四年级上册数学冀教版知识要点

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一 升 和 毫 升 一、容量 1.意义。 容器中所能容纳液体的多少,就是容器 的容量。 如右图的锅能装水 2.5 L,我们就说这 个锅的容量是 2.5 L。 2.比较两个容器容量的大小。 方法一:把甲容器装满水,倒入乙容器,可 能出现三种结果: ①没有倒满,甲容器的容量小于乙容器的 容量; 甲 乙 ②正好倒满,甲容器的容量等于乙容器的容量; ③倒满后还有剩余,甲容器的容量大于乙容器的容量。 方法二:可以利用量筒或量杯测量。 观察量筒或量杯的刻度时,要将量筒或量杯平放在桌面 上,视线与量筒内液体的凹液面的最低处保持水平,再读出对 应的数。否则,读数会偏高或偏低。 二、升和毫升的认识 1.升和毫升的认识。 ①计量液体,如汽油、饮料、药水时,用升或毫升作单位。 ②计量较少的液体用毫升作单位,计量较多的液体用升 作单位。 2.用字母表示。 升用字母“L”表示,毫升用字母“mL”表示。 三、升与毫升的关系 1.升与毫升的大小关系。 升是比较大的容量单位,毫升是比较小的容量单位。 2.升与毫升的换算关系。 ①升与毫升之间的进率是 1000。 ②1升=1000毫升或 1 L=1000 mL 容器的大小决定容纳液体的多少,容 器越大,容纳的液体就越多。 温馨提示: 容器能盛的液体越多,它的容量就越 大;反之,容器能盛的液体越少,它的容量 就越小。 温馨提示: 量筒与量杯的区别:量筒的直径上下 相等,所以刻度均匀;量杯口径上粗下细, 所以刻度上密下疏。 易错点: 对容器容量的大小感知不准确,在选 择容量单位时出现错误。 例如: 判断:家用电热水器的容量是 30毫 升。 ( ) 正解:✕ 错因:家用电热水器的容量比较大,应 该用升作单位。 易错举例: 例:在 里填上“>” “<”或“=”。 800毫升 8升 错解:800毫升 8升 正解: 800毫升 8升 错因:比较时没有先统一单位,直接比 较两个数值,应该先统一单位,再比较。 第1页 二 三位数除以两位数 一、除以整十数 1.除以整十数的口算。 (1)除以整十数的口算题解题方法。 ①列表法:结合数据的特点,从最小数据开始,逐次列表求出正确答 案。 ②根据除法的意义,列除法算式计算。 (2)除以整十数的口算方法。 ①把被除数几百几十看作几十个十,除数整十数看作几个十,然后 利用口诀计算。 如 360÷40,把被除数 360看作 36个十,除数 40看作 4个十,然后根 据口诀“四九三十六”计算出 36÷4=9 。 ②根据乘除法的关系,用乘法计算除法。 如因为 40×9=360,所以 360÷40=9。 2.除以整十数的笔算。 (1)除数是整十数的笔算除法可以分为五步: ①确定商的位置; 例如: ②确定商几; ③把商和除数相乘,再用被除数减乘积; ④比较除数和余数的大小,余数一定要比除数小; ⑤把余数落下来。 (2)验算。 验算时根据“商×除数+余数=被除数”来验算,结果等于被除数,说明 计算正确,否则错误。 二、除以两位数 1.商是一位数。 (1)分类。 ①两、三位数除以两位数的笔算(试商); ②两、三位数除以两位数的笔算(调商); ③除数接近几十五的笔算除法。 除法的意义: 已知两个因数的积和其中 的一个因数,求另一个因数的 运算。或求一个数里面包含多 少个另一个数,用除法计算。 温馨提示: 除法是乘法的逆运算。 小窍门: 几百几十除以整十数,可 以把被除数与除数都去掉一个 0,变成两位数除以一位数,直接 根据口诀计算,结果不变。 易错举例: 易错点:写错商的位置。 例如: 640÷90=70……10 正解: 640÷90=7……10 错因:写错了商的位置,导 致商出现错误。 巧记: 一看;二试;三减;四比;五 落。 除法中的数量关系(有余数的 除法): 被除数÷除数=商……余 数 被除数=商×除数+余数 (验算) 第2页 (2)试商、调商方法。 ①两、三位数除以两位数的笔算试商方法: 当除数的个位上是 1、2、3、4时,可以把除数个位上的数舍去,把 它看作整十数来试商;当除数的个位上是 5、6、7、8、9时,可以把除数 个位上的数去掉,同时向前一位进一,把它看作整十数来试商。 ②两、三位数除以两位数的笔算调商方法: 把除数“四舍”来试商,由于除数变小了,试商容易偏大,要调小; 把除数“五入”来试商,由于除数变大了,试商容易偏小,要调大。 ③除数接近几十五的笔算试商方法:试商时可以根据四舍五入法看 作整十数来试商,也可以看作几十五来试商。 2.商是两位数。 (1)分类。 ①商的末尾不是 0; ②商的末尾是 0; ③商和被除数的末尾都是 0。 (2)算法说明。 ①商的末尾不是 0:如果除数比被除数的前两位小,商的位数比被除 数少一位,如果除数比被除数的前两位大,商的位数就比被除数少两位。 ②商的末尾是 0:当求出商的最高位以后,无论除到被除数的哪一 位,只要这一位不够商 1,都在这一位上商 0占位。 ③商和被除数末尾都是 0:先用被除数的前两位除以除数,如果被除数的 前两位能被除数整除,被除数的个位上的数字是 0,个位上的 0不用落下 来。 3.算法总结。 除数是两位数的除法的计算方法: (1)从被除数的最高位除起,先用被除数的前两位除以除数,如果它 比除数小,再用被除数的前三位除以除数; (2)除到被除数的哪一位,就把商写在那一位上面; (3)每次除后余下的数必须比除数小; (4)最后根据竖式补充完横式,注意要写余数。 三、商的变化规律 温馨提示: 把除数和被除数看作和它 最接近的整十数来试商。 试商歌: 一二丢,八九收; 四六当五来动手; 四舍商大减去一; 五入商小加一好; 同头无除商八九; 除数折半商四五。 易错点: 例如:用竖式计算 347÷38。 错解:347÷38=8……43 正解:347÷38=9……5 错因:试商时,商 8小了,需 要调商。 易错举例: 例如:用竖式计算 720÷36。 错解:720÷36=2 正解:720÷36=20 第3页 1.在除法算式中,除数不变,被除数乘(或除以)几(0除外),商也要乘 (或除以)几。 2.在除法算式中,被除数不变,除数乘(或除以)几(0除外),商反而要 除以(或乘)几。 3.在除法算式中,被除数和除数同时乘(或除以)相同的数(0除外), 商不变。这叫做商不变规律。 4.运用商不变规律简化竖式。 当被除数和除数末尾都有 0时,可以运用商不变规律简化竖式,在被 除数和除数末尾画掉相同个数的 0,按照画掉 0后的竖式进行计算。 四、笔算除法的验算方法 笔算除法的验算一定要用乘法,不可用除法验算。 用除数与商相乘,再加上余数,看是否等于被除数。 五、连除 1.连除的运算顺序:在没有括号的连除算式中,要按照从左往右的 顺序依次计算。 2.用连除解决实际问题。 ①理清题意,弄清先算什么,再算什么; ②列分步算式或综合算式求解。 错因:商的个位忘记用 0占 位。 小窍门: 被除数不变时,除数和商 是反向变化的,其余都是同向 变化的。 商不变规律的应用: 验算举例: 967÷24=40……7 验算: 第4页 三 解 决 问 题 一、简单的乘除混合运算的应用题 (没有括号) 1.乘除混合运算的运算顺序。 在没有小括号的乘除混合运算中,如果只有乘除法,要按照从 左往右的顺序依次计算。 2.简单的乘除混合运算的(归一问题)解题策略。 解决此类问题是根据已知条件,在解题时要先求出一份是多 少(归一),如单位时间的工作量、单位面积的产量、商品的单价、 单位时间内所行的路程等;再求出所要求的问题。 3.常用的关系式。 ①工作效率=工作总量÷工作时间. ②速度=路程÷时间 ③单价=总价÷数量 …… 二、稍复杂的乘除混合运算的应用题 (含有小括号) 1.连除的运算顺序。 按从左往右的顺序计算。 2. 连除与乘除混合运算。 连除算式可以转化成乘除混合运算——a÷b÷c=a÷(b×c)。 3.含有小括号的乘除混合运算的运算顺序。 在乘除混合运算中,如果有小括号,要先算小括号里面的。 4.分步算式改写成综合算式。 分步算式改写成综合算式,要分清运算顺序,如果需要改变运 算顺序,可以加上小括号。 三、“移多补少”和“等量代换”问题 1.移多补少。 (1)在甲、乙两者物品不相等的情况下,把物品数量多的拿出一 部分给物品少的,使两者物品数量相等,此类问题就是“移多补少” 问题。 (2)解法。 方法一:先求出两者物品总量的平均数,用数量多的减去平均 数,或者用平均数减去数量少的,就可得到答案。 方法二:先求出两者的物品数量之差,再用这个差除以 2即可。 2.等量代换。 (1)特点:问题中包含两个量,其中一个发生变化(一般是增减), 另一个量保持不变。 (2)解法:根据变化的量的增减情况,先求出这个量的值,再求出 另一个量的值。 易错举例: 例如:计算 600÷25×4。 错解: 600÷25×4 =600÷100 =6 正解: 600÷25×4 =24×4 =96 错因:在计算时看到 25×4能凑 成整百数,然后与 600相除,直接口算 出了结果而忽略运算顺序,导致出现 错误。 巧记: 归一问题的特点是在已知条件 中隐藏着一个固定不变的“单一量”, 常常用“照这样计算”“用同样的”等词 语来表达不变的量。 学一招: 计算乘除混合运算时,如果想要 改变运算顺序,就要加上小括号。 易错举例: 例如:小明有 21块巧克力,弟弟 只有 15块,要使两人的巧克力一样 多,小明要给弟弟多少块巧克力? 错解:21-15=6(块) 答:小明要给弟弟 6块巧克力。 正解: (21-15)÷2 =6÷2 =3(块) 答:小明要给弟弟 3块巧克力。 错因:本题错在把二人巧克力的 数量差当作最终结果,如果按照这个 结果,那么弟弟巧克力的数量就比小 明多了。 方法和策略: “等量代换”这一数学思想是基本 的数学思想之一,也是重要的数学思 想之一。掌握这一基本数学思想,学 会从不同的角度思考问题,从而解决 生活中的简单的实际问题。运用这一 数学思想解决问题的关键在于抓住 “变化的量”。 第5页 四 线 和 角 一、线段、直线、射线 1.线段。 (1)绷紧的弓弦、人行横道线都可以近似地看作线段。 (2)线段是直线的一部分,有两个端点,可以度量长度,不可延 长。 (3)线段的记法:可以用两个端点的大写字母来记,例如:线段 AB。 (4)画给定长度的线段:先点上一个点,把直尺上的 0刻度线 对准这个点,然后在直尺上找出给定数值的刻度,再点上一个点, 把这两点连接起来就得到了要画的线段。 2.直线。 (1)把一条线段向两端无限延伸,就得到一条直线。 (2)直线没有端点,(或者说“有 0个端点”),可以向两端无限延 伸,不可度量,是无限长的。 (3)记法:直线可以用上面的两点来记,例如:直线 AB,也可以 用一个小写字母来记,例如:直线 l。 3.射线。 (1)把线段向一个方向无限延伸就得到一条射线。 (2)射线是直线的一部分,只有一个端点,可以向一端无限延 伸,不可度量。 (3)记法:射线可以用端点和射线上的另一点来表示,例如:射 线 AB。 二、两点间的距离 1.两点之间的所有连线中,线段最短。 2.两点之间的线段的长度,叫做两点间的距离。 三、角 1.从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。 2.各部分名称:这一点叫做角的“顶点”,两条射线叫做角的两 条“边”。 线段和射线都是直线的一部分。 直线、射线与线段的区别: 直线和射线都可以无限延伸,线段 不能无限延伸,可以量出长度;线段有 两个端点,直线没有端点,射线只有一 个端点。 易错点: 误认为直线和射线都可以度量。 例如: 判断:画一条长 5厘米的直线。 ( ) 正解:✕ 错因:直线没有端点,能向两端无 限延伸,不可度量。 角的特点: ①有一个共同的顶点; ②有两条射线; ③这两条射线从这一个顶点引出。 角的大小与所画角的两边的长短 没有关系。角的大小要看两条边叉开 第6页 3.角的记法:角的符号用“∠”表示。例如: 记作:∠1 记作:∠2 读作:角 1 读作:角 2 4.记角时,不要把角的符号“∠”写成小于号“<”。 四、角的度量 1.角的度量工具是量角器。 2.角的计量单位是“度”,用符号“°”表示。把半圆分成 180 等份,每一份所对的角的大小是 1度,记作 1°。 3.量角的步骤: (1)量角器的中心点与角的顶点重合。 (2)量角器的其中一条 0°刻度线与角的一条边重合。 (3)角的另一条边所对应的量角器上的刻度就是这个角的 度数。 五、角的分类 1.直角:1直角=90° 2.锐角:小于 90°的角 3.钝角:大于 90°而小于 180° 4.角可以看作是由一条射线绕着它的端点,从一个位置旋 转到另一个位置所成的图形。 5.平角:一条射线绕它的端点旋转半周,形成的图形是平角。 1平角=180°。 6.周角:一条射线绕它的端点旋转一周,形成的图形是周角。 1周角=360°。 7.锐角、直角、钝角、平角和周角之间的关系: (1)锐角<直角<钝角<平角<周角 (2)1个平角=2个直角;1个周角=2个平角=4个直角。 的大小,叉开得越大,角越大。 易错点: 平角与直线混淆。 例如: 判断:平角就是一条直线。 ( ) 正解:✕ 错因:平角与直线是两个不同的概 念,不能混淆。 易错点: 把周角与射线混淆。 例如: 判断:周角就是一条射线。 ( ) 正解:✕ 错因:周角与射线是两个不同的概 念,不能混淆。 第7页 五 倍数和因数 一、自然数 1.自然数。 (1)自然数的意义:像 0、1、2、3、4、5、6、7、8……这些用来 表示物体个数的数,都是自然数。 (2)自然数可以用直线上的点来表示,如下图: 2.奇数、偶数。 (1)奇数:像 1、3、5、7、9、11、13、15……这些都是单数,单数 又叫做奇数。 (2)偶数:像 2、4、6、8、10、12、14、16……这些都是双数,双 数又叫做偶数。 0也是偶数。 二、倍数 1.倍数。 (1)倍数的意义。 两个自然数能够整除,我们就说被除数是除数的倍数。 例如:36÷9=4 我们就说 36是 4和 9的倍数。 (2)0的特殊性。 在自然数中,0除以任何一个非 0自然数都得 0,所以 0是任何一个 非 0自然数的倍数。 (3)特征。 一个数的倍数的个数是无限的。其中最小的倍数是它本身,没有 最大的倍数。 (4)求一个数的倍数的方法。 可以用这个数分别与 1、2、3、4……相乘,所得的数就是这个数 的倍数。 2. 2、3、5的倍数特征。 (1)2的倍数特征:个位上是 0、2、4、6或 8。 如 36、48,因为 36 的个位是“6”,所以 36是 2的倍数;因为 48的个位是“8”,所以 48是 2的 倍数。 (2)5的倍数特征:个位上是 0或 5的数,都是 5的倍数。 如 135,因为 135的个位是“5”,所以 135是 5的倍数。 (3)3的倍数特征:一个数各数位上的数的和是 3的倍数,这个数 一定是 3的倍数。 如 102,因为 1+0+2=3,3÷3=1,所以 102是 3的倍数。 (4) 既是 2的倍数,又是 5的倍数的特征:个位上是 0的数,既是 2 的倍数,又是 5的倍数。 三、因数 1.因数。 小知识: 最小的自然数是 0,没有最大 的自然数。 小发现: 用直线上的点表示自然数, 右边的总比左边的大。 温馨提示: 最小的奇数是 1,最小的偶数 是 0。 特别提示: 倍数不是单独存在的,不能 单独说某个数是倍数,只能说某 数是某数的倍数。 温馨提示: 在研究因数和倍数时,我们 所说的数,一般是指不包括 0的 自然数,也就是说在非 0自然数 的范围内探索因数和倍数。 易错点: 误认为个位上的数字是 3的 倍数的数是 3的倍数。 例如: 判断:个位上是 3、6、9的数 是 3的倍数。 ( ) 正解:✕ 错因:误认为个位上的数是 3 的倍数的数是 3的倍数。 小贴士: 一个非 0自然数,既是它本 身的倍数,又是它本身的因数。 易错举例: 第8页 (1)意义。 如 1、2、3、4、6、12这些数都是 12的因数。 (2)特征。 一个数的因数的个数是有限的。其中最小的因数是 1,最大的因数 是它本身。 (3)求一个数的因数的方法。 利用积与因数的关系一对一对地找,从最小的自然数找起,一直找 到它本身。 2.质数和合数。 (1)非 0自然数按因数个数的多少可分为质数和合数。 质数:只有 1和它本身两个因数的数叫做质数。1:1既不是质数,也不是合数。 合数:除了 1和它本身外,还有其他的因数的数叫做合数。 (2)100以内的质数有 25个,它们是 2、3、5、7、11、13、17、19、 23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、 89、97。 (3)质因数、分解质因数。 ①质因数:每个合数都可以写成几个质数相乘的形式,其中每个质 数叫做这个合数的质因数。 ②分解质因数:把一个数用质数相乘的形式表示出来,叫做分解质 因数。 ③分解质因数的方法。 方法一:用塔式图分解质因数。例如: 48=2×3×2×2×2 方法二:通常采用短除法分解质因数。 例如:把 42分解质因数。 42=2×3×7 易错点:把质数与奇数、合 数、偶数混淆。 例如: 判断:质数都是奇数,偶数都 是合数。 ( ) 正解:✕ 错因:奇数与偶数的区分标 准是看这个数是不是 2的倍数, 而质数与合数的区分标准是看 这个数因数的个数,两者不可混 淆。如 2是质数,但不是奇数,9是 合数,但不是偶数。 特别提示: 最小的质数是 2,最小的合数 是 4,没有最大的质数、合数。 易错举例: 错例:自然数可以分为质数 与合数。 ( ) 正解:✕ 错因:这种分类方法漏掉了 1,1既不是质数,也不是合数。 温馨提示: 用短除法分解质因数,要保 证每一步的除数必须是质数,最 后得出的商也是质数。 第9页 六 认识更大的数 一、计算器 1.认识常用的计算器。 计算器的构造: 一般由两部分构成:显示屏和键盘。 2.常用键功能介绍。 ON/CE——开关、清屏键,按下该键开机,使用过程中按下该键, 清除屏幕显示内容。 CE——清除键,仅消去当前显示的数据。 0 1 2……——数字键。 ‐ × ÷ ——运算符号与等号键。 3.计算方法。 用计算器计算时,先开机,再按数字键输入第一个数,接着按相 应的运算符号键,接着输入第二个数,最后按等号键,结果就会显示 在屏幕上。 4.用计算器探索规律。 (1)角谷猜想。 角谷猜想又称为 3n+1猜想,是指对于每一个自然数,如果它是 单数,则对它乘 3再加 1;如果它是双数,则对它除以 2,如此循环,最 终都能够得到 1。 (2)有趣的数字陷阱。 任意取三个互不相同的数字,组成一个最大的三位数和一个 最小的三位数;用最大数减去最小数,得到一个新的三位数;用新三 位数中各个数位上的数字,组成一个最大三位数和一个最小三位 数,重复上面的运算,结果总是 495。 (3)探索其他规律。 例如:计算 66666×66667。 思路分析:这道题计算很复杂,我们可以把问题简单化,从简单 类似题型算起,找出规律,再根据规律推出复杂计算的结果。通过计 算发现:6×7=42,66×67=4422,666×667=444222 …… 由此得出结论:全部含 6的因数中有几个 6,积就是由几个 4和 小贴士: 计算器体积小,便于携带,计算 迅速、准确。 易错点: 把关机键与清除键混淆。 例如: 判断:计算器的清除键是 OFF。 ( ) 正解:✕ 错因:本题错在对关机键的功能 了解不够准确,关机键的功能是关闭 计算机。 温馨提示: 借助计算器来探索一些计算规 律,通过计算规律可以不用计算直接 得出结果。 易错举例: 计算:3000-128×6= 错解:3000-128×6=17232 正解:3000-128×6=2232 错因:本题错在用计算器计算 时,是按从左到右的顺序依次输入数 据和运算符号的,弄错了运算顺序。 第10页 2组成的。所以 66666×66667=4444422222。 二、亿以内的数 1.数位顺序表。 (1)初步认识数位顺序表。 把数位按从右到左、从低到高的顺序排列起来,就制成了数位 表。如下表: 万级 个级 … 8 0 6 3 5 9 8 (2)在数位表中,从个位起向左数,每四位一级,分别是万级、个 级。 (3)结合数位表认识亿以内的数。 如上表中,万位上的数字是“6”,表示 6万,十位上的数字是“9”, 表示九十。 2.亿以内数的写法。 (1)写数时,从高位起,一级一级地往下写,即先写万级,再写个 级。 (2)哪个数位上一个计数单位也没有,就在那个数位上写 0占 位。 3.亿以内数的读法。 (1)读数时,按照数位顺序表分级,先读万级,再读个级。 (2)读万级上的数时,要按照个级上的数的读法来读,再在后面 加一个“万”字;读个级上的数时,直接读即可。 (3)每级末尾不管有几个 0,都不读,其他数位上有一个 0或者 连续几个 0,都只读一个零。 4.把整万的数改写成以“万”为单位的数。 (1)整万的数的写法:先写出万级上的数,再在后面写上 4个 0。 (2)把整万的数改写成以“万”为单位的数:将万位后面的 4个 0 去掉,添上“万”字即可。 例如:把 4500000改写成以“万”为单位的数。 先分级 450┋0000,再去掉个级的 0,加上“万”字,即 450万。 5.改写成以“万”为单位的近似数。 (1)把一个精确数改写成近似数,一般用四舍五入法。 (2)用四舍五入法把一个数改写成以“万”为单位的近似数,要看 万位后面千位上的数字是大于或等于 5,还是小于 5。 ①如果千位上的数字大于 5或等于 5,就把万位后面的数全部 特别提示: 在一个多位数中,相同的数字所 在的数位不同,表示的意义也不相 同。 易错举例: 例如:二万三千六百五十写 作:( ) 错解:20000300060050 正解:23650 错因:没有理解亿以内数的写 法,错误的将一个数字割裂开来写。 温馨提示: 读数时一定要写汉字,不能写阿 拉伯数字。如 97000000读作:九千七 百万,而不是 9千 7百万。 第11页 舍去,并向前一位进 1,在后面加上一个“万”字。 ②如果千位上的数字小于 5,就直接把万位后面的数全部舍 去,在后面加上一个“万”字。 例如:把 12345678改写成以“万”为单位的近似数。 思路分析:12345678千位上的数字是 5,根据四舍五入法,把万 位后面的尾数去掉,并向万位进一,然后再添上“万”字。 解:12345678≈1235万 三、亿以上的数 1.进一步认识数位顺序表。 数级 … 亿级 万级 个级 数位 … 计数 单位 … 千 亿 百 亿 十 亿 亿 千 万 百 万 十 万 万 千 百 十 个 (一) (1)每四位一级,第九位是亿位。 (2)计数单位和数位。 一(个)、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿、十亿、 百亿……都是计数单位。它们所占的位置叫做数位。 (3)十进制计数法:每相邻两个计数单位间的进率都是 10。这 种计数方法叫做十进制计数法。 2.亿以上数的读法。 (1)读数时,按照数位顺序表分级,先读亿级,再读万级,最后读 个级。 (2)读亿级上的数时,先按照个级上的数的读法来读,再在后面 加一个“亿”字;读万级上的数时,要按照个级上的数的读法来读,再 在后面加一个“万”字;读个级上的数时,直接读即可。 (3)每级末尾不管有几个 0,都不读,其他数位上有一个 0或者 连续几个 0,都只读一个零。 3.亿以上数的写法。 (1)写数时,从高位起,一级一级地往下写,先写亿级,再写万级, 最后写个级。 (2)哪个数位上一个计数单位也没有,就在那个数位上写 0占 位。 4.把以“亿”为单位的数改写成以“万”或“个”为单位的数。 (1)把以“亿”为单位的数改写成以“万”为单位的数,只需在以“亿” 小贴士: 与实际完全符合的数叫精确数; 与实际非常接近的数叫近似数。 易错举例: 判断:37□398≈38万,□里只能 填 5。 ( ) 正解:✕ 错因:此题错在对四舍五入法理 解错误。37□398≈38万,说明□里 的数字大于或等于 5,□里可以填 5、 6、7、8或 9。 小贴士: 计数单位与数位的区别:计数单 位是指计算物体个数的单位;数位是 指一个数中每个数字所占的位置。 易错举例: 判断:两个计数单位之间的进率 都是 10。 ( ) 正解:✕ 错因:误认为计数单位之间的进 率都是 10,这是不对的,一定要注意 “相邻”二字。 易错举例: 易错点:读数时,读完亿级与万 级的数,忘记加“亿”字或“万”字。 例如:读出下面各数。 478000000 7890000 错解: 478000000读作:四亿七千八百 7890000读作:七百八十九 正解: 第12页 为单位的数的后面加上 4个 0,然后把“亿”字改写成“万”字。 (2)把以“亿”为单位的数改写成以“个”为单位的数,只需在以“亿” 为单位的数后面加上 8个 0,然后把“亿”字去掉。 5.改成以“亿”为单位的近似数。 (1)把一个精确数改写成近似数,一般用四舍五入法。 (2)用四舍五入法把一个数改写成以“亿”为单位的近似数,要看 亿位后面千万位上的数字是大于或等于 5,还是小于 5。 ①如果千万位上的数字大于或等于 5,就把亿位后面的数全部 舍去,并向前一位进 1,在后面加上一个“亿”字。 ②如果千万位上的数字小于 5,就直接把亿位后面的数全部舍 去,在后面加上一个“亿”字。 例如:把 1234567890改写成以“亿”为单位的近似数。 思路分析:1234567890千万位上的数字是 3,先根据四舍五入 法,把亿位后面的尾数直接去掉,再添上“亿”字。 解:1234567890≈12亿 6.感受 1亿有多大。 (1)1亿写作:100000000 (2)如果每秒数一个数,一直不停地数,从 1数到 1亿需要三年 零两个多月。 (3)一万张复印纸摞起来大约有 90厘米高,把 1亿张复印纸摞 起来有 9000米高,比珠穆朗玛峰还高! 7.编学籍号。 (1)给学生编号可以按入学年份、班级、学号、性别的顺序依 次排列。 (2)可以按照编学籍号的方法给其他事物编号。 478000000读作:四亿七千八百 万 7890000读作:七百八十九万 易错点: 只有整亿的数改写成以“亿”为单 位的数时,才可以用“=”连接,而非整亿 的数改写后是一个近似数,要用“≈” 连接。 小窍门: 写亿以上数时,除了亿级外,万 级和个级都要保证有四位数。 第13页 七 垂线和平行线 一、垂线 1.垂线。 两条直线相交成直角时,这两条直线互相垂直。 其中一条直线叫做另一条直线的垂线,这两条直线 的交点叫做垂足。(如图) 2.点到直线的距离。 从直线外一点到这条直线所画垂直线段的长度,叫做这点到直线的距 离。 3.画垂线的方法。 (1)过直线上一点画直线的垂线的方法。 把三角板的一条直角边与直线重合; 三角板上的直角顶点与直线上 的点重合;从直线上的点起,沿另一条直角边画一条直线。 (2)过直线外一点画直线的垂线的方法。 把三角板的一条直角边与直线重合;沿直线移动三角板,使三角板另 一条直角边过直线外一点;从直角的顶点起,沿另一条直角边画一条直线。 4.长方形和正方形的画法。 例如:怎样画出一条长是 3厘米、宽是 2厘米的长方形? 解析:长方形的对边是互相平行的,两条边是互相垂直的。因此可以用 画垂线的方法画。先画一条 3厘米长的线段;再过线段端点画一条 2厘米 长的垂线;再过另一个点也画一条 2厘米长的垂线;连接两个端点就可以 了。 二、平行线 1.认识平行线。 (1)平行线:在同一个平面内,不相交的两条直线叫做平行线,也可以说 这两条直线互相平行。 (2)平行线的特征:两条平行线之间,所有垂直线段的长度都相等。 应用:可以用画垂线的方法检验两直线是否平行。 2.平行线的画法。 用直尺和三角板来画平行线,先把三角板的一条直角边紧靠直线,再 把直尺紧靠三角板的另一条直角边,这时沿直尺平移三角板,再画一条直 线就可以了。 小贴士: 两直线相交所成的四个 角中,只要有一个角是直角, 其余三个角就都是直角。 易错点: 垂直是相互的,不能说 某线是垂线,应该说哪条线 是哪条线的垂线。 判断:两条直线相交成 直角时,这两条直线叫做互 相垂直。 ( ) 正解:✕ 温馨提示: 画垂线一般有两种情 况:一是过直线上的一点画 垂线;二是过直线外一点画 垂线。 画完与已知直线互相垂 直的直线后,不要忘了画上 “┐”,表示垂直。 小贴士: 长方形和正方形的四个 角都是直角,也就是长方形 和正方形的邻边都是互相垂 直的,所以可以用画垂线的 方法画长方形和正方形。 第14页 八 平均数和条形统计图 一、平均数 1.平均数的意义。 (1)意义:平均数是统计中的一个重要概念,也就是一组数据的总 和除以这组数据的总份数所得的商叫做这组数据的平均数。 (2)作用:平均数既可以描述一组数据本身的总体情况,又可以作 为不同数据比较的一个标准。 2.求平均数。 运用公式法求平均数。 平均数=所有数据总和÷数据总份数 3.平均数的应用。 根据统计表求出该组数据的平均数,然后依据所得的平均数来 描述数据,做出分析判断。 二、条形统计图 1.条形统计图。 (1)条形统计图的特点:用条形统计图表示数据直观、形象…… (2)条形统计图的优点:形象直观,能看出数据之间的关系。 2.根据统计表绘制条形统计图。 (1)确定横纵轴、刻度以及图的类型(横向或纵向); (2)画条形,标数据,注意条形的高度要符合刻度,纵向统计图的顺 序是从左往右,横向统计图的顺序是从下往上; (3)标上标题。 3.读图。 学会从统计图中提取信息,发现问题,进行合理地判断、预测和决 策,并能解决生活中的简单问题。 三、读书调查 利用所学的平均数和条形统计图等知识解决生活中的问题。调 查时可以先设计一个方案,要注意安全。 易错点: 求平均数时漏掉或多加数 据。 例如:小明这学期的 5次数学 测验中的得分分别是95分、87分、 93分、100分、90分。求小明这 学期的数学平均分是多少。 错 解:(95+87+93+100)÷5=75(分) 答:小明这学期的数学平均分 是 75分。 正 解:(95+87+93+100+90)÷5=93(分) 答:小明这学期的数学平均分 是 93分。 温馨提示: 条形统计图中表示数据时,1 格可以代表多个单位,具体 1格表 示多少,要根据实际情况而定。比 如数据比较大时,可以用 1格代表 多个单位。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第15页 九 探 索 乐 园 一、植树问题 1.一头种树。 (1)一头种,一头不种。 (封闭线路植树问题) 如右图: 间隔数=棵数 间隔长×间隔=全长 全长÷间隔长=间隔数 全长÷间隔数=间隔长 (2)两头都种。 如右图: 间隔数+1=棵数 间隔长×间隔数=全长 全长÷间隔长=间隔数 全长÷间隔数=间隔长 全长÷间隔长+1=棵数 全长÷(棵树-1)=间隔长 (3)两头都不种。 如右图: 间隔数-1=棵数 间隔长×间隔数=全长 全长÷间隔长=间隔数 全长÷间隔数=间隔长 全长÷间隔长-1=棵数 全长÷(棵数+1)=间隔长 2.两侧种树。 求出一侧种树的棵数,再乘 2就可以了。 二、数图形 1.数线段(简单的图形)。 一条线上有 n个点,这些点连成的线段的条数是 (n-1)+(n-2)+…+3+2+1,或者是 n(n-1)÷2。 2.数三角形、长方形、正方形(复杂的图形)。 先数基本图形,再数组合图形,找出规律,按规律来数。 3.数图形时可以边数边做标记,减少错误。 方法宝盒: 解决植树问题的关键是要根据生 活实际,确定两端的植树情况,再判断 出间隔数和棵数之间的关系。 易错举例: 公园里有一条 500米长的小路,准 备在小路两旁从头到尾植树,每隔 4米 种一棵,一共需要多少棵树苗? 错解: 500÷4+1=126(棵) 答:一共需要 126棵树苗。 正解: (500÷4+1)×2=252(棵) 答:一共需要 252棵树苗。 错因:忽略了“小路两旁都植树”这 一条件。 方法宝盒: 数图形时,可以把图形分类计数, 即把图形分成单一的基本图形与稍复 杂的组合图形,这样达到化繁为简的目 的。 第16页