初三数学试卷 2008

初三数学试卷 2008

北京市西城区2008年抽样测试 初三数学试卷 2008．6‎ 考生须知 ‎1．本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷，共10页，共九道大题，25个小题，满分120分。考试时间120分钟。‎ ‎2．在试卷密封线内认真填写区(县)名称、毕业学校、姓名、报名号、准考证号。‎ ‎3．考试结束后，请将本试卷和机读答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷(机读卷 共32分)‎ 考生须知 ‎1．第Ⅰ卷共2页，共一道大题，8个小题。‎ ‎2．试题答案一律填涂在机读答题卡上，在试卷上作答无效。‎ 一、选择题(共8个小题，每小题4分，共32分)‎ ‎1．－的倒数是( )．‎ A．－9 B．－‎6 ‎C．6 D．9‎ ‎2．分式值为0，则x的值是( )．‎ A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝‎ ‎3．如图，已知：AB∥CD、AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有( )．‎ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 ‎4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosB＝( )．‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎5．如图表示几个小立方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数，这个几何体的主视图是( )．‎ ‎6．下面是甲、乙两户居民家庭全年各项支出的统计图．‎ ‎ ‎ 根据统计图，下列对两户教育支出占全年总支出的百分比作出的判断中，正确的是( )．‎ A．甲户比乙户大 B．乙户比甲户大 C．甲、乙两户一样大 D．无法确定哪一户大 ‎7．用“&”定义新运算：对于任意实数a，b都有a & b＝‎2a－b，如果x&(1 & 3)＝2，那么x等于( )．‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎8．如图，在一个3×3方格纸上，若以格点(即小正方形的顶点)为顶点画正方形，在该3×3方格纸上最多可画出的正方形的个数是( )个．‎ A．13 B．14‎ C．18 D．20‎ ‎第Ⅱ卷 (非机读卷 共88分)‎ 考生须知 ‎1．第Ⅱ卷共8页，共八道大题，17个小题。‎ ‎2．除画图可以用铅笔外，答题必须用黑色或蓝色钢笔、圆珠笔。‎ 题 号 二 三 四 五 六 七 八 九 总 分 得 分 阅卷人 复查人 二、填空题(共4个小题，每小题4分，共16分)‎ ‎9．函数y＝中自变量x的取值范围是________．‎ ‎10．已知双曲线y＝经过点(－1，3)，如果A(2，b1)，B(3，b2)两点在该双曲线上，那么b1________b2．(用“＞”或“＜”连接)‎ ‎11．已知a－2，b＋1，c－5的平均数为m，那么a、b、c的平均数为(用含m的式子表示)________.‎ ‎12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的点，那么△AD的面积是________．‎ 三、解答题(共5个小题，共25分)‎ ‎13．(本题满分5分)‎ 先化简，再求值：x(x＋y)－(x－y)(x＋y)－y2，其中x＝0.252008，y＝42008．‎ ‎14．(本题满分5分)‎ 解不等式组：‎ ‎15．(本题满分5分)‎ 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，AD＝20，求BC的长．‎ ‎16．(本题满分5分)‎ 如图，将正方形OABC绕点O顺时针方向旋转角α(0°＜α＜45°)，得到正方形ODEF，EF交AB于H．‎ 求证：BH＝HE．‎ ‎17．(本题满分5分)‎ 某市今年起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25％，小方家去年12月份的水费是24元，而今年5月份的水费是48元．已知小方家今年5月份的用水量比去年12月份多‎6立方米，求该市今年居民用水的价格．‎ 四、解答题(共2个题，共10分)‎ ‎18．(本题满分5分)‎ 如图，已知△ABC的面积为4，且AB＝AC，现将△ABC沿CA方向平移CA长度得到△EFA．‎ ‎(1)判断AF与BE的位置关系，并说明理由；‎ ‎(2)若∠BEC＝15°，求AC的长．‎ ‎19．(本题满分5分)‎ 如图，BD为⊙O的直径，点A是的中点，AD交BC于E点，AE＝2，ED＝4．‎ ‎(1)求证：△ABE∽△ADB；‎ ‎(2)求tan∠ADB的值；‎ ‎(3)延长BC至F，连接DF，使△BDF的面积等于8，求∠EDF的度数．‎ 五、解答题(共2个题，共9分)‎ ‎20．(本题满分5分)‎ 已知关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0．‎ ‎(1)若a≥0，b≥0，方程有实数根，试确定a，b之间的大小关系；‎ ‎(2)若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，请你用树状图或表格表示出所有可能出现的结果，并求出使上述方程有实数根的概率．‎ ‎21．(本题满分4分)阅读下列材料：‎ 当矩形一角的平分线分矩形一边为‎1cm和‎3cm两部分时，则这个矩形的面积为‎4cm2或‎12cm2．‎ 当矩形一角的平分线分矩形一边为‎1cm和‎4cm两部分时，则这个矩形的面积为‎5cm2或‎20cm2．‎ 根据以上情况，完成下面填空．‎ ‎(1)当矩形一角的平分线分矩形一边为‎1cm和‎5cm两部分时，则这个矩形的面积为________cm2或_______cm2．‎ ‎(2)当矩形一角的平分线分矩形一边为‎1cm和n cm两部分时，则这个矩形的面积为________cm2或________cm2．(n为正整数)‎ 六、解答题(本题满分6分)‎ ‎22．如图，函数y＝－x＋4的图象分别交x轴，y轴于点N、M，过MN上的两点A、B分别向x轴作垂线与x轴交于A1(x1，0)，B1(x2，0)(A1在B1的左边)，若OA1＋OB1＞4．‎ ‎(1)分别用含x1、x2的代数式表示△OA‎1A的面积S1与△OB1B的面积S2．‎ ‎(2)请判断△OA‎1A的面积S1与△OB1B的面积S2的大小关系，并说明理由．‎ 七、解答题(本题满分7分)‎ ‎23．如图，梯形ABCD中，BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝18，BC＝24，AB＝m．‎ 在线段BC上任取一点P，连结DP，作射线PE⊥DP，PE与直线AB交于点E．‎ ‎(1)当CP＝6时，试确定点E的位置；‎ ‎(2)若设CP＝x，BE＝y，写出y关于x的函数关系式；‎ ‎(3)在线段BC上能否存在不同的两点P1、P2使得按上述作法得到的点E都分别与点A重合，若能，试求出此时m的取值范围，若不能，请说明理由．‎ 八、解答题(本题满分8分)‎ ‎24．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A(－2，0)和原点O，顶点是D．‎ ‎(1)求抛物线y＝ax2＋2x＋c的解析式；‎ ‎(2)在x轴的上方的抛物线上有点M，连接DM与线段OA交于N点，若S△MON∶S△ODN＝2∶1，求点M的坐标；‎ ‎(3)若点H是x轴上的一点，以H、A、D为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一个顶点F在y轴上，写出H点的坐标(直接写出答案，不要求计算过程)．‎ 九、解答题(本题满分7分)‎ ‎25．设点E是平行四边形ABCD的边AB的中点，F是BC边上一点，线段DE和AF相交于点P，点Q在线段DE上，且AQ∥PC．‎ ‎(1)证明：PC＝2AQ；‎ ‎(2)当点F为BC的中点时，试比较△PFC和梯形APCQ面积的大小关系，并对你的结论加以证明．‎ 北京市西城2008年抽样测试 初三数学评分标准及参考答案 2008．6‎ 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 A D C D B B C D 二、填空题 题号 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 x≥－2且x≠0‎ ‎＜‎ m+2‎ 三、解答题 ‎13．先化简，再求值：x(x＋y)－(x－y)(x＋y)－y2，其中x＝0.252008，y＝42008‎ 解：x(x＋y)－(x－y)(x＋y)－y2‎ ‎＝x2＋xy－(x2－y2)－y2…………………………………………………………………2分 ‎＝x2＋xy－x2＋y2－y2‎ ‎＝xy．……………………………………………………………………………………4分 当x＝0.252008，y＝42008时，原式＝1．………………………………………………5分 ‎14．解不等式组：‎ 解：由3x－5＞x－3解出x＞1．………………………………………………………2分 由解出x≤3．………………………………………………………………4分 所以，原不等式组的解集是1＜x≤3．…………………………………………………5分 ‎15．解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，‎ ‎∴∠B＝60°．………………………………………………………………………………1分 ‎∵BD是∠ABC的平分线，‎ ‎∴∠DBA＝30°．…………………………………………………………………………2分 ‎∴AD＝DB＝20．‎ ‎∵∠BDC＝∠BAD＋∠DBA＝60°………………………………………………………3分 ‎∴sin∠BDC＝，‎ ‎∴BC＝10．……………………………………………………………………………5分 ‎16．证明：连结OH．‎ ‎∵四边形OABC和四边形ODEF都是正方形，‎ ‎∴‎ ‎∴△OFH≌△OAH．………………………………………………………………………3分 ‎∵BA＝FE，‎ ‎∴BH＝HE.………………………………………………………………………………5分 ‎17．解：设该市去年居民用水的价格为x元／m3，则今年用水价格为(1＋25％)x元／m3．‎ ‎ ………………………………………………………………………………………1分 根据题意得：……………………………………………………3分 解得：x＝2.4．‎ 经检验x＝2.4是原方程的根．……………………………………………………………4分 所以(1＋25％)x＝3．‎ 答：该市今年居民用水的价格是3元／m3．……………………………………………5分 ‎18．证明：(1)AF⊥BE．………………………………………………………………………1分 理由如下：‎ 连结BF．‎ ‎∵△AEF是由△ABC沿CA平移CA长度得到，‎ ‎∴BF＝AC，AB＝EF，CA＝AE．‎ ‎∵AB＝AC，‎ ‎∴AB＝BF＝FE＝AE．‎ ‎∴四边形ABFE是菱形．…………………………………………………………………2分 ‎∴AF⊥BE．………………………………………………………………………………3分 ‎(2)作BM⊥AC于点M．…………………………………………………………………4分 ‎∵AB＝AC＝AE，∠BEC＝15°，‎ ‎∴∠BAC＝30°．‎ ‎∵S△ABC＝4，‎ ‎，‎ ‎∴AC＝4．…………………………………………………………………………………5分 ‎19．证明：(1)∵A是的中点，‎ ‎∴，‎ ‎∴∠ABC＝∠ADB．‎ ‎∵∠BAE＝∠DAB，‎ ‎∴△ABE∽△ADB．………………………………………………………………………2分 ‎(2)由(1)得△ABE∽△ADB．‎ ‎．‎ 有AB2＝AD·AE＝12，‎ ‎∴AB＝2．‎ ‎∵BD是⊙O的直径，‎ ‎∴∠DAB＝90°，‎ ‎．……………………………………………………3分 ‎(3)连接OA，CD，‎ ‎∴AO⊥BC，CD⊥BC．‎ 由(2)知：．‎ ‎∴∠ADB＝30°，∠AOB＝60°，∠DBC＝30°．‎ ‎∵BD＝‎ ‎∴CD＝2．……………………………………………………………………………4分 ‎∵S△BDF＝8‎ ‎∴BF＝8．‎ ‎∵Rt△ABE知，BE＝4，‎ ‎∴EF＝4．‎ ‎∵在Rt△EDC中，知ED＝4，‎ ‎∴EF＝ED．‎ ‎∵∠AEB＝∠DEF＝60°，‎ ‎∴∠EDF＝60°．…………………………………………………………………………5分 ‎20．解：(1)由于关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0有实数根，‎ 所以(‎2a)2－4b2≥0，有a2≥b2．…………………………………………………………1分 由于a≥0，b≥0，所以a≥b．…………………………………………………………2分 ‎(2)列表：‎ ‎ a b ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎(0，0)‎ ‎(0，1)‎ ‎(0，2)‎ ‎(0，3)‎ ‎1‎ ‎(1，0)‎ ‎(1，1)‎ ‎(1，2)‎ ‎(1，3)‎ ‎2‎ ‎(2，0)‎ ‎(2，1)‎ ‎(2，2)‎ ‎(2，3)‎ 共有12种情况，其中a≥b的有8种，则上述方程有实数根的概率是．…………5分 ‎(其中正确列表给2分，正确计算出概率给1分，共3分)．‎ ‎21．(1)6，30……………………………………………………………………………………2分 ‎(2)n＋1，n(n＋1)．………………………………………………………………………4分 ‎22．解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＝－x1＋4，y2＝－x2＋4．‎ ‎(1)．‎ ‎．……………………………………2分 ‎(2)有S1＞S2．……………………………………………………………………………3分 理由如下：‎ ‎．……………………………………5分 由题意知，x1＜x2，且x1＋x2＞4．‎ 所以，x1－x2＜0，x1＋x2－4＞0．‎ 可得S1－S2＞0，即S1＞S2．……………………………………………………………6分 ‎23．解：(1)作DF⊥BC，F为垂足．‎ 当PC＝6时，‎ 由已知可得，四边形ABFD是矩形，FC＝6，‎ ‎∴点P与点F重合，又BF⊥FD，‎ ‎∴此时点E与点B重合．‎ ‎(2)当点P在BF上(即6＜x≤24)时，‎ ‎∵∠EPB＋∠DPF＝90°，∠EPB＋∠PEB＝90°，‎ ‎∴∠DPF＝∠PEB．‎ ‎∵∠B＝∠PFD＝90°‎ ‎∴tan∠EPB＝tan∠PDF，即，‎ ‎，‎ ‎．‎ 当点P在CF上(即0≤x≤6)时，同理可得y＝．‎ 综合以上知：‎ ‎(3)能找到这样的P点．‎ 当点E与点A重合时，y＝EB＝m，此时点P在线段BF上，有m＝－(x2－30x＋144)，‎ 整理得，x2－30x＋144＋m2＝0．①‎ 假设在线段BC上能找到两个不同的点P1与P2满足条件，即方程①有两个不相等的正根，首先要Δ＝(－30)2－4×(144＋m2)＞0，然后应有x＝15±＞0．‎ 由Δ＞0解得：81＞m2，由于＜15．又m＞0，∴0＜m＜9．……………7分 ‎(3)解法二：能找到这样的P点．………………………………………………………6分 当点E与点A重合时，‎ ‎∵∠APD＝90°，‎ ‎∴点P在以AD为直径的圆上，设圆心为Q，则Q为AD的中点．‎ 要使在线段BC上能找到两个不同的点P1与P2满足条件，只要使线段BC与⊙Q相交，即：圆心Q到BC的距离d满足0＜d＜，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴d＝m．‎ ‎∴0＜m＜＝9．………………………………………………………………………7分 ‎24．解：(1)由于抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A和点O，所以有 解出 解出抛物线的解析式是y＝x2＋2x．……………………………………………2分 ‎(2)由抛物线y＝x2＋2x知其顶点D的坐标是(－1，－)．‎ 设点M的坐标是(x0，y0)，且y0＞0．‎ 由于S△MON∶S△ODN＝2∶1，即 所以yM∶|yD|＝2∶1．………………………………………………………………3分 由于|yD|＝，所以yM＝2．‎ 将yM＝2代入y＝x2＋2x中，得x＝－1±，‎ 所以满足条件的点M有两个，即M1(－1＋，2)，M2(－1－，2)．…5分 ‎(3)满足条件的H点有3个，它们分别是H1(－1，0)，H2(－3，0)，H3(1，0)．…8分 ‎ ‎ ‎25．解：(1)延长DE，CB相交于点R，作BM∥PC．……………………………………1分 ‎∵AQ∥PC，BM∥PC，‎ ‎∴MB∥AQ．‎ ‎∴∠AQE＝∠EMB．‎ ‎∵E是AB的中点，D、E、R三点共线，‎ ‎∴AE＝EB，∠AEQ＝∠BEM．‎ ‎∴△AEQ≌△BEM．‎ ‎∴AQ＝BM．………………………………………………………………………………3分 同理∴△AED≌△REB．‎ ‎∴AD＝BR＝BC．‎ ‎∵BM∥PC，‎ ‎∴△RBM∽△RCP，相似比是．‎ ‎∴PC＝2MB＝2AQ．………………………………………………………………………4分 另解：连结AC交PQ于点K，…………………………………………………………1分 易证△AKE∽△CKD，‎ ‎．………………………………………………………………………2分 ‎∵AQ∥PC ‎∴△AKQ∽△CKP．………………………………………………………………………3分 ‎．‎ ‎，即PC＝2AQ………………………………………………………………4分 ‎(2)作BN∥AF，交RD于点N．…………………………………………………………5分 ‎∴△RBN∽△RFP．‎ ‎∵F是BC的中点，RB＝BC，‎ ‎．‎ ‎．‎ 易证△BNE≌△APE．‎ ‎∴AP＝BN．‎ ‎.……………………………………………………………………6分 因△PFC(视PC为底)与梯形APCQ的高的比等于△PFC与△PQC中PC边高的比易知即等于PF与AP的比，于是设△PFC中PC边的高h1＝3k，梯形APCQ的高h2＝2k．再设AQ＝a，则PC＝‎2a．‎ ‎，．‎ 因此∴S△PFC＝S梯形APCQ．…………………………………………………………………7分