- 2022-02-11 发布 |
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文档介绍
分数裂项计算
分数裂项计算 教学目标 本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规 律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候 裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使 其变得更加简单明了。 本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不 可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。 知识点拨 分数裂项 一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为 裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两 个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的 分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分， 裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话， 找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1 a b 形式的，这里我们 把较小的数写在前面，即 a b ，那么有 1 1 1 1( )a b b a a b (2)对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即： 1 ( 1) ( 2)n n n ， 1 ( 1) ( 2) ( 3)n n n n 形式的，我们有： 1 1 1 1[ ]( 1) ( 2) 2 ( 1) ( 1)( 2)n n n n n n n 1 1 1 1[ ]( 1) ( 2) ( 3) 3 ( 1) ( 2) ( 1) ( 2) ( 3)n n n n n n n n n n 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是 1 的，复杂形式可为都是 x(x 为任意自然数)的，但是只要将 x 提取出来即可转化为分子都是 1 的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻 2 个分母上的 因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 二、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1） 1 1a b a b a b a b a b b a （2） 2 2 2 2a b a b a b a b a b a b b a 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的 题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达 到简化目的。 【例 1】 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 。 【考点】分数裂项 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】美国长岛，小学数学竞赛 例题精讲 【解析】【解析】原式 1 1 1 1 1 1 1 1 5 1 2 2 3 5 6 1 6 6 提醒学生注意要乘以(分母差)分之一，如改为： 1 1 1 1 1 3 3 5 5 7 7 9 ， 计算过程就要变为： 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 5 5 7 7 9 1 9 2 ． 【答案】 5 6 【巩固】【巩固】 1 1 1......10 11 11 12 59 60 【考点】分数裂项 【难度】2 星 【题型】计算 【解析】【解析】原式 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ...... ( )10 11 11 12 59 60 10 60 12 【答案】 1 12 【巩固】【巩固】 2 2 2 2 10 9 9 8 5 4 4 3 【考点】分数裂项 【难度】2 星 【题型】计算 【解析】【解析】原式 1 1 1 1 1 1 1 12 9 10 8 9 4 5 3 4 1 12 3 10 7 15 【答案】 7 15 【例 2】 1 1 1 1 1 1 2 1 2 3 1 2 100 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】【解析】本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项” 问题。此类问题需要从最简单的项开始入手，通过公式的运算寻找 规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有 1 1 2 (1 1) 11 1 2 2 ， 1 1 2 (1 2) 21 2 2 3 2 ，……， 原式 2 2 2 2 1 200 992 (1 ) 11 2 2 3 3 4 100 101 101 101 101 【答案】 991101 【例 3】 1 1 1 1 1 3 3 5 5 7 99 101 【考点】分数裂项 【难度】2 星 【题型】计算 【解析】【解析】 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 50(11 3 3 5 5 7 99 101 2 3 3 5 99 101 101 … ） 【答案】 50 101 【巩固】【巩固】计算： 1 1 1 125 1 3 3 5 5 7 23 25 【考点】分数裂项 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】迎春杯，初赛，六年级 【解析】【解析】原式 1 1 1 1 1 125 12 3 3 5 23 25 1 125 12 25 25 24 2 25 12 【答案】12 【巩固】【巩固】 251 251 251 251 251 4 8 8 12 12 16 2000 2004 2004 2008 【考点】分数裂项 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】台湾，小学数学竞赛，初赛 【解析】【解析】原式 251 1 1 1 1 1 16 1 2 2 3 3 4 500 501 501 502 251 1 1 1 1 1 1 1116 2 2 3 3 4 501 502 251 501 501 211516 502 32 32 【答案】 2115 32 【巩固】【巩固】计算： 3 2 4 5 6 7 1 2 5 5 7 7 11 11 16 16 22 22 29 29 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】【解析】原式 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 5 5 7 7 11 11 16 16 22 22 29 29 1 2 【答案】 1 2 【例 4】 计算： 1 1 1 1 1 1 1 1( ) 1288 24 48 80 120 168 224 288 【考点】分数裂项 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】101 中学 【解析】【解析】原式 1 1 1 1 1282 4 4 6 6 8 16 18 （ ） 1 1 1 1 1 1 1 1282 2 4 4 6 16 18 （ ） 1 1 642 18 （ ） 428 9 【答案】 428 9 【巩固】【巩固】 1 1 1 1 1 1 1 1 6 12 20 30 42 56 72 90 _______ 【考点】分数裂项 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】走美杯，初赛，六年级 【解析】【解析】根据裂项性质进行拆分为： 1 1 1 1 1 1 1 1 6 12 20 30 42 56 72 90 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 1 1 2= =2 10 5 【答案】 2 5 【巩固】【巩固】 1 1 1 1 1 11 3 6 10 15 21 28 【考点】分数裂项 【难度】6 星 【题型】计算 【关键词】走美杯，6 年级，决赛 【解析】原式 1 1 1 11 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 2 2 21 2 3 3 4 7 8 1 1 1 1 1 1 12 2 2 3 3 4 7 8 12 1 8 7 4 【答案】 7 4 【巩固】【巩固】计算： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 6 12 20 30 42 56 72 90 ＝ 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【关键词】走美杯，6 年级，决赛 【解析】原式 1 1 1 1 1 1 1 1 1( )2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 1 1 1 1 1 1 1( )2 2 3 3 4 9 10 1 1 1( )2 2 10 1 10 【答案】 1 10 【巩固】【巩固】 1 1 1 1 1 10 40 88 154 238 。 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】【解析】原式 1 1 1 1 1 2 5 5 8 8 11 11 14 14 17 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 5 5 8 8 11 11 14 14 17 1 1 1 5 3 2 17 34 【答案】 5 34 【例 5】 计算： 1 1 1 1 1 3 5 3 5 7 5 7 9 2001 2003 2005 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【关键词】华杯赛，总决赛，二试 【解析】原式 1 1 1 1 1 1 1 4 1 3 3 5 3 5 5 7 2001 2003 2003 2005 1 1 1 1004003 4 1 3 2003 2005 12048045 【答案】 1004003 12048045 【例 6】 7 4.5 0.16 1 1 1 118 1 3 15 35 6313 3.75 3.23 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【关键词】仁华学校 【解析】【解析】原式 7 9 16 1 1 1 1 118 2 90 1 1 3 3 5 5 7 7 913 3 1.25 4 0.83 7 1 1 1 1 1 1 14 6 11 2 3 3 5 7 913 123 46 3 1 8 24 4 2 9 23= 36 【答案】 23 36 【例 7】 计算： 1 1 1 1 11 2 3 4 202 6 12 20 420 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【关键词】小数报，初赛 【解析】【解析】原式 1 1 1 1 11 2 3 20 2 6 12 20 420 1 1 1 1 1210 1 2 2 3 3 4 4 5 20 21 1 1 1 1 1 1 1210 1 2 2 3 3 4 20 21 1 20210 1 21021 21 【答案】 20210 21 【巩固】【巩固】计算： 1 1 1 1 12008 2009 2010 2011 201218 54 108 180 270 = 。 【考点】分数裂项 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】学而思杯，6 年级，1 试 【解析】【解析】原式 1 1 1 1 12008 2009 2010 2011 2012 3 6 6 9 9 12 12 15 15 18 1 1 1 1 1 1 12010 5 9 1 2 2 3 5 6 510050 54 【答案】 510050 54 【巩固】【巩固】计算： 1 1 2 2 4 2 6 15 35 77 ____。 【考点】分数裂项 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】学而思杯，6 年级 【解析】原式 1 3 2 5 3 7 5 11 7 2 6 15 35 77 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 5 5 7 7 11 1 101 11 11 【答案】 10 11 【巩固】【巩固】计算： 1 1 1 1 1 1 1 3 15 35 63 99 143 195 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】【解析】分析这个算式各项的分母，可以发现它们可以表示为： 23 2 1 1 3 ， 215 4 1 3 5 ，……， 2195 14 1 13 15 ， 所以原式 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 5 5 7 7 9 9 11 11 13 13 15 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 3 2 3 5 2 13 15 1 1 1 2 1 15 7 15 【答案】 7 15 【巩固】【巩固】计算： 1 5 11 19 29 9701 9899 2 6 12 20 30 9702 9900 ． 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【关键词】四中 【解析】【解析】原式 1 1 1 11 1 1 12 6 12 9900 1 1 199 1 2 2 3 99 100 1 1 1 1 199 1 2 2 3 99 100 199 1 100 198100 【答案】 198100 【例 8】 1 1 1 1 2 3 2 3 4 7 8 9 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】【解析】首先分析出 1 11 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 n n n n n n n n n n n n 原式 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 3 2 3 3 4 6 7 7 8 7 8 8 9 1 1 1 2 1 2 8 9 35 144 【答案】 35 144 【巩固】【巩固】计算： 1 1 1 1 2 3 2 3 4 98 99 100 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】【解析】原式 1 1 1 1 1 1 1 1( )2 1 2 2 3 2 3 3 4 3 4 98 99 99 100 1 1 1 1 4949 4949( )2 1 2 99 100 2 9900 19800 【答案】 4949 19800 【巩固】【巩固】计算： 1 1 1 1 1 3 5 2 4 6 3 5 7 20 22 24 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】【解析】原式＝ 1 1 3 5 ＋ 1 3 5 7 ＋…+ 1 19 21 23 + 1 2 4 6 +…+ 1 20 22 24 ＝ 1 4 ( 1 1 3 － 1 21 23 )＋ 1 4 ( 1 2 4 － 1 22 24 ) ＝ 40 483 ＋ 65 2112 ＝ 28160 340032 ＋ 10465 340032 ＝ 38625 340032 【答案】 38625 340032 【巩固】【巩固】 4 4 4 4......1 3 5 3 5 7 93 95 97 95 97 99 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】【解析】 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ...... ( ) ( )1 3 3 5 3 5 5 7 93 95 95 97 95 97 97 99 1 1 1 3 97 99 3200 9603 【答案】 3200 9603 【巩固】【巩固】 99 98 97 1 1 2 3 2 3 4 3 4 5 99 100 101 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】【解析】 99 1 2 3 ＝ 100 1 1 2 3 ＝ 100 1 2 3 － 1 2 3 ＝ 100 1 2 3 － 1 2 3 98 2 3 4 ＝ 100 2 2 3 4 ＝ 100 2 3 4 － 2 2 3 4 ＝ 100 2 3 4 － 1 3 4 97 3 4 5 ＝ 100 3 3 4 5 ＝ 100 3 4 5 － 3 3 4 5 ＝ 100 3 4 5 － 1 4 5 …… 1 99 100 101 ＝ 100 99 99 100 101 ＝ 100 99 100 101 － 99 99 100 101 ＝ 100 99 100 101 － 1 100 101 原式 100 100 100 100 1 1 1... ( ... )1 2 3 2 3 4 3 4 5 99 100 101 2 3 3 4 100 101 1 1 1 1 1 51100 ( ) ( ) 242 2 10100 2 101 101 【答案】 5124101 【例 9】 1 1 1 1 1 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 6 7 8 9 7 8 9 10 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】【解析】原式 1 1 1 1 1 1 1 3 1 2 3 2 3 4 2 3 4 3 4 5 7 8 9 8 9 10 1 1 1 3 1 2 3 8 9 10 119 2160 【答案】 119 2160 【巩固】【巩固】 3 3 3......1 2 3 4 2 3 4 5 17 18 19 20 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】【解析】原式 1 1 1 1 1 1 13 [ ( ... )]3 1 2 3 2 3 4 2 3 4 3 4 5 17 18 19 18 19 20 1 1 3 19 20 1 1139 1 2 3 18 19 20 18 19 20 6840 【答案】 1139 6840 【例 10】计算： 5 7 19 1 2 3 2 3 4 8 9 10 ． 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】【解析】如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项 的题目．但是本题中分子不相同，而是成等差数列，且等差数列的 公差为 2．相比较于 2，4，6，……这一公差为 2 的等差数列(该数 列的第 n 个数恰好为 n 的 2 倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都 比其大 3，所以可以先把原式中每一项的分子都分成 3 与另一个的和 再进行计算． 原式 3 2 3 4 3 16 1 2 3 2 3 4 8 9 10 1 1 1 1 2 83 21 2 3 2 3 4 8 9 10 1 2 3 2 3 4 8 9 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 13 22 1 2 2 3 2 3 3 4 8 9 9 10 2 3 3 4 9 10 3 1 1 1 1 1 1 1 122 1 2 9 10 2 3 3 4 9 10 3 1 1 1 122 2 90 2 10 7 1 1 4 60 5 23 15 也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质，可知分子的通项 公式为 2 3n ，所以 2 3 2 3 1 2 1 2 1 2 n n n n n n n n n ，再将每一 项的 2 1 2n n 与 3 1 2n n n 分别加在一起进行裂项．后面的过程 与前面的方法相同． 【答案】 23 15 【巩固】【巩固】计算： 5 7 17 191155 2 3 4 3 4 5 8 9 10 9 10 11 （ ） 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【关键词】迎春杯，初赛，五年级 【解析】【解析】本 题 的 重 点 在 于 计 算 括 号 内 的 算 式 ： 5 7 17 19 2 3 4 3 4 5 8 9 10 9 10 11 ．这个算式不同于我们常见的分数裂 项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、 或分子是分母的差或和的情况．所以应当对分子进行适当的变形， 使之转化成我们熟悉的形式． 观察可知 5 2 3 ， 7 3 4 ，……即每一项的分子都等于分母中前两个 乘数的和，所以 5 7 17 19 2 3 4 3 4 5 8 9 10 9 10 11 2 3 3 4 9 10 2 3 4 3 4 5 9 10 11 1 1 1 1 1 1 3 4 2 4 4 5 3 5 10 11 9 11 1 1 1 1 1 1 3 4 4 5 10 11 2 4 3 5 9 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 4 4 5 10 11 2 2 4 3 5 4 6 8 10 9 11 1 1 1 1 1 1 1 3 11 2 2 10 3 11 8 1 2 8 33 2 5 33 31 55 所以原式 311155 65155 ． （法二） 上面的方法是最直观的转化方法，但不是唯一的转化方法．由于分 子成等差数列，而等差数列的通项公式为 a nd ，其中 d 为公差．如果 能把分子变成这样的形式，再将 a 与 nd 分开，每一项都变成两个分数， 接下来就可以裂项了． 5 7 17 19 2 3 4 3 4 5 8 9 10 9 10 11 1 2 2 1 3 2 1 8 2 1 9 2 2 3 4 3 4 5 8 9 10 9 10 11 1 2 2 1 3 2 1 8 2 1 9 2 2 3 4 2 3 4 3 4 5 3 4 5 8 9 10 8 9 10 9 10 11 9 10 11 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 4 3 4 5 8 9 10 9 10 11 3 4 4 5 9 10 10 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 122 2 3 3 4 3 4 4 5 9 10 10 11 3 4 4 5 10 11 1 1 1 1 122 2 3 10 11 3 11 1 1 2 2 3 41 31 12 220 3 11 4 220 55 ， 所以原式 311155 65155 ． （法三） 本题不对分子进行转化也是可以进行计算的： 5 7 17 19 2 3 4 3 4 5 8 9 10 9 10 11 5 1 1 7 1 1 17 1 1 19 1 1 2 2 3 3 4 2 3 4 4 5 2 8 9 9 10 2 9 10 10 11 5 1 7 5 1 9 7 1 19 17 1 19 1 2 2 3 2 2 3 4 2 2 4 5 2 2 9 10 2 10 11 5 1 1 1 1 19 1 2 2 3 3 4 4 5 9 10 2 10 11 5 1 1 19 31 12 3 10 220 55 所以原式 311155 65155 ． （法四）对于这类变化较多的式子，最基本的方法就是通项归纳．先 找每一项的通项公式： 2 1 ( 1)( 2)n na n n n （ 2n ，3，……，9） 如果将分子 2 1n 分成 2n 和 1，就是上面的法二；如果将分子分成 n 和 1n ，就是上面的法一． 【答案】 651 【巩固】【巩固】计算： 3 4 5 12 1 2 4 5 2 3 5 6 3 4 6 7 10 11 13 14 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】【解析】观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是 5 个连 续自然数的乘积，所以可以先将每一项的分子、分母都乘以分子中 的数．即： 原式 2 2 2 23 4 5 12 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每 一项中分子、分母的对称性，可以用平方差公式：23 1 5 4 ，24 2 6 4 ， 25 3 7 4 …… 原式 2 2 2 23 4 5 12 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 1 5 4 2 6 4 3 7 4 10 14 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 1 1 1 1 2 3 4 3 4 5 4 5 6 11 12 13 4 4 4 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 3 4 4 5 11 12 12 13 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 5 3 4 5 6 10 11 12 13 11 12 13 14 1 1 1 1 1 2 2 3 12 13 1 2 3 4 11 12 13 14 1 1 1 1 12 2 12 13 24 11 12 13 14 1 77 1 8 11 12 13 14 1 1 8 2 11 14 1 1 75 8 308 616 【答案】 75 616 【例 11】 1 2 3 4 9 2 2 3 2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 10 【考点】分数裂项 【难度】4 星 【题型】计算 【解析】【解析】原式 1 2 3 4 9 2 2 3 2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 10 2 1 3 1 4 1 10 1 2 2 3 2 3 4 2 3 4 10 1 1 1 1 1 1 11 2 2 2 3 2 3 2 3 4 2 3 4 9 2 3 4 9 10 1 36287991 2 3 4 9 10 3628800 【答案】 3628799 3628800 【例 12】 1 2 3 4 5 6 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 【考点】分数裂项 【难度】4 星 【题型】计算 【解析】【解析】原式 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 1 1 1 1 2 1 2 1 2 3 4 5 6 7 11 5040 5039 5040 【答案】 5039 5040 【巩固】【巩固】计算： 2 3 99 3! 4! 100! . 【考点】分数裂项 【难度】4 星 【题型】计算 【解析】【解析】原式为阶乘的形式，较难进行分析，但是如果将其写成连乘积的形 式，题目就豁然开朗了． 原式 2 3 99 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 100 3 1 4 1 100 1 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 100 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 99 1 2 3 100 1 1 1 2 1 2 3 100 1 1 2 100! 【答案】 1 1 2 100! 【例 13】 2 3 4 50 1 (1 2) (1 2) (1 2 3) (1 2 3) (1 2 3 4) (1 2 3 49) (1 2 50) 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】【解析】原式＝ 2 1 3 ＋ 3 3 6 ＋ 4 6 10 ＋ 5 10 15 ＋…＋ 50 1225 1275 ＝（ 1 1 1 3 ）＋（ 1 3 1 6 ）＋（ 1 6 1 10 ）＋（ 1 1225 1 1275 ）＝1274 1275 【答案】 1274 1275 【巩固】【巩固】 2 3 4 100 1 (1 2) (1 2) (1 2 3) (1 2 3) (1 2 3 4) (1 2 99) (1 2 100) 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】【解析】 2 1 1 1 (1 2) 1 1 2 ， 3 1 1 (1 2) (1 2 3) 1 2 1 2 3 ，……， 100 1 1 (1 2 99) (1 2 100) 1 2 99 1 2 100 ，所以 原式 11 1 2 100 1 50491 5050 5050 【答案】 5049 5050 【巩固】【巩固】 2 3 101 1 1 2 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 9) (1 2 3 10) （ ） 【考点】分数裂项 【难度】2 星 【题型】计算 【解析】【解析】原式 2 3 4 101 ( )1 3 3 6 6 10 45 55 1 1 1 1 1 1 11 1 3 3 6 6 10 45 55 11 1 55 1 55 【答案】 1 55 【例 14】 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 3 1 5 1 7 1 9 1 11 1 13 1 . 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【关键词】仁华学校 【解析】【解析】这题是利用平方差公式进行裂项： 2 2 ( ) ( )a b a b a b ， 原式 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 4 4 6 6 8 8 10 10 12 12 14 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( )2 4 4 6 6 8 8 10 10 12 12 14 2 1 1 1 3( )2 14 2 14 【答案】 3 14 【巩固】【巩固】计算： 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )2 3 4 5 48 49 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】【解析】 2 1 1 1 1 31 (1 ) (1 )2 2 2 2 2 ， 2 1 1 1 2 41 (1 ) (1 )3 3 3 3 3 ，……所以， 原式 1 3 2 4 48 50 2 2 3 3 49 49 1 50 25 2 49 49 【答案】 25 49 【巩固】【巩固】计算： 2 2 2 2 2 2 2 2 3 5 7 15 1 2 2 3 3 4 7 8 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】【解析】原式 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 2 4 3 8 7 1 2 2 3 3 4 7 8 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 11 2 2 3 3 4 7 8 2 11 8 63 64 【答案】 63 64 【巩固】【巩固】计算： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 5 1 7 1 1993 1 1995 1 3 1 5 1 7 1 1993 1 1995 1 ． 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】【解析】原式 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 13 1 5 1 7 1 1993 1 1995 1 2 2 2997 2 4 4 6 1994 1996 1 1 1 1 1 1997 2 4 4 6 1994 1996 1 1997 2 1996 9979971996 【答案】 9979971996 【巩固】【巩固】计算： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 2 4 3 5 98 100 2 1 3 1 4 1 99 1 ． 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】【解析】 2 2 2 1 3 10 2 1 3 ， 2 2 2 2 4 20 3 1 8 ， 2 2 2 3 5 34 4 1 15 ，……由于10 423 3 ， 20 428 8 ， 34 4215 15 ， 可见原式 2 2 2 2 4 4 4 42 2 2 22 1 3 1 4 1 99 1 1 1 1 12 98 4 1 3 2 4 3 5 98 100 1 1 1 1 1 1 1 1196 4 12 3 2 4 3 5 98 100 1 1 1196 2 1 2 99 100 199196 3 2 9900 4751198 4950 【答案】 4751198 4950 【巩固】【巩固】计算： 2 2 2 21 2 3 50 1 3 3 5 5 7 99 101 ． 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】【解析】式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的 分母根据平方差公式分别变为 22 1 ， 24 1 ， 26 1 ，……， 2100 1 ，可 以发现如果分母都加上 1，那么恰好都是分子的 4 倍，所以可以先将 原式乘以 4 后进行计算，得出结果后除以 4 就得到原式的值了． 原式 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 4 6 100 4 2 1 4 1 6 1 100 1 2 2 2 2 1 1 1 1 11 1 1 14 2 1 4 1 6 1 100 1 1 1 1 1 1504 1 3 3 5 5 7 99 101 1 1 1 1 1 1 1 1 150 14 2 3 3 5 5 7 99 101 1 1 150 14 2 101 1 50504 101 6312101 【答案】 6312101 【例 15】 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】【解析】 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 1 1 1 1 1 1 1 1 3( ) ... ( )5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 5 6 6 7 9 10 5 10 10 【答案】 3 10 【巩固】【巩固】 3 6 5 7 9 11 13 5 7 6 12 20 30 42 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【关键词】第三届，祖冲之杯，人大附中 【解析】【解析】原式= 3 6 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 3 6 1 1 1 1 1 1...5 7 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 5 7 2 3 3 4 6 7 = 4 【答案】 4 【巩固】计算： 1 3 2 5 7 9 10 11 19 3 4 5 7 8 20 21 24 35 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】【解析】原式 1 3 2 5 7 1 1 1 1 1 1 2 1 3 4 5 7 8 4 5 3 7 3 8 5 7 1 1 1 1 1 5 【答案】 5 【巩固】【巩固】 1 2 3 7 9 11 17 25 3 5 7 12 20 28 30 42 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】【解析】原式 1 2 3 1 1 1 1 1 1 2 1 1 3 3 5 7 3 4 4 5 4 7 5 6 6 7 1 1 1 1 2 1 2 3 1 3 1 1 1 3 3 6 6 5 5 5 7 7 7 4 4 4 33 4 【答案】 33 4 【巩固】【巩固】 1 1 1 1 1 20 10 26 38 27 2 3 30 31 41 51 119 120 123 124 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】【解析】原式 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 30 31 41 3 17 7 17 4 30 3 41 4 31 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 7 4 3 4 12 7 【答案】 12 7 【巩固】【巩固】 35 49 63 77 91 105 3 116 12 20 30 42 56 8 8 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】【解析】原式 5 7 9 11 13 15 37 1 86 12 20 30 42 56 8 1 1 1 1 1 1 117 82 3 3 4 7 8 8 1 1 117 8 82 8 8 21 11 10 【答案】10 【巩固】【巩固】计算： 5 7 9 11 13 15 17 191 6 12 20 30 42 56 72 90 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】【解析】原式 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 101 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 1 1 31 2 10 5 【答案】 3 5 【巩固】【巩固】 1 1 7 9 8 17 5 4 5 12 20 15 30 12 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】【解析】原式 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 4 5 3 4 4 5 3 5 5 6 4 6 1 1 1 12 4 5 23 4 5 6 3 【答案】 3 【例 16】 2 2 2 2 2 2 2 21 2 2 3 18 19 19 20 1 2 2 3 18 19 19 20 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】【解析】原式 1 2 3 2 3 4 19 18 19 20 2 19 19... 2 17 362 1 2 3 4 3 18 19 20 19 1 20 20 【答案】 1936 20 【巩固】【巩固】 1 1 1 1 2007 1 1 1( ...... ) ( ...... )1 2007 2 2006 2006 2 2007 1 2008 1 2006 2 2005 2006 1 【考点】分数裂项 【难度】4 星 【题型】计算 【解析】【解析】原式= 2008 1 1 1 2007 1 1( ... ) ( ... )2008 1 2007 2 2006 2007 1 2008 1 2006 2006 1 = 2008 1 1 1 2007 1 1( ... ) ( ... )2008 1 2007 2 2006 2007 1 2008 1 2006 2006 1 = 1 2008 2008 2008 1 2007 2007( ... ) ( ... )2008 1 2007 2 2006 2007 1 2008 1 2006 2006 1 = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1[( ... ) ( ... )]2008 1 2007 2 2006 2007 1 1 2006 2006 1 = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1[( ... ) ( ... )]2008 1 2007 2 2006 2007 1 1 2006 2006 1 = 1 1 1 1( )2008 2007 2007 2015028 【答案】 1 2015028 【例 17】计算： 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 98 99 51 52 99 【考点】分数裂项 【难度】5 星 【题型】计算 【解析】原式 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 98 3 5 99 51 52 99 1 1 1 1 1 1 1 1 122 4 50 3 5 49 52 54 98 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 50 3 5 49 26 27 49 1 1 1 1 1 1 1 1 1 122 4 24 3 5 25 26 28 48 50 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 24 3 5 25 13 14 24 50 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 122 4 12 3 5 11 14 16 24 50 25 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 12 3 5 11 7 8 12 50 25 1 1 1 1 1 1 1 1 1 122 4 6 3 5 8 10 12 50 25 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 6 3 5 4 5 6 50 25 1 1 491 50 25 50 【答案】 49 50 【例 18】计算： 2 4 6 12 3 3 5 3 5 7 3 5 7 9 11 【考点】分数裂项 【难度】4 星 【题型】计算 【解析】原式 3 1 5 1 7 1 13 1 3 3 5 3 5 7 3 5 7 9 11 13 1 1 1 1 1 11 3 3 5 3 5 7 9 11 3 3 5 3 5 7 9 11 13 11 3 5 7 9 11 13 135134 135135 【答案】 135134 135135 【例 19】计算： 2 8 3 4 111 2 2 2 2 2 2 1 3 3 5 5 7 17 19 1 3 5 3 5 7 17 19 21 【考点】分数裂项 【难度】5 星 【题型】计算 【解析】 3 4 11 9 92 2 2 2 2 4 4 2 2 1 3 5 3 5 7 17 19 21 1 3 3 5 3 5 5 7 17 19 19 21 8 92 2 4 2 2 1 3 3 5 5 7 17 19 19 21 所以原式 8 8 91 2 2 2 2 4 2 2 1 3 3 5 17 19 1 3 3 5 5 7 17 19 19 21 92 1 512 133 379 19 21 1 3 399 399 【答案】 379 399查看更多