人教版五年级数学上册第六单元多边形的面积PPT

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多边形的面积 6 平行四边形的面积 人教版 五年级 数学 上册 你发现了哪些图形？你会计算它们的面积吗？ 这两个花坛哪一个大呢？ 要 比较大小， 需要求 它 们的 面积 我只会求长方形的 面积 … 这 节课我们就来一起学习 如何计算 平行四边形 的面积 。 小组讨论： 我们是用什么方法得出长方形的面积的计算公式的？ 用数方格的 方式试一试。 面积是 24 cm² 平行四边形 底 高 面积 长方形 长 宽 面积 6 cm 6 cm 4 cm 4 cm 24 cm² 24 cm² 底 = 长 高 = 宽 平行四边形 面积 = 长方形 面积 面积是 24 cm² 在 方格纸上数一数，然后填写下表。（一个方格代表 1m 2 ，不满一格的都按半格计算。） 不数方格 , 能不能计算平行四边形的面积呢？ 用“一剪一拼”的 “割补”方法。 动手操作 “割补” 法 底 高 长方形面积 = 长 × 宽 平行四边形 面积 = 底 高 × 底 高 长方形面积 = 长 × 宽 平行四边形面积 = 底 高 × “割补” 法 “割补” 法 “割补” 法 长方形面积 = 长 × 宽 平行四边形面积 = 底 高 × 底 高 底 高 底 高 底 高 平行四边形 的面积 = ________ 底 × 高 底 = 长 高 = 宽 平行四边形面积 = 长方形面积 议一议 : 观察原来的平行四边形和转化后的长方形， 你发现它们之间有哪些等量关系？ 如果用 S 表示 平行四边形的面积 ，用 a 表示平 行四边形的 底 ，用 h 表示平行四边形的 高 ，平行四 边形的面积计算公式可以写成 ： S = ah 小组讨论： 刚才我们是怎样一步一步地研究推导出平行四边形面积的计算公式的？ 平行四边形 （新） 长方形 （旧） 转化（割补） 推导 联系 = 6×4 …… 代入数求值 …… 加单位名称 例题 1 平行四边形花坛的底是 6 m ， 高是 4 m ， 它 的面积是多少 ？ S=ah …… 先写字母带入公式 = 24( ) 答：它的面积是 24 。 填一填。 （ 1 ）把一个长方形木框拉成一个 平行四边形，（ ）不变，它的高和面积（ ）。 （ 2 ）平行四边形的高不变，底扩大为原来的 2 倍，面积（ ）。 周长 改变 扩大为原来的 2 倍 计算下面平行四边形的面积。 S = ah 20×13= 260(c ) 算出下面平行四边形面积 ? 15 厘米 8 厘米 12 厘米 10 厘米 方法一 : 方法二 : 答：平行四边形的面积 是 120 平方厘米 。 S = ah =15×8 =120( 平方厘米 ） S = ah =10×12 =120( 平方厘米 ) 一块 平行四边形的菜地，底是 20 m ，高是 16 m ，若每棵大白菜占 地 0.16 m 2 ，这块地可种多少棵 大白菜 ? 答： 这块地可 种 2000 棵 大白菜。 20×16÷0.16 = 2000 ( 棵 ) 菜地面积 ÷ 每棵菜占地 面积 = 可以 种的棵数 S = ah 规范 解答 : 一块平行四边形的菜园 ， 底长 8.5 m ， 高 6 m ， 它的面积是多少 ？ 8.5×6 = 51( ) 答 ： 它的面积 是 51 。 S = ah 这节课你们都学会了哪些知识？ 长方形的面积 = 长 × 宽 平行四边形的面积 底 高 S = a × h = a · h = ah = × 平行四边形的面积 “割补” 法 多边形的面积 6 三角形的面积 怎样算出红领巾的面积呢？ 能不能把三角形也转化成学过的图形？ 我们试一试。 活动 : 动动手，摆一摆。 平行四边形 （新） 长方形 （旧） 转化（割补） 推导 联系 三角形（新） 已学过的图形（旧） 思考： 我们是怎样推导出平行四边形面积 的计算公 式 的？ 动手操作 准备活动物品： 底 高 锐角三角形 ： 底 高 底 高 平行四边形 的面积 = 底 × 高 2 个 三角形的 面积 = 底 × 高 三角形的 面积 = 底 × 高 ÷2 拼接法： 底 高 钝角三角形： 底 高 平行四边形 的面积 = 底 × 高 2 个 三角形的 面积 = 底 × 高 三角形的 面积 = 底 × 高 ÷2 底 高 直角三角形： 底 高 平行四边形 的面积 = 底 × 高 2 个 三角形的 面积 = 底 × 高 三角形的 面积 = 底 × 高 ÷2 底 高 底 高 直角三角形： 平行四边形 的面积 = 底 × 高 2 个 三角形的 面积 = 底 × 高 三角形的 面积 = 底 × 高 ÷2 说一说 : 通过观察拼成的平行四边形和原来的三角 形 , 你发现了什么 ? 只要是两个完全一样的三角形，我们就能把 它们拼成一个平行四边形或长方形、正方形，充 分论证了 三角形的 面积 = 底 × 高 ÷ 2 。 底 高 底 高 底 高 底 高 底 高 底 高 底 高 底 高 割补 法 小组讨论： 只用一个三角形就可以推导出三角形 的 面积 计算公式吗？ 割补法一： 底 高 平行四边形 的面积 = 底 × 高 三角形 的 面积 = 底 × ( 高 ÷2 ) 三角形的 面积 = 底 × 高 ÷2 割补法二： 底 高 长方形 的面积 = 长 × 宽 三角形 的 面积 = 底 × ( 高 ÷2 ) 三角形的 面积 = 底 × 高 ÷2 割补法三： 底 高 长方形 的 面积 = 长 × 宽 三角形的 面积 的 一半 =( 底 ÷ 2 ) × ( 高 ÷2 ) 三角形的 面积 = 底 × 高 ÷2 说一说 : 只要是运用相应的方法把一个三角形 割补 或 折叠 后 ，我们就能把它们转化成一个平行四边形或 长方形， 充分 论证了 三角形的 面积 = 底 × 高 ÷ 2 。 底 高 底 高 底 高 如果 用 S 表示三角形的 面积 ，用 a 表示 三角形的 底 ， 用 h 表示三角形底边上的 高 ，三角形的 面积 公式可以写成： S = ah ÷2 h a 红领巾的底是 100 cm ， 高 33 cm ， 它的面积 是多少平方厘米 ？ S = ah ÷2 = 100×33÷2 = 1650 ( cm 2 ) 答 ： 它的面积 是 1650 cm 2 。 例题 2 100 cm 33cm 一块三角形铁片，长是 8 cm ，高是 4 cm ， 面积是多少？ S = ah ÷2 = 8×4÷2 = 16 (cm 2 ) 答： 面积 是 16 cm 2 。 一块 玻璃的形状是一个三角形，它的 底是 12.5 dm ，高是 7.8 dm 。每平方米玻璃的价钱是 68 元，买这块玻璃要用多少钱？ 已知条件、要求问题分别是什么？ 已知条件 要求问题 如何计算，涉及到哪些公式？ 7.8 dm 12.5 dm 先求这块三角形玻璃的 面积 ，再求 总价钱 。 涉及到的公式有： 三角形 的面积 = 底 × 高 ÷2 总价 = 单价 × 数量 在 此题中 指 这块玻璃的面积 7.8 dm 12.5 dm 三角形玻璃的面积： 12.5×7.8÷2 = 48.75(dm 2 ) 48.75 dm 2 = 0.4875 m 2 总 价钱： 68×0.4875 = 33.15 ( 元 ) 12.5×7.8÷2÷100×68 = 33.15 ( 元 ) 可简写成： 答：买这块玻璃要 用 33.15 元 。 下面 平行四边形的面积是 12 cm 2 ， 求涂色的三角形的面积 。 12÷2= 6 (cm 2 ) 温馨提示： 涂色的三角形的面积 = 平行四边形的面积的一半 答：涂色的三角形面积是 6 cm 2 。 一种三角尺的形状如下图，它的面积是多少 ？ S = ah ÷2 = 12.5×7.2÷2 = 45 ( cm 2 ) 答：它的面积 是 45 cm 2 。 12.5 cm 7.2 cm 如 图，平行四边形的面积 是 60m 2 ，求阴影部分的面积。 60÷6=10 ( m ) ( 10-7 ) × 6÷2 = 9 (m 2 ) 答：阴影部分的面积 为 9 m 2 。 6 m 7 m 如 图，一种零件有一面是三角形。三角形的底是 5.6 cm ，高是 4 cm ，这个三角形的面积是多少平方厘米？ S = ah ÷2 = 5.6×4÷2 = 11.2 (cm 2 ) 答：这个三角形的面积是 11.2 cm 2 。 4 cm 5.6 cm 这节课你们都学会了哪些知识？ 三角形的面积 底 高 底 高 底 高 底 高 底 高 底 高 底 高 底 高 底 高 底 高 底 高 拼接： 割补： 这节课你们都学会了哪些知识？ 三角形的面积 三角形的 面积 = 底 × 高 ÷ 2 S = ah ÷ 2 h a 多边形的面积 6 梯形的面积 它们都是（ ） 。 梯形 仔细观察你有什么发现？ 小组讨论： 怎样求出这块梯形车窗玻璃的面积呢？ 梯形的面积计算 公式 = ？ 你能用学过的方法推导出梯形的面积计算公式吗？ 三角 形 的面积 转化 已学过的图形面积 思考 ： 三角 形 的面积计算公式的推导过程。 梯形的面积计算公式 ？ 转化 已学过的图形面积 割补 ( ) 法 ( ) 法 拼接 活动 : 请 根据已有的知识经验，借助课前准备的 学具 推导 出梯形的面积计算公式 。 （ 在使用剪刀时 ， 一定 要注意安全。） 上底 下底 高 上底 下底 高 + 平行四边形的底 + 平行四边形的底 拼 接 法 : 任意两个 完全相同 的梯形可以拼成一个 平行四边形 。 说一说： 怎样计算梯形的面积呢？ 上底 下底 高 上底 下底 高 + 平行四边形的底 + 平行四边形的底 拼成的平行四边形的 底 等于 梯形 的上底与下底的和。 拼成的平行四边形的 高 等 于 梯 形 的 高 。 每个 梯形的面积 等于拼成的 平行四边形的面积 的 一半 。 拼成的平行四边形的底与梯形的底有什么关系？ 拼成的平行四边形的高与梯形的 高有什么 关系？ 每个梯形的面积与拼成的平行四边形的面积有什么关系 ？ 思考： 上底 下底 高 上底 下底 高 + 平行四边形的底 + 平行四边形的底 平行四边形 底 × 高 梯形 （ 上 底 + 下 底 ） × ÷2 = = 的面积 的面积 一半 高 思考 : 运用 分割法把一个梯形分成两个三角形。 梯形的面积 = 三角形 ① 的 面积 + 三角形 ② 的面积 上底 × 高 ÷2 梯形的 面积 =( 上底 + 下底 )× 高 ÷2 ② ① 下底 × 高 ÷2 ( 上 底 + 下 底 ) × 高 ÷2 + 上底 下底 思考 : 把 一个梯形分成 1 个三角形 和 1 个 平行四边形。 梯形的面积 = 平行四边形的面积 + 三角形的面积 上底 × 高 ② ① ( 下 底 - 上 底 ) × 高 ÷2 ( 上 底 + 下 底 ) × 高 ÷2 + 上底 下底 梯形的面积 = ( 上底 + 下底 )× 高 ÷ 2 割补 法 : 思考： 从 梯形两腰中点的连线将梯形剪开，拼成一个 平 行 四边形。 上底 下底 中点 中点 + 高 平行四边形的 高 = 梯形的 高 ÷2 梯形的面积 =( 上底 + 下底 ) × 高 ÷2 梯形的面积 = 平行四边形的面积 梯形的面积 = （上底 + 下底） × 高 ÷ 2 说一说： 怎样用字母表示梯形的面积呢 ？ 上底 下底 高 S a h b = （ ÷ 2 ） + a b h × 例题 3 135 m 120 m 36 m 我国三峡水电站大坝的横截面的一部分是 梯形（ 如下图），求它的面积。 我国三峡水电站大坝的横截面的一部分是 梯形（ 如下图），求它的面积。 例题 3 135m 120m 36m 答：它的面积 是 10530 平方米 。 = (36+120 ) ×135÷2 = 156×135÷2 = 10530( 平方米 ) S = (a+b)h ÷2 一 辆汽车侧面的两块玻璃的形状是梯形（如下图），它们的面积分别是多少？ S = ( a + b ) h ÷2 = (40 + 71 ) × 40÷2 = 111×40÷2 = 2220 ( cm 2 ) S = ( a + b ) h ÷2 = (45 + 65 ) × 40÷2 = 110×40÷2 = 2200 ( cm 2 ) 梯形的 面积 = ( 上 底 + 下 底 ) × 高 ÷2 温馨提示： 计算 下面平行四边形的面积。 15m 30m 9m 18m 10m 23m 17m 26m 42m (17+23)× 15÷2 =40×15÷2 =300(m²) (9+18)× 10÷2 =27×10÷2 =135(m²) (26+42)× 30÷2 =68×30÷2 =1020(m²) 计算 下面平行四边形的面积。 15m 30m 9m 18m 10m 23m 17m 26m 42m 一 个梯形的上底是 4.8 cm , 高是 6.6 cm , 面积是 33 cm² , 求梯形的下底长是多少厘米？ 解：设梯形的下底长 x cm 。 (4.8+ x ) × 6.6÷2 = 33 4.8+ x = 10 x = 5.2 答：梯形的下底长 5.2 cm 。 33×2÷6.6-4.8 =66÷6.6-4.8 =10-4.8 根据梯形的面积 公式 = ( 上 底 + 下 底 )× 高 ÷2 ， 可以推导 出来 : 下底 = 梯形 的面积 ×2÷ 高 - 上底 温馨提示： 一 个梯形的上底是 4.8 cm , 高是 6.6 cm , 面积是 33 cm² , 求梯形的下底长是多少厘米？ =5.2(cm) 答：下底长 5.2 cm 。 （顶层根数 + 底层根数）× 层数 ÷ 2 算出图中圆木的总根数。 (2+6)× 5÷2 =8×5÷2 =20 ( 根 ) 答：这堆圆木 有 20 根 。 将长度转化为根数 ，将 高转化为层数。 温馨提示： 2 6 5 我们 经常见到圆木、钢管等堆成像下图的形状 。通常 用 下 面的方法求总根数 ： 这节课你们都学会了哪些知识？ 拼接： 割补 ： 梯形的面积 这节课你们都学会了哪些知识？ 梯形的 面积 = ( 上 底 + 下 底 ) × 高 ÷2 S = ( a + b ) h ÷ 2 b a h 梯形的面积 多边形的面积 6 组合图形的面积 在 实际生活中，有些图形是由几个简单的图形组合而成的。 说一说： 生活 中哪些地方有组合 图形。 右 面的 组合图形里有哪些学过的图形？ 组合图形： 由 几个 简单 的 图形 组合而 成的图形 叫做 组合图形 。 右 图表示的是一间房子侧面墙的形状。它的面积是多少平方米？ 例题 4 小组合作 ： 在 图上画出你们的思路，再求出面积 ，看 哪一组的方法最多。 方法一：三角形 + 正方形 三角形面积 = 5×2÷2 = 5 ( m 2 ) 正方形 面积 = 5×5 = 25 ( m 2 ) 房子侧面面积 = 25 + 5 = 30 ( m 2 ) 梯形 面积 =( 5+2+5)×(5÷2) ÷ 2 = 12×2.5÷2 = 30÷2 = 15 ( m 2 ) 房子侧面 面积 = 15×2 = 30 ( m 2 ) 方法二：两个梯形 长方形面积 = 5 ×(5+2÷2) = 5×6 = 30(m 2 ) 房子侧面面积 = 长方形面积 方法三：拼成一个长方形 长方形面积 =(5+2) × 5 = 7×5 = 35 ( m 2 ) 两个三角形面积 = 5×2÷2 = 5(m 2 ) 房子侧面面积 = 35 - 5 = 30(m 2 ) 方法四：从长方形中挖走两个小三角形 说一说 : 求组合图形面积的方法 。 方法一 方法二 方法三 方法四 解决组合图形的面积可以采取三种方法，就是 分 、 拼 、 挖 。 我们可以把一个 组合图形 分成 几个 基本图形 ，也可以运用 割补法 把一个组 合图形 拼成 学过的 图形 ， 还可以从一个 学过的图形中 挖去一部分 。 组合图形的面积可以采取 分、拼、挖的 方法。 把组合图形分成正方形和三角形最好。 如 图：已知长方形的长是 8 cm ，宽是 4 cm ， A 、 B 两点分别为长方形长、宽上的中点，求阴影部分的面积是多少平方厘米？ 用什么方法解决这道题，看谁的方法最巧妙 ？ A B 方法一：挖的方法 8×4 = 32(cm 2 ) (8 ÷ 2 ) × 4÷ 2 = 8(cm 2 ) ( 8÷2) ×(4÷2) = 4×2= 8(cm 2 ) (4 ÷ 2 ) ×8÷ 2 = 8(cm 2 ) 32-8-8-8 = 8(cm 2 ) A B 方法二：分的方法 ( 4÷2) ×(8÷2) ÷2 = 2×4÷2 = 4 ( cm 2 ) ( 8÷2) ×(4÷2) ÷ 2 = 4×2÷2 = 4(cm 2 ) 4 + 4 = 8(cm 2 ) A B ① ② A B ( 8÷2) ×(4÷2 ) = 4×2 = 8(cm 2 ) 方法三：拼的方法 A B 在 一块梯形的地中间有一个长方形的游泳池，其余的地方是草地。草地的面积是多少平方米 ？ 用什么方法解决这道题 ？ ( 70+40) ×30÷2-30×15 = 110×30÷2-450 = 3300÷2-450 = 1650-450 = 1200(m 2 ) 挖的方法 答： 草地的面积 是 1200 平方米。 用不同的方法计算下图的面积。 ( 单位：厘米 )( 用四种方法 ) 方法一 ： 3×4+(4+10 )×( 8-3 )÷ 2 =12+35 =47( 平方厘米 ) 方法二 ： 8×4+(8-3 )×( 10-4 )÷ 2 =32+15 =47( 平方厘米 ) 用不同的方法计算下图的面积。 ( 单位：厘米 )( 用四种方法 ) 方法三 ： 8×10-(8+3 )×( 10-4 )÷ 2 =80-33 =47( 平方厘米 ) 方法四 ： (8+3 )× 4÷2+(8-3 )× 10÷2 =22+25 =47( 平方厘米 ) 这节课你们都学会了哪些知识？ 组合图形的面积 解决组合图形的面积可以采取三种方法，就是分、拼、挖。 “分” “拼” “挖” 多边形的面积 6 不规则图形的面积 你 能把这边叶子的面积估算出来吗 ? 我们 已经会计算组合图形的面积了，那么生活中遇到不规则图形我们如何来估算它的面积呢？ 图中每个小方格的面积 是 1 cm 2 ， 请你估计这片叶子的面积。 例题 5 知道小方格的面积，求叶子的面积。 这片叶子的形状不规则，怎么计算面积呢？ 阅读与理解 方格纸上满格的一共有 18 格，不是满格的也有 18 格。 这片叶子的面积在 18cm 2 ~36cm 2 之间。 分析与解答 先 在方格纸上描出叶子的轮廓图。 如果把不满一格的都按半格计算，这片叶子的面积大约是 27 cm 2 。 分析与解答 我是将叶子的图形近似转化成平行四边形 …… S = ah = 5×6 = 30 ( cm 2 ) 分析与解答 说说你是怎么估的 ? 因此，叶子的面积大约是 30 cm 2 S = ah = 5×6 = 30 ( cm 2 ) 叶子的面积大约是 30 cm 2 。 用转化的方法，将叶子的图形近似转化成长方形。 分析与解答 通过 刚才的学习，今后我们再遇到 不规则 的图形 ，我们可以怎样估计它的面积呢？ 回顾与反思 不规则的图形可以 转化 为学过的图形进行估算。 先通过 数方格 确定图形面积的范围，再估算图形的面积。 回顾与反思 图中每个小方格的面积为 1m 2 ， 计算阴影部分面积。 三角形 + 梯形 5×4÷2 + (5+2) × 4÷2 = 10 + 14 = 24(m 2 ) 近似转化成长方形 8×4 = 32(m 2 ) 答 : 阴影 部分面积大约是 32 m 2 。 图 中每个小方格的面积为 1m 2 ， 请你估计这个池塘的面积。 S = ab = 12×8 = 96(m 2 ) 答 : 这个 池塘的 面积 大约 是 96 m 2 。 (8+12÷2)×(3×3) =14×9 =126 (m 2 ) 注意：每一格边长 是 3 m 。 计算右面土地面积。 答：它 的面积是 126 m 2 。 这节课你们都学会了哪些知识？ 不规则图形的面积 估算 数方格 的方法进行估算 把不规则的图形 转化 为学过的图形进行估算 不规则图形的面积 整理和复习 多边形的面积 6 这学期我们都学习了哪些平面图形的面积计算公式？ a h a h b h a a b a h a h b h a 割补 拼摆 你还记得这些这些图形的面积计算公式是怎样推导出来的吗？ 平行四边形 （新） 长方形 （旧） 转化（割补） 推导 联系 三角形、梯形（新） 平行四边形（旧） 转化（拼摆） 推导 联系 图形的面积计算公式推导方法 a b a h a h b h a S = ab S = ah S = ah ÷2 S = （ a ＋ b ） h ÷2 图形的面积计算公式 观察下面两个梯形的变化，看看你又能发现点什么。 b h a b h a 当 梯形 的 上底 与 下底相等 时，它就变成了 平行 四边形 ；当 梯形 的 上底 为 0 时 ，它就变成了 三角形 。 回忆一下我们解决组合图形的面积都有哪几种方法。 我们计算组合图形的面积可以采取 挖、分、拼 的方法。 1. 计算下面图形的面积。 18 × 15 = 270 （ cm 2 ） S = ah S = ah ÷2 2. 计算下面图形的面积。 36 × 8 ÷ 2 =288 ÷ 2 = 144 m 2 （ c m 2 ） 3. 三峡大坝是 是目前世界上规模最大的水电站和清洁能源基地，也是目前中国有史以来建设最大型的工程项目。它的横截面积是一个宽 120 米，顶宽 40 米、高 130 米的梯形。三峡大坝的横截面的面积是多少平方米？ （ 40+120 ）× 130÷2=10400 （ m 2 ） 答： 横截面的面积 是 10400 平方米 。 4. 计算出右图的面积，看谁的方法最多。 方法一：挖的方法 长方形减去梯形 长方形面积 =12×10=120 （ cm 2 ） 梯形的面积 = （ 6+12 ） × （ 10-5 ） ÷2 =18×5÷2 =45 （ cm 2 ） 组合图形的面积 =120 - 45=75 （ cm 2 ） 方法二：分的方法（ 1 ） 三角形加上梯形 三角形的面积 =10×(12-6)÷2 =10×6÷2 =30 （ cm 2 ） 梯形的面积 =(6+12)×5÷2 =18×5÷2 =45 （ cm 2 ） 组合图形的面积 =30+45=75 （ cm 2 ） 方法三：分的方法（ 2 ） 长方形加上梯形 长方形的面积 =6×5=30 （ cm 2 ） 梯形的面积 = （ 5+10 ） × （ 12-6 ） ÷2 = 15×6÷2 = 45 （ cm 2 ） 组合图形的面积 =30+45=75 （ cm 2 ） 方法四：拼的方法 通过割补拼成一个梯形 梯形的面积 = [12+12+ （ 12 - 6 ） ]×5÷2 = 30×5÷2 = 75 （ cm 2 ） a h a h b h a S = ah S = ah ÷2 S = （ a ＋ b ） h ÷2 这节课你们都学会了哪些知识？