2009年北京市石景山区中考数学一模试卷

2009年北京市石景山区中考数学一模试卷

‎14 2009年北京市石景山区中考数学一模试卷 一、选择题(共8个小题，每小题4分，共32分)‎ 在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是正确的．‎ ‎1．27的立方根是( )‎ A．9 B．‎3 ‎C．±9 D．±3‎ ‎2．北京奥组委和国际奥委会在新闻发布上说：“中国有8亿4千万(840000000)人观看了奥运会开幕式，这确实是一个令人惊讶的数字．”840000000这个数字用科学记数法可表示为( )‎ A．0.84×109 B．8.4×‎109 ‎C．84×107 D．8.4×108‎ ‎3．如果两圆半径分别为3和4，圆心距为6，那么这两圆的位置关系是( )‎ A．相交 B．内切 C．外离 D．外切 ‎4．在一个暗箱里，装有3个红球、5个黄球和7个绿球，它们除颜色外都相同，搅拌均匀后，从中任意摸出一个球是红球的概率是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎5．要使式子有意义，字母x的取值必须满足( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎6．某校初三(1)班一组女生体重数据统计表如下：‎ 体重(千克)‎ ‎40‎ ‎42‎ ‎44‎ ‎46‎ ‎51‎ 人数(人)‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ 该组女生体重的平均数、众数、中位数分别是( )‎ A．45、44、44 B．45、3、2‎ C．45、3、44 D．45、44、46‎ ‎7．已知：如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，且BD＝2AD，CD＝10，sin∠BCD＝，则BC边上的高AE的长为( )‎ A．4.5 B．‎6 ‎C．8 D．9‎ 第7题图 ‎8．若正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，则把每个小格的顶点叫做格点．现有一个表面积为12的正方体，沿着一些棱将它剪开，展成以格点为顶点的平面图形，下列四个图形中，能满足题意的是( )‎ 二、填空题(共4个小题，每小题4分，共16分)‎ ‎9．分解因式：ax2＋2ax＋a＝________．‎ ‎10．若关于x的方程2x2－ax＋a－2＝0有两个相等的实根，则a的值是________．‎ ‎11．三角形纸片ABC中，∠A＝55°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内(如图)，则∠1＋∠2＝________°．‎ 第11题图 ‎12．将一副三角板如图放置，则上下两块三角板面积之比A1：A2等于________．‎ 第12题图 三、解答题(共5个小题，每小题5分，共25分)‎ ‎13．计算：．‎ ‎14．解不等式组并把它的解集表示在数轴上．‎ 第14题图 ‎15．解方程．‎ ‎16．已知：如图，在菱形ABCD中，分别延长AB、AD到E、F，使得BE＝DF，连结EC、FC．‎ 求证：EC＝FC．‎ 第16题图 ‎17．已知x2＋x－6＝0，求代数式x2(x＋1)－x(x2－1)－7的值．‎ 四、解答题(共2个小题，每小题5分，共10分)‎ ‎18．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC＝45°，翻折梯形ABCD，使点B与点D重合，折痕分别交边AB、BC于点F、E，若AD＝2，BC＝8．‎ ‎(1)求BE的长；‎ ‎(2)求∠CDE的正切值．‎ 第18题图 ‎19．已知：如图，点A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于点B，OC＝BC，AC＝．‎ ‎(1)求证：AB是⊙O的切线；‎ ‎(2)若∠ACD＝45°，OC＝2，求弦CD的长．‎ 第19题图 五、解答题(本题满分6分)‎ ‎20．在我国，除夕之夜，全家一起看春节联欢晚会是人们传统的娱乐活动，尤其是小品类节目为我们带来了很多的欢乐．为了统计观众对2009年春晚小品类节目的喜好，中央电视台在网上进行了“2009年春晚我最喜爱的小品”调查问卷，并将统计结果绘制成两幅统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：‎ ‎(1)求参加调查的观众喜欢小品《暖冬》的人数占总投票人数的百分比；‎ ‎(2)求参加调查的观众喜欢小品《黄豆黄》的人数并补全条形图；‎ ‎(3)若北京市共有1200万人收看了春晚节目，请你估算北京市喜欢小品《不差钱》的观众约有多少人?‎ 第20题图 ‎(说明：A：《吉祥三宝》；B：《黄豆黄》；C：《水下除夕夜》；D：《北京欢迎你》；E：《暖冬》；F：《不差钱》)‎ 六、解答题(共2个小题，第21题4分，第22题5分，共9分)‎ ‎21．已知：如图，直角三角形AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的正半轴和y轴的负半轴上，C为线段OA上一点，OC＝OB，抛物线y＝x2－(m＋1)x＋m(m是常数，且m＞1)经过A、C两点．‎ ‎(1)求出A、B两点的坐标(可用含m的代数式表示)：‎ ‎(2)若△AOB的面积为2，求m的值．‎ 第21题图 ‎22．在数学小组活动中，小聪同学出了这样一道“对称跳棋”题：如图，在作业本上画一条直线l，在直线l两边各放一粒跳棋子A、B，使线段AB长a cm，并关于直线l对称，在图中P1处有一粒跳棋子，P1距A点b cm，与直线l的距离c cm，按以下程序起跳：第1次，从P1点以A为对称中心跳至P2点；第2次，从P2点以l为对称轴跳至P3点；第3次，从P3点以B为对称中心跳至P4点；第4次，从P4点以l为对称轴跳至P1点．‎ ‎(1)画出跳棋子这4次跳过的路径并标注出各点字母(画图工具不限)；‎ ‎(2)棋子按上述程序跳跃15次后停下，假设a＝8，b＝6，c＝3，计算这时它与点A的距离．‎ 第22题图 七、解答题(本题满分7分)‎ ‎23．两个反比例函数和(k1＞k2＞0)在第一象限内的图象如图所示，动点P在的图象上，PC⊥x轴于点C，交的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交的图象于点B．‎ ‎(1)求证：四边形PAOB的面积是定值；‎ ‎(2)当时，求的值；‎ ‎(3)若点P的坐标为(5，2)，△OAB、△ABP的面积分别记为S△OAB、S△ABP，设S＝S△OAB－S△ABP．‎ ‎①求k1的值；‎ ‎②当k2为何值时，S有最大值，最大值为多少?‎ 第23题图 八、解答题(本题满分7分)‎ ‎24．已知：如图，半圆O的直径DE＝‎12cm，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝‎12cm．半圆O以每秒‎2cm的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直线BC上．设运动时间为t(s)，当t＝0(s)时，半圆O在△ABC的左侧，OC＝‎8cm．‎ ‎(1)当t为何值时，△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切?‎ ‎(2)当△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切时，如果半圆O与直线DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积．‎ 第24题图 九、解答题(本题满分8分)‎ ‎25．已知：如图①，射线AM∥射线BN，AB是它们的公垂线，点D、C分别在AM、BN上运动(点D与点A不重合、点C与点B不重合)，E是AB边上的动点(点E与A、B不重合)，在运动过程中始终保持DE⊥EC，且AD＋DC＝AB＝a．‎ ‎(1)求证：△ADE∽△BEC；‎ ‎(2)如图②，当点E为AB边的中点时，求证：AD＋BC＝CD；‎ ‎(3)设AE＝m，请探究：△BEC的周长是否与m值有关?若有关，请用含有m的代数式表示△BEC的周长；若无关，请说明理由．‎ 第25题图 答 案 ‎14．2009年北京市石景山区中考数学一模试卷 一、选择题 ‎1．B 2．D 3．A 4．C 5．B 6．A 7．D 8．A 二、填空题 ‎9．a(x＋1)2 10．4 11．100 12．(或)‎ 三、解答题 ‎13．解：‎ ‎＝－4－2＋2－1＋1‎ ‎＝－4‎ ‎14．解：由不等式3x－1＞－4，得x＞－1．‎ 由不等式2x＜x＋2，得x＋2．‎ ‎∴原不等式组的解集是－1＜x＜2．‎ 在数轴上表示为：‎ 第14题答图 ‎15．解：去分母，得(x－1)(1－2x)＋2x(x＋1)＝0．‎ 去括号，整理，得5x－1＝0．‎ 解得．‎ 经检验，是原方程的根．‎ 所以，原方程的根为．‎ ‎16．证明：∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴BC＝DC，∠ABC＝∠ADC．‎ ‎∴∠EBC＝∠FDC． ‎ 在△EBC和△FDC中，‎ ‎∴△EBC≌△FDC．‎ ‎∴EC＝FC．‎ 第16题答图 ‎17．解：x2(x＋1)－x(x2－1)－7‎ ‎＝x3＋x2－x3＋x－7‎ ‎＝x2＋x－7．‎ ‎∵x2＋x－6＝0，‎ ‎∴x2＋x－7＝－1．‎ 即x2(x＋1)－x(x2－1)－7＝－1．‎ 四、解答题 ‎18．解：(1)由题意得△BEF≌△DFE，所以，DE＝BE．‎ ‎∵在△BDE中，DE＝BE，∠DBE＝45°，‎ ‎∴∠BDE＝∠DEB＝45°∴∠DEB＝90°.即DE⊥BC．‎ 在等腰梯形ABCD中，AD＝2，BC＝8，∴．∴BE＝5．‎ ‎(2)由(1)得，DE＝BE＝5．‎ 在△DEC中，∠DEC＝90°，DE＝5，EC＝3，‎ 所以，．‎ ‎19．(1)证明：如图，连结OA．‎ ‎∵OC＝BC，，∴OC＝BC＝AC＝OA．‎ ‎∴△ACO是等边三角形．‎ ‎∴∠O＝60°，∠OCA＝60°．∴∠B＝30°．‎ ‎∴∠OAB＝90°．‎ 所以，AB是⊙O的切线．‎ 第19题答图 ‎(2)解：作AE⊥CD于E点．‎ ‎∵∠O＝60°，∴∠D＝30°．‎ 又∠ACD＝45°，AC＝OC＝2，所以在Rt△ACE中，CE＝AE＝．‎ 在Rt△ACE中，∵∠D＝30°，∴AD＝2．‎ 由勾股定理，可求DE＝．‎ 所以，CD＝DE＋CE＝＋．‎ 五、解答题 ‎20．解：‎ ‎(1)10％．‎ ‎(2)340人，见右图．‎ ‎(3)约660万人．‎ 第20题答图 六、解答题 ‎21．解：(1)在抛物线y＝x2－(m＋1)x＋m中，令y＝0，得x2－(m＋1)x＋m＝0，‎ 解得x＝1或x＝m(m＞1)．所以，OC＝1，OA＝m．‎ ‎∵OC＝OB，‎ ‎∴OB＝1．‎ 所以，A点的坐标为(m，0)，‎ B点的坐标为(0，－1)．‎ ‎(2)△AOB的面积，所以，当S＝2时，m＝4．‎ ‎22．解：(1)跳棋子跳过路径及各点字母如图．‎ ‎(2)跳跃15次后，停在P4处，‎ 过P4作P‎4C⊥AB，垂足为C点，‎ 则；‎ 由AC＝7，．‎ 第22题答图 七、解答题 ‎23．(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x3，y3)，△AOC与△BOD的面积分别为S1，S2，矩形PCOD的面积为S3．‎ 由题意，得，，．‎ ‎，，．‎ ‎∴S四边形PAOB＝S3－(S1＋S2)＝k1－k2．‎ ‎∴四边形PAOB的面积是定值．‎ ‎(2)解：由(1)可知S1＝S2，则OD·BD＝OC·AC．‎ 又，．‎ ‎∵DP＝OC，OD＝PC，．‎ ‎．‎ ‎(3)解：①由题意知：k1＝xPyP＝10．‎ ‎②A、B两点坐标分别为，，‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎∴当k2＝5时，S有最大值．‎ 八、解答题 ‎24．解：(1)如图①，当t＝1s时，△ABC的AC边与⊙O相切；‎ 如图②，当t＝4s时，△ABC的AB边与⊙O相切；‎ ‎ ‎ ‎① ②‎ ‎ ‎ ‎③ ④‎ 第24题答图 如图③，当t＝7s时，△ABC的AC边与⊙O相切；‎ 如图④，当t＝16s时，△ABC的AB边所在直线与⊙O相切．‎ ‎(2)由(1)，可知，当t＝4 s和t＝7 s时，半圆O与直线DE围成的区域与△ABC 三边围成的区域有重叠部分，如图②、③的阴影部分所示，重叠部分的面积分别为9p cm2和(9＋6p )cm2．‎ 九、解答题 ‎25．(1)证明：∵DE⊥EC，∴∠DEC＝90°∴∠AED＋∠BEC＝90°．‎ 又∵∠A＝∠B＝90°，∴∠AED＋∠EDA＝90°．‎ ‎∴∠BEC＝∠EDA．∴△ADE∽△BEC．‎ ‎(2)证明：如图，过点E作EF∥BC，交DC于点F，‎ ‎∵E是AB的中点，容易证明．‎ 在Rt△DEC中，∵DF＝CF，．‎ ‎．‎ ‎∴AD＋BC＝CD．‎ ‎(3)解：△AED的周长＝AE＋AD＋DE＝a＋m，BE＝a－m．‎ 设AD＝x，则DE＝a－x．‎ ‎∵∠A＝90°，∴DE2＝AE2＋AD2．即a2－2ax＋x2＝m2＋x2．‎ ‎．‎ 由(1)知△ADE∽△BEC，‎ ‎．‎ ‎∴△BEC的周长．△ADE的周长＝‎2a．‎ ‎∴△BEC的周长与m值无关．‎ 第25题答图