人教版中考数学二轮复习专题练习下几何问题-三角形的旋转

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人教版中考数学二轮复习专题练习下几何问题-三角形的旋转

‎3.旋转—三角形 ‎1.如图,在中,,,,是中点,等腰直角三角板的直角顶点落在点上,使三角板绕点旋转.‎ ‎(1)如图1,当三角板两边分别交边、于、时,线段与、有怎样的关系 ‎(2)在(1)中,设,四边形的面积为,求关于的函数关系式,并写出自变量的取值范围.‎ ‎(3)在旋转过程中,当三角板一边经过点时,另一边交延长线于点,连接与延长线交于点(如图2),求的长.‎ 解析:(1)‎ 理由如下:‎ 延长到,使,连接、(如图1-1)‎ ‎∵,∴‎ ‎∵是中点,∴‎ ‎∵,∴‎ ‎∴,‎ ‎∴,∴‎ ‎∴在中,‎ ‎∴‎ ‎(2)‎ 作于,于(如图1-2)‎ 在中,,,∴‎ ‎∴‎ 在中,‎ 由(1)知,∴‎ ‎∵,,∴,,‎ ‎∴‎ ‎∵,∴,‎ ‎∴‎ ‎∴,∴‎ ‎∴‎ 即 当点与点重合时,‎ ‎∴,∴ ‎ 当点与点重合时,‎ ‎∴,∴‎ ‎∴的取值范围是 ‎ ‎(3)‎ 过点作(如图2)‎ ‎∵,,∴,‎ ‎∴ ,,‎ ‎∵,‎ ‎∴· ,∴ ,‎ ‎∴.‎ ‎3.如图,在中,, ,点在上,且.将绕点顺时针旋转得到,且落在的延长线上,连接交的延长线于点,‎ ‎(1)求证:‎ ‎(2)求的长.‎ 解析:(1)证明:∵,∴‎ ‎∵,∴,‎ ‎∵,∴,‎ ‎∴‎ 又,∴‎ ‎(2)‎ 解:‎ ‎∵,,∴‎ ‎∵ ,,∴,‎ 过作于,则,,‎ ‎∴.‎ ‎4.已知:在的边、上分别取点、,连接使.将绕点按逆时针方向旋转得到,连接、.‎ ‎(1)如图1,若,,问:与都有哪些关系.‎ ‎(2)在图1中,连接、,分别取、、、的中点、、、,顺次连接、、、得到四边形.请判断四边形 的形状.‎ ‎(3)①如图2,若改变(1)中的大小,使,其他条件不变,重复(2)中操作,请你直接判断四边形的形状.‎ ‎②如图3,若改变(1)中、的大小关系,使,其他条件不变,重复(2)中操作,请你直接判断四边形的形状.‎ 解析:‎ ‎(1)证明:‎ 延长交于点,交于点 ‎∵,∴‎ ‎∵,∴,‎ ‎∴,∴‎ 由旋转可知:,,‎ ‎∴‎ ‎∵,‎ ‎∴,∴‎ ‎∴,即 ‎∵在中,‎ 在中,‎ 又 ‎∴,∴‎ ‎(2)正方形 证明:由(1)可知:‎ ‎∵、、、分别是、、、的中点 ‎∴、、、分别是、、、的中位线 ‎∴,,,‎ ‎∴,∴四边形是菱形 ‎∵,,,∴‎ ‎∴四边形是正方形 ‎(3)‎ ‎①四边形 是菱形.‎ ‎ ,‎ ‎ .‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ .‎ ‎ 将 绕点 按逆时针方向旋转得到 ,‎ ‎ .‎ ‎ .‎ ‎ .‎ 在 和 中,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ .‎ ‎ 点 分别是 的中点,‎ ‎ , ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ 四边形 是菱形;‎ ‎②四边形 是矩形.‎ 如图3,延长 交 于点 ,‎ ‎ 将 绕点 按逆时针方向旋转得到 ,‎ ‎ .‎ ‎ ,.‎ ‎ .‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ .‎ ‎ ,‎ ‎ .‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ .‎ ‎ 点 分别是 的中点,‎ ‎ ,‎ ‎ 四边形 是平行四边形. ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ 平行四边形 是矩形.‎ ‎5.两个等腰直角三角形、如图①摆放(点在上),连接,取的中点,连接、,则有,.‎ ‎(1)将绕点逆时针旋转,使点落在上(如图②),上述结论是否仍成立? ‎ ‎(2)如图③,当绕点逆时针旋转 时,连接,若,求 的值.‎ 解析:(1)上述结论仍然成立 证法一:‎ 连接,延长交于点 ‎∵、均为等腰直角三角形 ‎∴,∴‎ ‎∵为中点,∴‎ 又∵,,∴‎ ‎∴‎ 同理,‎ ‎∴,‎ ‎∴‎ 即 ‎∴,∴‎ ‎∴为等腰直角三角形,∴,‎ 证法二:‎ 延长交于,易知为中点 ‎∵是的中点,∴, ‎ ‎∴‎ 分别延长、交于点,易知为中点 可证得, ,‎ ‎∴,即 ‎∵、均为等腰直角三角形 ‎∴,∴‎ ‎(2)‎ 过点作于 ‎∵,,∴‎ 在中,‎ 设,则,,‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎6.已知中,,,,将绕点旋转得到.‎ ‎(1)如图1,当点落在线段上时,求的值;‎ ‎(2)如图2,当点落在直线上时,求的长.‎ 解析:(1)‎ ‎∵,,,∴,‎ 作于,于,‎ 则,得 ,, ‎ ‎.‎ ‎∴‎ ‎(2)‎ 作于,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎7.如图1,、都是等腰直角三角形,点在线段上,,连接.‎ ‎(1)若,求 的值;‎ ‎(2)将绕点逆时针旋转,使(如图2).‎ ‎①求:线段与的数量关系. ‎ ‎②求:.‎ 解析:‎ ‎(1)‎ ‎ ‎ 延长交于 设,,则,‎ 在中,‎ ‎∵,∴ ‎ ‎∴‎ 整理得:‎ 即 解得:(舍去)或 ‎∴‎ ‎(2)‎ ‎①过作交延长线于、、延长线交于,连接,‎ 则是等腰直角三角形 ‎ 显然,‎ 又∵,∴‎ ‎∴,‎ ‎∵,,,‎ ‎∴,∴,‎ ‎∴,∴‎ ‎∴,∴‎ 又∵,‎ ‎∴,∴‎ 又 ‎ ‎∴‎ ‎②‎ 将绕点顺时针旋转至,延长、交于,连接、‎ 则,,‎ ‎∵,∴‎ ‎∴,∴‎ ‎∴‎ ‎∵,∴‎ ‎∴四边形是平行四边形 ‎∴‎ ‎8.如图,矩形中,,将一块直角三角板的直角顶点放在两对角线,的交点处,以点为旋转中心转动三角板,并保证三角板的两直角边分别与边,所在的直线相交,交点分别为,.‎ ‎(1)当,时,如图1,则 的值为________;‎ ‎(2)现将三角板绕点逆时针旋转角,如图2,求 的值;‎ ‎(3)在(2)的基础上继续旋转,当,且使时,如图3, 的值是否变化?证明你的结论.‎ 解析:‎ ‎(1) ‎ ‎(2)‎ 过点作,,垂足分别为,‎ ‎∵在矩形中,则,∴‎ 又∵,∴‎ ‎∴, ‎ 由题意可知,‎ ‎∴,∴‎ 又∵点在矩形对角线交点上 ‎∴,∴‎ ‎(3)变化 证明:‎ 过点作,,垂足分别为,‎ 根据(2),同理可证 ‎ ‎∵,∴ ‎ ‎9.如图1,和均为等腰直角三角形,,点为的中点.过点与平行的直线交射线于点.‎ ‎(1)当,,三点在同一直线上时,求:与之间的数量关系; ‎ ‎(2)将绕点旋转,当,,三点在同一直线上时(如图2),求证:为等腰直角三角形; ‎ ‎(3)将绕点旋转到图3的位置时,(2)中的结论是否仍然成立?‎ ‎ ‎ 解析:(1)‎ ‎∵,∴‎ ‎∵点为的中点,∴‎ 又∵,∴‎ ‎∴ ‎ ‎(2)‎ ‎∵和均为等腰直角三角形 ‎∴,,‎ ‎∵,∴‎ ‎∵,∴‎ ‎∴‎ ‎∵,,三点在同一直线上 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵(已证),∴‎ ‎∵,∴‎ ‎∴‎ ‎∴,‎ ‎∴‎ ‎∴为等腰直角三角形 ‎(3)成立 ‎∵,∴‎ ‎∵,∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 又∵(已证),‎ ‎∴‎ ‎∴,‎ ‎∴‎ ‎∴为等腰直角三角形 ‎10.在四边形中,对角线、相交于点,设锐角,将按逆时针方向旋转得到(0°<旋转角<90°)连接、,与相交于点.‎ ‎(1)当四边形为矩形时,如图1.求证:. ‎ ‎(2)当四边形为平行四边形时,设,如图2.‎ ‎①猜想此时与有何关系;‎ ‎②探究与的数量关系以及与的大小关系.‎ 解析:‎ ‎(1)‎ 证明:在矩形中,‎ ‎∵,,,‎ ‎∴,‎ ‎∵由旋转得到,‎ ‎∴,,,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ 即,‎ ‎∴‎ ‎(2)‎ ‎①猜想:.‎ 证明:在平行四边形中,,,‎ ‎∵由旋转得到,‎ ‎∴,,,‎ ‎∴,‎ ‎,‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎②结论:,‎ 证明:∵,‎ ‎∴,即 ‎ 设与相交于点,∵,∴,‎ 在与中,又∵,‎ ‎∴,‎ 即 ‎11.如图所示,在中,,,.半径为的与射线相切,切点为,且.将顺时针旋转后得到,点、的对应点分别是点、.‎ ‎(1)画出旋转后的;‎ ‎(2)求出的直角边被截得的弦的长度;‎ ‎(3)判断的斜边所在的直线与的位置关系.‎ 解析:‎ ‎(1)‎ 如图 ‎(2)‎ 连接、,过作于 在中,∵,‎ ‎∴,∴‎ ‎∵,∴,∴‎ 在中,.‎ 故弦的长度为. ‎ ‎(3)与相切 ‎ 证明:‎ 过点作于,连接,,则且 在中,,∴‎ ‎∵,∴‎ ‎∴,∴‎ ‎(由或解求得,从而得亦可)‎ ‎∴与相切 ‎ ‎12.如图1,和是两张全等的三角形纸片,,,,点与边的中点重合,且点、、、在同一条直线上.如图2,将绕点顺时针旋转,旋转过程中边、分别交边于点、,设旋转角.‎ ‎(1)当________时,;‎ ‎(2)当线段、、之间满足关系时,求的大小;‎ ‎(3)若,,,求与的函数关系式.‎ 解析:(1)连接OA 为的中点, ‎ ‎ ‎ 在和中 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 且 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(2)‎ 作点关于的对称点,连接、、、‎ 则,,‎ ‎∵是斜边的中点,∴‎ ‎∴,∴‎ ‎∵,∴‎ ‎,‎ ‎∴,‎ 又,,∴,‎ ‎∴,‎ ‎∵,∴,‎ ‎∴,∴,∴,‎ ‎∴,∴,‎ ‎∴,即,‎ ‎(3)‎ 过作于,过作于,交于,‎ 则 ‎∵是的中点,∴,,‎ 在中,,,∴,,‎ ‎∴,,‎ ‎∵,∴,‎ ‎∵,∴,‎ ‎∵,,‎ ‎∴,∴,‎ ‎∴,即 ,∴‎ ‎∵,‎ ‎∴,∴‎ 即 ,∴ ‎ ‎∵,∴‎ ‎∴ ‎ ‎∵ ,∴ ‎ ‎∴‎ ‎13.如图9,若和为等边三角形,,分别,的中点,易证:,是等边三角形.‎ ‎(1)当把绕点旋转到图10的位置时,与的数量关系? ‎ ‎(2)当绕点旋转到图11的位置时,请证明是等边三角形?并求出当时,与及的面积之比. ‎ 解析:(1).理由如下:  ‎ ‎ ∵和为等边三角形 ‎ ‎∴,,‎ ‎ ∵,‎ ‎, ‎ ‎∴, ∴‎ ‎ ∴‎ ‎ (2)是等边三角形.理由如下:‎ ‎ ∵, ∴.‎ ‎ ∵、分别是、的中点,‎ ‎ ∴‎ ‎ ∵,, ∴.‎ ‎ ∴,.‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴是等边三角形.‎ ‎ 设,则.‎ ‎ ∵,, ∴.‎ ‎ ∵为等边三角形, ∴, ,‎ ‎ ∴ , ∴.‎ ‎ ∴在中,, , ∴.‎ ‎∵为中点, ‎ ‎∴,∴.‎ ‎∵,,为等边三角形,且 ‎ ‎∴‎ 解法二:是等边三角形.理由如下:‎ ‎∵,、分别是、的中点,∴,.‎ ‎∵,∴,∴ ,‎ ‎∴‎ ‎∴是等边三角形 设,则,‎ 易证,∴,‎ ‎∴ ∴‎ ‎∵,,为等边三角形 ‎∴.‎ ‎14.如图1,,,.绕着边的中点旋转,,分别交线段于点,.‎ ‎(1)观察:‎ ‎①如图2、图3,当或时, ______(填“大于”,“小于”或“等于”);②如图4,当 时, ______(填“大于”,“小于”或“等于”);(2)猜想:如图1,当时, _____;(填“大于”,“小于”或“等于”); ‎ ‎(3)如果,请直接写出的度数:____;‎ 的值_为______‎ 解析:‎ ‎(1)①在中,是的中点,‎ ‎∴,‎ 又∵,‎ ‎∴,‎ 又∵,或时,‎ ‎∴,‎ ‎∴在中,,即(等腰三角形底边上的垂线与中线重合),‎ ‎∵,或,‎ ‎∴;(2分)‎ ‎②由①,得 ‎,,‎ 又∵,,,‎ ‎∴,‎ ‎∴,,‎ ‎∴,‎ ‎∴在中, (两边之和大于第三边).‎ ‎(2)‎ 证明:‎ 作点关于的对称点,‎ 连接,,,‎ 则,,,‎ ‎∵是的中点,∴,‎ ‎∴.,‎ ‎∴,‎ ‎∵,∴,‎ ‎.‎ ‎∴,‎ ‎∵,‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ ‎∵,∴.(1分)‎ ‎(3)由(2),得,,‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ 又∵点关于的对称点,‎ ‎∴,,‎ 又由(1),得,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ 在中,,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴‎ 综上可得:的度数为,的值为.‎
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