天津市河东区中2020年考数学一模试卷 解析版

天津市河东区中2020年考数学一模试卷 解析版

‎2020年天津市河东区中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（3分）计算：（﹣3）×5的结果是（　　）‎ A．﹣15 B．15 C．﹣2 D．2‎ ‎2．（3分）的值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．（3分）下面图形中，是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（3分）我国最长的河流长江全长约为6400千米，用科学记数法表示为（　　）‎ A．64×102米 B．6.4×103米 C．6.4×106米 D．6.4×105米 ‎5．（3分）下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中左视图与主视图相同的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎6．（3分）下列整数中，与10﹣最接近的是（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎7．（3分）化简的结果是（　　）‎ A．a B．a+1 C．a﹣1 D．a2﹣1‎ ‎8．（3分）如图，已知在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，其中B点坐标是（8，2），D点坐标是（0，2），点A在x轴上，则菱形ABCD的周长是（　　）‎ A．2 B．8 C．8 D．12‎ ‎9．（3分）关于x、y的方程组的解为，则（　　）‎ A．m＝1，n＝2 B．m＝1，n＝5 C．m＝5，n＝1 D．m＝2，n＝4‎ ‎10．（3分）已知点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在反比例函数y＝的图象上，那么y1，y2与y3的大小关系是（　　）‎ A．y3＜y1＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y2＜y3 D．y1＜y3＜y2‎ ‎11．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG，AE，FG分别交射线CD于点PH，连结AH，若P是CH的中点，则△APH的周长为（　　）‎ A．15 B．18 C．20 D．24‎ ‎12．（3分）如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，OA＝OC，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＜0；②a+c＝0；③ac+b+1＝0；④2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根．其中正确的有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）‎ ‎13．（3分）若a7•（﹣a4）＝　 　．‎ ‎14．（3分）计算（+6）•（﹣6）＝　 　．‎ ‎15．（3分）为庆祝新中国成立70周年，某校开展以“我和我亲爱的祖国”为主题的“快闪”活动，七年级准备从两名男生和三名女生中选出一名同学领唱，如果每一位同学被选中的机会均等，则选出的恰为女生的概率是　 　．‎ ‎16．（3分）若直线y＝﹣2x+3b经过点（﹣1，5），则该直线不经过第　 　象限．‎ ‎17．（3分）如图，正方形ABCD的边长是9，点E是AB边上的一个动点，点F是CD边上一点，CF＝4，连接EF，把正方形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在点A′，D′处，当点D′落在直线BC上时，线段AE的长为　 　．‎ ‎18．（3分）如图，在由边长都为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均为格点，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，D为BC中点，P为AC上的一个动点．‎ ‎（I）当点P为线段AC中点时，DP的长度等于　 　；‎ ‎（II）将P绕点D逆时针旋转90°得到点P'，连BP'，当线段BP'+DP'取得最小值时，请借助无刻度直尺在给定的网格中画出点P，点P'，并简要说明你是怎么画出点P，点P'的．‎ 三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）‎ ‎19．（8分）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．‎ ‎（I）解不等式①，得　 　；‎ ‎（II）解不等式②，得　 　；‎ ‎（III）把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来：‎ ‎（IV）原不等式组的解集为　 　．‎ ‎20．（8分）某校为了解全校学生假期主题阅读的情况（要求每名学生的文章阅读篇数，最少3篇最多7篇），随机抽查了部分学生在某一周主题阅读文章的篇数，并制成下列统计图表．‎ 某校抽查的学生文章阅读的篇数统计表 文章阅读的篇 数（篇）‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 人数（人）‎ ‎20‎ ‎28‎ m ‎16‎ ‎12‎ 请根据统计图表中的信息，解答下列问题：‎ ‎（I）求被抽查的学生人数和m的值；‎ ‎（II）求本次抽查的学生文章阅读篇数的中位数和众数；‎ ‎（III）若该校共有800名学生，根据抽查结果，估计该校学生读书总数．‎ ‎21．（10分）如图，在⊙O中，点A为弧CD的中点过点B作⊙O的切线BF，交弦CD的延长线于点F．‎ ‎（Ⅰ）如图①，连接AB，若∠F＝50°，求∠ABF的大小；‎ ‎（Ⅱ）如图②，连接CB，若∠F＝35°，AC∥BF，求∠CBF的度数．‎ ‎22．（10分）如图，某办公楼AB的右边有一建筑物CD，在建设物CD离地面2米高的点E处观测办公楼顶A点，测得的仰角∠AEM＝22°，在离建筑物CD，25米远的F点观测办公楼顶A点，测得的仰角∠AFB＝45°（B，F，C在一条直线上）．‎ ‎（I）求办公楼AB的高度；‎ ‎（II）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．‎ ‎（参考数据：sin22°≈037，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）（结果保留整数）‎ ‎23．（10分）下表中给出A，B，C三种手机通话的收费方式． ‎ 收费方式 月通话费/元 包时通话时间/h 超时费/（元/min）‎ A ‎30‎ ‎25‎ ‎0.1‎ B ‎50‎ ‎50‎ ‎0.1‎ C ‎100‎ 不限时 ‎（1）设月通话时间为x小时，则方案A，B，C的收费金额y1，y2，y3都是x的函数，请分别求出这三个函数解析式．‎ ‎（2）填空：‎ 若选择方式A最省钱，则月通话时间x的取值范围为　 　；‎ 若选择方式B最省钱，则月通话时间x的取值范围为　 　；‎ 若选择方式C最省钱，则月通话时间x的取值范围为　 　；‎ ‎（3）小王、小张今年5月份通话费均为80元，但小王比小张通话时间长，求小王该月的通话时间．‎ ‎24．（10分）平面直角坐标系中，△OAB是等边三角形，点O（0，0），点A （8，0），点P是OB边上的一个动点（与点A、B不重合）．直线l是经过点P的一条直线，把△OAB沿直线l折叠，点O的对应点是O'．‎ ‎（I）如图①，当OP＝5时，若直线l∥AB．求点O'的坐标；‎ ‎（II）如图②，当点P在OB边上运动时，若直线l⊥AB，求ABO′的面积；‎ ‎（III）当OP＝6时，在直线l变化过程中，求△ABO'面积的最大值（直接写出结果即可）．‎ ‎25．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．‎ ‎（I）求抛物线的解析式：‎ ‎（II）设点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BC，BD．试问，在对称轴左侧的抛物线是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请明理由；‎ ‎（III）存在正实数m，n（m＜n），当m≤x≤n时，恰好满足，求m，n的值．‎ ‎2020年天津市河东区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（3分）计算：（﹣3）×5的结果是（　　）‎ A．﹣15 B．15 C．﹣2 D．2‎ ‎【分析】根据正数与负数相乘的法则得（﹣3）×5＝﹣15；‎ ‎【解答】解：（﹣3）×5＝﹣15；‎ 故选：A．‎ ‎2．（3分）的值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据30°的余弦值为计算．‎ ‎【解答】解：cos30°‎ ‎＝×‎ ‎＝，‎ 故选：A．‎ ‎3．（3分）下面图形中，是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据中心对称图形的概念求解．‎ ‎【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；‎ B、是中心对称图形，故此选项符合题意；‎ C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；‎ D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意．‎ 故选：B．‎ ‎4．（3分）我国最长的河流长江全长约为6400千米，用科学记数法表示为（　　）‎ A．64×102米 B．6.4×103米 C．6.4×106米 D．6.4×105米 ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：6400千米＝6400000＝6.4×106．‎ 故选：C．‎ ‎5．（3分）下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中左视图与主视图相同的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】分别画出四个选项中简单组合体的三视图即可．‎ ‎【解答】解：A、左视图为，主视图为，左视图与主视图不同，故此选项不合题意；‎ B、左视图为，主视图为，左视图与主视图相同，故此选项符合题意；‎ C、左视图为，主视图为，左视图与主视图不同，故此选项不合题意；‎ D、左视图为，主视图为，左视图与主视图不同，故此选项不合题意；‎ 故选：B．‎ ‎6．（3分）下列整数中，与10﹣最接近的是（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎【分析】解法一：由于9＜13＜16，可判断与4最接近，从而可判断与10﹣最接近的整数为6．‎ 解法二：计算3.5的平方与13作比较，再得10﹣＜6.5，可作判断．‎ ‎【解答】解：解法一：∵9＜13＜16，‎ ‎∴3＜＜4，‎ ‎∵3.62＝12.96，3.72＝13.69，‎ ‎∴3.6＜＜3.7，‎ ‎∴﹣3.7＜﹣＜﹣3.6，‎ ‎∴10﹣3.7＜10﹣＜10﹣3.6，‎ ‎∴6.3＜10﹣＜6.4，‎ ‎∴与10﹣最接近的是6．‎ 解法二：∵3＜＜4，‎ ‎∴6＜10﹣＜7，‎ ‎∵3.52＝12.25，且12.25＜13，‎ ‎∴＞3.5，‎ ‎∴10﹣＜6.5，‎ ‎∴与10﹣最接近的是6．‎ 故选：C．‎ ‎7．（3分）化简的结果是（　　）‎ A．a B．a+1 C．a﹣1 D．a2﹣1‎ ‎【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．‎ ‎【解答】解：原式＝﹣＝＝＝a+1，‎ 故选：B．‎ ‎8．（3分）如图，已知在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，其中B点坐标是（8，2），D点坐标是（0，2），点A在x轴上，则菱形ABCD的周长是（　　）‎ A．2 B．8 C．8 D．12‎ ‎【分析】连接AC、BD交于点E，由菱形的性质得出AC⊥BD，AE＝CE＝AC，BE＝DE ‎＝BD，由点B的坐标和点D的坐标得出OD＝2，求出DE＝4，AD＝2，即可得出答案．‎ ‎【解答】解：连接AC、BD交于点E，如图所示：‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，AE＝CE＝AC，BE＝DE＝BD，‎ ‎∵点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），‎ ‎∴OD＝2，BD＝8，‎ ‎∴AE＝OD＝2，DE＝4，‎ ‎∴AD＝＝2，‎ ‎∴菱形的周长＝4AD＝8；‎ 故选：C．‎ ‎9．（3分）关于x、y的方程组的解为，则（　　）‎ A．m＝1，n＝2 B．m＝1，n＝5 C．m＝5，n＝1 D．m＝2，n＝4‎ ‎【分析】把x＝2代入方程组第二个方程求出y的值，确定出n的值，进而求出m的值即可．‎ ‎【解答】解：把x＝2代入x+y＝3得：y＝1，‎ 把x＝2，y＝1代入2x+y＝m得：m＝5，‎ 则m＝5，n＝1．‎ 故选：C．‎ ‎10．（3分）已知点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在反比例函数y＝的图象上，那么y1，y2与y3的大小关系是（　　）‎ A．y3＜y1＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y2＜y3 D．y1＜y3＜y2‎ ‎【分析】把三个点的坐标代入反比例函数解析式可计算出y1，y2与y3的值，从而得到它们的大小关系．‎ ‎【解答】解：把点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）分别代入y＝得y1＝﹣＝3，y2＝﹣＝6，y3＝﹣＝﹣6，‎ 所以y3＜y1＜y2．‎ 故选：A．‎ ‎11．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG，AE，FG分别交射线CD于点PH，连结AH，若P是CH的中点，则△APH的周长为（　　）‎ A．15 B．18 C．20 D．24‎ ‎【分析】设HD为x，表示HP，由面积法证明HP＝AP，由勾股定理求x，再由勾股定理求HA，问题可解．‎ ‎【解答】解：设HD＝x，由已知HC＝x+8‎ ‎∵P是CH的中点 ‎∴HP＝‎ 有图形可知，△HPA中，边HP和边AP边上高相等 ‎∴由面积法HP＝AP ‎∴AP＝4+‎ ‎∵DP＝HP﹣HD＝4﹣‎ ‎∴Rt△APD中 AP2＝DP2+AD2‎ ‎∴（4+）2＝（4﹣）2+62‎ 解得x＝‎ ‎∴HP＝4+＝‎ ‎∴Rt△ADH中，‎ HA＝‎ ‎∴△APH的周长为＝20‎ 故选：C．‎ ‎12．（3分）如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，OA＝OC，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＜0；②a+c＝0；③ac+b+1＝0；④2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根．其中正确的有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【分析】①由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线的对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＞0，则可对①进行判断；‎ ‎②根据对称轴是直线x＝1，可得b＝﹣2a，代入a+b+c，可对②进行判断；‎ ‎③利用OA＝OC可得到A（﹣c，0），再把A（﹣c，0）代入y＝ax2+bx+c即可对③作出判断；‎ ‎④根据抛物线的对称性得到B点的坐标，即可对④作出判断．‎ ‎【解答】解：∵抛物线开口向下，‎ ‎∴a＜0，‎ ‎∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，‎ ‎∴b＝﹣2a＞0，‎ ‎∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，‎ ‎∴c＞0，‎ ‎∴abc＜0，所以①正确；‎ ‎∵b＝﹣2a，‎ ‎∴a+b＝a﹣a＝0，‎ ‎∵c＞0，‎ ‎∴a+b+c＞0，所以②错误；‎ ‎∵C（0，c），OA＝OC，‎ ‎∴A（﹣c，0），‎ 把A（﹣c，0）代入y＝ax2+bx+c得ac2﹣bc+c＝0，‎ ‎∴ac﹣b+1＝0，所以③错误；‎ ‎∵A（﹣c，0），对称轴为直线x＝1，‎ ‎∴B（2+c，0），‎ ‎∴2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，所以④正确；‎ 故选：B．‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）‎ ‎13．（3分）若a7•（﹣a4）＝　﹣a11　．‎ ‎【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可，同底数幂相乘，底数不变，指数相加．‎ ‎【解答】解：a7•（﹣a4）＝﹣a7+4＝﹣a11．‎ 故答案为：﹣a11．‎ ‎14．（3分）计算（+6）•（﹣6）＝　﹣31　．‎ ‎【分析】直接利用平方差公式计算得出答案．‎ ‎【解答】解：原式＝（）2﹣62‎ ‎＝5﹣36‎ ‎＝﹣31．‎ 故答案为：﹣31．‎ ‎15．（3分）为庆祝新中国成立70周年，某校开展以“我和我亲爱的祖国”为主题的“快闪”活动，七年级准备从两名男生和三名女生中选出一名同学领唱，如果每一位同学被选中的机会均等，则选出的恰为女生的概率是　　．‎ ‎【分析】随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．‎ ‎【解答】解：选出的恰为女生的概率为，‎ 故答案为．‎ ‎16．（3分）若直线y＝﹣2x+3b经过点（﹣1，5），则该直线不经过第　三　象限．‎ ‎【分析】把点的坐标代入函数解析式求出b值，然后根据一次函数的性质解答．‎ ‎【解答】解：∵直线y＝﹣2x+3b经过点（﹣1，5），‎ ‎∴﹣2×（﹣1）+3b＝5，‎ 解得b＝1，‎ ‎∴直线解析式为y＝﹣2x+3，‎ ‎∴该直线经过第一二四象限，‎ ‎∴该直线不经过第三象限．‎ 故答案为：三．‎ ‎17．（3分）如图，正方形ABCD的边长是9，点E是AB边上的一个动点，点F是CD边上一点，CF＝4，连接EF，把正方形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在点A′，D′处，当点D′落在直线BC上时，线段AE的长为　2或8　．‎ ‎【分析】分两种情况：①当D′落在线段BC上时，连接ED、ED′、DD′，由折叠可得，D，D'关于EF对称，即EF垂直平分DD'，得出DE＝D′E，求出DF＝D′F＝CD﹣CF＝5，CD′＝＝3，得出BD'＝BC﹣CD'＝6，设AE＝x，则BE＝9﹣x，在Rt△AED和Rt△BED'中，由勾股定理得出方程，解方程即可；‎ ‎②当D′落在线段BC延长线上时，连接ED、ED′、DD′，解法同①．‎ ‎【解答】解：分两种情况：①当D′落在线段BC上时，连接ED、ED′、DD′，如图1所示：‎ 由折叠可得，D，D'关于EF对称，即EF垂直平分DD'，‎ ‎∴DE＝D′E，‎ ‎∵正方形ABCD的边长是9，‎ ‎∴AB＝BC＝CD＝AD＝9，‎ ‎∵CF＝4，‎ ‎∴DF＝D′F＝CD﹣CF＝9﹣4＝5，‎ ‎∴CD′＝＝3，‎ ‎∴BD'＝BC﹣CD'＝6，‎ 设AE＝x，则BE＝9﹣x，‎ 在Rt△AED和Rt△BED'中，由勾股定理得：DE2＝AD2+AE2＝92+x2，D'E2＝BE2+BD'2＝（9﹣x）2+62，‎ ‎∴92+x2＝（9﹣x）2+62，‎ 解得：x＝2，‎ 即AE＝2；‎ ‎②当D′落在线段BC延长线上时，连接ED、ED′、DD′，如图2所示：‎ 由折叠可得，D，D'关于EF对称，即EF垂直平分DD'，‎ ‎∴DE＝D′E，‎ ‎∵正方形ABCD的边长是9，‎ ‎∴AB＝BC＝CD＝AD＝9，‎ ‎∵CF＝4，‎ ‎∴DF＝D′F＝CD﹣CF＝9﹣4＝5，CD′＝＝3，‎ ‎∴BD'＝BC+CD'＝12，‎ 设AE＝x，则BE＝9﹣x，‎ 在Rt△AED和Rt△BED'中，由勾股定理得：DE2＝AD2+AE2＝92+x2，D'E2＝BE2+BD'2＝（9﹣x）2+122，‎ ‎∴92+x2＝（9﹣x）2+122，‎ 解得：x＝8，即AE＝8；‎ 综上所述，线段AE的长为2或8；‎ 故答案为：2或8．‎ ‎18．（3分）如图，在由边长都为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均为格点，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，D为BC中点，P为AC上的一个动点．‎ ‎（I）当点P为线段AC中点时，DP的长度等于　　；‎ ‎（II）将P绕点D逆时针旋转90°得到点P'，连BP'，当线段BP'+DP'取得最小值时，请借助无刻度直尺在给定的网格中画出点P，点P'，并简要说明你是怎么画出点P，点P'的．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据三角形中位线定理即可求出DP的长度；‎ ‎（Ⅱ）取格点E，F，G，H，连接EF，GH，它们分别与网格线交于点I，J，可得IJ是BB′的垂直平分线，连接IJ，DB′，它们相交于点P′；取格点M，N，连接MN，与网格线交于点L，连接DL，与网格线交于点P．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，‎ ‎∴AB＝＝5，‎ ‎∵D为BC中点，P为线段AC中点，‎ ‎∴DP＝AB＝；‎ 故答案为：；‎ ‎（Ⅱ）如图，取格点E，F，G，H，连接EF，GH，‎ 它们分别与网格线交于点I，J，‎ 取格点B′，连接IJ，DB′，‎ 它们相交于点P′，‎ 则点P′即为所求；‎ 取格点M，N，连接MN，‎ 与网格线交于点L，‎ 连接DL，与网格线交于点P，‎ 则点P即为所求．‎ 三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）‎ ‎19．（8分）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．‎ ‎（I）解不等式①，得　x＜3　；‎ ‎（II）解不等式②，得　x＞﹣1　；‎ ‎（III）把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来：‎ ‎（IV）原不等式组的解集为　﹣1＜x＜3　．‎ ‎【分析】‎ 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．‎ ‎【解答】解：（I）解不等式①，得x＜3；‎ ‎（II）解不等式②，得x＞﹣1；‎ ‎（III）把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来：‎ ‎（IV）原不等式组的解集为﹣1＜x＜3．‎ 故答案为：x＜3，x＞﹣1，﹣1＜x＜3．‎ ‎20．（8分）某校为了解全校学生假期主题阅读的情况（要求每名学生的文章阅读篇数，最少3篇最多7篇），随机抽查了部分学生在某一周主题阅读文章的篇数，并制成下列统计图表．‎ 某校抽查的学生文章阅读的篇数统计表 文章阅读的篇 数（篇）‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 人数（人）‎ ‎20‎ ‎28‎ m ‎16‎ ‎12‎ 请根据统计图表中的信息，解答下列问题：‎ ‎（I）求被抽查的学生人数和m的值；‎ ‎（II）求本次抽查的学生文章阅读篇数的中位数和众数；‎ ‎（III）若该校共有800名学生，根据抽查结果，估计该校学生读书总数．‎ ‎【分析】（I）从统计图表可得，“阅读篇数为6篇”的有16人，占调查人数的16%，可求出调查人数；进而可求出阅读篇数为5篇的人数，即m的值；‎ ‎（II）根据众数、中位数的意义，分别求出即可；‎ ‎（III）先求出每人平均读书篇数，再乘以总人数即可得出答案．‎ ‎【解答】解：（I）16÷16%＝100人，‎ m＝100﹣20﹣28﹣16﹣12＝24，‎ 答：被抽查的学生人数100人，m的值为24；‎ ‎（II）将学生阅读篇数从小到大排列处在第50、51位都是5篇，因此中位数是5篇，‎ 学生阅读文章篇数出现次数最多的是4篇，出现28次，因此众数是4篇；‎ ‎（III）根据题意得：‎ ‎（3×20+4×28+5×24+6×16+7×12）÷100×800＝3776（本），‎ 答：该校学生读书总数是3776本．‎ ‎21．（10分）如图，在⊙O中，点A为弧CD的中点过点B作⊙O的切线BF，交弦CD的延长线于点F．‎ ‎（Ⅰ）如图①，连接AB，若∠F＝50°，求∠ABF的大小；‎ ‎（Ⅱ）如图②，连接CB，若∠F＝35°，AC∥BF，求∠CBF的度数．‎ ‎【分析】（1）如图①，连接OB，OA，根据BF是⊙O的切线，可得∠OBF＝90°，根据点A为弧CD的中点，可得∠OEF＝90°，再根据四边形内角和可得∠AOB＝180°﹣∠F＝180°﹣50°＝130°，进而可得∠ABF的大小；‎ ‎（2）如图②，连接OA，OB，结合（1）可得∠AOB的度数，再根据圆周角定理和已知条件即可求∠CBF的度数．‎ ‎【解答】解：（1）如图①，连接OB，OA，‎ ‎∵BF是⊙O的切线，‎ ‎∴OB⊥BF，‎ ‎∴∠OBF＝90°，‎ ‎∵点A为弧CD的中点，‎ ‎∴OA⊥CD，‎ ‎∴∠OEF＝90°，‎ ‎∴∠AOB＝180°﹣∠F＝180°﹣50°＝130°，‎ ‎∵OA＝OB，‎ ‎∴∠OBA＝∠A＝（180°﹣130°）＝25°，‎ ‎∴∠ABF＝∠OBF﹣∠OBA＝65°；‎ ‎（2）如图②，连接OA，OB，‎ ‎∵BF是⊙O的切线，‎ ‎∴OB⊥BF，‎ ‎∴∠OBF＝90°，‎ 由（1）方法可得，‎ ‎∠AOB＝180°﹣∠F＝180°﹣35°＝145°，‎ ‎∴∠ACB＝AOB＝72.5°，‎ ‎∵AC∥BF，‎ ‎∴∠ACF＝∠F＝35°，‎ ‎∴∠BCF＝∠ACB﹣ACF＝37.5°，‎ ‎∴∠CBF＝180°﹣∠BCF﹣∠F＝107.5°．‎ ‎22．（10分）如图，某办公楼AB的右边有一建筑物CD，在建设物CD离地面2米高的点E处观测办公楼顶A点，测得的仰角∠AEM＝22°，在离建筑物CD，25米远的F点观测办公楼顶A点，测得的仰角∠AFB＝45°（B，F，C在一条直线上）．‎ ‎（I）求办公楼AB的高度；‎ ‎（II）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．‎ ‎（参考数据：sin22°≈037，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）（结果保留整数）‎ ‎【分析】（I）过点E作EM⊥AB于点M，设AB＝x，在Rt△ABF中，由∠AFB＝45°可知BF＝AB＝x，在Rt△AEM中，利用锐角三角函数的定义求出x的值即可；‎ ‎（II）在Rt△AME中，根据cos22°＝可得出结论．‎ ‎【解答】解：（I）如图，过点E作EM⊥AB于点M，‎ 设AB为x．Rt△ABF中，∠AFB＝45°，‎ ‎∴BF＝AB＝x，‎ ‎∴BC＝BF+FC＝x+25，‎ 在Rt△AEM中，∠AEM＝22°，AM＝AB﹣BM＝AB﹣CE＝x﹣2，‎ tan22°＝，则 ＝，‎ 解得：x＝20．‎ 即办公楼AB的高度为20米；‎ ‎（II）由（1）可得：ME＝BC＝x+25＝20+25＝45．‎ 在Rt△AME中，cos22°＝．‎ ‎∴AE＝＝≈48（米）；‎ 即A、E之间的距离约为48米．‎ ‎23．（10分）下表中给出A，B，C三种手机通话的收费方式． ‎ 收费方式 月通话费/元 包时通话时间/h 超时费/（元/min）‎ A ‎30‎ ‎25‎ ‎0.1‎ B ‎50‎ ‎50‎ ‎0.1‎ C ‎100‎ 不限时 ‎（1）设月通话时间为x小时，则方案A，B，C的收费金额y1，y2，y3都是x的函数，请分别求出这三个函数解析式．‎ ‎（2）填空：‎ 若选择方式A最省钱，则月通话时间x的取值范围为　0≤x＜　；‎ 若选择方式B最省钱，则月通话时间x的取值范围为　＜x＜　；‎ 若选择方式C最省钱，则月通话时间x的取值范围为　x＞　；‎ ‎（3）小王、小张今年5月份通话费均为80元，但小王比小张通话时间长，求小王该月的通话时间．‎ ‎【分析】（1）根据题意可以分别写出y1、y2、y3关于x的函数关系式，并写出相应的自变量的取值范围；‎ ‎（2）根据题意作出图象，结合图象即可作答；‎ ‎（3）结合图象可得：小张选择的是方式A，小王选择的是方式B，将y＝81代入y2关于x的函数关系式，解方程即可得出小王该月的通话时间．‎ ‎【解答】解：（1）∵0.1元/min＝6元/h，‎ ‎∴由题意可得，‎ y1＝，‎ y2＝，‎ y3＝100（x≥0）；‎ ‎（2）作出函数图象如图：‎ 结合图象可得：‎ 若选择方式A最省钱，则月通话时间x的取值范围为：0≤x＜，‎ 若选择方式B最省钱，则月通话时间x的取值范围为：＜x＜，‎ 若选择方式C最省钱，则月通话时间x的取值范围为：x＞．‎ 故答案为：0≤x＜，＜x＜，x＞．‎ ‎（3）∵小王、小张今年5月份通话费均为80元，但小王比小张通话时间长，‎ ‎∴结合图象可得：小张选择的是方式A，小王选择的是方式B，‎ 将y＝80分别代入y2＝，可得 ‎6x﹣250＝80，‎ 解得：x＝55，‎ ‎∴小王该月的通话时间为55小时．‎ ‎24．（10分）平面直角坐标系中，△OAB是等边三角形，点O（0，0），点A （8，0），点P是OB边上的一个动点（与点A、B不重合）．直线l是经过点P的一条直线，把△OAB沿直线l折叠，点O的对应点是O'．‎ ‎（I）如图①，当OP＝5时，若直线l∥AB．求点O'的坐标；‎ ‎（II）如图②，当点P在OB边上运动时，若直线l⊥AB，求ABO′的面积；‎ ‎（III）当OP＝6时，在直线l变化过程中，求△ABO'面积的最大值（直接写出结果即可）．‎ ‎【分析】（Ⅰ）先判断出OO'⊥l，再求出∠POO'＝30°，进而得出∠OO'P＝∠AOD，再用含30°角的直角三角形的性质即可得出结论；‎ ‎（Ⅱ）先判断出OO'∥AB，得出S△AO'B＝S△ABO，再求出△AOB的面积即可得出结论；‎ ‎（Ⅲ）先求出S△AO'B＝4O'F，当O'F最大时，△AO'B的面积最大，进而判断出O'F过圆心点P时，O'F最大，再求出PH即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）如图①，记OO'与AB的交点为D，‎ 连接O'P并延长交y轴于点C，‎ 由折叠得，CP＝PO'，l⊥OO'，‎ ‎∵直线l∥AB，‎ ‎∴OO'⊥AB，‎ ‎∵△OAB是等边三角形，‎ ‎∴∠POO'＝∠AOD＝∠AOB＝30°，‎ ‎∵PO＝PO'，‎ ‎∴∠POO'＝∠OO'P＝30°，‎ ‎∴∠OO'P＝∠AOD，‎ ‎∴O'P∥OA，‎ ‎∴O'P⊥y轴，‎ 在Rt△OCP中，∠COP＝90°﹣∠AOB＝30°，‎ ‎∴CP＝OP＝，‎ ‎∴OC＝CP＝，‎ 在Rt△OCO'中，O'C＝OC＝×＝，‎ ‎∴O'（，）；‎ ‎（Ⅱ）如图②，‎ 连接OO'，由折叠知，OO'⊥l，∵l⊥AB，‎ ‎∴OO'∥AB，‎ ‎∴S△AO'B＝S△ABO，‎ 过点B作BE⊥OA于E，‎ ‎∵A（8，0），‎ ‎∴OA＝8，‎ ‎∵△AOB是等边三角形，‎ ‎∴BE＝OA＝4，‎ ‎∴BE＝OE＝4，‎ ‎∴S△AOB＝OA•BE＝×8×＝16，‎ ‎∴S△AO'B＝16；‎ ‎（Ⅲ）如图③，‎ ‎∵A（8，0），‎ ‎∴OA＝8，‎ ‎∵△AOB是等边三角形，‎ ‎∴AB＝OA＝8，‎ 过点O'作O'F⊥AB交AB的延长线于F，‎ ‎∴S△AO'B＝AB•O'F＝4O'F，‎ 当O'F最大时，△AO'B的面积最大，‎ 由折叠知，PO'＝PO，‎ ‎∴点O'是以点P为圆心，OP＝6为半径的圆上的点，‎ ‎∴O'F过圆心点P时，O'F最大，‎ 即点O'在点O''位置时，△AO'B的面积最大，‎ 过点O''作O''H⊥AB于H，‎ 在Rt△PHB中，∠PBH＝60°，BP＝OB﹣OP＝2，‎ ‎∴PH＝，‎ ‎∴O'F最大＝O''P+PH＝6+，‎ ‎∴S△AO'B最大＝4O'F＝4（6+）．‎ ‎25．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．‎ ‎（I）求抛物线的解析式：‎ ‎（II）设点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BC，BD．试问，在对称轴左侧的抛物线是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请明理由；‎ ‎（III）存在正实数m，n（m＜n），当m≤x≤n时，恰好满足，求m，n的值．‎ ‎【分析】（1）把点A、B坐标代入抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）得出方程组，解方程组解可；‎ ‎（2）求出m＝3，则D（2，3），连接CD，则CD∥x轴，CD＝2，在y轴上取点G，使CG＝CD＝2，再延长BG交抛物线于点P，则G（0，1），证△DCB≌△GCB（SAS），得∠DBC＝∠GBC，则∠PBC＝∠DBC，由待定系数法求出BP的解析式为y＝﹣x+1，进而得出点P的坐标；‎ ‎（3）求出1≤m≤n，由二次函数的性质得当x＝m时，y最大值＝﹣m2+2m+3，当x＝n时，y最小值＝﹣n2+2n+3，由题意得，求出n和m的值即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，‎ ‎∴，‎ 解得：，‎ ‎∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；‎ ‎（2）存在，理由如下：‎ ‎∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，D（2，m）在第一象限的抛物线上，‎ ‎∴m＝﹣（2﹣1）2+4＝3，‎ ‎∴D（2，3），‎ ‎∵C（0，3），‎ ‎∵OC＝OB，‎ ‎∴∠OBC＝∠OCB＝45°，‎ 连接CD，如图所示：‎ 则CD∥x轴，CD＝2，‎ ‎∴∠DCB＝∠OBC＝45°，‎ ‎∴∠DCB＝∠OCB，‎ 在y轴上取点G，使CG＝CD＝2，再延长BG交抛物线于点P，‎ 则G（0，1），‎ 在△DCB和△GCB中，，‎ ‎∴△DCB≌△GCB（SAS），‎ ‎∴∠DBC＝∠GBC，‎ ‎∴∠PBC＝∠DBC，‎ 设直线BP解析式为：y＝kx+b（k≠0），‎ 将G（0，1）、B（3，0）代入解析式得：，‎ 解得：，‎ ‎∴BP的解析式为：y＝﹣x+1，‎ ‎∵点P在抛物线y＝﹣x2+2x+3上，‎ ‎∴﹣x2+2x+3＝﹣x+1，‎ 解得x1＝﹣，x2＝3（不合题意舍去），‎ ‎∴y＝﹣×（﹣）+1＝，‎ ‎∴P（﹣，）；‎ ‎（3）∵抛物线y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，‎ ‎∴y≤4，‎ ‎∵正实数m，n（m＜n），‎ ‎∴0＜m＜n，‎ ‎∵当m≤x≤n时，恰好满足，‎ ‎∴≤y≤，‎ ‎∴≤4，即m≥＞1，‎ ‎∴1≤m≤n，‎ ‎∵抛物线的对称轴是x＝1，且开口向下，‎ ‎∴当m≤x≤n时，y随x的增大而减小，‎ ‎∴当x＝m时，y最大值＝﹣m2+2m+3，‎ 当x＝n时，y最小值＝﹣n2+2n+3，‎ 又≤y≤，‎ ‎∴，‎ 将①整理得：n3﹣2n2﹣3n+6＝0，‎ ‎∴n2（n﹣2）﹣3（n﹣2）＝0，‎ ‎∴（n﹣2）（n2﹣3）＝0，‎ ‎∵n＞1，‎ ‎∴n﹣2＝0或n2﹣3＝0，‎ 解得：n＝2或n＝﹣（不合题意舍去）或n＝，‎ 同理：由②解得：m＝2（不合题意舍去）或＝﹣（不合题意舍去）或m＝，‎ 综上所述，m＝，n＝2．‎