2011年西城区初三数学一模试题及答案

2011年西城区初三数学一模试题及答案

‎ 北京市西城区2011年初三一模试卷 ‎ 数 学 2011. 5‎ 考生须知 ‎1．本试卷共5页，共五道大题，25道小题，满分120分。考试时间120分钟。‎ ‎2．在试卷和答题纸上认真填写学校名称、班级和姓名。‎ ‎3．试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效。‎ ‎4．在答题纸上，作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。‎ ‎5．考试结束，请将本试卷、答题纸和草稿纸一并交回。‎ 一、选择题（本题共32分，每小题4分）‎ 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．‎ ‎1． －2的相反数为（ ）.‎ ‎ A．2 B．－‎2 C． D．－ ‎ ‎2．上海世博会是我国第一次举办的综合类世界博览会．据统计自‎2010年5月1日开幕至 ‎ ‎5月31日，累计参观人数约为8 030 000人．将8 030 000用科学记数法表示应为 （ ） .‎ ‎ A . ‎ ‎ B．‎ ‎ C．‎ ‎ D. ‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎3．以方程组的解为坐标的点在（ ）.‎ ‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎4. 右图是正方体的展开图，原正方体相对两个面上的数字和最小是（ ）.‎ ‎ A. 4 B. ‎6 ‎ 　C. 7 D. 8 ‎ ‎5．有四张形状、大小和质地完全相同的卡片，每张卡片的正面写有一个算式．将这四张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张(不放回)，接着再随机抽取一张．则抽取的两张卡片上的算式都正确的概率是（ ）.‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎6．某射击小组有20人，教练根据他们某次射击的数据绘制成如图所示的统计图．则这组数据的众数和中位数分别是（ ）.‎ ‎ A．7，7 B． 8，7.5 ‎ ‎ C．7，7.5 D． 8，6‎ ‎7．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=60°，∠B=30°，‎ ‎ 若AD=CD=6，则AB的长等于（　　）．‎ ‎ A．9 B．‎12 ‎ C． D．18‎ ‎8．如图，点A在半径为3的⊙O内，OA=，P为⊙O上一点，‎ ‎ 当∠OPA取最大值时，PA的长等于（ ）.‎ ‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（本题共16分，每小题4分）‎ ‎9．分解因式：= ． ‎ ‎10．如图，甲、乙两盏路灯相距‎20米. 一天晚上，当小明从 ‎ 路灯甲走到距路灯乙底部‎4米处时，发现自己的身影顶部 ‎ 正好接触到路灯乙的底部．已知小明的身高为‎1.6米，那么 ‎ 路灯甲的高为 米．‎ ‎11. 定义[]为函数的特征数，下面给出特征数为[，，] 的函数的一些结论：①当时，函数图象的顶点坐标是；②当时，函数在时，随的增大而减小；③无论m取何值，函数图象都经过同一个点. 其中所有的正确结论有 .（填写正确结论的序号） ‎ ‎12. 如图1，小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形，正方形的面积为 ；再把正方形的各边延长一倍得到正方形（如图2），如此进行下去，正方形的面积为 ．（用含有n的式子表示，n为正整数）‎ ‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ 三、解答题（本题共30分，每小题5分）‎ ‎13．计算： ．‎ ‎14．解不等式组 并判断是否为该不等式组的解． ‎ ‎15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一条直线l与x轴相交于点A，‎ ‎ 与y轴相交于点，与正比例函数 y＝mx(m≠0)的图象 ‎ 相交于点．‎ ‎（1）求直线l的解析式；（2）求△AOP的面积．‎ ‎16. 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，BF平分∠ABC，AF∥DC，‎ ‎ 连接AC，CF. 求证：（1）AF=CF；（2）CA平分∠DCF.‎ ‎17. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值．‎ ‎18．某中学就到校的方式问题对初三年级的所有学生进行了一次调查，并将调查结果制成了表格和扇形统计图，请你根据图表信息完成下列各题：‎ ‎ （1）补全下表：‎ 初三学生人数 步行人数 骑车人数 乘公交车人数 其他方式人数 ‎60‎ ‎ （2）在扇形统计图中，“步行”对应的圆心角 的度数为 °.‎ ‎ ‎ 四、解答题（本题共20分，每小题5分）‎ ‎19．在2011年春运期间，我国南方发生大范围冻雨灾害，导致某地电路出现故障，该地供电局组织电工进行抢修．供电局距离抢修工地15千米，‎ 抢修车装载着所需材料先从供电局出发，15分钟后，电工乘吉普车从同一地点出发，结果他们同时到达抢修工地．已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍，求这两种车每小时分别行驶多少千米．‎ ‎20．如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，为CD边上的点，=3．将纸片沿某条直线折叠，使点B落在点处，点A的对应点为，折痕分别与AD，BC边交于点M，N．‎ ‎ （1）求BN的长；（2）求四边形ABNM的面积. ‎ ‎21．如图，D是⊙O的直径CA延长线上一点，点 B在⊙O上，‎ ‎ 且AB＝AD＝AO．‎ （1）求证：BD是⊙O的切线；‎ ‎（2）若E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，‎ ‎ △BEF的面积为8，且cos∠BFA＝，‎ ‎ 求△ACF的面积．‎ ‎22．我们约定，若一个三角形（记为△A1）是由另一个三角形（记为△A）通过一次平移，或绕其任一边的中点旋转180°得到的，则称△A1是由△A复制的．以下的操作中每一个三角形只可以复制一次，复制过程可以一直进行下去．如图1，由△A复制出△A1，又由△A1复制出△A2，再由△A2复制出△A3，形成了一个大三角形，记作△B．以下各题中的复制均是由△A开始的，通过复制形成的多边形中的任意相邻两个小三角形（指与△A全等的三角形）之间既无缝隙也无重叠．‎ ‎ （1）图1中标出的是一种可能的复制结果，小明发现△A∽△B，其相似比为_________．在图1的基础上继续复制下去得到△C，若△C的一条边上恰有11个小三角形（指有一条边在该边上的小三角形），则△C中含有______个小三角形；‎ ‎ （2）若△A是正三角形，你认为通过复制能形成的正多边形是________；‎ 图图2‎ ‎ （3）请你用两次旋转和一次平移复制形成一个四边形，在图2的方框内画出草图，并仿照图1作出标记．‎ ‎ 图1‎ ‎ ‎ 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）‎ ‎23．抛物线，a＞0，c＜0，．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）抛物线经过点，Q．‎ ‎① 判断的符号；‎ ‎② 若抛物线与x轴的两个交点分别为点A，点B（点A在点B左侧），请说明，．‎ ‎24．如图1，平面直角坐标系xOy中，A，B．将△OAB绕点O顺时针旋转a角（0°＜a＜90°）得到△OCD（O，A，B的对应点分别为O，C，D），将△OAB沿轴负方向平移m个单位得到△EFG（m＞0，O，A，B的对应点分别为E，F，G），a，m的值恰使点C，D，F落在同一反比例函数(k≠0)的图象上．‎ ‎（1）∠AOB= °，a= °；‎ ‎（2）求经过点A，B，F的抛物线的解析式；‎ ‎（3）若（2）中抛物线的顶点为M，抛物线与直线EF的另一个交点为H，抛物线上 的点P满足以P，M，F，A为顶点的四边形的面积与四边形MFAH的面积相等 ‎（点P不与点H重合），请直接写出满足条件的点P的个数，并求位于直线EF 上方的点P的坐标．‎ ‎25．在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为CB，CA延长线上的点，BE与AD的交点为P. ‎ ‎ （1）若BD=AC，AE=CD，在图1中画出符合题意的图形，并直接写出∠APE的度数；‎ ‎ （2）若，，求∠APE的度数.‎ 北京市西城区2011年初三一模试卷 ‎ 数学答案及评分标准 2011. 5‎ 一、选择题（本题共32分，每小题4分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 A C A B C C D B 二、填空题（本题共16分，每小题4分）‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎①③‎ ‎，‎ ‎11题阅卷说明：全对得4分，仅填①或③得2分，其余情况均不得分.‎ 三、解答题（本题共30分，每小题5分）‎ ‎13.解：原式 = ………………………………………………………4分 ‎ =． …………………………………………………………………………5分 ‎①②‎ ‎14.解：‎ 由①得． ………………………………………………………………………1分 ‎ 由②得x≤1．…………………………………………………………………………3分 ‎∴ 原不等式组的解集是＜x≤1． ………………………………………………4分 ‎∵ ， ‎ ‎∴ 不是该不等式组的解．………………………………………………… 5分 图1‎ ‎15.解：（1）如图1.‎ 设直线的解析式为(k，b为常数且k≠0).‎ ‎ ∵ 直线经过点，点，‎ ‎ ∴ 解得 ‎ ‎ ∴ 直线的解析式为． ……………………………………………2分 ‎（2）∵ 直线的解析式为，‎ ‎ ∴ 点A的坐标为．………………………………………………………3分 ‎ ∵ 点P的坐标为，‎ ‎ ∴ ＝．………………………………………5分 ‎16. 证明：如图2.‎ 图2‎ ‎（1）∵ 平分，‎ ‎ ∴ ．………………1分 ‎ 在△ABF与△CBF中，‎ ‎ ‎ ‎ ∴ △ABF≌△CBF． ………………………………………………………2分 ‎ ∴ ．………………………………………………………………3分 ‎（2）∵ ，‎ ‎ ∴ ．……………………………………………………… 4分 ‎ ∵ ∥，‎ ‎ ∴ ．‎ ‎ ∴ ，即平分． ………………………………5分 ‎17. 解：由题意，．…………………………………………1分 ‎ ∴ ． ………………………………………………………………………2分 ‎ ∴ 原式 ……………………………………………………3分 ‎ ‎ ‎．…………………………………………………4分 ‎∵ ，‎ ‎∴ 原式．………………………………………………………………5分 ‎18. 解：（1）‎ 初三学生人数 步行人数 骑车人数 乘公交车人数 其它方式人数 ‎300‎ ‎99‎ ‎132‎ ‎9‎ ‎………………………………………………………………………………4分 阅卷说明：每空1分．‎ ‎ （2）72．………………………………………………………………………………5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分）‎ ‎19．解：设抢修车每小时行驶千米，则吉普车每小时行驶千米．‎ ‎ ．………………………………………………………………………2分 ‎ 解得． ………………………………………………………………………3分 ‎ 经检验，是原方程的解，并且符合题意． ………………………………4分 ‎ ∴ .‎ ‎ 答：抢修车每小时行驶20千米，吉普车每小时行驶30千米．………………………5分 ‎20．解：如图3．‎ ‎（1）由题意，点A与点，点与点分别关于直线对称， ‎ 图3‎ ‎ ∴，． ………………………………………………1分 ‎ 设，则．‎ ‎ ∵ 正方形，‎ ‎ ∴ ．‎ ‎ ∴ ． ‎ ‎∵ =3，‎ ‎ ∴ ． ‎ 解得．‎ ‎ ∴ ．……………………………………………………………………2分 ‎ （2）∵ 正方形，‎ ‎∴ AD∥BC，．‎ ‎∵ 点M，N分别在AD，BC边上，‎ ‎∴ 四边形ABNM是直角梯形． ‎ ‎∵ ，，‎ ‎ ∴ ．‎ ‎ ∴ ，．‎ ‎ ∵ ，，‎ ‎ ∴ ．‎ ‎ ∴ ．‎ ‎ 在Rt△中，∵，，，‎ ‎∴ ．‎ ‎ ∵ ，‎ ‎∴ ．‎ ‎∵ ，‎ ‎ ∴ ．‎ ‎ 在Rt△中，∵ ，，，‎ ‎ ∴ ．…………………………………………………………………4分 ‎ ∴ ．…………………5分 图4‎ ‎21．（1）证明：连接BO．（如图4） ‎ ‎ ∵ AB＝AD， ‎ ‎∴ ∠D＝∠ABD．‎ ‎ ∵ AB＝AO，‎ ‎ ∴ ∠ABO＝∠AOB．‎ ‎ 又∵ 在△OBD中，∠D+∠DOB+∠ABO+∠ABD＝180°，‎ ‎ ∴ ∠OBD＝90°．‎ ‎∴ BD⊥BO．…………………………………………………………………1分 ‎ ∵ 点B在⊙O上，‎ ‎ ∴ BD是⊙O的切线 ． ……………………………………………………2分 ‎（2）解：∵ ∠C＝∠E，∠CAF＝∠EBF ，‎ ‎ ∴ △ACF∽△BEF ． ………………………………………………………3分 ‎ ∵ AC是⊙O的直径，点B在⊙O上，‎ ‎ ∴ ∠ABC＝90°．‎ ‎∵ 在Rt△BFA中，∠ABF＝90°，cos∠BFA＝，‎ ‎ ∴ ．………………………………………………………4分 ‎ 又∵ ＝8 ，‎ ‎ ∴ ＝18 ． ……………………………………………………………5分 ‎22．解：（1）1∶2，121 ．……………………………………………………………………2分 图5‎ ‎ （2）正三角形或正六边形．…………………………………………………………4分 ‎ （3）如图5． …………5分 ‎ ‎ ‎ ‎ 阅卷说明：第（2）问全对得2分，仅填正三角形或正六边形得1分，其余情况均不得分；第（3）问其它符合题意的图形同样给分．‎ 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）‎ ‎23．（1）证明：∵ ，‎ ‎∴ ． ………………………………………1分 ‎∵ a＞0，c＜0，‎ ‎∴ ，．‎ ‎∴ ． ……………………………………………………………2分 图6‎ ‎（2）解：∵ 抛物线经过点P，点Q，‎ ‎ ∴ ‎ ‎① ∵ ，a＞0，c＜0，‎ ‎∴ ，．‎ ‎∴ ＜0．………3分 ‎＞0．………………………4分 ‎∴ ．…………………………………………………………………5分 ‎② 由a＞0知抛物线开口向上．‎ ‎∵ ，，‎ ‎∴ 点P和点Q分别位于x轴下方和x轴上方．‎ ‎∵ 点A，B的坐标分别为A，B（点A在点B左侧），‎ ‎∴ 由抛物线的示意图可知，对称轴右侧的点B的横坐标满足．（如图6所示）………………………………………‎ ‎6分 ‎∵ 抛物线的对称轴为直线，由抛物线的对称性可，由（1）知，‎ ‎∴ ．‎ ‎∴ ，即．…………………………………… 7分 ‎24．解：（1）∠AOB= 30 °，a= 60 °．…………………………………………………2分 ‎（2）∵ A，B，△OAB绕点O顺时针旋转a角得到△OCD，（如图7）‎ ‎∴ OA=OB=OC=OD=4．‎ 由（1）得 ．‎ ‎∴ 点C与点A关于x轴对称，点C的坐标为．‎ ‎∵ 点C，D，F落在同一反比例函数（k≠0）的图象上，‎ ‎∴ ．‎ ‎∵ 点F是由点A沿轴负方向平移m个单位得到，‎ ‎∴ ，，点F的坐标为．……………3分 ‎∴ 点F与点A关于y轴对称，可设经过点A，B，F的抛物线的解析式为．‎ ‎∴ 解得 ‎∴ 所求抛物线的解析式为． …………………………………4分 ‎（3）满足条件的点P的个数为 5 ．………………………………………………5分 ‎ 抛物线的顶点为． ‎ ‎ ∵ △EFG是由△OAB沿轴负方向平移m个单位得到，‎ ‎∴ ，，∠FEG=∠AOB=30°．‎ ‎∴ 点E的坐标为．‎ 可得直线EF的解析式为． ‎ ‎∵ 点H的横坐标是方程的解，‎ 整理，得．‎ 解得 ．‎ ‎∴ 点H的坐标为．‎ 由抛物线的对称性知符合题意的点的坐标为．……………6分 可知△AFM是等边三角形，∠MAF= 60°．‎ 由A，M两点的坐标分别为A，，‎ 可得直线AM的解析式为．‎ 过点H作直线AM的平行线l，设其解析式为（b≠8）． ‎ 将点H的坐标代入上式，得 ．‎ 解得，直线l的解析式为．‎ ‎∵ 直线l与抛物线的交点的横坐标是方程 的解．‎ 整理，得．解得．‎ ‎∴ 点满足，四边形的面积与四边形MFAH的面积相等．（如图8）……………………………………………7分 ‎ 点关于y轴的对称点也符合题意，其坐标为．………8分 综上所述，位于直线EF上方的点P的坐标分别为，‎ ‎，．‎ 图9‎ ‎25．解：（1）如图9，∠APE= 45 °. ……………………2分 ‎ （2）解法一：如图10，将AE平移到DF，连接BF，EF．‎ ‎ ……………………3分 则四边形AEFD是平行四边形．‎ ‎∴ AD∥EF，AD=EF． ‎ ‎∵ ，，‎ ‎∴ ，．‎ ‎∴ ．……………………………………………………4分 ‎∵ ∠C=90°，‎ ‎∴ ．‎ ‎∴ ∠C=∠BDF．‎ ‎∴ △ACD∽△BDF．………………5分 ‎ ∴ ，∠1=∠2．‎ 图10‎ ‎∴ ．‎ ‎∵ ∠1+∠3=90°，‎ ‎∴ ∠2+∠3=90°．‎ ‎∴ BF⊥AD ．‎ ‎∴ BF⊥EF．…………………………………………………………6分 ‎∴ 在Rt△BEF中，．‎ ‎∴ ∠APE=∠BEF =30°．…………………………………………7分 解法二：如图11，将CA平移到DF，连接AF，BF，EF．………………3分 则四边形ACDF是平行四边形．‎ ‎∵ ∠C=90°，‎ ‎∴ 四边形ACDF是矩形，∠AFD=∠CAF= 90°，∠1+∠2=90°．‎ 图11‎ ‎∵ 在Rt△AEF中，，‎ 在Rt△BDF中，，‎ ‎∴ ．‎ ‎∴ ∠3+∠2=∠1+∠2=90°，即∠EFB =90°．‎ ‎∴ ∠AFD=∠EFB． …………………4分 ‎ 又∵ ，‎ ‎ ∴ △ADF∽△EBF． ………………………………………………5分 ‎ ∴ ∠4=∠5．…………………………………………………………6分 ‎ ∵ ∠APE+∠4=∠3+∠5，‎ ‎ ∴ ∠APE=∠3=30°．………………………………………………7分