小学五年级奥数教案：行程之走走停停(讲师版)

小学五年级奥数教案：行程之走走停停(讲师版)

行程之走走停停 学生姓名 授课日期 教师姓名 授课时长 知识定位 本讲中的知识点较为复杂，主要讲行程过程中出现休息停顿等现象时的问 题处理。解题办法比较驳杂。 知识梳理 一、重点难点解析 1．学会把不等时的行程过程转化为等时的行程过程 2．枚举法解行程问题 3．比例解行程问题 二、竞赛考点挖掘 1．枚举法解行程问题 2．比例解行程问题 例题精讲 【试题来源】 【题目】 一辆汽车原计划 6 小时从 A 城到 B 城。汽车行驶了一半路程后，因故在途中停留了 30 分钟。 如果按照原定的时间到达 B 城，汽车在后一半路程的速度就应该提高 12 千米/时，那么 A、 B 两城相距多少千米？ 【答案】360 千米 【解析】 3 汽车行驶了一半路程即行驶了 3 小时，那么他后一半路程行驶了 2.5 小时，2.5 小时比原 来 2.5 小时多行驶 2.5×12=30 千米。则原来的速度为 30÷（3-2.5）=60（千米）。那么 A、 B 两地相距 60×6=360（千米） 【知识点】行程之走走停停 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2 【试题来源】 【题目】 一辆汽车从甲地开往乙地，每分钟行 750 米，预计 50 分钟到达．但汽车行驶到路程的 3/5 时，出了故障，用 5 分钟修理完毕，如果仍需在预定时间内到达乙地，汽车行驶余下的路 程时，每分钟必须比原来快多少米？ 【答案】250 米 【解析】 当以原速行驶到全程的 3/5 时，总时间也用了 3/5，所以还剩下 50×(1－3/5)=20 分 钟的路程；修理完毕时还剩下 20－5=15 分钟，在剩下的这段路程上，预计时间与实际 时间之比为 20 :15= 4 : 3,根据路程一定，速度比等于时间的反比，实际的速度与预 定的速度之比也为 4 : 3，因此每分钟应比原来快 750×4/3－750=250 米． 【知识点】行程之走走停停 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2 【试题来源】 【题目】 邮递员早晨 7 时出发送一份邮件到对面山里，从邮局开始要走 12 千米上坡路，8 千米下 坡路．他上坡时每小时走 4 千米，下坡时每小时走 5 千米，到达目的地停留 1 小时以后， 又从原路返回，邮递员什么时候可以回到邮局？ 【答案】下午 5 时 【解析】 从整体上考虑，邮递员走了 12＋8=20 千米的上坡路，走了 12＋8=20 千米的下坡路，所以 共用时间为： 20÷4＋20÷5=9 (小时)，邮递员是下午 7+10－12=5 (时) 回到邮局。 【知识点】行程之走走停停 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2 【试题来源】 【题目】 一辆汽车从甲地开往乙地，每分钟行 750 米，预计 50 分钟到达.但汽车行驶到路程 3/5 时， 出了故障，用 5 分钟修理完毕，如果仍需在预定时间内到达乙地，汽车行驶余下的路程时， 每分钟必须比原来快多少米？ 【答案】250 米 【解析】 当以原速行驶到全程的 5 3 时，总时间也用了 5 3 ，所以还剩下 20)5 31(50  分钟的路程； 修理完毕时还剩下 15520  分钟，在剩下的这段路程上，预计时间与实际时间之比为 3:415:20  ，所以相应的速度之比为 3:4 ，因此每分钟应比原来快 2503 34750  米. 【知识点】行程之走走停停 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2 【试题来源】 【题目】 甲、乙两站相距 420 千米，客车和货车同时从甲站出发驶向乙站，客车每小时行 60 千米， 货车每小时行 40 千米.客车到达乙站后停留 1 小时，又以原速返回甲站.则两车迎面相遇的 地点离乙站有多少千米？ 【答案】60 千米 【解析】 两车相遇时， 8402420和 S 千米，要用公式 tvvS  )( 21和 ，应使得两车的时间 保持一致，而客车中途停留了 1 小时，可以看作货车提前行驶 1 小时，所以将此间货车行 驶的 40 千米减去，取 80040840和 S 千米， t 客车行驶的时间 )6040(800  8 小时，因此客车行驶了 60420480860  千米，相遇地点距离乙站 60 千米. 【知识点】行程之走走停停 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 乙二人从 A、B 两地同时出发相向而行，甲每分钟行 80 米，乙每分钟行 60 米.出发一段时 间后，二人在距离中点 120 米处相遇.如果甲出发后在途中某地停留了一会儿，二人还将在 距中点 120 米处相遇.问：甲在途中停留了多少分钟？ 【答案】7 分钟 【解析】 第一次，甲比乙多走的路程 2402120差 S 米，根据公式 tvvS  )( 21差 ，可知 两人的相遇时间为 12)6080(240  min，两地相距 168012)6080(  米；两次相遇 地点关于中点对称，则可知，乙第二次比第一次多走的路程也是 2402120差 S 米，所 以乙比第一次多用了 460240  分钟；甲第二次比第一次少走的路程也是 240 米，甲比 第一次少用了 380240  分钟，所以甲在途中停留了 734  分钟. 【知识点】行程之走走停停 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 甲每分钟走 80 千米，乙每分 钟走 60 千米.两人在 A , B 两 地同时出发相向而行在 E 相遇， 如果甲在途中休息 7 分钟，则 两人在 F 地相遇，已知为 C 为 AB 中点，而 EC=FC，那么 AB 两地相距多少千米？ 【答案】1680 千米 【解析】 由速度比甲：乙=4：3 得 AE:BE=4:3 即假设 AE 为 4 份，则 BE 为 3 份. 因为 C 为中点， 且 EC=FC 所以 AF=3 份.在速度比不变的情况下，同样的时间甲走 3 份路程，乙应该走 3× 3 4 = 12 4 份路程.那么，在甲休息时，乙多走的 7 分钟路程就相当于 4 份－ 12 4 份= 7 4 份. AB 总距离为：（60×7）÷ 7 4 ×7=1680 千米 【知识点】行程之走走停停 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 甲、乙两人分别从相距 35.8 千米的两地出发，相向而行．甲每小时行 4 千米，但每行 30 分钟就休息 5 分钟；乙每小时行 12 千米，则经过________小时________分的时候两人相 遇． 【答案】2，19 【解析】 经过 2 小时 15 分钟的时候，甲实际行了 2 小时，行了 4×2=8(千米)， 乙则行了 (千米)两人还相距 35.8－27－8=0.8（千米），此时甲开始休息， 112 2 274   乙再行 0.8÷12×60=4 分钟就能与甲相遇．所以经过 2 小时 19 分的时候两人相遇． 【知识点】行程之走走停停 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2 【试题来源】 【题目】 一辆大轿车与一辆小轿车都从甲地驶往乙地，大轿车的速度是小轿车速度的 0.8 倍．已知大 轿车比小轿车早出发 17 分钟，它在两地中点停了 5 分钟后，才继续驶往乙地；而小轿车出 发后中途没有停，直接驶往乙地，最后小轿车却比大轿车早 4 分钟到达乙地．又知大轿车是 上午 10 时从甲地出发．求小轿车追上大轿车的时间． 【答案】11 时 5 分 【解析】 小轿车晚于大轿车从甲地出发，先于大轿车到达乙地，说明两车一定在中间某时间相 遇．如图 13-4，A(甲地)与 B(乙地)中点记为 C．则相遇地点可能在 AC 之间，可能在 C 点，也可能在 CB 之间． 另一方面，大轿车先出发 17 分钟，晚到 4 分钟，中间又停了 5 分钟，一共比小轿车多 走 16 分，而大轿车的速度是小轿车的 0.8 倍．从这里可以求出从 A 到 B 大、小轿车在 不停的情况下各需要多少时间，再根据三种情况按顺序判断相遇地点在哪里． 详解 大轿车的速度是小轿车的 0.8 倍，可以知道大轿车不停顿地从 A 到 B 所用的时 间是小轿车的 1.25 倍；而由分析得出小轿车比大轿车少用 16 分钟，用差倍问题可以 得出走完全程小轿车需要用时： 16÷(1.25-1)=64 分钟． 大轿车用时：64×1.25=80 分钟． 大轿车从 A 到 C 用时 80÷2=40 分钟，在 C 停留 5 分钟，离开 C 时 10 时 45 分．而小轿车在 10 时 17 分出发，经过 64÷2=32 分钟到达 C，即 10 时 49 分到达 C．也就是说，小轿车在 C 时，与大轿车相差大轿车 4 分钟行驶的路程．而另一方面，小轿车 10 时 17+64 分，即 11 时 21 分到达 B，此时大轿车距小轿车相差也是大轿车 4 分钟的行驶的路程，只不过这一次 小轿车在前面．小轿车由在大轿车后面大轿车 4 分钟的路程，变为大轿车前距大轿车 4 分 钟路程，易知小轿车一定在这两个时刻的中点与大轿车相遇，即 10 点 49 分与 11 时 21 分 的中点相遇．即 11 时 5 分小轿车追上大轿车． 【知识点】行程之走走停停 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 甲、乙两地相距 100 千米,小张先骑摩托车从甲地出发,1 小时后小李驾驶汽车从甲地出发, 两人同时到达乙地.摩托车开始速度是每小时 50 千米,中途减速后为每小时 40 千米.汽车速 度是每小时 80 千米,汽车曾在途中停驶 1O 分钟.那么小张驾驶的摩托车减速是在他出发后 的多少小时?. 【答案】 1 3 小时 【解析】 汽车从甲地到乙地的行驶时问为 100÷80=1.25 小时=1 小时 15 分钟,加上中途停驶的 10 分 钟,共用时 1 小时 25 分钟．而小张先小李 1 小时出发,但却同时到达,所以小张从甲到乙共 用了 2 小时 25 分钟，即 2 最小时． 以下给出两种解法： 方法一:设小张驾驶的摩托车减速是在他出发后 x 小时,有 50× x +40× 52 10012 x     , 解得 1 3x  .所以小张驾驶的摩托车减速是在他出发后 1 3 小时. 方法二:如果全程以每小时 50 千米的速度行驶,需 100÷50=2 小时的时间,全程以每小时 40 千米的速度行驶,需 100÷40=2.5 小时.依据鸡兔同笼的思想知,小张以每小时 50 千米的速 度 行 驶 了 52.5 2 112 2.5 2 6   的 路 程 , 即 行 驶 了 100 1 501006 3   千 米 的 路 程 , 距 出 发 50 1503 3   小时. 【知识点】行程之走走停停 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4 【试题来源】 【题目】 一列火车出发 1 小时后因故停车 0.5 小时，然后以原速的 3/4 前进，最终到达目的地晚 1.5 小时．若出发 1 小时后又前进 90 公里再因故停车 0.5 小时，然后同样以原速的 3/4 前进，则到达目的地仅晚 1 小时，那么整个路程为________公里． 【答案】240 【解析】 出发 1 小时后因故停车 0.5 小时，然后以原速的 3/4 前进，最终到达目的地晚 1.5 小时， 所以后面以原速的 3/4 前进的时间比原定时间多用 1.5－0.5=1 小时，而速度为原来的 3/4， 所用时间为原来的 4/3,所以后面的一段路程原定时间为 1÷(4/3－1)=3 小时，原定全程为 4 小时；出发 1 小时后又前进 90 公里再因故停车 0.5 小时，然后同样以原速的 3/4 前 进，则到达目的地仅晚 1 小时，类似分析可知又前进 90 公里后的那段路程原定时间为(1 －0.5)÷(4/3－1)=1.5 小时．所以原速度行驶 90 公里需要 1.5 小时，而原定全程为 4 小 时，所以整个路程为 90÷1.5×4=240 公里． 【知识点】行程之走走停停 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4 【试题来源】 【题目】 甲、乙两人同时从 A、 B 两点出发，甲每分钟行 80 米，乙每分钟行 60 米，出发一段时间 后，两人在距中点的 C 处相遇；如果甲出发后在途中某地停留了 7 分钟，两人将在距中点 的 D 处相遇，且中点距 C 、 D 距离相等，问 A、 B 两点相距多少米？ 【答案】1680 千米 【解析】 甲、乙两人速度比为 80 : 60 =4 : 3，相遇的时候时间相等，路程比等于速度之比，相遇 时甲走了全程的 4/7，乙走了全程的 3/7．第二次甲停留，乙没有停留，且前后两次相遇地 点距离中点相等，所以第二次乙行了全程的 4/7，甲行了全程的 3/7．由于甲、乙速度比为 4 : 3，根据时间一定，路程 3/7×3/4 比等于速度之比，所以甲行走期间乙走了，所以甲 停留期间乙行了 4/7－3/7×3/4=1/4，所以 A、B 两点的距离为 60×7÷1/4=1680(米)． 【知识点】行程之走走停停 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4 习题演练 【试题来源】 【题目】一列客车和一列货车同时从两地相向开出，经过 18 小时两车在某处相遇，已知客 车每小时行 50 千米，货车每小时比客车少行 8 千米，货车每行 3 小时要停驶 1 小时。问： 两地之间的铁路长多少千米？ 【答案】1488 【解析】 【知识点】行程之走走停停 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】2 【试题来源】 【题目】一辆货车从甲地开往乙地需要 7 小时，一辆客车从乙地开往甲地需要 9 小时，两 车同时从两地相对开出。中途货车因故停车 2 小时，相遇时，客车比货车多行 30 千米。甲、 乙两地相距多少千米？ 【答案】240 【解析】240 【知识点】行程之走走停停 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】2 【试题来源】 【题目】某人上山时每走 30 分休息 10 分，下山每走 30 分休息 5 分。已知下山的速度是上 山速度的 1.5 倍，如果上山用了 3 时 50 分，那么下山用多少时间？ 【答案】2 时 15 分 【解析】2 时 15 分 【知识点】行程之走走停停 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】绕湖一周是 24 千米，小张和小王从湖边某一地点同时出发反向而行，小王以每小 时 4 千米的速度每走 1 小时后休息 5 分钟，小张以每小时 6 千米的速度每走 50 分钟休息 10 分钟，两人出发多长时间第一次相遇？ 【答案】2 时 40 分 【解析】2 时 40 分 【知识点】行程之走走停停 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】4 【试题来源】 【题目】甲乙两人同时从 A 地出发，以相同的速度向 B 地前进。甲每行 5 分钟休息 2 分钟；乙每行 210 米休息 3 分钟。甲出发后 50 分钟到达 B 地，乙到达 B 地比甲迟了 10 分钟。已知两人最后一次的休息地点相距 70 米，两人的速度是每分钟行多少米？ 【答案】50 【解析】50 【知识点】行程之走走停停 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】5