五年级下册数学试题-奥数：第十一讲 分数、百分数应用题初步（解析版）全国通用

五年级下册数学试题-奥数：第十一讲 分数、百分数应用题初步（解析版）全国通用

第十一讲分数、百分数应用题初步教学说明：在课本上此章节应为小学六年级上半学期内容，也是整个小学的重难点，但各各学校的进度不一，有部分学校已经讲解过，在我们奥数的学习进度中也必须提前有所了解，所以教师在讲解时侧重于基础知识的理解应用提高，同时兼顾本班孩子的进度，进行适当补充，为我们以后的工程问题、经济浓度等问题打好基础！我们将“列方程解应用题”放在此讲之前，意在让学生多一种解决分数、百分数应用题的方法，增加他们的信心，但主体仍以算术方法为主，碰到个别例题教师可讲述方程思路.古希腊杰出的数学家丢番图的墓碑上有一段话：“他生命的六分之一是幸福的童年．再活十二分之一脸上长起了细细的胡须，他结了婚还没有孩子，又度过了七分之一．再过了五年，他幸福地得到了一个儿子．可这孩子光辉灿烂的寿命只有他父亲的一半．儿子死后，老人在悲痛中活了四年，也结束了尘世的生涯”．你能根据这段话推算出丢番图活了多少岁？多少岁结的婚吗？怎么样？你能根据大数学家丢番图的叙述找到答案么？呵呵！学习了今天的知识，你就可以在课后解决这个“数学趣题”了！好了，让我们开始今天的学习吧！内容概述在解有关分数的应用题时，首先要弄清以下几个基本问题：（1）如何求一个数的几分之几（或百分之几）？求一个数的几分之几，只需要将这个数乘以几分之几就得到．例如：5的24%是多少？解答：5×24%=1.2.（2）如何求一个数是另一个数的几分之几（或百分之几）？求一个数是另一个数的几分之几，只需要将前一个数除以后一个数就得到．例如：是的几分之几？解答：.（3）已知一个数的几分之几（或百分之几），如何求这个数？已知一个数的几分之几，要求这个数，只需要将这个几分之几的数除以几分之几．例如：一个数的等于18，那么这个数等于多少？解答：.分数应用题经常要涉及到两个或两个以上的量，我们往往把其中的一个量看作是标准量．也称为：单位“1”，例如a是b的几分之几，就把数b看作单位“1”．在几个量中，弄清哪一个是单位“1”很重要，否则容易出错误．而百分数应用题中所涉及的百分数，只是分母是100的分数，因而计算的方法和分数应用题是一样的，关键也是要找准单位“1”和对应的百分率，以及对应量三者的关系 类型Ⅰ：单位“1”不变【例1】（1）（首师附入学测试题）（难度系数：★★）小强看一本书，每天看15页，4天后加快进度，又看了全书的，还剩下30页，这本故事书有多少页？（2）（难度系数：★★）古希腊杰出的数学家丢番图的墓碑上有一段话：“他生命的六分之一是幸福的童年．再活十二分之一脸上长起了细细的胡须，他结了婚还没有孩子，又度过了七分之一．再过了五年，他幸福地得到了一个儿子．可这孩子光辉灿烂的寿命只有他父亲的一半．儿子死后，老人在悲痛中活了四年，也结束了尘世的生涯”．你能根据这段话推算出丢番图活了多少岁？多少岁结的婚吗？分析：在讲解此题之前可先给学生巩固一下概念，可参看附加1.（1）教师可先讲解下题：小强看一本故事书，每天看20页，5天后还剩下全书的没看，这本故事书有多少页？分析：（页）.回到原题：4天看了15×4=60（页），而60+30=90页占全书的：1-=，这本故事书有：90÷=150（页）.（2）活的岁数：(岁)，结婚年龄：（岁）.【例2】（难度系数：★★）甲、乙、丙三人共储蓄387元，甲比乙多存13元，丙是乙的75%，甲、乙、丙三人各存了多少元？分析：注意找关键字眼，确定单位“1”，把乙当作单位“1”，则（387-13）÷（1+1+75%）=136元，甲存了149元，丙存了102元.【例3】（难度系数：★★★）甲、乙、丙三人一起买了八个面包平分着吃，甲拿出五个面包的钱，乙付了三个面包的钱，丙没带钱，等吃完后一算，丙应该拿出四元钱，问：甲应收回多少钱?(以角为单位)分析：每人应付个面包的钱，丙拿出的40角就是个面包的钱，所以一个面包的价格应为：（角），甲多付的钱为：（角），所以甲应收回35角.【拓展】（难度系数：★★★）有男女同学325人，新学年男生增加25人，女生减少5％，总人数增加16人，那么现有男同学多少人？分析：男生增加25人，总人数只增加16人，说明女生减少9人，而女生减小5％，故9人对应的为5％，女生原人数为9÷5％=180人．【例4】（难度系数：★★★）好味多西饼屋推出一款新蛋糕，第一天卖出了全部的20%，第二天卖出了剩下的，第二天比第一天多卖出40个，那么好味多西饼屋这次共推出新蛋糕多少个？ 分析：好味多西饼屋推出新蛋糕个数看作“1”，（个）.【巩固】迎春农机厂计划生产一批插秧机，现已完成计划的56％，如果再生产5040台，总产量就超过计划产量的16％．那么，原计划生产插秧机台．分析：5400÷(1+16％一56％)=9000(台).【例1】（难度系数：★★★）某运输队运一批大米．第一天运走总数的多60袋，第二天运走总数的少60袋．还剩下220袋没有运走。这批大米原来一共有多少袋？分析：可画图帮助学生理解，(220-60+60)÷(1--)=400（袋）．此题也可使用倒推法解决.【例2】（难度系数：★★★）派出60名选手参加2008年“华罗庚金杯小学数学邀请赛”，其中女选手占．正式比赛时有几名女选手因故缺席，这样就使女选手人数变为参赛选手总数的．正式参赛的女选手有多少名？分析：因为女选手人数有变化，男选手人数未变，所以抓住男选手人数不变求解．把总人数视为“1”，男选手人数是60×(1-)=45(人)，男选手人数占正式参赛选手总数的1-，所以正式参赛选手总数是：45÷(1-)=55(人)，正式参赛的女选手人数是55×=10(人)．【例3】（难度系数：★★★）甲、乙两人星期天一起上街买东西，两人身上所带的钱共计是86元.在人民市场，甲买一双运动鞋花去了所带钱的，乙买一件衬衫花去了人民币16元．这样两人身上所剩的钱正好一样多．问甲、乙两人原先各带了多少钱?分析：把甲所带的钱视为单位“1”，那么甲原来带了（元），乙原来带了41元．【例4】（北大附中入学测试题）（难度系数：★★★★）有三堆棋子，每堆棋子数一样多，并且都只有黑、白两色棋子．第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多，第三堆里的黑子占全部黑子的，把这三堆棋子集中在一起，问白子占全部棋子的几分之几?分析：不妨认为第二堆全是黑子，第一堆全是白子，(即将第一堆黑子与第二堆白子互换)，第二堆黑子是全部棋子的，同时，又是黑子的1-．所以黑子占全部棋子的÷(1-)=，白子占全部棋子的 1-=.类型Ⅱ：单位“1”变化【例1】（1）（难度系数：★）某校男生比女生多，女生比男生少几分之几？（2）（十一中学入学考试题）（难度系数：★★）某工厂二月份比元月份增产10％，三月份比二月份减产10％．问三月份比元月份增产了还是减产了？分析：（1）男生比女生多，则男生有1+=，女生比男生少÷=.（2）一定会有同学认为三月份比元月份不增不减，这对吗？工厂二月份比元月份增产10％，我们就要将元月份产量看作1，将元月份产量看作1，则二月份产量为：，三月比二月减产10％，则三月份产量为：，所以三月份比元月份减产了.【例2】（难度系数：★★）—路铁水凝成铁块，其体积缩小了，那么这个铁块又熔化成铁水（不计损耗），其中体积增加了几分之几?分析：设铁水的体积为1，则铁块为1-=．现在变回来，那么铁块的体积就要变为单位1，则铁水的体积就为l÷=，故体积增加了：.【例3】（难度系数：★★★）小刚给王奶奶运蜂窝煤，第一次运了全部的，第二次运了50块，这时已运来的恰好是没运来的.问还有多少块蜂窝煤没有运来？分析：运完第一次后，还剩下没运，再运来50块后，已远来的恰好是没运来的，也就是说没运来的占全部的，所以，第二次运来的50块占全部的：，全部蜂窝煤有：（块），没运来的有：（块）.【例4】（难度系数：★★★★ ）王先生、李先生、赵先生、杨先生四个人比年龄，王先生的年龄是另外三人年龄和的，李先生的年龄是另外三人年龄和的，赵先生的年龄是其他三人年龄和的，杨先生26岁，你知道王先生多少岁吗?分析：要求王先生的年龄，必须先要求出其他三人的年龄各是多少。而题目中出现了三个“另外三人”所包含的对象并不同，即三个单位“1”是不同的，这就是我们所说的单位“l”不统一，因此，解答此题的关键便是抓不变量，统一单位“1”。题中四个人的年龄总和是不变的，如果我们以四个人的年龄总和为单位“1”，则单位“1”就统一了。那么王先生的年龄就是四人年龄和的，李先生的年龄就是四人年龄和的，赵先生的年龄就是四人年龄和的。(这些过程就是所谓的转化单位“1”。)则杨先生的年龄就是四人年龄和的。由此便可求出四人的年龄和：=120（岁），王先生的年龄为：120×=40(岁).在解答分数、百分数应用题时，经常会出现单位“1”不统一的情况，这时，就要采取转化的方法，先统一单位“1”，而且要保证量率大小不变，再按照量率对应关系来解答.【例1】（难度系数：★★★）一根木杆，第一次截去了全长的，第二次截去所剩木杆的，第三次截去所剩木杆的，第四次截去所剩木杆的，这时量得所剩木杆长为6厘米．问：木杆原来的长是多少厘米?分析：法1：设木杆原长为1，第一次截后所剩为原长的；第二次截后所剩为×(1一)=；第三次截后所剩为×(1一)=；第四次截后所剩为×(1一)=，即原长的等于6厘米，由部分求整体得：木杆原长=6÷=6×5=30(厘米)．法2:倒推法！注意单位“1”的不断变化.此法方便学生解答出类似下例的题目.【例2】（难度系数：★★★）A有若干本书，B借走一半加一本，剩下的书，C借走一半加两本，再剩下的书，D借走一半加3本，最后A还有2本书，问A原有多少本书．　分析：用倒推法解．C借走后还剩下（本），B借走后剩下（本），A原有书为. 附加题目【附1】（难度系数：★）六年级男生有50人，女生有40人，（1）女生人数是男生人数的几分之几？（2）男生人数比女生人数多百分之几？（3）女生人数比男生人数少百分之几？（4）女生比男生少的人数是全班人数的百分之几？分析：此题四个问题都是求一个数是另一个数的百分之几，解答的关键是找准单位“1”，要注意帮助学生找一些典型字眼如：“…的”、“…占…”、“…是…”、“…比…”等.（1）男生人数为单位“1”，40÷50=4/5；（2）女生人数为单位“1”，（50-40）÷40=25%；（3）男生人数为单位“1”，（50-40）÷50=20%；（4）全班人数为单位“1”，（50-40）÷（50+40）≈11.1%.【巩固】一个机关精简机构后有工作人员120人，比原来工作人员少40人，精简了百分之几？分析：“精简了百分之几”是在说“现在比原来少的人数是原来工作人员的百分之几”单位“1”就是“原来工作人数”，40÷（120+40）=25%.【附2】（难度系数：★★★）右图是一个园林的规划图，其中，正方形的是草地；圆的是竹林；竹林比草地多占地450平方米．问：水池占多少平方米?分析：把水池的面积作为1个单位，那么草地的面积便是3个单位，而竹林的面积是6个单位。从而竹林比草地多出的面积是（6-3=）3个单位。3个单位的面积是450平方米，可见1个单位的面积是450÷3=150（平方米）。【附3】（难度系数：★★★）村里种了新瓜，男女老少品尝它．小伙每人吃一个，姑娘两人分一瓜；老人一瓜三人吃，四个小孩吃一瓜．男女老少四个组，一共吃了五十瓜，各组人数都相等，每组多少人品尝瓜？分析：把各组人数都视为“1”，那么有：50÷(1+++)=24（人）.【附4】（小学数学奥林匹克初赛）（难度系数：★★★★）足球赛门票15元一张，降价后观众增加了一半，收入增加了五分之一，则一张门票降价多少元？分析：设原来收入是1．现在收入是1+，那么原收入有：，因此每张门票降价：15×(1-)=3(元)．【附5】（难度系数：★★★★★）六年级上学年男、女生共有300人，这一学年男生增加4％，女生增加，共增加了13人。这一学年六年级男、女生各有多少人? 分析：此题中由于男、女生增加的分率不同，所以我们用假设法来解答。假设这一学年六年级男、女生人数都增加4％，那么增加的人数应为300×4％=12(人)，这与实际增加的13人相差13-12=1(人)。相差1人的原因是把女生增加的看成4％计算了，即少算了原女生人数的-4％=1％，也就是说这1人正好相当于上学年女生人数的1％，由此，便可求出上学年女生的人数：(13-300×4％)÷(-4％)=100(人)，上学年男生的人数：300-100=200(人)，这学年女生的人数：100×(1+)=105(人)，这学年男生的人数：200×(1+4％)=208(人).【附6】（迎春杯刊赛）（难度系数：★★★★）小莉和小刚分别有一些玻璃球，如果小莉给小刚24个，则小莉的玻璃球比小刚少；如果小刚给小莉24个，则小刚的玻璃球比小莉少．小莉和小刚原来共有玻璃球多少个？分析：小莉给小刚24个时，小莉是小刚的(=1一)，即两人球数和的；小刚给小莉24个时，小莉是两人球数和的(=)，因此24+24是两人球数和的一=．从而，和是(24+24)÷=132(个)．【附7】（难度系数：★★★★）菜园里西红柿获得丰收，收下全部的时，装满3筐还多24千克，收完其余部分时，又刚好装满6筐，求共收西红柿多少千克？分析：法1：1-=是6筐，所以总筐数就是：（筐），收下全部的就是（筐），筐比3筐多筐，每筐是：24÷=40（千克），共收西红柿40×=384（千克）.法2：（千克）.【附8】（祖冲之杯数学邀请赛）（难度系数：★★★★）某班了次集会，请假人数是出席人数的，中途又有一人请假离开，这样一来，请假人数是出席人数的，那么，这个班共有多少人？分析：因为总人数未变，以总人数作为”1”．原来请假人数占总人数的，现在请假人数占总人数的，这个班共有：l÷(-)=50(人)． 【附9】（难度系数：★★★★★）有若干堆围棋子，每堆棋子数一样多，且每堆白子都占28%．小明从某一堆中拿走一半棋子，而且拿走的都是黑子．现在，在所有的棋子中，白子将占32％．那么，共有棋子堆．分析：设有x堆棋子，每堆有a个棋子．根据拿走黑子白子总数不变．列方程得ax·28%=(ax一a)·32%，化简得28ax=32a(x一)，两边同除以4a，得7x=8(x一)，去括号，得7x=8x一4，即8x一7x=4，所以x=4．练习十一1．一个水箱中的水是装满时的，用去200立升以后，剩余的水是装满时的，这个水箱的容积是多少立升？分析：200÷(-)=2400(立升)．2．小强看一本故事书，第一天看了全书的还多21页，第二天看了全书的少6页，还剩172页，这本故事书一共有多少页？分析：如右图，3．水果店卖出库存水果的五分之一后，又运进水果66000斤，这时库存水果比原来库存量多六分之一，原来库存水果多少万斤？分析：原来库存水果66000÷[1+-(1一)]=180000(斤)，即18万斤．4．六年级选出男生的和12名女生参加数学竞赛．剩下的男生人数是女生的2倍．已知六年级共有学生156人，其中男生有多少人?分析：把男生视为单位“1”，未参加比赛的女生是：，156-12=144（人）是男生和剩下的女生，所以男生有（人）.5．学校阅览室里有36名学生在看书，其中女生占，后来又有几名女生来看书，这时女生人数占所有看书人数的．问后来又有几名女生来看书? 分析：把总人数视为“1”，紧抓住男生人数不变进行解答.男生人数是，后来阅览室的总人数是，后来有38-36=2名女生进来.6．某校学生参加大扫除的人数是未参加大扫除人数的，后来又有20名同学参加大扫除，实际参加的人数是未参加人数的，这个学校有多少人？分析：（人）.7．小新有一盒巧克力饼干，他第一天吃掉了全部的的七分之一；第二天吃了余下的六分之一；第三天吃了余下的五分之一；第四天吃了余下的四分之一；第五天吃了余下的三分之一；第六天吃了余下的二分之一；这时还剩下12块巧克力饼干，那么共有多少块巧克力饼干？分析：巧克力饼干总数当作1．那么：(1一)×(1一)×(1一)×(1一)×(1一)×(1一)=，最后剩下的12块是总数的，那么共有84块巧克力饼干.8．小红看一本故事书，第一天看了这本书的一半又10页，第二天看了余下的一半又10页，第三天看了10页正好看完。这本故事书共有多少页？分析：利用倒推法解.第一天余下了，原有.课外知识你让工人为你工作七天，回报是一根金条。这个金条平分成相连的7段，你必须在每天结束的时候给他们一段金条。如果只许你两次把金条弄断，你如果给你的工人付费？答案：分成1、2、4份.