小学数学小升初应用题专项复习(共21种类型,附例题和解题思路)

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文档介绍

小学数学小升初应用题专项复习(共21种类型,附例题和解题思路)

1 小学数学应用题专项复习 1、归一问题 【含义】 在解题时,先求出一份是多少(即单一量),然后以单一量为标准,求出所要求的数量。这 类应用题叫做归一问题。 【数量关系】 总量÷份数=1 份数量 1 份数量×所占份数=所求几份的数量 另一总量÷(总量÷份数)=所求份数 【解题思路和方法】 先求出单一量,以单一量为标准,求出所要求的数量。 例 1 买 5 支铅笔要 0.6 元钱,买同样的铅笔 16 支,需要多少钱? 解 (1)买 1 支铅笔多少钱?0.6÷5=0.12(元) (2)买 16 支铅笔需要多少钱?0.12×16=1.92(元) 列成综合算式 0.6÷5×16=0.12×16=1.92(元) 答:需要 1.92 元。 例 2 3 台拖拉机 3 天耕地 90 公顷,照这样计算,5 台拖拉机 6 天耕地多少公顷? 解 (1)1 台拖拉机 1 天耕地多少公顷?90÷3÷3=10(公顷) (2)5 台拖拉机 6 天耕地多少公顷?10×5×6=300(公顷) 列成综合算式 90÷3÷3×5×6=10×30=300(公顷) 答:5 台拖拉机 6 天耕地 300 公顷。 例 3 5 辆汽车 4 次可以运送 100 吨钢材,如果用同样的 7 辆汽车运送 105 吨钢材,需要运几次? 解 (1)1 辆汽车 1 次能运多少吨钢材?100÷5÷4=5(吨) (2)7 辆汽车 1 次能运多少吨钢材?5×7=35(吨) (3)105 吨钢材 7 辆汽车需要运几次?105÷35=3(次) 列成综合算式 105÷(100÷5÷4×7)=3(次) 答:需要运 3 次。 2、归总问题 【含义】 解题时,常常先找出“总数量”,然后再根据其它条件算出所求的问题,叫归总问题。所谓 “总数量”是指货物的总价、几小时(几天)的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总 路程等。 【数量关系】 1 份数量×份数=总量 总量÷1 份数量=份数 总量÷另一份数=另一每份数量 【解题思路和方法】 先求出总数量,再根据题意得出所求的数量。 例 1 2 服装厂原来做一套衣服用布 3.2 米,改进裁剪方法后,每套衣服用布 2.8 米。原来做 791 套 衣服的布,现在可以做多少套? 解 (1)这批布总共有多少米?3.2×791=2531.2(米) (2)现在可以做多少套?2531.2÷2.8=904(套) 列成综合算式 3.2×791÷2.8=904(套) 答:现在可以做 904 套。 例 2 小华每天读 24 页书,12 天读完了《红岩》一书。小明每天读 36 页书,几天可以读完《红岩》? 解 (1)《红岩》这本书总共多少页?24×12=288(页) (2)小明几天可以读完《红岩》?288÷36=8(天) 列成综合算式 24×12÷36=8(天) 答:小明 8 天可以读完《红岩》。 例 3 食堂运来一批蔬菜,原计划每天吃 50 千克,30 天慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大家的意 见,每天比原计划多吃 10 千克,这批蔬菜可以吃多少天? 解 (1)这批蔬菜共有多少千克?50×30=1500(千克) (2)这批蔬菜可以吃多少天?1500÷(50+10)=25(天) 列成综合算式 50×30÷(50+10)=1500÷60=25(天) 答:这批蔬菜可以吃 25 天。 3、和差问题 【含义】 已知两个数量的和与差,求这两个数量各是多少,这类应用题叫和差问题。 【数量关系】 大数=(和+差)÷2 小数=(和-差)÷2 【解题思路和方法】 简单的题目可以直接套用公式;复杂的题目变通后再用公式。 例 1 甲乙两班共有学生 98 人,甲班比乙班多 6 人,求两班各有多少人? 解 甲班人数=(98+6)÷2=52(人) 乙班人数=(98-6)÷2=46(人) 答:甲班有 52 人,乙班有 46 人。 例 2 长方形的长和宽之和为 18 厘米,长比宽多 2 厘米,求长方形的面积。 解 长=(18+2)÷2=10(厘米) 宽=(18-2)÷2=8(厘米) 长方形的面积=10×8=80(平方厘米) 答:长方形的面积为 80 平方厘米。 例 3 有甲乙丙三袋化肥,甲乙两袋共重 32 千克,乙丙两袋共重 30 千克,甲丙两袋共重 22 千克, 求三袋化肥各重多少千克。 解 3 甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙,从中可以看出甲比丙多(32-30)=2 千克,且甲是大数, 丙是小数。由此可知 甲袋化肥重量=(22+2)÷2=12(千克) 丙袋化肥重量=(22-2)÷2=10(千克) 乙袋化肥重量=32-12=20(千克) 答:甲袋化肥重 12 千克,乙袋化肥重 20 千克,丙袋化肥重 10 千克。 例 4 甲乙两车原来共装苹果 97 筐,从甲车取下 14 筐放到乙车上,结果甲车比乙车还多 3 筐,两 车原来各装苹果多少筐? 解 “从甲车取下 14 筐放到乙车上,结果甲车比乙车还多 3 筐”,这说明甲车是大数,乙车是小 数,甲与乙的差是(14×2+3),甲与乙的和是 97,因此甲车筐数=(97+14×2+3)÷2=64 (筐) 乙车筐数=97-64=33(筐) 答:甲车原来装苹果 64 筐,乙车原来装苹果 33 筐。 4、和倍问题 【含义】 已知两个数的和及大数是小数的几倍(或小数是大数的几分之几),要求这两个数各是多少, 这类应用题叫做和倍问题。 【数量关系】 总和÷(几倍+1)=较小的数 总和-较小的数=较大的数 较小的数×几倍=较大的数 【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式,复杂的题目变通后利用公式。 例 1 果园里有杏树和桃树共 248 棵,桃树的棵数是杏树的 3 倍,求杏树、桃树各多少棵? 解 (1)杏树有多少棵?248÷(3+1)=62(棵) (2)桃树有多少棵?62×3=186(棵) 答:杏树有 62 棵,桃树有 186 棵。 例 2 东西两个仓库共存粮 480 吨,东库存粮数是西库存粮数的 1.4 倍,求两库各存粮多少吨? 解 (1)西库存粮数=480÷(1.4+1)=200(吨) (2)东库存粮数=480-200=280(吨) 答:东库存粮 280 吨,西库存粮 200 吨。 例 3 甲站原有车 52 辆,乙站原有车 32 辆,若每天从甲站开往乙站 28 辆,从乙站开往甲站 24 辆, 几天后乙站车辆数是甲站的 2 倍? 解 每天从甲站开往乙站 28 辆,从乙站开往甲站 24 辆,相当于每天从甲站开往乙站(28-24) 辆。把几天以后甲站的车辆数当作 1 倍量,这时乙站的车辆数就是 2 倍量,两站的车辆总数(52 +32)就相当于(2+1)倍, 那么,几天以后甲站的车辆数减少为 (52+32)÷(2+1)=28(辆) 所求天数为(52-28)÷(28-24)=6(天) 4 答:6 天以后乙站车辆数是甲站的 2 倍。 例 4 甲乙丙三数之和是 170,乙比甲的 2 倍少 4,丙比甲的 3 倍多 6,求三数各是多少? 解 乙丙两数都与甲数有直接关系,因此把甲数作为 1 倍量。 因为乙比甲的 2 倍少 4,所以给乙加上 4,乙数就变成甲数的 2 倍; 又因为丙比甲的 3 倍多 6,所以丙数减去 6 就变为甲数的 3 倍; 这时(170+4-6)就相当于(1+2+3)倍。那么, 甲数=(170+4-6)÷(1+2+3)=28 乙数=28×2-4=52 丙数=28×3+6=90 答:甲数是 28,乙数是 52,丙数是 90。 5、差倍问题 【含义】 已知两个数的差及大数是小数的几倍(或小数是大数的几分之几),要求这两个数各是多少, 这类应用题叫做差倍问题。 【数量关系】 两个数的差÷(几倍-1)=较小的数 较小的数×几倍=较大的数 【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式,复杂的题目变通后利用公式。 例 1 果园里桃树的棵数是杏树的 3 倍,而且桃树比杏树多 124 棵。求杏树、桃树各多少棵? 解 (1)杏树有多少棵?124÷(3-1)=62(棵) (2)桃树有多少棵?62×3=186(棵) 答:果园里杏树是 62 棵,桃树是 186 棵。 例 2 爸爸比儿子大 27 岁,今年,爸爸的年龄是儿子年龄的 4 倍,求父子二人今年各是多少岁? 解 (1)儿子年龄=27÷(4-1)=9(岁) (2)爸爸年龄=9×4=36(岁) 答:父子二人今年的年龄分别是 36 岁和 9 岁。 例 3 商场改革经营管理办法后,本月盈利比上月盈利的 2 倍还多 12 万元,又知本月盈利比上月盈 利多 30 万元,求这两个月盈利各是多少万元? 解 如果把上月盈利作为 1 倍量,则(30-12)万元就相当于上月盈利的(2-1)倍,因此 上月盈利=(30-12)÷(2-1)=18(万元) 本月盈利=18+30=48(万元) 答:上月盈利是 18 万元,本月盈利是 48 万元。 例 4 粮库有 94 吨小麦和 138 吨玉米,如果每天运出小麦和玉米各是 9 吨,问几天后剩下的玉米是 小麦的 3 倍? 解 由于每天运出的小麦和玉米的数量相等,所以剩下的数量差等于原来的数量差(138-94)。 把几天后剩下的小麦看作 1 倍量,则几天后剩下的玉米就是 3 倍量,那么,(138-94)就相当于 5 (3-1)倍,因此 剩下的小麦数量=(138-94)÷(3-1)=22(吨) 运出的小麦数量=94-22=72(吨) 运粮的天数=72÷9=8(天) 答:8 天以后剩下的玉米是小麦的 3 倍。 6、倍比问题 【含义】 有两个已知的同类量,其中一个量是另一个量的若干倍,解题时先求出这个倍数,再用倍比 的方法算出要求的数,这类应用题叫做倍比问题。 【数量关系】 总量÷一个数量=倍数 另一个数量×倍数=另一总量 【解题思路和方法】 先求出倍数,再用倍比关系求出要求的数。 例 1 100 千克油菜籽可以榨油 40 千克,现在有油菜籽 3700 千克,可以榨油多少? 解 (1)3700 千克是 100 千克的多少倍?3700÷100=37(倍) (2)可以榨油多少千克?40×37=1480(千克) 列成综合算式 40×(3700÷100)=1480(千克) 答:可以榨油 1480 千克。 例 2 今年植树节这天,某小学 300 名师生共植树 400 棵,照这样计算,全县 48000 名师生共植树 多少棵? 解 (1)48000 名是 300 名的多少倍?48000÷300=160(倍) (2)共植树多少棵?400×160=64000(棵) 列成综合算式 400×(48000÷300)=64000(棵) 答:全县 48000 名师生共植树 64000 棵。 例 3 凤翔县今年苹果大丰收,田家庄一户人家 4 亩果园收入 11111 元,照这样计算,全乡 800 亩 果园共收入多少元?全县 16000 亩果园共收入多少元? 解 (1)800 亩是 4 亩的几倍?800÷4=200(倍) (2)800 亩收入多少元?11111×200=2222200(元) (3)16000 亩是 800 亩的几倍?16000÷800=20(倍) (4)16000 亩收入多少元?2222200×20=44444000(元) 答:全乡 800 亩果园共收入 2222200 元,全县 16000 亩果园共收入 44444000 元。 7、相遇问题 【含义】 两个运动的物体同时由两地出发相向而行,在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。 【数量关系】 相遇时间=总路程÷(甲速+乙速) 总路程=(甲速+乙速)×相遇时间 【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式,复杂的题目变通后再利用公式。 6 例 1 南京到上海的水路长 392 千米,同时从两港各开出一艘轮船相对而行,从南京开出的船每小 时行 28 千米,从上海开出的船每小时行 21 千米,经过几小时两船相遇? 解 392÷(28+21)=8(小时) 答:经过 8 小时两船相遇。 例 2 小李和小刘在周长为 400 米的环形跑道上跑步,小李每秒钟跑 5 米,小刘每秒钟跑 3 米,他 们从同一地点同时出发,反向而跑,那么,二人从出发到第二次相遇需多长时间? 解 “第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈。 因此总路程为 400×2 相遇时间=(400×2)÷(5+3)=100(秒) 答:二人从出发到第二次相遇需 100 秒时间。 例 3 甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行,甲每小时行 15 千米,乙每小时行 13 千米,两人在 距中点 3 千米处相遇,求两地的距离。 解 “两人在距中点 3 千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。从题中可知甲骑得快,乙骑得 慢,甲过了中点 3 千米,乙距中点 3 千米,就是说甲比乙多走的路程是(3×2)千米,因此, 相遇时间=(3×2)÷(15-13)=3(小时) 两地距离=(15+13)×3=84(千米) 答:两地距离是 84 千米。 8、追及问题 【含义】 两个运动物体在不同地点同时出发(或者在同一地点而不是同时出发,或者在不同地点又不 是同时出发)作同向运动,在后面的,行进速度要快些,在前面的,行进速度较慢些,在一定时 间之内,后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。 【数量关系】 追及时间=追及路程÷(快速-慢速) 追及路程=(快速-慢速)×追及时间 【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式,复杂的题目变通后利用公式。 例 1 好马每天走 120 千米,劣马每天走 75 千米,劣马先走 12 天,好马几天能追上劣马? 解 (1)劣马先走 12 天能走多少千米?75×12=900(千米) (2)好马几天追上劣马?900÷(120-75)=20(天) 列成综合算式 75×12÷(120-75)=900÷45=20(天) 答:好马 20 天能追上劣马。 例 2 小明和小亮在 200 米环形跑道上跑步,小明跑一圈用 40 秒,他们从同一地点同时出发,同向 而跑。小明第一次追上小亮时跑了 500 米,求小亮的速度是每秒多少米。 解 小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈,即 200 米,此时小亮跑了(500-200)米,要知小 亮的速度,须知追及时间,即小明跑 500 米所用的时间。又知小明跑 200 米用 40 秒,则跑 500 米用[40×(500÷200)]秒,所以小亮的速度是 7 (500-200)÷[40×(500÷200)] =300÷100=3(米) 答:小亮的速度是每秒 3 米。 例 3 我人民解放军追击一股逃窜的敌人,敌人在下午 16 点开始从甲地以每小时 10 千米的速度逃 跑,解放军在晚上 22 点接到命令,以每小时 30 千米的速度开始从乙地追击。已知甲乙两地相距 60 千米,问解放军几个小时可以追上敌人? 解 敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是(22-16)小时,这段时间敌人逃跑的路程是[10× (22-6)]千米,甲乙两地相距 60 千米。由此推知 追及时间=[10×(22-6)+60]÷(30-10) =220÷20=11(小时) 答:解放军在 11 小时后可以追上敌人。 例 4 一辆客车从甲站开往乙站,每小时行 48 千米;一辆货车同时从乙站开往甲站,每小时行 40 千米,两车在距两站中点 16 千米处相遇,求甲乙两站的距离。 解 这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从题中可知客车落后于货车(16×2)千米, 客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间, 这个时间为 16×2÷(48-40)=4(小时) 所以两站间的距离为(48+40)×4=352(千米) 列成综合算式(48+40)×[16×2÷(48-40)] =88×4 =352(千米) 答:甲乙两站的距离是 352 千米。 9、植树问题 【含义】 按相等的距离植树,在距离、棵距、棵数这三个量之间,已知其中的两个量,要求第三个量, 这类应用题叫做植树问题。 【数量关系】 线形植树棵数=距离÷棵距+1 环形植树棵数=距离÷棵距 方形植树棵数=距离÷棵距-4 三角形植树棵数=距离÷棵距-3 面积植树棵数=面积÷(棵距×行距) 【解题思路和方法】 先弄清楚植树问题的类型,然后可以利用公式。 例 1 一条河堤 136 米,每隔 2 米栽一棵垂柳,头尾都栽,一共要栽多少棵垂柳? 解 136÷2+1=68+1=69(棵) 答:一共要栽 69 棵垂柳。 例 2 一个圆形池塘周长为 400 米,在岸边每隔 4 米栽一棵白杨树,一共能栽多少棵白杨树? 解 400÷4=100(棵) 答:一共能栽 100 棵白杨树。 8 例 3 一个正方形的运动场,每边长 220 米,每隔 8 米安装一个照明灯,一共可以安装多少个照明 灯? 解 220×4÷8-4=110-4=106(个) 答:一共可以安装 106 个照明灯。 例 4 给一个面积为 96 平方米的住宅铺设地板砖,所用地板砖的长和宽分别是 60 厘米和 40 厘米, 问至少需要多少块地板砖? 解 96÷(0.6×0.4)=96÷0.24=400(块) 答:至少需要 400 块地板砖。 例 5 一座大桥长 500 米,给桥两边的电杆上安装路灯,若每隔 50 米有一个电杆,每个电杆上安装 2 盏路灯,一共可以安装多少盏路灯? 解 (1)桥的一边有多少个电杆?500÷50+1=11(个) (2)桥的两边有多少个电杆?11×2=22(个) (3)大桥两边可安装多少盏路灯?22×2=44(盏) 答:大桥两边一共可以安装 44 盏路灯。 10、年龄问题 【含义】 这类问题是根据题目的内容而得名,它的主要特点是两人的年龄差不变,但是,两人年龄之 间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。 【数量关系】 年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系,尤其与差倍问题的解题思路是一致的, 要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。 【解题思路和方法】 可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。 例 1 爸爸今年 35 岁,亮亮今年 5 岁,今年爸爸的年龄是亮亮的几倍?明年呢? 解 35÷5=7(倍) (35+1)÷(5+1)=6(倍) 答:今年爸爸的年龄是亮亮的 7 倍, 明年爸爸的年龄是亮亮的 6 倍。 例 2 母亲今年 37 岁,女儿今年 7 岁,几年后母亲的年龄是女儿的 4 倍? 解 (1)母亲比女儿的年龄大多少岁?37-7=30(岁) (2)几年后母亲的年龄是女儿的 4 倍?30÷(4-1)-7=3(年) 列成综合算式(37-7)÷(4-1)-7=3(年) 答:3 年后母亲的年龄是女儿的 4 倍。 例 3 甲对乙说:“当我的岁数曾经是你现在的岁数时,你才 4 岁”。乙对甲说:“当我的岁数将 来是你现在的岁数时,你将 61 岁”。求甲乙现在的岁数各是多少? 解 9 这里涉及到三个年份:过去某一年、今年、将来某一年。列表分析: 过去某一年 今年 将来某一年 甲 □岁 △岁 61 岁 乙 4 岁 □岁 △岁 表中两个“□”表示同一个数,两个“△”表示同一个数。 因为两个人的年龄差总相等:□-4=△-□=61-△,也就是 4,□,△,61 成等差数列, 所以,61 应该比 4 大 3 个年龄差, 因此二人年龄差为(61-4)÷3=19(岁) 甲今年的岁数为△=61-19=42(岁) 乙今年的岁数为□=42-19=23(岁) 答:甲今年的岁数是 42 岁,乙今年的岁数是 23 岁。 11、行船问题 【含义】 行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速,船速是船只本身航行 的速度,也就是船只在静水中航行的速度;水速是水流的速度,船只顺水航行的速度是船速与水 速之和;船只逆水航行的速度是船速与水速之差。 【数量关系】 (顺水速度+逆水速度)÷2=船速 (顺水速度-逆水速度)÷2=水速 顺水速=船速×2-逆水速=逆水速+水速×2 逆水速=船速×2-顺水速=顺水速-水速×2 【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。 例 1 一只船顺水行 320 千米需用 8 小时,水流速度为每小时 15 千米,这只船逆水行这段路程需用 几小时? 解 由条件知,顺水速=船速+水速=320÷8,而水速为每小时 15 千米,所以,船速为每小时 320÷8-15=25(千米) 船的逆水速为 25-15=10(千米) 船逆水行这段路程的时间为 320÷10=32(小时) 答:这只船逆水行这段路程需用 32 小时。 例 2 甲船逆水行 360 千米需 18 小时,返回原地需 10 小时;乙船逆水行同样一段距离需 15 小时, 返回原地需多少时间? 解 由题意得甲船速+水速=360÷10=36 甲船速-水速=360÷18=20 可见(36-20)相当于水速的 2 倍, 所以,水速为每小时(36-20)÷2=8(千米) 又因为,乙船速-水速=360÷15, 所以,乙船速为 360÷15+8=32(千米) 乙船顺水速为 32+8=40(千米) 所以,乙船顺水航行 360 千米需要 360÷40=9(小时) 答:乙船返回原地需要 9 小时。 10 12、列车问题 【含义】 这是与列车行驶有关的一些问题,解答时要注意列车车身的长度。 【数量关系】 火车过桥:过桥时间=(车长+桥长)÷车速 火车追及:追及时间=(甲车长+乙车长+距离) ÷(甲车速-乙车速) 火车相遇:相遇时间=(甲车长+乙车长+距离) ÷(甲车速+乙车速) 【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。 例 1 一座大桥长 2400 米,一列火车以每分钟 900 米的速度通过大桥,从车头开上桥到车尾离开桥 共需要 3 分钟。这列火车长多少米? 解 火车 3 分钟所行的路程,就是桥长与火车车身长度的和。 (1)火车 3 分钟行多少米?900×3=2700(米) (2)这列火车长多少米?2700-2400=300(米) 列成综合算式 900×3-2400=300(米) 答:这列火车长 300 米。 例 2 一列长 200 米的火车以每秒 8 米的速度通过一座大桥,用了 2 分 5 秒钟时间,求大桥的长度 是多少米? 解 火车过桥所用的时间是 2 分 5 秒=125 秒,所走的路程是(8×125)米,这段路程就是(200 米+桥长),所以,桥长为 8×125-200=800(米) 答:大桥的长度是 800 米。 例 3 一列长 225 米的慢车以每秒 17 米的速度行驶,一列长 140 米的快车以每秒 22 米的速度在后 面追赶,求快车从追上到追过慢车需要多长时间? 解 从追上到追过,快车比慢车要多行(225+140)米,而快车比慢车每秒多行(22-17)米, 因此,所求的时间为 (225+140)÷(22-17)=73(秒) 答:需要 73 秒。 例 4 一列长 150 米的列车以每秒 22 米的速度行驶,有一个扳道工人以每秒 3 米的速度迎面走来, 那么,火车从工人身旁驶过需要多少时间? 解 如果把人看作一列长度为零的火车,原题就相当于火车相遇问题。 150÷(22+3)=6(秒) 答:火车从工人身旁驶过需要 6 秒钟。 13、时钟问题 【含义】 就是研究钟面上时针与分针关系的问题,如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为 11 60 度等。时钟问题可与追及问题相类比。 【数量关系】 分针的速度是时针的 12 倍, 二者的速度差为 11/12。 通常按追及问题来对待,也可以按差倍问题来计算。 【解题思路和方法】 变通为“追及问题”后可以直接利用公式。 例 1 从时针指向 4 点开始,再经过多少分钟时针正好与分针重合? 解 钟面的一周分为 60 格,分针每分钟走一格,每小时走 60 格;时针每小时走 5 格,每分钟走 5/60=1/12 格。每分钟分针比时针多走(1-1/12)=11/12 格。4 点整,时针在前,分针在后, 两针相距 20 格。所以 分针追上时针的时间为 20÷(1-1/12)≈22(分) 答:再经过 22 分钟时针正好与分针重合。 例 2 四点和五点之间,时针和分针在什么时候成直角? 解 钟面上有 60 格,它的 1/4 是 15 格,因而两针成直角的时候相差 15 格(包括分针在时针的前 或后 15 格两种情况)。四点整的时候,分针在时针后(5×4)格,如果分针在时针后与它成直角, 那么分针就要比时针多走(5×4-15)格,如果分针在时针前与它成直角,那么分针就要比时针 多走(5×4+15)格。再根据 1 分钟分针比时针多走(1-1/12)格就可以求出二针成直角的时间。 (5×4-15)÷(1-1/12)≈6(分) (5×4+15)÷(1-1/12)≈38(分) 答:4 点 06 分及 4 点 38 分时两针成直角。 例 3 六点与七点之间什么时候时针与分针重合? 解 六点整的时候,分针在时针后(5×6)格,分针要与时针重合,就得追上时针。这实际上是 一个追及问题。 (5×6)÷(1-1/12)≈33(分) 答:6 点 33 分的时候分针与时针重合。 14、盈亏问题 【含义】 根据一定的人数,分配一定的物品,在两次分配中,一次有余(盈),一次不足(亏),或 两次都有余,或两次都不足,求人数或物品数,这类应用题叫做盈亏问题。 【数量关系】 一般地说,在两次分配中,如果一次盈,一次亏,则有: 参加分配总人数=(盈+亏)÷分配差 如果两次都盈或都亏,则有: 参加分配总人数=(大盈-小盈)÷分配差 参加分配总人数=(大亏-小亏)÷分配差 【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。 例 1 给幼儿园小朋友分苹果,若每人分 3 个就余 11 个;若每人分 4 个就少 1 个。问有多少小朋友? 有多少个苹果? 12 解 按照“参加分配的总人数=(盈+亏)÷分配差”的数量关系: (1)有小朋友多少人?(11+1)÷(4-3)=12(人) (2)有多少个苹果?3×12+11=47(个) 答:有小朋友 12 人,有 47 个苹果。 例 2 修一条公路,如果每天修 260 米,修完全长就得延长 8 天;如果每天修 300 米,修完全长仍 得延长 4 天。这条路全长多少米? 解 题中原定完成任务的天数,就相当于“参加分配的总人数”,按照“参加分配的总人数=(大 亏-小亏)÷分配差”的数量关系,可以得知 原定完成任务的天数为 (260×8-300×4)÷(300-260)=22(天) 这条路全长为 300×(22+4)=7800(米) 答:这条路全长 7800 米。 例 3 学校组织春游,如果每辆车坐 40 人,就余下 30 人;如果每辆车坐 45 人,就刚好坐完。问有 多少车?多少人? 解 本题中的车辆数就相当于“参加分配的总人数”,于是就有 (1)有多少车?(30-0)÷(45-40)=6(辆) (2)有多少人?40×6+30=270(人) 答:有 6 辆车,有 270 人。 15、工程问题 【含义】 工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中, 常常不给出工作量的具体数量,只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工 作”等,在解题时,常常用单位“1”表示工作总量。 【数量关系】 解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”,这样,工作效率就是工作时间的倒数(它表示 单位时间内完成工作总量的几分之几),进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间 的关系列出算式。 工作量=工作效率×工作时间 工作时间=工作量÷工作效率 工作时间=总工作量÷(甲工作效率+乙工作效率) 【解题思路和方法】 变通后可以利用上述数量关系的公式。 例 1 一项工程,甲队单独做需要 10 天完成,乙队单独做需要 15 天完成,现在两队合作,需要几 天完成? 解 题中的“一项工程”是工作总量,由于没有给出这项工程的具体数量,因此,把此项工程看 作单位“1”。由于甲队独做需 10 天完成,那么每天完成这项工程的 1/10;乙队单独做需 15 天 完成,每天完成这项工程的 1/15;两队合做,每天可以完成这项工程的(1/10+1/15)。 由此可以列出算式:1÷(1/10+1/15)=1÷1/6=6(天) 答:两队合做需要 6 天完成。 例 2 13 一批零件,甲独做 6 小时完成,乙独做 8 小时完成。现在两人合做,完成任务时甲比乙多做 24 个,求这批零件共有多少个? 解一 设总工作量为 1,则甲每小时完成 1/6,乙每小时完成 1/8,甲比乙每小时多完成(1/6-1/8), 二人合做时每小时完成(1/6+1/8)。因为二人合做需要[1÷(1/6+1/8)]小时,这个时间内, 甲比乙多做 24 个零件,所以 (1)每小时甲比乙多做多少零件? 24÷[1÷(1/6+1/8)]=7(个) (2)这批零件共有多少个? 7÷(1/6-1/8)=168(个) 答:这批零件共有 168 个。 解二 上面这道题还可以用另一种方法计算: 两人合做,完成任务时甲乙的工作量之比为 1/6∶1/8=4∶3 由此可知,甲比乙多完成总工作量的 4-3/4+3=1/7 所以,这批零件共有 24÷1/7=168(个) 例 3 一件工作,甲独做 12 小时完成,乙独做 10 小时完成,丙独做 15 小时完成。现在甲先做 2 小时,余下的由乙丙二人合做,还需几小时才能完成? 解 必须先求出各人每小时的工作效率。如果能把效率用整数表示,就会给计算带来方便,因此, 我们设总工作量为 12、10、和 15 的某一公倍数,例如最小公倍数 60,则甲乙丙三人的工作效率 分别是 60÷12=560÷10=660÷15=4 因此余下的工作量由乙丙合做还需要 (60-5×2)÷(6+4)=5(小时) 答:还需要 5 小时才能完成。 例 4 一个水池,底部装有一个常开的排水管,上部装有若干个同样粗细的进水管。当打开 4 个进 水管时,需要 5 小时才能注满水池;当打开 2 个进水管时,需要 15 小时才能注满水池;现在要用 2 小时将水池注满,至少要打开多少个进水管? 解 注(排)水问题是一类特殊的工程问题。往水池注水或从水池排水相当于一项工程,水的流 量就是工作量,单位时间内水的流量就是工作效率。 要 2 小时内将水池注满,即要使 2 小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水。为此需要知 道进水管、排水管的工作效率及总工作量(一池水)。只要设某一个量为单位 1,其余两个量便 可由条件推出。 我们设每个同样的进水管每小时注水量为 1,则 4 个进水管 5 小时注水量为(1×4×5),2 个进水管 15 小时注水量为(1×2×15),从而可知 每小时的排水量为(1×2×15-1×4×5)÷(15-5)=1 即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。由此可知 一池水的总工作量为 1×4×5-1×5=15 又因为在 2 小时内,每个进水管的注水量为 1×2, 所以,2 小时内注满一池水 至少需要多少个进水管?(15+1×2)÷(1×2) =8.5≈9(个) 答:至少需要 9 个进水管。 14 16、正反比例问题 【含义】 两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比 的比值一定(即商一定),那么这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系叫做正比例关系。正 比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。 两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积 一定,这两种量就叫做成反比例的量,它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意 义和解比例等知识的综合运用。 【数量关系】 判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问 题去解决,而且比较简捷。 【解题思路和方法】 解决这类问题的重要方法是:把分率(倍数)转化为比,应用比和比例的性质去解应用题。 正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。 例 1 修一条公路,已修的是未修的 1/3,再修 300 米后,已修的变成未修的 1/2,求这条公路总长 是多少米? 解 由条件知,公路总长不变。 原已修长度∶总长度=1∶(1+3)=1∶4=3∶12 现已修长度∶总长度=1∶(1+2)=1∶3=4∶12 比较以上两式可知,把总长度当作 12 份,则 300 米相当于(4-3)份,从而知公路总长为 300÷(4-3)×12=3600(米) 答:这条公路总长 3600 米。 例 2 张晗做 4 道应用题用了 28 分钟,照这样计算,91 分钟可以做几道应用题? 解 做题效率一定,做题数量与做题时间成正比例关系 设 91 分钟可以做 X 应用题则有 28∶4=91∶X 28X=91×4X=91×4÷28X=13 答:91 分钟可以做 13 道应用题。 例 3 孙亮看《十万个为什么》这本书,每天看 24 页,15 天看完,如果每天看 36 页,几天就可以 看完? 解 书的页数一定,每天看的页数与需要的天数成反比例关系 设 X 天可以看完,就有 24∶36=X∶15 36X=24×15X=10 答:10 天就可以看完。 17、按比例分配问题 【含义】 所谓按比例分配,就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形 式:一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数,另一种是直接给出份数。 【数量关系】 从条件看,已知总量和几个部分量的比;从问题看,求几个部分量各是多少。总份数=比的 前后项之和 15 【解题思路和方法】 先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几,把比的前后项相加求出总份数,再求各部分 占总量的几分之几(以总份数作分母,比的前后项分别作分子),再按照求一个数的几分之几是 多少的计算方法,分别求出各部分量的值。 例 1 学校把植树 560 棵的任务按人数分配给五年级三个班,已知一班有 47 人,二班有 48 人,三 班有 45 人,三个班各植树多少棵? 解 总份数为 47+48+45=140 一班植树 560×47/140=188(棵) 二班植树 560×48/140=192(棵) 三班植树 560×45/140=180(棵) 答:一、二、三班分别植树 188 棵、192 棵、180 棵。 例 2 用 60 厘米长的铁丝围成一个三角形,三角形三条边的比是 3∶4∶5。三条边的长各是多少厘 米? 解 3+4+5=1260×3/12=15(厘米) 60×4/12=20(厘米) 60×5/12=25(厘米) 答:三角形三条边的长分别是 15 厘米、20 厘米、25 厘米。 例 3 从前有个牧民,临死前留下遗言,要把 17 只羊分给三个儿子,大儿子分总数的 1/2,二儿子 分总数的 1/3,三儿子分总数的 1/9,并规定不许把羊宰割分,求三个儿子各分多少只羊。 解 如果用总数乘以分率的方法解答,显然得不到符合题意的整数解。如果用按比例分配的方法 解,则很容易得到 1/2∶1/3∶1/9=9∶6∶2 9+6+2=1717×9/17=9 17×6/17=617×2/17=2 答:大儿子分得 9 只羊,二儿子分得 6 只羊,三儿子分得 2 只羊。 例 4 某工厂第一、二、三车间人数之比为 8∶12∶21,第一车间比第二车间少 80 人,三个车间共 多少人? 解 80÷(12-8)×(8+12+21)=820(人) 答:三个车间一共 820 人。 18、百分数问题 【含义】 百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分数常常可以 通分、约分,而百分数则无需;分数既可以表示“率”,也可以表示“量”,而百分数只能表示 “率”;分数的分子、分母必须是自然数,而百分数的分子可以是小数;百分数有一个专门的记 号“%”。 在实际中和常用到“百分点”这个概念,一个百分点就是 1%,两个百分点就是 2%。 【数量关系】 掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系: 百分数=比较量÷标准量 16 标准量=比较量÷百分数 【解题思路和方法】 一般有三种基本类型: (1)求一个数是另一个数的百分之几; (2)已知一个数,求它的百分之几是多少; (3)已知一个数的百分之几是多少,求这个数。 例 1 仓库里有一批化肥,用去 720 千克,剩下 6480 千克,用去的与剩下的各占原重量的百分之几? 解 (1)用去的占 720÷(720+6480)=10% (2)剩下的占 6480÷(720+6480)=90% 答:用去了 10%,剩下 90%。 例 2 红旗化工厂有男职工 420 人,女职工 525 人,男职工人数比女职工少百分之几? 解 本题中女职工人数为标准量,男职工比女职工少的人数是比较量所以(525-420)÷525=0.2 =20% 或者 1-420÷525=0.2=20% 答:男职工人数比女职工少 20%。 例 3 红旗化工厂有男职工 420 人,女职工 525 人,女职工比男职工人数多百分之几? 解 本题中以男职工人数为标准量,女职工比男职工多的人数为比较量,因此 (525-420)÷420=0.25=25% 或者 525÷420-1=0.25=25% 答:女职工人数比男职工多 25%。 例 4 红旗化工厂有男职工 420 人,有女职工 525 人,男、女职工各占全厂职工总数的百分之几? 解 (1)男职工占 420÷(420+525)=0.444=44.4% (2)女职工占 525÷(420+525)=0.556=55.6% 答:男职工占全厂职工总数的 44.4%,女职工占 55.6%。 19、“牛吃草”问题 【含义】 “牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题,也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于要考 虑草边吃边长这个因素。 【数量关系】 草总量=原有草量+草每天生长量×天数 【解题思路和方法】 解这类题的关键是求出草每天的生长量。 例 1 一块草地,10 头牛 20 天可以把草吃完,15 头牛 10 天可以把草吃完。问多少头牛 5 天可以把 草吃完? 解 草是均匀生长的,所以,草总量=原有草量+草每天生长量×天数。求“多少头牛 5 天可以 把草吃完”,就是说 5 天内的草总量要 5 天吃完的话,得有多少头牛?设每头牛每天吃草量为 1, 按以下步骤解答: 17 (1)求草每天的生长量 因为,一方面 20 天内的草总量就是 10 头牛 20 天所吃的草,即(1×10×20);另一方面, 20 天内的草总量又等于原有草量加上 20 天内的生长量,所以 1×10×20=原有草量+20 天内生长量 同理 1×15×10=原有草量+10 天内生长量 由此可知(20-10)天内草的生长量为 1×10×20-1×15×10=50 因此,草每天的生长量为 50÷(20-10)=5 (2)求原有草量 原有草量=10 天内总草量-10 内生长量=1×15×10-5×10=100 (3)求 5 天内草总量 5 天内草总量=原有草量+5 天内生长量=100+5×5=125 (4)求多少头牛 5 天吃完草 因为每头牛每天吃草量为 1,所以每头牛 5 天吃草量为 5。 因此 5 天吃完草需要牛的头数 125÷5=25(头) 答:需要 5 头牛 5 天可以把草吃完。 例 2 一只船有一个漏洞,水以均匀速度进入船内,发现漏洞时已经进了一些水。如果有 12 个人淘 水,3 小时可以淘完;如果只有 5 人淘 水,要 10 小时才能淘完。求 17 人几小时可以淘完? 解 这是一道变相的“牛吃草”问题。与上题不同的是,最后一问给出了人数(相当于“牛数”), 求时间。设每人每小时淘水量为 1,按以下步骤计算: (1)求每小时进水量 因为,3 小时内的总水量=1×12×3=原有水量+3 小时进水量 10 小时内的总水量=1×5×10=原有水量+10 小时进水量 所以,(10-3)小时内的进水量为 1×5×10-1×12×3=14 因此,每小时的进水量为 14÷(10-3)=2 (2)求淘水前原有水量 原有水量=1×12×3-3 小时进水量=36-2×3=30 (3)求 17 人几小时淘完 17 人每小时淘水量为 17,因为每小时漏进水为 2,所以实际上船中每小时减少的水量为(17 -2),所以 17 人淘完水的时间是 30÷(17-2)=2(小时) 答:17 人 2 小时可以淘完水。 20、鸡兔同笼问题 【含义】 这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚,求鸡、兔各有多少只的问 题,叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差,求鸡、兔各是多少的问题叫做 第二鸡兔同笼问题。 【数量关系】 第一鸡兔同笼问题: 假设全都是鸡,则有 兔数=(实际脚数-2×鸡兔总数)÷(4-2) 假设全都是兔,则有 鸡数=(4×鸡兔总数-实际脚数)÷(4-2) 第二鸡兔同笼问题: 18 假设全都是鸡,则有 兔数=(2×鸡兔总数-鸡与兔脚之差)÷(4+2) 假设全都是兔,则有 鸡数=(4×鸡兔总数+鸡与兔脚之差)÷(4+2) 【解题思路和方法】 解答此类题目一般都用假设法,可以先假设都是鸡,也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡, 然后以兔换鸡;如果先假设都是兔,然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设,再置 换,使问题得到解决。 例 1 长毛兔子芦花鸡,鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五,脚数共有九十四。请你仔细算一算, 多少兔子多少鸡? 解 假设 35 只全为兔,则 鸡数=(4×35-94)÷(4-2)=23(只) 兔数=35-23=12(只) 也可以先假设 35 只全为鸡,则 兔数=(94-2×35)÷(4-2)=12(只) 鸡数=35-12=23(只) 答:有鸡 23 只,有兔 12 只。 例 2 2 亩菠菜要施肥 1 千克,5 亩白菜要施肥 3 千克,两种菜共 16 亩,施肥 9 千克,求白菜有多 少亩? 解 此题实际上是改头换面的“鸡兔同笼”问题。“每亩菠菜施肥(1÷2)千克”与“每只鸡有 两个脚”相对应,“每亩白菜施肥(3÷5)千克”与“每只兔有 4 只脚”相对应,“16 亩”与“鸡 兔总数”相对应,“9 千克”与“鸡兔总脚数”相对应。假设 16 亩全都是菠菜,则有 白菜亩数=(9-1÷2×16)÷(3÷5-1÷2)=10(亩) 答:白菜地有 10 亩。 例 3 李老师用 69 元给学校买作业本和日记本共 45 本,作业本每本 3.20 元,日记本每本 0.70 元。 问作业本和日记本各买了多少本? 解 此题可以变通为“鸡兔同笼”问题。假设 45 本全都是日记本,则有 作业本数=(69-0.70×45)÷(3.20-0.70)=15(本) 日记本数=45-15=30(本) 答:作业本有 15 本,日记本有 30 本。 例 4 (第二鸡兔同笼问题)鸡兔共有 100 只,鸡的脚比兔的脚多 80 只,问鸡与兔各多少只? 解 假设 100 只全都是鸡,则有 兔数=(2×100-80)÷(4+2)=20(只) 鸡数=100-20=80(只) 答:有鸡 80 只,有兔 20 只。 例 5 有 100 个馍 100 个和尚吃,大和尚一人吃 3 个馍,小和尚 3 人吃 1 个馍,问大小和尚各多少 人? 解 假设全为大和尚,则共吃馍(3×100)个,比实际多吃(3×100-100)个,这是因为把小和 19 尚也算成了大和尚,因此我们在保证和尚总数 100 不变的情况下,以“小”换“大”,一个小和 尚换掉一个大和尚可减少馍(3-1/3)个。因此,共有小和尚 (3×100-100)÷(3-1/3)=75(人) 共有大和尚 100-75=25(人) 答:共有大和尚 25 人,有小和尚 75 人。 21、方阵问题 【含义】 将若干人或物依一定条件排成正方形(简称方阵),根据已知条件求总人数或总物数,这类 问题就叫做方阵问题。 【数量关系】 (1)方阵每边人数与四周人数的关系: 四周人数=(每边人数-1)×4 每边人数=四周人数÷4+1 (2)方阵总人数的求法: 实心方阵:总人数=每边人数×每边人数 空心方阵:总人数=(外边人数)?-(内边人数)? 内边人数=外边人数-层数×2 (3)若将空心方阵分成四个相等的矩形计算,则: 总人数=(每边人数-层数)×层数×4 【解题思路和方法】 方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘;空心方阵的变化较多,其 解答方法应根据具体情况确定。 例 1 在育才小学的运动会上,进行体操表演的同学排成方阵,每行 22 人,参加体操表演的同学一 共有多少人? 解 22×22=484(人) 答:参加体操表演的同学一共有 484 人。 例 2 有一个 3 层中空方阵,最外边一层有 10 人,求全方阵的人数。 解 10-(10-3×2)? =84(人) 答:全方阵 84 人。 例 3 有一队学生,排成一个中空方阵,最外层人数是 52 人,最内层人数是 28 人,这队学生共多 少人? 解 (1)中空方阵外层每边人数=52÷4+1=14(人) (2)中空方阵内层每边人数=28÷4-1=6(人) (3)中空方阵的总人数=14×14-6×6=160(人) 答:这队学生共 160 人。 例 4 一堆棋子,排列成正方形,多余 4 棋子,若正方形纵横两个方向各增加一层,则缺少 9 只棋 子,问有棋子多少个? 解 (1)纵横方向各增加一层所需棋子数=4+9=13(只) 20 (2)纵横增加一层后正方形每边棋子数=(13+1)÷2=7(只) (3)原有棋子数=7×7-9=40(只) 答:棋子有 40 只。 例 5 有一个三角形树林,顶点上有 1 棵树,以下每排的树都比前一排多 1 棵,最下面一排有 5 棵 树。这个树林一共有多少棵树? 解 第一种方法:1+2+3+4+5=15(棵) 第二种方法:(5+1)×5÷2=15(棵) 答:这个三角形树林一共有 15 棵树。
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