福建专版2020中考数学复习方案第四单元三角形课时训练23相似三角形的应用

福建专版2020中考数学复习方案第四单元三角形课时训练23相似三角形的应用

课时训练(二十三)　相似三角形的应用 ‎(限时:30分钟)‎ ‎|夯实基础|‎ ‎1.[2019·三明质检]如图K23-1,已知DE为△ABC的中位线,△ADE的面积为3,则四边形DECB的面积为 (　　)‎ 图K23-1‎ A.6 　　　　　　 B.8 ‎ C.9 　　　　　　 D.12‎ ‎2.[2018·滨州]在平面直角坐标系中,线段AB两个端点的坐标分别为A(6,8),B(10,2).若以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩短为原来的‎1‎‎2‎后得到线段CD,则点A的对应点C的坐标为 (　　)‎ A.(5,1) B.(4,3) ‎ C.(3,4) D.(1,5)‎ ‎3.[2019·眉山]如图K23-2,一束光线从点A(4,4)出发,经y轴上的点C反射后,经过点B(1,0),则点C的坐标是 (　　)‎ 图K23-2‎ A.0,‎1‎‎2‎ B.0,‎‎4‎‎5‎ C.(0,1) D.(0,2)‎ ‎4.[2019·乐山]把边长分别为1和2的两个正方形按如图K23-3的方式放置.则图中阴影部分的面积为 (　　)‎ 图K23-3‎ A.‎1‎‎6‎ B.‎1‎‎3‎ ‎ C.‎1‎‎5‎ D.‎‎1‎‎4‎ 9‎ ‎5.[2019·凉山州]如图K23-4,在△ABC中,D在AC边上,AD∶DC=1∶2,O是BD的中点,连接AO并延长交BC于E,则BE∶EC= (　　)‎ 图K23-4‎ A.1∶2 ‎ B.1∶3 ‎ C.1∶4 ‎ D.2∶3‎ ‎6.如图K23-5,一张矩形纸片ABCD的长AB=a,宽BC=b.将纸片对折,折痕为EF,所得矩形AFED与矩形ABCD相似,则a∶b= (　　)‎ 图K23-5‎ A.2∶1 ‎ B.‎2‎∶1 ‎ C.3∶‎3‎ ‎ D.3∶2‎ ‎7.在如图K23-6所示的相似四边形中,未知边x=　　　　. ‎ 图K23-6‎ ‎8.[2019·东营广饶县二模]如图K23-7,△ABC中,A,B两个顶点在x轴的上方,点C的坐标是(-1,0).以点C为位似中心,在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C,并把△ABC放大到原来的2倍.设点B的对应点B'的横坐标是a,则点B的横坐标是　　　　.(用含a的式子表示) ‎ 图K23-7‎ 9‎ ‎9.[2019·晋江一模]在我国古代数学著作《九章算术》中,有一名题如下:今有木去人不知远近,立四表,相去各一丈,令左两表与所望参相直,从后右表望之,入前右表三寸.问木去人几何?可译为:有一棵树C与人(A处)相距不知多远,立四根标杆A,B,G,E,前后左右的距离各为1丈(即四边形ABGE是正方形,且AB=100寸),使左两标杆A,E与所观察的树C三点成一直线.又从后右方的标杆B观察树C,测得其“入前右表”3寸(即FG=3寸),问树C与人所在的A处的距离有多远?‎ 图K23-8‎ ‎|能力提升|‎ ‎10.[2019·常德]如图K23-9,在等腰三角形ABC中,AB=AC,图中所有三角形均相似,其中最小的三角形的面积为1,△ABC的面积为42,则四边形DBCE的面积是 (　　)‎ 图K23-9‎ A.20 B.22 C.24 D.26‎ ‎11.[2019·.福州质检]如图K23-10,等边三角形ABC的边长为5,D,E分别是边AB,AC上的点,将△ADE沿DE折叠,点A恰好落在BC边上的点F处,若BF=2,则BD的长是 (　　)‎ 图K23-10‎ A.‎24‎‎7‎ B.‎21‎‎8‎ C.3 D.2‎ 9‎ ‎12.一块材料的形状是锐角三角形ABC,边BC=120 mm,高AD=80 mm,把它加工成正方形零件,如图K23-11①,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上.‎ ‎(1)求证:△AEF∽△ABC;‎ ‎(2)求这个正方形零件的边长;‎ ‎(3)如果把它加工成矩形零件,如图②,问这个矩形的最大面积是多少?‎ 图K23-11‎ ‎|思维拓展|‎ ‎13.[2019·眉山]如图K23-12,在菱形ABCD中,已知AB=4,∠ABC=60°,∠EAF=60°,点E在CB的延长线上,点F在DC的延长线上,有下列结论:①BE=CF;②∠EAB=∠CEF;③△ABE∽△EFC;④若∠BAE=15°,点F到BC的距离为2‎3‎-2,其中正确结论的个数是 (　　)‎ 图K23-12‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎14.[2019·长沙]根据相似多边形的定义,我们把四个角分别相等,四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形.相似四边形对应边的比叫做相似比.‎ ‎(1)某同学在探究相似四边形的判定时,得到如下三个命题,请判断它们是否正确(直接在横线上填写“真”或“假”).‎ ‎①四条边成比例的两个凸四边形相似;(　　　　命题) ‎ ‎②三个角分别相等的两个凸四边形相似;(　　　　命题) ‎ 9‎ ‎③两个大小不同的正方形相似.(　　　　命题) ‎ ‎(2)如图K23-13①②,在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中,∠ABC=∠A1B1C1,∠BCD=∠B1C1D1,ABA‎1‎B‎1‎=BCB‎1‎C‎1‎=CDC‎1‎D‎1‎,求证:四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似.‎ ‎(3)如图③,四边形ABCD中,AB∥CD,AC与BD相交于点O,过点O作EF∥AB分别交AD,BC于点E,F.记四边形ABFE的面积为S1,四边形EFCD的面积为S2,若四边形ABFE与四边形EFCD相似,求S‎2‎S‎1‎的值.‎ 图K23-13‎ 9‎ ‎【参考答案】‎ ‎1.C ‎2.C　[解析]根据题意得点C的坐标为6×‎1‎‎2‎,8×‎1‎‎2‎,即C(3,4).‎ ‎3.B　[解析]过点A作AD⊥y轴于点D,‎ ‎∵∠ADC=∠COB=90°,∠ACD=∠BCO,‎ ‎∴△OBC∽△DAC,∴OCOB=DCAD,‎ ‎∴OC‎1‎=‎4-OC‎4‎,解得:OC=‎4‎‎5‎,‎ ‎∴点C0,‎4‎‎5‎,故选B.‎ ‎4.A　[解析]∵四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形,∴AD=DC=1,CE=2,AD∥CE,∴△ADH∽△ECH,∴ADCE=DHCH,∴‎1‎‎2‎=DH‎1-DH,解得DH=‎1‎‎3‎,∴阴影部分的面积为‎1‎‎2‎‎×‎‎1‎‎3‎×1=‎1‎‎6‎,故选A.‎ ‎5.B　[解析]如图,过点D作DF∥AE交BC于点F,‎ 则BEEF=BOOD=1,EFFC=ADCD=‎1‎‎2‎,∴BE∶EF∶FC=1∶1∶2,‎ ‎∴BE∶EC=1∶3.故选B.‎ ‎6.B ‎7.27　[解析]根据题意得:‎18‎‎12‎=x‎18‎,解得x=27.‎ ‎8.-‎1‎‎2‎(a+3)　[解析]设点B的横坐标为x,‎ 则B,C间的横坐标的长度为-1-x,B',C间的横坐标的长度为a+1,‎ ‎∵△ABC放大到原来的2倍得到△A'B'C,‎ ‎∴2(-1-x)=a+1,‎ 解得x=-‎1‎‎2‎(a+3).‎ ‎9.解:∵四边形ABGE是正方形,‎ ‎∴∠A=∠G=90°,AE∥BG,‎ ‎∴∠ACB=∠GBF.∴△BAC∽△FGB.‎ ‎∴ABGF=ACGB.‎ 又AB=BG=100寸,FG=3寸.‎ 9‎ ‎∴‎100‎‎3‎=AC‎100‎.‎ 解得AC=‎10000‎‎3‎.‎ 答:树C与人所在的A处的距离为‎10000‎‎3‎寸.‎ ‎10.D　[解析]∵图中所有三角形均相似,其中最小的三角形的面积为1,△ABC的面积为42,∴最小的三角形与△ABC的相似比为‎1‎‎42‎.‎ ‎∵△ADE∽△ABC,∴S‎△ADES‎△ABC=DEBC2.‎ ‎∵DEBC=4×‎1‎‎42‎=‎4‎‎42‎,∴S‎△ADES‎△ABC=‎16‎‎42‎=‎8‎‎21‎,‎ ‎∴S△ADE=‎8‎‎21‎×42=16,∴四边形DBCE的面积=S△ABC-S△ADE=26,故选项D正确.‎ ‎11.B　[解析]∵△ABC是等边三角形,‎ ‎∴∠A=∠B=∠C=60°,AB=BC=AC=5.‎ ‎∵沿DE折叠点A落在BC边上的点F处,‎ ‎∴△ADE≌△FDE,‎ ‎∴∠DFE=∠A=60°,AD=DF,AE=EF,‎ 设BD=x,则AD=DF=5-x,设CE=y,则AE=5-y.‎ ‎∵BF=2,BC=5,∴CF=3.‎ ‎∵∠C=60°,∠DFE=60°,‎ ‎∴∠EFC+∠FEC=120°,∠DFB+∠EFC=120°,‎ ‎∴∠DFB=∠FEC.‎ ‎∵∠C=∠B,‎ ‎∴△DBF∽△FCE.‎ ‎∴BDCF=BFCE=DFEF,‎ 即x‎3‎=‎2‎y=‎5-x‎5-y,‎ 解得:x=‎21‎‎8‎,‎ 即BD=‎21‎‎8‎,‎ 故选:B.‎ ‎12.解:(1)证明:∵四边形EGHF为正方形,‎ ‎∴BC∥EF,∴△AEF∽△ABC.‎ 9‎ ‎(2)设正方形零件的边长为a mm,‎ 在正方形EFHG中,EF∥BC.‎ ‎∵AD⊥BC,∴AK⊥EF.‎ ‎∵△AEF∽△ABC,‎ ‎∴a‎120‎=‎80-a‎80‎,解得a=48,‎ ‎∴正方形零件的边长为48 mm.‎ ‎(3)设EG=x mm,矩形EGHF的面积为y mm2,‎ ‎∵△AEF∽△ABC,‎ ‎∴EF‎120‎=‎80-x‎80‎,∴EF=‎3‎‎2‎(80-x),‎ ‎∴y=‎3‎‎2‎(80-x)·x=-‎3‎‎2‎(x-40)2+2400,‎ ‎∴当x=40时,y最大,且最大值为2400,‎ ‎∴矩形EGHF的最大面积为2400 mm2.‎ ‎13.B　[解析]如图,连接AC,‎ 在菱形ABCD中,AB=BC,∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=60°,∵∠EAF=60°,∴∠EAB+∠BAF=∠CAF+∠BAF=60°,即∠EAB=∠CAF.∵∠ABE=∠ACF=120°,∴△ABE≌△ACF,∴BE=CF,故①正确;由△ABE≌△ACF,可得AE=AF,∵∠EAF=60°,∴△AEF是等边三角形,∴∠AEF=60°,∴∠AEB+∠CEF=60°,∵∠AEB+∠EAB=60°,∴∠CEF=∠EAB,故②正确;在△ABE中,∠AEB<60°,∠ECF=60°,∴③错误;过点A作AG⊥BC于点G,过点F作FH⊥EC于点H,∵∠EAB=15°,∠ABC=60°,∴∠AEB=45°.在Rt△AGB中,∵∠ABC=60°,AB=4,‎ ‎∴BG=‎1‎‎2‎AB=2,AG=‎3‎BG=2‎3‎.在Rt△AEG中,∵∠AEG=∠EAG=45°,∴AG=GE=2‎3‎,∴EB=EG-BG=2‎3‎-2.由前证可知,△ABE≌△ACF,∴AE=AF,EB=CF=2‎3‎-2,‎ 在Rt△CHF中,∵∠HCF=180°-∠BCD=60°,CF=2‎3‎-2,∴FH=CF·sin60°=(2‎3‎-2)×‎3‎‎2‎=3-‎3‎.‎ ‎∴点F到BC的距离为3-‎3‎.故④错误.故选B.‎ ‎14.解:(1)①四条边成比例的两个凸四边形相似,是假命题,角不一定相等;②三个角分别相等的两个凸四边形相似,是假命题,边不一定成比例;③两个大小不同的正方形相似,是真命题.故答案为:假,假,真.‎ ‎(2)如图①②,分别连接BD,B1D1,‎ 9‎ ‎∵∠BCD=∠B1C1D1,BCB‎1‎C‎1‎=CDC‎1‎D‎1‎,‎ ‎∴△BCD∽△B1C1D1,‎ ‎∴∠CBD=∠C1B1D1,∠CDB=∠C1D1B1,BCB‎1‎C‎1‎=BDB‎1‎D‎1‎,‎ 又∵∠ABC=∠A1B1C1,ABA‎1‎B‎1‎=BCB‎1‎C‎1‎,‎ ‎∴∠ABD=∠A1B1D1,ABA‎1‎B‎1‎=BDB‎1‎D‎1‎,‎ ‎∴ABA‎1‎B‎1‎=ADA‎1‎D‎1‎,‎ ‎∠ADB=∠A1D1B1,∠DAB=∠D1A1B1,‎ ‎∴ABA‎1‎B‎1‎=BCB‎1‎C‎1‎=CDC‎1‎D‎1‎=ADA‎1‎D‎1‎,∠ABC=∠A1B1C1,∠BCD=∠B1C1D1,∠ADC=∠A1D1C1,∠DAB=∠D1A1B1,‎ ‎∴四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似.‎ ‎ (3)∵四边形ABFE与四边形EFCD相似,‎ ‎∴DEAE=EFAB,‎ ‎∵EF=OE+OF,∴DEAE=OE+OFAB,‎ ‎∵EF∥AB∥CD,∴DEAD=OEAB,DEAD=OCAC=OFAB,‎ ‎∴DEAD‎+‎DEAD=OEAB‎+‎OFAB,∴‎2DEAD=DEAE,‎ ‎∵AD=DE+AE,∴‎2‎DE+AE=‎1‎AE,‎ ‎∴2AE=DE+AE,即AE=DE,∴S‎1‎S‎2‎=1.‎ 9‎