北京市2008-2019年中考数学分类汇编几何综合pdf含解析

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第 1页（共 32页） 2008～2019 北京中考数学分类(几何综合) 一．解答题（共 12 小题） 1．已知∠AOB＝30°，H 为射线 OA 上一定点，OH＝ +1，P 为射线 OB 上一点，M 为线 段 OH 上一动点，连接 PM，满足∠OMP 为钝角，以点 P 为中心，将线段 PM 顺时针旋 转 150°，得到线段 PN，连接 ON． （1）依题意补全图 1； （2）求证：∠OMP＝∠OPN； （3）点 M 关于点 H 的对称点为 Q，连接 QP．写出一个 OP 的值，使得对于任意的点 M 总有 ON＝QP，并证明． 2．如图，在正方形 ABCD 中，E 是边 AB 上的一动点（不与点 A、B 重合），连接 DE，点 A 关于直线 DE 的对称点为 F，连接 EF 并延长交 BC 于点 G，连接 DG，过点 E 作 EH⊥ DE 交 DG 的延长线于点 H，连接 BH． （1）求证：GF＝GC； （2）用等式表示线段 BH 与 AE 的数量关系，并证明． 3．在等腰直角△ABC 中，∠ACB＝90°，P 是线段 BC 上一动点（与点 B、C 不重合），连 接 AP，延长 BC 至点 Q，使得 CQ＝CP，过点 Q 作 QH⊥AP 于点 H，交 AB 于点 M． （1）若∠PAC＝ α ，求∠AMQ 的大小（用含 α 的式子表示）． （2）用等式表示线段 MB 与 PQ 之间的数量关系，并证明． 第 2页（共 32页） 4．在等边△ABC 中， （1）如图 1，P，Q 是 BC 边上的两点，AP＝AQ，∠BAP＝20°，求∠AQB 的度数； （2）点 P，Q 是 BC 边上的两个动点（不与点 B，C 重合），点 P 在点 Q 的左侧，且 AP ＝AQ，点 Q 关于直线 AC 的对称点为 M，连接 AM，PM． ① 依题意将图 2 补全； ② 小茹通过观察、实验提出猜想：在点 P，Q 运动的过程中，始终有 PA＝PM，小茹把 这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法： 想法 1：要证明 PA＝PM，只需证△APM 是等边三角形； 想法 2：在 BA 上取一点 N，使得 BN＝BP，要证明 PA＝PM，只需证△ANP≌△PCM； 想法 3：将线段 BP 绕点 B 顺时针旋转 60°，得到线段 BK，要证 PA＝PM，只需证 PA＝ CK，PM＝CK… 请你参考上面的想法，帮助小茹证明 PA＝PM（一种方法即可）． 5．在正方形 ABCD 中，BD 是一条对角线，点 P 在射线 CD 上（与点 C、D 不重合），连接 AP，平移△ADP，使点 D 移动到点 C，得到△BCQ，过点 Q 作 QH⊥BD 于 H，连接 AH， PH． （1）若点 P 在线段 CD 上，如图 1． ① 依题意补全图 1； ② 判断 AH 与 PH 的数量关系与位置关系并加以证明； （2）若点 P 在线段 CD 的延长线上，且∠AHQ＝152°，正方形 ABCD 的边长为 1，请 第 3页（共 32页） 写出求 DP 长的思路．（可以不写出计算结果） 6．在正方形 ABCD 外侧作直线 AP，点 B 关于直线 AP 的对称点为 E，连接 BE，DE，其中 DE 交直线 AP 于点 F． （1）依题意补全图 1； （2）若∠PAB＝20°，求∠ADF 的度数； （3）如图 2，若 45°＜∠PAB＜90°，用等式表示线段 AB，FE，FD 之间的数量关系， 并证明． 7．在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝ α （0°＜ α ＜60°），将线段 BC 绕点 B 逆时针旋转 60 °得到线段 BD． （1）如图 1，直接写出∠ABD 的大小（用含 α 的式子表示）； （2）如图 2，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE 的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下，连接 DE，若∠DEC＝45°，求 α 的值． 8．在△ABC 中，BA＝BC，∠BAC＝ α ，M 是 AC 的中点，P 是线段 BM 上的动点，将线段 第 4页（共 32页） PA 绕点 P 顺时针旋转 2 α 得到线段 PQ． （1）若 α ＝60°且点 P 与点 M 重合（如图 1），线段 CQ 的延长线交射线 BM 于点 D，请 补全图形，并写出∠CDB 的度数； （2）在图 2 中，点 P 不与点 B，M 重合，线段 CQ 的延长线于射线 BM 交于点 D，猜想 ∠CDB 的大小（用含 α 的代数式表示），并加以证明； （3）对于适当大小的 α ，当点 P 在线段 BM 上运动到某一位置（不与点 B，M 重合）时， 能使得线段 CQ 的延长线与射线 BM 交于点 D，且 PQ＝QD，请直接写出 α 的范围． 9．在▱ ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线 BC 于点 E，交直线 DC 于点 F． （1）在图 1 中证明 CE＝CF； （2）若∠ABC＝90°，G 是 EF 的中点（如图 2），直接写出∠BDG 的度数； （3）若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连接 DB、DG（如图 3），求∠BDG 的 度数． 10．问题：已知△ABC 中，∠BAC＝2∠ACB，点 D 是△ABC 内的一点，且 AD＝CD，BD ＝BA．探究∠DBC 与∠ABC 度数的比值． 请你完成下列探究过程： 先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明． （1）当∠BAC＝90°时，依问题中的条件补全右图； 观察图形，AB 与 AC 的数量关系为 ；当推出∠DAC＝15°时，可进一步推出∠ DBC 的度数为 ；可得到∠DBC 与∠ABC 度数的比值为 ； （2）当∠BAC＜90°时，请你画出图形，研究∠DBC 与∠ABC 度数的比值是否与（1） 第 5页（共 32页） 中的结论相同，写出你的猜想并加以证明． 11．在平行四边形 ABCD 中，过点 C 作 CE⊥CD 交 AD 于点 E，将线段 EC 绕点 E 逆时针旋 转 90°得到线段 EF（如图 1） （1）在图 1 中画图探究： ① 当 P1 为射线 CD 上任意一点（P1 不与 C 重合）时，连接 EP1；绕点 E 逆时针旋转 90 °得到线段 EG1．判断直线 FG1 与直线 CD 的位置关系，并加以证明； ② 当 P2 为线段 DC 的延长线上任意一点时，连接 EP2，将线段 EP2 绕点 E 逆时针旋转 90° 得到线段 EG2．判断直线 G1G2 与直线 CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的结论． （2）若 AD＝6，tanB＝ ，AE＝1，在 ① 的条件下，设 CP1＝x，S△P1FG1＝y，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围． 12．请阅读下列材料： 问题：如图 1，在菱形 ABCD 和菱形 BEFG 中，点 A，B，E 在同一条直线上，P 是线段 DF 的中点，连接 PG，PC．若∠ABC＝∠BEF＝60°，探究 PG 与 PC 的位置关系及 的值． 小聪同学的思路是：延长 GP 交 DC 于点 H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请 你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： （1）写出上面问题中线段 PG 与 PC 的位置关系及 的值； （2）将图 1 中的菱形 BEFG 绕点 B 顺时针旋转，使菱形 BEFG 的对角线 BF 恰好与菱形 ABCD 的边 AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图 2）．你在（1）中得到 的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明； （3）若图 1 中∠ABC＝∠BEF＝2 α （0°＜ α ＜90°），将菱形 BEFG 绕点 B 顺时针旋转 第 6页（共 32页） 任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出 的值（用含 α 的式子表示）． 第 7页（共 32页） 2008～2019 北京中考数学分类(几何综合) 参考答案与试题解析 一．解答题（共 12 小题） 1．已知∠AOB＝30°，H 为射线 OA 上一定点，OH＝ +1，P 为射线 OB 上一点，M 为线 段 OH 上一动点，连接 PM，满足∠OMP 为钝角，以点 P 为中心，将线段 PM 顺时针旋 转 150°，得到线段 PN，连接 ON． （1）依题意补全图 1； （2）求证：∠OMP＝∠OPN； （3）点 M 关于点 H 的对称点为 Q，连接 QP．写出一个 OP 的值，使得对于任意的点 M 总有 ON＝QP，并证明． 【解答】解：（1）如图 1 所示为所求． （2）设∠OPM＝ α ， ∵线段 PM 绕点 P 顺时针旋转 150°得到线段 PN ∴∠MPN＝150°，PM＝PN ∴∠OPN＝∠MPN﹣∠OPM＝150°﹣ α∵∠AOB＝30° ∴∠OMP＝180°﹣∠AOB﹣∠OPM＝180°﹣30°﹣ α ＝150°﹣ α∴∠OMP＝∠OPN 第 8页（共 32页） （3）OP＝2 时，总有 ON＝QP，证明如下： 过点 N 作 NC⊥OB 于点 C，过点 P 作 PD⊥OA 于点 D，如图 2 ∴∠NCP＝∠PDM＝∠PDQ＝90° ∵∠AOB＝30°，OP＝2 ∴PD＝ OP＝1 ∴OD＝ ∵OH＝ +1 ∴DH＝OH﹣OD＝1 ∵∠OMP＝∠OPN ∴180°﹣∠OMP＝180°﹣∠OPN 即∠PMD＝∠NPC 在△PDM 与△NCP 中 ∴△PDM≌△NCP（AAS） ∴PD＝NC，DM＝CP 设 DM＝CP＝x，则 OC＝OP+PC＝2+x，MH＝MD+DH＝x+1 ∵点 M 关于点 H 的对称点为 Q ∴HQ＝MH＝x+1 ∴DQ＝DH+HQ＝1+x+1＝2+x ∴OC＝DQ 在△OCN 与△QDP 中 ∴△OCN≌△QDP（SAS） ∴ON＝QP 第 9页（共 32页） 2．如图，在正方形 ABCD 中，E 是边 AB 上的一动点（不与点 A、B 重合），连接 DE，点 A 关于直线 DE 的对称点为 F，连接 EF 并延长交 BC 于点 G，连接 DG，过点 E 作 EH⊥ DE 交 DG 的延长线于点 H，连接 BH． （1）求证：GF＝GC； （2）用等式表示线段 BH 与 AE 的数量关系，并证明． 【解答】证明：（1）如图 1，连接 DF， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴DA＝DC，∠A＝∠C＝90°， ∵点 A 关于直线 DE 的对称点为 F， ∴△ADE≌△FDE， ∴DA＝DF＝DC，∠DFE＝∠A＝90°， ∴∠DFG＝90°， 在 Rt△DFG 和 Rt△DCG 中， ∵ ， ∴Rt△DFG≌Rt△DCG（HL）， ∴GF＝GC； （2）BH＝ AE，理由是： 证法一：如图 2，在线段 AD 上截取 AM，使 AM＝AE， ∵AD＝AB， ∴DM＝BE， 第 10页（共 32页） 由（1）知：∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∵∠ADC＝90°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝90°， ∴2∠2+2∠3＝90°， ∴∠2+∠3＝45°， 即∠EDG＝45°， ∵EH⊥DE， ∴∠DEH＝90°，△DEH 是等腰直角三角形， ∴∠AED+∠BEH＝∠AED+∠1＝90°，DE＝EH， ∴∠1＝∠BEH， 在△DME 和△EBH 中， ∵ ， ∴△DME≌△EBH（SAS）， ∴EM＝BH， Rt△AEM 中，∠A＝90°，AM＝AE， ∴EM＝ AE， ∴BH＝ AE； 证法二：如图 3，过点 H 作 HN⊥AB 于 N， ∴∠ENH＝90°， 由方法一可知：DE＝EH，∠1＝∠NEH， 在△DAE 和△ENH 中， ∵ ， ∴△DAE≌△ENH（AAS）， ∴AE＝HN，AD＝EN， ∵AD＝AB， ∴AB＝EN＝AE+BE＝BE+BN， ∴AE＝BN＝HN， ∴△BNH 是等腰直角三角形， 第 11页（共 32页） ∴BH＝ HN＝ AE． 3．在等腰直角△ABC 中，∠ACB＝90°，P 是线段 BC 上一动点（与点 B、C 不重合），连 接 AP，延长 BC 至点 Q，使得 CQ＝CP，过点 Q 作 QH⊥AP 于点 H，交 AB 于点 M． （1）若∠PAC＝ α ，求∠AMQ 的大小（用含 α 的式子表示）． （2）用等式表示线段 MB 与 PQ 之间的数量关系，并证明． 【解答】解：（1）∠AMQ＝45°+ α ；理由如下： ∵∠PAC＝ α ，△ACB 是等腰直角三角形， ∴∠BAC＝∠B＝45°，∠PAB＝45°﹣ α ， 第 12页（共 32页） ∵QH⊥AP， ∴∠AHM＝90°， ∴∠AMQ＝180°﹣∠AHM﹣∠PAB＝45°+ α ； （2）PQ＝ MB；理由如下： 连接 AQ，作 ME⊥QB，如图所示： ∵AC⊥QP，CQ＝CP， ∴∠QAC＝∠PAC＝ α ， ∴∠QAM＝45°+ α ＝∠AMQ， ∴AP＝AQ＝QM， 在△APC 和△QME 中， ， ∴△APC≌△QME（AAS）， ∴PC＝ME， ∵△MEB 是等腰直角三角形， ∴ PQ＝ MB， ∴PQ＝ MB． 方法二：也可以延长 AC 到 D，使得 CD＝CQ． 则易证△ADP≌△QBM． ∴BM＝PD＝ CD＝ QC＝ PQ， 即 PQ＝ MB． 第 13页（共 32页） 4．在等边△ABC 中， （1）如图 1，P，Q 是 BC 边上的两点，AP＝AQ，∠BAP＝20°，求∠AQB 的度数； （2）点 P，Q 是 BC 边上的两个动点（不与点 B，C 重合），点 P 在点 Q 的左侧，且 AP ＝AQ，点 Q 关于直线 AC 的对称点为 M，连接 AM，PM． ① 依题意将图 2 补全； ② 小茹通过观察、实验提出猜想：在点 P，Q 运动的过程中，始终有 PA＝PM，小茹把 这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法： 想法 1：要证明 PA＝PM，只需证△APM 是等边三角形； 想法 2：在 BA 上取一点 N，使得 BN＝BP，要证明 PA＝PM，只需证△ANP≌△PCM； 想法 3：将线段 BP 绕点 B 顺时针旋转 60°，得到线段 BK，要证 PA＝PM，只需证 PA＝ CK，PM＝CK… 请你参考上面的想法，帮助小茹证明 PA＝PM（一种方法即可）． 【解答】解：（1）∵AP＝AQ， ∴∠APQ＝∠AQP， ∴∠APB＝∠AQC， ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°， ∴∠BAP＝∠CAQ＝20°， ∴∠AQB＝∠APQ＝∠BAP+∠B＝80°； （2）如图 2，∵AP＝AQ， ∴∠APQ＝∠AQP， ∴∠APB＝∠AQC， ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°， ∴∠BAP＝∠CAQ，（将线段 BP 绕点 B 顺时针旋转 60°，得到线段 BK，要证 PA＝PM， 第 14页（共 32页） 只需证 PA＝CK，PM＝CK… 请你参考上面的想法，帮助小茹证明 PA＝PM） ∵点 Q 关于直线 AC 的对称点为 M， ∴AQ＝AM，∠QAC＝∠MAC， ∴∠MAC＝∠BAP， ∴∠BAP+∠PAC＝∠MAC+∠CAP＝60°， ∴∠PAM＝60°， ∵AP＝AQ， ∴AP＝AM， ∴△APM 是等边三角形， ∴AP＝PM．证明△ABP≌△ACM≌△BCK 5．在正方形 ABCD 中，BD 是一条对角线，点 P 在射线 CD 上（与点 C、D 不重合），连接 AP，平移△ADP，使点 D 移动到点 C，得到△BCQ，过点 Q 作 QH⊥BD 于 H，连接 AH， PH． （1）若点 P 在线段 CD 上，如图 1． ① 依题意补全图 1； ② 判断 AH 与 PH 的数量关系与位置关系并加以证明； （2）若点 P 在线段 CD 的延长线上，且∠AHQ＝152°，正方形 ABCD 的边长为 1，请 写出求 DP 长的思路．（可以不写出计算结果） 【解答】解：（1） ① 如图 1； 第 15页（共 32页） ② 解法一：如图 1，连接 CH， ∵四边形 ABCD 是正方形，QH⊥BD， ∴∠HDQ＝45°， ∴△DHQ 是等腰直角三角形． ∵DP＝CQ， 在△HDP 与△HQC 中． ∵ ， ∴△HDP≌△HQC（SAS）， ∴PH＝CH，∠HPC＝∠HCP． ∵BD 是正方形 ABCD 的对称轴， ∴AH＝CH，∠DAH＝∠HCP， ∵∠HPC+∠DPH＝180°， ∴∠DAH+∠DPH＝180°， ∴∠ADP+∠AHP＝180°， ∴∠AHP＝180°﹣∠ADP＝90°， ∴AH＝PH，AH⊥PH． 解法二：如图 1，连接 CH， ∵QH⊥BD， ∴∠QHB＝∠BCQ＝90°， ∴B、H、C、Q 四点共圆， ∴∠DHC＝∠BQC， 由正方形的性质可知∠DHC＝∠AHD， 由平移性质可知∠BQC＝∠APD， ∴∠AHD＝∠APD， ∴A、H、P、D 四点共圆， ∴∠PAH＝∠PDH＝45°，∠AHP＝∠ADP＝90°， ∴△HAP 是等腰直角三角形， ∴AH＝PH，AH⊥PH． 第 16页（共 32页） （2）解法一：如图 2， ∵四边形 ABCD 是正方形，QH⊥BD， ∴∠HDQ＝45°， ∴△DHQ 是等腰直角三角形． ∵△BCQ 由△ADP 平移而成， ∴PD＝CQ． 作 HR⊥PC 于点 R， ∵∠AHQ＝152°， ∴∠AHB＝62°， ∴∠DAH＝17°． 设 DP＝x，则 DR＝HR＝RQ＝ ． ∵tan17°＝ ，即 tan17°＝ ， ∴x＝ ． 解法二： 由（1） ② 可知∠AHP＝90°， ∴∠AHP＝∠ADP＝90°， ∴A、H、D、P 四点共圆， 又∠AHQ＝152°，∠BHQ＝90°， ∴∠AHB＝152°﹣90°＝62°， 由圆的性质可知∠APD＝∠AHB＝62°， 在 Rt△APD 中，∠PAD＝90°﹣62°＝28°， ∴PD＝AD•tan28°＝tan28°． 第 17页（共 32页） 6．在正方形 ABCD 外侧作直线 AP，点 B 关于直线 AP 的对称点为 E，连接 BE，DE，其中 DE 交直线 AP 于点 F． （1）依题意补全图 1； （2）若∠PAB＝20°，求∠ADF 的度数； （3）如图 2，若 45°＜∠PAB＜90°，用等式表示线段 AB，FE，FD 之间的数量关系， 并证明． 【解答】解：（1）如图 1 所示： （2）如图 2，连接 AE， 则∠PAB＝∠PAE＝20°，AE＝AB＝AD， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠BAD＝90°， ∴∠EAP＝∠BAP＝20°， ∴∠EAD＝130°， 第 18页（共 32页） ∴∠ADF＝ ＝25°； （3）如图 3，连接 AE、BF、BD， 由轴对称的性质可得：EF＝BF，AE＝AB＝AD， ∠ABF＝∠AEF＝∠ADF， ∴∠BFD＝∠BAD＝90°， ∴BF2+FD2＝BD2， ∴EF2+FD2＝2AB2． 7．在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝ α （0°＜ α ＜60°），将线段 BC 绕点 B 逆时针旋转 60 °得到线段 BD． （1）如图 1，直接写出∠ABD 的大小（用含 α 的式子表示）； （2）如图 2，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE 的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下，连接 DE，若∠DEC＝45°，求 α 的值． 第 19页（共 32页） 【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠A＝ α ， ∴∠ABC＝∠ACB，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴∠ABC＝∠ACB＝ （180°﹣∠A）＝90°﹣ α ， ∵∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC，∠DBC＝60°， 即∠ABD＝30°﹣ α ； （2）△ABE 是等边三角形， 证明：连接 AD，CD，ED， ∵线段 BC 绕 B 逆时针旋转 60°得到线段 BD， 则 BC＝BD，∠DBC＝60°， ∵∠ABE＝60°， ∴∠ABD＝60°﹣∠DBE＝∠EBC＝30°﹣ α ，且△BCD 为等边三角形， 在△ABD 与△ACD 中 ∴△ABD≌△ACD（SSS）， ∴∠BAD＝∠CAD＝ ∠BAC＝ α ， ∵∠BCE＝150°， ∴∠BEC＝180°﹣（30°﹣ α ）﹣150°＝ α ＝∠BAD， 在△ABD 和△EBC 中 ∴△ABD≌△EBC（AAS）， 第 20页（共 32页） ∴AB＝BE， ∴△ABE 是等边三角形； （3）解：∵∠BCD＝60°，∠BCE＝150°， ∴∠DCE＝150°﹣60°＝90°， ∵∠DEC＝45°， ∴△DEC 为等腰直角三角形， ∴DC＝CE＝BC， ∵∠BCE＝150°， ∴∠EBC＝ （180°﹣150°）＝15°， ∵∠EBC＝30°﹣ α ＝15°， ∴ α ＝30°． 8．在△ABC 中，BA＝BC，∠BAC＝ α ，M 是 AC 的中点，P 是线段 BM 上的动点，将线段 PA 绕点 P 顺时针旋转 2 α 得到线段 PQ． （1）若 α ＝60°且点 P 与点 M 重合（如图 1），线段 CQ 的延长线交射线 BM 于点 D，请 补全图形，并写出∠CDB 的度数； （2）在图 2 中，点 P 不与点 B，M 重合，线段 CQ 的延长线于射线 BM 交于点 D，猜想 ∠CDB 的大小（用含 α 的代数式表示），并加以证明； （3）对于适当大小的 α ，当点 P 在线段 BM 上运动到某一位置（不与点 B，M 重合）时， 能使得线段 CQ 的延长线与射线 BM 交于点 D，且 PQ＝QD，请直接写出 α 的范围． 第 21页（共 32页） 【解答】解：（1）∵BA＝BC，∠BAC＝60°，M 是 AC 的中点， ∴BM⊥AC，AM＝MC， ∵将线段 PA 绕点 P 顺时针旋转 2 α 得到线段 PQ， ∴AM＝MQ，∠AMQ＝120°， ∴CM＝MQ，∠CMQ＝60°， ∴△CMQ 是等边三角形， ∴∠ACQ＝60°， ∴∠CDB＝30°； （2）如图 2，连接 PC，AD， ∵AB＝BC，M 是 AC 的中点， ∴BM⊥AC， 即 BD 为 AC 的垂直平分线， ∴AD＝CD，AP＝PC，PD＝PD， 在△APD 与△CPD 中， ∵ ， ∴△APD≌△CPD（SSS）， ∴∠ADB＝∠CDB，∠PAD＝∠PCD， 又∵PQ＝PA， ∴PQ＝PC，∠ADC＝2∠1，∠4＝∠PCQ＝∠PAD， ∴∠PAD+∠PQD＝∠4+∠PQD＝180°， ∴∠APQ+∠ADC＝360°﹣（∠PAD+∠PQD）＝180°， ∴∠ADC＝180°﹣∠APQ＝180°﹣2 α ， ∴2∠CDB＝180°﹣2 α ， 第 22页（共 32页） ∴∠CDB＝90°﹣ α ； （3）如图 1，延长 BM，CQ 交于点 D，连接 AD， ∵∠CDB＝90°﹣ α ，且 PQ＝QD， ∴∠PAD＝∠PCQ＝∠PQC＝2∠CDB＝180°﹣2 α ， ∵点 P 不与点 B，M 重合， ∴∠BAD＞∠PAD＞∠MAD， ∵点 P 在线段 BM 上运动，∠PAD 最大为 2 α ，∠PAD 最小等于 α ， ∴2 α ＞180°﹣2 α ＞ α ， ∴45°＜ α ＜60°． 9．在▱ ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线 BC 于点 E，交直线 DC 于点 F． （1）在图 1 中证明 CE＝CF； （2）若∠ABC＝90°，G 是 EF 的中点（如图 2），直接写出∠BDG 的度数； （3）若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连接 DB、DG（如图 3），求∠BDG 的 度数． 【解答】（1）证明：如图 1， 第 23页（共 32页） ∵AF 平分∠BAD， ∴∠BAF＝∠DAF， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠F， ∴∠CEF＝∠F． ∴CE＝CF． （2）解：连接 GC、BG， ∵四边形 ABCD 为平行四边形，∠ABC＝90°， ∴四边形 ABCD 为矩形， ∵AF 平分∠BAD， ∴∠DAF＝∠BAF＝45°， ∵∠DCB＝90°，DF∥AB， ∴∠DFA＝45°，∠ECF＝90° ∴△ECF 为等腰直角三角形， ∵G 为 EF 中点， ∴EG＝CG＝FG，CG⊥EF， ∵△ABE 为等腰直角三角形，AB＝DC， ∴BE＝DC， ∵∠CEF＝∠GCF＝45°， ∴∠BEG＝∠DCG＝135° 在△BEG 与△DCG 中， ∵ ， ∴△BEG≌△DCG， ∴BG＝DG， ∵CG⊥EF， ∴∠DGC+∠DGA＝90°， 又∵∠DGC＝∠BGA， 第 24页（共 32页） ∴∠BGA+∠DGA＝90°， ∴△DGB 为等腰直角三角形， ∴∠BDG＝45°． （3）解：延长 AB、FG 交于 H，连接 HD． ∵AD∥GF，AB∥DF， ∴四边形 AHFD 为平行四边形 ∵∠ABC＝120°，AF 平分∠BAD ∴∠DAF＝30°，∠ADC＝120°，∠DFA＝30° ∴△DAF 为等腰三角形 ∴AD＝DF， ∴CE＝CF， ∴平行四边形 AHFD 为菱形 ∴△ADH，△DHF 为全等的等边三角形 ∴DH＝DF，∠BHD＝∠GFD＝60° ∵FG＝CE，CE＝CF，CF＝BH， ∴BH＝GF 在△BHD 与△GFD 中， ∵ ， ∴△BHD≌△GFD， ∴∠BDH＝∠GDF ∴∠BDG＝∠BDH+∠HDG＝∠GDF+∠HDG＝60° 第 25页（共 32页） 10．问题：已知△ABC 中，∠BAC＝2∠ACB，点 D 是△ABC 内的一点，且 AD＝CD，BD ＝BA．探究∠DBC 与∠ABC 度数的比值． 请你完成下列探究过程： 先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明． （1）当∠BAC＝90°时，依问题中的条件补全右图； 观察图形，AB 与 AC 的数量关系为 相等 ；当推出∠DAC＝15°时，可进一步推出∠ DBC 的度数为 15° ；可得到∠DBC 与∠ABC 度数的比值为 1：3 ； （2）当∠BAC＜90°时，请你画出图形，研究∠DBC 与∠ABC 度数的比值是否与（1） 中的结论相同，写出你的猜想并加以证明． 【解答】解：（1） ① 当∠BAC＝90°时， ∵∠BAC＝2∠ACB， ∴∠ACB＝45°， 在△ABC 中，∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠BAC＝45°， ∴∠ACB＝∠ABC， ∴AB＝AC（等角对等边）； ② 当∠DAC＝15°时， ∠DAB＝90°﹣15°＝75°， ∵BD＝BA， 第 26页（共 32页） ∴∠BAD＝∠BDA＝75°， ∴∠DBA＝180°﹣75°﹣75°＝30°， ∴∠DBC＝45°﹣30°＝15°，即∠DBC＝15°， ∴∠DBC 的度数为 15°； ③ ∵∠DBC＝15°，∠ABC＝45°， ∴∠DBC＝15°，∠ABC＝45°， ∴∠DBC：∠ABC＝1：3， ∴∠DBC 与∠ABC 度数的比值为 1：3． （2）猜想：∠DBC 与∠ABC 度数的比值与（1）中结论相同． 证明：如图 2，作∠KCA＝∠BAC，过 B 点作 BK∥AC 交 CK 于点 K，连接 DK． ∴四边形 ABKC 是等腰梯形， ∴CK＝AB， ∵DC＝DA， ∴∠DCA＝∠DAC， ∵∠KCA＝∠BAC， ∴∠KCD＝∠3， ∴△KCD≌△BAD， ∴∠2＝∠4，KD＝BD， ∴KD＝BD＝BA＝KC． ∵BK∥AC， ∴∠ACB＝∠6， ∵∠BAC＝2∠ACB，且∠KCA＝∠BAC， ∴∠KCB＝∠ACB， ∴∠5＝∠ACB， ∴∠5＝∠6， ∴KC＝KB， ∴KD＝BD＝KB， ∴∠KBD＝60°， ∵∠ACB＝∠6＝60°﹣∠1， 第 27页（共 32页） ∴∠BAC＝2∠ACB＝120°﹣2∠1， ∵∠1+（60°﹣∠1）+（120°﹣2∠1）+∠2＝180°， ∴∠2＝2∠1， ∴∠DBC 与∠ABC 度数的比值为 1：3． 11．在平行四边形 ABCD 中，过点 C 作 CE⊥CD 交 AD 于点 E，将线段 EC 绕点 E 逆时针旋 转 90°得到线段 EF（如图 1） （1）在图 1 中画图探究： ① 当 P1 为射线 CD 上任意一点（P1 不与 C 重合）时，连接 EP1；绕点 E 逆时针旋转 90 °得到线段 EG1．判断直线 FG1 与直线 CD 的位置关系，并加以证明； ② 当 P2 为线段 DC 的延长线上任意一点时，连接 EP2，将线段 EP2 绕点 E 逆时针旋转 90° 得到线段 EG2．判断直线 G1G2 与直线 CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的结论． （2）若 AD＝6，tanB＝ ，AE＝1，在 ① 的条件下，设 CP1＝x，S△P1FG1＝y，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围． 【解答】解：（1） ① 直线 FG1 与直线 CD 的位置关系为互相垂直． 证明：如图 1，设直线 FG1 与直线 CD 的交点为 H． ∵线段 EC、EP1 分别绕点 E 逆时针旋转 90°依次得到线段 EF、EG1， ∴∠P1EG1＝∠CEF＝90°，EG1＝EP1，EF＝EC． 第 28页（共 32页） ∵∠G1EF＝90°﹣∠P1EF，∠P1EC＝90°﹣∠P1EF， ∴∠G1EF＝∠P1EC． ∴△G1EF≌△P1EC． ∴∠G1FE＝∠P1CE． ∵EC⊥CD， ∴∠P1CE＝90°， ∴∠G1FE＝90 度． ∴∠EFH＝90 度． ∴∠FHC＝90 度． ∴FG1⊥CD． ② 按题目要求所画图形见图 1， ∵FG1⊥CD， ∴直线 G1G2 与直线 CD 的位置关系为互相垂直． （2）∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠B＝∠ADC． ∵AD＝6，AE＝1，tanB＝ ， ∴DE＝5，tan∠EDC＝tanB＝ ． 可得 CE＝4． 由（1）可得四边形 EFHC 为正方形． ∴CH＝CE＝4． ① 如图 2，当 P1 点在线段 CH 的延长线上时， ∵FG1＝CP1＝x，P1H＝x﹣4， ∴S△P1FG1＝ ×FG1×P1H＝ ． ∴y＝ x2﹣2x（x＞4）． ② 如图 3，当 P1 点在线段 CH 上（不与 C、H 两点重合）时， ∵FG1＝CP1＝x，P1H＝4﹣x， ∴S△P1FG1＝ ×FG1×P1H＝ ． 第 29页（共 32页） ∴y＝﹣ x2+2x（0＜x＜4）． ③ 当 P1 点与 H 点重合时，即 x＝4 时，△P1FG1 不存在． 综上所述，y 与 x 之间的函数关系式及自变量 x 的取值范围是 y＝ x2﹣2x（x＞4）或 y ＝﹣ x2+2x（0＜x＜4）． 12．请阅读下列材料： 问题：如图 1，在菱形 ABCD 和菱形 BEFG 中，点 A，B，E 在同一条直线上，P 是线段 DF 的中点，连接 PG，PC．若∠ABC＝∠BEF＝60°，探究 PG 与 PC 的位置关系及 的值． 小聪同学的思路是：延长 GP 交 DC 于点 H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请 你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： 第 30页（共 32页） （1）写出上面问题中线段 PG 与 PC 的位置关系及 的值； （2）将图 1 中的菱形 BEFG 绕点 B 顺时针旋转，使菱形 BEFG 的对角线 BF 恰好与菱形 ABCD 的边 AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图 2）．你在（1）中得到 的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明； （3）若图 1 中∠ABC＝∠BEF＝2 α （0°＜ α ＜90°），将菱形 BEFG 绕点 B 顺时针旋转 任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出 的值（用含 α 的式子表示）． 【解答】解：（1）∵CD∥GF，∠PDH＝∠PFG，∠DHP＝∠PGF，DP＝PF， ∴△DPH≌△FGP， ∴PH＝PG，DH＝GF， ∵CD＝BC，GF＝GB＝DH， ∴CH＝CG， ∴CP⊥HG，∠ABC＝60°， ∴∠DCG＝120°， ∴∠PCG＝60°， ∴PG：PC＝tan60°＝ ， ∴线段 PG 与 PC 的位置关系是 PG⊥PC， ＝ ； （2）猜想：（1）中的结论没有发生变化． 证明：如图 2，延长 GP 交 AD 于点 H，连接 CH、CG． ∵P 是线段 DF 的中点， ∴FP＝DP， ∵AD∥GF， ∴∠HDP＝∠GFP， ∵∠GPF＝∠HPD， 第 31页（共 32页） ∴△GFP≌△HDP（ASA）， ∴GP＝HP，GF＝HD， ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴CD＝CB，∠HDC＝∠ABC＝60°， ∵∠ABC＝∠BEF＝60°，菱形 BEFG 的对角线 BF 恰好与菱形 ABCD 的边 AB 在同一条 直线上， ∴∠GBF＝60°， ∴∠HDC＝∠GBF， ∵四边形 BEFG 是菱形， ∴GF＝GB， ∴HD＝GB， ∴△HDC≌△GBC， ∴CH＝CG，∠HCD＝∠GCB ∴PG⊥PC（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上） ∵∠ABC＝60° ∴∠DCB＝∠HCD+∠HCB＝120° ∵∠HCG＝∠HCB+∠GCB ∴∠HCG＝120° ∴∠GCP＝60° ∴ ＝tan∠GCP＝tan60°＝ ； （3）∵∠ABC＝∠BEF＝2 α （0°＜ α ＜90°）， ∴∠PCG＝90°﹣ α ， 由（1）可知：PG：PC＝tan（90°﹣ α ）， ∴ ＝tan（90°﹣ α ）． 第 32页（共 32页） 声明：试 题解析著作权 属菁优网所有 ，未经书面同 意，不得复制 发布 日期：2020/1/19 9:24:01 ；用户： 金雨教育；邮 箱：309593466@qq.com ；学号： 335385