九年级数学上册 2412 垂直于弦的直径教学 新版新人教版

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24.1.2 　垂直于弦的直径 知识点一 知识点二 知识点一 圆的轴对称性 圆是轴对称图形 , 任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴 . 名师解读 : 不能错误地说成 “ 圆的任何一条直径都是圆的对称轴 ” , 因为对称轴一定是直线 , 而圆的直径是线段 . 例 1 　 下列交通标志中 , 是轴对称图形的是 ( 　　 ) 知识点一 知识点二 解析 : 这些标志都是由圆和其他图形组成的 , 由于圆是轴对称图形 , 且对称轴是过圆心的直线 , 所以 , 只要与圆组合的图形是轴对称图形并且对称轴也过圆心即可 , 依次判断 :A, 不是轴对称图形 , 故本选项错误 ;B, 是轴对称图形 , 故本选项正确 ;C, 不是轴对称图形 , 故本选项错误 ;D, 不是轴对称图形 , 故本选项错误 . 答案 : B 知识点一 知识点二 解答这类问题 , 既可以采取折叠的方法判断 , 也可以根据圆和与其组合图形是否有共同的对称轴进行判断 . 知识点一 知识点二 知识点二 垂径定理及其推论 垂直于弦的直径平分弦 , 并且平分弦所对的两条弧 ; 平分弦 ( 不是直径 ) 的直径垂直于弦 , 并且平分弦所对的两条弧 . 名师解读 : 理解垂径定理可以从以下几个方面 : (1) 这类的垂 “ 径 ” , 可以是直径、半径或过圆心的直线或线段 , 其本质只要过圆心即可 ; (2) 垂径定理中的 “ 弦 ” 可以是直径 , 是直径时 , 结论仍然成立 ; (3) 垂径定理是证明线段相等、弧相等的重要依据 , 也是计算圆中求线段的长度、求圆的半径、求角的度数的重要依据 ; (4) 结合圆的对称性可以得出 , 弦的垂直平分线经过圆心 , 这也是找圆的圆心的重要方法 . 知识点一 知识点二 例 2 　 如图 , CD 是 ☉ O 的直径 , 弦 AB ⊥ CD 于点 E , ∠ BCD= 30 ° , 下列结论 : ① AE=BE ; ② OE=DE ; ③ AB=BC ; ④ BE= DE. 其中正确的是 ( 　　 ) A. ① B. ①②③ C. ①③ D. ①②③④ 知识点一 知识点二 解析 : 根据垂径定理以及等边三角形的性质和判定定理即可作出判断 . ∵ CD 是 ☉ O 的直径 , AB ⊥ CD , ∴ AE=BE , 故 ① 正确 . ∵ ∠ BCD= 30 ° , ∴ ∠ BOD= 60 ° . 又 ∵ OB=OD , ∴ △ OBD 是等边三角形 . ∵ AB ⊥ CD , ∴ OE=DE , BE= DE , 故 ②④ 正确 . ∵ ∠ ACB= 2 ∠ BCD= 60 ° , 又 ∵ AC=BC , ∴ △ ABC 是等边三角形 . ∴ AB=BC , 故 ③ 正确 . 答案 : D 知识点一 知识点二 解答这类问题 , 首先要利用垂径定理得出相关结论 , 然后在结论的基础上进行推理 , 在进一步得出更多结论后 , 分别判断各个结论是否正确 . 拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点一 垂径定理的实际应用 例 1 　 如图 , 有一拱桥呈圆弧形 , 它的跨度 ( 所对弦长 AB ) 为 60 m, 拱高 18 m, 当水面涨至其跨度只有 30 m 时 , 就要采取紧急措施 . 某次洪水来到时 , 拱顶离水面只有 4 m, 问 : 是否要采取紧急措施 ? 并说明理由 . 拓展点一 拓展点二 拓展点三 分析 : 如图 , 设圆的半径是 R m, 则 ON= ( R- 4)m, OM= ( R- 18)m . 根据垂径定理求得 AM 的长 , 在 Rt △ AOM 中 , 根据勾股定理求得 R 的值 , 在 Rt △ A'ON 中 , 根据勾股定理求得 A'N 的值 , 再根据垂径定理求得 A'B' 的长 , 从而作出判断 . 解 : 如图 , 设圆的半径是 R m, 则 ON= ( R- 4)m, OM= ( R- 18)m . 根据垂径定理 , 得 AM= AB= 30 m, 在 Rt △ AOM 中 , AO 2 =OM 2 +AM 2 , 即 R 2 = ( R- 18) 2 + 900, 解得 R= 34 . 在 Rt △ A'ON 中 , 根据勾股定理得 , 根据垂径定理 , 得 A'B'= 2 A'N= 32 > 30 . ∴ 不用采取紧急措施 . 拓展点一 拓展点二 拓展点三 解答这类实际问题 , 首先弄懂题意 , 把实际问题转化为数学问题 , 然后利用垂径定理和勾股定理相结合 , 构造出直角三角形 , 进而可解决计算弦长、半径、弦心距等问题 . 拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点二 利用垂径定理确定圆心的坐标 例 2 　 如图所示 , 半径为 5 的 ☉ P 与 y 轴相交于 M (0, - 4), N (0, - 10) 两点 , 则圆心 P 的坐标为 ( 　　 ) A.(5, - 4) B.(4, - 5) C.(4, - 7) D.(5, - 7) 拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点一 拓展点二 拓展点三 解答这类找圆心的问题 , 注意数形结合 , 综合运用垂径定理 , 勾股定理等知识进行分析计算 , 明确弦的垂直平分线经过圆心是关键 . 拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点三 与垂径定理有关的综合题 例 3 　 在 ☉ O 中 , ☉ O 的直径为 26, 弦 AB ∥ 弦 CD , AB= 10, CD= 24, 求 AB 与 CD 间的距离 . 拓展点一 拓展点二 拓展点三 分析 : 作 OE ⊥ AB 于 E , OF ⊥ CD 于 F , 连接 OA , OC , 由垂径定理得 , 由于 AB ∥ CD , 易得 E , O , F 三点共线 , 在 Rt △ AOE 和 Rt △ OCF 中 , 利用勾股定理分别计算出 OE 与 OF , 然后分类讨论 : 当圆心 O 在弦 AB 与 CD 之间时 , AB 与 CD 的距离 =OE+OF ; 当圆心 O 在弦 A'B' 与 CD 的外部时 , AB 与 CD 的距离 =OE-OF. 拓展点一 拓展点二 拓展点三 解 : 如图 , 作 OE ⊥ AB 于 E , OF ⊥ CD 于 F , 连接 OA , OC , OA=OC= 13, 则 ∵ AB ∥ CD , ∴ E , O , F 三点共线 , 当圆心 O 在弦 AB 与 CD 之间时 , AB 与 CD 间的距离 =OE+OF= 12 + 5 = 17; 当圆心 O 在弦 A'B' 与 CD 的外部时 , A'B' 与 CD 间的距离 =OE-OF= 12 - 5 = 7 . 所以 AB 与 CD 间的距离是 17 或 7 . 拓展点一 拓展点二 拓展点三 解答圆的有关问题 , 当圆心或弦之间的位置关系没有明确时 , 注意要分类讨论 , 以免漏解 .