2008年北京市西城区中考数学二模试卷

2008年北京市西城区中考数学二模试卷

‎ 2008年北京市西城区中考数学二模试卷 第Ⅰ卷(机读卷 共32分)‎ 一、选择题(共8个小题，每小题4分，共32分)‎ ‎1．的倒数是( )‎ A．－9 B．－‎6 ‎C．6 D．9‎ ‎2．分式的值为0，则x的值是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎3．如图，已知AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有( )‎ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 ‎ ‎ 第3题图 第4题图 ‎4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则cosB＝( )‎ A． B． C． D．‎ ‎5．左下图是表示几个小立方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数，这个几何体的主视图是( )‎ 第5题图 ‎6．图①②分别是甲、乙两户居民家庭全年各项支出的统计图．根据统计图，下列对两户教育支出占全年总支出的百分比作出的判断中，正确的是( )‎ A．甲户比乙户大 B．乙户比甲户大 C．甲、乙两户一样大 D．无法确定哪一户大 第6题图 ‎7．用“&”定义新运算：对于任意实数a，b，都有a&b＝‎2a－b，如果x&(1&3)＝2，那么x等于( )‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎8．如图，在一个3×3方格纸上，若以格点(即小正方形的顶点)为顶点画正方形，在该3×3 方格纸上最多可画出的正方形的个数是( )个 第8题图 A．13 B．‎14 ‎C．18 D．20‎ 第Ⅱ卷(非机读卷 共88分)‎ 二、填空题(共4个小题，每小题4分，共16分)‎ ‎9．函数中自变量x的取值范围是________．‎ ‎10．已知双曲线经过点(－1，3)，如果A(2，b1)，B(3，b2)两点在该双曲线上，那么b1________b2．(用“＞”或“＜”连结)‎ ‎11．已知a－2，b＋1，c－5的平均数为m，那么a、b、c的平均数为________．(用含m的式子表示)‎ ‎12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的点，那么△的面积是________．‎ 第12题图 三、解答题(共13个小题，共72分)‎ ‎13．(5分)先化简，再求值：x(x＋y)－(x－y)(x＋y)－y2，其中x＝0.252008，y＝42008．‎ ‎14．(5分)解不等式组 ‎15．(5分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，AD＝20，求BC的长．‎ 第15题图 ‎16．(5分)如图，将正方形OABC绕点O顺时针方向旋转角a (0°＜a ＜45°)，得到正方形ODEF，EF交AB于H．‎ 求证：BH＝HE．‎ 第16题图 ‎17．(5分)某市今年起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25％，小方家去年12月份的水费是24元，而今年5月份的水费是48元．已知小方家今年5月份的用水量比去年12月份多‎6立方米，求该市今年居民用水的价格．‎ ‎18．(5分)如图，已知△ABC的面积为4，且AB＝AC，现将△ABC沿CA方向平移CA的长度，得到△EFA．‎ ‎(1)判断AF与BE的位置关系，并说明理由；‎ ‎(2)若∠BEC＝15°，求AC的长．‎ 第18题图 ‎19．(5分)如图，BD为⊙O的直径，点A是的中点，AD交BC于E点，AE＝2，ED＝4．‎ ‎(1)求证：△ABE∽△ADB．‎ ‎(2)求tan∠ADB的值．‎ ‎(3)延长BC至F，连结DF，使△BDF的面积等于8，求∠EDF的度数．‎ 第19题图 ‎20．(5分)已知关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0．‎ ‎(1)若a≥0，b≥0，方程有实数根，试确定a，b之间的大小关系；‎ ‎(2)若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，请你用树状图或表格表示出所有可能出现的结果，并求出使上述方程有实数根的概率．‎ ‎21．(4分)阅读下列材料：‎ 当矩形一角的平分线分矩形一边为‎1cm和‎3cm两部分时，这个矩形的面积为‎4cm2或‎12cm2．‎ 当矩形一角的平分线分矩形一边为‎1cm和‎4cm两部分时，这个矩形的面积为‎5cm2或‎20cm2．‎ 根据以上情况，完成下面填空．‎ ‎(1)当矩形一角的平分线分矩形一边为‎1cm和‎5cm两部分时，这个矩形的面积为______cm2或______cm2．‎ ‎(2)当矩形一角的平分线分矩形一边为‎1cm和ncm两部分时，这个矩形的面积为______cm2或______cm2(n为正整数)．‎ ‎22．(6分)如图，函数y＝－x＋4的图象分别交x轴，y轴于点N、M，过MN上的两点A、B分别向x轴作垂线，与x轴交于A1(x1，0)，B1(x2，0)，A1在B1的左边，若OA1＋OB1＞‎ ‎4．‎ ‎(1)分别用含x1、x2的代数式表示△OA‎1A的面积S1与△OB1B的面积S2．‎ ‎(2)请判断△OA‎1A的面积S1与△OB1B的面积S2的大小关系，并说明理由．‎ 第22题图 ‎23．(7分)如图，梯形ABCD中，BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝18，BC＝24，AB＝m．在线段BC上任取一点P，连结DP，作射线PE⊥DP，PE与直线AB交于点E．‎ ‎(1)当CP＝6时，试确定点E的位置．‎ ‎(2)若设CP＝x，BE＝y，写出y关于x的函数关系式．‎ ‎(3)在线段BC上能否找到不同的两点P1、P2，使得按上述作法得到的点E都分别与点A重合?若能，试求出此时m的取值范围；若不能，请说明理由．‎ 第23题图 ‎24．(8分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A(－2，0)和原点O，顶点是D．‎ ‎(1)求抛物线y＝ax2＋2x＋c的解析式；‎ ‎(2)在x轴的上方的抛物线上有点M，连结DM，与线段OA交于N点，若S△MON∶S△ODN＝2∶1，求点M的坐标；‎ ‎(3)若点H是x轴上的一点，以H、A、D为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一个顶点F在y轴上，写出H点的坐标(直接写出答案，不要求写出计算过程)．‎ 第24题图 ‎25．(7分)设点E是平行四边形ABCD的边AB的中点，F是BC边上一点，线段DE和AF相交于点P，点Q在线段DE上，且AQ∥PC．‎ ‎(1)证明：PC＝2AQ．‎ ‎(2)当点F为BC的中点时，试比较△PFC和梯形APCQ面积的大小关系，并对你的结论加以证明．‎ 第25题图 答 案 ‎20．2008年北京市西城区中考数学二模试卷 一、选择题 ‎1．A 2．D 3．C 4．D 5．B 6．B 7．C 8．D 二、填空题 ‎9．x≥－2且x≠0 10．＜ 11．m＋2 12．‎ 三、解答题 ‎13．解：x(x＋y)－(x－y)(x＋y)－y2＝x2＋xy－(x2－y2)－y2‎ ‎＝x2＋xy－x2＋y2－y2＝xy．‎ 当x＝0.252008，y＝42008时，原式＝1．‎ ‎14．解：由3x－5＞x－3解得x＞1．‎ 由解得x≤3．‎ 所以，原不等式组的解集是1＜x≤3．‎ ‎15．解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，‎ ‎∴∠B＝60°∵BD是∠ABC的平分线，‎ ‎∴∠DBA＝30°．∴AD＝DB＝20．‎ ‎∵∠BDC＝∠BAD＋∠DBA＝60°，‎ ‎，∴BC＝10．‎ ‎16．证明：连结OH．∵四边形OABC和四边形ODEF都是正方形，‎ ‎∴△OFH≌△OAH．‎ ‎∴FH＝AH．‎ ‎∵BA＝FE，∴BH＝HE．‎ 第16题答图 ‎17.解：设该市去年居民用水的价格为x元／立方米，则今年用水价格为(1＋25％)x元／立方米 根据题意得．‎ 解得x＝2.4‎ 经检验，x＝2.4是原方程的根．‎ 所以(1＋25％)x＝3．‎ 故该市今年居民用水的价格是3元／立方米．‎ ‎18.(1)证明：AF⊥BE理由如下：连结BF ‎∵△AEF是由△ABC沿CA的方向平移CA长度得到，‎ ‎∴ BF＝AC,AB＝EF,CA＝AE．‎ ‎∵AB＝AC,‎ ‎∴AB＝BF＝EF＝AE．‎ ‎∴四边形ABFE是菱形．‎ ‎∴AF⊥BE．‎ 第18题答图 ‎(2)解：作BM⊥AC于点M．∵AB＝AC＝AE，∠BEC＝15°，∴∠BAC＝30°．‎ ‎．‎ ‎，，．‎ ‎19．(1)证明：∵A是的中点，∴＝‎ 第19题答图 ‎∴∠ABC＝∠ADB．∵∠BAE＝∠DAB,‎ ‎∴△ABE∽△ADB．‎ ‎(2)解：由(1)得△ABE∽△ADB．‎ ‎．‎ 有AB2＝AD·AE＝12，∴AB＝2．‎ ‎∵BD是⊙O的直径，∴∠DAB＝90°，‎ ‎．‎ ‎(3)解：连结OA，CD，∴AO⊥BC，CD⊥BC．‎ 由(2)知．‎ ‎∴∠ADB＝30°，∴∠AOB＝60°，∠DBC＝30°．‎ ‎，．‎ ‎∵S△BDF＝8，‎ ‎∴BF＝8．‎ ‎∵Rt△ABE中，BE＝4，．∴EF＝4．∵在Rt△EDC中，ED＝4，‎ ‎∴EF＝ED．∵∠AEB＝∠DEF＝60°，∴∠EDF＝60°．‎ ‎20．解：(1)由于关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0有实数根，‎ 所以(‎2a)2－4b2≥0，有a2≥b2．‎ 由于a≥0，b≥0，所以a≥b．‎ ‎(2)列表：‎ ‎ a b ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎(0，0)‎ ‎(0，1)‎ ‎(0，2)‎ ‎(0，3)‎ ‎1‎ ‎(1，0)‎ ‎(1，1)‎ ‎(1，2)‎ ‎(1，3)‎ ‎2‎ ‎(2，0)‎ ‎(2，1)‎ ‎(2，2)‎ ‎(2，3)‎ 共有12种情况，其中a≥b的有9种，则上述方程有实数根的概率是．‎ ‎21．(1)6 30 (2)n＋1 n(n＋1)‎ ‎22．解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＝－x1＋4，y2＝－x2＋4．‎ ‎(1)．‎ ‎．‎ ‎(2)S1＞S2．‎ 理由如下：‎ ‎．‎ 由题意知x1＜x2，且x1＋x2＞4．所以，x1－x2＜0，x1＋x2－4＞0．‎ 可得S1－S2＞0，即S1＞S2．‎ ‎23．解：(1)作DF⊥BC，F为垂足．‎ 第23题答图 当PC＝6时，‎ 由已知可得四边形ABFD是矩形，FC＝6，‎ ‎∴点P与点F重合．又∵BF⊥FD，‎ ‎∴此时点E与点B重合．‎ ‎(2)当点P在BF上(即6＜x≤24)时，‎ ‎∵∠EPB＋∠DPF＝90°，∠EPB＋∠PEB＝90°，‎ ‎∴∠DPF＝∠PEB∵∠B＝∠PFD＝90°，‎ ‎∴tan∠EPB＝tan∠PDF，即，‎ ‎，．‎ 当点P在CF上(即0＜x≤6)时，同理可得．‎ 综合以上知：‎ ‎(3)能找到这样的两点．‎ 解法一：当点E与点A重合时，y＝EB＝m，此时点P在线段BF上，‎ 有，整理得，x2－30x＋144＋m2＝0①．‎ 假设在线段BC上能找到两个不同的点P1与P2满足条件，即方程①有两个不相等的正根，首先要Δ＝(－30)2－4×(144＋m2)＞0，然后应有x＝15±＞0．‎ 由Δ＞0解得81＞m2，由于＜15，m＞0，∴0＜m＜9．‎ 解法二：能找到这样的两点．‎ 当点E与点A重合时，‎ ‎∵∠APD＝90°，‎ ‎∴点P在以AD为直径的圆上．设圆心为Q，则Q为AD的中点．要使在线段BC上能找到两个不同的点P1与P2满足条件，只要使线段BC与⊙Q相交，即：圆心Q到BC的距离d满足．‎ ‎∵AD∥BC，∴d＝m．‎ ‎．‎ ‎24．解：(1)由于抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A和点O，所以有 解出 故抛物线的解析式是．‎ ‎(2)由抛物线y＝＋2知其顶点D的坐标是(－1，－)．‎ 设点M的坐标是(x0，y0)，且y0＞0．‎ 由于，即．‎ 由于yM∶｜yD｜＝2∶1，｜yD｜＝，所以．‎ 将yM＝2代入y＝x2＋2x中，得x＝－1±，所以满足条件的点M有两个，即M1(－1＋，2)，M2(－1－，2)．‎ ‎(3)满足条件的H点有3个，它们分别是H1(－1，0)，H2(－3，0)，H3(1，0)．‎ ‎25．(1)证法一：延长DE，CB，相交于点R，作BM∥PC，交DR于点M．‎ ‎∵AQ∥PC，BM∥PC，‎ ‎∴MB∥AQ．‎ ‎∴∠AQE＝∠EMB ‎∵E是AB的中点，D、E、R三点共线，∴AE＝EB，∠AEQ＝∠BEM．‎ ‎∴△AEQ≌△BEM．‎ ‎∴AQ＝BM．‎ 同理△AED≌△BER．∴AD＝BR＝BC．∵BM∥PC，‎ ‎∴RBM∽△RCP，相似比是1∶2．∴PC＝2MB＝2AQ．‎ 证法二：连结AC，交PQ于点K，易证△AKE∽△CKD，‎ ‎．∵AQ∥PC．‎ ‎∴△AKQ∽△CKP．‎ ‎，，即PC＝2AQ．‎ 第25题答图①‎ 第25题答图②‎ 第25题答图③‎ ‎(2)解：S△PFC＝S梯形APCQ．作BN∥AF，交RD于点N．‎ ‎∴△RBN∽△RFP．‎ ‎∵F是BC的中点，RB＝BC，‎ ‎．‎ ‎．‎ 易证△BNE≌△APE．‎ ‎∴AP＝BN．‎ ‎．‎ 因PFC(视PC为底)与梯形APCQ的高的比等于△PFC与△PQC中PC边上的高的比，易知等于PF与AP的比，于是可设△PFC中PC边上的高h1＝3k，梯形APCQ的高h2＝2k．再设AQ＝a，则PC＝‎2a．‎ ‎，．‎ 因此S△PFC＝S梯形APCQ．‎