2021年中考数学专题复习 专题50 中考数学新定义型试题解法（教师版含解析）
专题 50 中考数学新定义型试题解法
1.新定义问题
所谓“新定义”试题指给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，“给什么，用什么”是应用新“定义”
解题的基本思路．这类试题的特点：源于中学数学内容但又是学生没有遇到过的新信息,它可以是新的概念、
新的运算、新的符号、新的图形、新的定理或新的操作规则与程序等等. 在解决它们过程中又可产生了许
多新方法、新观念，增强了学生创新意识．
2.新定义问题类型
主要包括以下几种类型：
(1)概念的“新定义”；
(2)运算的“新定义”；
(3)规则的“新定义”；
(4)实验操作的“新定义”；
(5)几何图形的新定义．
3.新定义问题解题策略
“新定义型专题”关键要把握两点：
一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；
二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移。
【例题 1】(2020•河南)定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7．则方程 1☆x＝0
的根的情况为( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
【答案】A
【分析】根据新定义运算法则以及即可求出答案．
【解析】由题意可知：1☆x＝x2﹣x﹣1＝0，
∴△＝1﹣4×1×(﹣1)＝5＞0，
【对点练习】定义：对于实数 a，符号[a]表示不大于 a 的最大整数．例如：[5.7]=5，[5]=5，[-π]=-4．
(1)如果[a]=-2，那么 a 的取值范围是 ．
(2)如果[ 1
2
x ]=3，求满足条件的所有正整数 x．
【答案】(1)-2≤a＜-1(2)5，6．
【解析】运算新定义问题。
(1)∵[a]=-2，
∴a 的取值范围是-2≤a＜-1；
故答案为：-2≤a＜-1．
(2)根据题意得：
3≤ ＜4，
解得：5≤x＜7，
则满足条件的所有正整数为 5，6．
【例题 2】(2021 广东深圳模拟)定义新运算：a※b=
1( )
( 0)
a a b
a a b bb
且 ，则函数 y=3※x 的图象大致是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得 y＝3※x＝
2(x 3)
3 (x 3 x 0)x
＜ 且
当 x≥3 时，y＝2；
当 x＜3 且 x≠0 时，y＝− 3
x
,
图象如图：
【对点练习】(2020 甘肃兰州模拟)通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条
边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化。类似的，可以在等腰三角形中建立边
角之间的联系。我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad).如图①在△ABC 中，AB=AC，
顶角 A 的正对记作 sadA，这时 sadA BC
AB
底边
腰 .容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确
定的.根据上述角的正对定义，解下列问题：
(1)sad60°= .
(2)对于 0°
0)，若点 P′在射线 OP 上，满足 OP′•OP=r2，则称点 P′是点 P 关于⊙O 的
“反演点”，如图 2，⊙O 的半径为 4，点 B 在⊙O 上，∠BOA=60°，OA=8，若点 A′、B′分别是点 A，B 关
于⊙O 的反演点，求 A′B′的长.
【答案】见解析。
【解析】新定义；等边三角形的判定和性质；勾股定理.
∵⊙O 的半径为 4，点 A′、B′分别是点 A，B 关于⊙O 的反演点，点 B 在⊙O 上， OA=8，
∴ 2 24 , 4OA OA OB OB ，即 2 28 4 , 4 4OA OB .
∴ 2, 4OA OB .∴点 B 的反演点 B′与点 B 重合.
如答图，设 OA 交⊙O 于点 M，连接 B′M，
∵OM=OB′，∠BOA=60°，∴△OB′M 是等边三角形.
∵ 2OA A M ，∴B′M⊥OM.
∴在 ' Rt OB M 中，由勾股定理得 2 2 2 24 2 2 3A B OB OA .
19．(2019 江苏常熟)已知平面图形 S，点 P、Q 是 S 上任意两点，我们把线段 PQ 的长度的最大值称为平面
图形 S 的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度．
(1)写出下列图形的宽距：
①半径为 1 的圆： ；
②如图 1，上方是半径为 1 的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“： ；
(2)如图 2，在平面直角坐标系中，已知点 A(﹣1，0)、B(1，0)，C 是坐标平面内的点，连接 AB、BC、CA 所
形成的图形为 S，记 S 的宽距为 d．
①若 d＝2，用直尺和圆规画出点 C 所在的区域并求它的面积(所在区域用阴影表示)；
②若点 C 在⊙M 上运动，⊙M 的半径为 1，圆心 M 在过点(0，2)且与 y 轴垂直的直线上．对于⊙M 上任意点 C，
都有 5≤d≤8，直接写出圆心 M 的横坐标 x 的取值范围．
【答案】见解析。
【解析】(1)①半径为 1 的圆的宽距离为 1，
故答案为 1．
②如图 1，正方形 ABCD 的边长为 2，设半圆的圆心为 O，点 P 是⊙O 上一点，连接 OP，PC，OC．
在 Rt△ODC 中，OC＝ ＝ ＝
∴OP+OC≥PC，
∴PC≤1+ ，
∴这个“窗户形“的宽距为 1+ ．
故答案为 1+ ．
(2)①如图 2﹣1 中，点 C 所在的区域是图中正方形 AEBF，面积为 2．
②如图 2﹣2 中，当点 M 在 y 轴的右侧时，连接 AM，作 MT⊥x 轴于 T．
∵AC≤AM+CM，又∵5≤d≤8，
∴当 d＝5 时．AM＝4，
∴AT＝ ＝2 ，此时 M(2 ﹣1，2)，
当 d＝8 时．AM＝7，
∴AT＝ ＝2 ，此时 M(2 ﹣1，2)，
∴满足条件的点 M 的横坐标的范围为 2 ﹣1≤x≤2 ﹣1．
当点 M 在 y 轴的左侧时，满足条件的点 M 的横坐标的范围为﹣2 +1≤x﹣2 +1．
20．(2020 湖北随州模拟)
在平面直角坐标系中，我们定义直线 y＝ax－a 为抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a、b、c 为常数，a≠0)的“梦想直
线”；有一个顶点在抛物线上，另一个顶点在 y 轴上的三角形为其“梦想三角形”．
已知抛物线 22 3 4 3 2 33 3y x x= - - + 与其“梦想直线”交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，与 x 轴负半轴
交于点 C．
(1)填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为 ，点 A 的坐标为 ，点 B 的坐标为 ；
(2)如图，点 M 为线段 CB 上一动点，将△ACM 以 AM 所在直线为对称轴翻折，点 C 的对称点为 N，若△AMN
为该抛物线的“梦想三角形”，求点 N 的坐标；
(3)当点 E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点 F，使得以点 A、C、E、
F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点 E、F 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见解析。
【解析】(1) 2 3 2 3+3 3y x= - ，(－2，2 3)，(1，0)．
(2)∵抛物线与 x 轴负半轴交于点 C，∴C(－3，0)．过点 A 作 AG⊥y 轴，垂足为点 G．
当点 N 在 y 轴上时，△AMN 为梦想三角形．
设 N(0，n)，∵A(－2，2 3),C(－3,0)，∴AC＝ 13，∴AN＝AC＝ 13，
在 Rt△AGN 中，AG2＋GN2＝AN2，又 AG＝2，GN＝|n－2 3|，
∴4＋(n－2 3)2＝13，解得 n＝2 3－3 或 n＝2 3＋3，
设 M(m，0),
当 n＝2 3－3 时，在 Rt△MNO 中，(2 3－3)2＋m2＝(m＋3)2，解得：m＝2－2 3；
当 n＝2 3＋3 时，在 Rt△MNO 中，(2 3＋3)2＋m2＝(m＋3)2，解得：m＝2＋2 3；
又－3＜m≤1，∴m＝2＋2 3不合题意，舍去．∴m＝2－2 3，此时 n＝2 3－3，
∴N(0，2 3－3)．
当点 M 在 y 轴上时，△AMN 为梦想三角形，
此时 M 与 O 重合，在 Rt△AGM 中，AG＝2，GM＝2 3，
∴tan∠AMG＝AG
GM
＝ 3
3
，∴∠AMG＝30°，
∴∠AMC＝∠AMN＝∠NMB＝60°，
过点 N 作 NP⊥x 轴于 P，在 Rt△NMP 中，MN＝CM＝3，
∴NP＝3 3
2
，OP＝3
2
，∴N(3
2
，3 3
2
)．
综上所述，点 N 的坐标为(0，2 3－3)或(3
2
，3 3
2
)．
(3)E1(－1，－4 3
3
)，F1(0，2 3
3
)；E2(－1，－4 3
3
)，F2(－4，10 3
3
)．
【点拨】(1)∵a＝ 2 3
3
- ，∴“梦想直线”的解析式为 2 3 2 3+3 3y x= - ；由
22 3 4 3 2 33 3y x x= - - + ，2 3 2 3+3 3y x x= -
，
解得
x＝－2，
y＝2 3，
x＝1，
y＝0，从而得到 A(－2，2 3)，B(1，0)；(2)∵△AMN 为梦想三角形，而点 A(－2，2 3)，
分两种情况：①点 M 在 y 轴上，②点 N 在 y 轴上；(3)分两种情况：①AC 为边，②AC 为对角线．
21．在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的坐标为(x1，y1)，点 Q 的坐标为(x2，y2)，且 x1≠x2，y1≠y2，若 P，Q
为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点 P，Q 的“相关矩形”，如图
为点 P，Q 的“相关矩形”示意图．
(1)已知点 A 的坐标为(1，0)，
①若点 B 的坐标为(3，1)，求点 A，B 的“相关矩形”的面积；
②点 C 在直线 x=3 上，若点 A，C 的“相关矩形”为正方形，求直线 AC 的表达式；
(2)⊙O 的半径为 ，点 M 的坐标为(m，3)，若在⊙O 上存在一点 N，使得点 M，N 的“相关矩形”为正方形，
求 m 的取值范围．
【答案】见解析。
【解析】(1)①∵A(1，0)，B(3，1)
由定义可知：点 A，B 的“相关矩形”的底与高分别为 2 和 1，
∴点 A，B 的“相关矩形”的面积为 2×1=2；
②由定义可知：AC 是点 A，C 的“相关矩形”的对角线，
又∵点 A，C 的“相关矩形”为正方形
∴直线 AC 与 x 轴的夹角为 45°，
设直线 AC 的解析为：y=x+m 或 y=﹣x+n
把(1，0)分别 y=x+m，
∴m=﹣1，
∴直线 AC 的解析为：y=x﹣1，
把(1，0)代入 y=﹣x+n，
∴n=1，
∴y=﹣x+1，
综上所述，若点 A，C 的“相关矩形”为正方形，直线 AC 的表达式为 y=x﹣1 或 y=﹣x+1；
(2)设直线 MN 的解析式为 y=kx+b，
∵点 M，N 的“相关矩形”为正方形，
∴由定义可知：直线 MN 与 x 轴的夹角为 45°，
∴k=±1，
∵点 N 在⊙O 上，
∴当直线 MN 与⊙O 有交点时，点 M，N 的“相关矩形”为正方形，
当 k=1 时，
作⊙O 的切线 AD 和 BC，且与直线 MN 平行，
其中 A、C 为⊙O 的切点，直线 AD 与 y 轴交于点 D，直线 BC 与 y 轴交于点 B，
连接 OA，OC，
把 M(m，3)代入 y=x+b，∴b=3﹣m，
∴直线 MN 的解析式为：y=x+3﹣m
∵∠ADO=45°，∠OAD=90°，∴OD= OA=2，∴D(0，2)
同理可得：B(0，﹣2)，
∴令 x=0 代入 y=x+3﹣m，∴y=3﹣m，∴﹣2≤3﹣m≤2，∴1≤m≤5，
当 k=﹣1 时，把 M(m，3)代入 y=﹣x+b，∴b=3+m，
∴直线 MN 的解析式为：y=﹣x+3+m，
同理可得：﹣2≤3+m≤2，
∴﹣5≤m≤﹣1；
综上所述，当点 M，N 的“相关矩形”为正方形时，m 的取值范围是：1≤m≤5 或﹣5≤m≤﹣1
【点评】本题考查新定义问题，涉及圆的切线性质，矩形的性质，正方形的性质，解答本题需要我们理解
相关矩形的定义，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将新旧知识贯穿起来．
