2013年云南昭通市中考数学试卷及答案(解析版)

2013年云南昭通市中考数学试卷及答案(解析版)

‎2013年昭通市中考试题 数 学 ‎（主试题共25个题，满分100分；附加题，共4个小题，满分50分。考试用时150分钟）‎ 主试题 ‎（三个大题，共25个小题，满分100分）‎ 一、选择题（本大题共10个小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）‎ ‎1.(2013昭通市，1，3分)－4的绝对值是（ ）‎ ‎ A． B． C．4 D．－4‎ ‎【答案】C ‎2. (2013昭通市，2，3分)下列各式计算正确的是（ ）‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎3．(2013昭通市，3，3分)如图1，AB∥CD，DB⊥BC，∠2 =50°，则∠1的度数是（ ）‎ 图1‎ ‎ A．40° B．50° ‎ ‎ C．60° D．140° ‎ ‎【答案】A ‎4．(2013昭通市，4，3分)已知一组数据：12，5，9，5，14，下列说法不正确的是（ ）‎ ‎ A．平均数是9 B．中位数是9‎ ‎ C．众数是5 D．极差是5‎ ‎【答案】D ‎5．(2013昭通市，5，3分)如图2，已知AB、CD是⊙O的两条直径，∠ABC =28°，那么∠BAD =（ ）‎ 图2‎ ‎ A．28° B．42° C．56° D．84° ‎ ‎【答案】A ‎ ‎6．(2013昭通市，6，3分)图3是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“建”字所 在的面相对的面上标的字是（ ）‎ ‎ 图3‎ ‎ A．美 B．丽 C．云 D．南 ‎【答案】D ‎7．(2013昭通市，7，3分)如图4，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（ ）‎ 图4‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎8．(2013昭通市，8，3分)已知点P(2a－1，1－a)在第一象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎9．(2013昭通市，9，3分)已知二次函数y ＝ ax2＋bx＋c（a ≠ 0）的图象如图5所示，则下列结论中正确的是（ ）‎ 图5‎ ‎ A．a＞0　 　 ‎ ‎ B．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根 ‎ C．a＋b＋c＝0 ‎ ‎ D．当x＜1时，y随x的增大而减小 ‎【答案】B ‎10．(2013昭通市，10，3分)图6所示是某公园为迎接“中国——南亚博览会”设置的一休闲区．∠AOB=90°，弧AB的半径OA长是‎6米，C是OA的中点，点D在弧AB上，CD∥OB，则图中休闲区（阴影部分）的面积是（ ）‎ ‎ 图6‎ ‎ A．米2 B．米2‎ ‎ C．米2 D．米2‎ ‎【答案】C 二、填空题（本大题共7个小题，每小题3分，满分21分）‎ ‎11．(2013昭通市，11，3分)根据云南省统计局发布我省生产总值的主要数据显示：去年生产总值突破万亿大关，2013年第一季度生产总值为226 040 000 000元人民币，增速居全国第一. 这个数据用科学记数法可表示为 元.‎ ‎【答案】2.2604×1011‎ ‎12．(2013昭通市，12，3分)实数，，，，，中的无理数是 .‎ ‎【答案】、、‎ ‎13．(2013昭通市，13，3分)因式分解： . ‎ ‎【答案】2（x+3）(x-3)‎ ‎14．(2013昭通市，14，3分)如图7，AF = DC，BC∥EF，只需补充一个 条件 ，就得△ABC≌△DEF. ‎ ‎ 图7‎ ‎【答案】BC = EF（或∠A =∠D，或∠B =∠E，或AB∥DE等）‎ ‎15．(2013昭通市，15，3分)使代数式有意义的的取值范围是 .‎ ‎【答案】‎ ‎16．(2013昭通市，16，3分)如图8，AB是⊙O的直径，弦BC＝‎4cm，F是弦BC的中点，∠ABC＝60°．若动点E以‎1cm/s的速度从A点出发在AB上沿着A→B→A运动，设运动时间为t(s) (0≤t＜16)，连接EF，当△BEF是直角三角形时，t(s)的值为 .（填出一个正确的即可）‎ ‎ 图8‎ ‎【答案】4（或7或9或12）（只需填一个答案即可得分）‎ ‎17．(2013昭通市，17，3分)如图9所示，图中每一个小方格的面积为1，则可根据面积计算得到如下算式：= . （用n表示，n是正整数）‎ ‎ 图9‎ ‎【答案】n2‎ 三、解答题（本大题共8个小题，满分49分）‎ ‎18. (2013昭通市，18，6分)计算：.‎ ‎【答案】解：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19. (2013昭通市，19，5分)小明有2件上衣，分别为红色和蓝色，有3条裤子，其中2条为蓝色、1 条为棕色. 在准备校艺术节的演出服装时突遇停电，小明任意拿出1件上衣和1条裤子穿上．请用画树状图或列表的方法列出所有可能出现的结果，并求小明穿的上衣和裤子恰好都是蓝色的概率．‎ ‎【答案】解：列表如下：‎ ‎ 裤子 上衣 蓝色 蓝色 棕色 红色 ‎（红色，蓝色）‎ ‎（红色，蓝色）‎ ‎（红色，棕色）‎ 蓝色 ‎（蓝色，蓝色）‎ ‎（蓝色，蓝色）‎ ‎（蓝色，棕色）‎ 由上表可知，总情况6种，而且每种结果出现的可能性相同. 小明穿的上衣和裤子恰好都是蓝色占2种，所以小明穿的上衣和裤子恰好都是蓝色的概率是．‎ ‎20. (2013昭通市，20，5分)为了推动课堂教学改革，打造高效课堂，配合地区“两型课堂”的课题研究，羊街中学对八年级部分学生就一学期以来“分组合作学习”方式的支持程度进行调查，统计情况如图10. 请根据图中提供的信息，回答下列问题.‎ ‎ ‎ ‎ 图10 图11‎ ‎（1）求本次被调查的八年级学生的人数，并补全条形统计图11；‎ ‎（2）若该校八年级学生共有540人，请你计算该校八年级有多少名学生支持“分组合作学习”方式（含“非常喜欢”和“喜欢”两种情况的学生）?‎ ‎【答案】解：（1）设本次被调查的八年级学生有x人，观察图10和图11，“喜欢”的学生18名，占本次被调查的八年级学生的人数的比为，即，列方程：=，得 x =54. 经检验x =54是原方程的解. 由=，得：非常喜欢的人数为30.‎ ‎（2）列方程：.‎ 由此解得支持的学生有480名. ‎ ‎21. (2013昭通市，21，5分)小亮一家在一湖泊中游玩，湖泊中有一孤岛，妈妈在孤岛P处观看小亮与爸爸在湖中划船(如图12所示). 小船从P处出发，沿北偏东60°方向划行‎200米到A处，接着向正南方向划行一段时间到B处. 在B处小亮观测到妈妈所在的P处在北偏西37°的方向上，这时小亮与妈妈相距多少米（精确到‎1米）？‎ ‎（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈1.73）‎ ‎ 图12‎ ‎【答案】解：过P作PC⊥AB于C，‎ 在Rt△APC中，AP = 200m，∠ACP = 90°，∠PAC = 60°.‎ ‎∴ PC= 200×sin60°=200 ×=100（m）.‎ ‎∵ 在Rt△PBC中，sin37°=，‎ ‎∴ ‎ 答：小亮与妈妈相距约‎288米.‎ ‎22. (2013昭通市，22，6分)如图13，直线y＝k1x＋b（k1≠0）与双曲线y＝（k2≠0）相交于A（1，m）、B（－2，－1）两点．‎ ‎（1）求直线和双曲线的解析式．‎ ‎（2）若A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）为双曲线上的三点，且x1＜x2＜0＜x3，请直接写出y1，y2，y3的大小关系式．‎ ‎ 图13‎ ‎【答案】解：（1）∵ 双曲线y = 经过点B（－2，－1）， ∴ k2 = 2．‎ ‎∴ 双曲线的解析式为：y = ．‎ ‎∵ 点A（1，m）在双曲线y = 上， ∴ m = 2，则A（1，2）．‎ 由点A（1，2），B（－2，－1）在直线y＝k1x＋b上，得 ‎ 解得 ‎∴ 直线的解析式为：y = x＋1．‎ ‎（2）y2＜y1＜y3．‎ ‎23. (2013昭通市，23，7分)如图14，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，‎ 点E在⊙O外，∠EAC =∠B = 60°. ‎ ‎（1）求∠ADC的度数； （2）求证：AE是⊙O的切线． ‎ ‎ 图14‎ ‎【答案】解：（1）∵ ∠ABC与∠ADC都是弧AC所对的圆周角,‎ ‎ ∴ ∠ADC=∠B =60°.‎ ‎（2）∵ AB是⊙O的直径， ‎ ‎∴ ∠ACB=90°，‎ ‎∴ ∠BAC=30°. ‎ ‎∴ ∠BAE =∠BAC＋∠EAC=30°＋60°=90°，‎ 即 BA⊥AE. ‎ ‎ ∴ AE是⊙O的切线. ‎ ‎24. (2013昭通市，24，7分)如图15，在菱形ABCD中，AB = 2，，点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN.‎ ‎（1）求证：四边形AMDN是平行四边形.‎ ‎（2）当AM的值为何值时，四边形AMDN是矩形？请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎ 图15‎ ‎【答案】（1）证明：∵ 四边形ABCD是菱形，∴ ND∥AM. ‎ ‎ ∴ ∠NDE =∠MAE，∠DNE =∠AME. ‎ ‎ ∵ 点E是AD中点，∴ DE = AE. ‎ ‎ ∴ △NDE ≌△MAE，∴ ND = MA.‎ ‎ ∴ 四边形AMDN是平行四边形. ‎ ‎（2）① 1；‎ 理由如下：‎ ‎∵ 四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴ AD = AB = 2. ‎ 若平行四边形AMDN是矩形，‎ 则DM⊥AB， 即 ∠DMA＝90°. ‎ ‎∵ ∠A＝60°， ∴ ∠ADM＝30°.‎ ‎∴ AM＝AD＝1. ‎ ‎25. (2013昭通市，25，8分)如图16，已知A(3，0)、B(4，4)、原点O(0，0)在抛物线y ＝ ax2＋bx＋c (a≠0)上．‎ ‎（1）求抛物线的解析式．‎ ‎（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个交点D，求m 的值及点D的坐标．‎ ‎（3）如图17，若点N在抛物线上，且∠NBO =∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）‎ ‎ ‎ ‎ 图16 图17‎ ‎【答案】（1）∵ A（3,0）、B（4,4）、O（0,0）在抛物线y＝ax2＋bx＋c (a≠0)上.‎ ‎∴ 解得 ‎ ‎∴ 抛物线的解析式为：y＝x2－3x…………………2分 ‎ ‎（2）设直线OB的解析式为y ＝ k1 x( k1≠0)，由点B(4,4)得 ‎4＝4 k1，解得k1＝1. ‎ ‎∴ 直线OB的解析式为y = x，∠AOB = 45°. ‎ ‎∵ B（4,4），‎ ‎∴ 点B向下平移m个单位长度的点B′的坐标为（4,0），‎ ‎ 故m = 4.‎ ‎∴ 平移m个单位长度的直线为y = x - 4.‎ ‎ 解方程组 得 ‎∴ 点D的坐标为(2，－2) . …………………………5分 ‎（3）∵ 直线OB的解析式y＝x，且A(3,0)．‎ ‎∵ 点A关于直线OB的对称点A′的坐标为(0,3) .‎ 设直线A′B的解析式为y＝k2x＋3，此直线过点B(4,4) .‎ ‎∴ 4k2＋3＝4， 解得 k2＝.‎ ‎∴ 直线A′B的解析式为y＝x＋3.‎ ‎∵ ∠NBO=∠ABO,‎ ‎∴ 点N在直线A′B上，‎ 设点N(n，n＋3)，又点N在抛物线y＝x2－3x上，‎ ‎∴ n＋3＝n2－3n.‎ 解得 n1＝，n2＝4（不合题意，舍去）‎ ‎∴ 点N的坐标为(，). ‎ 如图，将△NOB沿x轴翻折，得到△N1OB1，‎ 则 N1 (，)，B1（4，－4）. ‎ ‎∴ O、D、B1都在直线y＝－x上.‎ ‎∵ △P1OD∽△NOB，‎ ‎∴ △P1OD∽△N1OB1， ∴ P1为O N1的中点.‎ ‎∴ ，‎ ‎∴ 点P1的坐标为（，）.‎ 将△P1OD沿直线y =－x翻折，可得另一个满足条件的点（，）.‎ 综上所述，点P的坐标为（，）和（，).‎ 附加题 ‎（共4个小题，满分50分）‎ ‎1．(2013昭通市，附加题1，12分)已知一个口袋中装有7个只有颜色不同、其它都相同的球，其中3个白球、4个黑球.‎ ‎（1）求从中随机取出一个黑球的概率.‎ ‎（2）若往口袋中再放入x个黑球，且从口袋中随机取出一个白球的概率是，求代数式的值.‎ ‎【答案】解：（1）P（取出一个黑球）‎ ‎（2）设往口袋中再放入x个黑球, 从口袋中随机取出一个白球的概率是 即 P（取出一个白球）.‎ 由此解得x＝5. 经检验x =5是原方程的解. ‎ ‎∵ 原式 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴ 当x＝5时，原式＝．‎ ‎2．(2013昭通市，附加题2，12分)云南连续四年大旱，学校为节约用水，提醒人们关注漏水的水龙头．因此，两名同学分别做了水龙头漏水实验，他们用于接水的量筒最大容量为100毫升．‎ 实验一：‎ 小王同学在做水龙头漏水实验时，每隔10秒观察量筒中水的体积，记录的数据如下表（漏出的水量精确到1毫升）：‎ 时间t（秒）‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎70‎ 漏出的水量V(毫升)‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎8‎ ‎11‎ ‎14‎ ‎17‎ ‎20‎ ‎（1）在图1的坐标系中描出上表中数据对应的点．‎ ‎（2）如果小王同学继续实验，请求出多少秒后量筒中的水会满而溢出（精确到1秒）．‎ ‎（3）按此漏水速度，1小时会漏水_______千克（精确到‎0.1千克）．‎ O ‎20‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎80‎ ‎100‎ ‎120‎ ‎140‎ ‎160‎ ‎180‎ V/毫升 ‎20‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎80‎ ‎100‎ ‎120‎ ‎140‎ t/秒 O ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎14‎ ‎16‎ ‎18‎ ‎20‎ V/毫升 ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎70‎ t/秒 ‎ 图1 图2‎ 实验二：‎ 小李同学根据自己的实验数据画出的图象如图2所示，为什么图象中会出现与横轴“平行”的部分？ ‎ ‎【答案】解：实验一：‎ ‎（1）如图所示：‎ ‎（2）设V与t的函数关系式为V = kt + b，根据表中数据知：‎ 当t = 10时，V = 2；当t = 20时，V = 5；‎ ‎∴ 解得：‎ ‎∴ V与t的函数关系式为 ．‎ 由题意得：，解得，.‎ ‎∴ 约337秒后，量筒中的水会满而开始溢出．‎ ‎（3）1.1千克 实验二：因为小李同学接水的量筒装满后水开始溢出 ‎3. (2013昭通市，附加题3，12分)如图3，在⊙C的内接△AOB中，AB = AO = 4，tan∠AOB = ‎ ‎，抛物线y = a(x－2)2＋m（a≠0）经过点A(4，0)与点（－2，6）.‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）直线m与⊙C相切于点A，交y轴于点D，动点P在线段OB上，从点O出发向点B运动，同时动点Q在线段DA上，从点D出发向点A运动，点P的速度为每秒1个单位长，点Q的速度为每秒2个单位长. 当PQ⊥AD时，求运动时间t的值.‎ ‎ 图3‎ ‎【答案】解：（1）将点A（4，0）和点（－2，6）的坐标代入y = a(x－2)2＋m中，‎ 得方程组，‎ ‎ 解之，得 ∴ 抛物线的解析式为 ‎（2）如图，连接AC交OB于E.‎ ‎∵ 直线m切⊙C于点A， ∴ AC⊥m. ‎ ‎∵ 弦 AB = AO， ∴ . ∴ AC⊥OB，∴ m∥OB. ∴ ∠ OAD=∠AOB．‎ ‎∵ OA=4，tan ∠AOB = ，∴ OD= OA ·tan ∠OAD =4×= 3.‎ 作OF⊥AD于F，则OF = OA·sin∠OAD = 4×= 2.4 .‎ t秒时，OP=t，DQ=2t，若PQ⊥AD， 则 FQ=OP= t. DF=DQ－FQ= t.‎ ‎∴ △ODF中，t = DF = =1.8秒 ‎4．(2013昭通市，附加题4，14分)已知△为等边三角形，点为直线上的一个动点（点不与重合），以为边作菱形 (按逆时针排列），使，连接CF.‎ ‎ （1）如图4，当点D在边BC上时，求证：①BD = CF， ②AC = CF + CD．‎ ‎ （2）如图5，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC = CF + CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由．‎ ‎ （3）如图6，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，请补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系 ‎ 图4 图5 图6‎ ‎【答案】（1）【证明】：∵,‎ ‎∴ .‎ 又∵ . ∴ △ABD ≌ △AFC , ∴ .‎ ‚ 由△ABD ≌ △AFC知, ∴ .‎ ‎ 又在等边△ABC中， ∴ ‎ ‎（2）解：不成立，应该是CF＝AC＋CD，理由为：‎ 如图，延长AC到H，使，连结BH，‎ 则 在△ACD 与△BCH中，‎ ‎ ‎ ‎∴ △ACD ≌ △BCH.‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ △ABH与△CAF中，‎ ‎ ∴ △ABH≌△CAF， ∴， ∴‎ ‎（3）解：当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，补全图形如下图6所示，此时 AC、CF、CD之间存在的数量关系为．‎ ‎（备注：连结CF，容易证明△ABD ≌△AHC，∴，又）‎ ‎ ‎