20+x）×6=（20—x）×6×1.5 x=4 答：水流速度为每小时 4 千米。 练习 1： 1、水流速度是每小时 15 千米。现在有船顺水而行，8 小时行 320 千米。若逆水 行 320 千米需几小时？ 177 2、水流速度每小时 5 千米。现在有一船逆水在 120 千米的河中航行需 6 小时，顺 水航行需几小时？ 3、一船从 A 地顺流到 B 地，航行速度是每小时 32 千米，水流速度是每小时 4 千 米，2 1 2 天可以到达。次船从 B 地返回到 A 地需多少小时？ 答案 1、逆水速度：320÷8-15-15 =40-15-15 =10（千米／小时） 逆水时间：320÷10=32（小时） 答：若逆水行 320 千米，需要 32 小时。 2、解: (小时) 答:顺水航行需 4 小时. 3、顺水速度=船速+水流速度 逆水速度=船速-水流速度 水流速度=(顺水速度-逆水速度)/2 船速=(顺水速度+逆水速度)/2 船速 千米/小时 顺流行驶时间 小时 路程 千米 返回时速度为逆水 千米/小时 178 返回需要时间 小时 或者用比例做法，路程一定，速度比等于时间的反比 去时速度 千米/小时，回来时速度 千米/小时 设返回用 a 小时 ：60 小时 【例题 2】有一船行驶于 120 千米长的河中，逆行需 10 小时，顺行要 6 小时，求 船速和水速。 这题条件中有行驶的路程和行驶的时间，这样可分别算出船在逆流时的行驶速度 和顺流时的行驶速度，再根据和差问题就可以算出船速和水速。列式为 逆流速：120÷10=12（千米/时） 顺流速：120÷6=12（千米/时） 船速：（20+12）÷2=16（千米/时） 水速：（20—12）÷2=4（千米/时） 答：船速是每小时行 16 千米，水速是每小时行 4 千米。 练习 2： 1、有只大木船在长江中航行。逆流而上 5 小时行 5 千米，顺流而下 1 小时行 5 千米。求这只木船每小时划船速度和河水的流速各是多少？ 2、有一船完成 360 千米的水程运输任务。顺流而下 30 小时到达，但逆流而上则 需 60 小时。求河水流速和静水中划行的速度？ 3、一海轮在海中航行。顺风每小时行 45 千米，逆风每小时行 31 千米。求这艘海 轮每小时的划速和风速各是多少？ 答案 1、 从题目可以得出逆流而上 1 小时行 1KM 假设水流速度是 X KM/H，船行速 度是 Y KM/H。 X+Y=5 X=5-Y Y-X=1 Y-（5-Y）=1 Y-5+Y=1 2Y=6 Y=3 在 把 Y 带入 X+Y=5 X+3=5 X=2 答：船速度和河水流速各是 3KM/H 和 179 2KM/H 2、解：360÷30＝12(千米/小时) ，360÷60＝6(千米/小时) ， (12－6)÷2＝3(千 米/小时)，(12＋6)÷2＝9(千米/小时)故答案为：3 千米/小时；9 千米/小时 解析 先求出顺流速度和逆流速度，再算出河水速度和静水速度. 掌握顺流速度和逆流速度的含义. 3、解：(45－31)÷2 =14÷2 =7(千米/时) 31＋7=38(千米/时) 答：海轮的划速是 38 千米/时，风速是 7 千米/时. 故答案为： 38 千米/时；7 千米/时. 解析 依据题意，海轮顺风时的速度=船速+风速=45，逆风时的速度=船速－风速=31， 根据和差问题的思路(两数和－两数差)÷2=较小的数解答即可. 【例题 3】轮船以同一速度往返于两码头之间。它顺流而下，行了 8 小时；逆流 而上，行了 10 小时。如果水流速度是每小时 3 千米，求两码头之间的距离。 在同一线段图上做下列游动性示意图 36-1 演示： 因为水流速度是每小时 3 千米，所以顺流比逆流每小时快 6 千米。如果怒六时也 行 8 小时，则只能到 A 地。那么 A、B 的距离就是顺流比逆流 8 小时多行的航程，即 6 ×8=48 千米。而这段航程又正好是逆流 2 小时所行的。由此得出逆流时的速度。列算 180 式为 （3+3）×8÷（10—8）×10=240（千米） 答：两码头之间相距 240 千米。 练习 3： 1、一走轮船以同样的速度往返于甲、乙两个港口，它顺流而下行了 7 小时，逆流 而上行了 10 小时。如果水流速度是每小时 3.6 千米，求甲、乙两个港口之间的距离。 2、一艘渔船顺水每小时行 18 千米，逆水每小时行 15 千米。求船速和水速各是多 少？ 3、沿河有上、下两个市镇，相距 85 千米。有一只船往返两市镇之间，船的速度 是每小时 18.5 千米，水流速度每小时 1.5 千米。求往返依次所需的时间。 答案 1、解：设轮船的速度为每小时 x 千米. (20.4+3.6)×7=168(千米) 答：甲、乙两个港口之间的距离是 168 千米. 故答案为： 168 千米 这道题的关键是正确确定轮船速度为未知数 x，根据题目中的等量关系，列出 方程，再求出方程的解，注意格式要写解设，等号要对齐.然后再求出两港口之 间的距离. 解析 这道题可以用方程来解答，设轮船的速度为未知数，求出轮船速度后，再求出 甲乙两个港口之间的距离. 2、解:因为船速一定, 181 故有 水速 水速, 2 水速=4,水速 (千米); 船速 (千米). 答:船速每小时 10 千米,水速每小时 2 千米. 解析 船的顺水速=船速+水速,逆水速=船速-水速,将数据代入关系式,就能分别球的船 速和水速. 此题主要考查船的顺水速和逆水速,依据船的顺水速=船速+水速,逆水速=船速- 水速. 3、解: (小时) (小时) 答:顺水需要的时间是 4.25 小时,逆水需要的时间是 5 小时. 解析 用船速加上水流速度,就是顺水速,用 85 千米除以顺水速就是顺水所需要的时间; 再用船速减去水流的速度,即可求出逆水速,再用路程 85 千米除以逆水速,就是 逆水时需要的时间. 【例题 4】汽船每小时行 30 千米，在长 176 千米的河中逆流航行要 11 小时到达， 返回需几小时？ 依据船逆流在 176 千米的河中所需航行时间是 11 小时，可以求出逆流的速度。返 182 回原地是顺流而行，用行驶路程除以顺流速度，可求出返回所需的时间。 逆流速：176÷11=16（千米/时） 所需时间：176÷[30+（30—16）]=4（小时） 答：返回原地需 4 小时。 练习 4： 1、当一机动船在水流每小时 3 千米的河中逆流而上时，8 小时行 48 千米。返回 时水流速度是逆流而上的 2 倍。需几小时行 195 千米？ 2、已知一船自上游向下游航行，经 9 小时后，已行 673 千米，此船每小时的划速 是 47 千米。求此河的水速是多少？ 3、一只小船在河中逆流航行 3 小时行 3 千米，顺流航行 1 小时行 3 千米。求这只 船每小时的速度和河流的速度各是多少 答案 1、解：逆流船速=48÷8=6 千米/小时 静水船速=6+3=9 千米/小时 返回水流速度=3x2=6 千米/小时 返回速度=9+6=15 千米/小时 返回时间=195÷15=13 小时 答：需要 13 小时行 195 千米. 故答案为： 13 小时 2、解： 673÷9－47 ＝74 7/9－47 ＝27 7/9(千米) 答：河水的速度是 27 7/9 千米. 183 故答案为： 27 7/9 千米 解析 根据题意，经 9 小时后，已行 673 千米，可以求出每小时行多少千米，然后再 减去船的速度，就是水流的速度，由此即可解答. 本题解题关键是根据题目中的条件：已知一艘船自上游向下游航行，经 9 小时 后，已行 673 千米，求出每小时行多少千米，然后减去每小时的船速就是河水 的速度. 3、解：船速+水速=3(千米/时) 船速－水速=3÷3=1(千米/时) 船速：(3+1)÷2=2(千米/时) 水速：3－2=1(千米/时) 答：船速是 2 千米/时，水速是 1 千米/时. 故答案为： 2 千米/时；1 千米/时. 【例题 5】有甲、乙两船，甲船和漂流物同时由河西向东而行，乙船也同时从河 东向西而行。甲船行 4 小时后与漂流物相距 100 千米，乙船行 12 小时后与漂流物相 遇，两船的划速相同，河长多少千米？ 漂流物和水同速，甲船是划速和水速的和，甲船 4 小时后，距漂流物 100 千米， 即每小时行 100÷4=25（千米）。乙船 12 小时后与漂流物相遇，所受的阻力和漂流物 的速度等于划速。这样，即可算出河长。列算式为 船速：100÷4=25（千米/时） 河长：25×12=300（千米） 答：河长 300 千米。 练习 5： 1、有两只木排，甲木排和漂流物同时由 A 地向 B 地前行，乙木排也同时从 B 地向 184 A 地前行，甲木排 5 小时后与漂流物相距 75 千米，乙木排行 15 小时后与漂流物相遇， 两木排的划速相同，A、B 两地长多少千米？ 2、有一条河在降雨后，每小时水的流速在中流和沿岸不同。中流每小时 59 千米， 沿岸每小时 45 千米。有一汽船逆流而上，从沿岸航行 15 小时走完 570 千米的路程， 回来时几小时走完中流的全程？ 3、有一架飞机顺风而行 4 小时飞 360 千米。今出发至某地顺风去，逆风会，返回 的时间比去的时间多 3 小时。已知逆风速为 75 千米/小时，求距目的地多少千米？ 答案 1、船速=75÷5=15 千米/时 全程=15×15=225 千米 解析 2、逆流航速：570÷15=每小时 38 千米，逆流时，航速=船速-水流速度，所以 船速=45+38=每小时 83 千米回来为顺流，航速=船速+水流速度=83+59=142 回 来时间=570÷142=4.01 小时 3、∵顺风而行 4 小时飞 360 千米 ∴顺风速度 90 千米/时, ∵逆风回,返回的时间比去的时间多 3 小时.已知逆风速为 75 千米/时 ∴顺风时间 小时 ∴距目的地 千米 185 第 37 周对策问题 一、知识要点 同学们都熟悉“田忌与齐王赛马”的故事，这个故事给我们的启示是：田忌采用 了“扬长避短”的策略，取得了胜利。 生活中的许多事物都蕴含着数学道理，人们在竞赛和争斗中总是玩游戏，大至体 育比赛、军事较量等，人们在竞赛和争斗中总是希望自己或自己的一方获取胜利，这 就要求参与竞争的双方都要制定出自己的策略，这就是所谓“知己知彼，百战不殆”。 哪一方的策略更胜一筹，哪一方就会取得最终的胜利。 解决这类问题一般采用逆推法和归纳法。 二、精讲精练 【例题 1】两个人做一个移火柴的游戏，比赛的规则是：两人从一堆火柴中可轮 流移走 1 至 7 根火柴，直到移尽为止。挨到谁移走最后一根火柴就算谁输。如果开始 时有 1000 根火柴，首先移火柴的人在第一次移走多少根时才能在游戏中保证获胜。 先移火柴的人要取胜，只要取走第 999 根火柴，即利用逆推法就可得到答案。 设先移的人为甲，后移的人为乙。甲要取胜只要取走第 999 根火柴。因此，只要 取到第 991 根就可以了（如乙取 1 根甲就取 7 根；如乙取 2 根甲就取 6 根。依次类推， 甲取的与乙取的之和为 8根火柴）。由此继续推下去，甲只要取第983根，第975根，…… 第 7 根就能保证获胜。 所以，先移火柴的人要保证获胜，第一次应移走 7 根火柴。 练习 1： 1、一堆火柴 40 根，甲、乙两人轮流去拿，谁拿到最后一根谁胜。每人每次可以 拿 1 至 3 根，不许不拿，乙让甲先拿。问：谁能一定取胜？他要取胜应采取什么策略？ 2、两人轮流报数，规定每次报的数都是不超过 8 的自然数，把两人报的数累加 起来，谁先报到 88，谁就获胜。问：先报数者有必胜的策略吗？ 3、把 1994 个空格排成一排，第一格中放一枚棋子，甲、乙两人轮流移动棋子， 每人每次可后移 1 格、2 格、3 格，谁先移到最后一格谁胜。先移者确保获胜的方法 是什么？ 答案 186 1、解：乙一定能取胜，他采取让甲先拿，乙每次拿的根数要保持与甲拿的根数 和为 4，即甲拿 1，乙则拿 3；甲拿 2，乙则拿 2；甲拿 3，乙则拿 1，便可取胜. 故答案为： 乙一定能取胜，他采取让甲先拿，乙每次拿的根数要保持与甲拿的根数和为 4， 即甲拿 1，乙则拿 3；甲拿 2，乙则拿 2；甲拿 3，乙则拿 1，便可取胜. 解析 仔细看题，读懂题意，细心推敲字词句，准确弄懂题目意图，本题主要练习的 是倍数、因数的意义,40 是 4 的整数倍,乙只要与甲拿的根数和为 4，即甲拿 1， 乙则拿 3；甲拿 2，乙则拿 2；甲拿 3，乙则拿 1，乙便可取胜. 看清题意，特别要注重培养具体问题具体分析的习惯和灵活运用知识的能力， 让甲先拿，乙每次拿的根数要保持与甲拿的根数和为 4，即甲拿 1，乙则拿 3； 甲拿 2，乙则拿 2；甲拿 3，乙则拿 1，乙便可取胜.这样，才能使学生对应用题 算得正确迅速. 2、能报的数有 1,2,3,4,5,6 ∴,如果 66 是胜利,则 也是胜利 因为对方 1,你就 6,对方 2,你就 5,以此类推. 于是,3 是第一个必胜点.10 是第二个,以此类推. 就看谁抢到这些数字 直接就报 3 则必胜 3、解：因为，1994 个空格，走到终点需要 1993 步(起点不算)， (1994-1)÷(1+3)=498…1，先移者第一次向右移 1 格，以后每一轮保证向右移的 格数与对方加起来是 4 格，由此，先移者胜．故答案为：解析：因为， 187 (1994-1)÷(1+3)=498…1，所以，先移者确保获胜的方法是：第一次向右移 1 格， 即移到第 2 格，以后每一轮保证向右移与对方加起来是 4 格，由此先移者获胜． 解答此题的关键是，根据所给的格数和所要求的移动格子数，判断出先移者第 一次移动的格数，及先移者每次移动的格子数，先行者即可获胜． 【例题 2】有 1987 粒棋子。甲、乙两人分别轮流取棋子，每次最少取 1 粒，最多 取 4 粒，不能不取，取到最后一粒的为胜者。现在两人通过抽签决定谁先取。你认为 先取的能胜，还是后取的能胜？怎样取法才能取胜？ 从结局开始，倒推上去。不妨设甲先取，乙后取，剩下 1 至 4 粒，甲可以一次拿 完。如果剩下 5 粒棋子，则甲不能一次拿完，乙胜。因此甲想取胜，只要在某一时刻 留下 5 粒棋子就行了。不妨设甲先取，则甲能取胜。甲第一次取 2 粒，以后无论乙拿 几粒，甲只要使自己的粒数与乙拿的粒数之和正好等于 5，这样，每一轮后，剩下的 棋子粒数总是 5 的倍数，最后总能留下 5 粒棋子，因此，甲先取必胜。 练习 2： 1、甲、乙两人轮流从 1993 粒棋子中取走 1 粒或 2 粒或 3 粒，谁取到最后一粒的 是胜利者，你认为先取的能获胜，还是后取的能获胜，应采取什么策略？ 2、有 1997 根火柴，甲、乙两人轮流取火柴，每人每次可取 1 至 10 根，谁能取 到最后一根谁为胜利者，甲先取，乙后取。甲有获胜的可能吗？取胜的策略是什么？ 3、盒子里有 47 粒珠子，两人轮流取，每次最多取 5 粒，最少取 1 粒，谁最先把 盒子的珠子取完，谁就胜利，小明和小红来玩这个取珠子的游戏，先名先、小红后， 谁胜？取胜的策略是什么？ 答案 1、1、后拿者,只要不出错,可必胜。策略是：如果甲拿 1,乙拿 3,甲拿 2,乙 拿 2,甲拿 3,乙拿 1,这样每次合拿 4 支,可保乙必胜。2、先报数者有必胜的策略. 不超过 8,也就是可以报 ,拿起来为 余 7，先报 7,余下 81,然后 根据第二人的报数,先报数者用 9 减去第二者的报数,报出即可。(也就是要保证 两次报数之和为 9,如第二人报 6,先报者跟着报 2、解：先取者甲一定能胜；因为 1997=181×11+6，甲开始取 6 根，余下 99 根 188 是 11 的倍数，这时不论乙取多少，甲再取的火柴根数与乙刚才取的数目凑成 11（这时余下 88 根，仍是 11 的倍数）；依此法进行，直至最后余下 11 根火柴 时，轮到乙取，这时不论乙取几根火柴时，余下火柴甲都可一次取完．故答案 为：如果不许不拿的话（即至少拿 1 根），肯定不公平，因为先拿的必胜。 先拿取胜的方法是：第一次取 1 根即可。 因为 1997/（1+10）=181……6 也就是说先取掉 1 根后所剩余的是 11 的倍数， 无论后取者乙如何取，先取者甲总能使剩余火柴数保持为 11 的倍数（乙取 1， 则甲取 10；乙取 2，则甲取 9，类推），即火柴每次以 11 个 11 个减少，到最 后必然只剩 11 个，这时无论乙如何取，甲总能取到最后 1 根。 此题属于较难的逻辑推理题，应根据题目要求和数的特点，进行分析，进而得 出问题答案． 解析 解决这类问题一般采用逆推法和归纳法 3、解： 小明胜.取胜的策略是：小明先取 3 粒，然后后面的就剩下了 84 粒，这 84 粒可 以分成 14 组，每组 6 粒，不管小红每次拿几粒，小明只要保证和小红拿的加在 一起是 6 粒，小明就能保证先把珠子取完而获胜. 解析 两人轮流取珠子，每次最多取 5 粒，最少取 1 粒，小明先取 3 粒，然后后面的 就剩下了 84 粒，这 84 粒可以分成 14 组，每组 6 粒，不管小红每次拿几粒，小 明只要保证和小红拿的加在一起是 6 粒，小明就能保证先把珠子取完而获胜. 这是一道预测简单事件发生的可能性的问题，两人轮流取珠子，每次最多取 5 粒，最少取 1 粒，小明先取 3 粒，然后后面的就剩下了 84 粒，这 84 粒可以分 189 成 14 组，每组 6 粒，不管小红每次拿几粒，小明只要保证和小红拿的加在一起 是 6 粒，小明就能保证先把珠子取完而获胜，同学们在做这类题时要认真分析， 仔细推敲，才能真确答题. 【例题 3】在黑板上写有 999 个数：2，3，4，……，1000。甲、乙两人轮流擦去 黑板上的一个数（甲先擦，乙后擦），如果最后剩下的两个数互质，则甲胜，否则乙 胜。谁必胜？必胜的策略是什么？ 甲先擦去 1000，剩下的 998 个数，分为 499 个数对：（2，3），（4，5），（6，7），…… （998，999）。可见每一对数中的两个数互质。如果乙擦去某一对中的一个，甲则接 着擦去这对中的另一个，这样乙、甲轮流去擦，总是一对数、一对数地擦，最后剩下 的一对数必互质。所以，甲必胜。 练习 3： 1、甲、乙两人轮流从分别写有 1，2，3，……，99 的 99 张卡片中任意取走一张， 先取卡的人能否保证在他取走的第 97 张卡片时，使剩下的两张卡片上的数一个是奇 数，一个是偶数？ 2、两个人进行如下游戏，即两个人轮流从数列 1，2，3，……，100，101 勾去 九个数。经过这样的 11 次删除后，还剩下两个数。如果这两个数的差是 55，这时判 第一个勾数的人获胜。问第一个勾数的人能否获胜？获胜的策略是什么？ 3、在黑板上写 n—1（n＞3）个数：2，3，4，……，n。甲、乙两人轮流在黑板 上擦去一个数。如果最后剩下的两个数互质，则乙胜，否则甲胜。N 分别取什么值时： （1）甲必胜？（2）乙必胜？必胜的策略是什么？ 答案 1、解:因为 99 张卡中奇数卡会比偶数卡多出一张,假设先抽卡的人是甲,他第一 张先把一张奇数卡抽掉,那么就剩下 98 张卡奇偶各半,只要保证乙抽奇数卡时甲 就抽偶数卡,乙抽偶数卡时甲就抽奇数卡,这样当最后甲抽走第 97 张卡的时候, 剩下的两张就自然是一张奇数,一张偶数.解析：通过分析可知:因为 99 张卡中奇 数卡会比偶数卡多出一张,假设先抽卡的人是甲,他第一张先把一张奇数卡抽掉, 那么就剩下 98 张卡奇偶各半,只要保证乙抽奇数卡时甲就抽偶数卡,乙抽偶数卡 190 时甲就抽奇数卡,这样当最后甲抽走第 97 张卡的时候,剩下的两张就自然是一张 奇数,一张偶数.据此解答即可. 解答此题的关键是知道先取的数是多少,和每次应该怎么取,即可得出答案. 2、解：首先你要先想一下 能配对的哪有哪些, , , 你就会发现只有 这九个数无法配对,因此,第一次九删除这九个数,好办 了,第二个人如果删了 1,我就删 56,这样下去,5 个回合后顶多能删除 对,而我们一共有 对也就是中有一对数组存在. 如果第二个人把配对的如 删了,我们就必须这么做,他在哪一个回合中删 了多少个配对,我们也删对少个配对,与他保持一致就行了. 3、解： (1)当 n=2006 时，甲采用如下策略：先擦去 2006，然后将剩下的 2004 个自然 数分为 1002 组，(2，3)(4，5)，…(2004，2005)，乙擦去哪个组的一个数，甲接 着就擦去同一组的另个数，这样最后剩下的两个数是相邻的两个数，而相邻的 两个数是互质的，所以甲必胜；(2)乙必胜的策略：①当甲始终擦去偶数时，乙 留下一对不互质的奇数，例如，3 和 9，而擦去其余的奇数；②当甲从某一步开 始擦去奇数时，乙可以跟着擦去奇数，这样最后给乙留下的三个数有两种情况， 一种是剩下一个偶数和两个奇数 3 和 9，此时乙擦掉那个偶数，另一种是至少 两个偶数，此时乙留下两个偶数就可以了． 通过假设归纳试验得出最终的结果，掌握使用策略解决问题. 解析: 这里关键是第一次写什么数，写多少个数，谁先擦掉一个数，这是一个策略问 题。 191 【例题 4】甲、乙两人轮流在黑板上写下不超过 10 的自然数，规定禁止在黑板上 写已写过的数的约数，最后不能写的人为失败者。如果甲第一个写，谁一定获胜？写 出一种获胜的方法。 这里关键是第一次写什么数，总共只有 10 个数，可通过归纳试验。 甲不能写 1，否则乙写 6，乙可获胜；甲不能写 3，5，7，否则乙写 8，乙可获胜； 甲不能写 4，9，10，否则乙写 6，乙可获胜。因此，甲先写 6 或 8，才有可能获胜。 甲可以获胜。如甲写 6，去掉 6 的约数 1，2，3，6，乙只能写 4，5，7，8，9， 10 这六个数中的一个，将这六个数分成（4，5），（7，9），（8，10）三组，当乙写某 组中的一个数，甲就写另一个数，甲就能获胜。 练习 4： 1、甲、乙两人轮流在黑板上写上不超过 14 的自然数。书写规则是：不允许写黑 板上已写过的数的约数，轮到书写人无法再写时就是输者。现甲先写，乙后写，谁能 获胜？应采取什么对策？ 2、甲、乙两人轮流从分别写有 3，4，5，……，11 的 9 张卡片中任意取走一张， 规定取卡人不能取已取过的数的倍数，轮到谁无法再取时，谁就输。现甲先取，乙后 取，甲能否必然获绳？应采取的对策是什么？ 3、甲、乙两人轮流在 2004 粒棋子中取走 1 粒，3 粒，5 粒或 7 粒棋子。甲先取， 乙后取，取到最后一粒棋子者为胜者。甲、乙两人谁能获胜？ 答案 1、甲取胜。 第一步 甲写 12，剩下的数有（5,10）、（7,14）和 8、9、11、13 乙如写 5,甲写 7,乙 如写 10 ,甲写 14 剩下 8、9、11、13 甲总能写到最后一个数,从而获胜. 2、解：共 9 张，则先抽的人要比后抽的人多抽一张，则甲先抽的必然获胜.因 题中规定取卡人不能取已取过的数的倍数，故先从所给数中最大的开始抽， 则先抽的要多抽一张，则后抽的就输了.答：甲必然获胜，采取从最大的数 开始抽的对策.故答案为：必然；从最大的数开始抽取 .此类型题目考查我们 192 对通过一一列举措施来解决问题的掌握方法，再根据题目意思我们进行作答. 在作答过程中要读懂题目，避免出错.解析首先我们看看这道题目，共有 9 张卡片，则谁先抽取的则谁就能获胜，再根据题意进行解答即可。 3、甲胜 甲在第一次取走 4 粒此时胜 2000 粒，轮到乙取乙无论取多少粒，甲都可以 取相应的粒数，使得甲取的粒数与乙取的粒数之和为 8(例如乙取 3 粒，甲 取 5 粒等)这样取一轮后，剩下 1992 粒，也能被 8 整除，以此类推当经过 了 249 轮之后，剩下 8 粒，轮到乙取此时无论乙取多少粒，甲都可以取完 剩下的棋子，所以最后是甲胜 【例题 5】有一个 3×3 的棋盘以及 9 张大小为一个方格的卡片如图 37-1 所示，9 张卡片分别写有：1，3，4，5，6，7，8，9，10 这几个数。小兵和小强两人做游戏， 轮流取一张卡片放在 9 格中的一格，小兵计算上、下两行 6 个数的和；小强计算左、 右两列 6 个数的和，和数大的一方取胜。小兵一定能取胜吗？ 如图 37-1 所示，由于 4 个角的数是两人共有的，因而和数的大小只与放在 A，B， C，D 这 4 个格中的数有关。 小兵要获胜，必须采取如下策略，尽可能把大数填入 A 或 C 格，尽可能将小数填 入 B 格或 D 格。 由于 1+10＜3+9，即 B+D＜A+C，小兵应先将 1 放在 B 格，如小强把 10 放进 D 格， 小兵再把 9 放进 A 格，这时不论小强怎么做，C 格中一定是大于或等于 3 的数，因而 小兵获胜。如小强把 3 放进 A 格，小兵只需将 9 放到 C 格，小兵也一定获胜。 练习 5： 1、在 5×5 的棋盘的右上角放一枚棋子，每一步只能向左、想下或向左下对角线 走一格。两人交替走，谁为胜者。必胜的策略是什么？ 2、甲、乙两人轮流往一个圆桌面上放同样大小的硬币，规则是每人每次只能放 一枚，硬币不能重叠，谁放完最后一枚硬币而使对方再无处可放，谁就获胜。如果甲 先放，那么他怎样才能取胜？ 3、两人轮流在 3×3 的方格中画“√”和“×”，规定每人每次至少画一格，至 193 多画三格，所有的格画满后，谁画的符号总数为偶数，谁就获胜。谁有获胜的策略？ 答案 1、解： 后走者必胜的策略“跟着前者走”，即前者走左格，后者也走左格，前者走下格， 后者也走下格，前者走对角线格，后者也走对角线格. 故答案为： 略 解析 找到制胜点利用倒推法进行分析. 局面已对称－抢后，跟随对方是解本题关键. 2、解：如果甲先放，他应该把硬币放在圆形桌面的圆心处，根据圆的对称性， 乙每放一枚硬币，甲总是可以在它的对称位置放一枚硬币，这样乙总是要寻找 位置来放，甲只要放在与乙对称的位置就行了，只要乙能找到位置，甲也总是 能找到位置，最后甲必然能够获胜.故答案为：如果甲先放，他应该把硬币放在 圆形桌面的圆心处. 解析 根据圆的对称性设计放硬币的方案. 理解圆的对称性是解决本题的关键. 3、解： 第一步画 1 格，你就画 3 格，他输；第一步画 2 格，你就画 2 格，他输；第一 步画 3 格，你就画 1 格，他输；画错就输 故答案为： 194 第一步画 1 格，你就画 3 格，他输；第一步画 2 格，你就画 2 格，他输；第一 步画 3 格，你就画 1 格，他输；画错就输. 解析 此题需要探索其中的规律，通过分析发现，第一步画 1 格，你就画 3 格，他输； 第一步画 2 格，你就画 2 格，他输；第一步画 3 格，你就画 1 格，他输；画错 就输. 此题的解题关键是考查学生对于探索规律的认识和理解，通过分析发现，第一 步画 1 格，你就画 3 格，他输；第一步画 2 格，你就画 2 格，他输；第一步画 3 格，你就画 1 格，他输；画错就输. 195 第 38 周应用同余问题 一、知识要点 同余这个概念最初是由伟大的德国数学家高斯发现的。同余的定义是这样的： 两个整数 a，b，如果它们除以同一自然数 m 所得的余数想同，则称 a，b 对于模 m 同余。记作：a≡b（mod ｍ）。读做：ａ同余于ｂ模ｍ。比如，12 除以 5，47 除以 5，它们有相同的余数 2，这时我们就说，对于除数 5，12 和 47 同余，记做 12≡47（mod 5）。 同余的性质比较多，主要有以下一些： 性质（1）：对于同一个出书，两个数之和（或差）与它们的余数之和（或差）同 余。比如：32 除以 5 余数是 2，19 除以 5 余数是 4，两个余数的和是 2+4=6。“32+19” 除以 5 的余数就恰好等于它们的余数和 6 除以 5 的余数。也就是说，对于除数 5， “32+19”与它们的余数和“2+4”同余，用符号表示就是：32≡2（mod 5），19≡4 （mod 5），32+19≡2+4≡1（mod 5） 性质（2）：对于同意个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。 性质（3）：对于同意个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这 个除数整除。 性质（4）：对于同意个除数，如果两个整数同余，那么它们的乘方仍然同余。 应用同余性质几萼体的关键是要在正确理解的基础上灵活运用同余性质。把求一 个较大的数除以某数的余数问题转化为求一个较小的数除以这个数的余数，使复杂的 题变简单，使困难的题变容易。 二、精讲精练 【例题 1】求 1992×59 除以 7 的余数。 应用同余性质（2）可将 1992×59 转化为求 1992 除以 7 和 59 除以 7 的余数的乘 积，使计算简化。1992 除以 7 余 4，59 除以 7 余 3。根据同余性质，“4×3”除以 7 的余数与“1992×59”除以 7 的余数应该是相同的，通过求“4×3”除以 7 的余数就 可知道 1992×59 除以 7 的余数了。 因为 1992×59≡4×3≡5（mod 7） 所以 1992×59 除以 7 的余数是 5。 练习 1： 1、求 4217×364 除以 6 的余数。 2、求 1339655×12 除以 13 的余数。 196 3、求 879×4376×5283 除以 11 的余数。 【答案】1.4217×364≡5×4≡2（mod 6） 2.1339655×12≡5×12≡8（mod 13） 3.879×4376×5283≡10×9×3≡6（mod 11） 【例题 2】已知 2001 年的国庆节是星期一，求 2010 年的国庆节是星期几？ 一星期有 7 天，要求 2010 年的国庆节是星期几，就要求从 2001 年到 2010 年的 国庆节的总天数被 7 除的余数就行了。但在甲酸中，如果我们能充分利用同余性质， 就可以不必算出这个总天数。 2001 年国庆节到 2010 年国庆节之间共有 2 个闰年 7 个平年，即有“366×2+365 ×7”天。因为 366×2≡2×2≡4（mod 7），365×7≡1×7≡0（mod 7），366×2+365 ×7≡2×2+1×7≡4+0≡4（mod 7） 答：2010 年的国庆节是星期五。 练习 2： 1、已知 2002 年元旦是星期二。求 2008 年元旦是星期几？ 2、已知 2002 年的“七月一日”是星期一。求 2015 年的“十月一日”是星期几？ 3、今天是星期四，再过 36515 是星期几？ 【答案】1.2008 年元旦是星期二。 2.2015 年 10 月 1 日是星期四。 3.36515 天是星期五。 【例题 3】求 2001 的 2003 次方除以 13 的余数。 2001 除以 13 余 12，即 2001≡12（mod 13）。根据同余性质（4），可知 2001 的 2003 次方≡12 的 2003 次方（mod 13），但 12 的 2003 次方仍然是一个很大的值，要 求它的余数比较困难。这时的关键就是要找出 12 的几次方对模 13 与 1 是同余的。经 试验可知 12 的平方≡1（mod 13），而 2003≡2×1001+1。所以（12 的平方）的 1001 次方≡1 的 1001（mod 13），即 12 的 2002 次方≡1（mod 13），而 12 的 2003 次方≡ 12 的 2002 次方×12。根据同余性质（2）可知 12 的 2002 次方×12≡1×12≡12（mod 13） 因为：2001 的 2003 次方≡12 的 2003 次方（mod 13） 12 的平方≡1（mod 13），而 2003≡2×1001+1 12 的 2003 次方≡12 的 2002 次方×12≡1×12≡12（mod 13） 所以 2001 的 2003 次方除以 13 的余数是 12。 练习 3： 197 1、求 16 的 200 次方除以 13 的余数。 2、求 3 的 92 次方除以 21 余几。 3、9 个小朋友坐成一圈，要把 35 的 7 次方粒瓜子平均分给他们，最后剩下几粒？ 【答案】1.16200 除以 13 的余数是 9. 2.392 除以 21 余数是 9. 3.最后剩下 8 粒. 【例题 4】自然数 16520，14903，14177 除以 m 的余数相同，m 最大是多少？ 自然数 16520，14903，14177 除以 m 的余数相同，换句话说就是 16520≡14903 ≡14177（mod m）。根据同余性质（3），这三个饿数同余，那么它们的差就能被 m 整 除。要求 m 最大是多少，就是求它们差的最大公约数是多少？ 因为 16520—14903=1617=3×7 的平方×11 16520—14177=2343=3×11×71 14903—14177=726=2×3×11 的平方 M 是这些差的公约数，m 最大是 3×11=33。 练习 4： 1、若 2836、4582、5164、6522 四个整数都被同一个两位数相除，所得的余数相 同。除数是多少？ 2、一个整数除 226、192、141 都得到相同的余数，且余数不为 0，这个整数是几？ 3、当 1991 和 1769 除以某一个自然数 m 时，余数分别为 2 和 1，那么 m 最小是多 少？ 【答案】1.4582-2836=1746=2×97×32 5164-4582=582=2×97×3 6522-5164=1358=2×97×7 因为除数是两位数，所以除数应是 97. 2.226-192=34=17×2 226×141=85=17×5 192-141=51=17×3 因为余数不为 0，所以求的应是 34,85,51 的不为 1 的公因数，所以这个整数是 17. 3.假设余数都是 2，那么这两个数就是 1991 和 1770，由于 1991 和 1770 同余。m 就能整除它们的差。1991-1770=221=13×17，经检验，m 最小是 13. 【例题 5】某数用 6 除余 3，用 7 除余 5，用 8 除余 1，这个数最小是几？ 我们可从较大的除数开始尝试。首先考虑与 1 模 8 同余的数，9≡1（mod 8），但 9 输以 7 余数不是 5，所以某数不是 9。17≡1（mod 8），17 除以 7 的余数也不是 5。 25≡1（mod 8），25 除以 7 的余数也不是 5。33≡1（mod 8），33 除以 7 的余数正好是 5，而且 33 除以 6 余数正好是 3，所以这个数最小是 33。上面的方法实际是一种列举 198 法，也可以简化为下面的格式： 被 8 除余 1 的数有：9，17，25，33，41，49，57，65，73，81，89，……其中 被 7 除余 5 的数有：33，89，……这些数中被 6 除余 3 的数最小是 33。 练习 5： 1、某数除以 7 余 1，除以 5 余 1，除以 12 余 9。这个数最小是几？ 2、某数除以 7 余 6，除以 5 余 1，除以 11 余 3，求此数最小值。 3、在一个圆圈上有几十个孔（如图 38-1），小明像玩跳棋那样从 A 孔出发沿逆时 针方向每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跑回 A 孔，他先试着每隔 2 孔跳一步，也 只能跳到 B 孔。最后他每隔 6 孔跳一步，正好跳回 A 孔。问：这个圆圈上共有多少个 孔？ 【答案】1.除以 7 余 1，除以 5 余 1 ，则这个数除以 35 也余 1，符合条件的数 有 36,71,106,141,176,210，…，其中除以 12 余 9 的数最小是 141. 2.此数最小是 146. 3.每隔 2 个孔跳一步，结果跳到 B 孔，换句话说就是被 3 除余 1.每隔 4 孔跳一 步，结果跳到 B 孔，就是被 5 除余 1.每隔 6 个孔跳一步，正好跳回 A 孔，就是被 7 整除。满足以上条件的两位数是 91。所以圆圈上共有 91 个孔。 199 第 39 周“牛吃草”问题 一、知识要点 牛吃草问题是牛顿问题，因牛顿提出而得名的。“一堆草可供 10 头牛吃 3 天，供 6 头牛吃几天？”这题很简单，用 3×10÷6=5（天），如果把“一堆草”换成“一片 正在生长的草地”，问题就不那么简单了。因为草每天走在生长，草的数量在不断变 化。这类工作总量不固定（均匀变化）的问题就是“牛吃草”问题。 解答这类题的关键是要想办法从变化中找到不变的量。牧场上原有的草是不变 的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以每天新长出的草是不变的。正确 计算草地上原有的草及每天长出的草，问题就容易解决了。 二、精讲精练 【例题 1】一片青草地，每天都匀速长出青草，这片青草可供 27 头牛吃 6 周或 23 头牛吃 9 周，那么这片草地可供 21 头牛吃几周？ 这片草地上的草的数量每天都在变化，解题的关键应找到不变量——即原来的草 的数量。因为总草量可以分成两部分：原有的草与新长出的草。新长出的草虽然在变， 但应注意到是匀速生长，因而这片草地每天新长出的草的数量也是不变的。 假设 1 头牛一周吃的草的数量为 1 份，那么 27 头牛 6 周需要吃 27×6=162（份）， 此时新草与原有的草均被吃完；23 头牛 9 周需吃 23×9=207（份），此时新草与原有 的草也均被吃完。而 162 份是原有的草的数量与 6 周新长出的草的数量的总和；207 份是原有的草的数量与 9 周新长出的草的数量的总和，因此每周新长出的草的份数为： （207-162）÷（9-6）=15（份），所以，原有草的数量为：162-15×6=72（份）。这 片草地每周新长草 15 份相当于可安排 15 头牛专吃新长出来的草，于是这片草地可供 21 头牛吃 72÷（21-15）＝12（周） 练习 1 1、一片草地，每天都匀速长出青草，如果可供 24 头牛吃 6 天，20 头牛吃 10 天， 那么可供 19 头牛吃几天？ 2、牧场上一片草地，每天牧草都匀速生长，这片牧草可供 10 头牛吃 20 天，或 者可供 15 头牛吃 10 天，问可供 25 头牛吃几天？ 3、牧场上的青草每天都在匀速生长，这片青草可供 27 头牛吃 6 周或 23 头牛吃 9 周，那么这片草地可供 21 头牛吃几周？ 200 【答案】1.每天长草量：（20×10-24×6）÷（10-6）=14（份） 原有草量：24×6-14×6=60（份） 可吃天数：60÷（19-14）=12（天） 2.每天长草量：（20×10-15×10）÷（20-10）=5（份） 原有草量：（10-5）×20=100（份） 可吃天数：100÷（25-5）=5（天） 3.每天长草量：（23×9-27×6）÷（9-6）=15（份） 原有草量：（27-15）×6=72（份） 可吃时间：72÷（21-15）=12（周） 【例题 2】由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定速度在减 少。已知某块草地上的草可供 20 头牛吃 5 天或可供 15 头牛吃 6 天。照此计算，可供 多少头牛吃 10 天？ 与例 1 不同的是，不仅没有新长出的草，而且原有的草还在减少，但是，我 们同样可以利用与例 1 类似的方法求出每天减少的草和原来的草的总量。 设 1 头牛 1 天吃的草为 1 份，20 头牛 5 天吃 100 份，15 头牛 6 天吃 90 份， 100-90=10（份），说明寒冷的天气使牧场 1 天减少青草 10 份，也就是寒冷导致的 每天减少的草量相当于 10 头牛在吃草。由“草地上的草可供 20 头牛吃 5 天”，再 加上寒冷导致的每天减少的草量相当于 10 头牛同时在吃草，所以原有草两有 （20+10）×5=150（份），由 150÷10=15 知道，牧场原有的草可供 15 头牛吃 10 天。由寒冷导致的原因占去 10 头牛吃的草，所以可供 5 头牛吃 10 天。 练习 2： 1、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草每天以均匀的速度在减少。经计算，牧场 上的草可供 20 头牛吃 5 天或可供 16 头牛吃 6 天。那么，可供 11 头牛吃几天？ 2、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草以固定速度在减少。已知牧场上的草可供 33 头牛吃 5 天或可供 24 头牛吃 6 天。照此计算，这个牧场可供多少头牛吃 10 天？ 3、经测算，地球上的资源可供 100 亿人生活 100 年，或可供 80 亿人生活 300 年。 假设地球新生成的资源增长速度是一样的，那么，为满足人类不断发展的需要，地球 最多能养活多少亿人？ 【答案】1.每天减少量：（20×5-16×6）÷（6-5）=4（份） 原有草量：（20+4）×5=120（份） 201 可吃天数：120÷（11+4）=8（天） 2.每天减少量：（33×5-24×6）÷（6-5）=21（份） 原有草量：（33+21）×5=270（份） 牛的数量：270÷10-21=6（头） 3.（80×300-100×100）÷（300-100）=70（亿） 【例题 3】自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。 已知男孩每分钟走 20 级台阶，女孩每分钟走 15 级台阶，结果男孩用 5 分钟到达楼上， 女孩用了 6 分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级台阶？ 与前两个题比较，“总的草量”变成了“扶梯的台阶总数”，“草”变成了“台阶”， “牛”变成了“速度”，也可以看成是牛吃草问题。 上楼的速度可以分为两部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自动扶 梯的速度。男孩 5 分钟走了 20×5=100（级），女孩 6 分钟走了 15×6=90（级），女孩 比男孩少走了 100—90=10（级），多用了 6—5=1（分钟），说明电梯 1 分钟走 10 级。 因男孩 5 分钟到达楼上，他上楼的速度是自己的速度与扶梯的速度之和。所以，扶梯 共有（20+10）×5=150（级） 练习 3： 1、自动扶梯以均匀速度行驶着，渺小明和小红从扶梯上楼。已知小明每分钟走 25 级台阶，小红每分钟走 20 级台阶，结果小明用 5 分钟，小红用了 6 分钟分别到达 楼上。该扶梯共有多少级台阶？ 2、两个顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走。在 20 秒钟里，男孩可走 27 级台 阶，女孩可走 24 级台阶，男孩走了 2 分钟到达另一端，女孩走了 3 分钟到达另一端， 该扶梯共有多少级台阶？ 3、两只蜗牛由于耐不住阳光的照射，从井顶逃向井底。白天往下爬，两只蜗牛 白天爬行的速度是不同的。一只每天白天爬 20 分米，另一只爬 15 分米。黑夜里往下 滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同的。结果一只蜗牛恰好用了 5 个昼夜到达井底，另 一只蜗牛恰好用了 6 个昼夜到达井底。那么，井深多少米？ 【答案】1.扶梯每分钟上行：（25×5-20×6）÷（6-5）=5（级） 扶梯共有台阶数：（25+5）×5=150（级） 2.扶梯每分钟上行：[24×（180÷20）-27×（120÷20）]÷（3-2）=54（级） 扶梯共有台阶数：27×（120÷20）-54×2=54（级） 202 3.每夜下滑：（20×5-15×6）÷（6-5）=10（分米） 井深：（20+10）×5=150（分米）=15（米） 【例题 4】一只船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，发现漏洞时已经进了 一些水。如果用 12 人舀水，3 小时舀完。如果只有 5 个人舀水，要 10 小时才能舀完。 现在要想 2 小时舀完，需要多少人？ 已漏进的水，加上 3 小时漏进的水，每小时需要（12×3）人舀完，也就是 36 人 用 1 小时才能舀完。已漏进的水，加上 10 小时漏进的水，每小时需要（5×10）人舀 完，也就是 50 人用 1 小时才能舀完。通过比较，我们可以得出 1 小时内漏进的水及 船中已漏进的水。 1 小时漏进的水，2 个人用 1 小时能舀完： （5×10—12×3）÷（10—3）=2 已漏进的水：（12—2）×3=30 已漏进的水加上 2 小时漏进的水，需 34 人 1 小时完成： 30+2×2=34 用 2 小时来舀完这些水需要 17 人：34÷2=17（人） 练习 4： 1、有一水池，池底有泉水不断涌出。用 10 部抽水机 20 小时可以把水抽干，用 15 部相同的抽水机 10 小时可以把水抽干。那么用 25 部这样的抽水机多少小时可以把 水抽干？ 2、有一个长方形的水箱，上面有一个注水孔，底面有一个出水孔，两孔同时打 开后，如果每小时注水 30 立方分米，7 小时可以注满水箱；如果每小时注水 45 立方 分米，注满水箱可少用 2.5 小时。那么每小时由底面小孔排出多少立方分米的水（设 每小时排水量相同）？ 3、有一水井，连续不段涌出泉水，每分钟涌出的水量相等。如果用 3 台抽水机 来抽水，36 分钟可以抽完；如果使用 5 台抽水机，20 分钟抽完。现在 12 分钟内要抽 完井水，需要抽水机多少台？ 【答案】1.每小时涌出水：（10×20-15×10）÷（20-10）=5（份） 原有泉水：（10-5）×20=100（份） 抽干需要：100÷（25-5）=5（时） 2.[30×7-45×（7-2.5）]÷2.5=3（立方分米） 203 3.每小时涌出水（3×36-5×20）÷（36-20）= 2 1 （份） 原有泉水：（3- 2 1 ）×36=90（份） 抽干需要抽水机：（90+ 2 1 ×12）÷12=8（台） 【例题 5】有三块草地，面积分别为 5，6，和 8 公顷。草地上的草一样厚，而且 长得一样快。第一块草荐地可供 11 头牛吃 10 天，第二块草地可供 12 头牛吃 14 天。 问第三块草地可供 19 头牛吃多少天？ 前几天我们接触的是在同一块草地上，同一个水池中，现在是三块面积不同的草 地。为了解决这个问题，只需将三块草地的面积统一起来。即 [5，6，8]=120 这样，第一块 5 公顷可供 11 头牛吃 10 天，120÷5=24，变为 120 公顷草地可供 11×24=264（头）牛吃 10 天 第二块 6 公顷可供12 头牛吃14 天，120÷6=20，变为 120 公顷草地可供12×20=240 （头）牛吃 14 天。 120÷8=15。问题变成：120 公顷草地可供 19×15=285（头）牛吃几天？ 因为草地面积相同，可忽略具体公顷数，原题可变为： 一块草地匀速生长，可供 264 头牛吃 10 天或供 240 头牛吃 14 天，那么可供 285 头牛齿及天？即 每天新长出的草：（240×14—264×10）÷（14—10）=180（份） 草地原有草：（264—180）×10=840（份） 可供 285 头牛吃的时间：840÷（285—180）=8（天） 答：第三块草地可供 19 头牛吃 8 天。 练习 5： 1、某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始 检票到等候检票的队伍消失，同时开 4 个检票口需 30 分钟，同时开 5 个检票口需 20 分钟。如果同时打开 7 个检票口，那么需多少分钟？ 2、快、中、慢三车同时从 A 地出发，追赶一辆正在行驶的自行车，三车的速度 分别是嵋小时 24 千米、20 千米、19 千米。快车追上自行车用了 6 小时，中车追上自 行车用了 10 小时，慢车追上自行车用多少小时？ 3、一个牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供 17 头牛吃 30 天，或供 19 204 头牛吃 24 天。现有一群牛吃了 6 天后卖掉 4 头，余下的牛又吃了 2 天将草吃完。这 群牛原来有多少头？ 【答案】1.每小时旅客增加：（4×30-5×20）÷（30-20）=2（份） 原有旅客：（4-2）×30=60（份） 需要时间：60÷（7-2）=12（分钟） 2.货车速度：（20×10-24×6）÷（10-6）=14（千米/时） 三车出发时货车距 A 地：（24-14）×6=60（千米） 慢车追上货车的时间：60÷（19-14）=12（时） 3.青草每天长出：（17×30-19×24）÷（30-24）=9（份） 原有青草：（17-9）×30=240（份） 假设 4 头牛不卖，一共吃掉青草：240+9×（6+2）+4×2=320（份） 这群牛原来有：320÷（6+2）=40（头） 205 第 40 周不定方程 一、知识要点 当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。如 5x－3y＝9 就是不定方程。这种方程的解是不确定的。如果不加限制的话，它的解有 无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。如 5x－3y＝9 的 解有： x＝2.4 x＝2.7 x＝3.06 x＝3.6 y＝1 y＝1.5 y＝2.1 y＝3 如果限定 x、y 的解是小于 5 的整数，那么解就只有 x＝3，Y＝2 这一组了。因此， 研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。 解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来 表示，然后再一定范围内试验求解。解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知 数的取值范围，减少试验的次数。 对于有 3 个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求 解。 解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当 的值。 二、精讲精练 【例题 1】求 3x+4y＝23 的自然数解。 先将原方程变形，y＝23－3x 4 。可列表试验求解： X 1 2 3 4 5 6 7 Y 5 × × × 2 × × 所以方程 3x+4y＝23 的自然数解为 X=1 x=5 Y=5 y=2 练习 1 1、求 3x+2y＝25 的自然数解。 2、求 4x+5y＝37 的自然数解。 3、求 5x－3y＝16 的最小自然数解。 206 【例题 2】求下列方程组的正整数解。 5x+7y+3z＝25 3x－y－6z＝2 这是一个三元一次不定方程组。解答的实话，要先设法消去其中的一个未知数， 将方程组简化成例 1 那样的不定方程。 5x+7y+3z＝25 ① 3x－y－6z＝2 ② 由①×2+②，得 13x+13y＝52 X+y＝4 ③ 把③式变形，得 y＝4－x。 因为 x、y、z 都是正整数，所以 x 只能取 1、2、3. 当 x＝1 时，y＝3 当 x＝2 时，y＝2 当 x＝3 时，y＝1 把上面的结果再分别代入①或②，得 x＝1，y＝3 时，z 无正整数解。 x＝2，y＝2 时，z 也无正整数解。 x＝3 时，y＝1 时，z＝1. 所以，原方程组的正整数解为 x＝1 y＝1 z＝1 练习 2 求下面方程组的自然数解。 1、4x+3y－2z＝7 2、 7x+9y+11z＝68 3x+2y+4z＝21 5x+7y+9z＝52 3、5x+7y+4z＝26 3x－y－6z＝2 【例题 3】一个商人将弹子放进两种盒子里，每个大盒子装 12 个，每个小盒子装 5 个，恰好装完。如果弹子数为 99，盒子数大于 9，问两种盒子各有多少个？ 两种盒子的个数都应该是自然数，所以要根据题意列出不定方程，再求出它的自 然数解。 207 设大盒子有 x 个，小盒子有 y 个，则 12x+5y＝99（x＞0，y＞0，x+y＞9） y＝（99－12y）÷5 经检验，符合条件的解有： x＝2 x＝7 y＝15 y＝3 所以，大盒子有 2 个，小盒子有 15 个，或大盒子有 7 个，小盒子有 3 个。 练习 3. 1、某校 6（1）班学生 48 人到公园划船。如果每只小船可坐 3 人，每只大船可 坐 5 人。那么需要小船和大船各几只？（大、小船都有） 2、甲级铅笔 7 角钱一枝，乙级铅笔 3 角钱一枝，小华用六元钱恰好可以买两种 不同的铅笔共几枝？ 3、小华和小强各用 6 角 4 分买了若干枝铅笔，他们买来的铅笔中都是 5 分一枝 和 7 分一枝的两种，而且小华买来的铅笔比小强多，小华比小强多买来多少枝？ 【例题 4】买三种水果 30 千克，共用去 80 元。其中苹果每千克 4 元，橘子每千 克 3 元，梨每千克 2 元。问三种水果各买了多少千克？ 设苹果买了 x 千克，橘子买了 y 千克，梨买了（30－x－y）千克。根据题意得： 4x+3y+2×（30－x－y）＝82 x＝10－y 2 由式子可知：y<20，则 y 必须是 2 的倍数，所以 y 可取 2、4、6、8、10、12、14、 16、18。因此，原方程的解如下表： 苹果 9 8 7 6 5 4 3 2 1 橘子 2 4 6 8 10 12 14 16 18 梨 19 18 17 16 15 14 13 12 11 练习 4 1、有红、黄、蓝三种颜色的皮球共 26 只，其中蓝皮球的只数是黄皮球的 9 倍， 蓝皮球有多少只？ 2、用 10 元钱买 25 枝笔。已知毛笔每枝 2 角，彩色笔每枝 4 角，钢笔每枝 9 角。 问每种笔各买几枝？（每种都要买） 3、晓敏在文具店买了三种贴纸；普通贴纸每张 8 分，荧光纸每张 1 角，高级纸 每张 2 角。她一共用了一元两角两分钱。那么，晓敏的三种贴纸的总数最少是多少张？ 208 【例题 5】某次数学竞赛准备例 2 枝铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的学 生。原计划一等奖每人发 6 枝，二等奖每人发 3 枝，三等奖每人发 2 枝。后又改为一 等奖每人发 9 枝，二等奖每人发 4 枝，三等奖每人发 1 枝。问：一、二、三等奖的学 生各有几人？ 设一等奖有 x 人，二等奖有 y 人，三等奖有 z 人。则 6x+3y+2z＝22 ① 9x+4y+z＝22 ② 由②×2－①，得 12x+5y＝22 y ＝22－12x 5 x＝1 x 只能取 1。Y＝2，代入①得 z＝5，原方程的解为 y＝2 z＝5 所以，一等奖的学生有 1 人，二等奖的学生有 2 人，三等奖的学生有 5 人。 练习 5 1、某人打靶，8 发打了 53 环，全部命中在 10 环、7 环和 5 环。他命中 10 环、7 环和 5 环各几发？ 2、篮子里有煮蛋、茶叶蛋和皮蛋 30 个，价值 24 元。已知煮蛋每个 0.60 元，茶 叶蛋每个 1 元，皮蛋每个 1.20 元。问篮子里最多有几个皮蛋？ 3、一头猪卖 3 1 2 个银币，一头山羊卖 1 1 3 个银币，一头绵羊买1 2 个银币。有人 用 100 个银币卖了这三种牲畜 100 头。问猪、山羊、绵羊各几头？ 答案： 练 1 1、 x＝1 x＝3 x＝5 x＝7 y＝11 y＝8 y＝5 y＝2 2、 x＝3 x＝8 y＝11 y＝1 3、 x＝5 y＝3 209 练 2 1、 x＝1 y＝3 z＝3 2、 x＝3 x＝4 y＝4 y＝2 z＝1 z＝2 3、 x＝3 y＝1 z＝1 练 3 1、设需要小船 x 只，大船 y 只。则 3x+5y＝48，y＝48－3x 5 根据题意，x 可取 1、 6、11， 方程的解是 x＝1 x＝6 x＝11 y＝9 y＝6 y＝3 练 4 1、因为三种皮球总共 26 只,每种皮球最多只能有 24 只,否则其他颜色都不存在 了，如果黄皮球 1 只,那么蓝皮球 9 只;如果黄皮球 2 只,那么蓝皮球 18 只，不 可能黄皮球 3 只,因为那样蓝皮球就 27 只了. 2、设全部都是 4 角一枝的,则总钱数是 元 每只两角的少的钱数刚好是 9 角的多的钱数 毛笔和钢笔的枝数比是 所以购买枝数分别是: 毛笔 5 枝,彩色笔 18 枝,钢笔 2 枝 210 毛笔 10 枝,彩色笔 11 枝,钢笔 4 枝 毛笔 15 枝,彩色笔 4 枝,钢笔 6 枝 3、以分做为单位, 普通贴纸每张 8 分,荧光贴纸每张 10 分,高级贴纸每张 20 分.一共用了 122 分钱. a ,b , 求 a + b + c 的最小值 希望总数最小,所以买越多贵的,能买到的数量越少,即总数越少. 换句话说,便宜的尽量少买. 普通贴纸最便宜,尽量少买它.能不能不买普通贴纸,不行,因为其他两种贴纸每 张价格(以分为单位)都是 10 的倍数,而总共花了 122 分钱,不是 10 的倍数. 那普通贴纸至少买多少张? 末位数与总共花的钱 122 一样,都为 2 ,所以最少 4 张普通贴纸. 剩余 分钱怎么花,尽量买贵的,高级贴纸每张 20 分最多还可以买 4 张 . 最后剩下 10 分钱,买一张荧光贴纸. 分钱花掉,至少能买 9 张贴纸,分别为 4 张普通贴纸 ,1 张荧光贴纸 ,4 张高级贴纸 . 练 5 1、解： 由打了 53 环，可知末尾的 3 环是由 7 环和 5 环的倍数构成的， 根据分析可知如果 4 发 7 环，3 发 5 环，这时环数为：4×7+3×5=43(环) 211 剩下的 1 发为 10 环，恰好与题意相符. 答：他命中 10 环 1 发、7 环 4 发、5 环 3 发. 故答案为： 10 环 1 发；7 环 4 发；5 环 3 发. 2、解：设篮子里有煮蛋 x 个，茶蛋 y 个，皮蛋 z 个，那么煮蛋一共是 0.6x 元， 茶蛋一共有 y 元，皮蛋 1.2z 元，列方程得： x＋y＋z=30 0.6x+y+1.2z=24 由上可知： z=2x-30 y=60-3x 由于篮子里有三种蛋，所以三个未知数都大于零. 所以 15＜x＜20，所以符合题意的是当 x=19 时，z=8. 当三种蛋都存在时，最多有 8 个皮蛋. 答：篮子里最多有 8 个皮蛋. 故答案为： 8 个 解析 依题意本题可采用列方程的方法进行解答：设篮子里有煮蛋 x 个，茶蛋 y 个， 皮蛋 z 个，那么煮蛋一共是 0.6x 元，茶蛋一共有 y 元，皮蛋 1.2z 元根据题中三 种蛋一共有 30 个，和总价钱 24 元列方程. 3、设猪 x 头,山羊 y 头,绵羊 z 头 则 即 212 得 即 ,y,z 都为正整数 所以当 则 当 则 当 则 即有三种情况： 1、猪 5 头,山羊 42 头,绵羊 53 头 2、猪 10 头,山羊 24 头,绵羊 66 头 3、猪 15 头,山羊 6 头,绵羊 79 头