五上数学知识点(1)

五上数学知识点(1)

苏教版五年级数学上册知识点总结 （一）负数的初步认识 负数的初步认识（一） 正负数及零的意义：像+20，+8848，+3260 这样的数都是正数（正数前面的“+” 可以省略不写），像-20，-155，-422 这样的数都是负数。 0 是正数和负数的分界线，0 既不是正数也不是负数。 负数的初步认识（二） 1.生活中具有相反意义的数量：像零℃以上与零℃以下，海平面以上和海平面以 下，地面以上和地面以下，存入和取出，比赛的得分和失分，股价的上涨和下跌 等等都是由相反意义的量，都可以用正负数来表示。 2.初步认识数轴：（1）0右边的数都是正数，0左边的数都是负数。 （2）-2 和 2 到 0 的距离相等。 （3）正数都大于 0，负数都小于 0。 （二）多边形的面积 A.平行四边形的面积 1.公式推导：沿着平行四边形任意一条边上的高，将平行四边形分成两部分，再 经过平移或者旋转，可以将平行四边形转化成长方形。通过观察发现，长方形的 长是原平行四边形的底，长方形的宽是原平行四边形的高。 通过长方形的面积公式，我们可以得到平行四边形的面积公式，如果用 S表示 平行四边形的面积，用 a和 h分别表示平行四边形的底和高，可以得到平行四 边形的面积为：S=a×h。 2.平行四边形拉伸和平移问题： （1）把一个长方形框拉成平行四边形，周长不变，高变小，面积也变小；同理， 把平行四边形框拉成长方形，周长不变，高变大了，面积也变大。 （2）把一个平行四边形拼成长方形，面积不变，宽变小了，周长也变小。 3.两平行四边形之间的关系：等底等高的两平行四边形面积一定相等，但面积 相等的两个平行四边形形状不一定相同。 B.三角形的面积： 1.公式推导：用两个完全相同的三角形，可以拼成一个平行四边形。三角形的面 积等于拼成的平行四边形的一半。观察可以发现，平行四边形的底和三角形的底 相同，平行四边形的高和三角形的高相同。 通过平行四边形的面积公式，可以推导出三角形的面积公式。如果 S表示三角形 的面积，用 a和 h分别表示三角形的底和高，三角形的面积公式为：S=a×h÷2。 2.两三角形之间的关系：等底等高的两三角形面积一定相等，但面积相等的两个 三角形形状不一定相同； 3.三角形与平行四边形之间的关系： （1）一个平行四边形能分割成两个完全相同的三角形；两个完全相同的三角形能 拼成一个平行四边形； （2）等底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半； （3）等面积、等底（高）的三角形和平行四边形，三角形的高（底）是平行四 边形的 2倍； C.梯形的面积： 1.推导公式：两个完全相同的梯形可以拼成一个平行四边形，梯形的面积等于拼 成的平行四边形面积的一半。通过观察可以发现，拼成的平行四边形的底等于梯 形的上底、下底之和，平行四边形的高等于梯形的高。 根据平行四边形面积公式，可以推导出梯形的面积公式。用 S表示梯形的面积， a、b和 h分别表示梯形的上底、下底和高，梯形的面积公式为：S=（a+b）×h÷2。 2.梯形与平行四边形之间的关系： （1）一个平行四边形可以分成两个完全相同的梯形，注意两个不同的梯形也可 以拼成一个平行四边形； （2）要从梯形中剪去一个最大的平行四边形，那么应把梯形的上底作为平行四 边形的底，这样剪去才能最大。 D.公顷和平方千米： 1.公顷：1公顷(平方百米)就是边长 100 米的正方形的面积。 1公顷=10000 平方米。 一个社区、校园的面积通常用“公顷”为单位。 2.平方千米：1 平方千米就是边长 1000 米的正方形的面积。 1平方千米=100 公顷=100 万平方米=100 0000 平方米。 表示一个国家、省市、地区、湖泊的面积一般就要用“平方千米”作单位。 3.面积单位换算进率： 100 100 100 10000 1002 2 2 2 2 2mm cm dm m hm km         E.简单组合图形的面积： 1.求组合图形面积的常见方法： ⑴分割法：可以把一个组合图形分成几个简单的图形，分别求出这几个简单图形 的面积，再求和。 ⑵添补法：可以把一个组合图形看作是从一个简单图形中减去几个简单的图形， 求出它们的面积差。 2.计算组合图形的面积的基本策略：分割求和；补全求差。 【例 1】求下面图形的面积（单位：m）。你能想出几种方法。 F.不规则图形的面积： 1.要点： （1）把整格和半格分别涂上不同的颜色，避免重复和遗漏。 （2）不满整格的可以全部看成半格计算；或者先数整格的个数，再把不满整格的 也看成整格，数出一共有多少格。 （3）有顺序地去数，做到不重复、不遗漏。 2.方法：先数整格的，再数不满整格的，不满整格的除以 2折算成整格，最后 相加；若不规则图形为轴对称图形，可先算出一半图形的面积，再乘以 2。 【例 1】图中每个小方格的面积为 1 2m ，请你估计这个池塘的面积。 （三）小数的意义和性质 小数的意义和读写方法： 1.小数的意义：分母是 10、100、1000……的分数都可以用小数表示。一位小数 表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几…… 2.小数的读写：整数部分的 0在每一级中间要读出来，在末尾不用读出来，而小 数部分的 0都要读出来。 小数的计数单位和数位顺序表： 整数部分 小数 点 小数部分 数 级 亿级 万级 个级 . 数 位 … 十 亿 位 亿 位 千 万 位 百 万 位 十 万 位 万 位 千 位 百 位 十 位 个 位 十 分 位 百 分 位 千 分 位 … 计 数 单 位 … 十 亿 亿 千 万 百 万 十 万 万 千 百 十 个 或 一 十 分 之 一 0.1 百 分 之 一 0.0 1 千 分 之 一 0.0 01 … （1）相邻两个计数单位之间的进率都是 10； （2）整数部分没有最高位，小数部分没有最低位； （3）整数部分最低位是个位，小数部分最高位是十分位。 【例 1】在 6．47 这个数中，6在（ ）位上，表示（ ）个（ ）；4在 （ ）位上表示（ ）个（ ）；7在（ ）位上，表示（ ）个（ ）。 【例 2】0.508 是由（ ）个十分之一和（ ）个千分之一组成的;也可以看 作是由（ ）个千分之一组成的。 【例 3】1里面有（ ）个 0.1，（ ）个百分之一；50 里面有（ ）个 0.01。 【例 4】1.45 的计数单位是（ ），1.45 含有（ ）个这样的计数单位。1.450 的计数单位是（ ），1.450 含有（ ）个这样的计数单位。 【例 5】一个小数的计数单位是 0.001，它比 0.01 大，又比 0.02 小，这个小数可 能是 。 小数的性质： 1.小数的性质：在小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。 2.易错点： ①在小数点后面添上 0或者去掉 0，小数的大小不变。（ × ） ②在一个数后面添上 0或者去掉 0，小数的大小不变。（ × ） 【例 1】把下面各数改写成小数部分是两位的小数。 5元 6角=（ ）元 8分=（ ）元 1米 2厘米=（ ）米 20 厘米=（ ）米 小数的大小比较： 先看整数部分，整数部分大的数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的小数 就大；十分位上的数相同的，再比较百分位上的数，以此类推． 【例 1】比较大小： 0.76、 0.067、 0.706、 0.076、 0.67、 0.607 （ ）<（ ）<（ ）<（ ）<（ ）<（ ） 【例 2】7．□6＞7．46 ，□里可填的数是（ ）。 【例 3】大于 0.5 而小于 1的一位小数有（ ）个。大于 0.07 而小于 0.08 的 三位小数有（ ）个； 【例 4】在□.□8的两个□里各填一个数字，使得到的小数分别符合下面的要求， （1）使这个小数尽可能大，这个小数是（ ）。 （2）使这个小数尽可能小，这个小数是（ ）。 （3）使这个小数尽可能接近 5，这个小数是（ ）。 大数值的改写: 1.用“万”作单位：a、从个位起，往左数四位，画“┆”，在“┆”下方点小数 点；b、去掉小数末尾的“0”，添上“万”字；c、用“=”连接。 2．用“亿”作单位：a、从个位起，往左数八位，画“┆”，在“┆”下方点小 数点；b、去掉小数末尾的“0”，添上“亿”字；c、用“=”连接。 【例 1】把 168000 改写成用“万”作单位的数是（ ）；省略万 位后面的尾数是（ ）；把 995000000 元改写成以“亿元” 为单位的数是（ ），保留一位小数是（ ）。 小数的近似数: 1.保留整数：就是精确到个位，要看十分位上的数来决定四舍五入。 2.保留一位小数：就是精确到十分位，要看百分位上的数来决定四舍五入。 3.保留两位小数：就是精确到百分位，要看千分位上的数来决定四舍五入。 【例 1】求下面各数的近似数： 1、5.064（精确到十分位） 2、3.1449（精确到百分位） 3、2.905（保留一位小数） 4、2549880000（改写成用“亿”作单位的数，再保留两位小数） （四）小数加法和减法 小数的加法和减法 1.小数加法和减法的计算方法：要把小数点对齐，也就是相同数位对齐；从最低 位算起，各位满十要进一；不够减时要向前一位借 1当 10 再减。 2.被减数是整数时，要添上小数点，并根据减数的小数部分补上“0”后再减。 3.用竖式计算小数加、减法时，小数点末尾的“0”不能去掉，把结果写在横式 中时，小数点末尾的“0”要去掉。 【例 1】数字 7在十位上比在十分位上表示的数大（ ），小于 1的最大的三位 小数比最小的两位小数大（ ）。 【例 2】3.6 的计数单位是（ ），它有（ ）个这样的单位，再加上（ ） 个这样的计数单位就得到 4. 【例 3】在一个减法算式中，差是 6.25，如果被减数增加 0.5，减数减少 0.5，则 现在的差是（ ）。 小数加减法简便计算： 1.加法运算律：加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：a+b+c=a+（b+c） 2.减法的性质：a-b-c=a-（b+c） a-（b-c）=a-b+c a+b-c=a-c+b a+b-c+d=a-c+b+d 【类型一】8.43＋2.87＋0.57＋0.13 【类型二】6.52–3.44–2.56 【类型三】9.6＋6.7–9.6＋3.3 【类型四】17.84–（5.84＋11.79） （五）小数乘法和除法 小数乘整数： 小数乘整数，先按整数乘法计算，再看乘数里有几位小数，就从积的右边起数出 几位，点上小数点。 【例 1】根据 504×25=12600，直接写出下面每题的积。 5.04×25= 50.4×25= 0.504×25= 504×0.25= 504×2.5= 504×0.025= 一个数乘 10、100、1000……的计算规律 1.规律：一个小数乘 10、100、1000……小数点就分别向右移动一位、两位、三 位……反过来．把小数的小数点向右移动一位两位、三位……就等于把这个小数 乘 10、100、1000 ……这就是小数点移动引起的小数大小变化规律。 注意：如果当移动小数点但末尾数位不够时，可以用添“0”的办法补足数位， 过去一个整数乘 10 就在末尾添 1个“0”，乘 100 就在末尾添 2个“0”…… 2.单位换算：例如求 0.86 吨=？千克时，可以这样想：把吨数改写成千克数，是 把高级单位的数改写成低级单位的数，要乘以进率，进率是 1000，只要把 0.86 的小数点向右移动三位。 【例 1】在括号里填上合适的数。 0.04×（ ）=4 0.978×（ ）=978 5.08×（ ）=50.8 46.5×（ ）=4650 0.09×（ ）=9 1.04×（ ）=104 【例 2】单位换算。 2.3 米=（ ）分米 3.004 升=（ ）豪升 7.07 千克=( )克 21 平方分米 9 平方厘米=( )平方分米 0.6 平方米=( )平方厘米 4.3 小时=( )小时( )分 一个数除以整数 除数是整数的小数除法，按整数除法算，商的小数点和被除数对齐；末尾有余数 添 0继续除；整数部分不够商 1在个位商 0。 一个数除以 10、100、1000……的计算规律 1.规律：一个小数除以 10、100、1000……小数点就分别向左移动一位、两位、 三位……反过来，把一个数的小数点向左移动一位、两位、三位……就等于把这 个小数除以 lO、100 、1000…… 注意：如果当移动小数点数位不够时，可以用添“0”补足数位。整数实际上就 是小数部分都是 0的数，同样可以用这个规律求商。过去一个整十、整百数 除似 10 或 100，就在末尾去掉 1个“0”或 2个“0”…… 2.单位换算: 例如求 4.6 分米=？米时，可以这样想：这道题是把分米数改写成 米数，是把低级单位的数改写成高级单位的数，要除以进率，进率是 10，只要 把 4.6 的小数点向右移动一位。 【例 1】在括号里填上合适的数。 139.8÷（ ）=1.398 47.8÷（ ）=0.478 1153÷（ ）=1.153 8÷1000=（ ） （ ）÷100=7.5 （ ）÷10=0.01 【例 2】单位换算 17 分米=（ ）米 1200 毫升=（ ）升 3050 米=（ ）千米 350 平方分米=（ ）平方米 710 克=（ ）千克 5030 千克=（ ）吨（ ）千克 150 分=（ ）小时 720 平方厘米=（ ）平方分米 小数乘以小数 1.法则：小数乘小数先按整数乘法乘，再看乘数里一共有几位小数，就从积的右 边起数出几位，点上小数点。当小数位数不够时，在前面用 0 补足；末尾有 0 的要先点小数点再化简。 2.积不变的规律： （1）一个乘数扩大多少倍，另一个乘数缩小相应的倍数，积不变； （2）当一个乘数不为 0时，另一个乘数大于 1，积就大于第一个乘数；另一个乘 数小于 1，积就小于第一个乘数。 【例 1】根据 44×21=924 ,直接写出下面几个算式的积。 4.4×2.1=( ) 0.44×0.21=( ) 0.44×2.1=( ) 4.4×0.21=（ ） 【例 2】在括号填入合适的数，使等式成立。 5.46×24=2.4×（ ） 4.24×0.25=（ ）×0.424 6.4×0.53=53×（ ） 18×0.42=0.018×（ ） 【例 3】比较大小 0.9×1.9○0.9； 0.9×1.9○1.9。 积的近似值 求积的近似值，先计算乘法的积，根据要保留的位数看后一位上的数，用四舍五 入的方法得出积的近似数。结果是近似值的，要用约等号表示。 【例 1】6．9628 保留整数是（ ）；保留到十分位是（ ）； 保留两位小数是（ ）；保留三位小数是（ ） 【例 2】求一个小数的近似数，如果保留三位小数，要看小数第（ ）位。 一个数除以小数 1.被除数数位够：先划去除数的小数点，将除数变成整数，然后除数的小数点向 右移动了一位，被除数的小数点也向右移动一位，划去被除数原来的小数点，再 按照除数是整数的除法来计算。 2.被除数数位不够：（1）先把除数转化成整数；（2）把除数转化成整数后，被 除数的小数点也要向右移动相同位数。如果位数不够，要用 0补足；（3）再按除 数是整数的计算方法进行计算。 3．商不变的规律： （1）除数和被除数扩大相同倍数（0除外），商不变； （2）当被除数不为 0 时，除数大于 1，商就小于被除数；除数小于 1，商就大于 被除数。 【例 1】把下面的式子变成除数是整数的除法算式 0.75÷0.25＝（ ）÷25 0.672÷4.2 ＝（ ）÷42 0.24÷4.8＝（ ）÷48 14 ÷0.56 ＝（ ）÷（ ） 76.8÷0.5＝（ ）÷50 0.54÷0.18 ＝（ ）÷（ ） 【例 2】根据 1664÷13＝128 写出下面各题的商。 16.64÷0.13 ＝( ) 166.4÷0.13＝( ) 1664 ÷0.013＝( ) 1.664÷1.3 ＝( ) 166.4 ÷130 ＝( ) 16.64÷1.3 ＝( ) 【例 3】巧比大小。 12.01÷1.02○12.01 0.32÷8○0.32×0.125 7.8×0.98○0.98 10.8÷0.25○10.8×4 1.8×1.1○18×0.11 0.99÷1.1○0.99×1.1 商的近似值 1．求商的近似值：保留整数要除到（ ）位，保留一位小数要除到（ ）， 保留两位小数要除到（ ），也就是比保留的位数多除（ ）位，再按（ ） 法取近似值。 2．循环小数：    有限小数（小数部分位数是有限的） 小数 无限小数（小数部分位数是无限的） 循环小数： 0.378378…… 1.13636…… 用循环节表示: （ ） （ ） 3.进一法：有时候不管余下的数是多少，都还需要分 1 份，就要用进一法把结果 添上 1，比如只要油有余下的，不管余下多少都要有 1个油壶才能装完，这就要 在商里添上 1个。 4.去尾法：有时候不管余下的数是多少，都不能再得到 1个或 1份时，就要用去 尾法舍去余数，比如余下的钱不够再买 1个足球、余下的米数不够做 1件衣服， 这余数就舍去。 【例 1】一间教室长 8.8 米，宽 6.5 米，如果用 0.38 平方米的瓷砖铺地，至少需 要多少块瓷砖？（得数保留整数） 【例 2】植物油厂的每个油桶最多装油 4.5 千克，要装 600 千克的油，需要多少 个油桶？ 【例 3】金星服装厂有一批布料，如果做儿童服装，每套用布 2.2 米，正好可以 做 100 套；如果用来做成人服装，每套用布 2.5 米，那么可以做多少套成人服装 呢？ 小数四则混合运算 1.运算顺序：（1）同一级符号从左往右依次计算；（2）既有加减，又有乘除， 先算乘除，再算加减；（3）有小括号的，先算小括号里面的。 2.简便计算类型： （1）乘法结合律 a b c a c b    （ ） （ ） 基本方法：先交换因数的位置，再计算。 【例 1】4.36×12.5×8 【例 2】0.95×0.25×4 （2）乘法分配律 乘法分配律： ( )a b c a c b c      【例 1】(1.25－0.125)×8 【例 2】（20－4）×0.25 （3）乘法分配律逆应用 乘法分配律逆向定律： ( )a b a c a b c     【例 1】3.72×3.5＋6.28×3.5 【例 2】 15.6×2.1－15.6×1.1 （4）乘法分配律拓展应用 【例 1】4.8×10.1 【例 2】0.39×199 （5）拆分因数 【例 1】1.25×2.5×32 【例 2】3.2×0.25×12.5 （6）添加因数“1” 【例 1】56.5×99＋56.5 【例 2】4.2×99＋4.2 （7）更改因数的小数点位置 【例 1】6.66×3.3+66.6×67 【例 2】4.8×7.8＋78×0.52 （8）除法的性质 字母表示： )( cbacba  【例 1】420÷2.5÷4 【例 2】17.8÷(1.78×4) （六）统计表和条形统计图（二） 复式统计表 复式统计表其实就是由几张单式统计表合成的，所以从复式统计表中，不仅可以 横向比较、纵向比较，还可以从“合并”和“总计”中看出总体的比较情况。 复式条形统计图 复式条形统计图的结构比单式条形统计图更复杂，表达的信息也比单式条形统计 图更丰富，不仅便于对同一类数据进行比较，而且便于对两类相关数据进行比较。 与复式统计表相比，复式条形统计图表示的数据则更加直观、形象。 （七）解决问题的策略 例举法 1.列表法： 例举的特点：有顺序、不重复、不遗漏 【例 1】用 18 根 1 米长的栅栏围一个长方形的羊圈，怎样围成的面积最大？ 长方形的长/米 长方形的宽/米 在周长不变的前提下，当长方形的长和宽相差越大，面积越小，反之，长方形 的长和宽的相差越小，面积就越大。 2.列举法： 【例 2】最少订 1本，最多订 3本，有多少种情况？ 订一本：A、B、C 订二本：AB、AC、BC 订三本：ABC 得出结论：要按一定顺序列举，才能做到既不重复，又不遗漏。当情况比较复杂 时要先分类，再列举。列举时可以列表，也可以用文字或符号、字母等来表示。 总之要把每种可能一一列举出来，并且要用尽可能简单的方法表示，让人一看就 明白。 3.画图法： 【例 3】小强、小华和小丽是好朋友，如果她们每两人之间通一次电话，一共要 通多少电话？如果他们互相寄一张节日贺卡，一共要寄多少张？ 提问：“每两人之间通一次电话”和“两人互寄一张贺卡”有什么不同？ 【例 4】一个平行四边形的面积是 36 平方米，它的底和高分别是多少（底、高取 整米数）？请你列表看一看有几种情况。 【例 5】用 36 个 1 平方厘米的小正方形拼成长方形，有多少种不同的拼法？它们 的周长各是多少？拼一拼，算出结果。 【例 6】面包房的面包有 4个装和 6个装两种不同的包装。妈妈要购买 50 个面包， 一共有几种不同的选择方法？ 【例 7】动物园售票规定，一人券 2元一张，团体券 15 元一张（可供 10 人参观）， 六年级一班有 58 人。买门票最少要花多少元？ （八）用字母表示数 用字母表示数 1.用含有字母的式子表示数量关系和计算公式： 小结：用含有字母的式子表示数量关系和计算公式简洁、明了，让人一目了然。 字母在不同的情况下，表示数的范围不一样，有的时候可以表示任意的数，但在 表示生活中的数的时候，有时会有一定的范围。 【例 1】长方形的周长=（长+宽）×2，C=（a+b）×2, 省略乘号为 C=2（a+b） 长方形的面积=长×宽，用 S表示面积，则 S=a×b. 【例 2】若 a表示单价，b表示数量，c表示总价。 （1）已知单价、数量，求总价：（ ） （2）已知总价、单价，求数量：（ ） （3）已知总价、数量，求单价：（ ） 【例 3】若用 m表示工作效率，t表示工作时间，n表示工作总量。 （1）已知工作效率、工作时间，求工作总量：（ ） （2）已知工作总量、工作效率，求工作时间：（ ） （3）已知工作总量、工作时间，求工作效率：（ ） 【例 4】你能用字母表示以前学过的运算律吗？ 加法交换律：a+b=b+a 乘法交换律：a×b=b×a 加法结合律：a+b+c=a+(b+c) 乘法结合律：a×b×c=a×(b×c) 乘法分配律：a×(b+c)=a×b+a×c 【例 5】用含有字母的式子表示下面的数量： （1）搭一个正方形要 4根小棒，一行搭 n个正方形要（ ）根小棒。 （2）一件衣服用布 2米，X米布可做的件数为（ ）。 （3）一个正方形花坛长 5米，四周有一条 a米宽的小路。小路的面积（ ） 平方米。小路外边一圈周长是（ ）米。 2.含有字母的式子的书写 （1）当字母与数字相乘时，去掉乘号，把数字写在字母的前面，也可以用点表示 乘号，如：a×2通常可以写成 2a 或 2•a。 （2）当字母与字母相乘时，省略乘号，用点表示或直接去掉乘号，如：a×b写 作 a•b 或 ab； 相同字母的话就写一个字母，再在字母的右上角写上 2，如：ɑ×ɑ通常写成ɑ•ɑ 或ɑ2，读作：ɑ的平方，表示２个ɑ相乘； （3）字母与 1相乘省略 1不写，只写字母本身，如：1×ɑ写做ɑ。 要特别注意的是：加号、减号和除号不能用小圆点代替，也不能省略不写。 【例 1】省略乘号，写出下面各式： a×x= x×x= 5×x= x×3= y×8= x×x×x = y×b= 4×b×5= 5x×2= 1×a= 4m×3n= 4m×3m= 3.把数代入含有字母的式子求值 当给出式子中每个字母表示的数量是多少时，就可以把数字带进去算出这个式子 表示的数值。注意要对应相应字母的的数值。 【例 1】煤气公司铺设一段管道，3米长的钢管用了 x根，5米长的钢管用了 y根。 （1）用式子表示这段管道的长度。 （2）当 x=40 根，y=30 根时，这段管道长多少米？ 【例 2】甲、乙两船分别从两个码头同时向下游出发，甲船每小时行 a千米，乙 船每小时行 b千米，经 10 小时甲追上了乙。 （1）用式子表示 10 小时甲、乙两船共行过的路程。 （2）若 a=58，b=41，求两个码头的距离。 4.化简含有字母的式子 化简形如“ax±bx”的式子，形如“ax±bx”的含有字母的式子，可以运用乘法 分配律进行化简。 【例 1】计算下面各题： 3x+5x= 10y-9y= 15a+10a= 8b+2b= 1×a= y+4y= 15b-14b= 15x-x= 6a-a= y×y=