湖南师大附中梅溪湖中学2020年中考数学八模试卷 解析版

湖南师大附中梅溪湖中学2020年中考数学八模试卷 解析版

‎2020年湖南师大附中梅溪湖中学中考数学八模试卷 一．选择题（共12小题，每小题3分）‎ ‎1．（3分）比﹣3大1的数是（　　）‎ A．1 B．﹣2 C．﹣4 D．1‎ ‎2．（3分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线 ‎ C．科克曲线 D．斐波那契螺旋线 ‎3．（3分）如图，将正方体的平面展开图重新折成正方体后，“祝”字对面的字是（　　）‎ A．中 B．考 C．成 D．功 ‎4．（3分）如图，已知直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOD＝110°，则∠BOD＝（　　）‎ A．30° B．35° C．20° D．40°‎ ‎5．（3分）如图，这是一个利用平面直角坐标系画出的某动物园的示意图，如果这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，并且猴山和狮虎山的坐标分别是（﹣2，2）和（8，0），则图中熊猫馆的位置用坐标表示为（　　）‎ A．（ 1，1） B．（ 2，2） C．（ 1，3） D．（ 4，4）‎ ‎6．（3分）若x2+mxy+4y2是一个完全平方式，那么m的值是（　　）‎ A．±4 B．﹣2 C．±2 D．4‎ ‎7．（3分）下列各组数中，不能构成直角三角形的是（　　）‎ A．1，1， B．5，12，13 C．8，15，16 D．7，24，25‎ ‎8．（3分）下表是某校合唱团成员的年龄分布：‎ 年龄/岁 ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 频数 ‎5‎ ‎15‎ x ‎10﹣x 对于不同的x，下列关于年龄的统计量会发生改变的是（　　）‎ A．中位数 B．平均数 C．众数 D．极差 ‎9．（3分）某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降低至1.21%，设平均每次降息的百分率为x，则x满足方程（　　）‎ A．2.25%（1﹣2x）＝1.21% B．1.21%（1+2x）＝2.25% ‎ C．1.21%（1+x）2＝2.25% D．2.25%（1﹣x）2＝1.21%‎ ‎10．（3分）下列判断错误的是（　　）‎ A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ‎ B．四个内角都相等的四边形是矩形 ‎ C．四条边都相等的四边形是菱形 ‎ D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形 ‎11．（3分）在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点为O（0，0）、A（1，2）、B（4，0），则过顶点C的正比例函数的解析式是（　　）‎ A．y＝﹣x B．y＝x C．y＝﹣x D．y＝2x﹣8‎ ‎12．（3分）如图，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝2，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC、BC相切于点E、F，与AB分别相交于点G、H，且EH的延长线与CB的延长线交于点D，则CD的长为（　　）‎ A．2﹣1 B．2 C．+1 D．2﹣‎ 二．填空题（共6小题，每题3分，共18分）‎ ‎13．（3分）与最接近的整数是　 　．‎ ‎14．（3分）分式的值为0，那么x的值为　 　．‎ ‎15．（3分）如图，五边形ABCDE的内角都相等，DF⊥AB，则∠CDF的大小＝　 　（度）‎ ‎16．（3分）经过某T字路口的行人，可能左拐，也可能右拐．假设这两种可能性相同．现有两人经过该路口，则恰好有一人右拐，另一人左拐的概率为　 　．‎ ‎17．（3分）如图，一直线经过原点O，且与反比例函数y＝相交于点A、点B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C，连接BC．则△ABC面积为　 　．‎ ‎18．（3分）我国魏晋时期数学家刘徽编撰的最早一部测量数学著作《海岛算经》中有一题：今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直．从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合．从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合．问岛高几何？‎ 译文：今要测量海岛上一座山峰AH的高度，在B处和D处竖立标杆BC和DE，标杆的高都是3丈，B和D两处相隔1000步（1丈＝10尺，1步＝6尺），并且AH，CB和DE 在同一平面内．从标杆BC后退123步的F处可以看到顶峰A和标杆顶端C在同一直线上；从标杆ED后退127步的G处可以看到顶峰A和标杆顶端E在同一直线上．则山峰AH的高度是　 　．‎ 三．解答题（8小题，共66分）‎ ‎19．（6分）实数计算：（﹣1）﹣2019+3tan30°﹣|1﹣|+（3.14﹣π）0．‎ ‎20．（6分）解不等式组，并用数轴表示解集．‎ ‎21．（8分）学校组织学生乘汽车去自然保护区野营，前三分之二路段为平路，其余路段为坡路，已知汽车在平路上行驶的平均速度为60km/h，在上坡路上行驶的平均速度为40km/h．汽车从学校到自然保护区走平路和上坡路，一共行驶了4.2h．‎ ‎（1）求汽车在平路和上坡路上各行驶多少时间？‎ ‎（2）第二天原路返回，发现回程比去时用时少了0.9h，问汽车在下坡路上的行驶的平均速度是多少？‎ ‎22．（8分）某同学想了解本校初一学生对哪门课程的课后服务感兴趣，随机抽取了部分初一学生进行调查（每名学生必选且只能选择一门课程）．将获得的数据整理绘制如下两幅不完整的统计图．‎ 根据统计图提供的信息，解答下列问题：‎ ‎（1）在这次调查中一共抽取了　 　名学生，m的值是　 　．‎ ‎（2）请根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；‎ ‎（3）扇形统计图中，“数学”所对应的圆心角度数是　 　度；‎ ‎（4）若该校初一年级共有500名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校初一年级学生中有多少名学生对数学感兴趣．‎ ‎23．（9分）如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，∠A＝30°，O为线段AC上一点，以O为圆心，线段OC的长为半径画圆恰好经过点B，与AC的另一个交点为D．‎ ‎（1）求证：AB是圆O的切线；‎ ‎（2）若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积．‎ ‎24．（9分）点P将线段AB分成一条较小线段AP和一条较大线段BP，如果，那么称点P为线段AB的黄金分割点，设，则k就是黄金比．‎ ‎（1）如图1，若AB＝1，求较大线段BP的长，并直接写出黄金比k的值（结果保留根号）；‎ ‎（2）如图2，正方形MNCB在宽为2a（常数a＞0）的矩形纸片一端，对折正方形MNCB得到折痕AE，再翻折纸片，使AB与AD重合，求证：点C为线段ND的黄金分割点；‎ ‎（3）如图3，在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（AD＞BD），连接CD，过点C任作一条直线交DB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF ‎，求的值．‎ ‎25．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1．‎ ‎（1）若抛物线顶点在x轴上，且过（0，﹣1），求抛物线的函数解析式；‎ ‎（2）若抛物线不过第三象限，求的取值范围；‎ ‎（3）若抛物线过点（﹣1，﹣1），当0≤x≤1时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，求a的值．‎ ‎26．（10分）直线y＝﹣x+2a（常数a＞0）和双曲线y＝（k＞0，x＞0）的图象有且只有一个交点B．‎ ‎（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；‎ ‎（2）如图1，一次函数y＝﹣x+2a与x轴交于点A，点P是线段OA上的动点，点Q在反比例函数图象上，且满足∠BPO＝∠QPA．‎ ‎①若a＝1时，点P在移动过程中，求BP+PQ的最小值；‎ ‎②如图2，设PQ与线段AB的交点为M，若OM⊥BP，试求的值．‎ ‎2020年湖南师大附中梅溪湖中学中考数学八模试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题，每小题3分）‎ ‎1．（3分）比﹣3大1的数是（　　）‎ A．1 B．﹣2 C．﹣4 D．1‎ ‎【分析】用﹣3加上1，求出比﹣3大1的数是多少即可．‎ ‎【解答】解：∵﹣3+1＝﹣2，‎ ‎∴比﹣3大1的数是﹣2．‎ 故选：B．‎ ‎2．（3分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线 ‎ C．科克曲线 D．斐波那契螺旋线 ‎【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．‎ ‎【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；‎ B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；‎ C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；‎ D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；‎ 故选：C．‎ ‎3．（3分）如图，将正方体的平面展开图重新折成正方体后，“祝”字对面的字是（　　）‎ A．中 B．考 C．成 D．功 ‎【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．‎ ‎【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，‎ ‎“祝”字对面的字是“成”，‎ ‎“你”字对面的字是“考”，‎ ‎“中”字对面的字是“功”．‎ 故选：C．‎ ‎4．（3分）如图，已知直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOD＝110°，则∠BOD＝（　　）‎ A．30° B．35° C．20° D．40°‎ ‎【分析】根据邻补角的定义求出∠COE，再根据角平分线的定义求出∠AOC，然后根据对顶角相等求解即可．‎ ‎【解答】解：∵∠EOD＝110°，‎ ‎∴∠COE＝180°﹣∠EOD＝180°﹣110°＝70°，‎ ‎∵OA平分∠EOC，‎ ‎∴∠AOC＝∠COE＝×70°＝35°，‎ ‎∴∠BOD＝∠AOC＝35°．‎ 故选：B．‎ ‎5．（3分）如图，这是一个利用平面直角坐标系画出的某动物园的示意图，如果这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，并且猴山和狮虎山的坐标分别是（﹣2，2）和（8，0），则图中熊猫馆的位置用坐标表示为（　　）‎ A．（ 1，1） B．（ 2，2） C．（ 1，3） D．（ 4，4）‎ ‎【分析】根据猴山和狮虎山的坐标分别是（﹣2，2）和（8，0）确定坐标原点的位置，然后建立坐标系，进而可确定熊猫馆的位置．‎ ‎【解答】解：如图所示：熊猫馆的点的坐标是（4，4），‎ 故选：D．‎ ‎6．（3分）若x2+mxy+4y2是一个完全平方式，那么m的值是（　　）‎ A．±4 B．﹣2 C．±2 D．4‎ ‎【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．‎ ‎【解答】解：∵x2+mxy+4y2＝x2+mxy+（2y）2，‎ ‎∴mxy＝±2x•2y，‎ 解得：m＝±4．‎ 故选：A．‎ ‎7．（3分）下列各组数中，不能构成直角三角形的是（　　）‎ A．1，1， B．5，12，13 C．8，15，16 D．7，24，25‎ ‎【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可．‎ ‎【解答】解：A、∵12+12＝（）2，‎ ‎∴以1、1、为边组成的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；‎ B、∵52+122＝132，‎ ‎∴以5、12、13为边组成的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；‎ C、∵82+152≠162，‎ ‎∴以8、15、16为边组成的三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；‎ D、∵72+242＝252，‎ ‎∴以7、24、25为边组成的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；‎ 故选：C．‎ ‎8．（3分）下表是某校合唱团成员的年龄分布：‎ 年龄/岁 ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 频数 ‎5‎ ‎15‎ x ‎10﹣x 对于不同的x，下列关于年龄的统计量会发生改变的是（　　）‎ A．中位数 B．平均数 C．众数 D．极差 ‎【分析】由频数分布表可知后两组的频数和为10，即可得知总人数，再根据中位数、平均数、众数以及极差的定义，可得答案．‎ ‎【解答】解：由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+10﹣x＝10，‎ 则总人数为：5+15+10＝30，‎ 故该组数据的众数为14岁，中位数为：＝14岁，极差为16﹣13＝3岁，‎ 平均数为：[13×5+14×15+15x+16（10﹣x）]＝（435﹣x），‎ 即对于不同的x，关于年龄的统计量会发生改变的是平均数，‎ 故选：B．‎ ‎9．（3分）某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降低至1.21%，设平均每次降息的百分率为x，则x满足方程（　　）‎ A．2.25%（1﹣2x）＝1.21% B．1.21%（1+2x）＝2.25% ‎ C．1.21%（1+x）2＝2.25% D．2.25%（1﹣x）2＝1.21%‎ ‎【分析】等量关系：经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降低至1.21%．‎ ‎【解答】解：经过一次降息，是2.25%（1﹣x），‎ 经过两次降息，是2.25%（1﹣x）2，‎ 则有方程2.25%（1﹣x）2＝1.21%．‎ 故选：D．‎ ‎10．（3分）下列判断错误的是（　　）‎ A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ‎ B．四个内角都相等的四边形是矩形 ‎ C．四条边都相等的四边形是菱形 ‎ D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形 ‎【分析】根据平行四边形的判定、矩形的判定，菱形的判定以及正方形的判定对各选项分析判断即可得解．‎ ‎【解答】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，故本选项错误；‎ B、四个内角都相等的四边形是矩形，正确，故本选项错误；‎ C、四条边都相等的四边形是菱形，正确，故本选项错误；‎ D、两条对角线垂直且平分的四边形是正方形，错误，应该是菱形，故本选项正确．‎ 故选：D．‎ ‎11．（3分）在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点为O（0，0）、A（1，2）、B（4，0），则过顶点C的正比例函数的解析式是（　　）‎ A．y＝﹣x B．y＝x C．y＝﹣x D．y＝2x﹣8‎ ‎【分析】由在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点为O（0，0）、A（1，2）、B（4，0），根据平行四边形的性质，即可作出图形，继而求得答案．‎ ‎【解答】解：如图：在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点为O（0，0）、A（1，2）、B（4，0），则顶点C的坐标是：（3，﹣2），‎ 设过顶点C的正比例函数的解析式为y＝kx，‎ ‎∴﹣2＝3k，‎ 解得k＝﹣，‎ ‎∴正比例函数的解析式为y＝﹣x，‎ 故选：A．‎ ‎12．（3分）如图，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝2，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC、BC相切于点E、F，与AB分别相交于点G、H，且EH的延长线与CB的延长线交于点D，则CD的长为（　　）‎ A．2﹣1 B．2 C．+1 D．2﹣‎ ‎【分析】先连接OE、OF，由于ACBC是切线，可知∠OEC＝∠OFC＝90°，又OE＝OF，∠C＝90°，可证四边形CEOF是正方形，易得OE∥BC，而O是AB的中点，利用平行线分线段成比例定理的推论，可证AE＝CE，易求AE＝CE＝1，即OH＝1，利用OE∥CD，可得△OEH∽△BDH，利用相似三角形的性质可求BD，从而易求CD．‎ ‎【解答】解：如右图所示，连接OE、OF，‎ ‎∵⊙O与AC、BC切于点E、F，‎ ‎∴∠OEC＝∠OFC＝90°，OE＝OF，‎ 又∵△ABC是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠C＝90°，‎ ‎∴四边形CEOF是正方形，‎ ‎∴OE∥BC，‎ 又∵以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC、BC相切于点E、F，OE＝OF，‎ ‎∴O在∠ACB的角平分线上，‎ ‎∵AC＝BC，‎ ‎∴O是AB中点，‎ ‎∴AE＝CE，‎ 又∵AC＝2，‎ ‎∴AE＝CE＝1，‎ ‎∴OE＝OF＝CE＝1，‎ ‎∴OH＝1，‎ ‎∵OE∥CD，‎ ‎∴△OEH∽△BDH，‎ ‎∴，‎ 又∵AB＝＝2，‎ ‎∴OB＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴BD＝﹣1，‎ ‎∴CD＝2+BD＝+1，‎ 故选：C．‎ 二．填空题（共6小题，每题3分，共18分）‎ ‎13．（3分）与最接近的整数是　4　．‎ ‎【分析】根据无理数的意义和二次根式的性质得出＜＜，即可求出答案．‎ ‎【解答】解：∵＜＜，‎ ‎∴最接近的整数是，‎ ‎＝4，‎ 故答案为：4．‎ ‎14．（3分）分式的值为0，那么x的值为　3　．‎ ‎【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．‎ ‎【解答】解：由题意可得：x2﹣9＝0且x+3≠0，‎ 解得x＝3．‎ 故答案为：3．‎ ‎15．（3分）如图，五边形ABCDE的内角都相等，DF⊥AB，则∠CDF的大小＝　54　（度）‎ ‎【分析】根据多边形内角和度数可得每一个角的度数，然后再利用四边形DFBC内角和计算出∠CDF的度数．‎ ‎【解答】解：∵五边形ABCDE的内角都相等，‎ ‎∴∠C＝∠B＝∠EDC＝180°×（5﹣2）÷5＝108°，‎ ‎∵DF⊥AB，‎ ‎∴∠DFB＝90°，‎ ‎∴∠CDF＝360°﹣90°﹣108°﹣108°＝54°．‎ 故答案为：54．‎ ‎16．（3分）经过某T字路口的行人，可能左拐，也可能右拐．假设这两种可能性相同．现有两人经过该路口，则恰好有一人右拐，另一人左拐的概率为　　．‎ ‎【分析】画出树状图，共有4个等可能的结果，则恰好有一人右拐，另一人左拐的结果有2个，由概率公式求解即可．‎ ‎【解答】解：画树状图如图：‎ 共有4个等可能的结果，则恰好有一人右拐，另一人左拐的结果有2个，‎ ‎∴两人经过该路口，则恰好有一人右拐，另一人左拐的概率为＝；‎ 故答案为：．‎ ‎17．（3分）如图，一直线经过原点O，且与反比例函数y＝相交于点A、点B，过点A作 AC⊥y轴，垂足为C，连接BC．则△ABC面积为　2　．‎ ‎【分析】首先由反比例函数系数k的几何意义，可知△AOC的面积等于1，然后根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知A、B两点关于原点对称，则O为线段AB的中点，故△BOC的面积＝△AOC的面积＝1，从而求出△ABC面积．‎ ‎【解答】解：∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，‎ ‎∴A、B两点关于原点对称，‎ ‎∴OA＝OB，‎ ‎∴△BOC的面积＝△AOC的面积，‎ ‎∵A是反比例函数y＝图象上的点，且AC⊥y轴于点C，‎ ‎∴△AOC的面积＝|k|＝＝1，‎ ‎∴△BOC的面积＝△AOC的面积＝1，‎ ‎∴△ABC面积＝△BOC的面积+△AOC的面积＝2，‎ 故答案为2．‎ ‎18．（3分）我国魏晋时期数学家刘徽编撰的最早一部测量数学著作《海岛算经》中有一题：今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直．从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合．从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合．问岛高几何？‎ 译文：今要测量海岛上一座山峰AH的高度，在B处和D处竖立标杆BC和DE，标杆的高都是3丈，B和D两处相隔1000步（1丈＝10尺，1步＝6尺），并且AH，CB和DE在同一平面内．从标杆BC后退123步的F处可以看到顶峰A和标杆顶端C在同一直线上；从标杆ED后退127步的G处可以看到顶峰A和标杆顶端E在同一直线上．则山峰AH的高度是　1255步　．‎ ‎【分析】根据题意得出△FCB∽△FAH，△EDG∽△AHG，进而利用相似三角形的性质求出即可．‎ ‎【解答】解：由题意，得，AH⊥HG，CB⊥HG，‎ ‎∴∠AHF＝90°，∠CBF＝90°，‎ ‎∴∠AHF＝∠CBF，‎ ‎∵∠AFB＝∠CFB，‎ ‎∴△CBF∽△AHF，‎ ‎∴＝，‎ 同理可得 ＝，‎ ‎∵BF＝123，BD＝1000，DG＝127，‎ ‎∴HF＝HB+123，HG＝HB+1000+127＝HB+1127，‎ ‎∴＝，＝，‎ 解得HB＝30750，HA＝753丈＝1255步，‎ 故答案为：1255步．‎ 三．解答题（8小题，共66分）‎ ‎19．（6分）实数计算：（﹣1）﹣2019+3tan30°﹣|1﹣|+（3.14﹣π）0．‎ ‎【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．‎ ‎【解答】解：原式＝﹣1+3×﹣（﹣1）+1‎ ‎＝﹣1+﹣+1+1‎ ‎＝1．‎ ‎20．（6分）解不等式组，并用数轴表示解集．‎ ‎【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．‎ ‎【解答】解：解不等式x﹣3（x﹣2）≤4，得：x≥1，‎ 解不等式＞x﹣1，得：x＜，‎ 则不等式组的无解，‎ 将不等式组的解集表示在数轴上如下：‎ ‎21．（8分）学校组织学生乘汽车去自然保护区野营，前三分之二路段为平路，其余路段为坡路，已知汽车在平路上行驶的平均速度为60km/h，在上坡路上行驶的平均速度为40km/h．汽车从学校到自然保护区走平路和上坡路，一共行驶了4.2h．‎ ‎（1）求汽车在平路和上坡路上各行驶多少时间？‎ ‎（2）第二天原路返回，发现回程比去时用时少了0.9h，问汽车在下坡路上的行驶的平均速度是多少？‎ ‎【分析】（1）设汽车在平路行驶了xh，在上坡路行驶了yh，根据“汽车从学校到自然保护区走平路和上坡路，一共行驶了4.2h，且平路长度为上坡路的2倍”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；‎ ‎（2）利用速度＝路程÷时间，即可求出结论．‎ ‎【解答】解：（1）设汽车在平路行驶了xh，在上坡路行驶了yh，‎ 依题意，得：，‎ 解得：．‎ 答：汽车在平路行驶了2.4h，在上坡路行驶了1.8h．‎ ‎（2）40×1.8÷（1.8﹣0.9）＝80（km/h）．‎ 答：汽车在下坡路上的行驶的平均速度是80km/h．‎ ‎22．（8分）某同学想了解本校初一学生对哪门课程的课后服务感兴趣，随机抽取了部分初一学生进行调查（每名学生必选且只能选择一门课程）．将获得的数据整理绘制如下两幅不完整的统计图．‎ 根据统计图提供的信息，解答下列问题：‎ ‎（1）在这次调查中一共抽取了　50　名学生，m的值是　18　．‎ ‎（2）请根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；‎ ‎（3）扇形统计图中，“数学”所对应的圆心角度数是　108　度；‎ ‎（4）若该校初一年级共有500名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校初一年级学生中有多少名学生对数学感兴趣．‎ ‎【分析】（1）根据统计图中爱好化学的人数和所占的百分比，可以求得本次抽取的学生人数，然后即可计算出m的值；‎ ‎（2）根据统计图中的信息，可以计算出爱好数学的人数，然后即可将条形统计图补充完整；‎ ‎（3）根据统计图中的数据，可以计算出扇形统计图中，“数学”所对应的圆心角度数；‎ ‎（4）根据统计图中的数据，可以计算出该校初一年级学生中有多少名学生对数学感兴趣．‎ ‎【解答】解：（1）在这次调查中一共抽取了10÷20%＝50名学生，‎ m%＝9÷50×100%＝18%，‎ 故答案为：50，18；‎ ‎（2）对数学感兴趣的学生有：50﹣9﹣5﹣8﹣10﹣3＝15（人），‎ 补全的条形统计图如右图所示；‎ ‎（3）扇形统计图中，“数学”所对应的圆心角度数是：360°×＝108°，‎ 故答案为：108；‎ ‎（4）500×＝150（名），‎ 答：该校初一年级学生中有150名学生对数学感兴趣．‎ ‎23．（9分）如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，∠A＝30°，O为线段AC上一点，以O为圆心，线段OC的长为半径画圆恰好经过点B，与AC的另一个交点为D．‎ ‎（1）求证：AB是圆O的切线；‎ ‎（2）若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积．‎ ‎【分析】（1）连接OB，根据切线的判定即可求出答案．‎ ‎（2）求出△ABO与扇形OBD的面积后即可求出阴影部分面积．‎ ‎【解答】解：（1）连接OB，‎ ‎∵AB＝BC，‎ ‎∴∠C＝∠A＝30°，∠CBA＝120°，‎ ‎∵OC＝OB，‎ ‎∴∠OBC＝∠C＝30°，‎ ‎∴∠OBA＝90°，‎ ‎∵OB是⊙O的半径，‎ ‎∴AB是圆O的切线．‎ ‎（2）∵∠A＝30°，OB＝1，‎ ‎∴AB＝，‎ ‎∴S△ABO＝×1×＝，‎ ‎∵S扇形OBD＝＝，‎ ‎∴S阴影＝S△ABO﹣S扇形OBD＝．‎ ‎24．（9分）点P将线段AB分成一条较小线段AP和一条较大线段BP，如果，那么称点P为线段AB的黄金分割点，设，则k就是黄金比．‎ ‎（1）如图1，若AB＝1，求较大线段BP的长，并直接写出黄金比k的值（结果保留根号）；‎ ‎（2）如图2，正方形MNCB在宽为2a（常数a＞0）的矩形纸片一端，对折正方形MNCB得到折痕AE，再翻折纸片，使AB与AD重合，求证：点C为线段ND的黄金分割点；‎ ‎（3）如图3，在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（AD＞BD），连接CD，过点C任作一条直线交DB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF，求的值．‎ ‎【分析】（1）设BP＝x，构建方程求解即可．‎ ‎（2）通过计算证明CN2＝CD•DN，可得结论．‎ ‎（3）因为点D为边AB的黄金分割点，推出＝＝，推出＝＝，再证明S△ADC＝S△ADF+S△DFC＝S△ADF+S△DFE＝S△AEF，S△BDC＝S四边形BEFC，可得结论．‎ ‎【解答】（1）解：设BP＝x，‎ 由题意，＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴x2+x﹣1＝0，‎ 解得x＝或，‎ ‎∴BP＝，k＝．‎ ‎（2）证明：在Rt△AEB中，AB＝＝＝a，‎ ‎∵AB∥DH，BH∥AD，‎ ‎∴四边形ABHD是平行四边形，‎ ‎∵AB＝AD，‎ ‎∴四边形ABHD是菱形，‎ ‎∴AD＝AB＝a，‎ ‎∴CD＝AD﹣AC＝（﹣1）a，‎ ‎∵BC2＝4a2，CD•DN＝（﹣1）a（+1）a＝4a2，‎ ‎∴BC2＝CD•DN，‎ ‎∵CN＝BC，‎ ‎∴CN2＝CD•DN，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴点C为线段ND的黄金分割点．‎ ‎（3）解：设△ABC的边AB上的高为h．‎ 则S△ADC＝AD•h，S△BDC＝BD•h，S△ABC＝AB•h，‎ ‎∴＝，＝．‎ 又∵点D为边AB的黄金分割点，‎ ‎∴＝＝，‎ ‎∴＝＝，‎ ‎∵DF∥CE，‎ ‎∴△DFC和△DFE的公共边DF上的高也相等，‎ ‎∴S△DFC＝S△DFE，‎ ‎∴S△ADC＝S△ADF+S△DFC＝S△ADF+S△DFE＝S△AEF，S△BDC＝S四边形BEFC．‎ 又∵＝＝，‎ ‎∴＝＝．‎ ‎25．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1．‎ ‎（1）若抛物线顶点在x轴上，且过（0，﹣1），求抛物线的函数解析式；‎ ‎（2）若抛物线不过第三象限，求的取值范围；‎ ‎（3）若抛物线过点（﹣1，﹣1），当0≤x≤1时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，求a的值．‎ ‎【分析】（1）根据题意得出b＝2a，c＝﹣1，＝0，把b＝2a，c＝﹣1代入＝0，即可求得a＝﹣1，b＝﹣2；‎ ‎（2）根据题意抛物线开口向上，不交于y轴的负半轴，即可得出a＞0，c≥0，从而求得≥0；‎ ‎（3）抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，即该点坐标为（1，4）或（1，﹣4），即可求解．‎ ‎【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1．‎ ‎∴﹣＝﹣1，‎ ‎∴b＝2a，‎ ‎∵抛物线顶点在x轴上，且过（0，﹣1），‎ ‎∴＝0，c＝﹣1‎ ‎∴＝0，‎ ‎∴﹣1﹣a＝0，解得a＝﹣1，‎ ‎∴b＝﹣2，‎ ‎∴抛物线的函数解析式为y＝﹣x2﹣2x﹣1；‎ ‎（2）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线不过第三象限，‎ ‎∴抛物线开口向上，不交于y轴的负半轴，‎ ‎∴a＞0，c≥0，‎ ‎∴≥0；‎ ‎（3）∵对称轴为直线x＝﹣1，抛物线过点（﹣1，﹣1），‎ ‎∴该点是抛物线的顶点，则函数的表达式为：y＝a（x+1）2﹣1，‎ ‎∵当0≤x≤1时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，而顶点到x轴的距离为1，‎ ‎∴x＝1时，该点的y坐标为4或﹣4，即该点坐标为（1，4）或（1，﹣4），‎ 将点（1，4）或（1，﹣4），代入函数表达式得：4＝a（1+1）2﹣1或﹣4＝a（1+1）2﹣1，‎ 解得：a＝或﹣．‎ ‎26．（10分）直线y＝﹣x+2a（常数a＞0）和双曲线y＝（k＞0，x＞0）的图象有且只有一个交点B．‎ ‎（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；‎ ‎（2）如图1，一次函数y＝﹣x+2a与x轴交于点A，点P是线段OA上的动点，点Q在反比例函数图象上，且满足∠BPO＝∠QPA．‎ ‎①若a＝1时，点P在移动过程中，求BP+PQ的最小值；‎ ‎②如图2，设PQ与线段AB的交点为M，若OM⊥BP，试求的值．‎ ‎【分析】（1）构建方程组根据△＝0，确定k与a的关系，再求出方程组的解即可．‎ ‎（2）①如图1中，作过B关于OA的对称点B′，连接QB′交OA于P，此时∠BPO＝∠QPA，设Q（m，），构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．‎ ‎②过点B作BH⊥OA于H交OM于J，设OM交PB于K．利用全等三角形的性质证明OJ＝PB，JH＝PH，JM＝PM即可解决问题．‎ ‎【解答】解：（1）由消去x得到，x2﹣2ax+k＝0，‎ 由题意△＝0，‎ ‎∴4a2﹣4k＝0，‎ ‎∴k＝a2，‎ 解方程组得到，，‎ ‎∴B（a，a）．‎ ‎（2）①如图1中，作过B关于OA的对称点B′，连接QB′交OA于P，此时∠BPO＝∠QPA，设Q（m，），‎ ‎∵B（1，1），B′（1，﹣1），‎ ‎∴PB+PQ＝PB′+PQ＝B′Q＝＝＝＝，‎ ‎∵1＞0，‎ ‎∴当m﹣＝1时，PB+PQ的值最小，最小值为．‎ ‎②过点B作BH⊥OA于H交OM于J，设OM交PB于K．‎ 由题意，B（a，a），A（2a，0），‎ ‎∴OH＝BH＝AH＝2a，‎ ‎∵OM⊥PB，BH⊥OA，‎ ‎∴∠OHJ＝∠BKJ＝90°，‎ ‎∵∠OJH＝∠BJK，‎ ‎∴∠HOJ＝∠HBP，‎ ‎∵∠OHJ＝∠BHP＝90°，OH＝BH，‎ ‎∴△OHJ≌△BHP（ASA），‎ ‎∴OJ＝PB，JH＝PH，∠OJH＝∠BPH，‎ AP＝BJ，‎ ‎∵∠AHB＝90°，HB＝HA，‎ ‎∴∠PAM＝∠JBM＝45°，‎ ‎∵∠BPH＝∠APM，∠OJH＝∠BJM，‎ ‎∴∠BJM＝∠APM，‎ ‎∴△BJM≌△APM（ASA），‎ ‎∴JM＝PM，‎ ‎∴OM﹣PB＝OJ+JM﹣BP＝JM＝PM，‎ ‎∴＝1．‎