中考数学三轮真题集训冲刺知识点33圆的基本性质pdf含解析

中考数学三轮真题集训冲刺知识点33圆的基本性质pdf含解析

1 / 35 一、选择题 1．（2019·嘉兴）如图，已知⊙O 上三点 A，B，C，半径 OC＝1，∠ABC＝30°，切线 PA 交 OC 延长线于 点 P，则 PA 的长为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解析】连接 OA，因为∠ ABC=30°，所以∠AOC=60°，又因为 PA 为切线，所以∠OAP=90°，因 为 OC=1，所以 PA= 3 . 2.（2019·杭州）如图，P 为⊙O 外一点，PA、PB 分别切⊙O 于 A、B 两点，若 PA=3，则 PB= （ ） A．2 B.3 C.4 D.5 【答案】B 【解析】因为 PA 和 PB 与⊙O 相切，根据切线长定理，可知： PA=PB=3，故选 B． 3．（2019·烟台）如图，AB 是 O 的直径，直线 DE 与 O 相切于点 C，过点 A，B 分别作 AD ⊥ DE ， BE ⊥ DE ，垂足为点 D，E，连接 AC，BC．若 AD = 3 ，CE = 3 ，则 AC 的长为（ ）． A． 2 3 3 B． 3 3 π C． 3 2 π D． 23 3 π 【答案】D PO A B C O D E B A 第 3 题答图 知识点 33——圆的基本性质 2 / 35 【解题过程】连接 OC， 因为 AD DE⊥ ， BE DE⊥ ， 所以 90ADC CEB∠ =∠=° 所以 90DAC ACD∠ +∠ = ° 因为 AB 是 O 的直径， 所以 90ACB∠=°， 所以 90BCE ACD∠ +∠ = °， 所以 BCE DAC∠=∠， 在△ADC 与△CED, 因为 90ADC CEB∠ =∠=°， BCE DAC∠=∠ 所以△ADC∽△CED, 所以 3 3 3 BC CE AC AD = = = 在 Rt△ACB 中，sin 3BCBAC AC ∠==， 所以 60BAC∠=°， 又因为OA OC= ， 所以△AOC 是等边三角形， 所以 60ACO∠=°， 因为直线 DE 与 O 相切于点 C， 所以OC DE⊥ ， 因为 AD DE⊥ ，OC DE⊥ ， 所以 AD//OC， 所以 60DAC ACO∠=∠=°， 所以 90 30ACD DAC∠ = °−∠ = °， 所以 2 23AC AD= = ， 所以△AOC 是等边三角形， 所以 23OA AC= = ， 60AOC∠=°， 所以 AC 的长为 60 23 23 180 3 π π×× = ． 4．（2019·威海） 如图，⊙P 与 x 轴交与点 A（—5，0），B（1，0），与 y 轴的正半轴交于点 C，若∠ ACB＝60°，则点 C 的纵坐标为 。 3 / 35 A. 13 3+ B. 22 3+ C. 42D. 22 2+ 【答案】D 【解题过程】连接 PA、PB、PC,过点 P 分别作 PF⊥ AB， PE⊥ OC，垂足为 F,E. 由题意可知：四边形 PFOE 为矩形， ∴ PE＝ OF,PF＝OE. ∵∠ACB＝60°， ∴∠ APB＝120°. ∵PA＝PB， ∴∠PAB＝∠ PBA＝30°. ∵PF⊥ AB， ∴ AF＝ BF＝ 3. ∴ PE＝ OF＝ 2. ∵ tan30°＝ PF AF ,cos30°＝ AF AP ， ∴PF＝ 3 ,AP＝ 23. ∴OE＝ 3 ,PC＝ 23. 在 RT△PEC 中，CE＝ 22PC PE− ＝ 22， ∴OC＝CE＋EO＝ 22＋2. 5．（2019·青岛） 如圈， 结段 AB 经过⊙O 的圆心，AC BD 分别与⊙O 相切于点 D.若 AC= BD = 4, x y C P A BO x y E C P FA BO 4 / 35 ∠A=45°， 则圆弧 CD 的长度为（ ） A.π B. 2π C. 2 2 π D.4π 【答案】B 【 解 析 】 连 接 CO,DO, 因 为 AC,BD 分 别 与 ⊙ O 相 切 于 C,D ， 所以∠ACO=∠DBO=90°, 所以∠AOC=∠A=45°, 所 以 CO=AC=4 ，因为 AC=BD,CO=DO, 所以△ ACO ≌△BDO, 所以∠ DOB= ∠ AOC=45° ，所以∠ DOC=180°-∠DOB-∠AOC=180°-45°-45°=90°， CD = 90 4 180 π × =2π，故选 B. 6．（2019·益阳）如图，PA、PB 为圆 O 的切线，切点分别为 A、B，PO 交 AB 于点 C，PO 的延长 线 交圆 O 于点 D，下列结论不一定成立的是（） A. PA=PBB.∠BPD＝∠APDC.AB⊥PDD.AB 平分 PD 第 6题图 【答案】D 【解析】∵PA、PB 为圆 O 的切线，切点分别为 A、B，PO 交 AB 于点 C，PO 的延长线交圆 O 于点 D， ∴PA=PB，∠BPD＝∠APD，故 A、B 正确； ∵PA=PB，∠BPD＝∠APD，∴PD⊥AB，PD 平分 AB，但 AB 不一定平分 PD，故 C 正确，D 错误. 5 / 35 7．（2019·黄 冈 ）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（ AB ）， 点 O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m， 点C是 AB 的中点，点D是AB的中点，且CD＝10m.则这段弯路所在圆的半径为（） A.25m B.24m C.30m D.60m 【答案】A 【解析】连接OD，由垂径定理可知O，C，D在同一条直线上，OC⊥AB，设半径为r，则OC＝OA＝r， AD＝20，OD＝OA－CD＝r－10，在Rt△ADO，由勾股定理知：r2＝202＋(r－10)2，解得r＝25. 8．（2019·陇南）如图，点 A，B，S 在圆上，若弦 AB 的长度等于圆半径的 倍，则∠ASB 的度数 是 （ ） A．22.5° B．30° C．45° D．60° 【答案】C 【解析】作 AB 的垂直平分线，交圆与点 C，D，设圆心为 O，CD 与 AB 交于点 E，∵AB= 2 OA，∴ AE= 2 2 OA ，∴ 2 22sin 2 OAOEAOE OA OA ∠== =,∴∠AOE=45°，∴∠AOB=90°， (第7题图) O D C B A A B C D O 6 / 35 ∴∠ASB=45°， 故选：C． 9.（2019·滨州）如图，AB 为 ⊙ O 的直径，C，D 为 ⊙ O 上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD 的大小为 （ ） A．60° B．50° C．40° D．20° 【答案】B 【解析】如图，连接 AD，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB=90°．∵∠A 和∠BCD 都是弧 BD 所对的圆周 角，∴∠A=∠BCD=40°，∴∠ABD=90°－40°=50°．故选 B． 10. (2019·聊城)如图,BC 是半圆 O 的直径,D,E 是 BC 上两点,连接 BD,CE 并延长交于点 A,连接 OD,OE, 如果∠A＝70°,那么∠DOE 的度数为（ ） A.35° B.38° C.40° D.42° 7 / 35 【答案】C 【解析】∵∠A＝70°,∴∠B+∠C＝110°,∴∠BOE+∠COD＝220°,∴∠DOE＝∠BOE+∠COD－180° ＝40°,故选 C. 11.（2019·潍坊）如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AB 为直径，AD=CD．过点 D 作 DE⊥AB 于 点 E．连 接 AC 交 DE 于点 F．若 sin∠CAB= 3 5 ，DF=5，则 BC 的长为（ ） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【解析】连接 BD． ∵AD=CD，∴∠DAC=∠ACD． ∵AB 为直径，∴∠ADB=∠ACB=90°．∴∠DAB+∠ABD=90°． ∵DE⊥AB，∴∠DAB+∠ADE=90°．∴∠ADE=∠ABD． ∵∠ABD=∠ACD，∴∠DAC=∠ADE．∴AF=DF=5． 在 Rt△AEF 中，sin∠CAB= 3 5 EF AF = ∴EF=3，AE=4．∴DE=3+5=8． 8 / 35 由 DE2=AE ▪EB，得 228 164 DEBE AE = = = ． ∴AB=16+4=20． 在 Rt△ABC 中，sin∠CAB= 3 5 BC AB = ∴BC=12． 12.（2019·凉山）下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②两点之间线 段最短；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦．其中，真命题的个数（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；两点之间线段最短；在同圆或 等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，所以只有①是对的，故选 A. 13.（2019·眉山）如图，⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD．垂足是 点 E，∠CAO=22．5°，OC=6， 则 CD 的长为（ ） A． 6 2 B． 3 2 C．6 D．12 【答案】A 【解析】∵∠A=22.5°，∴∠COE=45°，∵⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD，OC=6，∴∠CEO=90°， ∵∠COE=45°，∴CE=OE= 2 2 OC＝ 32，∴CD=2CE=62，故选 D. 9 / 35 14.（2019·衢州）一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D.现测 得 AB=8dm，DC=2dm，则圆形标志牌的半径为（ ） A.6dm B.5dm C.4dm D.3dm 【答案】B 【解析】连接OD，OB，则 O，C，D三点在一条直线上，因为CD 垂直平分 AB，AB=8dm，所以BD=4dm,OD= （r-2）dm，由勾股定理得 42+（r-2）2=r2，r=5dm，故选 B. 15.(2019·泰安) 如图,△ABC 是  O 的内接三角形,∠A＝119°,过点 C 的圆的切线交 BO 于点 P,则∠P 的度数为（ ） A.32 ° B.31° C.29° D.61° 【答案】A 【解析】连接 CO,CF,∵∠A＝119°,∴∠BFC＝61°,∴∠BOC＝122°,∴∠COP＝58°,∵CP 与圆相切 于点 C,∴OC⊥CP,∴在 Rt△OCP 中,∠P＝90°－∠COP＝32°,故选 A. 10 / 35 二、填空题 1．（2019·嘉兴）如图，已知⊙O 上三点 A，B，C，半径 OC＝1，∠ABC＝30°，切线 PA 交 OC 延长线于 点 P，则 PA 的长为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解析】连接 OA，因为∠ ABC=30°，所以∠AOC=60°，又因为 PA 为切线，所以∠OAP=90°，因 为 OC=1，所以 PA= 3 . 2.（2019·杭州）如图，P 为⊙O 外一点，PA、PB 分别切⊙O 于 A、B 两点，若 PA=3，则 PB= （ ） A．2 B.3 C.4 D.5 【答案】B 【解析】因为 PA 和 PB 与⊙O 相切，根据切线长定理，可知： PA=PB=3，故选 B． 3．（2019·烟台）如图，AB 是 O 的直径，直线 DE 与 O 相切于点 C，过点 A，B 分别作 AD ⊥ DE ， BE ⊥ DE ，垂足为点 D，E，连接 AC，BC．若 AD = 3 ，CE = 3 ，则 AC 的长为（ ）． A． 2 3 3 B． 3 3 π C． 3 2 π D． 23 3 π 【答案】D PO A B C O D E B A 第 3 题答图 11 / 35 【解题过程】连接 OC， 因为 AD DE⊥ ， BE DE⊥ ， 所以 90ADC CEB∠ =∠=° 所以 90DAC ACD∠ +∠ = ° 因为 AB 是 O 的直径， 所以 90ACB∠=°， 所以 90BCE ACD∠ +∠ = °， 所以 BCE DAC∠=∠， 在△ADC 与△CED, 因为 90ADC CEB∠ =∠=°， BCE DAC∠=∠ 所以△ADC∽△CED, 所以 3 3 3 BC CE AC AD = = = 在 Rt△ACB 中，sin 3BCBAC AC ∠==， 所以 60BAC∠=°， 又因为OA OC= ， 所以△AOC 是等边三角形， 所以 60ACO∠=°， 因为直线 DE 与 O 相切于点 C， 所以OC DE⊥ ， 因为 AD DE⊥ ，OC DE⊥ ， 所以 AD//OC， 所以 60DAC ACO∠=∠=°， 所以 90 30ACD DAC∠ = °−∠ = °， 所以 2 23AC AD= = ， 所以△AOC 是等边三角形， 所以 23OA AC= = ， 60AOC∠=°， 所以 AC 的长为 60 23 23 180 3 π π×× = ． 4．（2019·威海） 如图，⊙P 与 x 轴交与点 A（—5，0），B（1，0），与 y 轴的正半轴交于点 C，若∠ ACB＝60°，则点 C 的纵坐标为 。 12 / 35 B. 13 3+ B. 22 3+ C. 42D. 22 2+ 【答案】D 【解题过程】连接 PA、PB、PC,过点 P 分别作 PF⊥ AB， PE⊥ OC，垂足为 F,E. 由题意可知：四边形 PFOE 为矩形， ∴ PE＝ OF,PF＝OE. ∵∠ACB＝60°， ∴∠ APB＝120°. ∵PA＝PB， ∴∠PAB＝∠ PBA＝30°. ∵PF⊥ AB， ∴ AF＝ BF＝ 3. ∴ PE＝ OF＝ 2. ∵ tan30°＝ PF AF ,cos30°＝ AF AP ， ∴PF＝ 3 ,AP＝ 23. ∴OE＝ 3 ,PC＝ 23. 在 RT△PEC 中，CE＝ 22PC PE− ＝ 22， ∴OC＝CE＋EO＝ 22＋2. 5．（2019·青岛） 如圈， 结段 AB 经过⊙O 的圆心，AC BD 分别与⊙O 相切于点 D.若 AC= BD = 4, x y C P A BO x y E C P FA BO 13 / 35 ∠A=45°， 则圆弧 CD 的长度为（ ） A.π B. 2π C. 2 2 π D.4π 【答案】B 【解析】连接CO,DO,因为AC,BD分别与⊙O相切于C,D， 所以∠ACO=∠DBO=90°, 所以∠AOC=∠A=45°, 所 以 CO=AC=4 ，因为 AC=BD,CO=DO, 所以△ ACO ≌△BDO, 所以∠ DOB= ∠ AOC=45° ，所以∠ DOC=180°-∠DOB-∠AOC=180°-45°-45°=90°， CD = 90 4 180 π × =2π，故选 B. 6．（2019·娄底）如图（9），C、D 两点在以 AB 为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则 AD＝ _____________． 【答案】1． 【解析】如图，图 9－1，连结 AD， ∵由 AB 为⊙O 的直径， 14 / 35 ∴∠ADB＝90°， 又∵在⊙O 中有∠ACD＝30°, ∴∠B＝∠ACD＝30°， ∴ 1121AD = 2 AB = 2 × = ． 7．（2019·衡阳）已知圆的半径是 6，则圆内接正三角形的边长是__________． 【答案】6 3 【解析】如图，作 OD⊥BC 于 D，∵OB＝6，∠OBD＝30，∴BD＝ 1 2 BC＝3 3 ，∴BC＝6 3 ，故答 案为 6 3 ． 8．（2019·安徽）如图，△ABC 内接于⊙O，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD⊥AB 于点 D，若⊙O 的半径为 2，则 CD 的长为_______. 【答案】 2 【解析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线 是解题的关键．连接 CO 并延长交⊙O 于 E，连接 BE，于是得到∠E=∠A=30°，∠EBC=90°，解直角 三角形即可得到结论．连接 CO 并延长交⊙O 于 E，连接 BE， 则∠E=∠A=30° ，∠ EBC=90°，∵⊙O 的半径为 2，∴ CE=4，∴ BC= 2 1 CE=2，∵ CD⊥AB，∠ CBA=45°， ∴CD= 2 2 BC= 2 ，故答案为 2 ． D CB O A 15 / 35 9．（2019·株洲）如图所示，AB 为⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，且 OC⊥AB，过点 C 的弦 CD 与线 段 OB 相交于点 E，满足∠AEC＝65°，连接 AD，则∠BAD＝度． 【答案】20° 【解析】如图，连接 DO，因为 CO⊥AB,所以∠COB=90°，∵∠AEC＝65°，∴∠C=25°， ∵OD=OC,∴∠ODC=∠C=25°，△DCO 中，∠DOC=130°，∴∠DOB=40°，∴2∠BAD=∠DOB,∴∠BAD=20°。 10.（2019·凉山州）如图所示，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于 H，∠A =30°，CD =2 3 ，则⊙O 的半径是______________． 【答案】2 【解析】连接OC，则OA=OC，∴∠A=∠ACO=30°，∴∠COH=60°，∵OB⊥CD，CD=2 3 ，∴CH= 3 ， ∴OH=1，∴OC=2. 11．(2019·泰州)如图,⊙O 的半径为 5,点 P 在⊙O 上,点 A 在⊙O 内,且 AP＝3,过点 A 作 AP 的垂线交于 ⊙O 点 B、C.设 PB＝x,PC＝y,则 y 与 x 的函数表达式为________. 16 / 35 第 11题图 【答案】 y 30 x = 【解析】过点 O 作 OD⊥PC 于点 D 连接 OP,OC,因为 PC＝y,由垂径定理可得 DC＝ 2 y ,因为 OP＝OC,所以 ∠COD＝ 1 2 ∠POC,由圆周角定理,∠B＝ 1 2 ∠POC,所以∠COD＝∠B,所以△COD∽△PBA, PA BP CD OC = ,即 3 5 2 x y = ,整理可得函数表达式为: 30y x = . 12．（2019·嘉兴）如图，在⊙O 中，弦 AB＝1，点 C 在 AB 上移动，连结 OC，过点 C 作 CD⊥OC 交⊙O 于 点 D，则 CD 的最大值为 ． 【答案】 1 2 【解析】连接 OD，因为 CD⊥OC，则有 CD= 22OD OC− ，根据题意可知圆半径一定，故当 OC 最 17 / 35 小时则有 CD 最大，故当 OC⊥AB 时 CD=BC= 1 2 最大. 13．（2019·盐城）如图，点 A、B、C、D、E 在⊙O 上，且弧 AB 为 50°，则∠E＋∠C＝________ 【答案】155° 【解析】如图，连结 OA、OB、AE，由弧 AB 为 50°可知，∠AOB=50°，又∠AOB 和∠AEB 分别为弧 AB 所对的圆心角和圆周角，故 1 2 AEB AOB∠=∠,即∠AEB=25°，又四边形 AEDC 是O 的内接四边形，所 以∠ACD+∠AED=180°，又∠AEB=25°，可得∠ACD+∠BED=180°-25°=155°. 三、解答题 1．（2019 浙江省温州市，22，10 分）（本题满分 10 分） 如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，点 E 在 BC 边上，且 CA=CE，过 A，C，E 三点的⊙O 交 AB 于另一点 F，作直径 AD，连结 DE 并延长交 AB 于点 G，连结 CD，CF． （1）求证：四边形 DCFG 是平行四边形； （2）当 BE=4，CD= 3 8 AB 时，求⊙O 的直径长． O A C D E B O C D E B A 18 / 35 【解题过程】（1）连接 AE. ∵∠BAC=90°，∴CF 是⊙O 的直径. ∵ AC=EC，∴CF⊥AE.∵AD 为⊙O 的直径，∴∠AED=90°，即 GD⊥AE，∴CF∥DG. ∵ AD 为⊙O 的直径，∴∠ACD=90°，∴∠ACD+∠BAC=180°，∴AB∥CD，∴四边形 DCFG 为平 行四边形； （2）由 CD= 3 8 AB，可设 CD=3x,AB=8x，∴CD=FG=3x. ∵ ∠AOF=∠COD，∴AF=CD=3x，∴BG=8x-3x-3x=2x. ∵ GE∥CF，∴△BGE∽△CDE，∴ 2 3 BE BG EG = GF = . 又∵ BE=4，∴AC=CE=6，∴BC=6+4=10，∴AB= 102 -62 =8=8x，∴x=1. 在 Rt△ACF 中，AF=3，AC=6，∴CF= 32 +62 =3 5 ，即⊙O 的直径长为 3 5 . 2．（2019 年浙江省绍兴市，第 21 题，10 分 ）在屏幕上有如下内容： 如图，△ABC 内接于圆 O，直径 AB 的长为 2，过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 D. 张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答 0 （1）在屏幕内容中添加条件∠D=30°，求 AD 的长，请你解答. （2）以下是小明，小聪的对话： 参考此对话，在屏幕内容中添加条件，编制一道题目（可以添线、添字母），并解答. 第1题图 O G F E D CB A 第1题图 O G F E D CB A 19 / 35 【解题过程】 3．（2019 江苏盐城卷，24，10）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边 AB 上的中线，以 CD 为直径的⊙O 分别交 AC、BC 于点 M、N，过点 N 作 NE⊥AB，垂足为 E. （2）求证：NE 与⊙O 相切. 20 / 35 21 / 35 4．（2019·山西）阅读以下材料,并按要求完成相应的任务: 莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler ）是瑞士数学家,在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数,公 式和定理,下面就是欧拉发现的一个定理:在△ABC 中,R 和 r 分别为外接圆和内切圆的半径,O 和 I 分别为 其外心和内心,则OI 2 =R2 - 2Rr . 如图 1,O 和I 分别是△ABC 的外接圆和内切圆,I 与 AB 相切于点 F,设O 的半径为 R,I 的半 径为 r,外心 O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心 I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离 OI ＝d,则有 22=2d R Rr- . 下面是该定理的证明过程（部分）: 延长 AI 交O 于点 D,过点 I 作O 的直径 MN,连接 DM,AN. ∵∠D＝∠N,∠DMI＝∠NAI（同弧所对的圆周角相等）, ∴△MDI∽△ANI.∴ IM ID IA IN= .∴ IA ID IM IN??. ① 如图 2,在图 1（隐去 MD,AN）的基础上作O 的直径 DE,连接 BE,BD,BI,IF. ∵DE 是O 的直径,∴∠DBE＝90°.∵I 与 AB 相切于点 F,∴∠AFI＝90°,∴∠DBE＝∠IFA. 22 / 35 ∵∠BAD＝∠E（同弧所对的圆周角相等）,∴△AIF∽△EDB. ∴ IA IF DE BD= .∴ IA BD DE IF??. ② …… 任务: （1）观察发现:IM＝R+r,IN＝_____（用含 R,d 的代数式表示）; （2）请判断 BD 和 ID 的数量关系,并说明理由; （3）请观察式子①和式子②,并利用任务（1）,（2）的结论,按照上面的证明思路,完成该定理证明的剩 余部分; （4）应用:若△ABC 的外接圆的半径为 5cm,内切圆的半径为 2cm,则△ABC 的外心与内心之间的距离为 ___cm 5.（2019·天津）如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，△ABC 的顶点 A 在格点上，B 是小正 方形边的中点，∠ABC=50°，∠BAC=30°，经过点 A,B 的圆的圆心在边 AC 上， （1）线段 AB 的长等于； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点 P，使其满足∠PAC=∠PBC=∠PCB，并 23 / 35 简要说明点 P 的位置是如何找到的（不需要证明） 【答案】（1） （2）如图，取圆与网格线的交点 E,F 连接 EF 与 AC 相交，得圆心 O；AB 与网格 线相交于点 D，连 接 DO 并延长，交 O 于点 Q，连 接 QC 并延长，与点 B,O 的连线 BO 相交于点 P， 连接 AP，则点 P 满足∠PAC=∠PBC=∠PCB 【解析】(1)如图，Rt△ABD 中，AD=2，BD= 2 1 ,由勾股定理可得 AB= （2）由于点 A 在格点上，可得直角，根据圆周角是直角所对的弦是直径可以作出直径，又因为圆心 在 AC 上，所以取圆与网格线的交点 E,F 连接 EF 与 AC 相交，得圆心 O；AB 与网格线相交于点 D， 则点 D 为 AB 的中点，连接 DO 并延长，根据垂径定理可得则 DO 垂直平分 AB，连 接 BO，则 ∠OAB= 24 / 35 ∠OBA=30°，因为∠ABC=50°，所以∠OBC=20°，DO 的延长线交 O 于点 Q，连接 QC 并延长，与 点 B,O 的连线 BO 相交于点 P，连接 AP，则点 P 满足∠PAC=∠PBC=∠PCB. 6.（2019·湖州）已知一条弧所对的圆周角的度数为 15°，则它所对的圆心角的度数是______． 【答案】30°． 【解析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆心角的度数是该弧所对圆周角的度数的 2 倍，可知答 案为 30°． 7. (2019·台州)如图,AC 是圆内接四边形 ABCD 的一条对角线,点 D 关于 AC 的对称点 E 在边 BC 上,连 接 AE,若∠ABC＝64°,则∠BAE 的度数为________. 【答案】52° 【解析】∵圆内接四边形 ABCD,∴∠B+∠D＝180°,∵∠B＝64°,∴∠D＝116°,又∵点 D 关于 AC 的 对称点是点 E,∴∠D＝∠AEC＝116°,又∵∠AEC＝∠B+∠BAE,∴∠BAE＝52°. 三、解答题 1．（2019·苏州，26，12）如图，AB 为 ⊙ O 的直径，C 为 ⊙ O 上一点，D 是弧 BC 的中点，BC 与 AD、 OD 分别交于点 E、F．（1）求证：DO∥AC；（2）求证：DE•DA＝DC2；（3）若 tan∠CAD 1 2 = ，求 sin∠CDA 的值． 第 1 题图 【解题过程】解 ：（ 1）∵点 D 是 BC 中点，OD 是圆的半径，∴OD⊥BC，∵AB 是圆的直径，∴∠ ACB＝90°，∴AC∥OD； 25 / 35 （2）∵  CD BD= ，∴∠CAD＝∠DCB，∴△DCE∽△DCA，∴CD2＝DE•DA； （3）∵tan∠CAD 1 2 = ，∴△DCE 和△DAC 的相似比为 1 2 ，设：DE＝a，则 CD＝2a，AD＝4a，AE ＝3a， ∴ AE DE = 3，即△AEC 和△DEF 的相似比为 3，设 EF＝k，则 CE＝3k，BC＝8k，tan∠CAD 1 2 = ，∴ AC＝6k，AB＝10k，∴sin∠CDA 3= 5 ． 2．（2019 安徽，19 题号，10 分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图 1，明朝科学家徐光启 在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图 2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 O 为圆心的圆. 已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦 AB 的长为 6 米，∠OAB=41.3°.若点 C 为运行轨道的最高 点（C，O 的连线垂直于 AB）.求点 C 到弦 AB 所在直线的距离. （参考数据：sin41.3°≈0.66， cos41.3°≈0.75 ， tan41.3°≈0.88） 【解题过程】解：连接 CO 并延长，交 AB 于点 D，所以 CD⊥AB，所以 D 为 AB 中点，所 求运行轨道的最高点 C 到弦 AB 所在直线的距离即为线段 CD 的长. ………………2 分 在 Rt△AOD 中，∵AD= 2 1 AB=3，∠OAD=41.3°， ∴OD=AD·tan41.3°≈3×0.88=2.64，OA= 03.41cos AD ≈ 75.0 3 =4，…………8 分 ∴CD=CO+OD=AO+OD2.64+4=6.64.………………10 分 答：运行轨道的最高点 C 到弦 AB 所在直线的距离约为 6.64 米. 3.(2019·宁波)如图 1,  O 经过等边三角形 ABC 的顶点 A,C(圆心 O 在△ABC 内),分别与 AB,CB 的延长 线交于点 D,E,连接 DE,BF⊥EC 交 AE 于点 F. 26 / 35 (1)求证:BD＝BE; (2)当 AF:EF＝3:2,AC＝6 时,求 AE 的长; (3)设 AF EF ＝x,tan∠DAE＝y. ①求 y 关于 x 的函数表达式; ②如图 2,连接 OF,OB,若△AEC 的面积是△OFB 面积的 10 倍,求 y 的值. 解：(1)∵△ABC 为等边三角形,∴∠BAC＝∠C＝60°,∠DEB＝∠BAC＝60°,∠D＝∠C＝60°,∠DEB ＝∠D,BD＝BE. (2)如图,过点 A 作 AG⊥EC 于点 G,∵△ABC 为等边三角形,AC＝6,∴BG＝ 1 2 BC＝ 1 2 AC＝3,在 Rt△ABG 中,AG＝ 3 BG＝ 33,∵BF⊥EC,∴BF∥AG,∴ =AF BG EF EB ,∵AF:EF＝3:2,∴BE＝ 2 3 BG＝2,∴EG＝ BE+BG＝3+2＝5,∴在 Rt△AEG 中,AE＝ 222 13AG EG+= ; 答图(1) (3)①如图,过点 E 作 EH⊥AD 于点 H,∵∠EBD＝∠ABC＝60,在 Rt△BEH 中, EH EB ＝sin60＝ 3 2 ,EH＝ 3 2 BE,BH＝ 1 2 BE, =BG AF EB EF ＝x,BG＝xBE,AB＝BC＝2BG＝2xBE,AH＝AB+BH＝2xBE+ 1 2 BE＝(2x+ 1 2 )BE,Rt△AHE 中,tanEAD＝ 3 32= 1 412 2 BEEH AH xx BE = ++ ,∴y＝ 3 41x + ; 27 / 35 答图(2) ②如图,过点 O 作 OM⊥EC 于点 M,设 BE＝a,∵ =BG AF EB EF ＝x,∴CG＝BG＝xBE＝ax,∴EC＝CG+BG+BE ＝ a+2ax,∴EM＝ 1 2 EC＝ 1 2 a+ax, ∴BM＝EM－ BE ＝ ax － 1 2 a, ∵BF∥ AG, ∴△EBF∽△EGA, ∴ 1== =1 BF BE a AG EG a ax x++, ∵ AG ＝ 3 BG ＝ 3 ax, ∴ BF ＝ 1 1 x+ AG ＝ 3 1 ax x+ , △ OFB 的面积＝ 13 1 2 21 2 BF BM ax ax ax ⋅ =×−+  ,△AEC 的面积＝ ( )1 3222 EC AG ax a ax⋅ =×+,∵△OFB 的面积是△AEC 的面积的 10 倍,∴ 13 110 21 2 ax ax ax ×× −+  ＝ ( )1 322 ax a ax×+,∴2x2－7x+6＝0,解之,得 x1＝2,x2＝ 3 2 ,y＝ 3 9 或 3 7 . 答图(3) 4.（2019·自贡，第21题）如图，⊙O 中，弦 AB 与 CD 相交于点 E，AB=CD，连 接 AD、BC， 求证：（1）