五年级上册数学冀教版知识要点

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一 方向与路线 一、用角度描述物体所在的方向 1. 四面八方示意图。 习惯上,在确定位置时,常把东 北方向叫做北偏东;西北方向叫做 北偏西;西南方向叫做南偏西;东南 方向叫做南偏东。 2. 用方向和角度描述物体的 位置。 如旋转木马在过山车的西北方向 上,过山车与旋转木马的连线与方位线 所形成的夹角的度数是 30°,那么旋转 木马在过山车的北偏西 30°的方向上。 3. 用角度描述物体所在的方向。 (1)先确定观测点,明确观测点与各娱乐设施的连线与方位 线所形成的夹角的度数;再确定以哪个方向为主方向。 (2)观测点与各娱乐设施的角度未知时,要用量角器测量观 测点与各娱乐设施的连线与方位线所形成的夹角的度数。 二、认识简单的线路图 1. 描述行走路线的方法:按行走路线先确定行走方向,再 用恰当的词语按地点顺序叙述。 2. 在行走过程中位置会不断地发生变化,即观测点在发生 变化。 3. 在描述行走路线时,要先确定有几个观测点,再一段一 段地按方向和角度进行描述。 重点提示 :描述物体的方向,一般从南或北说起。 易错题:爷爷在小丽的南偏东 55°,小丽 在爷爷的(南偏东 55°)。 错解分析:此题错在没有理清爷爷和小 丽之间以谁为观测点,判断小丽在爷爷的什 么方向,应以爷爷为观测点。 正确答案:北偏西 55° 要点提示: (1)北偏西 55°指的是一个方向。 (2)如果两个人或物体的位置相对,那么 方向正好相反。 要点提示:在描述行车路线时,应描述出 行车方向和行驶几站。 第1页 二 小 数 乘 法 一、小数点位置变化 1. 小数点位置向右移动的规律和应用。 (1)小数点位置向右移动的规律:一个数扩大到原来的10倍, 小数点向右移动一位;一个数扩大到原来的 100 倍,小数点向右 移动两位;一个数扩大到原来的 1000 倍,小数点向右移动三 位…… 当小数部分位数不够时,要用 0补足。如 3.2 扩大到原来的 100 倍是 320。 (2)把高级单位的数改写成低级单位的数,如果两个单位之 间的进率是 10、100、1000……那么可以应用小数点位置向右 移动的规律进行改写。如 2.4 千克=2400 克。 2. 小数点位置向左移动的规律和应用。 (1)小数点位置向左移动的规律:一个数缩小到原来的 110,小 数点向左移动一位;一个数缩小到原来的 1100,小数点向左移动两 位;一个数缩小到原来的 11000,小数点向左移动三位…… (2)一个数除以 10、100、1000……如果商的小数位数不够 时,要用 0补位。如 2.6÷100=0.026。 (3)把低级单位的数改写成高级单位的数,如果两个单位之 间的进率是 10、100、1000……那么可以应用小数点位置向左 移动的规律进行改写。如 5800 毫升=5.8 升。 二、小数乘法 1. 小数乘整数的计算方法:小数乘整数,先按照整数乘法的 计算方法算出积,再看因数中共有几位小数,就从积的右边起数 出几位,点上小数点。积是小数且末尾有 0的,要去掉末尾的 0。 2. 小数乘小数的计算方法:小数乘小数,先按照整数乘法的 计算方法算出积,再看因数中共有几位小数,就从积的右边起数 出几位,点上小数点。积是小数且末尾有 0的,要去掉末尾的 0。 小数乘小数,乘得的积的小数位数不够时,要在前面补 0占位。如 0.08×0.3=0.024。 三、积的近似值 1. 四舍五入法:在取近似值的时候,根据要求所保留的位数, 看它的下一位,如果下一位上的数字是4或者比4小,就把尾数直 接舍去;如果下一位上的数字是5或者比5大,就把后面的数舍去 并且往所要保留的那一位上进“1”,这种取近似值的方法叫做“四 舍五入法”。 易错题:一个不为 0的数的小数点向右 移动一位,所得的数比原数增加了(10)倍。 错解分析:此题错在对“增加”和“扩大到 原来的”的含义区分不清。增加了 10 倍表 示增加后比原数多 10 倍,是原数的 11 倍, 此题中把一个不为 0的数的小数点向右移 动一位扩大到原来的 10 倍,增加了 10-1=9 倍。 正确答案:9 重点提示:两个因数相乘,如果一个因 数扩大到原来的几倍,另一个因数同时相应 地缩小到原来的几分之一,积不变。 知识巧记: 小数乘法并不难, 关键点好小数点。 因数小数位数和, 等同积中小数位。 积中位数如不够, 用 0补足再点点。 要点提示、 :积的末尾有 0时,要先点小数点,再去 掉小数末尾的 0。 知识巧记 :四舍五入方法好, 求近似值有法找。 第2页 2. 求积的近似值的方法:先算出积,再看需要保留位数的下 一位上的数,按照“四舍五入法”求出结果,最后用“≈”连接。 四、解决问题 1. 运用小数乘法的知识解决简单实际问题的方法。 (1)结合具体情境,可以列出乘加、乘减算式解决实际问题。 (2)小数混合运算的运算顺序和整数混合运算的运算顺序相 同,先算乘法,后算加减法,有括号的要先算括号里面的。 2. 整数的运算定律,同样适用于小数运算。 乘法交换律:a×b=b×a 乘法结合律:a×(b×c)= (a×b)×c 乘法分配律:(a+b)×c=a×c+b×c 3. 抹零、凑整。 (1)在购物过程中,遇到总价是几元几角几分时,一般情况下 卖家会把“分”舍去不计,这种现象叫做“抹零”。 (2)在购物过程中,遇到总价接近整元时,商家多给一些商品 凑成整元的钱数,这种现象叫做凑整。 保留哪位看下位, 再同数 5作比较。 是 5大 5前进 1, 小于 5 的全舍掉。 要点提示 :求积的近似值,积末尾的 0不能去掉。 要点提示 :(1)乘法分配律也可以逆用,即 a×c+b×c=(a+b)×c。 (2)乘法分配律可以拓展为 (a±b)×c=a×c±b×c。 重点提示: 整数的运算定律同样适用于小数运 算。 三 小 数 除 法 一、小数除法 1. 除数是整数的小数除法。 (1)除数是整数的小数除法与整数除法的计算方法相 同,也是从被除数的最高位除起。 (2)除数是整数的小数除法的计算方法:小数除以整数, 按照整数除法的计算方法计算,商的小数点要与被除数的 小数点对齐;如果整数部分不够除,那么要在商的个位上商 0占位,然后在 0 的后面点上小数点继续除;除到被除数的 末尾仍有余数,要在余数后面添 0继续除。 2. 除数是一位小数的除法。 计算除数是一位小数的除法时,先去掉除数的小数点, 同时把被除数的小数点向右移动相同的位数,再按照除数 是整数的小数除法的计算方法进行计算。 3. 除数是两位小数的除法。 一个数除以小数,去掉除数的小数点,即小数点向右移 动相应的位数,使除数变成整数,同时,被除数的小数点也要 向右移动相同的位数(被除数的小数位数比除数的小数位 知识巧记:小数除法不算难, 数点对齐是关键。 整数部分不够除, 商 0再点小数点。 末尾如果有余数, 添 0再把商来算。 要点提示:整数除以小数,把除数化成整数 时,除数的小数点向右移动几位,就在被除数的末 尾添上几个 0。 识错技巧:整数除以整数,如果除到被除数的 个位仍有余数,那么所得的商一定是小数。 第3页 数少几位,就在被除数的末尾补几个 0),然后按照除数是整 数的小数除法的计算方法进行计算。 4. 商与被除数的关系。 当被除数不等于 0时,若除数小于 1且大于 0,则商大 于被除数;若除数大于 1,则商小于被除数;若除数等于 1,则 商等于被除数。 二、混合运算 1. 小数四则混合运算的运算顺序:小数四则混合运算 的运算顺序和整数四则混合运算的运算顺序是一样的。在 一个算式里,若不含有小括号,只有加减法(或者只有乘除 法),则要按照从左往右的顺序依次进行计算;若不含有小 括号,既有加减法,又有乘除法,则要先算乘除法,后算加减 法;若含有小括号,则要先算小括号里面的,再算小括号外面 的。 2. 运用转化的方法解决小数两步混合运算。 如要求 18×222.2-666.6 的结果,我们由 222.2=111.1 ×2,666.6=111.1×6 可知,可以先将原式转化成 18×2× 111.1-111.1×6,再进行计算。 18×222.2-666.6 =18×2×111.1-111.1×6 =(18×2-6)×111.1 =3333 三、商的近似值 1. 在实际应用中,小数除法求出的商可以用“四舍五入 法”保留一定的小数位数,求出商的近似值。 2. 求小数除法的商的近似值时,一般先除到比需要保 留的小数位数多一位,再按照“四舍五入法”取商的近似值。 四、循环小数 1. 循环小数:一个小数,从小数部分的某一位起,一个 数字或几个数字依次不断地重复出现,这样的小数叫做循 环小数。如 14.151515……、20.0303……。 2. 循环节:一个循环小数的小数部分,依次不断重复 出现的数字,叫做这个循环小数的循环节。如 14.151515……这个循环小数中,小数部分“15”依次不断地 重复出现,“15”就是这个循环小数的循环节。 3. 一个整数(0除外,9的倍数除外)除以9,商是循环小 数,第一次除得的余数是几,商的小数部分就重复出现几。 4. 小数部分的位数是有限的小数,叫做有限小数。 易错题: 5.8+4.2×4 =10×4 =40 错解分析:此题错在没有掌握小数两步混合 运算的运算顺序,应先算乘法,再算加减法。 正确答案: 5.8+4.2×4 =5.8+16.8 =22.6 要点提示: 求商的近似值时,近似值的末尾如果是 0,这 个 0起占位的作用,不能去掉。求商的近似值应 该用“≈”连接。 重点提示: 循环小数的位数是无限的,是无限小数。 易错题: 5.7÷9≈0.633…… 错解分析:此题错在 0.633……是准确值,却 用“≈”连接了。 正确答案:5.7÷9≈0.63 第4页 5. 小数部分的位数是无限的小数,叫做无限小数。 四 可 能 性 一、简单随机现象和等可能性 1. 随机现象:抛出的硬币落地时可能是正面朝上,也可能是反 面朝上,这种现象属于随机现象。 2. 等可能性:抛一枚硬币,出现正面朝上和反面朝上的可能性 相等,在数学上叫做等可能性。 3. 在一定条件下,一些事件的结果是不可预知的,具有不确定 性;一些事件的结果是可预知的,具有确定性。 4. 确定的事件用“一定”“不可能”来描述;不确定的事件用“可能” 来描述。如盒子里有 3个红球,4 个白球,(可能)摸出红球和白球,(不 可能)摸出黄球;袋子里有 10 个绿球,(一定)能摸出绿球。 5. 在一定条件下,有些事件发生的结果是可预测的,有几种情 况,就有几种可能结果。 二、列举事件所有可能出现的结果 1. 用列表法列举事件所有可能出现的结果。 小明和小亮玩“棒子、老虎、鸡、虫”的游戏,游戏规则,棒子打 老虎、老虎吃鸡、鸡吃虫,虫吃棒子,可能出现的结果有多少种? 用 1、2、3、4分别表示棒子、老虎、鸡、虫,结果如下: 1 2 3 4 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) 共有 16 种可能结果。 2. 用图示法求出可能的结果。 如有黄、红、黑 3个皮球,两两组合可能出现的结果。 共有 3种可能结果。 3. 可以用图示法和排列组合法的知识列举出事件有可能出 现的结果。 重点提示: (1)理论上事件发生的可能性相等, 而在实际的操作中会存在一定的偶然 性。 (2)生活中一些事件发生的确定性和 不确定性要根据客观事实进行判断,与个 人意愿无关。 易错题: 判断:从 1、2、3、5、7 中任意取出 2张卡片都会组成一个奇数,这种说法是 正确的。( ) 错解分析:这 5张数字卡片中有 4张 卡片上是奇数,有1张是偶数,无论怎样取 都有 1张是奇数卡片,有 2张是奇数卡片 会组成一个奇数;但若是取出 2与一个奇 数卡片,就可以组成偶数,所以这种说法 是错误的。 正确答案:✕ 第5页 三、体验事件发生的可能性的大小 1. 事件发生的可能性是随机的,但是每种情况发生的可能性 是有大小的。 2. 在进行摸棋子游戏时,盒子中什么颜色的棋子多,摸出什么 颜色的棋子的次数就多;什么颜色的棋子少,摸出什么颜色的棋子 的次数就少。 3. 可能性的大小与各种结果在总数中所占份数的多少有关, 在总数中所占的份数越多,可能性越大;所占的份数越少,可能性越 小。 四、游戏规则的公平性 1. 游戏规则的公平性:指使游戏双方都能获得相等的输赢机 会。 2. 玩转盘游戏时,转盘上哪种颜色占的区域面积大,指针指到 那种颜色的区域的可能性就大。 3. 在游戏规则里,如果代表双方的事件发生的可能性相等,这 个游戏规则就是公平的;如果可能性不相等,可以通过游戏规则使 事件发生的可能性相等,或调整得分规则,可能性大的按比例得较 小的分值,可能性较小的按比例得较大的分值来使游戏规则公平。 方法提示 :在记录每名同学摸出什么颜色的棋 子时,可以采用画“正”字的方法进行统计。 重点提示: 由于随机现象的不确定性,即使制定 的游戏规则公平,其结果也可能与实际结 果不一致。 五 四则混合运算(二) 一、相遇问题 1. 两车同时从两地相对开出,经过一定的时间相遇,这种行程 问题叫做相遇问题,也叫相向运动问题。 2. 已知甲、乙的速度与相遇时间,求路程的数量关系式: (1)(甲的速度+乙的速度)×相遇时间=两地的路程; (2)甲的速度×相遇时间+乙的速度×相遇时间=两地的路程。 3. 已知两地的距离和两车的速度,求相遇时间的数量关系式: 两地的距离÷两车的速度和=相遇时间。 二、三步混合运算 1. 四则混合运算的运算顺序:(1)算式中如果没有括号,含有两 级运算,要先算乘除法,后算加减法;如果只含有同一级运算,按照从 左往右的顺序计算;(2)算式中如果有小括号,要先算小括号里面的, 再算小括号外面的。如 方法提示 :在解决相遇问题时,先理清数量关 系,画出线段图,利用数形结合来解决问 题。 重点提示 :三步混合运算的运算顺序和两步混 第6页 2. 工程问题的数量关系式: 工作总量=工作效率×工作时间 工作效率=工作总量÷工作时间 工作时间=工作总量÷工作效率 工程问题可以根据三个基本数量关系式来解题。 三、小括号里面含有两级运算的三步混合运算 如果一道算式的小括号里面含有两级运算,要先算小括号里面 的第二级运算,再算小括号里面的第一级运算,最后算小括号外面 的。如 四、解决问题 1. 解题时,先根据已知条件求出一个单位量的数值,如单位面 积的产量,单位时间的工作量,单价等,再根据题中的条件和问题求 出结果,这样的解题方法叫做“归一法”。 如教材 51 页例题中,可以先求出一条船每天能满足多少人乘 船游玩(单一量),最后根据“单一量×份数=总量”求出节假日每天能 满足多少人乘船游玩。 2. 有些归一问题可以采用同类数量之间进行倍数比较的方 法进行解答,这种方法叫做倍比法。 如教材 51 页例题也可以先求出 10 条船每天能满足多少人乘 船游玩,再求节假日每天能满足多少人乘船游玩。 五、带中括号的三步混合运算 1. 一个算式里面如果既有小括号,又有中括号,要先算小括号 里面的,再算中括号里面的,最后算中括号外面的。如 2. 四则运算:加法、减法、乘法和除法统称为四则运算。 3. 四则混合运算的运算顺序:要先算乘除法,后算加减法;有括 号的,要先算小括号里面的,再算中括号里面的,最后算中括号外面 的。 4. 在四则运算中有关 0的特殊情况。 (1)0+任何数=任何数;(2)任何数-0=任何数; (3)任何数×0=0;(4)0÷任何数=0; (5)0 不能作除数。 六、24 点游戏 使用加、减、乘、除运算使扑克牌上各点数运算的结果为 24, 合运算的运算顺序是一样的,同级运算按 照从左往右的顺序计算。 重点提示: 小括号里面既有乘除法,又有加减 法,要先算乘除法 ,再算加减法。 归纳总结: 同一问题,从不同的角度思考,不仅 可以找到多种解题方法,而且可以发现比 较简单巧妙的解题方法。 重点提示: (1)中括号与小括号的作用相同,都 是用来改变运算顺序的。 (2)在计算的过程中,遇到除法的商 的小数位数较多的情况时,一般保留两位 小数。 第7页 每张扑克牌上的点数只可使用一次。 六 多边形的面积 一、平行四边形面积 1. 平行四边形的面积公式的推导过程。 通过剪拼把平行四边形拼成了一个与它面积相等的长方形,平行四 边形的底和高分别与长方形的长和宽相等,即 如果用S表示平行四边形的面积,用 a表示平行四边形的底,用 h表 示平行四边形的高,那么平行四边形的面积计算公式可以写成S=ah。 2. 平行四边形的面积公式的拓展。 根据平行四边形的面积=底×高,可以得出高=平行四边形的面积÷ 底;底=平行四边形的面积÷高。 二、三角形面积 1. 三角形的面积公式的推导过程。 由图可知:两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形,且三角 形的底相当于平行四边形的底,三角形的高相当于平行四边形的高。 平行四边形的面积等于两个完全一样的三角形的面积和,由此可得 三角形的面积=底×高÷2。 用S表示三角形的面积,用a表示三角形的底,用h表示三角形的高, 那么三角形的面积计算公式可以写成 S=ah÷2。 2. 三角形的面积公式的拓展。 三角形的底=三角形的面积×2÷高;三角形的高=三角形的面积×2÷ 底。 三、梯形面积 1. 梯形的面积公式的推导过程。 由图可知,两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形,梯形的面 积是平行四边形面积的一半,平行四边形的底是梯形的上底与下底的和, 平行四边形的高是梯形的高。 易错题: 判断:有一个用 4根木条围成 的长方形,把它拉成一个平行四边 形后,周长不变,面积也不变。 ( ) 错解分析:把长方形拉成平行 四边形后,虽然底未变,但是高变小 了,所以面积会变。 正确答案:✕ 重点提示:“完全一样”指的是两 个三角形不但面积相等,而且形状 完全相同。 易错题: 判断:三角形的面积是平行四 边形面积的一半 。( ) 错解分析:此题没有强调三角 形与平行四边形等底等高的关系。 正确答案:✕ 第8页 平行四边形的面积=(上底+下底)×高,则梯形的面积=(上底+下底)× 高÷2。 用 S表示梯形的面积,用 a、b、h分别表示梯形的上底、下底和高, 则梯形的面积计算公式可以写成 S=(a+b)×h÷2。 2. 梯形的面积公式的拓展应用。 已知梯形的面积公式的任意三个量,都可以求出第四个量: S=(a+b)×h÷2;h=2S÷(a+b); a=2S÷h-b;b=2S÷h-a。 四、组合图形面积 1. “分割求和法”。 有的组合图形是由几个简单的图形组合而成的,计算它的面积时,先 把它分割成几个已学过的简单图形,分别计算出各个简单图形的面积,再 加起来求出整个组合图形的面积。 2. “添补求差法”。 求有的组合图形的面积时,可以先把它补成一个简单的规则图形,再 用这个规则图形减去补上来的空白图形,就可求出整个组合图形的面 积。 易错题: 判断:两个梯形能拼成一个平 行四边形。( ) 错解分析:此题错在没有强调 两个梯形的形状及大小完全一样, 并不是任意的两个梯形都能拼成一 个平行四边形。 正确答案:✕ 重点提示 :把组合图形分割成几个简单 的图形,计算每个简单图形的面积 时要找准相应的数据。 七 土地的面积 一、平方米和公顷 1. 测量土地的面积时,常用“平方米”和“公顷”作单位。 2. “公顷”是测量土地面积的专用单位。 3. 边长是100米的正方形土地,它的面积是1公顷。 (如右图) 4. “公顷”和“平方米”之间的关系。 边长为 100 米的正方形的面积是 1公顷,即正方形的面积=100× 100=10000(平方米),因此,1 公顷=10000 平方米。 5. 体会 1公顷的大小,一个足球场的面积大约是 1公顷。 6. 把“平方米”换算成“公顷”是由低级单位换算成高级单位,应除以 进率 10000,;也可以根据“平方米”与“公顷”之间的进率,直接把小数点 向左移动四位。把“公顷”换算成“平方米”则根据进率,把小数点向右移 动四位。 易错题: 判断:小东家的面积是 100 公顷。 ( ) 错解分析:此题错在没有掌握“1公 顷”的实际大小,对“1 公顷”没有空间观 念。 正确答案:✕ 第9页 二、认识平方千米 1. “平方千米”是比“公顷”还大的面积单位,计算较大的土地面积一 般用“平方千米”作单位。 2. 边长是1千米(1000米)的正方形土地,它的面积是1平方千米, 记作:1 km2,即 1000×1000=1000000(平方米)。 因此,1 平方千米=1000000 平方米,1 平方千米也叫 1平方公里。 3. 平方千米、公顷和平方米之间的关系。 1公顷=10000平方米,1平方千米=1000000平方米,即 1000000 平方米=1 平方千米=100 公顷。 4. 体会 1平方千米的大小。1个足球场的面积大约是1公顷,100 个这样的足球场的面积大约是 1平方千米。 三、人均面积与土地荒漠化问题 1. 人均面积=陆地面积÷人口数。 2. 荒漠化:指由于人为和自然因素的作用,使得干旱和半干旱甚 至半湿润地区自然环境退化(包括盐渍化、草场退化、 水土流失、植被荒漠化等)的总过程。 3. 通过计算了解,全球荒漠化面积大约占陆地 面积的四分之一,荒漠化现象已经相当严重,我们应 积极行动起来,重视对土地荒漠化的治理。 四、种植问题 1. 画图理解株距、行距和每棵树的占地面积。 (1)株距:同一行中,相邻的两棵树之间的距离。 (2)行距:相邻的两行之间的距离。 (3)每棵树的占地面积=株距×行距。 上图中株距为 5米,行距为 4米。 2. 计算并比较两种方案的优劣。 根据土地的总面积÷每棵果树的占地面积=棵数,求出种每种果树 的棵数,然后用单价×数量=总价,计算出各自的投资,最后根据实际情 况和长远利益来比较两种方案的优劣。 易错题:3 平方千米=30000 平方 米。 错解分析:没有掌握平方米和平 方千米之间的进率。 正确答案:3 平方千米=3000000 平方米 温馨提示:我国土地荒漠化现象 严重,治理环境是首要问题。 重点提示:在计算人均土地面积 时,注意单位要相对应。 方法提示: 通过画图,数形结合,来理解株距 和行距的意义。 重点提示 :在实际计算过程中要注意单位 的统一,单位不统一,不能直接计算。 第10页 八 方 程 一、方程 1. 天平的使用方法。 (1)将天平水平放置,指针对准中央0刻度线,天平处于平衡状 态。 (2)一般情况下,左边托盘里放称量的物体,右边托盘里放砝 码。 (3)称量物体时,天平的指针对准中央 0刻度线,天平平衡,两 边物体的质量相等;指针偏右,说明右边重,指针偏左,说明左边重。 2. 认识等式和方程。 (1)等式:像 20+30=50、30+x=80、2x=100……这些表示相 等关系的式子,叫做等式。其中,30+x=80、2x=100……叫做方程。 (2)含有未知数的等式叫做方程。方程具有两个特征;一是含 有未知数;二必须是等式。 (3)等式和方程的关系:方程一定是等式,等式不一定是方程。 用集合图表示为: 二、等式的性质 1. 等式的性质(一)。 通过用天平做实验发现:等式的两边同时加上或减去同一个 数,等式仍然成立。 2. 等式的性质(二)。 通过用天平做实验发现:等式的两边同时乘或除以同一个数 (除数不能为 0),等式仍然成立。 三、解方程 1. 根据等式的性质解一步计算的方程,在方程的两边同时加 上或减去、乘或除以同一个数(除数不能为 0),使方程的一边只剩 下未知数 x,求出 x 的值。 2. 使方程左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解。 3. 求方程的解的过程叫做解方程。 4. 解形如 ax±b=c 的两步计算的方程,先将 ax 看作一个数, 求出 ax 的值后,再按照一步方程的解法求出 x的值。 5. 解形如ax±bx=c的两步计算的方程,先求出有几个x,再按 照一步方程的解法求出 x的值。 四、列方程解决问题 重点提示: 方程中的字母表示未知的量,叫做未 知数。 等式:表示相等关系的式子叫做等式。 易错题: 判断:2x+15 是方程。( ) 错解分析:此题错在没有理解方程的 意义,2x+15 虽然含有未知数 x,但不是等 式。 正确答案:✕ 易错题:等式的两边同时乘或除以同一个 数,等式仍然成立。( ) 错解分析:此题没有强调除数不能为 0。 正确答案:✕ 易错提示:“方程的解”和“解方程”不同, 方程的解是未知数的值;而解方程是求方 程的解的演算过程。 第11页 1. 列方程解决一步计算的实际问题的方法。 (1)列方程解题时,先找出题中的等量关系,把未知数用 x表示 出来,再根据等量关系列出方程。 (2)解决已知一个数的几倍是多少,求这个数的实际问题时,可 以先设这个数为x,根据等量关系列出形如ax=c的方程,再进行解 答。 2. 列方程解决两步计算的实际问题的方法。 已知数量甲及数量甲比数量乙的几倍多(少)几,求数量乙的 实际问题,可以先设数量乙为 x,根据数量乙×倍数±几=数量甲,列 出形如 ax±b=c 的方程,再解答。 3. 列方程解决稍复杂的相遇问题。 相遇问题的特征:两个运动的物体同时从两地出发,相向而 行,在途中相遇,等量关系式:速度和×相遇时间=总路程。 4. 列方程解决求两个未知数的实际问题。 已知两个数的和(差)及两个数的倍数关系,求这两个数的实 际问题,通常设标准量为 x,比较量用含有 x的式子表示出来;然后 根据题中的等量关系列出方程,再进行解答。 重点提示: 列方程解决问题的步骤: (1)理清题意,找出未知量,用 x表示; (2)找出题中的等量关系,列方程; (3)解方程; (4)检验,写出答语。 九 探 索 乐 园 一、鸡兔同笼 1. 简介“鸡兔同笼”问题:“鸡兔同笼”问题是我国古代趣味名 题,出自古代数学名著《孙子算经》,因计算的是同一个笼子中 鸡和兔的只数而得名。 2. 解决“鸡兔同笼”问题的方法。 (1)列表法:如教材第 95 页表。利用列表法有利于理清相关 数据的对应关系,但当数据较大时,解题过程就会很复杂。 (2)方程法:用方程法解决“鸡兔同笼”问题的基本数量关系 式如下:鸡的只数×2+兔的只数×4=鸡、兔的总腿数。 (3)假设法:假设全是鸡,那腿的数量比实际腿的数量少,是 因为每少一只兔少算了 2条腿,由此可以算出兔的只数。 二、密铺 1. 密铺的意义。 由图可知,用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形 重点提示: 用假设法解决“鸡兔同笼”问题,假设全是 鸡,先求出的是兔的只数;假设全是兔,先求出 的是鸡的只数。 重点提示: 平行四边形、等腰梯形、长方形、正方 形、正三角形、正六边形能单独密铺。正五 边形、正八边形、圆不能单独密铺,但可以和 第12页 (或物体)进行拼接,彼此之间既不留空隙,也不重叠地铺满,这就 是平面图形的密铺,又叫做平面图形的镶嵌。 2. 探索等边三角形、正六边形和正八边形的密铺。 通过实际操作可知,等边三角形、正六边形可以单独密铺, 正八边形不能单独密铺。 3. 密铺的奥秘:一个图形或几个图形,如果拼合后相拼接 的边相等,公共点处的几个角的度数和正好是 360°,那么这几 个图形就可以密铺。 其他图形组合密铺。 第13页