六年级下册数学试题-奥数:数论之分解质因数、完全平方数、约数倍数(解析版)全国通用

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六年级下册数学试题-奥数:数论之分解质因数、完全平方数、约数倍数(解析版)全国通用

第五讲数论之分解质因数、完全平方数、约数倍数教学目标数论问题本身范围很广,我们考察小学奥数的内容,完全平方数等知识点跟基础课内容结合很紧密,但又是小奥的重难点,我们有必要加以重视。本讲需要学生掌握的知识点有:平方数性质、平方差公式、约数个数定理、约数和定理、辗转相除法等.本讲内容中,平方数部分是数论中最基本的部分,学生应当学会熟练运用平方差公式,对于约数和倍数部分,老师应当更注重其中的逻辑过程,可以适当用一些代数的方法将题目讲的更明白和透彻.1、用1到9这九个数码可以组成362880个没有重复数字的九位数.那么,这些数的最大公约数是多少?分析:1+2+…+9=45,因而9是这些数的公约数,又因123456789和123456798这两个数只差9,这两个数的最大公约数是9.所以9是这些数的最大公约数.想挑战吗 ?你还记得吗?【例1】将4个不同的数字排在一起,可以组成24个不同的四位数(4×3×2×1=24)。将这24个四位数按从小到大的顺序排列的话,第二个是5的倍数;按从大到小排列的话,第二个是不能被4整除的偶数;按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3000-4000之间。请求出这24个四位数中最大的一个。分析:不妨设这4个数字分别是a>b>c>d那么从小到大的第2个就是dcba,它是5的倍数,因此b=0或5,注意到b>c>d,所以b=5;从大到小排列的第2个是abdc,它是不能被4整除的偶数;所以c是偶数,c<b=5,c=4或2从小到大的第二十个是adbc,第五个是dacb,它们的差在3000-4000之间,所以a=d+4;因为a>b,所以a至少是6,那么d最小是2,所以c就只能是4。而如果d=2,那么abdc的末2位是24,它是4的倍数,和条件矛盾。因此d=3,从而a=d+4=3+4=7。这24个四位数中最大的一个显然是abcd,我们求得了a=7,b=5,c=4,d=3所以这24个四位数中最大的一个是7543。【例2】一个5位数,它的各位数字和为43,且能被11整除,求所有满足条件的5位数? 分析:5位数数字和最大的为9×5=45,这样43的可能性只有9,9,9,9,7或9,9,9,8,8。这样我们接着用11的整除特征,发现符合条件的有99979,97999,98989符合条件。[点评]现在我们有两个入手的选择,可以选择数字和,也可以选择被11整除,但我们发现被11整除性质的运用要有具体的数字,而现在没有,所以我们选择先从数字和入手专题精讲专题一:平方数【例1】志诚小学三四年级的学生人数比一二年级的学生人数多100人,但比五六年级的学生人数少53人,已知五六年级的学生人数和一二年级的学生人数都是完全平方数,那么志诚中学总的的学生人数有多少人?请写出最现实的答案.分析:五六年级的人数和一二年级的学生人数都是完全平方数,所以可以设五六年级的学生人数为A,一二年级的学生人数为B,则153=(A+B)(A-B),而153=3×3×17,所以,(A+B)和(A-B)的可能值为153和1;17和9;51和3,有这三个答案得到的A和B的值分别为:77和76,13和4,27和24,显然前两组答案荒谬之极,所以A=27,B=24最为现实.此时五六年级的学生人数为729人,一二年级的学生人数为576人,三四年级的学生人数为676,学校的总人数为729+576+676=1981人.[拓展]能否找到这么一个数,它加上24,和减去30所得的两个数都是完全平方数?分析:设这两个完全平方数分别为A、B那么这两个完全平方数的差为54=(A+B)(A-B),由于(A+B)和(A-B)的奇偶性质相同,所以(A+B)(A-B)不是4的倍数,就是奇数,所以54不可能等于两个平方数的差,所以这样的数找不到.【例2】三个自然数,它们都是完全平方数,最大的数减去第二大的数的差为80,第二大的数减去最小的数的差为60,求这三个数?分析:设这三个数分别为A2、B2、C2,那么有(A+B)(A-B)=80,(A+C)(A-C)=140,因为140=2×2×5×7,A+C,A-C,同奇同偶,所以有(A+C=14,A-C=10)或者(A+C=70,A-C=2),分别解得(A=12,C=2)和(A=36,C=34),对于后者无法将B解出,所以A只能等于12,C=2,继而求得B=8,所以这三个数分别为12、8、2.专题二:分解质因数 【例1】已知□△×△□×□〇×☆△=□△□△□△,其中□、△、〇、☆分别表示不同的数字,那么四位数〇△□☆是多少?分析:因为□△□△□△□△,所以在题述等式的两边同时约去□△即得△□×□〇×☆△。作质因数分解得,由此可知该数分解为3个两位数乘积的方法仅有。注意到两位△□的十位数字和个位数字分别和另外的两位数□〇和☆△中出现,所以△□=13,□〇=37,☆△=21。即〇=7,△=1,□=3,☆=2,所求的四位数是7132。【例2】已知3☆7×2□△4是891的倍数,其中☆、□、△各代表一个不同的数字,那么三位数☆□△代表的是多少?分析:,所以3☆7和2□△4中至少有一个是11的倍数。3☆7肯定不是11的倍数,所以2□△4是11的倍数。又显然2□△4不是297的倍数,所以9整除3☆7,也就是说9整除3+☆+7,那么☆=8。因为,所以9还要整除2□△4,说明2+□+△+4是9的倍数,所以□+△是3或12。又因为11整除2□△4,所以(□+4)-(2+△)是11的倍数,那么□-△是9或者△-□是2,解得△=7,□=5。所以所求三位数是857。专题三:约数倍数【例3】求120、216、1001、360这3个数的约数和约束和.(考验学生心算和对部分特殊数的分解能力)分析:120=2×2×2×3×5,所以约数有(3+1)×(1+1)×(1+1)=16个.约数和为(1+2+4+8)×(1+3)×(1+5)=360;216=2×2×2×3×3×3,所以约数的个数为(3+1)×(3+1)=16个.约数和为(1+2+4+8)×(1+3+9+27)=600;1001=7×11×13,所以约数的个数为(1+1)(1+1)(1+1)=8个.约数和为(1+7)×(1+11)×(1+13)=1344.360=2×2×2×3×3×5,所以360有(3+1)×(2+1)×(1+1)=24个约数.约数的和是(1+2+4+8)×(1+3+9)×(1+5)=1170.【例4】已知A是一个有12个约数的合数,8A、10A有24个约数,12A有40个约数,求15A,有多少个约数?分析:设A=2a×3b×5c×d,d中不含有2、3、5因子,那么A的约数个数有(a+1)(b+1)(c+1)N=12……①,(其中N为d的约数个数)8A的约数个数为(a+4)(b+1)(c+1)N=24,与①比较得到(a+4)/(a+1)=3,于是a=2,10A的约数个数为(a+2)(b+1)(c+2)N=4(b+1)(c+2)N=24,与①比较(c+2)/(c+1)=3/2,于是c=1,12A的约数个数为(a+3)(b+2)(c+1)N=10(b+2)N=40,与①比较得到(b+2)/(b+1)=2,于是b=0,将a、b、c代入①得到N=2,15A的约数个数为(a+1)(b+2)(c+2)N=36.[前铺]已知偶数A不是4的整数倍,他的约数的个数为12,求4A的约数个数. 分析:将A分解,A=2B,其中B是奇数,它的约数的个数为(1+1)N=12,(其中N为B的约数个数),则4A的约数个数为(1+3)N=24.【例1】两个整数A、B的最大公约数是C,最小公倍数是D,并且已知C不等于1,也不等于A或B,C+D=187,那么A+B等于多少?分析:最大公约数C,当然是D最小公倍数的约数,因此C是187的约数,187=11×17,C不等于1,只能是C=11或者C=17.如果C=11,那么D=187-11=176.A和B都是176的约数,A和B不能是11,只能是22,44,88,176这四个数中的两个,但是这四个数中任何两个数的最大公约数都不是11,由此得出C不能是11.现在考虑C=17,那么D=187-17=170,A和B是170的约数,又要是17的倍数,有34,85,170三个数,其中只有34和85的最大公约数是17,因此,A和B分别是34和85,A+B=34+85=119.[拓展]已知,甲乙两数的最小公倍数是288,最大公约数是4,甲乙两数不是288和4中的数,那么甲乙两数的乘积为多少,和应该是.分析:设甲乙两个数为4x,4y,(x和y都不等于1或72)则x,y两数互质,于是4x,4y的最小公倍数为4xy,所以xy=288/4=72,72=2332,由于x,y互质,所以2或3不可能在x,y的因子中都出现,所以x,y一个是8一个是9,所以两数的乘积等于4y×4x=4×4xy=1152,和为4x+4y=4(8+9)=68.【例2】从一张长2002毫米,宽847毫米的长方形纸片上,剪下一个边长尽可能大的正方形,如果剩下的部分不是正方形,那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形。按照上面的过程不断的重复,最后剪得的正方形的边长是多少毫米?分析:边长是2002和847的最大公约数,可用辗转相除法求得(2002,847)=77所以最后剪得的正方形的边长是77毫米。辗转相除示例:2002÷847=2…308求2个数的最大公约数,就用大数除以小数847÷308=2…231用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止308÷231=1…77用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止231÷77=3最后一个除尽的式子的除数就是两个数的最大公约数【例3】11个连续两位数的乘积能被343整除,且乘积的末4位都是0,那么这11个数的平均数是多少?分析:因为,则可知,在11个连续的两位数种,至多只能有2个数是7的倍数,所以其中有一个必须是49的倍数,那就只能是49或98。又因为乘积的末4位都是0,就是说这连续的11个自然数应该“含有”4个5。连续的11个自然数中至多只能有3个是5的倍数,至多只能有1个是25的倍数,所以其中有一个必须是25的倍数,那么就只能是25、50或75。综上所述,这11个数是40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50。所以它们的平均数即为它们的中间项45。[前铺]1、2、3、4…2008这2008个数的最小公倍数等于多少个2与一个奇数的积?它们的乘积又等于多少个2与一个奇数的积? 分析:最小公倍数就是分解质因数中共有的最多因数,这样我们发现除2以外都是奇数质因数,可见我们只要找需要多少个2,所以只要看1~2008中2n谁最大,可见210=1024,所以为10个2。2008个数中被2整除的有1004个,被4整除的有502个,被8整除的有251个,16整除的有125个,被32整除的有62个,……31个,……15个,……7个,……3个,被1024整除的有1个,所有数的乘积有1004+502+251+125+62+31+15+7+3+1=2001.【例1】有15位同学,每位同学都有编号,它们是1号到15号。1号同学写了一个自然数,2号说:“这个数能被2整除”,3号说“这个数能被3整除”,……,依次下去,每位同学都说,这个数能被他的编号数整除,1号作了一一验证,只有编号相邻的两位同学说得不对,其余同学都对,问:(1)说得不对的两位同学,他们的编号是哪两个连续自然数?(2)如果告诉你,1号写的数是五位数,请求出这个数。(写出解题过程)分析:1)首先可以断定编号是2,3,4,5,6,7号的同学说的一定都对。不然,其中说的不对的编号乘以2后所有编号也将说得不对,这样就与“只有编号相邻的两位同学说的不对”不符合。因此,这个数能被2,3,4,5,6,7都整除。其次利用整除性质可知,这个数也能被2×5,3×4,2×7都整除,即编号为10,12,14的同学说的也对。从而可以断定说的不对的编号只能是8和9。2)这个数是2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15的公倍数由于上述十二个数的最小公倍数是60060因为60060是一个五位数,而十二个数的其他公倍数均不是五位数,所以1号同学写的数就是60060。【例2】一个自然数减去它的各位数字之和得到的差值,称为“好数”。例如,根据757-(7+5+7)=738是“好数”。在四位数20□○的方框中填入某个恰当的数字后,可以使得无论圆圈内填入0~9中的哪个数字,该四位数都不是“好数”,那么在方框中应填写数字__________。分析:注意到所有“好数”都是9的倍数,但9的倍数不一定都是好数。对应的“好数”是-2-x=1998;对应的“好数”是-2-1-x=2007;对应的“好数”是-2-2-x=2016;………………对应的“好数”是-2-9-x=2079;对应的“好数”是-2-1-x=2097;即在20□○中“好数”只能是2007、2016、2025、2034、2043、2052、2061、2070、2079、2097。所以,如果在20□○的“□”内填入8,则不管“○”填入什么数都不能是“好数”。【例3】有些自然数能够写成一个质数与一个合数之和的形式,并且在不计加数顺序的情况下,这样的表示方法至少有13种,那么所有这样的自然数中最小的一个是多少? 分析:在所有的质数中,从小到大第13个质数是41,因此在13种分解方法中,质数最大的那一组至少是。按题目要求分拆45有如下12种方法:。按题目要求分拆46有如下7种方法:。按题目要求分拆47有如下14种方法:。因此满足题意的最小自然数是47。专题展望zhanwang1wzhanwang欲知数论方法,请关注寒假班!练习五1.(例11)对于一个自然数,如果具有这样的性质就称为"破坏数":把它添加到任何一个自然数的右端,形成的新数都不能被+1整除。那么有多少个不大于10的破坏数?分析:6个(1,3,4,5,7,9)。2.(例3)如图所示的加法算式中,△盖住的都是质数数字,□盖住的都是合数数字。要使两个加数的差尽可能小,那么较大的那个加数是多少?△□□△1+△□△1□1010△□分析:74218(26821+74218=101039)。3.(例6)已知A有12个约数,9A有24个约数,15A有36个约数,5A有多少个约数?分析:设A=3a5bB,有(a+1)(b+1)N=12个约数,(N为B的约数个数),于是9A有(a+3)(b+1)N=24个约数,所以a=1,15A有3(b+2)N=36个约数,由此求得c=0,N=6所以5A有(a+1)(b+2)N=4N=24个约数.4.(例7)A、B两数都只含有质因数3和2,它们的最大公约数是36.已知A有12个约数,B有8个约数,那么A+B=______.。 分析:684.36=32×4,A、B至少含有两个3和一个4.因为A有12个约数,12=2×6=3×4,所以A可能是35×4、32×43或33×42,B有8个约数,8=2×4,所以B=33×4,于是A只能是32×43,故A+B=32×43+33×4=6845、(例12)把26、33、34、35、63、85、91、143分成若干组,要求每一组中任意两个数的最大公约数为1.那么最少要分几组?分析:本题是一道关于最大公约数的问题.我们知道两个数的最大公约数为1,即互质相当于它们的质因数分解式中没有相同的质因数.这就提示我们将题目所给的数字质因数分解.将题目中的数字质因数分解如下:26=2×13,33=3×11,34=2×17,35=5×7,63=32×7,85=5×17,91=7×13,143=11×13.由于题目要求将这些数字分组,满足每组中任意两个数的最大公约数为1,而26、91、143均含质因数13,因此它们两两不在同一组,于是这些数至少应分为3组.我们这里推出一种分法:将26、35分为一组,91、34、33分为一组,而143、63、85分为一组.成长故事打开另一扇心窗  很久以前,在意大利的庞贝古城里,一个普通人家出生了一个叫莉蒂雅的女孩。莉蒂雅自小双目失明,但她并不怨天怨地,也没有垂头丧气,反而热爱生活,对生活充满信心和希望。稍稍长大后,她像常人一样劳动,靠卖花自食其力。不久,维苏威火山爆发,庞贝城面临一次大的灾难,整座城市被笼罩在浓烟尘埃之中。浓密的火山灰,遮掩了太阳、月亮和星星,大地一片漆黑。黑暗中,惊慌失措的居民跌跌撞撞地根本找不到出路,人们好像生活在人间的地狱中。莉蒂雅虽然看不见,但这些年来,她走街串巷在城里卖花,对城市的各条道路了如指掌。她就靠自己的触觉和听觉找到了生路,不但救了自己的家人,还救了许多市民。后来,莉蒂雅的事迹一直被后人所传颂,并出现在很多的文学作品中。启迪:莉蒂雅的不幸反而成了她的大幸,她的残疾反而成了她的财富。不要总以为自己是最倒霉的。其实,上苍很公平。有时候,命运向你关闭这一心窗的同时,又为你开启了另一心窗,同样可以享受人生的快乐
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