2018年广东省广州市南沙区月考数学试卷（3月份）

2018年广东省广州市南沙区月考数学试卷（3月份）

‎2017-2018学年广东省广州市南沙区九年级（下）月考数学试卷（3月份）‎ ‎　‎ 一、选择题（本题共30分，每小题3分）‎ ‎1．（3分）在数轴上到原点距离等于3的数是（　　）‎ A．3 B．﹣3 C．3 或﹣3 D．不知道 ‎2．（3分）H7N9病毒直径为30纳米（1纳米=10﹣9米），用科学记数法表示这个病毒直径的大小，正确的是（　　）‎ A．3.0×10﹣8 米 B．30×10﹣9 米 C．3.0×10﹣10 米 D．0.3×10﹣9 米 ‎3．（3分）下列计算正确的是（　　）‎ A．（﹣2a）2=2a2 B．a6÷a3=a2 C．﹣2（a﹣1）=2﹣2a D．a•a2=a2‎ ‎4．（3分）一名射击爱好者5次射击的中靶环数如下：6，7，9，8，9，这5个数据的中位数是（　　）‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎5．（3分）如果点P（2x+6，x﹣4）在平面直角坐标系的第四象限内，那么x的取值范围在数轴上可表示为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．（3分）四个命题：①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分；②有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等；③点P（1，2）关于原点的对称点坐标为（﹣1，﹣2）；④对角线互相垂直的四边形是菱形，其中正确的是（　　）‎ A．①② B．①③ C．②③ D．③④‎ ‎7．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE．若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，∠BAC的度数为（　　）‎ A．60° B．75° C．85° D．90°‎ ‎8．（3分）如图，⊙O的半径为5，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于点C．若OC=3，则弦AB的长为（　　）‎ A．4 B．6 C．8 D．10‎ ‎9．（3分）如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，若∠2=40°，则图中∠1的度数为（　　）‎ A．115° B．120° C．130° D．140°‎ ‎10．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=6，BD=8，动点P从点B出发，沿着B﹣A﹣D在菱形ABCD的边上运动，运动到点D停止，点P′是点P关于BD的对称点，PP′交BD于点M，若BM=x，△OPP′的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本题共18分，每小题3分）‎ ‎11．（3分）分解因式：2a2﹣2=　 　．‎ ‎12．（3分）质量检测部门对甲、乙两工厂生产的同样产品抽样调查，计算出甲厂的样本方差为0.99，乙厂的样本方差为1.22．由此可以推断出生产此类产品，质量比较稳定的是　 　厂．‎ ‎13．（3分）若反比例函数y=的图象位于第一、三象限，则正整数k的值是　 　．‎ ‎14．（3分）在综合实践课上，小明同学设计了如图测河塘宽AB的方案：在河塘外选一点O，连结AO，BO，测得AO=18m，BO=21m，延长AO，BO分别到D，C两点，使OC=6m，OD=7m，又测得CD=5m，则河塘宽AB=　 　m．‎ ‎15．（3分）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为　 　米．（精确到1米，参考数据：≈1.73）‎ ‎16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为1，以AB为直径作半圆，点P是CD中点，BP与半圆交于点Q，连结，给出如下结论：①DQ=1；②=；③S△PDQ=；④cos∠ADQ=．其中正确结论是　 　（填写序号）‎ ‎　‎ 三、解答题（共9小题，满分102分）‎ ‎17．（8分）先化简，再求值：，其中0＜a＜3，且a为整数．‎ ‎18．（10分）解方程：‎ ‎（1）x2﹣2x﹣1=0‎ ‎（2）‎ ‎19．（10分）如图，点A、B、C、D、E都在⊙O上，AC平分∠BAD，且AB∥CE，求证：AD=CE．‎ ‎20．（10分）已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1=0．‎ ‎（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；‎ ‎（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=2，求该矩形的对角线L的长．‎ ‎21．（12分）某中学选拔一名青年志愿者：经笔试、面试，结果小明和小丽并列第一．评委会决定通过抓球来确定人选．规则如下：在不透明的布袋里装有除颜色之外均相同的2个红球和1个绿球，小明先取出一个球，记住颜色后放回，然后小丽再取出一个球．若两次取出的球都是红球，则小明胜出；若两次取出的球是一红一绿，则小丽胜出．你认为这个规则对双方公平吗？请用列表法或画树状图的方法进行分析．‎ ‎22．（12分）诸暨某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．‎ ‎（1）设每件童装降价x元时，每天可销售　 　件，每件盈利　 　元；（用x的代数式表示）‎ ‎（2）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元．‎ ‎（3）要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由．‎ ‎23．（12分）如图，一次函数y=kx+2的图象与反比例函数y=的图象交于点P，点P在第一象限．PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、D，且S△PBD=4，=．‎ ‎（1）求点D的坐标；‎ ‎（2）求一次函数与反比例函数的解析式；‎ ‎（3）根据图象写出当x＞0时，一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．‎ ‎24．（14分）如图，等腰Rt△ABD中，AB=AD，点M 为边AD上一动点，点E在DA的延长线上，且AM=AE，以BE为直角边，向外作等腰Rt△BEG，MG交AB于N，连NE、DN．‎ ‎（1）求证：∠BEN=∠BGN．‎ ‎（2）求的值．‎ ‎（3）当M在AD上运动时，探究四边形BDNG的形状，并证明之．‎ ‎25．（14分）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴的两个交点分别为A（﹣3，0）、B（1，0），过顶点C作CH⊥x轴于点H．‎ ‎（1）直接填写：a=　 　，b=　 　，顶点C的坐标为　 　；‎ ‎（2）在y轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；‎ ‎（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC于点Q，当△PCQ与△ACH相似时，求点P的坐标．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年广东省华南师大二附中九年级（下）月考数学试卷（3月份）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本题共30分，每小题3分）‎ ‎1．（3分）在数轴上到原点距离等于3的数是（　　）‎ A．3 B．﹣3 C．3 或﹣3 D．不知道 ‎【分析】结合数轴可得．‎ ‎【解答】解：如图，‎ 在数轴上到原点距离等于3的数是3或﹣3，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查数轴，熟练掌握数轴上点的分布是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）H7N9病毒直径为30纳米（1纳米=10﹣9米），用科学记数法表示这个病毒直径的大小，正确的是（　　）‎ A．3.0×10﹣8 米 B．30×10﹣9 米 C．3.0×10﹣10 米 D．0.3×10﹣9 米 ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：用科学记数法表示这个病毒直径30纳米为3.0×10﹣8米，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）下列计算正确的是（　　）‎ A．（﹣2a）2=2a2 B．a6÷a3=a2 C．﹣2（a﹣1）=2﹣2a D．a•a2=a2‎ ‎【分析】利用同底数的幂的乘法、除法以及分配律即可求解．‎ ‎【解答】解：A、（﹣2a）2=4a2，选项错误；‎ B、a6÷a3=a3，选项错误；‎ C、正确；‎ D、a•a2=a3，选项错误．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查同底数幂的除法，分配律，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）一名射击爱好者5次射击的中靶环数如下：6，7，9，8，9，这5个数据的中位数是（　　）‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎【分析】根据中位数的概念求解．‎ ‎【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：6，7，8，9，9，‎ 则中位数为：8．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了中位数的知识：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）如果点P（2x+6，x﹣4）在平面直角坐标系的第四象限内，那么x的取值范围在数轴上可表示为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据P为第四象限点，得到横坐标大于0，纵坐标小于0，列出关于x的不等式组，求出不等式组的解集，表示在数轴上即可得到结果．‎ ‎【解答】解：根据题意得：，‎ 由①得：x＞﹣3；由②得：x＜4，‎ 则不等式组的解集为﹣3＜x＜4，表示在数轴上，如图所示：‎ ‎．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】此题考查了在数轴上表示不等式组的解集，解一元一次不等式组，以及点的坐标，列出不等式组是本题的突破点．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）四个命题：①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分；②有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等；③点P（1，2）关于原点的对称点坐标为（﹣1，﹣2）；④对角线互相垂直的四边形是菱形，其中正确的是（　　）‎ A．①② B．①③ C．②③ D．③④‎ ‎【分析】根据三角形的面积，全等三角形的判定，关于原点对称的点的坐标特征，菱形的判定定理对各小题分析判断即可得解．‎ ‎【解答】解：①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分，正确； ‎ ‎②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等，错误；‎ ‎③点P（1，2）关于原点的对称点坐标为（﹣1，﹣2），正确； ‎ ‎④对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，故错误．‎ 综上所述，正确的是①③．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE．若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，∠BAC的度数为（　　）‎ A．60° B．75° C．85° D．90°‎ ‎【分析】根据旋转的性质知，旋转角∠EAC=∠BAD=65°，对应角∠C=∠E=70°，则在直角△ABF中易求∠B=25°，所以利用△ABC的内角和是180°来求∠BAC的度数即可．‎ ‎【解答】解：根据旋转的性质知，∠EAC=∠BAD=65°，∠C=∠E=70°．‎ 如图，设AD⊥BC于点F．则∠AFB=90°，‎ ‎∴在Rt△ABF中，∠B=90°﹣∠BAD=25°，‎ ‎∴在△ABC中，∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣25°﹣70°=85°，即∠BAC的度数为85°．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了旋转的性质．解题的过程中，利用了三角形内角和定理和直角三角形的两个锐角互余的性质来求相关角的度数的．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）如图，⊙O的半径为5，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于点C．若OC=3，则弦AB的长为（　　）‎ A．4 B．6 C．8 D．10‎ ‎【分析】连接OA，先根据勾股定理求出AC的长，再由垂径定理可知AB=2AC，故可得出结论．‎ ‎【解答】解：连接OA，‎ ‎∵OC⊥AB，OA=5，OC=3，‎ ‎∴AC==4，‎ ‎∵OC过圆心，‎ ‎∴AB=2AC=2×4=8．‎ 故选：C．[来源:学,科,网]‎ ‎【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，若∠2=40°，则图中∠1的度数为（　　）‎ A．115° B．120° C．130° D．140°‎ ‎【分析】根据折叠的性质和矩形的性质得出∠BFE=∠EFB'，∠B'=∠B=90°，根据三角形内角和定理求出∠CFB'=50°，进而解答即可．[来源:学科网]‎ ‎【解答】解：∵‎ 把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，‎ ‎∴∠BFE=∠EFB'，∠B'=∠B=90°，‎ ‎∵∠2=40°，‎ ‎∴∠CFB'=50°，‎ ‎∴∠1+∠EFB'﹣∠CFB'=180°，‎ 即∠1+∠1﹣50°=180°，‎ 解得：∠1=115°，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，三角形的内角和定理的应用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键，注意：折叠后的两个图形全等．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=6，BD=8，动点P从点B出发，沿着B﹣A﹣D在菱形ABCD的边上运动，运动到点D停止，点P′是点P关于BD的对称点，PP′交BD于点M，若BM=x，△OPP′的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由菱形的性质得出AB=BC=CD=DA，OA=AC=3，OB=BD=4，AC⊥BD，分两种情况：‎ ‎①当BM≤4时，先证明△P′BP∽△CBA，得出比例式，求出PP′，得出△OPP′的面积y是关于x的二次函数，即可得出图象的情形；‎ ‎②当BM≥4时，y与x之间的函数图象的形状与①中的相同；即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AB=BC=CD=DA，OA=AC=3，OB=BD=4，AC⊥BD，‎ ‎①当BM≤4时，‎ ‎∵点P′与点P关于BD对称，‎ ‎∴P′P⊥BD，‎ ‎∴P′P∥AC，‎ ‎∴△P′BP∽△CBA，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴PP′=x，‎ ‎∵OM=4﹣x，‎ ‎∴△OPP′的面积y=PP′•OM=×x（4﹣x）=﹣x2+3x；‎ ‎∴y与x之间的函数图象是抛物线，开口向下，过（0，0）和（4，0）；‎ ‎②当BM≥4时，y与x之间的函数图象的形状与①中的相同，过（4，0）和（8，0）；‎ 综上所述：y与x之间的函数图象大致为．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了动点问题的函数图象、菱形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积的计算以及二次函数的运用；熟练掌握菱形的性质，根据题意得出二次函数解析式是解决问题的关键．‎ ‎　‎ 二、填空题（本题共18分，每小题3分）‎ ‎11．（3分）分解因式：2a2﹣2=　2（a+1）（a﹣1）　．‎ ‎【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．‎ ‎【解答】解：2a2﹣2，‎ ‎=2（a2﹣1），‎ ‎=2（a+1）（a﹣1）．‎ ‎【点评】本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）质量检测部门对甲、乙两工厂生产的同样产品抽样调查，计算出甲厂的样本方差为0.99，乙厂的样本方差为1.22．由此可以推断出生产此类产品，质量比较稳定的是　甲　厂．‎ ‎【分析】根据方差的意义即方差越小数据越稳定，即可得出答案．‎ ‎【解答】解：∵甲厂的样本方差为0.99，乙厂的样本方差为1.22，‎ ‎∴S2甲＜S2乙，‎ ‎∴质量比较稳定的是甲厂；‎ 故答案为：甲．‎ ‎【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）若反比例函数y=的图象位于第一、三象限，则正整数k的值是　1　．‎ ‎【分析】由反比例函数的性质列出不等式，解出k的范围，在这个范围写出k的整数解则可．‎ ‎【解答】解：∵反比例函数的图象在一、三象限，‎ ‎∴2﹣k＞0，即k＜2．‎ 又∵k是正整数，‎ ‎∴k的值是：1．‎ 故答案为：1．‎ ‎【点评】本题考查了反比例函数的性质：当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）在综合实践课上，小明同学设计了如图测河塘宽AB的方案：在河塘外选一点O，连结AO，BO，测得AO=18m，BO=21m，延长AO，BO分别到D，C两点，使OC=6m，OD=7m，又测得CD=5m，则河塘宽AB=　15　m．‎ ‎【分析】根据题意得出=，进而利用相似三角形的判定于性质得出即可．‎ ‎【解答】解：∵==3，==3，‎ ‎∴=，‎ 又∵∠AOB=∠COD，‎ ‎∴△ABO∽△CDO，‎ ‎∴==3，‎ 故AB=15m．‎ 故答案为：15．‎ ‎【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，得出△ABO∽△CDO是解题关键．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为　208　米．（精确到1米，参考数据：≈1.73）‎ ‎【分析】分别利用锐角三角函数关系得出BD，DC的长，进而求出该建筑物的高度．[来源:Zxxk.Com]‎ ‎【解答】解：由题意可得：tan30°===，‎ 解得：BD=30，‎ tan60°===，‎ 解得：DC=90，‎ 故该建筑物的高度为：BC=BD+DC=120≈208（m），‎ 故答案为：208．‎ ‎【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为1，以AB为直径作半圆，点P是CD中点，BP与半圆交于点Q，连结，给出如下结论：①DQ=1；②=；③S△PDQ=；④cos∠ADQ=．其中正确结论是　①②④　（填写序号）‎ ‎【分析】①连接OQ，OD，如图1．易证四边形DOBP是平行四边形，从而可得DO∥BP．结合OQ=OB，可证到∠AOD=∠QOD，从而证到△AOD≌△QOD，则有DQ=DA=1；‎ ‎②连接AQ，如图2，根据勾股定理可求出BP．易证Rt△AQB∽Rt△‎ BCP，运用相似三角形的性质可求出BQ，从而求出PQ的值，就可得到 的值；‎ ‎③过点Q作QH⊥DC于H，如图3．易证△PHQ∽△PCB，运用相似三角形的性质可求出QH，从而可求出S△DPQ的值；‎ ‎④过点Q作QN⊥AD于N，如图4．易得DP∥NQ∥AB，根据平行线分线段成比例可得==，把AN=1﹣DN代入，即可求出DN，然后在Rt△DNQ中运用三角函数的定义，就可求出cos∠ADQ的值．‎ ‎【解答】解：①连接OQ，OD，如图1．‎ 易证四边形DOBP是平行四边形，从而可得DO∥BP．‎ 结合OQ=OB，可证到∠AOD=∠QOD，从而证到△AOD≌△QOD，‎ 则有DQ=DA=1．‎ 故①正确；[来源:Zxxk.Com]‎ ‎②连接AQ，如图2．‎ 则有CP=，BP==．‎ 易证Rt△AQB∽Rt△BCP，‎ 运用相似三角形的性质可求得BQ=，‎ 则PQ=﹣=，‎ ‎∴=．‎ 故②正确；‎ ‎③过点Q作QH⊥DC于H，如图3．‎ 易证△PHQ∽△PCB，‎ 运用相似三角形的性质可求得QH=，‎ ‎∴S△DPQ=DP•QH=××=．‎ 故③错误；‎ ‎④过点Q作QN⊥AD于N，如图4．‎ 易得DP∥NQ∥AB，‎ 根据平行线分线段成比例可得==，‎ 则有=，‎ 解得：DN=．‎ 由DQ=1，得cos∠ADQ==．‎ 故④正确．‎ 综上所述：正确结论是①②④．‎ 故答案为：①②④．‎ ‎【点评】‎ 本题主要考查了圆周角定理、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、等腰三角形的性质、平行线的性质、锐角三角函数的定义、勾股定理等知识，综合性比较强，常用相似三角形的性质、勾股定理、三角函数的定义来建立等量关系，应灵活运用．‎ ‎　‎ 三、解答题（共9小题，满分102分）‎ ‎17．（8分）先化简，再求值：，其中0＜a＜3，且a为整数．‎ ‎【分析】先通分，再约分得到原式=，然后求出满足条件的a的值，最后把a的值代入计算即可．‎ ‎【解答】解：原式=﹣‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=，‎ ‎∵0＜a＜3，且a为整数．‎ ‎∴a的值为1或2，‎ 而a﹣2≠0，‎ ‎∴a=1，‎ 当a=1时，原式==．‎ ‎【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．‎ ‎　‎ ‎18．（10分）解方程：‎ ‎（1）x2﹣2x﹣1=0‎ ‎（2）‎ ‎【分析】（1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上1，然后把方程左边写成完全平方形式即可，‎ ‎（2）方程两边同时乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解，经检验即可得到分式方程的解．‎ ‎【解答】解：（1）x2﹣2x=1，‎ x2﹣2x+1=1+1，‎ ‎（x﹣1）2=2，‎ x﹣1=或x﹣1=﹣，‎ x1=+1，x2=﹣+1，‎ ‎（2）方程两边同时乘以（x﹣2）得：1+2（x﹣2）=x﹣1，‎ 解得：x=2，‎ 把x=2代入x﹣2得x﹣2=0，‎ ‎∴x=2不是该分式方程的解，‎ 该分式方程无解．‎ ‎【点评】本题考查解一元二次方程﹣配方法和解分式方程，熟练掌握运算法则是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．（10分）如图，点A、B、C、D、E都在⊙O上，AC平分∠BAD，且AB∥CE，求证：AD=CE．‎ ‎【分析】欲证明AD=CE，只需证明=即可．如图，根据平行线的性质和角平分线的定义易证得∠C=∠CAD，所以=，则+=+，故=．‎ ‎【解答】证明：如图，∵AB∥CE，‎ ‎∴∠ACE=∠BAC．‎ 又∵AC平分∠BAD，‎ ‎∴∠BAC=∠DAC，‎ ‎∴∠C=∠CAD，‎ ‎∴=，‎ ‎∴+=+，‎ ‎∴=，‎ ‎∴AD=CE．‎ ‎【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆心角、弧、弦之间的关系定理．三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．‎ ‎　‎ ‎20．（10分）已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1=0．‎ ‎（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；‎ ‎（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=2，求该矩形的对角线L的长．‎ ‎【分析】（1）根据方程解的个数结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；‎ ‎（2）当k=2时，原方程为x2﹣5x+5=0，设方程的两个为m、n，根据根与系数的关系找出m+n=5、mn=5，将变形为，再代入数据即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）∵方程x2﹣（2k+1）x+k2+1=0有两个不相等的实数根，‎ ‎∴△=[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2+1）=4k﹣3＞0，‎ ‎∴k＞．‎ ‎（2）当k=2时，原方程为x2﹣5x+5=0，‎ 设方程的两个为m、n，‎ ‎∴m+n=5，mn=5，‎ ‎∴==．‎ ‎【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握当方程有两个不相等的实数根时△＞0是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）某中学选拔一名青年志愿者：经笔试、面试，结果小明和小丽并列第一．评委会决定通过抓球来确定人选．规则如下：在不透明的布袋里装有除颜色之外均相同的2个红球和1个绿球，小明先取出一个球，记住颜色后放回，然后小丽再取出一个球．若两次取出的球都是红球，则小明胜出；若两次取出的球是一红一绿，则小丽胜出．你认为这个规则对双方公平吗？请用列表法或画树状图的方法进行分析．‎ ‎【分析】直接利用树状图法列举出所有的可能，注意小明摸出一个球，记下颜色后放回搅动，然后小丽再取出一个球，再分别求出两次取出的球都是红球，两次取出的球是一红一绿的可能性，再比较即可求解．‎ ‎【解答】解：如图所示：‎ 一共9种情况，其中两次取出的球都是红球的可能性是；两次取出的球是一红一绿的可能性是．‎ 故这个规则对双方公平．‎ ‎【点评】此题主要考查了树状图法求概率，正确列举出所有的可能是解题关键．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）诸暨某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．‎ ‎（1）设每件童装降价x元时，每天可销售　20+2x　件，每件盈利　40﹣x　元；（用x的代数式表示）‎ ‎（2）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元．‎ ‎（3）要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由．‎ ‎【分析】（1）根据：销售量=原销售量+因价格下降而增加的数量，每件利润=实际售价﹣进价，列式即可；‎ ‎（2）根据：总利润=每件利润×销售数量，列方程求解可得；‎ ‎（3）根据（2）中相等关系列方程，判断方程有无实数根即可得．‎ ‎【解答】解：（1）设每件童装降价x元时，每天可销售20+2x件，每件盈利40﹣x元，‎ 故答案为：（20+2x），（40﹣x）；‎ ‎（2）根据题意，得：（20+2x）（40﹣x）=1200‎ 解得：x1=20，x2=10‎ 答：每件童装降价20元或10元，平均每天赢利1200元；‎ ‎（3）不能，‎ ‎∵（20+2x）（40﹣x）=2000 此方程无解，‎ 故不可能做到平均每天盈利2000元．‎ ‎【点评】本题主要考查一元二次方程的实际应用，理解题意找到题目蕴含的等量关系是列方程求解的关键．‎ ‎　‎ ‎23．（12分）如图，一次函数y=kx+2的图象与反比例函数y=的图象交于点P，点P在第一象限．PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、D，且S△PBD=4，=．‎ ‎（1）求点D的坐标；‎ ‎（2）求一次函数与反比例函数的解析式；‎ ‎（3）根据图象写出当x＞0时，一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．‎ ‎【分析】（1）在y=kx+2中，只要x=0得y=2即可得点D的坐标为（0，2）．‎ ‎（2）由AP∥OD得Rt△PAC∽Rt△DOC，又=，可得==，故AP=6，BD=6﹣2=4，由S△PBD=4可得BP=2，把P（2，6）分别代入y=kx+2与y=可得一次函数解析式为：y=2x+2反比例函数解析式为：y=‎ ‎（3）当x＞0时，一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围由图象能直接看出x＞2．‎ ‎【解答】解：（1）在y=kx+2中，令x=0得y=2，‎ ‎∴点D的坐标为（0，2）‎ ‎（2）∵AP∥OD，‎ ‎∴∠CDO=∠CPA，∠COD=∠CAP，‎ ‎∴Rt△PAC∽Rt△DOC，‎ ‎∵=，即=，‎ ‎∴==，‎ ‎∴AP=6，‎ 又∵BD=6﹣2=4，‎ ‎∴由S△PBD=BP•BD=4，可得BP=2，‎ ‎∴P（2，6）（4分）把P（2，6）分别代入y=kx+2与y=可得 一次函数解析式为：y=2x+2，‎ 反比例函数解析式为：y=；‎ ‎（3）由图可得x＞2．‎ ‎【点评】考查反比例函数和一次函数解析式的确定、图形的面积求法、相似三角形等知识及综合应用知识、解决问题的能力．有点难度．‎ ‎　‎ ‎24．（14分）如图，等腰Rt△ABD中，AB=AD，点M 为边AD上一动点，点E在DA的延长线上，且AM=AE，以BE为直角边，向外作等腰Rt△BEG，MG交AB于N，连NE、DN．‎ ‎（1）求证：∠BEN=∠BGN．‎ ‎（2）求的值．‎ ‎（3）当M在AD上运动时，探究四边形BDNG的形状，并证明之．‎ ‎【分析】（1）连接BM，推出BE=BM，∠EBA=∠MBA，根据SAS证△BMN≌△BEN，推出∠BMN=∠BEN，证出∠BMN=∠BGN即可；‎ ‎（2）过G作GH⊥AB，垂足为H，证△BGH≌△ABE，推出BH=AE=AN，求出NG=GH=AB，代入求出即可；‎ ‎（3）根据ADN≌△BAE，推出BG⊥BE，BG=BE，得出BG∥DN，BG=DN，根据平行四边形的判定判断即可．‎ ‎【解答】（1）证明：连BM，‎ ‎∵∠BAD=90°，‎ ‎∴BA⊥EM，‎ ‎∵AE=AM，‎ ‎∴BE=BM，∠EBA=∠MBA，‎ 在△BEN和△BMN中 ‎，‎ ‎∴△BMN≌△BEN，‎ ‎∴∠BMN=∠BEN，‎ ‎∵BE=BG=BM，‎ ‎∴∠BMN=∠BGN，‎ ‎∴∠BEN=∠BGN．‎ ‎（2）解：由（1）得，∠GBE=∠GNE=90°，‎ ‎∴△NME等腰直角三角形，‎ ‎∴AE=AN，‎ 过G作GH⊥AB，垂足为H，‎ ‎∴∠H=∠BAE=∠GBE=90°，‎ ‎∴∠HGB+∠HBG=90°，∠HBG+∠ABE=90°，‎ ‎∴∠HGB=∠EBA，‎ 在△BGH和△ABE中 ‎，‎ ‎∴△BGH≌△ABE，‎ ‎∴BH=AE=AN，‎ HN=AB=GH，NG=GH=AB，‎ ‎∴．‎ ‎（3）解：四边形BDNG是平行四边形，‎ 理由是：∵∠DAN=∠BAE=90°，AN=AE，AB=AD，‎ ‎∴△ADN≌△BAE，‎ ‎∴DN⊥BE，DN=BE=BG，‎ 又∵BG⊥BE，BG=BE，‎ ‎∴BG∥DN，BG=DN ‎∴四边形BDNG为平行四边形．‎ ‎【点评】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质等知识点的运用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题型较好，但有一定的难度．‎ ‎　‎ ‎25．（14分）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴的两个交点分别为A（﹣3，0）、B（1，0），过顶点C作CH⊥x轴于点H．‎ ‎（1）直接填写：a=　﹣1　，b=　﹣2　，顶点C的坐标为　（﹣1，4）　；‎ ‎（2）在y轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；‎ ‎（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC于点Q，当△PCQ与△ACH相似时，求点P的坐标．‎ ‎【分析】（1）将A（﹣3，0）、B（1，0），代入y=ax2+bx+3求出即可，再利用平方法求出顶点坐标即可；‎ ‎（2）首先证明△CED∽△DOA，得出y轴上存在点D（0，3）或（0，1），即可得出△ACD是以AC为斜边的直角三角形．‎ ‎（3）首先求出直线CA的解析式为y=k1x+b1，再利用联立两函数解析式即可得出交点坐标，再利用若点P在对称轴左侧（如图②），只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH得出答案即可．‎ ‎【解答】解：（1）a=﹣1，b=﹣2，顶点C的坐标为（﹣1，4）；‎ ‎（2）假设在y轴上存在满足条件的点D，过点C作CE⊥y轴于点E．‎ 由∠CDA=90°得，∠1+∠2=90°．又∠2+∠3=90°，‎ ‎∴∠3=∠1．又∵∠CED=∠DOA=90°，‎ ‎∴△CED∽△DOA，∴．‎ 设D（0，c），则．变形得c2﹣4c+3=0，解之得c1=3，c2=1．‎ 综合上述：在y轴上存在点D（0，3）或（0，1），‎ 使△ACD是以AC为斜边的直角三角形．‎ ‎（3）①若点P在对称轴右侧（如图①），只能是△PCQ∽△CAH，得∠QCP=∠CAH．‎ 延长CP交x轴于M，∴AM=CM，∴AM2=CM2．‎ 设M（m，0），则（m+3）2=42+（m+1）2，∴m=2，即M（2，0）．‎ 设直线CM的解析式为y=k1x+b1，‎ 则，解之得，．‎ ‎∴直线CM的解析式．‎ 联立，解之得或（舍去）．[来源:学_科_网]‎ ‎∴．‎ ‎②若点P在对称轴左侧（如图②），只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH．‎ 过A作CA的垂线交PC于点F，作FN⊥x轴于点N．‎ 由△CFA∽△CAH得，‎ 由△FNA∽△AHC得．‎ ‎∴AN=2，FN=1，CH=4，HO=1，则AH=2，‎ ‎∴点F坐标为（﹣5，1）．‎ 设直线CF的解析式为y=k2x+b2，则，‎ 解之得．‎ ‎∴直线CF的解析式．‎ 联立，解之得或（舍去）．‎ ‎∴．‎ ‎∴满足条件的点P坐标为或．‎ ‎【点评】此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的应用，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型，特别注意利用数形结合是这部分考查的重点，也是难点，同学们应重点掌握．‎ ‎　‎