北师大版五年级上册数学期末复习专题讲义

北师大版五年级上册数学期末复习专题讲义

1 期末复习专题讲义 第 1 单元：小数除法 【知识点归纳】 小数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个 因数的运算． 小数除法的法则与整数除法的法则基本相同，注意两点： ①当除数是整数时，可以直接按照整数除法的法则进行计算，商的小数点要与被除数的小数 点对齐．如果有余数，就在余数的右边补上 0，再继续除．商的整数部分或小数部分哪一位 不够 1 时，要写上 0，补足位数．如果需要求商的近似值时，要比需要保留的小数位数多商 一位，再按照四舍五入法取近似商． ②当除数是小数时，要根据“被除数和除数同时扩大相同的倍数商不变”的规律，先把除数 的小数点去掉，使它变成整数，再看原来的除数有几位小数，被除数的小数点也向右移动相 同的位数．如果位数不够，要添 0 补足，然后，按照除数是整数的小数除法法则进行计算． 【典例分析】 例 1：0.47÷0.4，商是 1.1，余数是（ ） A、3 B、0.3 C、0.03 分析：根据有余数的除法可知，商×除数+余数=被除数，那么余数=被除数-商×除数，代入 数据进行解答即可． 解：根据题意可得： 余数是：0.47-1.1×0.4=0.47-0.44=0.03． 故选：C． 点评：被除数=商×除数+余数，同样适用于小数的除法． 例 2：2.5÷100 与 2.5×0.01 的计算结果比较．（ ） A、商较大 B、积较大 C、一样大 分析：根据小数乘除法的计算方法，分别求出商与积，再根据小数大小的比较方法进行解答 即可． 解：2.5÷100=0.025，2.5×0.01=0.025， 所以，2.5÷100=2.5×0.01． 2 故选：C． 点评：求出各自的商与积，再根据题意解答． 3 同步测试 一．选择题（共 10 小题） 1．商最大的是（ ） A．7.3÷0.025 B．7.3÷0.25 C．7.3÷2.5 2．10.27 里面含有（ ）个 0.01． A．27 B．7 C．1027 3．下面四道算式中，计算结果最大的是（ ） A．8.5÷0.5 B．8.5×0.98 C．8.5+6.5 D．8.5÷1.01 4．下面各项中商小于 1 的是（ ） A．0.84÷0.25 B．76.5÷45 C．0.25÷0.4 5．下列算式中，商比被除数大的是（ ） A．63.7÷7 B．63.7÷6.7 C．63.7÷0.07 6．3.25÷3.6 的商的最高位是（ ） A．十分位 B．十位 C．百分位 7．小明列竖式计算“3.38÷1.6”的商，如图所示，当商到 2.1 时，余数为“2”，这里的“2” 表示（ ） A．2 个一 B．2 个十分之一 C．2 个百分之一 D．2 个千分之一 8．0.63÷7 的商是 9 个（ ） A．一 B．十分之一 C．百分之一 D．千分之一 9．从 6 里面连续减去（ ）个 0.1，结果是 0． A．60 B．6 C．600 D．66 10．一个小数除以 0.1，这个小数（ ） A．缩小为原来的 B．扩大为原来的 10 倍 C．扩大为原来的 100 倍 二．填空题（共 8 小题） 11．计算 43.2÷0.12 时，要先把被除数和除数同时扩大到原数的 倍，转化成 整 4 数的除法进行计算． 12．10 是 1.25 的 倍， 的 5 倍是 1.4 13．在下面各题的横线上填上“＞”、“＜”或“＝”． 5.88÷0.14 58.8÷1.4 11.5÷0.5 1.15÷0.5 13.2÷0.6 1.32÷6 3.25÷0.1 3.25×10 4.26÷1.01 4.26 6.6÷0.9 6.6 14．4.343÷0.43 的商的最高位是 位，结果是 ． 15．27.5 是 5 的 倍， 是 12.5 的 4 倍． 16． 的 2.3 倍是 0.46；4.7÷0.28 的商的最高位是 位． 17．在计算 7.5÷0.22 时，被除数和除数的小数点同时向 移动 位，商用循环 小数表示是 ． 18．甲数是 10.2，是乙数的 1.5 倍，甲乙两数的和是 ． 三．判断题（共 5 小题） 19．5.8÷0.01 与 5.8×100 的结果相等． （判断对错） 20．当除数是小数时，通常根据小数的基本性质把除数化成整数来计算． （判断对 错）[来源:Zxxk.Com] 21．1.21 除以 0.3 的商是 4，余数是 1 （判断对错） 22．2.5 除以一个小数，所得的商必定小于 2.5． （判断对错） 23．12.4 除以一个小数，所得的商不一定大于 12.4． ．（判断对错） 四．计算题（共 2 小题） 24．直接写出得数 3.6÷6＝ 7.8÷6＝ 14÷4＝ 6.6÷11＝ 56.7÷7＝ 8.8÷4＝ 25．用竖式计算． 7.8÷0.12＝ 19÷25＝ 5 6.27÷3.5≈（结果保留两位小数） 五．应用题（共 5 小题） 26．王爷爷买了 3 千克苹果花了 15.06 元，每千克苹果多少元？ 27．一根 7.5m 长的彩带，做一个蝴蝶结要用 1.3dm，这根彩带可以做多少个蝴蝶结？ 28．哪种牛奶便宜些？ 29．小果冰棍 50 支，要付 42.5 元；牛奶冰棒 30 支，要付 22.5 元．比一比，哪种冰棍便宜？ 30．地球的直径约是 1.28 万千米，是月球直径的 3.65 倍，月球直径约有多少万千米？（得 数保留两位小数） 6 参考答案与试题解析 一．选择题（共 10 小题） 1．【分析】根据选项可知：被除数都是 7.3，则除数越大，商越小；除数越小，商越大．据 此选择． 【解答】解：0.025＜0.25＜2.5 答：商最大的是 7.3÷0.025． 故选：A． 【点评】本题主要考查小数除法的性质，关键从选项出发，利用除法的意义做题． 2．【分析】10.27 是两位小数，计数单位是 0.01，所以 10.27 里面有 1027 个 0.01．据此选 择． 【解答】解：10.27 里面有 1027 个 0.01． 故选：C． 【点评】本题主要考查小数的意义：一位小数表示有多少十分之一（0.1），两位小数表 示有多少个百分之一（0.01），三位小数表示有多少个千分之一（0.001）． 3．【分析】一个数（0 除外）除以一个小于 1 的数，商大于这个数． 一个数（0 除外）乘一个小于 1 的数，积小于这个数． 一个数（0 除外）除以一个大于 1 的数，商小于这个数．据此比较 8.5÷0.5 与 8.5+6.5 的 结果进行解答． 【解答】解：因为 8.5÷0.5＝17 8.5×0.98＜8.5 8.5+6.5＝15 8.5÷1.01＜8.5 17＞15 所以计算结果最大的是 8.5÷0.5． 故选：A． 【点评】本题考查了学生对一个数（0 除外）乘上一个大于、等于、小于 1 的数，积与因 数比较的知识；一个数（0 除外）除以一个大于、等于、小于 1 的数，商与被除数比较的 知识． 4．【分析】根据除法的性质，要使商小于 1，则被除数必须小于除数，据此解答即可． 7 【解答】解：A、0.84＞0.25，商大于 1； B、76.5＞45，商大于 1； C、0.25＜0.4，商小于 1． 故选：C． 【点评】此题考查了不用计算判断商与 1 之间大小关系的方法． 5．【分析】一个数（0 除外）除以小于 1 的数，商大于这个数； 一个数（0 除外）除以大于 1 的数，商小于这个数；据此解答． 【解答】解：A、63.7÷7＜63.7； B、63.7÷6.7＜63.7； C、63.7÷0.07＞63.7． 故选：C． 【点评】此题考查了不用计算判断商与被除数之间大小关系的方法． 6．【分析】首先根据除数是小数的除法计算方法，先变为除数是整数的小数除法，再进一 步判定商的最高位． 【解答】解：3.25÷3.6＝32.5÷36 整数部分小于除数，所以商的最高位在十分位上． 故选：A． 【点评】本题主要考查了学生根据小数除法的计算方法解决问题的能力． 7．【分析】直接找到余数为“2”的数字 2 所在的计数单位是百分之一，可得这里的“2” 表示 2 个百分之一，即可求解． 【解答】解：根据小数乘法的计算法则可知，这里的“2”表示 2 个百分之一． 故选：C． 【点评】考查了小数除法，关键是找到数字 2 所在的计数单位． 8．【分析】先求出 0.63÷7 的商，再根据数的组成即可求解． 【解答】解：0.63÷7＝0.09，商是 9 个百分之一． 故选：C． 【点评】考查了小数除法，关键是求出 0.63÷7 的商． 9．【分析】相同数之差是 0，即 6﹣6＝0，求 6 里面有多少个 0.1，用 6 除以 0.1． 【解答】解：6÷0.1＝60 即 6 是 60 个 0.1[来源:学。科。网] 8 因为 6﹣6＝0 所以从 6 里面连续减去 60 个 0.1，结果是 0． 故选：A． 【点评】关键是弄清 6 里面有多少个 0.1，根据除法的意义，用 6 除以 0.1 就是 6 包含的 0.1 的个数． 10．【分析】因为 0.1＝ ，所以一个小数除以 0.1，也就是除以 ，即扩大了 10 倍；据 此判断即可． 【解答】解：一个小数除以 0.1，就是把这个小数扩大到原来的 10 倍； 故选：B． 【点评】此题考查小数和分数的转化，也考查了一个数除以分数的计算方法． 二．填空题（共 8 小题）[来源:学*科*网 Z*X*X*K] 11．【分析】本题根据除数是小数的小数除法的运算法则计算即可． 【解答】解：计算 43.2÷0.12 时，要先把被除数和除数同时扩大到原数的 100 倍，转化 成 除数是整数的除法进行计算． 故答案为：100，除数是． 【点评】除数是小数的小数除法法则：先看除数中有几位小数，就把被除数的小数点向 右移动几位，数位不够的用零补足； 然后按照除数是整数的小数除法来除． 12．【分析】要求 10 是 1.25 的多少倍，用 10 除以 1.25 即可； 要求几的 5 倍是 1.4，用 1.4 除以 5 即可． 【解答】解：10÷1.25＝8 1.4÷5＝0.28 答：10 是 1.25 的 8 倍，0.28 的 5 倍是 1.4． 故答案为：8，0.28． 【点评】考查了小数除法，关键是根据题意列出算式进行计算． 13．【分析】（1）（2）（3）（4）被除数不变，除数扩大多少倍（0 除外），商缩小同样 的倍数；除数缩小多少倍（0 除外），商扩大同样的倍数；除数不变，被除数扩大多少倍， 商扩大同样的倍数；被除数缩小多少倍，商缩小同样的倍数； （5）（6）根据一个数（0 除外）一个数（0 除外）除以大于 1 的数，商小于这个数；除 以小于 1 的数，商大于这个数；据此解答． 9 【解答】解：（1）5.88÷0.14＝58.8÷1.4 （2）11.5÷0.5＞1.15÷0.5 （3）13.2÷0.6＞1.32÷6 （4）3.25÷0.1＝3.25×10 （5）4.26÷1.01＜4.26 （6）6.6÷0.9＞6.6 故答案为：＝，＞，＞，＝，＜，＞． 【点评】此题考查了不用计算判断商与被除数之间大小关系的方法． 14．【分析】根据小数除法的计算方法计算出 4.343÷0.43 的结果，即可得解． 【解答】解：4.343÷0.43＝10.1 商的最高位是十位，结果是 10.1． 故答案为：十，10.1． 【点评】本题考查了小数除法的计算方法的掌握情况． 15．【分析】求 27.5 是 5 的几倍用 27.5÷5 计算； 求 12.5 的 4 倍是多少，用 12.5×4 计算． 【解答】解：27.5÷5＝5.5 12.5×4＝50 答：27.5 是 5 的 5.5 倍，50 是 12.5 的 4 倍．[来源:学科网] 故答案为：5.5，50． 【点评】此题考查了求一个数的几倍是多少以及一个数是另一个数的几倍． 16．【分析】（1）根据乘法的意义，用 0.46÷2.3 计算即可； （2）根据商不变的规律，把 4.7÷0.28 的被除数、除数都乘 100 就是 470÷28，前两位够 除，商的最高位是十位． 【解答】解：（1）0.46÷2.3＝0.2， 即 0.2 的 2.3 倍是 0.46． （2）4.7÷0.28＝470÷28，商的最高位是十位． 故答案为：0.2，十． 【点评】此题考查了对小数除法运算法则的掌握与运用． 17．【分析】把除数 0.22 的小数点向右移动两位，被除数的小数点也向右移动两位变成 750， 10 然后按除数是整数的方法计算． 【解答】解：在计算 7.5÷0.22 时，被除数和除数的小数点同时向右移动两位，7.5÷0.22 ＝34. ，商用循环小数表示是 34. ．[来源:学§科§网 Z§X§X§K] 故答案为：右，两，34. ． 【点评】此题考查小数除法和商不变的性质，解决此题的关键是，除数的小数点向右移 动几位，被除数的小数点也向右移动几位． 18．【分析】先根据甲数是乙数 1.5 倍，可求乙数＝10.2÷1.5＝6.8，再把甲数加上乙数即可 求解． 【解答】解：10.2+10.2÷1.5 ＝10.2+6.8 ＝17 答：甲乙两数的和是 17． 故答案为：17． 【点评】考查了小数除法运算，本题的关键是求乙数时不要用错了运算符号． 三．判断题（共 5 小题） 19．【分析】根据小数乘除法的计算方法分别算出 5.8÷0.01 与 5.8×100 的结果再进行比较 即可． 【解答】解：5.8÷0.01＝580 5.8×100＝580 580＝580 所以 5.8÷0.01 与 5.8×100 的结果相等． 原题说法正确． 故答案为：√． 【点评】此题考查了小数乘除法的计算方法的运用． 20．【分析】根据除数是小数的除法法则可知，一个数除以小数，可以先将除数化为整数， 再看除数的小数点向右移动了几位，被除数的小数点也向右移动几位．因此只要将除数 化为整数即可． 【解答】解：当除数是小数时，通常根据商不变的规律把除数化成整数来计算，而不是 运用小数的基本性质； 11 原题说法错误． 故答案为：×． 【点评】本题考查了学生对于除数是小数的小数除法法则的理解． 21．【分析】根据“被除数和除数同时扩大相同的倍数（0 除外）商不变”的规律，在计算 1.21÷0.3 时，被除数和除数同时扩大 10 倍，商不变，余数也扩大了 10 倍，而且余数是 0.1，缩小 10 倍后余数是 0.01． 【解答】解：1.21÷0.3＝4……0.01，所以原题说法错误 故答案为：×． 【点评】此题重点考查了对商不变的规律：“被除数和除数同时扩大相同的倍数（0 除外） 商不变”的灵活应用． 22．【分析】因为小数 有大于 1 的小数，和小于 1 的小数，而一个数除以大于 1 的小数， 商就小于这个数，反之就大于这个数． 【解答】解：一个数除以小数， 当除以一个小数大于 1 时，所得的商小于被除数， 当除以一个小于 1 的小数时，所得的商大于被除数， 所以题干的说法不全面， 故答案为：×． 【点评】解答此题的关键是，知道小数除法的计算方法，由此即可得出结论． 23．【分析】一个数（0 除外）除以小于 1 的数，商大于这个数；一个数（0 除外）除以等 于 1 的数，商等于这个数；一个数（0 除外）除以大于 1 的数，商小于这个数；据此解答． 【解答】解：由分析知： 由于除数不确定，所以 12.4 除以一个小数，所得的商不一定大于 12.4；说法正确． 故答案为：√． 【点评】此题考查了不用计算判断商与被除数之间大小关系的方法． 四．计算题（共 2 小题） 24．【分析】根据整数、小数除法的计算方法直接进行口算即可． 【解答】解： 3.6÷6＝0.6 7.8÷6＝1.3 14÷4＝3.5 6.6÷11＝0.6 56.7÷7＝8.1 8.8÷4＝2.2 12 【点评】本题属于基本的计算，在平时注意积累经验，逐步提高运算的速度和准确性． 25．【分析】根据小数除法竖式计算方法计算即可． 【解答】解：7.8÷0.12＝65 19÷25＝0.76 6.27÷3.5≈1.79（结果保留两位小数） 【点评】此题考查了小数除法竖式计算方法的运用． 五．应用题（共 5 小题） 26．【分析】根据单价＝总价÷数量，列出算式计算即可求解． 【解答】解：15.06÷3＝5.02（元） 答：每千克苹果 5.02 元． 【点评】考查了小数除法，关是熟悉单价＝总价÷数量的知识点． 27．【分析】用彩带的总长度 75 分米（74 米）除以做一个蝴蝶结用的长度 1.3 分米，所得 的商就是最多可以做多少个这样的蝴蝶结． 【解答】解：7.5 米＝75 分米 75÷1.3≈57（个） 答：这根彩带可以做 57 个这样的蝴蝶结． 【点评】本题根据除法的包含意义列出除法算式求解． 28．【分析】求哪种牛奶便宜，由于每箱的包数、售价都不同，要求出每毫升多少钱，通过 13 比较即可确定哪种便宜． 【解答】解：40÷（250×16） ＝40÷4000 ＝0.01（元/ml） 33.6÷（250×12） ＝33.6÷3000 ＝0.0112（元/ml） 0.01＜0.0112 答：规格 250ml×16 包的那种便宜． 【点评】此题属于图、文应用题．解答图文应用题的关键是根据图、文所提供的信息， 弄清条件和问题，然后再选择合适的方法列式、解答． 29．【分析】根据单价＝总价÷数量，分别求出两种冰棍的单价，再比较即可解答． 【解答】解：42.5÷50＝0.85（元）， 22.5÷30＝0.75（元）， 0.85 元＞0.75 元； 答：牛奶冰棒便宜． 【点评】本题主要考查了对单价、数量、总价之间关系的理解和灵活运用情况． 30．【分析】月球直径 1.28 万千米，地球直径是月球直径的 3.65 倍，求月球的直径，也就 是已知一个数的 3.65 倍是 1.28，求这个数是多少，用除法计算；再根据要求利用“四舍 五入法”求出商的近似数． 【解答】解：1.28÷3.65 ＝0.350684931506849315… ≈0.35（万千米） 答：月球直径约有 0.35 万千米． 【点评】此题属于倍数问题，解答这类问题，用乘法计算；掌握利用“四舍五入法”求 商的近似数的方法． 期末复习专题讲义 第 2 单元：轴对称和平移 【知识点归纳】 14 一．作轴对称图形 1．如果一个图形沿着一条直线对折，直线两边的图形能够完全重合，这样的图形叫做轴对 称图形，这条直线叫做对称轴． 2．学过的图形中，线段、角、等腰三角形、等边三角形、长方形、正方形、等腰梯形、圆 形、扇形都是轴对称图形，各自有不同数目的对称轴．通过以上图形的组合就可以得到轴对 称图形了． 【典例分析】 例： （1）画出图 A 的另一半，使它成为一个轴对称图形． （2）把图 B 向右平移 4 格． （3）把图 C 绕 O 点顺时针旋转 180°． 分析：（1）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对 称轴，在对称轴的下边画出图形 A 的关键对称点，连结涂色即可． （2）根据平移的特征，把图形 B 的各点分别向右平移 4 格，再依次连结、涂色即可． （3）根据旋转图形的特征，图形 C 绕点 O 顺时针旋转 180°，点 O 的位置不动，其余各部 分均绕点 O 按相同的方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形． 解：（1）画出图 A 的另一半，使它成为一个轴对称图形（下图）． （2）把图 B 向右平移 4 格（下图）． （3）把图 C 绕 O 点顺时针旋转 180°（下图）． 15 点评：此题是考查作轴对称图形、作平移的图形、作旋转图形．关键是确定对称点（对应点） 的位置． 二．画轴对称图形的对称轴 1．对称轴：折痕所在的这条直线叫做对称轴． 2．画法： （1）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分 线（中垂线）． （2）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线（中垂线）． 【典例分析】 例 1：只有一条对称轴的图形是（ ） A、正方形 B、等腰三角形 C、圆 分析：分别找出 ABC 三个图形的对称轴，利用排除法进行选择正确答案． 解：A：正方形有 4 条对称轴，不符合题意， B：等腰三角形只有一条对称轴，符合题意， C：圆有无数条对称轴，不符合题意， 故选：B． 点评：此题考查了轴对称图形的对称轴的特点． 例 2：画出下列图形的所有的对称轴． 分析：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称 图形，这条直线就是这个图形的对称轴．根据轴对称图形的定义，找出并画出轴对称图形的 16 对称轴即可． 解：根据轴对称图形的定义可以找出上述图形的对称轴，并把它们画出来，如下图所示： 点评：此题考查了根据轴对称图形定义画出轴对称图形的对称轴的方法． 三．轴对称 1．轴对称的性质： 像窗花一样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，称这两个图 形为轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点． 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴 对称图形，这条直线就是对称轴． 2．性质： （1）成轴对称的两个图形全等； （2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线． 【典例分析】 例：如果把一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是 轴对称图形． 分析：依据轴对称图形的意义，即在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，对 折后的两部分都能完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此即可进行解答． 解：据分析可知： 如果把一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴 对称图形． 故答案为：一条直线、完全重合、轴对称图形． 点评：此题主要考查轴对称图形的意义． 四．镜面对称 1．镜面对称：有时我们把轴对称也称为镜面（镜子、镜像）对称，如果沿着图形的对称轴 上放一面镜子，那么在镜子里所放映出来的一半正好把图补成完整的（和原来的图形一样）． 17 2．将镜面看做对称轴，那么关于镜面对称的像关于对称轴对称． 【典例分析】 例：如图是小明在镜子中看到的钟表的图象，他表示的真实时间是（ ） A、4：40 B、4：20 C、7：20 D、7：40 分析：根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，且关于镜面对 称，分析并作答． 解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的时刻与 4：40 成轴对称，所以此时实际时 刻为 4：40； 故选：A． 点评：本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧． 五．平移 1．平移：把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离，图形的这种移动，叫做平移． 2．平移后图形的位置改变，形状、大小不变． 【典例分析】 例：电梯上升是（ ）现象． A、旋转 B、平移 C、翻折 D、对称 分析：平移是物体运动时，物体上任意两点间，从一点到另一点的方向与距离都不变的运 动．电梯的升降是上下位置的平行移动所以是平移，据此解答判断． 解：电梯的升降是上下位置的平行移动， 所以电梯的升降是平移现象； 故选：B． 点评：本题主要考查平移的意义，在实际当中的运用． 六．确定轴对称图形的对称轴条数及位置 1．对称轴的定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么 就说这两个图形关于这条直线 （成轴）对称，这条直线就是它的对称轴． 2．找到对应点的连线，如果连线的中点都在一条直线上，说明是其图形的对称轴． 18 3．掌握一般图形的对称轴数目和位置对于快速判断至关重要． 【典例分析】 例：下列图形中，（ ）的对称轴最多． A、正方形 B、等边三角形 C、等腰三角形 D、圆形 分析：依据轴对称图形的概念，即在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部 分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴，从而可以作出正确 选择． 解：（1）因为正方形沿两组对边的中线及其对角线对折，对折后的两部分都能完全重合， 则正方形是轴对称图形， 两组对边的中线及其对角线就是其对称轴，所以正方形有 4 条对称轴； （2）因为等边三角形分别沿三条边的中线所在的直线对折，对折后的两部分都能完全重合， 则等边三角形是轴对称图形，三条边的中线所在的直线就是对称轴，所以等边三角形有 3 条对称轴； （3）因为等腰梯形沿上底与下底的中点的连线对折，对折后的两部分都能完全重合，则等 腰梯形是轴对称图形， 上底与下底的中点的连线就是其对称轴，所以等腰梯形有 1 条对称轴； （4）因为圆沿任意一条直径所在的直线对折，对折后的两部分都能完全重合，则圆是轴对 称图形， 任意一条直径所在的直线就是圆的对称轴，所以说圆有无数条对称轴． 所以说圆的对称轴最多． 故选：D． 点评：解答此题的主要依据是：轴对称图形的概念及特征． 例 2：下列图形中，对称轴条数最多的是（ ） 分析：先找出对称轴，从而得出对称轴最多的图形． 解：A：根据它的组合特点，它有 4 条对称轴； 19 B：这是一个正八边形，有 8 条对称轴； C：这个组合图形有 3 条对称轴； D：这个图形有 5 条对称轴； 故选：B． 点评：此题考查了轴对称图形的定义，要求学生能够正确找出轴对称图形的对称轴． 七．轴对称图形的辨识 1．轴对称图形的概念： 如果一个图形沿着一条直线对折，直线两边的图形能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图 形，这条直线叫做对称轴． 2．学过的图形中，线段、角、等腰三角形、等边三角形、长方形、正方形、等腰梯形、圆 形、扇形都是轴对称图形，各自有不同数目的对称轴． 【典例分析】 例：如图的交通标志中，轴对称图形有（ ） A、4 B、3 C、2 D、1 分析：依据轴对称图形的定义即可作答． 解：图①、③沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够互相重合，所以图①、③是轴对称图 形； 图②、④无论沿哪一条直线对折后，直线两旁的部分都不能够互相重合，所以它们不是轴对 称图形． 如图的交通标志中，轴对称图形有 2 个． 故选：C． 点评：此题主要考查轴对称图形的定义． 20 [来源:Z&xx&k.Com] 21 同步测试 一．选择题（共 10 小题） 1．再涂 1 格，使如图所示的图案成为一个轴对称图形，下面哪个小朋友的方法不正确？ （ ） A． B． C． 2．下面图形中，（ ）图形中的虚线是这个图形的对称轴． A． B． C． D． 3．下图中，BC 的长度是 6 厘米，点 B 到对称轴的距离是（ ）厘米． A．3 厘米 B．4 厘米 C．6 厘米 D．12 厘米 4．如图是小明在平面镜中看到时钟形成的像，它的实际时间是（ ） A．21：05 B．12：02 C．12：05 D．15：02 5．平移不改变图形的（ ） A．大小 B．形状 C．位置 D．大小和形状 22 6．下面图案中，（ ）是通过如图平移得到的． A． B． C． 7．下面图形对称轴最少的是（ ） A．圆 B．扇形 C．正方形 8．下列图形中，（ ）是轴对称图形． A． B． C． 9．下面汉字中，可以看做轴对称形的是（ ） A．多 B．田 C．丽 10．如图，图（ ）是平移现象． A． ① B． ② C． ③ D． ④二．填空题（共 8 小题） 11．如图是由 3 个小正方形组成的图形，若在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴 对称图形，则不同的补画方式有 种． 12．画出如图轴对称图形的对称轴，并注明一共有 条对称轴． 13．在一幅轴对称图形中，沿对称轴对折后 A 点与 B 点重合．如果 A 点到对称轴的距离是 4 厘米，那么未对折前 A 点到 B 点的距离是 厘米． 23 14．如图的钟面是从镜子里看到的，实际钟面上的时刻是 ． 15．图中的三角形向 平移了 格． [来源:学_科_网 Z_X_X_K] 16．☆有 条对称轴． 17．下列图案中，是轴对称图形的有 个． 18．把一桶水从井里提上来是 现象． 三．判断题（共 5 小题） 19．平移改变了图形的位置，形状和大小． （判断对错） 20．两个圆组成的图形一定是轴对称图形． （判断对错） 21．圆的对称轴有无数条 ．（判断对错） 22．从镜子中看到左图的样子是这样的． ．（判断对错） 23．人体是对称的． ．（判断对错） 四．操作题（共 3 小题） 24．如图，图形①经过怎样的运动可以得到图形②？ 24 25．以虚线为对称轴，按要求画一画． 26．画出下列图形的所有对称轴． 五．解答题（共 2 小题） 27．下面方格图中的图形各有几条对称轴？画一画，填一填． 28．在轴对称图形的下面打“√”，不是的打“×”． 25 参考答案与试题解析 一．选择题（共 10 小题） 1．【分析】根据轴对称图形的意义，把一个图形沿某条直线对折，两旁的部分能够完全重 合，这样的图形叫做轴对称图形．小明在图 A 的下方右边添一个小正方形，使其成为一 个“T”形，是轴对称图形； 小丽在图 B 的左上方添加一个小正方形，使其成为一个“凹”字形，是轴对称图形，而 这里是在左下方添加的小正方体，得到的图形不是轴对称图形； 小虎在 C 图三的右上方添加一个小正方形，使其成为一个直角，都能其成为一个轴对称 图形，据此即可选择． 【解答】解：根据题干分析可得，只有小丽涂的图形不是轴对称图形． 故选：B． 【点评】根据轴对称图形的意义或特征，即可添加一个小正方形，使其成为一个轴对称 图形． 2．【分析】一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就是 轴对称图形，这条直线就是这个图形的一条对称轴，由此即可确定这个图形的对称轴的 条数及位置． 【解答】解： 中的虚线是这个图形的对称轴； 故选：C． 【点评】此题考查了利用轴对称图形的定义判断轴对称图形的对称轴条数及位置的灵活 应用． 3．【分析】依据轴对称图形的意义，即在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，对折后 的两部分都能完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，对称点到对称轴的距离相等，所 以 BC 的长度是 6 厘米，点 B 到对称轴的距离是 6÷2＝3（厘米）；据此即可进行解答． 【解答】解：因为对称点到对称轴的距离相等， 所以，BC 的长度是 6 厘米，点 B 到对称轴的距离是 6÷2＝3（厘米）． 故选：A． 【点评】此题主要考查轴对称图形的意义以及对称轴的性质运用． 4．【分析】根据镜面对称的特征，镜中的景物与实际景物上下前后方向一致，左右方向相 26 反，大小不变，且关于镜面对称． 【解答】解：如图 实际时间是 12：05． 故选：C． 【点评】此题主要明白镜面对称的特点是：上下前后方向一致，左右方向相反，镜中与 实际景物大小不变． 5．【分析】平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动．平 移不改变图形的形状和大小，只是改变位置；把一个图形绕着某一点转动一个角度的图 形变换叫做旋转，旋转时图形位置发生变化，大小不变，形状不变． 【解答】解：平移不改变图形的大小； 故选：D． 【点评】本题是考查平移的特点、旋转的特点．旋转与平移的相同点：位置发生变化， 大小不变，形状不变，都在一个平面内．不同点：平移，运动方向不变．旋转，围绕一 个点或轴，做圆周运动． 6．【分析】平移是物体运动时，物体上任意两点间，从一点到另一点的方向与距离都不变 的运动； 旋转是物体运动时，每一个点离同一个点（可以在物体外）的距离不变的运动，称为绕 这个点的转动，这个点称为物体的转动中心．所以，它并不一定是绕某个轴的． 根据平 移与旋转定义判断即可． 【解答】解： 是通过平移得到的 ； 故选：A． 【点评】此题是考查对平移与旋转的理解及在实际当中的运用． 7．【分析】依据轴对称图形的概念，即在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两 旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴，据此即 可解答． 【解答】解：A、圆有无数条对称轴； 27 B、扇形有 1 条对称轴； C、正方形有 4 条对称轴； 故选：B． 【点评】解答此题的主要依据是：轴对称图形的概念及特征，找出各个图形的对称轴条 数即可解答问题． 8．【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合， 这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；依次进行判断即可． 【解答】解：根据轴对称图形的意义可知：选项 A 是轴对称图形，而 B 和 C 不是轴对称 图形； 故选：A． 【点评】此题考查了轴对称图形的意义，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，看图形 对折后两部分是否完全重合． 9．【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合， 这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；依次进行判断即可． 【解答】解：根据轴对称图形的意义可知：田是轴对称图形，而“”“丽”不是轴对称 图形； 故选：B． 【点评】此题考查了轴对称图形的意义，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，看图形 对折后两部分是否完全重合． 10．【分析】根据图形平移的意义，在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这 样的图形运动称为平移，属于平移现象． 【解答】解：图形 ④ 是平移现象； 故选：D． 【点评】本题是考查图形的平移的意义，关键是看方向是否改变． 二．填空题（共 8 小题） 11．【分析】根据轴对称图形的意义及特征，即可再增加一个正方形，使其成数轴对称图形．可 在右上角补画一个正方形；也可在左下角补画一个；也可在左上的正方形上面补画一个； 也可以在右边的正方形下面补画一个． 【解答】解：如图， 28 不同的补画方式有四种． 故答案为：四． 【点评】此题主要是考查轴对称图形的意义及特征．如果一个图形沿着一条直线折叠后， 直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，折痕所在的直线叫做对 称轴． 12．【分析】一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对 称图形，这条直线就是这个图形的一条对称轴，由此即可画出各轴对称图形的对称轴． 【解答】解：根据轴对称图形的定义可得： 故答案为：6． 【点评】此题考查了利用轴对称图形的定义判断轴对称图形的对称轴条数以及位置的方 法． 13．【分析】依据轴对称图形的特点，即轴对称图形是指一个图形沿一条直线折叠后直线两 旁的部分能够完全重合，这条直线就是这个轴对称图形的对称轴．轴对称图形中，对称 点到对称轴的距离相等． 【解答】解：4×2＝8（厘米） 答：如果 A 点到对称轴的距离是 4 厘米，那么未对折前 A 点到 B 点的距离是 8 厘米． 故答案为：8．[来源:学#科#网 Z#X#X#K] 【点评】此题主要考查轴对称图形的特点． 14．【分析】镜面对称的特点是：上下前后方向一致，左右方向相反；图中镜子里看到的时 间是 6：40，由镜面对称左右方向相反特点，镜中时针在 6 与 7 之间，实际是在 5 与 6 29 之间，是 5 时，镜中分针指刻度 8，实际中是指刻度 4，即 20 分；据此解答． 【解答】解：因为镜中时针在 6 与 7 之间，实际是在 5 与 6 之间，是 5 时， 镜中分针指着刻度 8，实际中是指刻度 4，即 20 分， 所以实际钟面上的时刻是 5：20． 故答案为：5：20． 【点评】此题主要明白镜面对称的特点是：上下前后方向一致，左右方向相反． 15．【分析】找出两个三角形平移的对应关键点，即可得到平移的方向和距离，由此得解． 【解答】解：图中的三角形向 左平移了 4 格． 故答案为：左，4． 【点评】本题主要是考查图形的平移．图形平移后，形状、大小不变，只是位置变化． 16．【分析】把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这 两个图形关于这条直线 （成轴）对称，这条直线就是它的对称轴，据此解答即 可． 【解答】解：☆有 5 条对称轴； 故答案为：5． 【点评】此题考查了轴对称图形的定义，要求学生能够正确找出轴对称图形的对称轴． 17．【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合， 这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；依次进行判断即可． 【解答】解：根据轴对称图形的意义可知： 左数第一、第二和第四都是轴对称图形，而第三不是轴对称图形； 所以一共有 3 个轴对称图形． 故答案为：3． 【点评】此题考查了轴对称图形的意义，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，看图形 对折后两部分是否完全重合． 18．【分析】平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动 叫做平移运动，简称平移． 【解答】解：把一桶水从井里提上来是 平移现象； 故答案为：平移． 【点评】本题是考查平移：平移是位置发生变化，大小不变，形状不变，运动方向不变． 三．判断题（共 5 小题） 19．【分析】平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动．平 30 移不改变图形的形状和大小，只是改变位置；把一个图形绕着某一点转动一个角度的图 形变换叫做旋转，旋转时图形位置发生变化，大小不变，形状不变． 【解答】解：平移只改变了图形的位置，没有改变图形的形状，故原题说法错误； 故答案为：×． 【点评】本题是考查平移的特点、旋转的特点．旋转与平移的相同点：位置发生变化， 大小不变，形状不变，都在一个平面内．不同点：平移，运动方向不变．旋转，围绕一 个点或轴，做圆周运动． 20．【分析】两个圆无论半径相等，还是不相等，无论是相交、相切或相离、还是内含，组 成的图形都是轴对称图形，只对称轴的条数多少而已，最多是两个圆组成环形，有无数 条对称轴，最少有一条对称轴． 【解答】解：两个圆组成的图形一定是轴对称图形 原题说法正确．[来源:Zxxk.Com] 故答案为：√． 【点评】无论两个圆的大小如何，位置关系怎样，所组成的图形一定是轴对称图形． 21．【分析】依据轴对称图形的定义即可作答． 【解答】解：因为圆是轴对称图形，且它的直径所在的直线就是其对称轴，而圆有无数 条直径，所以圆就有无数条对称轴． 所以圆有无数条对称轴是正确的． 故答案为：√． 【点评】此题主要考查如何确定轴对称图形的对称轴条数及位置． 22．【分析】根据镜面对称的特征，镜中的景物与实际景物上下前后方向一致，左右方向相 反，大小不变，且关于镜面对称． 此题主要明白镜面对称的特点是：上下前后方向一致，左右方向相反，镜中与实际景物 大小不变． 【解答】解：从镜子中看到左图的样子是这样的． 故答案为：×． 【点评】此题主要明白镜面对称的特点是：上下前后方向一致，左右方向相反，镜中与 31 实际景物大小不变． 23．【分析】根据对称轴的定义：如果一个图形沿着一条直线对折 ，两侧的图形能完全重 合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴，解答判断即可． 【解答】解：人体是对称的； 所以“人体是对称的”的说法是正确的． 故答案为：√． 【点评】本题考查轴对称图形的定义的灵活应用． 四．操作题（共 3 小题） 24．【分析】据平移的意义“平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移 动一定的距离，这样的图形运动叫作图形的平移运动，简称平移”，由此可知：把图① 向下平移 4 格再向右平移 5 格即可得到图②；由此解答即可． 【解答】解：根据平移的性质可知：把图①向下平移 4 格再向右平移 5 格即可得到图②． 【点评】本题是考查平移图形的特征，平移和旋转不改变图形的形状和大小，平移不改 变图形的方向，旋转则改变图形的方向． 25．【分析】根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对 称轴，在对称轴的下边画出上图的关键对称点，依次连结． 【解答】解： 【点评】求作一个几何图形关于某条直线对称的图形，可以转化为求作这个图形上的特 征点关于这条直线对称的点，然后依次连结各对称点即可． 26．【分析】（1）有三条对称轴，即过每个圆圆心与另外两个圆交点的直线． （2）有两条对称轴，即过个两个箭头顶点的直线，及箭头两个顶点间线段的垂直平分线． （3）等腰有一条对称轴，底边高所在的直线． 【解答】解： 32 [来源:学科网] 【点评】此题是考查确定轴对称图形对称轴的条数及位置．关键是轴对称图形的意义及 各图形的特征． 五．解答题（共 2 小题） 27．【分析】依据轴对称图形的定义即可作答：一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分 能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线就是这个图形的一条对称轴． 【解答】解： 【点评】此题主要考查轴对称图形定义及对称轴的条数，熟记常见轴对称图形的对称轴 条数即可解答． 28．【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合， 这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；依次进行判断即可． 【解答】解： 【点评】此题考查了轴对称图形的意义，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，看图形 对折后两部分是否完全重合． 期末复习专题讲义 第 3 单元：倍数和因数 【知识点归纳】 一．2、3、5 的倍数特征 被 2 整除特征：偶数 被 3 整除特征：每一位上数字之和能被 3 整除 33 被 5 整除特征：个位上是 0 或 5 的数 同时能被 2、3、5 整除的特征：个位是 0 且每一位上数字之和能被 3 整除． 【知识点的应用及延伸】 一个数只要能同时被 2 和 3 整除，那么这个数就能被 6 整除． 各个数位上的数字之和能被 9 整除，那么这个数就能被 9 整除． 【典例分析】 例 1：能同时被 2、3、5 整除的最大三位数是 990． 分析：根据题意可先确定能被 2 整除的数的特征、能被 3 整除的数的特征、能被 5 整除的数的特征，再确定能同时被 2、3、5 整除的数的特征，再算出最大的三 位数即可． 解：能被 2 整除的特征：个位上是 0、2、4、6、8 的数， 能被 3 整除的数的特征：各个数位上的数字相加的和能被 3 整除， 能被 5 整除的数的特征：个位上的数字是 0 或者 5 的数， 要同时能被 2 和 5 整除，这个三位数的个位一定是 0， 被 2 和 5 整除，同时要能被 3 整除，又要是最大的三位数，这个数是 990． 故答案为：990． 点评：此题主要考查的是能同时被 2、3、5 整除的数的特征． 例 2：104 至少再加上 16，才能同时被 2、3、5 整除． 分析：能同时被 2、3、5 整除的数的特征是个位上的数字必须是 0，且各个数位 上的数字之和能被 3 整除，由此确定 104 至少再加上 16． 解：根据分析，104 至少再加上 16，才能同时被 2、3、5 整除． 故答案为：16． 点评：此题主要根据能同时被 2、3、5 整除的数的特征解决问题． 二．因数和倍数的意义 假如整数 n 除以 m，结果是无余数的整数，那么我们称 m 就是 n 的因子． 需要 注意的是，唯有被除数，除数，商皆为整数，余数为零时，此关系才成立． 反 过来说，我们称 n 为 m 的倍数． 【典例分析】 34 例 1：24 是倍数，6 是因数．×．（判断对错） 分析：约数与倍数：若整数 a 能够被 b 整除，a 叫做 b 的倍数，b 就叫做 a 的约 数（也叫因数）．约数与倍数是相互依存的，据此解答． 解：24÷6=4，只能说 24 是 6 的倍数，6 是 24 的因数，所以 24 是倍数，6 是因 数的说法是错误的； 故答案为：×． 点评：本题主要考查因数与倍数的意义，注意约数与倍数是相互依存的． 例 2：一个数的因数都比这个数的倍数小．×．（判断对错） 分析：一个数既是它本身的最小倍数，又是它本身的最大因数．如：5 的最小倍 数是 5，最大因数也是 5．由此即可解答． 解：因为一数既是它本身的最小倍数，又是它本身的最大因数，所以此题干不正 确； 故答案为：×． 点评：此题重点是考察因数和倍数的意义，要知道一数既是它本身的最小倍数， 又是它本身的最大因数． 三．找一个数的因数的方法 1．分解质因数．例如：24 的质因数有：2、2、2、3，那么，24 的因数就有：1、 2、3、4、6、8、12、24． 2．找配对．例如：24=1×24、2×12、3×8、4×6，那么，24 的因数就有：1、 24、2、12、3、8、4、6． 3．末尾是偶数的数就是 2 的倍数． 4．各个数位加起来能被 3 整除的数就是 3 的倍数．9 的道理和 3 一样． 5．最后两位数能被 4 整除的数是 4 的倍数． 6．最后一位是 5 或 0 的数是 5 的倍数． 7．最后 3 位数能被 8 整除的数是 8 的倍数． 8．奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被 11 整除的数是 11 的倍数．注 意：“0”可以被任何数整除． 【典例分析】 35 例：从 18 的约数中选 4 个数，组成一个比例是 1：2=3：6． 分析：先写出 18 的约数，然后根据比例的含义，写出两个比相等的式子即可． 解：18 的约数有：1，2，3，6，9，18； 1：2=3：6； 故答案为：1：2=3：6． 点评：此题解答方法是根据比例的意义或比例的基本性质进行解答，此题答案很 多种，写出其中的一种即可． 四．找一个数的倍数的方法 找一个数的倍数，直接把这个数分别乘以 1、2、3、4、5、6…，一个数的倍数 的个数是无限的． 1．末尾是偶数的数就是 2 的倍数． 2．各个数位加起来能被 3 整除的数就是 3 的倍数．9 的道理和 3 一样． 3．最后两位数能被 4 整除的数是 4 的倍数． 4．最后一位是 5 或 0 的数是 5 的倍数． 5．最后 3 位数能被 8 整除的数是 8 的倍数． 6．奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被 11 整除的数是 11 的倍数．注 意：“0”可以被任何数整除． 【典例分析】 例 1：个位上是 3、6、9 的数，都是 3 的倍数．×．（判断对错） 分析：举个反例证明，3 的倍数的特征：各个数位上的数的和是 3 的倍数，这个 数就是 3 的倍数． 解：13，16，29 是个位上分别是 3，6，9 可是它们都不是 3 的倍数，所以个位 上是 3、6、9 的数，都是 3 的倍数得说法是错误的； 故答案为：×． 点评：本题主要考查 3 的倍数的特征．注意个位上是 3、6、9 的数不一定是 3 的倍数，各个数位上的数的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数． 例：一个三位数，既有因数 3，又是 2 和 5 的倍数，这个数最小是 120． 分析：既有因数 3，又是 2 和 5 的倍数，就是这个三位数同时是 2、3、5 的倍数， 根据 2、3、5 的倍数特征可知：这个三位数个位必需是 0，因为只有个位上是 0 36 的数才能满足是 2 和 5 的倍数，要想最小百位必需是最小的一位数 1，然后分析 各个数位上的和是不是 3 的倍数，即百位上的 1 加上十位上的数和个位上的 0 是 3 的倍数，因为 1+0=1，1 再加 2、5、8 的和是 3 的倍数，即十位可以是；2、 5、8，其中 2 是最小的，据此解答． 解：由分析可知；一个三位数，既有因数 3，又是 2 和 5 的倍数，这个数最小是； 120； 故答案为；120． 点评：本题主要考查 2、3、5 的倍数的特征，注意掌握只有个位上是 0 的数才能 满足是 2 和 5 的倍数，要想最小百位必需是最小的一位数 1． 五．公倍数和最小公倍数 公倍数指在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，这些倍数就是 它们的公倍数．这些公倍数中最小的，称为这些整数的最小公倍数． 【典例分析】 例 1：两个数的乘积一定是这两个数的公倍数．√．（判断对错） 分析：两个数的乘积一定是这两个数的公倍数这是正确的，举例证明即可． 解：比如 4 和 12，12×4=48，48 是 12 的倍数，48 也是 4 的倍数，即 48 是 4、 12 的公倍数； 所以两个数的乘积一定是这两个数的公倍数是正确的； 故答案为：√． 点评：本题主要考查公倍数的意义，注意掌握两个数的乘积和这两个数的公倍数 的关系． 例 2：能同时被 2、3、5 整除的最大三位数是 990． 分析：根据题意可先确定能被 2 整除的数的特征、能被 3 整除的数的特征、能被 5 整除的数的特征，再确定能同时被 2、3、5 整除的数的特征，再算出最大的三 位数即可． 解：能被 2 整除的特征：个位上是 0、2、4、6、8 的数， 能被 3 整除的数的特征：各个数位上的数字相加的和能被 3 整除， 能被 5 整除的数的特征：个位上的数字是 0 或者 5 的数， 要同时能被 2 和 5 整除，这个三位数的个位一定是 0． 37 要能被 3 整除，又要是最大的三位数，这个数是 990． 故答案为：990． 点评：此题主要考查的是能同时被 2、3、5 整除的数的特征． 六．因数、公因数和最大公因数 给定若干个正整数，如果他们有相同的因数，那么这个（些）因数就叫做它们的 公因数．而这些公因数中最大的那个称为这些正整数的最大公因数． 【典例分析】 例 1：互质的两个数没有公约数．×．（判断对错） 分析：根据互质数的意义，公因数只有 1 的两个数叫做互质数，以此解答问题即 可． 解：因为，公因数只有 1 的两个数叫做互质数； 所以，互质的两个数没有公约数这种说法是错误的． 故答案为：×． 点评：此题主要考查互质数的意义以及判断两个数是不是互质数的方法． 例 2：36 和 48 的最大公约数是 12，公约数是 1、2、3、4、6、12．√．（判断 对错） 分析：利用分解质因数的方法和求一个数的公约数的方法即可解决问题． 解：36 的约数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36， 48 的约数有 1、2、3、4、6、8、12、16、24、48， 所以 36 和 48 的公约数有 1、2、3、4、6、12，其中最大公约数为 12， 所以原题说法正确， 故答案为：√． 点评：此题是考查求一个数的公约数和最大公约数的方法． 七．求几个数的最大公因数的方法 方法：1．分别分解各个数的质因数，然后比较出公共的质因数相乘． 2．用短除法，写短除算式，道理与第一种方法相似，只是找公共因数的过程与 除法过程合并了． 【典例分析】 38 例 1：如果 A 是 B 的 5 1 ，A 和 B 的最小公倍数是 B，它们的最大公因数是 A． 分析：如果两个数是倍数关系那么较小数是它们的最大公约数，较大数是它们的 最小公倍数，由题目条件可以得知：A 是 B 的 5 1 ，也就是 B 是 A 的 5 倍，由此可 以解决． 解：因为 A 和 B 是倍数关系，所以它们的最大公约数是较小的那个数 A，最小公 倍数是较大的那个数 B， 故答案为：B；A． 此题主要考查了求两个成倍数关系的数的最大公约数和最小公倍数的方法：两个 数是倍数关系那么较小数是它们的最大公约数，较大数是它们的最小公倍数． 例 2：甲=2×2×2×3，乙=2×2×3×5，甲、乙两数的最大公约数是 12，最小公 倍数 120． 分析：根据甲=2×2×2×3，乙=2×2×3×5，可知这两个数公有的质因数是 2、 2、3，公有质因数的乘积就是这两个数的最大公因数；除了公有质因数外，甲数 独有的质因数为 2，乙数独有的质因数为 5，那么公有质数与各自独有质因数的 连乘积就是这两个数的最小公倍数．据此进行解答． 解：甲=2×2×2×3； 乙=2×2×3×5； 甲和乙的最大公因数是：2×2×3=12； 甲和乙的最小公倍数是：2×2×3×2×5=120； 故答案为：12，120． 点评：此题主要考查求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法，公有质因数的 乘积就是这两个数的最大公因数；公有质因数与各自独有质因数的连乘积就是这 两个数的最小公倍数． 八．求几个数的最大公因数的方法 方法：（1）分解质因数法：先把这几个数分解质因数，再把它们一切公有的质 因数和其中几个数公有的质因数以及每个数的独有的质因数全部连乘起来，所得 的积就是它们的最小公倍数． （2）公式法．由 于两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的 积．即（a，b）×[a，b]=a×b．所以，求两个数的最小公倍数，就可以先求出它 39 们的最大公约数，然后用上述公式求出它们的最小公倍数． 【典例分析】 例 1：育才小学六（1）班同学做广播操，体育委员在前面领操，其他学生排成 每行 12 人或每行 16 人都正好是整行，这个班至少有学生 49 人． 分析：要求这个班至少有学生多少人，即求 12 与 16 的最小公倍数再加 1 即可， 根据求两个数的最小公倍数的方法：把 12 和 16 进行分解质因数，这两个数的公 有质因数与独有质因数的连乘积，由此解决问题即可． 解：12=2×2×3， 16=2×2×2×2， 则 12 和 16 的最小公倍数是：2×2×2×2×3=48， 48+1=49（人）； 答：这班至少有学生 49 人； 故答案为：49． 点评：此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个 数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答． 例 2：A 和 B 都是自然数，分解质因数 A=2×5×C；B=3×5×C．如果 A 和 B 的最 小公倍数是 60，那么 C=2． 分析：利用求最小公倍数的方法：几个数的公有因数与独有因数的连乘积；由此 可以解决问题． 解：分解质因数 A=2×5×C， B=3×5×C， 所以 2×3×5×C=60，则 C=2． 故答案为：2． 点评：此题考查了求几个数的最小公倍数的灵活应用． 九．因数与倍数 1．公约数与公倍数题型简介 （1）公约数与公倍数 若数 a 能被 b 整除，则称数 a 为数 b 的公倍数，数 b 为数 a 的公约数．其中，一 个数的最小公约数是 1，最大公约数是它本身． 40 （2）公约数与最大公约数 几个自然数有的公约数，叫做这几个自然数的公约数． 公约数中最大的一个，称为这几个自然数的最大公约数． （3）公倍数与最大公倍数 几个自然数公有的公倍数，叫做这几个自然数的公倍数． 公倍数中最小的一个，称为这几个自然数的最小公倍数． 考试题型一般是已知两个数，求它们的最大公约数或最小公倍数． 【典例分析】 例 1：有两个二位数，它们的最大公约数 8，最小公倍数是 96，这两个数的和是 （ ） A、56 B、78 C、84 D、96 分析：把最大公约数 8 和最小公倍数 96 分解质公约数，根据最大公约数是两个 数的共有质公约数，最小公倍数是两个数的共有质公约数与独有质公约数的乘 积，可以判断出这两个数可能是什么，即可得解． 解：8=2×2×2， 96=2×2×2×2×2×3， 所以这两个最大公约数 8，最小公倍数是 96 的二位数只能是 2×2×2×2×2=32 和 2×2×2×3=24； 这两个二位数的和是：32+24=56； 故选：A． 点评：利用求解最大公约数和最小公倍数的方法，凑数逆向求解出两个二位数， 观察选项，即可得解． 经典题型： 例 2：沿小路一边从头开始插彩旗，每隔 4 米插一面，插到另外一端共插了 37 面彩旗．如果改成每隔 6 米插一面彩旗，可以有（ ）面彩旗不用移动． A、12 B、13 C、14D、15 分析：根据题意明白路头栽一棵除去，再利用间隔米数×彩旗面数=路的总长度； 再求出 4 和 6 的最小公倍数，在算一算路的总长里有多少个这样的最小公倍数； 就有多少颗栽的树，最后加上开始那颗． 41 解：4 和 6 的最小公倍数是 12， 路长：4×（37-1）=144（米）， 栽棵树：144÷12=12（棵）， 12+1=13（棵）， 答：可以有 13 面彩旗不用移动． 故选：B． 点评：此题不是多难，关键别忘了路两头都栽树，开始那棵不占路长，再明白路 长一定，间距再变，棵树也在变，得有有的及要用到求最小公倍数，根据题意完 成即可． 【解题方法点拨】 （1）两个数如果存在着公倍数关系，那么较小的数就是其最大公约数，较大的 数就是其最小公倍数． （2）互质的两个数的最大公约数是 1，最小公倍数是它们的乘积． （3）利用短除法求取三个数的最大公约数和最小公倍数时要注意二者的区别： 求取三个数的最大公约数时，只需短除到三个数没有共同的公约数（除 l 外）即 可；而求取三个数的最小公倍数时，需要短除到三个数两两互质为止． （4）多于三个数的最大公约数与最小公倍数的求法与三个数的求法相似． 十．分数的最大公约数和最小公倍数 两个数的最大公约数与最小公倍数是有联系的，这种联系是通过规律来体现的， 这个规律如果用字母公式表示为：一般地，a×b=（a，b）×[a，b] 依据这个规律，在求两个数的最大公约数和最小公倍数时，可以推导出新的公式． 【典例分析】 例 1：一个班不足 50 人，现大扫除，其中 2 1 扫地， 4 1 摆桌椅， 5 1 擦玻璃，这个 班没有参加大扫除的人数有（ ）人． A、1 B、2 C、3 D、 1 或 2 分析： 2 1 、 4 1 、 5 1 都是最简形式，所以这个班的人数是 2、4 和 5 的最小公倍数 的倍数，2、4 和 5 的最小公倍数是 20，而且这个班不足 50 人，所以这个班只能 是 20 人或 40，据此把总人数看做单位“1”，即可得出没参加大扫除的是 42 1- 2 1 - 4 1 - 5 1 ，再根据分数乘法的意义即可解答． 解：根据题干分析可得：2、4 和 5 的最小公倍数是 20，而且这个班不足 50 人， 所以这个班只能是 20 人或 40， 总人数看做单位“1”，即可得出没参加大扫除的是 1- 2 1 - 4 1 - 5 1 = 20 1 ， 当总人数是 20 时：没参加大扫除的有：20× 20 1 =1（人）， 当总人数是 40 时：没参加大扫除的有：40× 20 1 =2（人）， 答：没参加大扫除的有 1 或 2 人． 故选：D． 点评：解答此题的关键是明确这个班的总人数必定是 2、4、5 的公倍数，据此再 根据分数乘法的意义即可解答． 43 同步测试 一．选择题（共 10 小题） 1．24 是 4 和 12 的（ ） A．最小公倍数 B．公倍数 C．公因数 2．用 2、3、4 组成三位数，（ ）是 3 的倍数． A．一定 B．一定不 C．不一定 D．无法确定 3．2 和 3 是 12 的（ ） A．因数 B．公因数 C．最大公因数 D．质数 4．A 是合数，A 有（ ）个因数． A．2 B．3 C．至少 3 D．无数 5．A＝2×3×3B＝2×3×5，A 和 B 的最大公因数是（ ） A．3 B．6 C．2 D．36 6．a、b 都是非 0 自然数，a 是 b 的倍数，a、b 的公因数中一定有（ ） A．1 和 b B．1 和 a C．a 和 b 7．如果 A＝2×2×5，B＝2×3×5，那么 A 和 B 的最大公因数和最小公倍数分 别是（ ） A．2，30 B．10，60 C．6，90 8．如果六（2）班有 的人参加书法兴趣小组， 的人参加武术兴趣小组（每人 只参加一个小组），那么下列说法中不正确的是（ ） A．参加书法组的不可能是 5 人 B．六（2）班的总人数可能是 45 人 C．六（2）班的总人数可能是 54 人 D．参加书法、武术组的总人数可能是 10 人 9．参加团体操表演的学生按照每排 4 人、5 人或 8 人都正好排完．参加团体操 表演的学生至少有（ ）人． A．20 B．40 C．80 10．一个数，它既是 12 的倍数，又是 12 的因数，这个数是（ ） 44 A．6 B．12 C．24 D．144 二．填空题（共 10 小题） 11．50 以内 6 和 9 的公倍数有 ，最小公倍数是 ． 12．所有非 0 的自然数的公因数是 ． 13．在数 2，4，8，9，12，27，45，60，72 中，2 的倍数有 ，3 的倍数 有 ，5 的倍数有 ． 14．因为 5×8＝40，所以 40 是 5 和 8 的 ，5 和 8 是 40 的 ． 15．自然数（0 除外）按因数的个数分，包括 、 和 ． 16．40 以内 6 的倍数有 ，50 以内 9 的倍数有 ． 17．a÷9＝b（a、b 均不为 0），a 和 b 的最大公因数是 ，最小公倍数 是 ． 18．两个数的最大公因数是 4，最小公倍数是 60，且这两个数不为 4 和 60，这 两个数是 和 ． 19．小明的书架上放着一些书，书的本书在 100 到 150 本之间，其中 是故事书， 是科技书，书架上放着 本书．[来源:Zxxk.Com] 20．求较大的两个数的最小公倍数用 法比较方便． 三．判断题（共 6 小题） 21．自然数 a 除以 b，商是 8，所以 a 和 b 的最大公因数是 8． （判断对 错） 22．互质的两个数没有最大公因数． （判断对错） 23．4 和 9 没有公因数． （判断对错） 24．一个自然数（0 除外）的倍数的个数是无限的． （判断对错） 25．因为 4÷0.5＝8，所以 4 是 0.5 的倍数，0.5 是 4 的因数． （判断对 错） 26．个位上是 3、6、9 的自然数一定是 3 的倍数． （判断对错） 四．计算题（共 1 小题） 27．用短除法求下列每组数的最大公因数和最小公倍数． 45 和 75 39 和 52 45 18 和 60 五．应用题（共 5 小题） 28．小丽家有两种塑料油桶，分别是 3 千克装，2 千克装．小丽妈妈买回 26 千 克油，选哪种塑料桶装能正好把油装完？为什么？ 29．五（1）的同学站队做操，按 12 人一队或 15 人一队都正好而没有剩余，这 个班至少多少人？分别能站成几队？ 30．有一包糖果，无论是平均分给 8 个人，还是平均分给 10 个人，都剩下 3 块．这 包糖果至少有多少块？ 31．希望小学到敬老院开展敬老活动，第一小组每 6 天去次，第二小组每 15 天 去一次．两个小组同一天去后，至少再过多少天他们又一次在敬老院相遇？ 32．有一包糖果，无论是分给 8 个小朋友，还是分给 12 个小朋友都恰好分完， 这包糖果至少有多少粒？ 46 参考答案与试题解析 一．选择题（共 10 小题） 1．【分析】根据公倍数的意义，几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，由 此解答． 【解答】解：4 和 12 的公倍数有 12、24、36…； 所以 24 是 4 和 12 的公倍数； 故选：B． 【点评】本题主要考查学生理解和掌握公倍数的意义及求法． 2．【分析】根据 3 的倍数特征：各个数位上的数字和是 3 的倍数的数，这个数 就是 3 的倍数，分析即可求解． 【解答】解：因为 2+3+4＝9，9 是 3 的倍数， 所以用 2、3、4 三个数字组成的三位数一定是 3 的倍数． 故选：A． 【点评】解答此题应结合题意，根据能被 3 整除的数的特征进行分析解答即 可． 3．【分析】2、3 都能整除 12，即 2、3 都是 12 的因数；依此即可求解． 【解答】解：2 和 3 是 12 的因数． 故选：A． 【点评】本题主要考查因数、公因数、最大公因数、质数的概念． 4．【分析】根据质数、合数的特征：在自然数中，除了 1 和它本身外，没有别 的因数的数为质数；除了 1 和它本身外，还有别的因数的数为合数，可得合 数 A 至少有 3 个因数，据此解答即可． 【解答】解：根据分析，可得：A 是合数，A 至少有 3 个因数． 故选：C． 【点评】此题主要考查了找一个数的因数的方法，要熟练掌握，解答此题的 关键是要明确：一个质数有且只有两个因数，一个合数至少有 3 个因数． 5．【分析】求两个数的最大公因数的方法：两个数的公有质因数连乘积就是它 们的最大公因数，由此解决问题即可． 【解答】解：A＝2×3×3 B＝2×3×5，A、B 的最大公因数是 2×3＝6， 47 故选：B． 【点评】此题考查了求几个数的最大公因数的方法． 6．【分析】因为 a、b 都是非 0 自然数，所以它们都有因数 1；又因为 a 是 b 的 倍数，所以它们都有因数 b；所以 a、b 的公因数中一定有 1 和 b；由此解答 即可． 【解答】解：a、b 都是非 0 自然数，a 是 b 的倍数，a、b 的公因数中一定有 1 和 b； 故选：A． 【点评】此题考查了因数、公因数和最大公因数，比较简单，注意基础知识 的积累． 7．【分析】根据求两个数的最大公因数、最小公倍数的方法，把两个数分别分 解质因数，共有质因数的乘积是它们的最大公因数，公有质因数和各自独有 质因数的连乘积是它们的最小公倍数．据此解答． 【解答】解：如果 A＝2×2×5，B＝2×3×5 那么 A 和 B 的最大公因数是 2×5＝10 A 和 B 的最小公倍数是 2×5×2×3＝60 答：A 和 B 的最大公因数是 10，最小公倍数是 60． 故选：B． 【点评】此题考查的目的是理解掌握求两个数的最大公因数、最小公倍数的 方法及应用． 8．【分析】由于有 的人参加书法兴趣小组， 的人参加武术兴趣小组，所以 总人数能同时被 6 和 9 整除．即总人数应是 6 和 9 的公倍数．据此对各选项 的内容进行分析即能得出正确选项． 【解答】解：由题意可知，总人数能同时被 6 和 9 整除，即总人数应是 6 和 9 的公倍数； 选项 A，如果参加书法小组的人数是 5 人，则总人数有 5 ＝45 人，45 不 能被 6 整除，所以参加书法组的不可能是 5 人的说法正确； 选项 B，由于 45 不能被 6 整除，所以总人数可能是 45 人说法错误； 选项 C，由于 54 能被 6 和 9 整除，所以总人数可能是 54 人说法正确； 48 选项 D，6 和 9 的公倍数是 18，如果总人数是 18 人，则参加书法小组的有 2 人，武术小组的有 3 人，共 5 人；如果总人数有 36 人，则参加书法小组的有 4 人，武术小组的 6 人，4+6＝10 人，所以参加书法、武术组的总人数可能是 10 人说法正确． 故选：B． 【点评】根据参加两个小组的人数分别占总数的分率得出总人数应是 6 和 9 的公倍数是完成本题的关键． 9．【分析】求演团体操的小朋友至少有多少人，即求 4、5 和 8 的最小公倍数， 先把 4、5 和 8 进行分解质因数，这三个数的公有质因数的连乘积是这三个数 的最大公约数；由此解答即可． 【解答】解：8＝2×2×2，4＝2×2，5 是质数， 则 84、5 和 8 的最小公倍数是 2×2×2×5＝40，即至少有 40 人； 答：表演团体操的小朋友至少有 40 人． 故选：B． 【点评】此题主要考查求三个数的最小公倍数的方法：三个数的公有质因数、 两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的 可以用短除解答． 10．【分析】根据一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是 1，最大的因数 是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，据此解答． 【解答】解：一个数既是 12 的倍数．又是它的因数，这个数是 12． 故选：B． 【点评】本题主要考查因数和倍数的意义，注意一个数的因数的最大的因数 是它本身，一个数的倍数的最小的倍数是它本身． 二．填空题（共 10 小题） 11．【分析】根据公倍数和最小公倍数的意义，几个数公有的倍数叫做这几个数 的公倍数，其中最小的一个就是它们的最小公倍数．由此解答． 【解答】解：50 以内 6 的倍数有：6，12，18，24，30，36，42，48； 50 以内 9 的倍数有：9，18，27，36，45； 50 以内 6 和 9 的公倍数有：18，36； 49 6 和 9 的最小公倍数是：18． 故答案为：18，36；18． 【点评】此题考查的目的是使学生理解和掌握公倍数和最小公倍数的意义， 掌握求两个数的最小公倍数的方法． 12．【分析】根据公因数的意义可知：公因数是几个数公有的因数，1 是所有非 0 自然数的公因数，据此解答． 【解答】解：所有非 0 的自然数的公因数是 1． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查公因数的意义，注意 1 是所有非 0 自然数的公因数． 13．【分析】根据 2、3、5 的倍数特征分析解答； ① 个位上是 0、2、4、6、8 的数就是 2 的倍数； ② 各个数位上的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数； ③ 个位上是 0 或 5 的数就是 5 的倍数． 【解答】解：在 2，4，8，9，12，27，45，60，72 中， 2 的倍数有 2，4，8，12，60，72； 3 的倍数有 9，12，27，45，60，72； 5 的倍数有 45，60． 故答案为：2，4，8，12，60，72；9，12，27，45，60，72；45，60． 【点评】本题主要考查 2、3、5 的倍数特征，注意牢固掌握 2、3、5 的倍数 特征，灵活运用． 14．【分析】根据因数和倍数的意义：如果数 a 能被数 b 整除（b≠0），a 就叫 做 b 的倍数，b 就叫做 a 的因数；进行解答即可． 【解答】解：因为 5×8＝40，所以 40 是 5 和 8 的 倍数，5 和 8 是 40 的 因 数． 故答案为：倍数，因数． 【点评】此题考查了因数和倍数的意义，要记住，因数和倍数是相互依存的， 不能单独存在．[来源:学.科.网] 15．【分析】一个自然数（0 除外），只有 1 个因数的数是 1，除了 1 和它本身 以外不含其它因数的数是质数；除了 1 和它本身外还含有其它因数的数是合 50 数；据此解答即可． 【解答】解：由分析知：自然数（0 除外）按它的因数的个数可以分为：质数、 合数和 1； 故答案为：质数，合数，1． 【点评】解答此题的关键：结合题意，并根据质数和合数的含义进行分析、 解答． 16．【分析】求一个数的倍数的方法用这个数分别乘以自然数：1，2，3，4，5… ，所得积就是这个数的倍数．由此解答． 【解答】解：40 以内 6 的倍数有：6，12，18，24，30，36； 50 以内 9 的倍数有：9，18，27，36，45． 故答案为：6，12，18，24，30，36；9，18，27，36，45． 【点评】此题考查的目的是使学生理解和掌握公倍数的意义，掌握求公倍数 的方法． 17．【分析】根据求两个数的最大公因数、最小公倍数的方法，当两个数是倍数 关系时，较小的数是它们的最大公因数、较大的数是它们的最小公倍数．据 此解答． 【解答】解：因为 a÷9＝b（a、b 均不为 0），所以 a÷b＝9． a 和 b 的最大公因数是 b，最小公倍数是 a． 故答案为：b、a． 【点评】此题考查的目的是理解掌握求两个数的最大公因数、最小公倍数的 方法及应用．明确：当两个数是倍数关系时，较小的数是它们的最大公因数、 较大的数是它们的最小公倍数． 18．【分析】因为 60÷4＝15，15＝3×5＝1×15，所以这两个数为：4×3＝12， 4×5＝20；或 4×1＝4，15×4＝60；由题意知：这两个数不为 4 和 60（舍去）， 进而得出结论． 【解答】解：因为：60÷4＝15，15＝3×5＝1×15， 所以这两个数为： ① 4×3＝12，4×5＝20； ② 4×1＝4，15×4＝60（舍去）； 故答案为：12 和 20． 51 【点评】解答此题应根据两个数的最大公约数和最小公倍数的关系进行解答 即可． 19．【分析】由于书本的本数是整数，所以总本数就是 和 两个分率的分母的 公倍数，由此找出 9 和 4 在 100～150 之间的公倍数即可求解． 【解答】解：总本数应是 9 和 4 的公倍数； 9×4＝36 36×3＝108（页） 36×4＝144（页） 所以总页数可能是 108 页，也可能是 144 页． 故答案为：108 或 144． 【点评】注意理解题意，根据总本数是整数，利用求公倍数的方法求解． 20．【分析】求两数的最小公倍数，要看两个数之间的关系：两个数互质，则最 小公倍数是这两个数的乘积；两个数为倍数关系，则最小公倍数为较大的数； 两个数有公因数的，最小公倍数是两个数公有质因数与独有质因数的连乘积； 求较大的两个数的最小公倍数用短除法法比较方便．由此选择情况解决问题． 【解答】解：根据分析可知，求较大的两个数的最小公倍数用短除法法比较 方便． 故答案为：短除法． 【点评】此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数 与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答． 三．判断题（共 6 小题） 21．【分析】由题意可得：a÷b＝8，可知 a 和 b 有因数和倍数关系；根据如果 两个数有因数和倍数关系，那么它们的最大公因数是较小数，据此解答． 【解答】解：因为 a÷b＝8， 所以 a 和 b 有因数和倍数关系，a 是较大数，b 是较小数， 因此 a 和 b 的最大公因数是 b， 原题说法错误． 故答案为：×． 【点评】此题主要考查了求两个数的最大公因数的方法：如果两个数有因数 52 和倍数关系，它们的最大公约数是较小数． 22．【分析】公因数只有1 的两个数叫做互质数，由此判定它们有最大公因数， 最大公因数就是 1；据此判断即可． 【解答】解：互质的两个数的最大公因数是 1，所以原题说法错误． 故答案为：×． 【点评】此题考查互质数的特点：互质的两个数最大公因数是 1；最小公倍数 是它们的乘积． 23．【分析】根据互质数的特征，可得 4 和 9 是互质数，它们的公因数只有 1， 不是没有公因数，据此判断即可． 【解答】解：根据互质数的特征，可得 4 和 9 是互质数， 它们的公因数只有 1，不是没有公因数， 所以原题说法错误． 故答案为：×． 【点评】此题主要考查了互质数的特征． 24．【分析】根据倍数的含义和找一个数的倍数的方法，可得一个数（0 除外） 的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，据此解答即可． 【解答】解：因为一个数（0 除外）的倍数的个数是无限的，最小的是它本身， 所以题中说法正确． 故答案为：√． 【点评】此题主要考查了倍数的含义和找一个数的倍数的方法，要熟练掌握． 25．【分析】根据因数和倍数的意义，因数和倍数是在非 0 自然数范围内进行研 究，以此解答． 【解答】解：4÷0.5＝8，只是 4 能被 0.5 除尽，不是整除； 倍数是相对应整数而言的，研究范围是在非 0 自然数范围内，所以原题说法 错误； 故答案为：×． 【点评】此题的解答关键是明确因数和倍数的意义，以及因数和倍数的研究 范围是在非 0 自然数范围内． 26．【分析】根据 3 的倍数的特征：各个数位上的数的和是 3 的倍数，这个数就 53 是 3 的倍数；举个反例证明． 【解答】解：23、26、19 是个位上分别是 3、6、9，可是它们都不是 3 的倍 数， 所以个位上是 3、6、9 的数，一定是 3 的倍数的说法是错误的． 故答案为：×． 【点评】本题主要考查 3 的倍数的特征．注意个位上是 3、6、9 的数不一定 是 3 的倍数，各个数位上的数的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数． 四．计算题（共 1 小题） 27．【分析】求两个数的最大公约数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，最 小公倍数是这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积，由此解决问题即 可 【解答】解：（1）45 和 75 45 和 75 的最大公因数是 3×5＝15， 45 和 75 的最小公倍数是 3×5×3×5＝225； （2）39 和 52 39 和 52 的最大公因数是 13， 39 和 52 的最小公倍数是 13×3×4＝156； [来源:学科网] （3）18 和 60 18 和 60 的最大公因数是 2×3＝6， 18 和 60 的最小公倍数是 2×3×3×10＝180． 【点评】此题主要考查求两个数的最大公约数与最小公倍数的方法：两个数 的公有质因数连乘积是最大公约数，两个数的公有质因数与每个数独有质因 54 数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答． 五．应用题（共 5 小题） 28．【分析】因为买回来 26 千克豆油，26 的个位数字是偶数，得出能被 2 整除， 所以选用 2 千克装，根据进而得出结论． 【解答】解：由分析知：选用 2 千克装，26÷2＝13（个） 答：选用 2 千克装，需这样的桶 13 个；因为 26 是 2 的倍数．[来源:Z§xx§ k.Com] 【点评】解答此题的关键：根据能被 2 整除的数的特征，进行解答即可． 29．【分析】求五（1）至少有多少人，即求 12、15 的最小公倍数，然后用人数 除以 12 或 15 可求出站的队数，据此解答． 【解答】解：12＝2×2×3 15＝3×5 则 12、15 的最小公倍数是：2×2×3×5＝60 60÷12＝5（队） 60÷12＝4（队） 答：这个班至少 60 人，分别能站成 5 队或 4 队． 【点评】此题考查的是求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数 与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答． 30．【分析】根据题意可知，从这包糖果的块数里面减去 3 块后，剩下的块数就 是 8 和 10 的最小公倍数，所以先求出 8 和 10 的最小公倍数，然后加 3，即是 这包糖果至少有的块数． 【解答】解：8＝2×2×2 10＝2×5 8 和 10 的最小公倍数是：2×2×2×5＝40 40+3＝43（块） 答：这包糖果最少有 43 块． 【点评】此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数 与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答． 31．【分析】根据第一小组每 6 天去次，第二小组每 15 天去一次，求出 15、6 55 的最小公倍数，即可求出至少再过多少天，他们又再次相遇． 【解答】解：15＝3×5，6＝2×3 所以 15、6 的最小公倍数是：2×5×3＝30 至少再过 30 天，他们又再次相遇． 答：至少再过 30 天他们又一次在敬老院相遇． 【点评】此题主要考查几个数最小公倍数的求法及用此知识解决实际问题． 32．【分析】由题意可知，这包糖果的数量一定是 8、12 的公倍数，先求出 8、 12 的最小公倍数，由于数量最少，最小公倍数就是这袋糖果的最少粒数，由 此得解． 【解答】解：8＝2×2×2 12＝2×2×3 8 和 12 的最小公倍数是 2×2×2×3＝24， 答：这包糖果最少有 24 粒． 【点评】解答此题的关键是先求出 8 和 12 的最小公倍数，进行解答即可． 期末复习专题讲义 第 4 单元：多边形的面积 【知识点归纳】 一．平行四边形的面积 平行四边形面积=底×高，用字母表示：S=ah．（a 表示底，h 表示高） 【解题思路点拨】 （1）常规题求平行四边形面积，从已知中求出平行四边形的底，以及底相对应 的高，代入公式即可求得． 【典例分析】 例 1：一个平行四边形相邻两条边分别是 6 厘米、4 厘米，量得一条边上的高为 5 厘米，这 个平行四边形的面积是（ ）平方厘米． A、24 B、30 C、20 D、120 分析：根据平行四边形的特点可知，底边上的高一定小于另一条斜边，所以高为 5 厘米对 应的底为 4 厘米，利用面积公式计算即可． 解：4×5=20（平方厘米）； 56 答：这个平行四边形的面积是 20 平方厘米． 故选：C． 点评：此题主要考查平行四边形的特点，分析出相对应的底和高，据公式解答即可． 例 2：一个平行四边形的底扩大 3 倍，高扩大 2 倍，面积就扩大（ ） A、5 倍 B、6 倍 C、不变 分析：平行四边形面积=底×高底扩大 3 倍，高扩大 2 倍，则面积扩大了 3×2=6 倍． 解：因为平行四边形面积=底×高， 底扩大 3 倍，高扩大 2 倍，则面积扩大了 3×2=6（倍）， 故选：B． 点评：本题考查了平行四边形的面积公式． 二．三角形的周长和面积 三角形的周长等于三边长度之和． 三角形面积=底×高÷2． 【典例分析】 例 1： 4 个完全相同的正方形拼成一个长方形．（如图）图中阴影三角形的面积的大小是 A、甲＞乙＞丙 B、乙＞甲＞丙 C、丙＞甲＞乙 D、甲=乙=丙 分析：因为三角形的面积=底×高÷2，且图中三个阴影三角形等底等高，所以图中阴影三 角形的面积都相等． 解：因为三角形的面积=底×高÷2，且图中三个阴影三角形等底等高， 所以图中阴影三角形的面积都相等． 故选：D． 点评：此题主要考查等底等高的三角形面积相等． 例 2：在如图的梯形中，阴影部分的面积是 24 平方分米，求梯形的面积． 分析：由图形可知，阴影部分三角形的高与梯形的高相等，已知三角形的面积和底求出三角 形的高，再根据梯形的面积公式 s=（a+b）h÷2，计算梯形的面积即可． 57 解：24×2÷8 =48÷8 =6（分米）； （8+10）×6÷2 =18×6÷2 =54（平方分米）； 答：梯形的面积是 54 平方分米． 点评：此题解答根据是求出三角形的高（梯形的高），再根据梯形的面积公式解答即可． 三．梯形的面积 梯形面积=（上底+下底）×高÷2． 【典例分析】 例 1：一个果园近似梯形，它的上底 120m，下底 180m，高 60m．如果每棵果树占地 10m2， 这个果园共有果树多少棵？ 分析：根据梯形的面积公式 S=（a+b）×h÷2，求出果园的面积，再除以 10 就是这个果园 共有果树的棵数． 解：（120+180）×60÷2÷10， =300×60÷2÷10， =18000÷20， =900（棵）， 答：这个果园共有果树 900 棵． 点评：本题主要是利用梯形的面积公式 S=（a+b）×h÷2 与基本的数量关系解决问题． 四．面积及面积的大小比较 1．将不同的单位化作同一单位，一般是化作标准单位． 2．比较数值的大小． 【典例分析】 58 例：如图，阴影部分面积相等答案完全正确的是（ ） A、①②B、①②④C、①②③D、①②③④ 分析：在平行四边形①②中和长方形③中，阴影部分面积都是平行四边形或者长方形面积的 一半，梯形的上底加下底也是 4 厘米，也等于平行四边形面积的一半，由此即可判断它们面 积的大小． 解：前三图中，阴影部分均为平行四边形（长方形）面积的一半，而三个平行四边形（长方 形）的面积相等； 梯形的上底加下底也是 4 厘米，也等于平行四边形面积的一半； 由此可得：阴影部分的面积都相等． 故选：D． 点评：此题主要考查等底等高的三角形面积相等及平行四边形的特点．据图即可以作出判断． 59 同步测试 一．选择题（共 8 小题） 1．下面的四个平行四边形，根据已知条件（ ）的面积可以算出． A． B． C． D． 2．小区有一块长方形的地（如图），B 为中点．物业公司计划在其中一部分种月季花，剩 下的部分种草坪，草坪的面积是（ ）m2． A．9 B．27 C．36 D．54 3．有一块三角形宣传牌，面积是 m2，它的底是 m，高是（ ）m． A． B． C． 4．一个三角形的面积是 160cm2，其中一条边的长度是 20cm，这条边所对应的高是（ ） cm． A．8 B．16 C．32 5．下面完全一样的两个长方形中，阴影部分的面积相比较，（ ） A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 6．一个平行四边形的底和高分别和一个长方形的长和宽相等，这个平行四边形的面积和长 方形的面积相比，（ ） A．长方形的面积大 B．平行四边形的面积大 C．一样大 7．一个梯形的下底是 10 厘米，上底是 6 厘米，高是 8 厘米，如果梯形的下底和高不变，上 60 底增加 2 厘米，那现在梯形的面积比原来增加（ ）平方厘米． A．16 B．8 C．128 D．12 8．如图，在等腰梯形中三角形甲的面积（ ）三角形乙的面积． A．＝ B．＞ C．＜ 二．填空题（共 8 小题） 9．用同样长铁丝围成正方形和圆形，则围成的 面积最大． 10．一个平行四边形的底是 23 厘米，高是 8 厘米，它的面积是 平方厘米． 11．一个梯形，如果上底增加 2 米，就成为一个边长是 6 米的正方形，这个梯形的面积是 平方米． 12．有一个梯形，它是轴对称图形．如果它的周长是 62 厘米，其中一条腰的长度是 10 厘米， 高是 8 厘米，这个梯形的面积是 平方厘米． 13．如图所示，梯形的面积是 90cm2，上底是 10cm，下底是 20cm，阴影部分的面积是 cm2． 14．看图计算 三角形面积是 94.08 平方厘米 底 a＝ 厘米 15．一个平行四边形的高是 6dm，比对应的底少 2dm，这个平行四边形的面积是 dm2． 16．如图是某个矩形广告图案的一部分，已知涂色部分粉刷用去 3.5 千克油漆，还需要 千克油漆才能把图中 ①②③ 涂完． 61 三．判断题（共 5 小题） 17．周长相等的圆、长方形、正方形中，圆的面积最大，长方形的面积最小． （判 断对错） 18．一个三角形的面积是 2.4 平方米，高是 1.2 米，它的底是 4 米． （判断对错） 19．平行四边形内最大的三角形的面积是平行四边形面积的一半． ．（判断对错） 20．平行四边形的底越大，面积就越大． ．（判断对错） 21．一个梯形的上底增加 4cm，下底缩短 4cm，高不变，那么它的面积也不变． （判 断对错） 四．计算题（共 2 小题） 22．计算出下面图形的面积．（单位：厘米） 23．平行四边形的面积是 105cm2，求阴影部分的面积． 五．应用题（共 5 小题） 24．小玲家有一块平行四边形菜地，面积是 74.75m2，高是 6.5m，对应的底是多少 m？ 25．王叔叔家有一个正方形鱼塘，周长 32m，这个鱼塘的面积是多少平方米？ 26．一个三角形的篱笆墙，三条边的长度分别是 米， 米和 1 米，篱笆墙的周长是多少米？ 27．一根绳子，围成一个腰长 5.3 分米、底边长 2.6 分米的等腰三角形后，还剩下 0.45 分米．这 根绳子长多少分米？ 28．有一块平行四边形菜地，分成三块种菜，第一块种西红柿，第二块种辣椒，第三块种茄 子． （1）每块菜地占地面积分别是多少平方米？ （2）如果每平方米收辣椒 7.5kg，辣椒地可收辣椒多少千克？ 62 63 参考答案与试题解析 一．选择题（共 8 小题） 1．【分析】平行四边形的面积 S＝ah，注意底和高要对应，对给出的选项依次分析即可． 【解答】解：A、5×6＝30（平方厘米） B、只告诉平行四边形的边长，没有对应的高，所以不能求面积； C、底和高不是对应的，所以不能求面积， D、只告诉高，没告诉底，不能求面积； 故选：A． 【点评】此题主要考查平行四边形的面积公式的灵活运用． 2．【分析】根据题意可知，先求出梯形草坪的上底，用长方形的长÷2＝梯形的上底，然后 用公式：梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2，据此列式解答． 【解答】解：8÷2＝4（m） （4+8）×4.5÷2 ＝12×4.5÷2 ＝54÷2 ＝27（m2） 答：草坪的面积是 27m2． 故选：B． 【点评】本题主要是利用梯形的面积公式 S＝（a+b）×h÷2 解决问题． 3．【分析】三角形的面积＝底×高÷2，所以高＝面积×2÷底，面积和底边长已知，代入 公式即可求解． 【解答】解： ×2÷ ＝ × ＝ （米） 答：高是 米． 故选：A． 【点评】此题主要考查三角形的面积公式的应用，熟练掌握三角形的面积公式是解答本 题的关键． 64 4．【分析】根据三角形的面积公式 S＝ah÷2，知道 h＝2S÷a，由此即可求出这条边相对应 的高． 【解答】解：160×2÷20 ＝320÷20 ＝16（厘米） 答：这条边相对应的高是 16 厘米． 故选：B． 【点评】本题主要是灵活利用三角形的面积公式 S＝ah÷2 解决问题． 5．【分析】根据题意可知，两个完全相同的长方形，图甲和图乙的阴影部分都是这个长方 形面积的一半，所以它们的面积相等． 【解答】解：图甲和图乙的阴影部分都是这个长方形面积的一半，所以它们的面积相等， 即 S1＝S2； 故选：C． 【点评】此题主要考查的是等底等高的三角形的面积也相等． 6．【分析】因为平行四边形的面积＝底×高，长方形的面积＝长×宽，所以一个平行四边 形的底和高分别和一个长方形的长和宽相等，这个平行四边形的面积和长方形的面积相 等． 【解答】解：一个平行四边形的底和高分别和一个长方形的长和宽相等，这个平行四边 形的面积和长方形的面积相等． 故选：C． 【点评】本题主要是利用平行四边形和长方形的面积公式解答． 7．【分析】如下图：梯形的下底和高不变，上底增加 2 厘米，现在梯形的面积比原来增加 的部分是一个三角形，根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，把数据代入公式解答． 【解答】解：如图： 2×8÷2＝8（平方厘米） 答：现在梯形的面积比原来增加 8 平方厘米． 65 故选：B． 【点评】此题主要考查梯形的面积公式、三角形的面积公式的灵活运用，关键是熟记公 式． 8．【分析】如图所示，甲和丙组成的三角形与乙和丙组成的三角形等底等高，则其面积相 等，同样的道理，都减去公共部分丙的面积，面积仍然相等，即甲乙的面积相等． ． 【解答】解：因为甲和丙组成的三角形与乙和丙组成的三角形等底等高，则其面积相等， [来源:学_科_网 Z_X_X_K] 同样的道理，都减去公共部分丙的面积，面积仍然相等，即甲乙的面积相等； 故选：A． 【点评】解答此题的主要依据是：等底等高的三角形的面积相等． 二．填空题（共 8 小题） 9．【分析】假设周长都是 62.8 厘米，根据圆的周长公式：c＝2 π r，正方形的周长公式：c ＝4a，分别求出半径和正方形的边长，再根据圆的面积公式：s＝ π r2，正方形的面积公式： s＝a2，求出它们的面积，进行比较即可． 【解答】解：假设周长都是 62.8 厘米， 正方形的面积是； （62.8÷4）×（62.8÷4）， ＝15.7×15.7， ＝246.49（平方厘米）； 圆的面积是： 3.14×（62.8÷3.14÷2）2， ＝3.14×102， ＝3.14×100， ＝314（平方厘米）； 246.49＜314． 答：用同样长的铁丝围成一个正方形和一个圆，圆的面积大． 故答案为：圆形． 66 【点评】此题主要考查周长相等的圆和正方形的面积大小的比较，可以通过举例来证明， 更主要的是通过平时知识的积累，发现规律，按照所发现的规律进行解答． 10．【分析】先依据平行四边形面积＝底×高即可解答． 【解答】解：23×8＝184（平方厘米） 答：它的面积是 184 平方厘米． 故答案为：184． 【点评】此题主要考查平行四边形的面积计算方法的应用． 11．【分析】根据题意可知，梯形的上底是 6﹣2＝4 米，下底是 6 米，高也是 6 米，利用梯 形的面积公式（上底+下底）×高÷2 即可解答． 【解答】解：（6﹣2+6）×6÷2[来源:学#科#网 Z#X#X#K] ＝60÷2 ＝30（平方米） 答：这个梯形的面积是 30 平方米． 故答案为：30． 【点评】本题考查了梯形面积公式的灵活运用情况． 12．【分析】是梯形又是轴对称图形，这个梯形是等腰梯形，一条腰长 10 厘米，则另一条 腰也是 10 厘米，然后根据周长是 62 厘米，求出上下底之和，已知高是 8 厘米，利用面 积公式求出即可． 【解答】解：（62﹣10×2）×8÷2[来源:学+科+网 Z+X+X+K] ＝42×8÷2 ＝336÷2 ＝168（平方厘米）[来源:学|科|网 Z|X|X|K] 答：这个梯形的面积是 168 平方厘米． 故答案为：168． 【点评】本题考查了梯形的面积公式的应用，根据周长及腰长求出上下底之和是解题关 键． 13．【分析】观察图形可知，阴影部分的三角形的高就是这个梯形的高，根据梯形的面积＝ （上底+下底）×高÷2，可求出梯形的高是多少，再根据三角形的面积＝底×高÷2 可 求出阴影部分的面积是多少，据此解答． 【解答】解：90×2÷（10+20） 67 ＝90×2÷30 ＝6（厘米） 10×6÷2 ＝60÷2 ＝30（平方厘米） 答：阴影部分的面积是 30 平方厘米． 故答案为：30． 【点评】本题主要考查了学生对三角形和梯形面积公式的理解和灵活运用情况． 14．【分析】三角形的面积公式 S＝ah，将此公式变形，即可得出底． 【解答】解：94.08×2÷5.6＝33.6（厘米） 答：底 a＝33.6 厘米． 故答案为：33.6． 【点评】考查了三角形的面积，解答此题的关键是根据三角形的面积公式，得出底的计 算方法，再代入字母和数据，即可求解． 15．【分析】已知平行四边形的高是 6dm，比对应的底少 2dm，由此可以求出底，根据平行 四边形的面积公式：S＝ah，把数据代入公式解答． 【解答】解：（6+2）×6 ＝8×6 ＝48（平方分米） 答：这个平行四边形的面积是 48 平方米． 故答案为：48． 【点评】此题主要考查平行四边形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式． 16．【分析】首先根据平行四边形的面积公式：S＝ah，三角形的面积公式：S＝ah÷2，因 为等底等高的三角形的面积是平行四边形面积的一半，所以涂色部分可以看作底是 1、 高与平行四边形高相等的 5 个三角形的面积，已知涂色部分粉刷用去 3.5 千克油漆，由此 可以求出涂每个三角形用油漆 3.5÷5＝0.7（千克），那么再涂 3 个同样大小的三角形用 油漆 3 个 0.7 千克，据此解答． 【解答】解：3.5÷5×3 ＝0.7×3 68 ＝2.1（千克）， 答：还需要 2.1 千克油漆才能把图中 ①②③ 涂完． 故答案为：2.1．[来源:学科网 ZXXK] 【点评】此题解答关键是明确：等底等高的三角形的面积是平行四边形面积的一半．重 点是求出涂一个三角形用油漆多少千克． 三．判断题（共 5 小题） 17．【分析】周长相等的正方形、长方形和圆形，谁的面积最大，谁面积最小，可以先假 设 这三种图形的周长是 16，再利用这三种图形的面积公式，分别计算出它们的面积，最后 比较这三种图形面积的大小． 【解答】解：为了便于理解，假设正方形、长方形和圆形的周长都是 16， 则圆的面积为： ＝ ≈20.38； 正方形的边长为：16÷4＝4，面积为：4×4＝16； 长方形长宽越接近面积越大，就取长为 5 宽为 3，面积为：5×3＝15； 当长方形的长和宽最接近时面积也小于 16； 所以，周长相等的圆、长方形、正方形中，圆的面积最大，长方形的面积最小． 故答案为：√． 【点评】此题主要考查长方形、正方形、圆形的面积公式及灵活运用，解答此题可以先 假设这三种图形的周长是多少，再利用这三种图形的面积公式，分别计算出它们的面积， 最后比较这三种图形面积的大小． 18．【分析】根据三角形的面积公式 S＝ah÷2，知道 a＝2S÷h，代入数据即可求出底． 【解答】解：2.4×2÷1.2 ＝4.8÷1.2 ＝4（米） 答：它的底是 4 米． 故题干的说法是正确的． 故答案为：√． 【点评】此题主要考查了三角形的面积公式 S＝ah÷2 的灵活应用． 19．【分析】由“在一个平行四边形内画一个最大的三角形，”得出最大的三角形与平行四 边形等底等高，由此根据等底等高的三角形的面积是平行四边形的面积的一半． 69 【解答】解：解：因为要在平行四边形厘米画两个最大的三角形，必须使三角形与平行 四边形等底等高， 所以等底等高的三角形的面积是平行四边形的面积的一半，题干说法正确． 故答案为：√． 【点评】关键是明白如何在一个平行四边形内画一个最大的三角形，再利用等底等高的 三角形的面积与平行四边形的面积的关系解决问题． 20．【分析】根据平行四边形的面积公式：S＝ah，平行四边形面积的大小是由它的底和高 两个条件决定的，如果高不变，底边越长它的面积就越大，据此判断． 【解答】解：因为平行四边形面积的大小是由它的底和高两个条件决定的，如果高不变， 底边越长它的面积就越大， 所以在没有确定高是否不变的情况下，平行四边形的底越大，面积就越大．这种说法是 错误的． 故答案为：×． 【点评】此题考查的目的是理解掌握平行四边形的面积公式及应用，明确：平行四边形 面积的大小是由它的底和高两个条件决定的． 21．【分析】根据梯形的面积公式：S＝（a+b）h÷2，再根据和不变的性质，一个加数增 加几，另一个加数减少一个相同的数和不变．可以通过举例证明． 【解答】解：比如：一个梯形的上底是 2 厘米，下底是 6 厘米，高是 5 厘米，面积是（2+6） ×5÷2＝20（平方厘米）； 上底增加 4 厘米后是 6 厘米，下底缩短 4 厘米后是 2，高不变，面积是（6+2）×5÷2＝ 20（平方厘米）； 因此，一个梯形的上底增加 4cm，下底缩短 4cm，高不 变，那么它的面积也不变．这种 说法是正确的． 故答案为：√． 【点评】此题考查的目的是理解掌握梯形的面积公式、和不变的性质及应用． 四．计算题（共 2 小题） 22．【分析】（1）根据三角形的面积公式 S＝ah÷2，代入数据列式解答即可； （2）根据平行四边形的面积公式 S＝ah，代入数据解答即可． 【解答】解：（1）8×6÷2＝24（平方厘米） 答：三角形的面积是 24 平方厘米． 70 （2）12×15＝180（平方厘米） 答：平行四边形的面积是 180 平方厘米． 【点评】本题主要考查了三角形与平行四边形面积的计算方法． 23．【分析】根据平行四边形的面积公式：S＝ah，那么 h＝S÷a，据此求出高，再根据三 角形的面积公式：S＝ah÷2，把数据代入公式解答． 【解答】解：105÷（10+5） ＝105÷15 ＝7（厘米） 5×7÷2＝17.5（平方厘米） 答：阴影部分的面积是 17.5 平方厘米． 【点评】此题主要考查平行四边形、三角形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式． 五．应用题（共 5 小题） 24．【分析】根据平行四边形的面积公式：S＝ah，那么 a＝S÷h，把数据代入公式解答． 【解答】解：74.75÷6.5＝11.5（米） 答：对应的底是 11.5 米． 【点评】此题主要考查平行四边形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式． 25．【分析】先求出正方形的边长，边长＝周长÷4；再根据正方形的面积＝边长×边长， 计算出面积即可． 【解答】解：32÷4＝8（米） 8×8＝64（平方米） 答：鱼塘面积是 64 平方米． 【点评】解决本题的关键是根据：边长＝周长÷4，计算出正方形的边长，再根据面积＝ 边长×边长，计算出面积即可． 26．【分析】围成平面图形的所有线段的长度之和，就是其周长，据此将三条边的长度加在 一起，即可得解． 【解答】解： ＝3+1 ＝4（米） 71 答：篱笆墙的周长是 4 米． 【点评】此题主要考查三角形的周长的计算方法． 27．【分析】等腰三角形的两个腰长相等，两个腰长加上底边长，再加上剩余绳长，就是这 根绳子的长． 【解答】解：5.3×2+2.6+0.45 ＝10.6+2.6+0.45 ＝13.65（分米） 答：这根绳子长 13.65 分米． 【点评】考查了三角形的周长，关键是熟悉等腰三角形的两个腰长相等的性质． 28．【分析】（1）根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，平行四边形的面积公式：S＝ah，梯 形的面积公式：S＝（a+b）h÷2，把数据分别代入公式解答． （2）根据单产量×数量＝总产量，据此列式解答． 【解答】解：（1）24×25÷2＝300（平方米） 16×25＝400（平方米） （10+34）×25÷2 ＝44×25÷2 ＝550（平方米） 答：西红柿的面积是 300 平方米，辣椒的面积是 400 平方米，茄子的面积是 550 平方米． （2）7.5×400＝3000（千克） 答：辣椒地可收辣椒 3000 千克． 【点评】此题主要考查三角形、平行四边形、梯形面积公式的灵活用，关键是熟记公式． 期末复习专题讲义 第 5 单元：分数的意义 【知识点归纳】 一．找一个数的倍数的方法 找一个数的倍数，直接把这个数分别乘以 1、2、3、4、5、6…，一个数的倍数 的个数是无限的． 1．末尾是偶数的数就是 2 的倍数． 72 2．各个数位加起来能被 3 整除的数就是 3 的倍数．9 的道理和 3 一样． 3．最后两位数能被 4 整除的数是 4 的倍数． 4．最后一位是 5 或 0 的数是 5 的倍数． 5．最后 3 位数能被 8 整除的数是 8 的倍数． 6．奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被 11 整除的数是 11 的倍数．注 意：“0”可以被任何数整除． 【典例分析】 例 1：个位上是 3、6、9 的数，都是 3 的倍数．×．（判断对错） 分析：举个反例证明，3 的倍数的特征：各个数位上的数的和是 3 的倍数，这个 数就是 3 的倍数． 解：13，16，29 是个位上分别是 3，6，9 可是它们都不是 3 的倍数，所以个位 上是 3、6、9 的数，都是 3 的倍数得说法是错误的； 故答案为：×． 点评：本题主要考查 3 的倍数的特征．注意个位上是 3、6、9 的数不一定是 3 的倍数，各个数位上的数的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数． 例：一个三位数，既有因数 3，又是 2 和 5 的倍数，这个数最小是 120． 分析：既有因数 3，又是 2 和 5 的倍数，就是这个三位数同时是 2、3、5 的倍数， 根据 2、3、5 的倍数特征可知：这个三位数个位必需是 0，因为只有个位上是 0 的数才能满足是 2 和 5 的倍数，要想最小百位必需是最小的一位数 1，然后分析 各个数位上的和是不是 3 的倍数，即百位上的 1 加上十位上的数和个位上的 0 是 3 的倍数，因为 1+0=1，1 再加 2、5、8 的和是 3 的倍数，即十位可以是；2、 5、8，其中 2 是最小的，据此解答． 解：由分析可知；一个三位数，既有因数 3，又是 2 和 5 的倍数，这个数最小是； 120； 故答案为；120． 点评：本题主要考查 2、3、5 的倍数的特征，注意掌握只有个位上是 0 的数才能 满足是 2 和 5 的倍数，要想最小百位必需是最小的一位数 1． 二．分数的意义和读写 分数的意义：把一个物体或一个计量单位平均分成若干份，这样的一份或几份可 73 用分数表示． 在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数叫做分母，表示把单位“1” 平均分成多少份；分数线上面的数叫做分子，表示有这样的多少份． 分数的分类： （1）真分数：分子比分母小的分数，叫做真分数．真分数的分数值小于 1． （2）假分数：和真分数相对，分子大于或者等于分母的分数叫假分数，假分数 大于 1 或等于 1． 带分数：分子不是分母的倍数关系．形式为：整数+真分数． 【典例分析】 两根 3 米长的绳子，第一根用 4 3 米，第二根用 4 3 ，两根绳子剩余的部分相比（ ） A、第一根长 B、第二根长 C、两根同样长 分析：分别求得两根绳子剩余的长度，即可作出判断． 解：第一根剪去 4 3 米，剩下的长度是：3- 4 3 =2 4 1 （米）； 第二根剪去 4 3 ，剩下的长度是 3×（1- 4 3 ）= 4 3 （米）． 所以第一根剩下的部分长． 故选：A． 点评：此题重在区分分数在具体的题目中的区别：有些表示是某些量的几分之几， 有些表示具体的数，做到正确区分，选择合适的解题方法．在具体的题目中，带 单位是一个具体的数，不带单位是把某一个数量看单位“1”，是它的几分之几． 三．分数的基本性质 分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0 除外），分数的大小不变．这叫 做分数的基本性质． 【典例分析】 例 1： 10 3 的分子加上 6，如果要使这个分数的大小不变，分母应该（ ） A、加上 20 B、加上 6 C、扩大 2 倍 D、增加 3 倍 分析：分子加上 6 后是原来的几倍，根据分数的基本性质，那么分母也是原来的 几倍，分数的大小才不变． 74 解：分子：3+6=9 9÷3=3 说明分子扩大了 3 倍．要想分数的大小不变，那么 分母也要扩大 3 倍，或 10×3=30 30-10=20 说明分母应加上 20． 故选：A． 本题主要考查分数的基本性质，根据这一性质解答即可． 例 2：一个假分数，如果分子、分母同时加上 1，则分数的值小于原分数．×． 分析：分子大于或者等于分母的分数叫假分数，假分数大于 1 或等于 1．可以用 赋值法来判断这道题目的正误即可． 解：假设这个假分数是 1 1，分子和分母同时加上 1， 11 11   = 2 2 ，因 1 1=1， 2 2 =1，则 这两个分数相等，与分数的值小于原分数不相符． 故答案为：×． 本题是考查假分数的定义，用赋值法来判断正误就比较容易解决． 四．约分和通分 约分：把一个分数化成同它相等，但分子分母都比较小的分数，叫做约分． 约分就是把分数化简成最简分数． 约分时一般用分子和分母的公因数（1 除外）去除分数的分子和分母，通常要除 到得出最简分数为止． 通分：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分．通分就 是把分母不同分数化成分母相同的分数． 约分和通分的依据是分数的基本性质：分数的分子和分母同乘以或除以同一个不 等于 0 的数，分数的大小不变． （分数的分子和分母同时扩大或同时缩小相同的倍数（0 除外），分数的大小不 变） 约分方法： 约分：将分子和分母数共同的约数约去（也就是除以那个数）剩下如果还有相同 因数就继续约去，直到没有为止； 通分的方法： 通分：使两个分数的分母相同但不改变原数大小的过程．先求出原来几个分母的 最小公倍数，然后把各分数分别化成用这个最小公倍数作分母的分数． 75 【典例分析】 例 1：一个分数约分后，它的大小不变，但分数单位却变大了．√．（判断对错） 分析：把一个分数化成和它相等，但分子、分母都比较小的分数，叫做约分，据 此可知：一个分数约分后，它的大小不变，分母变小了，分母变小分数单位就变 大了，举例说明更好理解． 解： 12 6 = 2 1 ， 12 6 的分数单位是 12 1 ， 2 1 的分数单位是 2 1 ， 2 1 ＞ 12 1 ，所以一个分数 约分后，它的大小不变，但分数单位却变大了这是正确的； 故答案为：√． 点评：本题主要考查约分的意义． 例 2：一个分数，用 3 约了两次，用 5 约了一次，最后得到最简分数 4 3 ，则这个 分数原来是 180 135 ． 分析：根据分数的基本性质，一个分数，用 3 约了两次，用 5 约了一次，最后得 到最简分数 4 3 ，把 4 3 的分子和分母分别乘两个 3、一个 5 即可求出原来的分数．据 此解答． 解： 4 3 = 5334 5333   = 180 135 ； 故答案为： 180 135 ． 点评：此题主要考查分数的基本性质的灵活运用． 五．最简分数 分子、分母只有公因数 1 的分数叫做最简分数或者说分子和分母是互质数的分 数，叫做最简分数，又称既约分数．如： 3 2 ， 9 8 ， 8 3 等． 【典例分析】 例 1：分数单位是 6 1 的最简真分数的和是 1． 分析：最简真分数的意义：分子分母是互质数并且分子小于分母的分数就是最真 简分数，据此找出分数单位是 6 1 的最简真分数，把它们求和即可． 解：分数单位是 6 1 的最简真分数有： 6 1 、 6 5 ， 它们的和是： 6 1 + 6 5 =1； 76 故答案为：1． 本题主要考查最简真分数的意义，注意先找出分数单位是 6 1 的最简真分数，再求 和． 例 2：分子和分母是不同的质数的分数一定是最简分数．√．（判断对错） 分析：最简分数的意义：分子分母是互质数的分数就是最简分数，据此分析判断． 解：不同的质数一定是互质数，所以分子和分母是不同的质数的分数一定是最简 分数的说法是正确的； 故答案为：√． 点评：本题主要考查最简分数的意义，注意不同的质数一定是互质数． 六．分数大小的比较 分数比较大小的方法： （1）真、假分数或整数部分相同的带分数；分母相同，分子大则分数大；分子 相同，则分母小的分数大；分子和分母都不相同，通分后化成同分母或者同分子 的分数再进行比较大小． （2）整数部分 不同的带分数，整数部分大的带分数就比较大．[来源:学科网 ZXXK] 【典例分析】 例 1：小于 4 3 而大于 4 1 的分数只有 4 2 一个分数．×（判断对错） 分析：依据分数的基本性质，将两个分数的分子和分母同时扩大若干倍，介于它 们中间的真分数就会有无数个，据此即可进行判断． 解：分别将 4 3 和 4 1 的分子和分母扩大若干个相同的倍数，在 4 1 和 4 3 间会出现无数 个真分数，所以，大于 4 1 而小于 4 3 的真分数只有一个是错误的． 故答案为：×． 点评：解答此题的关键是依据分数的基本性质将两个的分子和分母扩大若干倍， 即可找到无数个介于它们中间的真分数，从而能推翻题干的说法． 七．找一个数的因数的方法 1．分解质因数．例如：24 的质因数有：2、2、2、3，那么，24 的因数就有：1、 2、3、4、6、8、12、24． 77 2．找配对．例如：24=1×24、2×12、3×8、4×6，那么，24 的因数就有：1、 24、2、12、3、8、4、6． 3．末尾是偶数的数就是 2 的倍数． 4．各个数位加起来能被 3 整除的数就是 3 的倍数．9 的道理和 3 一样． 5．最后两位数能被 4 整除的数是 4 的倍数． 6．最后一位是 5 或 0 的数是 5 的倍数． 7．最后 3 位数能被 8 整除的数是 8 的倍数． 8．奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被 11 整除的数是 11 的倍数．注 意：“0”可以被任何数整除． 【典例分析】 例：从 18 的约数中选 4 个数，组成一个比例是 1：2=3：6． 分析：先写出 18 的约数，然后根据比例的含义，写出两个比相等的式子即可． 解：18 的约数有：1，2，3，6，9，18； 1：2=3：6； 故答案为：1：2=3：6． 点评：此题解答方法是根据比例的意义或比例的基本性质进行解答，此题答案很 多种，写出其中的一种即可． 八．求几个数的最大公因数的方法 方法：1．分别分解各个数的质因数，然后比较出公共的质因数相乘． 2．用短除法，写短除算式，道理与第一种方法相似，只是找公共因数的过程与 除法过程合并了． 【典例分析】 例 1：如果 A 是 B 的 5 1 ，A 和 B 的最小公倍数是 B，它们的最大公因数是 A． 分析：如果两个数是倍数关系那么较小数是它们的最大公约数，较大数是它们的 最小公倍数，由题目条件可以得知：A 是 B 的 5 1 ，也就是 B 是 A 的 5 倍，由此可 以解决． 解：因为 A 和 B 是倍数关系，所以它们的最大公约数是较小的那个数 A，最小公 倍数是较大的那个数 B， 故答案为：B；A． 78 此题主要考查了求两个成倍数关系的数的最大公约数和最小公倍数的方法：两个 数是倍数关系那么较小数是它们的最大公约数，较大数是它们的最小公倍数． 例 2：甲=2×2×2×3，乙=2×2×3×5，甲、乙两数的最大公约数是 12，最小公 倍数 120． 分析：根据甲=2×2×2×3，乙=2×2×3×5，可知这两个数公有的质因数是 2、 2、3，公有质因数的乘积就是这两个数的最大公因数；除了公有质因数外，甲数 独有的质因数为 2，乙数独有的质因数为 5，那么公有质数与各自独有质因数的 连乘积就是这两个数的最小公倍数．据此进行解答． 解：甲=2×2×2×3； 乙=2×2×3×5； 甲和乙的最大公因数是：2×2×3=12； 甲和乙的最小公倍数是：2×2×3×2×5=120； 故答案为：12，120． 点评：此题主要考查求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法，公有质因数的 乘积就是这两个数的最大公因数；公有质因数与各自独有质因数的连乘积就是这 两个数的最小公倍数． 九．求几个数的最小公倍数的方法 方法：（1）分解质因数法：先把这几个数分解质因数，再把它们一切公有的质 因数和其中几个数公有的质因数以及每个数的独有的质因数全部连乘起来，所得 的积就是它们的最小公倍数． （2）公式法．由于两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的 积．即（a，b）×[a，b]=a×b．所以，求两个数的最小公倍数，就可以先求出它 们的最大公约数，然后用上述公式求出它们的最小公倍数． 【典例分析】 例 1：育才小学六（1）班同学做广播操，体育委员在前面领操，其他学生排成 每行 12 人或每行 16 人都正好是整行，这个班至少有学生 49 人． 分析：要求这个班至少有学生多少人，即求 12 与 16 的最小公倍数再加 1 即可， 根据求两个数的最小公倍数的方法：把 12 和 16 进行分解质因数，这两个数的公 有质因数与独有质因数的连乘积，由此解决问题即可． 79 解：12=2×2×3， 16=2×2×2×2， 则 12 和 16 的最小公倍数是：2×2×2×2×3=48， 48+1=49（人）； 答：这班至少有学生 49 人； 故答案为：49． 点评：此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个 数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答． 例 2：A 和 B 都是自然数，分解质因数 A=2×5×C；B=3×5×C．如果 A 和 B 的最 小公倍数是 60，那么 C=2． 分析：利用求最小公倍数的方法：几个数的公有因数与独有因数的连乘积；由此 可以解决问题． 解：分解质因数 A=2×5×C， B=3×5×C， 所以 2×3×5×C=60，则 C=2． 故答案为：2． 点评：此题考查了求几个数的最小公倍数的灵活应用． 80 同步测试 一．选择题（共 10 小题） 1．下面分数中，与 相等的是（ ） A． B． C． D． 2．一个数是 9 的倍数，这个数一定是（ ）的倍数． A．3 B．2 C．5 D．6 3． 的分子加上 10．要使分数的大小不变，分母应（ ） A．加上 24 B．乘 2 C．加上 10 D．除以 2 4．一个大于 0 的数除以真分数，商（ ）这个数． A．大于 B．小于 C．小于或等于 D．等于 5．两根绳子的长度都是 1 米，第一根剪去绳子的 ，第二根剪去 米，这时剩 下的绳子（ ） A．第一根长 B．第二根长 C．一样长 6．A 是合数，A 有（ ）个因数． A．2 B．3 C．至少 3 D．无数 7．a、b 都是非 0 自然数，a÷b＝8，a 和 b 的最大公因数是（ ） A．1 B．8 C．a D．b 8．若甲×0.95＝乙÷0.95（甲、乙均不等于 0），则（ ） A．甲＜乙 B．甲＞乙 C．甲＝乙 9．今年的学生人数比去年多 ，去年的学生人数相当于今年的（ ） A． B． C． D． 10．如果 A＝2×2×5，B＝2×3×5，那么 A 和 B 的最大公因数和最小公倍数分 别是（ ） A．2，30 B．10，60 C．6，90 二．填空题（共 10 小题） 11．40 以内 6 的倍数有 ，50 以内 9 的倍数有 ． 12．一个分数的分子与分母的和是 47，若分子加上 1，分数的值为 ，原分数是 81 13．在横线里填上“＞”、“＜”或“＝”． × × 14．自然数（0 除外）按因数的个数分，包括 、 和 ． 15．两个连续自然数的和是 13，它们的最小公倍数是 ． 16．2，3，4，5，6 的最小公倍数是 ． 17．把 m 的绳子平均分成 6 段，每段长 m，每段占全长的 ． 18．把下面一组中的两个分数通分． 和 用 5 和 3 的最小公倍数 作公分母． ＝ ， ＝ 19．一个最简真分数的分子与分母都是比 10 小的合数，这个分数最小是 20．男生人数比女生多 ，女生人数是男生的 ，男生人数占全班人数 的 ，女生人数比男生人数少全班人数的 ． 三．判断题（共 5 小题） 21．一个自然数（0 除外）的倍数的个数是无限的． （判断对错） 22．若甲的 等于乙的 ，则甲＞乙． （判断对错） 23．甲数比乙数多 ，则乙数比甲数少 ． （判断对错）[来源:学+科+网] 24．非 0 的自然数中，如果 a＝b+1，那么 a 和 b 的最小公倍数是 ab． （判 断对错） 25．分子、分母都是偶数的分数（0 除外），一定不是最简分数． ．（判 断对错） 四．计算题（共 1 小题） 26．用短除法求下列每组数的最大公因数和最小公倍数． 82 45 和 75 39 和 52 18 和 60 五．解答题（共 2 小题） 27．有 16 本故事书，平均分给 4 个小朋友，每本故事书是故事书总数的 ， 每人分得的故事书的数量是故事书总数的 ° 28．用分数表示下面各图的涂色部分． 六．应用题（共 4 小题） 29．小明把一块蛋糕平均切成 3 块，吃去其中一块；小华把一块同样大的蛋糕平 均切成 12 块，吃去其中 3 块．他们俩谁吃的多？ 30．如果两个杯子同样大，她俩谁喝的多？ 31．一根长 20 厘米的圆木，要把它锯成长度为整厘米数且同样长的小段，不能 有剩余，有几种锯法？ 32．五（1）班要选拔一名同学参加 校口算比赛在班级选拔时三人的成绩公布如 下． 姓名 平均答每题的时间 明明 分 莉莉 分 强强 分 83 84 参考答案与试题解析 一．选择题（共 10 小题） 1．【分析】可以根据分数的基本性质把这个分数的分子和分母同时扩大或缩小 相同的倍数（0 除外），然后找出与这个分数相等的分数． 【解答】解：A、 ＝ ， ＞ ； B、 ＝ ， ＞ ； C、 ＝ ， ＜ ； D、 ＝ ； 故选：D． 【点评】此题考查学生对分数基本性质的掌握情况． 2．【分析】因为 9 是 3 倍数，所以一个数是 9 的倍数，这个数一定是 3 的倍数．据 此判断． 【解答】解：因为 9 是 3 倍数，所以一个数是 9 的倍数，这个数一定是 3 的 倍数． 故选：A． 【点评】此题考查的目的是理解倍数的意义，掌握求一个数的倍数的方法． 3．【分析】根据分数的基本性质，分数的分子和分母都乘（或除以）相同的数 （0 除外），分数的大小不变．由此解答． 【解答】解： 的分子加上 10，分子增加了 2 倍，相当于把分子扩大了 3 倍； 要使分数的大小不变，分母也应该增加分母的 2 倍，即应加上 24． 答：要使分数的大小不变，分母应加上 24． 故选：A． 【点评】此题主要考查对分数基本性质的理解和应用． 4．【分析】在分数除法里，除数小于 1（0 除外），商大于被除数；除数等于 1， 商等于被除数；除数大于 1，商小于被除数，据此解答即可． 【解答】解：因为真分数＜1， 所以一个大于 0 的数除以一个真分数，商比被除数大． 故选：A． 85 【点评】此题考查在分数除法里，根据除数的大小，判断商与被除数的关系． 5．【分析】本题只要先求出第一根绳子的 是 多少米，即能进行比较．根据分 数的意义，1 米的 为 1× ＝ （米），即两根同样长的绳子剪去的同样长， 剩下的长度也一样． 【解答】解：第一根剪去 1× ＝ （米） 第二根剪去 米， 两根同样长的绳子剪去的同样长，剩下的长度也一样； 故选：C． 【点评】在本题中分数带单位表示实际的数量，不带单位表示占全部的几分 之几． 6．【分析】根据质数、合数的特征：在自然数中，除了 1 和它本身外，没有别 的因数的数为质数；除了 1 和它本身外，还有别的因数的数为合数，可得合 数 A 至少有 3 个因数，据此解答即可． 【解答】解：根据分析，可得：A 是合数，A 至少有 3 个因数． 故选：C． 【点评】此题主要考查了找一个数的因数的方法，要熟练掌握，解答此题的 关键是要明确：一个质数有且只有两个因数，一个合数至少有 3 个因数． 7．【分析】根据 a÷b＝8，可知 a 和 b 有因数和倍数关系；根据如果两个数有 因数和倍数关系，那么它们的最大公因数是较小数；据此解答． 【解答】解：因为 a÷b＝8， 所以 a 和 b 有因数和倍数关系，a 是较大数，b 是较小数， 因此 a 和 b 的最大公因数是 b． 故选：D． 【点评】此题主要考查求两个数为倍数关系时的最大公因数：两个数为倍数 关系，最大公因数为较小的数． 8．【分析】由题意知，甲数× ＝乙数× ，要比较甲乙两数的大小，可 比较两个分数的大小，根据“积一定的情况下，一个因数小则另一个因数就 大”来判断即可． 86 【解答】解：若甲×0.95＝乙÷0.95（甲、乙均不等于 0）， 即甲数× ＝乙数× ， 因为 ＜ ，所以甲数＞乙数； 故选：B． 【点评】解答此题要明确：积一定的情况下，一个因数小则另一个因数就大． 9．【分析】把去年的学生人数看成单位“1”，那么今年的学生人数就是去年的 （1+ ），把今年的学生人数看成单位“1”，那么去年的学生人数相当于 今年的人数相当于 1÷（1+ ），解答即可． 【解答】解：1+ ＝ 1÷ ＝ [来源:Zxxk.Com] 答：去年的学生人数相当于今年的 ． 故选：D． 【点评】解答此题的关键是找单位“1”，比单位“1”多就加，比单位“1” 少就减． 10．【分析】根据求两个数的最大公因数、最小公倍数的方法，把两个数分别分 解质因数，共有质因数的乘积是它们的最大公因数，公有质因数和各自独有 质因数的连乘积是它们的最小公倍数．据此解答． 【解答】解：如果 A＝2×2×5，B＝2×3×5 那么 A 和 B 的最大公因数是 2×5＝10 A 和 B 的最小公倍数是 2×5×2×3＝60 答：A 和 B 的最大公因数是 10，最小公倍数是 60． 故选：B． 【点评】此题考查的目的是理解掌握求两个数的最大公因数、最小公倍数的 方法及应用． 二．填空题（共 10 小题） 11．【分析】求一个数的倍数的方法用这个数分别乘以自然数：1，2，3，4，5…， 所得积就是这个数的倍数．由此解答． 87 【解答】解：40 以内 6 的倍数有：6，12，18，24，30，36； 50 以内 9 的倍数有：9，18，27，36，45． 故答案为：6，12，18，24，30，36；9，18，27，36，45． 【点评】此题考查的目的是使学生理解和掌握公倍数的意义，掌握求公倍数 的方法． 12．【分析】已知一个分数的分子与分母的和是 47，分子加上 1 后，现在发展 和分母的和是 47+1＝48，此时分数值为 ，即现在的分子是 48÷（1+2）＝ 16，原来的分子是 16﹣1＝15，那么原来的分母是 47﹣15＝32，据此解答． 【解答】解：47+1＝48 现在的分子是 48÷（1+2）＝16 原来的分子是 16﹣1＝15 那么原来的分母是 47﹣15＝32 则原来的分数是 ． 答：原来的分数是 ． 故答案为： ． 【点评】此题考查的目的是理解掌握分数的意义，分数基本性质及应用． 13．【分析】一个数（0 除外）除以 1，商等于这个数； 一个数（0 除外）除以小于 1 的数，商大于这个数； 一个数（0 除外）乘小于 1 的数，积小于这个数； 一个数（0 除外）乘大于 1 的数，积大于这个数； 据此解答． 【解答】解： ＝ ＞ × ＜ × ＞ 故答案为：＝，＞，＜，＞． 【点评】此题考查了不用计算判断因数与积之间大小关系、商与被除数之间 88 大小关系的方法． 14．【分析】一个自然数（0 除外），只有 1 个因数的数是 1，除了 1 和它本身 以外不含其它因数的数是质数；除了 1 和它本身外还含有其它因数的数是合 数；据此解答即可． 【解答】解：由分析知：自然数（0 除外）按它的因数的个数可以分为：质数、 合数和 1； 故答案为：质数，合数，1． 【点评】解答此题的关键：结合题意，并根据质数和合数的含义进行分析、 解答． 15．【分析】根据两个连续自然数的和是 13，两个连续自然数的差是 1，可运用： （和+差）÷2＝大数，（和﹣差）÷2＝小数，先求出这两个连续自然数分别 是 7 和 6，又因为 7 和 6 是互质数，再根据互质的两个数的乘积就是它们的最 小公倍数解答即可． 【解答】解：因为两个连续自然数的和是 13，差是 1， 所以较大数：（13+1）÷2＝7，较小数：（13﹣1）÷2＝6， 又因为 7 和 6 是互质数， 所以 7 和 6 的最小公倍数是：7×6＝42 故答案为：42． 【点评】此题主要考查和差问题，解答此题运用和差问题的基本关系式：（和 +差）÷2＝大数，（和﹣差）÷2＝小数；也考查了两个数为互质关系时的最 小公倍数的方法． 16．【分析】最小公倍数是共有质因数与独有质因数的连乘积，由此解决问题即 可． 【解答】解：4＝2×2 6＝2×3 所以 2，3，4，5，6 的最小公倍数是 2×3×2×5＝60； 故答案为：60． 【点评】考查了求几个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个 数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答． 89 17．【分析】把 m 的绳子平均分成 6 段，求每段长，用这根绳子的长度除以平 均分成的段数；把这根绳子的长度看作单位“1”，把它平均分成 6 段，每段 占全长的 ． 【解答】解： ÷6＝ （m） 1÷6＝ 答：每段长 m，每段占全长的 ． 故答案为： ， ． 【点评】解决此题关键是弄清求的是“分率”还是“具体的数量”，求分率： 平均分的是单位“1”；求具体的数量：平均分的是具体的数量，要注意：分 率不能带单位名称，而具体的数量要带单位名称． 18．【分析】5 和 3 是互质数，这两个数的最小公倍数是这个两个数的乘积 15， 即用 5 和 3 的最小公倍数 15 作公分母．根据分数的基本性质， 的分子、分 母都乘 3， 的分子、分母都乘 5． 【解答】解：5×3＝15 用 5 和 3 的最小公倍数 15 作公分母 ＝ ＝ ＝ ＝ ． 故答案为：15， ， ． 【点评】此题是考查分数的通分．通分时，首先确定几个分数的公分母，然 后再根据分数的基本性质，每个分数的分子、分母都乘一个适当的数，把这 几个分数化成相同分母的分数． 19．【分析】比 10 小的合数有 4、6、8、9，在这几个合数中，最大的数作分母， 最小的数作分子，这个分数最小，且是最简分数． 【解答】解：一个最简真分数的分子与分母都是比 10 小的合数，这个分数最 小是 ． 90 故答案为： ． 【点评】此题考查的知识点有：质数、合数的意义；最简分数的意义及分数 的大小比较． 20．【分析】把女生人数看作单位“1”，则男生人数就是（1+ ），即女生占 3 份，男生就是 4 分，全班人数为 5 份，女生人数是男生的 ； 用男 生份数除以全班份数即可得男生人数占全班人数的几分之几，即 4÷5＝ ； 女生人数比男生人数少全班的几分之几，是把全班人数看作单位“1”，是用 女生比男生少的人数除以全班人数，即（4﹣3）÷5，据此解答． 【解答】解：1+ ＝ 即女生占 3 份，男生就是 4 分，全班人数为 5 份． 女生人数是男生的：3÷4＝ 男生人数占全班人数的：4÷5＝ 女生人数比男生人数少全班人数的：（4﹣3）÷5＝ ． 故答案为： ， ， ． 【点评】此题考查的知识有比的意义、分数的意义．求一个数是另一个数的 几分之几，用这个数除以另一个数；求一个数比另一个数多（或少）几分之 几，用这两数之差除以另一个数． 三．判断题（共 5 小题） 21．【分析】根据倍数的含义和找一个数的倍数的方法，可得一个数（0 除外） 的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，据此解答即可． 【解答】解：因为一个数（0 除外）的倍数的个数是无限的，最小的是它本身， 所以题中说法正确．[来源:学§科§网] 故答案为：√． 【点评】此题主要考查了倍数的含义和找一个数的倍数的方法，要熟练掌握． 22．【分析】把甲数（或乙数）看作“1”，根据分数乘、除法的意义求出相对 应的乙数（或甲数），然后再把甲、乙两数进行比较，即可确定甲＞乙是否 91 对． 【解答】解：设甲数为“1” 则乙数为 1× ÷ ＝ [来源:Zxxk.Com] 1＜ 即若甲的 等于乙的 ，则甲＜乙 原题说法错误． 故答案为：×． 【点评】由题意，甲× ＝乙× ，在积一定时，一个因数大，另一个因数必 然小，此题也可通过直接比较 与 的大小即可确定甲、乙的大小． 23．【分析】根据“甲数比乙数多 ”知道是把乙数看做单位“1”，即甲数（1+ ）， 然后用两数的差 除以甲数，即可得出乙数比甲数少几分之几，然后比较即可 判断． 【解答】解： ÷（1+ ） ＝ ÷ ＝ 所以甲数比乙数多 ，则乙数比甲数少 的说法错误． 故答案为：×． 【点评】本题关键是分清楚两个单位“1”的不同，先找出一个单位“1”， 表示出两个数，再根据求一个数是另一个数几分之几的方法求解． 24．【分析】如果 a+1＝b（a、b 非 0 自然数），则说明这两个数是相邻的自然 数，如 5、6，那么这两个数互质，那么 a 和 b 的最大公因数是 1，最小公倍 数是它们的积． 【解答】解：如果 a+1＝b（a、b 是非 0 自然数），则 a 和 b 互质， 所以 a 和 b 的最小公倍数是 ab； 故答案为：√． 【点评】此题考查了两个数是相邻的自然数的最大公因数和最小公倍数，最 92 大公因数是 1，最小公倍数是它们的积． 25．【分析】根据最简分数的意义，最简分数的分子、分母只公因数 1，如果一 个分数的分子、分母都是偶数，两个偶数的公因数除 1 外，还有 2，这样就不 是最简分数了． 【解答】解：两个偶数的公因数除了 1 之外，一定还有 2 即分数的分子、分母除公因数 1 外，还有 2，这样的分数不是最简分数 即分子、分母都是偶数的分数（0 除外），一定不是最简分数 原题说法正确． 故答案为：√． 【点评】根据最简分数的意义及偶数的特征即可判定分子、分母都是偶数的 分数（0 除外），一定不是最简分数． 四．计算题（共 1 小题） 26．【分析】求两个数的最大公约数也就是这两个数的 公有质因数的连乘积， 最小公倍数是这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积，由此解决问题 即可 【解答】解：（1）45 和 75 45 和 75 的最大公因数是 3×5＝15， 45 和 75 的最小公倍数是 3×5×3×5＝225； （2）39 和 52 39 和 52 的最大公因数是 13， 39 和 52 的最小公倍数是 13×3×4＝156； （3）18 和 60 93 18 和 60 的最大公因数是 2×3＝6， 18 和 60 的最小公倍数是 2×3×3×10＝180． 【点评】此题主要考查求两个数的最大公约数与最小公倍数的方法：两个数 的公有质因数连乘积是最大公约数，两个数的公有质因数与每个数独有质因 数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答． 五．解答题（共 2 小题） 27．【分析】把这 16 本故事书看作单位“1”，每本是总本数的 ；把这些故 事书平均分成 4 份，每份是总本数的 ，每个有朋友分得 1 份，即每个人分得 总本数的 ． 【解答】解：1÷16＝ 1÷4＝ 答：每本故事书是故事书总数的 ，每人分得的故事书的数量是故事书总数 的 ． 故答案为： ， ． 【点评】此题是考查分数的意义．把单位“1”平均分成若干份，用分数表示， 分母是分成的份数，分子是要表示的份数． 28．【分析】（1）把一个圆的面积看作单位“1”，把它平均分成 8 份，每份是 它的 ，其中 3 份涂色，表示 ． （2）把这个由 10 个长方形组成的图形看作单位“1”，每长方形占这些长方 形的 ，其中 6 个长方形涂色，表示 ． 【解答】解： 【点评】此题是考查分数的意义．把单位“1”平均分成若干份，用分数表示， 94 分母是分成的份数，分子是要表示的份数． 六．应用题（共 4 小题） 29．【分析】把这块蛋糕的总量看作单位“1”，小明吃了这块蛋糕的 ，小华 吃了这块蛋糕的 ＝ ，从而依据分子相同的分数的大小比较的方法即可得 解． 【解答】解：小明吃了这块蛋糕的 ，小华吃了这块蛋糕的 ＝ ， 又因 ＞ 所以小明吃得多； 答：小明吃得多． 【点评】解答此题的关键是求出两人吃的蛋糕占总数的几分之几，问题即可 得解． 30．【分析】首先把 、 通分，然后根据：分母相同，分子大则分数大，判断 出两个分数的大小关系，即可推出她俩谁喝的多． 【解答】解： ＝ ， ＝ 因为 ＞ 所以 ＞ 所以小红喝的多． 答：小红喝的多． 【点评】此题主要考查了分数比较大小的方法的应用，要熟练掌握，解答此 题的关键是要明确同分母、同分子、异分母分数大小比较的方法． 31．【分析】首先找出 20 的所有因数，再根据哪两个因数相乘是 20，确定每段 是几厘米，锯成几段，据此解答即可． 【解答】解：20 的因数有：1、2、4、5、10、20； 20＝1×20；每段是 1 厘米，锯成 20 段； 20＝2×10，每段是 2 厘米，锯成 10 段；或每段是 10 厘米，锯成 2 段； 20＝4×5，每段是 4 厘米，锯成 5 段；或每段是 5 厘米，锯成 4 段； 答：一共有 5 种锯法． 95 【点评】此题主要考查了求一个数的因数的方法的应用． 32．【分析】根据题干，三人平均答题的时间越短，说明谁口算的能力越强，据 此先比较他们平均答每题的时间，再选出答题时间最短的那个选手即可解答 问题． 【解答】解：20、4、和 10 的最小公倍数是 20 ＝ 所以 即莉莉平均答每题用的时间最短，所以应该选莉莉参加校口算大赛比较合适． 【点评】此题主要考查了分数大小的比较方法，先通分，再比较． 期末复习专题讲义 第 6 单元：组合图形的面积 【知识点归纳】 方法： ①“割法”：观察图形，把图形进行分割成容易求得的图形，再进行相加减． ②“补法”：观察图形，给图形补上一部分，形成一个容易求得的图形，再进行相加减． ③“割补结合”：观察图形，把图形分割，再进行移补，形成一个容易求得的图形． 【典例分析】 例 1：求图中阴影部分的面积．（单位：厘米） 分析：根据图所示，可把组合图形分成一个直角梯形和一个 4 1 圆，阴影部分的面 96 积等于梯形的面积减去 4 1 圆的面积再加上 4 1 圆的面积减去三角形面积的差，列式 解答即可得到答案． 解：[（5+8+5）×5÷2- 4 1 ×3.14×52]+（ 4 1 ×3.14×52-5×5÷2）， =[18×5÷2-0.785×25]+（0.785×25-25÷2）， =[90÷2-19.625]+（19.625-12.5）， =[45-19.625]+7.125， =25.375+7.125， =32.5（平方厘米）； 答：阴影部分的面积为 32.5 平方厘米． 点评：此题主要考查的是梯形的面积公式（上底+下底）×高÷2、三角形的面积公式底× 高÷2 和圆的面积公式 S=πr2 的应用． 97 同步测试 一．选择题（共 10 小题） 1．已知长方形和正方形的面积相等，阴影部分 A 和 B 的面积不相等是（ ） A． B． C． D． 2．如图是一个直角梯形，图中阴影部分面积是 100 平方厘米，空白部分面积是（ ）平 方厘米． A．140 B．120 C．100 D．70 3．如图中阴影部分的面积是 60 平方厘米，空白部分的面积是（ ）平方厘米． A．12 B．30 C．60 D．无法判断 4．下面三个完全一样的直角梯形中，阴影部分的面积（ ） 98 A．甲最大 B．乙最大 C．丙最大 D．一样大 5．在图的平行四边形中，E、F 把 AB 边分成了相等的三段，平行四边形的面积是 48 平方 厘米，阴影三角形的面积是（ ） A．8 平方厘米 B．12 平方厘米 C．16 平方厘米 D．24 平方厘米 6．如图，平行四边形的面积是 24cm2，则阴影部分的面积是（ ） A．2cm2 B．4cm2 C．10cm2 D．12cm2 7．两个完全一样的正方形，如果 ① 号图形阴影部分的面积是 10 平方厘米，那么 ② 号图形 阴影部分的面积是（ ）平方厘米． A．30 B．25 C．20 D．10 8．下面两个是完全一样的平行四边形，涂色部分的面积（ ） A．甲大 B．乙大 C．一样大[来源:Z.xx.k.Com] 9．如图中，阴影部分面积与三角形（ ）的面积相等． A．BCD B．BFC C．BCE 10．比较下面两个图形，说法正确的是（ ） 99 A．甲、乙的面积相等，周长也相等 B．甲、乙的面积相等，但甲的周长长 C．甲、乙的周长相等，但乙的面积大 D．甲、乙的面积相等，它们周长不一定相等 二．填空题（共 8 小题） 11．如图（单位：dm），半圆是长方形内最大的半圆，则这个长方形的面积是 dm2． 12．如图的面积是 平方厘米． 13．如果用 1 厘米表示如图小方格的边长，那么阴影部分的面积是 平方厘米． 14．如图，平行四边形的面积是 20cm2，那么三角形的高是 cm，面积是 cm2． 15．图中四边形的面积是 平方厘米． 100 16．如图，阴影部分是面积是 平方厘米．（ π 取 3.14） 17．某 正方形园地是由边长为 1 的四个小正方形组成的，现要在园地上建一个花坛（阴影 部分）使花坛面积是园地面积的一半，以下图中设计不合要求的是 ． 18．如图是一块长方形 ABCD 的场地，长 AB＝102m，宽 AD＝51m，从 A、B 两处入口的中 路宽都为 1m，两小路汇合处路宽为 2m，其余部分种植草坪，则草坪面积为 ． （A）5050m2（B）4900m2（C）5000m2（D）4998m2 三．判断题（共 5 小题） 19．图中阴影部分的面积比半圆大． ．（判断对错） 20．如图所示，梯形的上底长等于下底长的一半，空白面积也等于阴影部分面积的一 半． （判断对错） 21．图中阴影部分的面积为 24cm2． （判断对错） 101 22．如图中阴影部分的面积是 14 平方厘米． （判断对错） 23．计算组合图形的面积时，可以把组合图形分成几个简单的图形，然后再进行计 算． ．（判断对错） 四．计算题（共 2 小题） 24．求阴影部分的面积．（单位：cm） 25．计算下面图形的面积． 五．解答题（共 3 小题） 26．下面是一个菜园的平面图，算一算这个菜园的面积是多少平方米． 27．如图，在平行四边形 ABCD 中，BC 长 10 厘米，直角三角形 BCE 的直角边 EC 长 8 厘 米，已知两块阴影部分的面积和比三角形 EFG 的面积大 10 平方厘米，求 CF 的长． 102 28．李大爷家有一块菜地．（形状如图，单位米） 长方形地里种的是圆白菜，右边的梯形地里种的是茄子．[来源:学_科_网] （1）每棵圆白菜占地 0.15 平方米，一共可以种几棵？ （2）茄子地一共有多少平方米？ 103 参考答案与试题解析 一．选择题（共 10 小题） 1．【分析】我们通过对每个选项给出的图形计算可知，A 选项中阴影部分 A 的面积等于正 方形的面积的 ，B 的面积等于长方形面积的 ，而长方形和正方形的面积相等；所以阴 影部分 A 和 B 的面积； 选项 B 阴影部分 A 和 B 的面积分别等于长方形的面积和正方形的面积减去空白的正方形 的面积，所以相等； 选项 C 阴影部分 A 等于长方形的面积减去大的空白部分长方形的面积，B 的面积得出正 方形减去空白部分小长方形的面积，所以不相等． 选项 D 阴影部分 A 和 B 的面积分别等于长方形的面积和正方形的面积减去空白的三角形 的面积，所以相等；据此解答． 解：A 选项中阴影部分 A 的面积等于正方形的面积的 ，B 的面积等于长方形面积的 ， 而长方形和正方形的面积相等；所以阴影部分 A 和 B 的面积； 选项 B 阴影部分 A 和 B 的面积分别等于长方形的面积和正方形的面积减去空白的正方形 的面积，所以相等； 选项 C 阴影部分 A 等于长方形的面积减去大的空白部分长方形的面积，B 的面积得出正 方形减去空白部分小长方形的面积，所以不相等． 选项 D 阴影部分 A 和 B 的面积分别等于长方形的面积和正方形的面积减去空白的三角形 的面积，所以相等； 故选：C． 【点评】本题考查了学生的观察能力，考查了学生灵活解决问题的能力． 2．【分析】空白三角形、阴影三角形，以及梯形的高相等，根据三角形的面积＝底×高÷2 可知，先用阴影三角形的面积乘上 2，再除以它的底 20 厘米，即可求出它的高，再用空 白三角形的底乘上高，再除以 2，即可求出空白部分的面积． 解：100÷20×2 ＝5×2 ＝10（厘米） 14×10÷2 ＝140÷2 104 ＝70（平方厘米） 答：空白部分的面积是 70 平方厘米． 故选：D． 【点评】本题考查了三角形的面积公式，三角形的面积＝底×高÷2，关键是得出两个三 角形的高相等． 3．【分析】先利用三角形的面积公式 S＝ah÷2 计算出三角形的高，也就等于知道了空白部 分的高，从而利用三角形的面积公式进行解答即可． 解：60×2÷20 ＝120÷20 ＝6（厘米） 10×6÷2＝30（平方厘米） 答：空白部分的面积是 30 平方厘米． 故选：B． 【点评】此题主要考查三角形的面积公式的灵活应用． 4．【分析】这几个直角梯形中，阴影部分总面积都是以梯形的下底为底，以梯形的高为高 的三角形的面积，由此即可判断它们面积的大小． 解：三图中，阴影部分总面积都是以梯形的下底为底，以梯形的高为高的三角形的面积， 因为三个梯形完全相同，由此可得：阴影部分的面积都相等． 故选：D． 【点评】此题主要考查等底等高的三角形面积都相等，据图即可以作出判断． 5．【分析】根据图得出阴影部分的三角形，与平行四边形的等高，底是平行四边形底的 ， 又三角形的面积是与它底等高平行四边形面积的一半，所以三角形的面积是平行四边形 面积的 × ＝ ，然后解答即可． 解：因为 E、F 把 AB 边分成了相等的三段， 所以阴影部分三角形的底是平行四边形底的 ， 所以三角形的面积是平行四边形面积的 × ＝ ， 阴影三角形的面积是 48× ＝8（平方厘米）． 105 答：阴影三角形的面积是 8 平方厘米． 故选：A． 【点评】本题关键理解以三角形的面积是与它底等高平行四边形面积的一半． 6．【分析】首先根据平行四边形的面积公式：s＝ah，那么 a＝s÷h，已知平行四边形的面 积和高求出平行四边形的底，然后用平行四边形的底减去 5 就是阴影部分三角形的底， 然后根据三角形的面积公式：s＝ah÷2，把数据代入公式解答． 解：24÷4＝6（厘米）， （6﹣5）×4÷2 ＝1×4÷2 ＝2（平方厘米）， 答：阴影部分的面积是 2 平方厘米． 故选：A． 【点评】此题主要考查平行四边形的面积公式、三角形的面积公式的灵活运用，关键是 熟记公式． 7．【分析】由正方形的特征可知，①号图中阴影部分的面积等于正方形面积的 ，因此正 方形的面积就等于图①中阴影部分面积的 4 倍，已知①号图形阴影部分的面积是 10 平方 厘米，用 10 乘上 4 即可得到正方形的面积；而②号图中阴影部分的面积是正方形面积的 ，因此再用正方形的面积乘上 即可得到②号图形阴影部分的面积，据此解答． 解：由分析知②号图形阴影部分的面积是： 10×4× ＝40× [来源:Z§xx§k.Com] ＝20（平方厘米）； 答：②号图形阴影部分的面积是 20 平方厘米． 故选：C． 【点评】解决本题的关键是明确各个图中阴影部分的面积和正方形的面积之间的数量关 系． 8．【分析】甲图中阴影部分的面积可以看作与平行四边形等底等高的三角形，三角形的 面 积是平行四边形的面积的一半，乙图中的阴影部分面积也可以看作与平行四边形等底等 106 高的三角形，三角形的面积是平行四边形的面积的一半，平行四边形又是完全一样，所 以阴影部分的三角形的面积也是一样据此判断． 解：甲图中阴影部分的面积和乙图中的阴影部分面积都可以看作与平行四边形等底等高 的三角形，平行四边形的面积一样，它们的面积也一样大． 故选：C． 【点评】此题主要考查等底等高的三角形面积相等及平行四边形的特点．据图即可以作 出判断． 9．【分析】三角形的面积 S＝ ah，只要是三角形的底和高相等，则它们的面积相等，据 此即可得解． 解：由图意可知： 图中 3 个三角形的底是相等的，要想面积与阴影部分的三角形面积相等，那么如果高与 阴影部分的三角形的高相等即可； 再根据平行线间的距离相等，所以△BCE 的面积与阴影部分的面积相等． 故选：C．[来源:Z,xx,k.Com] 【点评】解答此题的主要依据是：等底等高的三角形的面积相等． 10．【分析】由图形可知，甲的面积小于长方形面积的一半，乙的面积大于长方形面积的一 半，所以乙的面积大于甲的面积；因为甲的周长＝长方形的两条邻边的和+中间的曲线的 长，乙的周长＝长方形的两条邻边和+中间的曲线的长，进行解答继而得出结论． 解：因为甲的面积小于长方形面积的一半，乙的面积大于长方形面积的一半， 所以甲的面积小于乙的面积； 甲的周长＝长方形的两条邻边的和+中间的曲线的长， 乙的周长＝长方形的两条邻边的和+中间的曲线的长， 所以甲的周长等于乙的周长； 故选：C． 【点评】解答此题应根据长方形的特征，并结合周长的计算方法进行解答． 二．填空题（共 8 小题） 11．【分析】观察图形可知，长方形的长等于圆的直径是 8 分米，宽是半圆的半径是 8÷2 ＝4 分米，据此利用长方形的面积＝长×宽计算即可解答问题． 解：8÷2＝4（分米） 107 8×4＝32（平方分米） 答：这个长方形的面积是 32 平方分米． 故答案为：32． 【点评】掌握长方形内的半圆的特征得出长方形的长与宽的值，是解决本题的关键． 12． 【分析】根据图示，这个组合图形可以看作由一个梯形和一个长方形拼成的图形，利 用长方形和梯形面积公式求解即可． 解：如图： 该图形可看作一个梯形和一个长方形拼成的图形，其面积为： （12+16）×（10﹣5）÷2+16×5 ＝28×5÷2+80 ＝70+80 ＝150（平方厘米） 答：这个图形的面积为 150 平方厘米． 故答案为：150 平方厘米． 【点评】此题主要考查的是梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2、长方形面积公式： 长×宽的应用． 13．【分析】右边图形中阴影部分的面积＝最上面一行中的 2 个方格的面积+下面图形中的 长方形的面积﹣1 个方格的面积，据此即可求解． 解：2+4×5﹣1 ＝2+20﹣1 ＝21（平方厘米） 答：阴影部分的面积是 21 平方厘米． 故答案为：21． 【点评】解答此题的关键是：看利用小方格的边长计算简单还是利用小正方形的面积计 算简单，要灵活应对． 14．【分析】根据平行四边形的面积变形公式 h＝S÷a，可求平行四边形的高，根据三角形 面积公式 S＝ ah 可求三角形的面积；依此即可求解． 108 解：高：20÷5＝4（厘米） 三角形的面积： 3×4÷2 ＝12÷2 ＝6（平方厘米） 故答案为：4，6． 【点评】本题考查了学生求平行四边形、三角形面积的知识，关键是求出平行四边形的 高． 15．【分析】根据图意可把这个不规则的四边形，看作是 2 个直角三角形面积的和来进行解 答，然后再根据三角形的面积公式进行计算． 解：11×6÷2 ＝66÷2 ＝33（平方厘米） 答：这个四边形的面积是 33 平方厘米． 故答案为：33． 【点评】本题属于求组合图形面积的问题，这种类型的题目主要明确组合图形是由哪些 基本的图形构成的，然后看是求几种图形的面积和还是求面积差，然后根据面积公式解 答即可． 16．【分析】观察图示可知，阴影部分的面积＝梯形面积﹣圆面积的 ，代入数据，解答即 可． 解：（4+10）×4÷2﹣3.14×42× ＝28﹣12.56 ＝15.44（平方厘米） 答：阴影部分是面积是 15.44 平方厘米． 故答案为：15.44． 【点评】本题属于求组合图形面积的问题，这种类型的题目主要明确组合图形是由哪些 基本的图形构成的，然后看是求几种图形的面积和还是求面积差，然后根据面积公式解 答即可． 17．【分析】运用面积公式、割补法求阴影部分面积，再与题目的要求比较． 109 解：花坛面积为 4m2，一半为 2m2， A、阴影部分面积为 2×2÷2＝2（m2） B、阴影部分面积为 1×1+1×1÷2+1×2÷2＝2.5（m2）不符合要求； C、阴影部分面积为 1×1÷2×4＝2（m2） D、把图中上面两个扇形移下来，刚回拼成两个小正方形，面积为 2m2； 故答案为：B． 【点评】本题考查了阴影部分图形面积的计算方法，即规则图形用面积公式求，不规则 图形用割补法求解． 18．【分析】本题要看图解答．从图中可以看出剩余部分的草坪正好可以拼成一个长方形， 然后根据题意求出长和宽，最后可求出面积． 解：由图可知：矩形 ABCD 中去掉小路后，草坪正好可以拼成一个新的矩形，且它的长 为：（102﹣2）米，宽为（51﹣1）米． 所以草坪的面积 ＝长×宽 ＝（102﹣2）×（51﹣1） ＝100×50 ＝5000（米 2）． 故答案为：C． 【点评】此题考查了生活中的平移，根据图形得出草坪正好可以拼成一个长方形是解题 关键． 三．判断题（共 5 小题） 19．【分析】分别计算出阴影部分和半圆的面积，再判断． 解：设正方形的边长为 a，则： 阴影部分面积＝ π a2﹣ ＝ a2； 半圆的面积为： π × ═ a2； 所以阴影部分面积等于半圆的面积，原说法错误． 故答案为：错误． 【点评】解决本题的关键是计算出组合图形中相关部分的面积，再比较． 20．【分析】分别运用梯形的面积公式和三角形的面积公式进行列式比较就可做出判断． 110 解：设梯形的上底为 a，高为 h，则下底为 2a； 梯形的面积＝（a+2a）×h÷2＝3ah÷2＝ ah； 空白三角形的面积＝a×h÷2＝ ah； 则阴影部分的面积＝梯形的面积﹣空白三角形的面积＝ ah﹣ ah＝ah； 由此可以看出：空白面积等于阴影部分面积的一半． 故此题是正确的． 故答案为：√． 【点评】此题主要考查三角形和梯形的面积公式． 21．【分析】观察图形可知，可把右侧阴影部分割补到左侧对称的位置，如下图所示：会 发现阴影部分是一个上底为 4cm、下底为 8cm，高为 4cm 的梯形，利用梯形的面积公式 代入数据计算即可． 解：由分析知，阴影部分的面积等于上图所示梯形的面积， 梯形的上底为：8﹣8÷2 ＝8﹣4 ＝4（cm）， 高为：8÷2＝4（cm）， 所以面积为：（4+8）×4÷2 ＝12×4÷2 ＝48÷2 ＝24（cm2）； 答：图中阴影部分的面积为 24cm2． 所以题干说法正确． 故答案为：√． 【点评】本题考查了求组合图形的面积，组合图形的面积一般都是转化为规则图形的面 积的和或差，再利用规则图形的面积公式进行计算． 111 22．【分析】把这个图形分成三部分计算，上面是底 4 厘米、高 2 厘米的三角形，中间是上 底 2 厘米、下底 4 厘米、高 1 厘米的梯形，下面是长与宽分别是 3 厘米、2 厘米的长方形， 据此计算出它们的面积，再加起来即可判断． 解：4×2÷2+（2+4）×1÷2+2×3 ＝4+3+6 ＝13（平方厘米） 答：阴影部分的面积是 13 平方厘米． 故答案为：×． 【点评】此题考查了不规则图形的周长与面积的计算方法，一般都是转化到规则图形中 利用面积公式计算解答． 23．【分析】根据组合图形的面积的计算方法可知：计算组合图形的面积时，可以把组合图 形分成几个简单的图形，然后再利用规则图形的面积公式进行计算，据此即可判断． 解：计算组合图形的面积时，可以把组合图形分成几个简单的图形，然后再根据简单图 形的计算公式进行计算． 故答案为：√． 【点评】此题考查组合图形的面积的计算方法：关键是把组合图形的面积转化为我们学 过的图形的面积，再利用相应的面积公式与基本的数量关系解决问题． 四．计算题（共 2 小题） 24．【分析】（1）通过旋转平移把阴影部分转化为一个半圆，根据圆的面积公式：S＝πr2， 把数据代入公式解答． （2）阴影部分的面积等于圆的面积减去正方形的面积，根据圆的面积公式：S＝πr2，三 角形的面积公式：S＝ah÷2，把数据代入公式解答． 解：（1）3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝50.24÷2 ＝25.12（平方厘米）；[来源:Zxxk.Com] 答：阴影部分的面积是 25.12 平方厘米． （2）3.14×（10÷2）2﹣10×（10÷2）÷2×2 ＝3.14×25﹣10×5÷2×2 ＝78.5﹣50 112 ＝28.5（平方厘米）； 答：阴影部分的面积是 28.5 平方厘米． 【点评】解答求阴影部分的面积关键是观察分析图形是由哪几部分组成的，是各部分的 面积和、还是求各部分的面积差，再根据相应的面积公式解答． 25．【分析】组合图形的面积等于底为 35 米，高为 12 米的三角形面积加上底为 50 米，高 为 33 米的平行四边形的面积；根据三角形和梯形面积公式解答即可． 解：33×50+35×12÷2 ＝1650+210 ＝1860（平方米） 答：图形的面积是 1860 平方米． 【点评】本题属于求组合图形面积的问题，这种类型的题目主要明确组合图形是由哪些 基本的图形构成的，然后看是求几种图形的面积和还是求面积差，然后根据面积公式解 答即可． 五．解答题（共 3 小题） 26．【分析】本题可用长 80 米、宽 40 米的长方形面积减去边长 10 米的正方形面积求出菜 园的面积，长方形面积＝长×宽，正方形面积＝边长×边长． 解：80×40﹣10×10 ＝3200﹣100 ＝3100（平方米） 答：这个菜园的面积是 3100 平方米． 【点评】本题主要考查了学生利用长方形的面积公式解题的能力，找出正确的计算组合 图形的面积的方法是解题关键． 27．【分析】根据题意：如图，已知两块阴影部分的面积和比三角形 EFG 的面积大 10 平方 厘米， 则三角形 EFG 的面积+10 平方厘米+梯形 BCFG 的面积＝平行四边形 ABCD 的面积， 又因为三角形 EFG 的面积+梯形 BCFG 的面积＝三角形 BCF 的面积， 所以三角形 BCF 的面积+10 平方厘米＝平行四边形 ABCD 的面积； CF 是平行四边形的高，根据平行四边形的面积＝底×高，则高 CF＝平行四边形的面积 ÷底即可． 解：（10×8÷2+10）÷10 113 ＝（40+10）÷10 ＝50÷10 ＝5（厘米） 答：CF 长 5 厘米． 【点评】解决此题的关键用直角三角形的面积+10 平方厘米代替平行四边形的面积，根 据面积公式求出 CF． 28．【分析】（1）先利用长方形的面积公式 S＝ab 计算出圆白菜地的面积，再用它的面积 除以每棵圆白菜的占地面积，即可得解； （2）依据梯形的面积公式 S＝（a+b）×h÷2，代入数据即可求解． 解：（1）8×4.5÷0.15 ＝36÷0.15 ＝240（棵） 答：一共可以种 240 棵． （2）（4.8+10.5﹣4.5）×（8﹣2）÷2 ＝10.8×6÷2 ＝32.4（平方米） 答：茄子地一共有 32.4 平方米． 【点评】此题主要考查长方形和梯形的面积公式的灵活应用． 期末复习专题讲义 第 7 单元：可能性 【知识点归纳】 一．游戏规则的公平性 游戏规则的公平性体现在参与游戏的任何一方的获胜可能性大小一致． 【典例分析】 例 1：小华用下面的转盘设计了一个游戏：指到红色、甲胜；指到黄色，乙胜，这个游戏公 平吗？为什么？ 114 【分析】 看转盘的红色区域和黄色区域占整体的多少，再进行比较即可得出答案． 解：指针指向红色的可能性是 6 4 ，指针指向黄色的可能性是 6 2 ，所以甲胜的可能 性大， 这个游戏不公平． 【点评】 此题考查了游戏的公平性，如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相 同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的可能性= m n ，解决本题的关键是得 到相应的可能性，可能性相等就公平，否则就不公平．注意转盘应均等分． 二．简单事件发生的可能性求解 1．抛钢镚实验、掷骰子实验和转盘实验，能够列出简单实验的所有可能发生的结果，每个 结果发生的可能性都相等． 2．用列举法求简单事件发生的可能性，可以用数值表示及其表示方法． 【典例分析】 例 1：一个纸箱里放了 6 个红色乒乓球，4 个黄色乒乓球和 10 个白色乒乓球，从 中任意摸出一个球，摸到红球的可能性是     ，摸到黄球的可能性是     ． 【分析】求摸球的可能性用所求颜色球的个数除以球的总个数即可． 解：6÷（6+4+10） =6÷20 = 10 3 4÷（6+4+10） =4÷20 = 5 1 115 答：摸到红球的可能性是 10 3 ；摸到黄球的可能性是 5 1 ． 故答案为： 10 3 ； 5 1 ．[来源:学_科_网 Z_X_X_K] 【点评】本题主要考查可能性的求法，即求一个数是另一个数的几分之几用除法 解答． 116 同步测试 一．选择题（共 10 小题） 1．淘气、小红和笑笑准备玩跳棋，可是谁先走呢？他们准备利用转盘决定谁先走．下面选 项中可以公平决定的是（ ） A． B． C． 2．从写着数 1 至 8 的 8 张卡片中任选一张，乙猜对了乙赢，乙猜错了甲赢，用（ ）种 猜数方法公平． A．不是 2 的整数 B．小于 4 C．大于 6 的数 D．小于 5 的数 3．有⑥、⑦、⑧、⑨四张卡片，小明对小军说：“任意摸出一张，如果摸出的数是 2 的倍 数算我赢，如果摸出得数是 3 的倍数算你赢．”你觉得这样（ ） A．不公平 B．公平 C．碰运气，没有什么公平不公平 4．把 1、2、3、4、5、6、7、8、9 九张数字卡片打乱后反扣在桌上，从中任意抽出一张， 抽到单数算小红赢，抽到双数算小芳赢．这个游戏规则公平吗？ A．公平 B．不公平 5．只有一张新年晚会演出票，琳琳和丽丽用猜“石头、剪刀、布”的方法决定谁去观看， 这个方法对两个人是（ ）的． A．不公平 B．公平 C．无法确定 6．小明与小红在一个布袋里放了一些球，一起做摸球游戏．每人每次任意摸一个球，摸后 放回．约定摸到红球小明得 1 分，摸到黄球小红得 1 分，摸到蓝球两人都不得分．用下 117 面（ ）号放法是最公平的． A．1 红 3 蓝 2 黄 B．3 红 1 蓝 2 黄 C．2 红 1 蓝 2 黄 7．有红桃 2、3、4、5、6 和黑桃 2、3、4、5、6 各一张扑克混合在一起，任意抽一张，抽 到红桃的可能性（ ）抽到质数的可能性． A．＞ B．＝ C．＜ 8．用 这三张卡片任意组一个三位数，末尾有 0 的可能性是（ ） A． B． C． D． 9．一个口袋中装有红球 3 个、黄球 1 个（每次摸一个球再放回袋中），小明摸了三次摸到 的都是红球，那么第四次摸到黄球的可能性是（ ） A．100% B． C． 10．将标有 1、2、3、4、5 的五张同样的数字卡片放在一个口袋里，每次任意摸出一张，摸 后放回，下列哪种说法是正确的？（ ） A．摸到“3”的可能性是 B．摸到合数的可能性是 C．摸到大于 3 的可能性是 D．摸到质数的可能性是 二．填空题（共 6 小题） 11．聪聪和明明在玩游戏时，聪聪提出的规则是：“掷右边的小正方体，如果掷到 1 或 2 向上时聪聪胜，掷到 3 向上时明明胜．”这个规则公平吗？为什么？你的回答是 ． 12．盒子里有 10 个黄球和 6 个白球，再放入 个白球，才能使游戏更公平． 13．从标有 1、2、3、4、5 的五张数学卡片中任意摸一张，摸到奇数算小红赢，摸到偶数算 小军赢，小军赢的可能性占 ，你认为这个游戏规则 （填“公平”或“不 公平”） 118 14．明明和强强在一 个袋子里（如图）做摸球游戏，任意摸一个球，摸到黑球算明明赢， 摸到白球算强强赢， 赢得可能性大．使游戏规则变得公平可以 ． 15．把 8 张写着“数”或者“学”的卡片放在盒子里，随意摸出一张，如果摸出“数”的可 能性大，摸出“学”的可能性小．一共有 种不同的设计方案．请你在方框里填一 种设计方案． 16．盒子里有红、黄两种颜色的球，其中红球 5 个，黄球 3 个（这些球除颜色不同外，其他 性质完全相同），从盒子里任意摸出一个球，是黄球的可能性为 ． 三．判断题（共 5 小题） 17．一个口袋装有 3 个红球、5 个黄球、7 个白球．从中任意摸出一个球，是红球的可能性 是 ． （判断对错） 18．抛硬币时，出现正面和反面的可能是相同的，都是 ． ．（判断对错） 19．用 2、0、5 这三个数组成是 5 的倍数的两位数的可能性是 ． （判断对错） 20．小刚和小方用抛正方体骨子的方法决定游戏开始是公平的． （判断对错） 21．足球比赛中，班长用抛一枚硬币的方法决定谁先开球，由于硬币出现正面和反面的可能 性相等，所以这种方法是十分公平的． （判断对错） 四．应用题（共 3 小题） 22．思思和妙妙做摸球游戏，每次任意摸一个球，然后放回摇勾，每人摸 10 次摸到白球思 思得 1 分，摸到红球妙妙得 1 分，摸到其他颜色的球两人都不得分．你认为从哪几个盒 子里摸球是公平的？ 23．选出红桃和梅花扑克牌各 3 张（如图），反扣在桌面上．请你利用这 6 张扑克牌，设计 一个对双方都公平的游戏规则． 119 24．同学们进行摸球游戏，结果如右表，三个同学分别预测了下次摸球的情况． 美美说：“下次一定摸到蓝球．” 东东说：“下次不可能摸到白球．” 强强说：“下次摸到白球的可能性最小．” 你认为谁说得对？说说你的理由． 篮球 白球 黄球 次数 20 1 4 五．操作题（共 2 小题） 25．按格子给圆形转盘涂上不同的颜色（用红、黄等文字代替），使指针转动后停在红色区 域的可能性是 ，停在黄色区域的可能性是 ． 26．把 5 张数字卡片放入纸袋，随意摸出一张． ①要使摸出数字“3”的可能性最大，摸出数字“4”的可能性最小，卡片上可以是些什 么数？请你填一填 ②要使摸到的一定是数字“2”，卡片上可以是些什么数？请你 填一填． 六．解答题（共 2 小题） 27．按下面要求分别在两个转盘上涂不同的颜色． 120 （1）转动指针，指针停在红色区域的可能性是 ，停在黄色区域的可能性是 ； （2）转动指针，指针停在红色区域的可能性是 ，停在黄色区域的可能性是 ． 28．布袋里有 3 只黄球、6 只白球和 2 个红球．王民、周方二人做摸球游戏，从中任意摸一 个球，然后放回布袋，每人都摸 30 次．游戏规定：王民摸到黄球或红球都记 1 分，周方 摸到白球记 1 分，谁累计得分多谁赢． （1）周方摸出白球的次数大约占总次数的几分之几？ （2）你认为这个游戏规则公平吗？为什么？ 121 参考答案与试题解析 一．选择题（共 10 小题） 1．【分析】如果图中各种颜色的面积相同则指针停到任一颜色的可能性相同，游戏是公平 的，由此进行求解． 【解答】解： 是把圆平均分成了 3 份，每份的面积相同，是公平的． 故选：B． 【点评】解答此题应根据可能性的求法，根据三种颜色的面积大小情况判断即可． 2．【分析】看游戏是否公平，主要看双方是否具有均等的机会，如果机会是均等的，那就 公平，反之，则不公平． 【解答】解：A、不是 2 的整数，有 7 个，机会不均等，不公平； C、大于 6 的数有 7、8 两个，共 8 个数，机会不均等，不公平； D、小于 5 的数有 1、2、3、4 四个，共 8 个数，机会均等，公平； 故选：D． 【点评】对于这类题目，判断的标准就是双方获取的机会要是均等的，那就是公平的， 所以设计方案时一定要奔着公平的原则进行． 3．【分析】看游戏是否公平，主要看双方是否具有均等的机会，如果机会是均等的，那就 公平，否则，则不公平；据此进行分析判断． 【解答】解：在 6、7、8、9 这 4 张卡片中，其中 6 和 8 是 2 的倍数，占卡片总张数的 ； 其中 9 是 3 的倍数，占卡片总张数的 ； ，双方赢的机会不是均等的，所以说这个游戏不公平； 故选：A． 【点评】本题考查游戏公平性的判断，判断游戏规则是否公平，就要计算每个参与者取 胜的可能性，可能性相等就公平，否则就不公平；用到的知识点为：可能性＝所求情况 数与总情况数之比． 4．【分析】一共有 9 种可能，抽到单数的可能有 5 种；抽到双数的可能有 4 种，根据可能 122 性的求法：即求一个数是另一个数的几分之几，用除法解答或直接根据两种情况的数量 的多少就可进行比较． 【解答】解：根据题干分析可得，抽到单数的可能性是：5÷9＝ ， 抽到双数的可能性是：4÷9＝ ； ＞ ， 所以这个游戏规则不公平． 故选：B．[来源:学&科&网 Z&X&X&K] 【点评】解答此题应根据可能性的求法，进行解答或直接根据两种情况的数量的多少就 可进行比较即可． 5．【分析】根据题意要判断这个游戏是否公平，要看三种结果的概率是否相等． 【解答】解：因为玩石头、剪子、布，小明赢的可 能性是 ，小红赢的可能性也是 ， 平局的可能性也是 ； 所以该游戏公平． 故选：B． 【点评】本题用到的知识点是：概率＝所求情况数：总情况数，应结合题意，认真分析， 即可得出结论． 6．【分析】看游戏是否公平，主要看双方是否具有均等的机会，如果机会是均等的，那就 公平，否则，则不公平；据此逐项分析后，再确定放法是最公平的一项． 【解答】解：A、此种放法袋里共有 6 个球，其中 1 个红球，占总球个数的 ，也就是小 明得 1 分的可能性是 ；2 个黄球，占总球个数的 ，也即小红得 1 分的可能性是 ；因 为 ，所以这种放法不公平； B、此种放法袋里共有 6 个球，其中 3 个红球，占总球个数的 ，也就是小明得 1 分的可 能性是 ；2 个黄球，占总球个数的 ，也即小红得 1 分的可能性是 ；因为 ，所 以这种放法不公平； C、此种放法袋里共有 6 个球，其中 2 个红球，占总球个数的 ，也就是小明得 1 分的可 123 能性是 ；2 个黄球，占总球个数的 ，也即小红得 1 分的可能性是 ；因为 ＝ ，所 以这种放法最公平； 故选：C． 【点评】本题考查游戏公平性的判断，判断游戏规则是否公平，就要计算每个参与者取 胜的可能性，可能性相等就公平，否则就不公平；不用考虑不得分的情况，因为每一个 选项中两人摸到蓝球的可能性相等． 7．【分析】一共十张牌红桃黑桃各 5 张，抽到红桃的可能性是： ．2、3、4、5 各两张， 其中质数有 2 张 2、2 张 3、2 张 5，共 6 张．抽到质数的可能性是： ．按照分数大小 的比较方法比较两种的可能性大小即可． 【解答】解：抽到红桃的可能性是： ．抽到质数的可能性是： ． ． 故选：C． 【点评】解答此题应根据可能性的求法：即求一个数是另一个数的几分之几用除法解答， 进而得出结论． 8．【分析】用 0、5、3 三张卡片任意组成一个三位数有：350、305、503、530 共 4 个，其 中末尾有 0 的有 350、530 两个，根据可能性的求法：即求一个数是另一个数的几分之几 用除法解答即可． 【解答】解：组成一个三位数有：350、305、503、530 共 4 个，其中末尾有 0 的有 350、 530 两个， 2÷4＝ ； 答：末尾有 0 的可能性是 ．． 故选：C． 【点评】解答此题应根据可能性的求法：即求一个数是另一个数的几分之几用除法解答， 进而得出结论． 9．【分析】由题意可知，有红球 3 个、黄球 1 个，一共有 3+1＝4 个球，黄球占总球数的 1 ÷（3+1）＝ ，因为每次摸一个球再放回袋中，第四次摸到黄球的可能性与前三次一次 摸到黄球的可能性一样，即摸到的可能性是四分之一． 124 【解答】解：3+1＝4（个） 1÷4＝ 答：摸到黄球的可能性是 ． 故选：C． 【点评】对于这类题目，不要受第几次摸的影响，可以根据黄球占总球的几分之几，得 到摸到黄球的可能性是几分之几． 10．【分析】根据题意可知，一共有 5 个数，摸到每个数的可能性都是 ，合数有 1 个，摸 到合数的可能性是 ，有 2 个数大于 3，摸到大于 3 的可能性是 ，质数有 3 个，摸到质 数的可能性是 ，据此解答即可． 【解答】解：一共有 5 个数， A、摸到每个数的可能性都是 ，所以摸到“3”的可能性是 ，原题说法正确． B、合数有 1 个，摸到合数的可能性是 ，原题说法错误． C、有 2 个数大于 3，摸到大于 3 的可能性是 ；原题说法错误． D、质数有 3 个，摸到质数的可能性是 ．原题说法错误． 故选：A． 【点评】本题考查的是可能性的求法，根据求一个数是另一个数的几分之几用除法计算． 二．填空题（共 6 小题） 11．【分析】看游戏规则是否公平，主要看双方或多方是否具有均等的机会，如果机会是均 等的，那就公平，否则，则不公平；据此进行判断． 【解答】解：如图因为正方体这 6 个面，共有 3 个数字，其中“1”有 1 个面，“2”有 2 个面，“3”有 3 个面，如正方体任意向上掷，落下后，数是 1 或 2 的有 3 个面，数是 3 的有 3 个面，聪聪和明明获胜的机会都是一样的． 因此这个游戏规则是公平的； 故答案为：公平． 【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的 可能性，可能性相等就公平，否则就不公平． 12．【分析】要想使游戏更公平，必须满足摸到黄球和白球的机会相等，也就是要使两种球 125 的个数相等，所以要再放入 4 个白球． 【解答】解：6+4＝10， 10÷（10+10）＝ ， 摸到黄球的可能性为 ， （6+4）÷（10+10）＝ ， 摸到白球的可能性为 ， 所以游戏公平， 故答案为：4． 【点评】此题主要考查游戏规则的公平性，两种球摸到的可能性相等，游戏就公平． 13．【分析】因为在这五张数学卡片中，有 1、3、5 三张奇数，2、4 两位偶数，然后根据 求一个数是另一个数的几分之几，用除法解答，即可求出小军赢的可能性和小红赢的可 能性； 看游戏规则是否公平，主要看双方是否具有均等的机会，如果机会是均等的，那就公平， 否则，则不公平． 【解答】解：在这五张数学卡片中，有 1、3、5 三张奇数，2、4 两位偶数， 小军赢的可能性占：2÷5＝ ， 小红赢的可能性占：3÷5＝ ， 因为 ＞ ，所以小红赢的可能性大，所以本游戏规则不公平； 故答案为： ，不公平． 【点评】本题考查游戏公平性的判断，判断游戏规则是否公平，就要计算每个参与者取 胜的可能性，可能性相等就公平，否则就不公平；解决此题关键是看 1、2、3、4、5 中 奇数和偶数的个数是解题的关键． 14．【分析】袋子里有 4 个黑球，3 个白球，一共 7 个球，每次摸到黑球的可能性是 ，摸 到白球的可能性质是 ，摸到黑球的可能性大，因此，明明赢的可能性大；要使这个游 戏规则变得公平，黑、白球的个数必须相同，即拿出 1 个黑球或添上 1 个白球． 【解答】解：摸到黑球的可能性是 ，即明明赢的可能性是 ，摸到白球的可能性是 ， 126 即强强赢的可能性是 ， ＞ ，因此，明明赢得可能性大． 使游戏规则变得公平可以拿出 1 个黑球或添上 1 个白球． 故答案为：明明，拿出 1 个黑球或添上 1 个白球． 【点评】此题是考查游戏的公平性，关键是看双方出现的概率是否相同，相同规则公平， 不同规则不公平． 15．【分析】要使摸出“数”的可能性大，摸出“学”的可能性小，就要放写有“数”的卡 片尽可能多，最多可以放 7 个、最少放 5 个写着“数”的卡片；放写有“学”的卡片尽 可能少，可以最多放 3 个，最少放 1 个写着“学”的卡片，据此解答即可． 【解答】解：卡片上的数字可以这样填： 要使摸出写有“数”的可能性最大，可以放 7 张、6 张、5 张“数”， 要使摸出写有“学”的可能性最小，可以放 1 张、2 张、3 张“学”． 所以有 3 种不同的设计方案： 如图，其中的一种： 故答案为：3． 【点评】对于简单事件发生的可能性，这个数字越多出现的几率就越大，反之，就小． 16．【分析】本题考查的是简单事件发生的可能性．先找出试验的所有可能结果有几种（如 有 b 种可能），再找出所求事件发生的可能结果有几种（如有 a 种可能），那么该事件 发生的可能性就是 ． 【解答】解：从盒子里任意摸出一个球，所有可能的结果有（5+3 ）种，摸出是黄球的可 能结果有 3 种， 所以是黄球的可能性为 ＝ ． 故答案为： 【点评】本题考查了简单事件发生的可能性求解，即用可能性＝所求情况数÷总情况数 或求一个数是另一个数的几分之几用除法计算． 三．判断题（共 5 小题）[来源:Zxxk.Com] 17．【分析】求摸球的可能性用所求颜色球的个数除以球的总个数即可． 127 【解答】解：摸出红球的可能性是：3÷（3+5+7）＝3÷15＝ 故答案为：√． 【点评】本题主要考查可能性的求法，解答此题应根据可能性的求法：即求一个数是另 一个数的几分之几用除法解答，进而得出结论． 18．【分析】因为硬币只有正、反两面，出现正面和反面的可能性相等都是：1÷2＝ ；据 此解答． 【解答】解：由分析可知，抛硬币时，出现正面和反面的可能是相同的，都是 ； 故答案为：√． 【点评】解答此题应根据可能性的求法：即求一个数是另一个数的几分之几用除法解答， 进而得出结论．[来源:学*科*网] 19．【分析】从三个数字中任意抽出两个数字组成不同的两位数，当组成的数是 5 的倍数时， 这个两位数个位上的数字必须是 0 或 5，找出符合要求的数，再除以两位数的总个数即可． 【解答】解：用 2、0、5 这三个数组成两位数有 20，25，52，50 共 4 个， 是 5 的倍数的有 3 个， 所以用 2、0、5 这三个数组成是 5 的倍数的两位数的可能性是 ． 故答案为：×． 【点评】本题考查了简单事件发生的可能性，关键是得出当组成的数是 5 的倍数时，这 个两位数个位上的数字必须是 0 或 5． 20．【分析】因为骰子上数字是相同的，因此，游戏中，用抛骰子的方法决定谁先开球是公 平的；由此判断即可． 【解答】解：骰子上数字是相同的，因此，游戏中，用抛骰子的方法决定谁先开球是公 平的，所以本题说法正确； 故答案为：√． 【点评】本题是考查游戏的公平性，只有双方出现的概率相同，游戏就是公平的． 21．【分析】硬币每 个面朝上（或朝下）的可能性是相同的，因此，球赛中，用抛硬币的 方法决定谁先开球是公平的． 【解答】解：球赛中，用抛硬币的方法决定谁先开球是公平的，因为每个面朝上（或朝 下）的概率是相同的． 128 原题说法正确． 故答案为：√． 【点评】本题是考查游戏的公平性，只要双方出现的概率相同，游戏就是公平的． 四．应用题（共 3 小题） 22．【分析】根据题意，若要使游戏公平，则摸到红球和白球的可能性应该是一样的，也就 是红球和白球的数量应该是相等的．据此解答． 【解答】解：2＝2 因为第一个盒子中红球和白球的数量相等，所以从第一个盒子里摸球是公平的． 5＞4 所以第二个盒子中摸到红球和白球的可能性不相等，游戏不公平． 3＞0 所以第三个盒子中摸到白球和摸到红球的可能性不相等，游戏规则不公平． 3＝3 所以第四个盒子中的红球和白球个数相等，摸到的可能性也相等，游戏规则公平． 答：从第一个和第四个盒子中摸，游戏规则是公平的． 【点评】本题主要考查游戏规则的公平性，关键注意各色球的数量多少． 23．【分析】只要设计成摸到的可能性都相等即可：因为 2，3，4，5，6，7 的扑克牌各一 张，其中偶数点数有 2、4、6 三张，奇数有 3、5、7 三张，每次摸一张牌，是偶数的甲 赢，是奇数乙赢，可能性各占一半（50%）即可． 【解答】解：因为 2，3，4，5，6，7 的扑克牌各一张，其中偶数有 2、4、6 三张，奇数 有 3、5、7 三张， 所以设计为：每次摸一张牌，是偶数的甲赢，是奇数乙赢，可能性各占一半，对双方都 公平． 【点评】解答此题的关键：根据题意，设计成摸到的可能性一样大，是解答此题的关键 所在． 24．【分析】（1）美美说：“下次一定摸到蓝球．”，是不对的，可能是黄球、也可能是 白球或蓝球，因为这三种颜色的球都有； （2）东东说：“下次不可能摸到白球．”，说法错误，因为有白球，所以能摸到白球， 只是摸到白球的可能性小； （3）强强说：“下次摸到白球的可能性最小．”，说法正确；因为盒子中球的颜色有 3 129 种，黄球有 4 个，白球有 1 个，蓝球 20 个，20＞4＞1，所以摸到白球的可能性最小；由 此解答即可． 【解答】解：由分析知：美美说说法不对，可能是黄球、也可能是白球或蓝球，因为这 三种颜色的球都有； （2）东东说法错误，因为有白球，所以能摸到白球，只是摸到白球的可能性小； （3）强强说法正确；因为盒子中球的颜色有 3 种，黄球有 4 个，白球有 1 个，蓝球 20 个，20＞4＞1，所以摸到白球的可能性最小． 【点评】本题是考查从统计表中获取信息，不需要准确地计算可能性的大小时，可以根 据各种球个数的多少，直接判断可能性的大小． 五．操作题（共 2 小题） 25．【分析】“转动指针，使指针转动后停在红色区域的可能性是 ，停在黄色区域的可能 性是 ， ＝ ”；需要把转盘平均分成 10 份，红色区域占其中的 5 份，黄色区域占 其中的 4 份；据此涂色即可． 【解答】解：见下图： 【点评】此题主要考查可能性的大小，涂色区域面积占圆面积的几分之几，指针指到这 个区域的可能性就是几分之几． 26．【分析】①要使摸出数字“3”的可能性最大，摸出数字“4”的可能性最小，卡片可以 是 4 个 3，1 个 4． ②要使摸到的一定是数字“2”，卡片上一定都是2． 【解答】解： 【点评】本题考查的是可能性的运用，要使哪个数字出现的可能性大，哪个数字就要比 另一个数字多． 130 六．解答题（共 2 小题） 27．【分析】先根据可能性的求法，求出指针停在蓝色区域的可能性，进而根据求一个数的 几分之几是多少，用乘法解答得出结论． 【解答】解：（1）8× ＝2（份） 8× ＝3（份） （2）12× ＝4（份） 12× ＝3（份）[来源:学_科_网 Z_X_X_K] 【点评】此题主要考查可能性的大小，涂色区域面积占圆面积的几分之几，指针指到这 个区域的可能性就是几分之几． 28．【分析】（1）一共有 3+6+2＝11 个球，要求摸到白球的次数大约占总次数的百分之几， 也就是求摸到白球的可能性，根据可能性的求法：即求一个数是另一个数的几分之几用 除法解答即可． （2）因为盒子里放了 3 只黄球、6 只白球和 2 个红球，其中黄球或红球共有 3+2＝5 个， 白球有 6 个，摸到白球的可能性大，所以这个游戏不公平． 【解答】解：（1）6÷11＝ ≈54.55%； 答：周方摸出白球的次数大约占总次数的 54.55%． （2）这个游戏不公平：因为黄球或红球共有 3+2＝5 个，白球有 6 个，摸到白球的可能 性大． 【点评】此题考查了可能性的计算方法：即求一个数是另一个数的几分之几，用除法解 答． 131