六年级奥数教案：第15周 比的应用

六年级奥数教案：第15周 比的应用

第十五周 比的应用（二）‎ 专题简析：‎ 比是反映数量关系的一种常见形式，也是解数学题的一种重要工具，有了它，我们处理倍数关系、解答分数应用题就方便灵活得多。在这一讲，我们讲探讨稍复杂的比是应用题。‎ 例题1。‎ ‎ 甲、乙两个学生放学回家，甲要比乙多走的路，而乙走的时间比甲少，求甲、乙两人速度的比。‎ ‎【思路导航】因为 速度＝路程÷时间，所以，甲、乙速度的比＝： ‎ （1）甲、乙路程的比：（1+）：1＝6：5‎ ‎ （2）甲、乙时间的比：1：（1－）＝11：10‎ ‎ （3）甲、乙速度的比：：=12：11‎ ‎ 答：甲、乙速度的比是12：11。‎ 练习1‎ 1、 小明和小芳各走一段路。小明走的路程比小芳多，小芳用的时间比小明多。求小明和小芳速度的比。‎ 2、 甲走的路程比乙多，乙用的时间比甲多。求甲、乙的速度比。‎ 3、 一个人步行每小时走5千米，如果骑自行车每1千米比步行少用8分钟。这个人骑自行车的速度和步行速度的比是多少？‎ 例题2。‎ 制造一个零件，甲需6分钟，乙需5分钟，丙需4.5分钟。现在有1590个零件的制造任务分配给他们三个人，要求在相同的时间内完成，每人应该分配到多少个零件？‎ ‎【思路导航】先求出工作效率的比，然后根据同一时间内，工作总量的比等于工作效率的比进行解答。‎ ‎ 甲、乙、丙工作效率的比：‎ ‎ ：：＝15：18：20‎ ‎ 总份数：15+18+20＝53‎ ‎ 甲 ：1590×＝450（个）‎ ‎ 乙 ：1590×＝540（个）‎ ‎ 丙 ：1590×＝600（个）‎ ‎ 答：甲、乙、丙分配到的零件分别是450个、540个、600个。‎ 练习2‎ 1、 加工一个零件，甲需3分钟，乙需3.5分钟，丙需4分钟。现在有1825个零件需要甲、乙、丙三人加工。如果规定用同样的时间完成任务，那么各应加工多少个？‎ 2、 甲、乙、丙三人在同一时间里共制造940个零件。甲制造一个零件需5分钟，比乙制造一个零件所用的时间多25％，丙制造一个零件所用的时间比甲少。甲、乙、丙各制造了多少个零件？‎ 3、 加工某种零件要三道工序，专做第一、二、三道工序的工人每小时分别能完成零件48个，32个，28个，现有118名工人，要使每天三道工序完成的零件个数相同，每道工序应安排多少工人？‎ 例题3。‎ 两个服装厂一个月内生产服装的数量是6：5，两厂西服价格的比是11：10。已知两厂这个月内总产值为6960万元。两厂的产值各是多少万元？‎ ‎【思路导航】因为产值＝价格×产量，所以 ‎ 甲产值：乙产值＝（甲价格×甲产量）：（乙价格×乙产量）‎ ‎ 两厂的产值比为：（11×6）：（10×5）＝66：50‎ 甲厂产值为：6960×＝3960（元）‎ 乙厂产值为：6960×＝3000（元）‎ ‎ 答：两厂的产值分别是3960万元和3000万元。‎ 练习3‎ 1、 甲、乙两个长方形长的比是4：5，宽的比是3：2，面积的和是242平方厘米。求甲、乙两个长方形的面积分别是多少平方厘米？‎ 2、 苹果和梨的单价的比是6：5，王大妈买的苹果和梨的重量的比是2：3，共花去18元。王大妈买苹果和梨各花了多少元？‎ 3、 大、小两种苹果，其单价比是5：4，重量比是2：3。把两种苹果混合，成为100千克的混合苹果，单价为每千克4.40元。大、小两种苹果原来每千克各是多少元？‎ 例题4。‎ ‎ A、B两种商品的价格比是7：3。如果它们的价格分别上涨70元，它们的价格比就是7：4，这两种商品原来的价格各是多少元？‎ ‎【思路导航】‎ 解法一：因为A、B两种商品涨价的数值相同，所以涨价后两种商品价格差不变。由于价格差不变，所以价格差对应的份数也应该相同。‎ ‎ 原价格比＝7：3＝21：9‎ ‎ 现价格比＝7：4＝28：16‎ ‎ 【 这样前后项的差都是12，价格涨了（28－21）＝7份，是70元】‎ ‎ 70÷（28－21）＝10元 ‎ A：10×21＝210（元）‎ ‎ B：10×9＝90（元）‎ 解法二：由于两种商品的价格不变，选两种商品的价格差做单位“1“进行解答。‎ ‎ （1）原来A商品的几个是价格差的几倍 ‎ 7÷（7－3）＝ ‎ （2）后来A商品的价格是价格差的几倍 ‎ 7÷（7－4）＝ ‎ （3）A、B两种商品的价格差是 ‎ 70÷（－）＝120（元）‎ ‎ （4）原来A商品的价格是 ‎ 120÷（7－3）×7＝210（元）‎ ‎ （5） 原来B商品的价格是 ‎ 120÷（7－3）×3＝90（元）‎ ‎ 答：A、B两种商品原来的价格分别是210元和90元。‎ 练习4‎ 用两种思路解答下列应用题：‎ 1、 甲、乙两个建筑队原有水泥重量的比是4：3。甲队给乙队54吨水泥后，甲、乙两队水泥重量的比是3：4。原来甲队有水泥多少吨？‎ 2、 甲书架上的书是乙书架上的，两书架上各增加154本后，甲书架上的书是乙书架上的，甲、乙两书架上原来各有多少本书？‎ 3、 兄弟两人，每年收入的比是4：3，每年支出的比是18：13。从年初到年底，他们都结余720元。他们每年的收入各是多少元？‎ 例题5。‎ 如图是甲、乙、丙三地的线路图，已知甲地到丙地的路程与乙地到丙地的路程比是1：2。王刚以每小时4千米的速度从甲地步行到丙地，李华同时以每小时10千米的速度从乙地骑自行车去丙地，他比王刚早1小时到达丙地。甲、乙两地相距多少千米？‎ ‎ 甲 丙 乙 ‎【思路导航】‎ 解法一：根据路程的比和速度的比求出时间的比，从而求出王刚和李华所用的时间，再求出各自所走的路程。‎ ‎ 王刚和李华所用时间的比 ‎ ：＝5：4‎ ‎ 王刚所用的时间 ‎1÷（5－4）×5＝5（小时）‎ ‎ 甲地到丙地的路程 ‎ 4×5＝20（千米）‎ ‎ 甲、乙两地的路程 ‎20×（1+2）＝60（千米）‎ 解法二：如果李华每小时行4×2＝8千米，他将与王刚同时到达丙地。现在他每小时多行10－8＝2千米。在王刚从甲地到丙地的这段时间内，李华比应行的路程多行了10×‎ ‎1＝10千米。据此，可求出王刚从甲地到丙地的时间。‎ ‎ 王刚从甲地到丙地的时间 ‎ 10 ×1÷（10－4×2）＝5（小时）‎ ‎ 甲、乙两地的路程 ‎ 4×5×（1+2）＝60（千米）‎ 解法三：如果王刚每小时行10÷3＝5千米，就能和李华同时到达。由此可见，王刚走完甲地到丙地的路程，用每小时4千米的速度和每小时5千米的速度相比，所用的时间相差1小时。再根据1千米的路程，两种速度所用的时间相差 －＝ 小时。最后求出甲地到丙地的路程。‎ ‎ 甲地到丙地的路程 ‎ 1÷（－）＝20（千米）‎ ‎ 甲、乙两地的路程 ‎20×（1+2）＝60（千米）‎ ‎ 答：甲、乙两地相距60千米。‎ 练习5‎ 1、 一辆汽车在甲、乙两站间行驶，往返一次共用去4小时（停车时间不算在内）。汽车去时每小时行45千米，返回时每小时行30千米。甲、乙两地相距多少千米？‎ 2、 甲做3000个零件比乙做2400个零件多用1小时，甲、乙工作效率的比是6：5。甲、乙每小时各做多少个？‎ 3、 下图是甲、乙、丙三地的路线图。已知甲地到丙地的路程与乙地到丙地的路程的比是2：3。一辆货车以每小时40千米的速度从甲地开往丙地，一辆客车同时以每小时50千米的速度从乙地开往丙地，客车比火车迟1小时到达丙地。求甲、乙两地的路程？‎ ‎ ‎ ‎ 甲 丙 乙 答案：‎ 练1‎ 1、 小明与小芳路程的比是（1+）：1＝6：5‎ 小明与小芳时间的比是1：（1+）＝8：9‎ 小明与小芳速度的比是：：＝27：20‎ 2、 甲、乙路程的比是（1+）：1＝4：3 ‎ 甲、乙时间的比是1：（1+）：1＝4：5‎ 甲、 乙速度的比是：＝5：3‎ 3、 ‎（1）骑自行车每行1千米用的时间为：60÷5－8＝4分钟 ‎（2）骑车与步行的速度的比是：5＝3：1‎ 练2‎ 1、 甲、乙、丙效率的比是：：＝28：25：21‎ ‎ 总份数：28+25+21＝73‎ ‎ 甲应加工的个数：1825×＝700个 ‎ 乙应加工的个数：1825×＝600个 ‎ 丙应加工的个数：1825×＝525个 2、 ‎（1）5÷（1+25％）＝4分钟 ‎（2）5×（1－）＝3分钟 ‎（3）：：＝12：15：20‎ ‎（4）12+15+20＝47‎ ‎（5）甲：940×＝240个 ‎ 乙：940×＝42个 ‎ 丙：940×＝400个 3、 ‎（1）：：＝14：21：24‎ ‎（2）14+21+24＝59‎ ‎（3）第一道工序：118×＝28名 ‎ 第二道工序：118×＝42名 ‎ 第三道工序：118×＝48名 练3‎ 1、 ‎（1）甲、乙两个长方形面积的比是：（4×3）：（5×2）＝6：5‎ ‎（2）甲、乙两个长方形的面积分别是：‎ 甲：242×＝132平方厘米 乙：242×＝110平方厘米 2、 苹果与梨的总价比为：‎ ‎ （6×2）：（5×3）＝4：5‎ ‎ 苹果：18×＝8元 ‎ 梨 ：18×＝10元 ‎3、 两样苹果的总价：4.4×100＝440元 ‎ 两种苹果总价的比：（5×2）：（4×3）＝5：6‎ 大苹果的总价：440×＝200元 大苹果的重量：100×＝40千克 大苹果的单价：200÷40＝5元 小苹果的单价：5÷5×4＝4元 练4‎ 1、 解法一：54÷（4－3）×4＝216吨 解法二：54÷（－）×＝216吨 2、 解法一：甲、乙原来的比是4：7‎ ‎ 甲、乙后来的比是5：6＝15：18‎ ‎ 甲书架上原有的书：154÷（15－4）×4＝56本 ‎ 乙书架上原有的书：154÷（18－7）×7＝98本 ‎ 解法二：由于甲、乙两个书架上本数的差没有变，因此，以甲、乙两个书架上本书的差为单位“1”来考虑。‎ 甲、乙两个书架上相差的本数 ‎154÷（－）＝42本 原来甲、乙两个书架上的本数 甲：42÷（7－4）×4＝56本 乙：42÷（7－4）×7＝98本 3、 解法一：兄、弟二人收入的是4：3＝20：15‎ ‎ 兄、弟二人支出的比是18：13‎ ‎ 兄一年的收入是720÷（20－18）×20＝7200元 ‎ 弟一年的收入是720÷（15－13）×15＝5400元 ‎ 解法二：兄弟二人的收入相差 ‎ 720÷（－）＝1800元 兄、弟每年的收入各是：‎ ‎ 兄：1800÷（4－3）×4＝7200元 ‎ 弟：1800÷（4－3）×3＝5400元 练5‎ 1、 解法一：4÷（+）＝72千米 解法二：45×（4×）＝72千米 2、 乙：（3000×－2400）÷1＝100个 ‎ 甲：100×＝120个 3、 ‎（1）乙地到丙地的路程 ‎ 1÷（－）＝300千米 ‎ （2）甲、乙两地之间的路程 ‎ 300×（1+）＝500千米