2010年湖北省襄樊市中考数学试卷

2010年湖北省襄樊市中考数学试卷

一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）‎ ‎1、（2010•襄樊）某市2010年元旦这天的最高气温是8℃，最低气温是﹣2℃，则这天的最高气温比最低气温高（　　）‎ ‎ A、10℃ B、﹣10℃‎ ‎ C、6℃ D、﹣6℃‎ 考点：有理数的减法。‎ 专题：应用题。‎ 分析：用最高气温减去最低气温，再根据有理数的减法运算法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”计算求解．‎ 解答：解：8﹣（﹣2）=8+2=10℃．‎ 故选A．‎ 点评：本题利用有理数的减法运算法则求解．‎ ‎2、（2010•襄樊）下列说法错误的是（　　）‎ ‎ A、‎16‎的平方根是±2 B、‎2‎是无理数 ‎ C、‎3‎‎﹣27‎是有理数 D、‎2‎‎2‎是分数 考点：实数。‎ 分析：A、根据算术平方根、平方根的定义即可判定；‎ B、根据无理数的定义即可判定；‎ C、根据无理数和立方根的定义即可判定；‎ D、根据开平方和有理数、无理数和分数的定义即可判定．‎ 解答：解：A、‎16‎的平方根是±2，故选项正确；‎ B、‎2‎是无理数，故选项正确；‎ C、‎3‎‎﹣27‎=﹣3是有理数，故选项正确；‎ D、‎2‎‎2‎是分数，它是无理数，故选项错误．‎ 故选D．‎ 点评：本题主要考查了实数的有关概念及其分类，其中开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．‎ ‎3、（2010•襄樊）如图，已知直线AB∥CD，BE平分∠ABC，交CD于D，∠CDE=150°，则∠C的度数为（　　）‎ ‎ A、150° B、130°‎ ‎ C、120° D、100°‎ 考点：平行线的性质；角平分线的定义。‎ 专题：计算题。‎ 分析：先根据平行线及角平分线的性质求出∠CDB=∠CBD，再根据平角的性质求出∠CDB的度数，再根据平行线的性质求出∠C的度数即可．‎ 解答：解：∵直线AB∥CD，∴∠CDB=∠ABD，‎ ‎∵∠CDB=180°﹣∠CDE=30°，‎ ‎∴∠ABD=30°，‎ ‎∵BE平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，‎ ‎∴∠ABC=∠CBD+∠ABD=60°，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠C=180°﹣∠ABC=180°﹣60°=120°．‎ 故选C．‎ 点评：此题比较简单，考查的是平行线及角平分线的性质，比较简单．‎ ‎4、（2010•襄樊）我国是世界上严重缺水的国家之一，目前我国年可利用的淡水资源总量为27500亿m3，人均占有淡水量居全世界第110位，因此我们要节约用水27500亿m3这个用科学记数法表示并保留两个有效数字为（　　）‎ ‎ A、2.75×1012m3 B、2.7×1010m3‎ ‎ C、2.8×1010m3 D、2.8×1012m3‎ 考点：科学记数法与有效数字。‎ 专题：应用题。‎ 分析：有效数字是从左边第一个不是0的数字起后面所有的数字都是有效数字，用科学记数法表示的数a×10n的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．‎ 解答：解：27500亿米3=2750000000000≈2.8×1012米3．‎ 故选D．‎ 点评：此题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．‎ ‎5、（2010•襄樊）下列命题中，真命题有（　　）‎ ‎（1）邻补角的平分线互相垂直（2）对角线互相垂直平分的四边形是正方形 ‎（3）四边形的外角和等于360° （4）矩形的两条对角线相等 ‎ A、1个 B、2个 ‎ C、3个 D、4个 考点：命题与定理。‎ 分析：分析是否为真命题，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例排除不正确选项，从而得出正确选项．‎ 解答：解：（1）由邻补角及角平分线的性质知正确；‎ ‎（2）对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故错误；‎ ‎（3）由多边形的外角和定理知正确；‎ ‎（4）由矩形的性质知正确．‎ 所以有三个正确．‎ 故选C．‎ 点评：此题综合考查邻补角及角平分线的性质，菱形的判定，多边形的外角和定理及矩形的性质．‎ ‎6、（2010•襄樊）甲，乙两班举行电脑汉字输入速度比赛，参加学生每分钟输入汉字的个数经统计计算后填人下表：‎ 某同学根据上表分析得出如下结论：①甲，乙两班学生成绩的平均水平相同；②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字数≥150个为优秀）；③甲班的成绩的波动情况比乙班的成绩的波动大．上述结论正确的是（　　）‎ ‎ A、①②③ B、①②‎ ‎ C、①③ D、②③‎ 考点：统计量的选择；算术平均数；中位数；方差。‎ 专题：图表型。‎ 分析：平均水平的判断主要分析平均数；优秀人数的判断从中位数不同可以得到；波动大小比较方差的大小．‎ 解答：解：从表中可知，平均字数都是135，（1）正确；‎ 甲班的中位数是149，乙班的中位数是151，比甲的多，而平均数都要为135，说明乙的优秀人数多于甲班的，（2）正确；‎ 甲班的方差大于乙班的，又说明甲班的波动情况大，所以（3）也正确．‎ 故选A．‎ 点评：本题考查了平均数，中位数，方差的意义．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．‎ ‎7、（2010•襄樊）下面四个几何体中，主视图与俯视图不同的共有（　　）‎ ‎ A、1个 B、2个 ‎ C、3个 D、4个 考点：简单几何体的三视图。‎ 分析：主视图是从正面看到的图形，俯视图是从物体的上面看到的图形，可根据各几何体的特点进行判断．‎ 解答：解：圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，它的主视图与俯视图不同；‎ 圆锥的主视图是等腰三角形，俯视图式圆，它的主视图与俯视图不同；‎ 球体的三视图均为圆，故它的主视图和俯视图相同；‎ 正方体的三视图均为正方形，故它的主视图和俯视图也相同；‎ 所以主视图与俯视图不同的是圆柱和圆锥，故选B．‎ 点评：本题考查了几何体的三种视图，掌握定义及各几何体的特点是关键．‎ ‎8、（2010•襄樊）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（　　）‎ ‎ A、4个 B、3个 ‎ C、2个 D、1个 考点：中心对称图形；轴对称图形。‎ 分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．‎ 解答：解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形；‎ B、是轴对称图形，不是中心对称图形；‎ C、是轴对称图形，也是中心对称图形；‎ D、是轴对称图形，也是中心对称图形．‎ 故选B．‎ 点评：掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．‎ ‎9、（2010•襄樊）菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（　　）‎ ‎ A、3：1 B、4：1‎ ‎ C、5：1 D、6：1‎ 考点：菱形的性质；含30度角的直角三角形。‎ 分析：根据已知可求得菱形的边长，再根据三角函数可求得其一个内角从而得到另一个内角即可得到该菱形两邻角度数比．‎ 解答：解：根据已知可得到菱形的边长为2cm，从而可得到高所对的角为30°，相邻的角为150°，则该菱形两邻角度数比为5：1，故选C．‎ 点评：此题主要考查的知识点：（1）直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半的逆定理；（2）菱形的两个邻角互补．‎ ‎10、（2010•襄樊）计算‎32‎×‎1‎‎2‎+‎2‎‎•‎‎5‎的结果估计在（　　）‎ ‎ A、6至7之间 B、7至8之间 ‎ C、8至9之间 D、9至10之间 考点：实数的运算；估算无理数的大小。‎ 分析：首先把二次根式的化简，然后估算无理数的大小即可解决问题．‎ 解答：解：原式=4‎2‎×‎2‎‎2‎+‎10‎=4+‎10‎．‎ ‎∵9＜10＜16，‎ ‎∴‎9‎＜‎10‎＜‎16‎，‎ ‎∴3＜‎10‎＜4，‎ ‎∴7＜4+‎10‎＜8．‎ 故选B．‎ 点评：此题主要考查了实数的计算，解决此题的关键是会灵活计算二次根式之间的运算和估算无理数的方法．‎ ‎11、（2010•襄樊）圆的半径为13cm，两弦：AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则两弦AB、CD的距离是（　　）‎ ‎ A、7cm B、17cm ‎ C、12cm D、7cm或17cm 考点：垂径定理；勾股定理。‎ 分析：此题可以分两种情况，即两弦在圆心的一侧时和在两侧时，所以此题的答案有两个．‎ 解答：解：第一种情况：两弦在圆心的一侧时，已知CD=10cm，‎ ‎∴DE=5．‎ ‎∵OD=13，‎ ‎∴利用勾股定理可得：OE=12．‎ 同理可求OF=5，‎ ‎∴EF=7．‎ 第二种情况：只是EF=OE+OF=17．其它和第一种一样．‎ 故选D．‎ 点评：本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确图时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．‎ ‎12、（2010•襄樊）已知：一等腰三角形的两边长x，y满足方程组‎&2x﹣y=3‎‎&3x+2y=8‎，则此等腰三角形的周长为（　　）‎ ‎ A、5 B、4‎ ‎ C、3 D、5或4‎ 考点：等腰三角形的性质；解二元一次方程组；三角形三边关系。‎ 专题：分类讨论。‎ 分析：求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长．首先求出方程组的解，再根据三角形三边关系定理列出不等式，确定是否符合题意．‎ 解答：解：解方程组‎&2x﹣y=3‎‎&3x+2y=8‎得，‎&x=2‎‎&y=1‎．‎ 当腰为1，2为底时，2﹣1＜2＜2+1，能构成直角三角形，周长为2+2+1=5；‎ 当腰为2，1为底时，2﹣1=1，不能构成直角三角形．‎ 故选A．‎ 点评：本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．‎ 二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）‎ ‎13、（2010•襄樊）计算：‎16﹣‎a‎2‎a‎2‎‎+8a+16‎‎÷‎a﹣4‎‎2a+8‎= ．‎ 考点：分式的混合运算。‎ 专题：计算题。‎ 分析：首先将各分式的分子和分母分解因式，然后再将除法统一为乘法运算，再约分、化简即可．‎ 解答：解：原式=‎（4﹣a）（4+a）‎‎（a+4）‎‎2‎×‎2（a+4）‎a﹣4‎=﹣2．‎ 点评：本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．‎ ‎14、（2010•襄樊）如果鸟卵孵化后，雏鸟为雌为雄的概率相同．如果2枚卵全部成功孵化，则2只雏鸟都为雄鸟的概率是 ．‎ 考点：列表法与树状图法。‎ 专题：操作型。‎ 分析：用树状图法列举出所有情况，看所求的情况与总情况的比值即可得答案．‎ 解答：解：根据题意，可得树状图：‎ 分析可得：2只雏鸟都为雄鸟的概率是‎1‎‎4‎；‎ 故答案为‎1‎‎4‎．‎ 点评：树状图法适用于两步或两部以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎15、（2010•襄樊）将抛物线y=﹣‎1‎‎2‎x‎2‎向上平移2个单位，再向右平移1个单位后，得到的抛物线的解析式为 ．‎ 考点：二次函数图象与几何变换。‎ 分析：根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．‎ 解答：解：函数y=﹣‎1‎‎2‎x‎2‎向上平移2个单位，得：y=﹣‎1‎‎2‎x2+2；‎ 再向右平移1个单位，得：y=﹣‎1‎‎2‎（x﹣1）2+2．‎ 点评：主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．‎ ‎16、（2010•襄樊）一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数是 度．‎ 考点：圆锥的计算。‎ 分析：根据圆锥的侧面积是底面积的2倍可得到圆锥底面半径和母线长的关系，利用圆锥侧面展开图的弧长=底面周长即可得到该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数．‎ 解答：解：设母线长为R，底面半径为r，‎ ‎∴底面周长=2πr，底面面积=πr2，侧面面积=πrR，‎ ‎∵侧面积是底面积的2倍，‎ ‎∴R=2r，‎ 设圆心角为n，有nπR‎180‎=2πr=πR，‎ ‎∴n=180°．‎ 点评：本题利用了扇形面积公式，弧长公式，圆的周长公式求解．‎ ‎17、（2010•襄樊）在△ABC中，AB=8，∠ABC=30°，AC=5，则BC= ．‎ 考点：解直角三角形。‎ 专题：分类讨论。‎ 分析：过A作BC的垂线，设垂足为D．首先在Rt△ABD中，求出AD的长，进而可在两个直角三角形中求出CD、BD的长；由于∠C可能是锐角也可能是钝角，因此要分类求解．‎ 解答：解：如图，过A作AD⊥BC（或BC的延长线）于D点．‎ ‎（1）如图①，Rt△ABD中，AB=8，∠ABC=30°，‎ ‎∴AD=4，BD=4‎3‎．‎ 在Rt△ACD中，AC=5，AD=4，‎ 由勾股定理，得：CD=AC‎2‎‎﹣‎AD‎2‎=3．‎ ‎∴BC=CD+BD=4‎3‎+3；‎ ‎（2）如图②，同（1）可求得：‎ CD=3，BD=4‎3‎．‎ 则BC=BD﹣CD=4‎3‎﹣3．‎ 故BC的长为4‎3‎+3或4‎3‎﹣3．‎ 点评：此题主要考查了解直角三角形中三角形函数定义、勾股定理的应用及分类讨论的思想．‎ 在两个直角三角形有公共边时，先求出这条公共边是解答此类题的一般思路．‎ 三、解答题（共9小题，满分69分）‎ ‎18、（2010•襄樊）已知正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=kx的图象有一个交点的纵坐标是2，‎ ‎（1）求反比例函数的解析式；‎ ‎（2）当﹣3≤x≤﹣1时，求反比例函数y的取值范围．‎ 考点：反比例函数与一次函数的交点问题。‎ 专题：计算题。‎ 分析：（1）将两函数交点的纵坐标代入解析式，求出该点的坐标，将此坐标代入反比例函数y=kx，即可求出k的值，从而得到解析式．‎ ‎（2）求出x=﹣3，x=﹣1时y的取值，再根据反比例函数的增减性求出y的取值范围．‎ 解答：解：（1）由题意，得2x=2，‎ ‎∴x=1，（1分）‎ 将x=1，y=2，代入y=kx中，得：k=1×2=2．（2分）‎ ‎∴所求反比例函数的解析式为y=‎2‎x．（3分）‎ ‎（2）当x=﹣3时，y=﹣‎2‎‎3‎；当x=﹣1时，y=﹣2．（4分）‎ ‎∵2＞0，∴反比例函数在每个象限内y随x的增大而减少．‎ ‎∴当﹣3≤x≤﹣1时，反比例函数y的取值范围为﹣2≤y≤﹣‎2‎‎3‎．（5分）‎ 点评：此题考查了三个方面：（1）函数图象上点的坐标特征；（2）用待定系数法求函数解析式；（3）反比例函数的增减性．‎ ‎19、（2010•襄樊）2010年4月14日，青海玉树发生了7.1级地震．我市某中学展开了“情系玉树，大爱无疆”爱心捐款活动．团干部小华对九（1）班的捐款情况进行了统计，并把统计的结果制作了一个不安全的频数分布直方图和扇形统计图（如图）．已知学生捐款最少的是5元，最多的不足25元．‎ ‎（1）请补全频数分布直方图；‎ ‎（2）九（1）班学生捐款的中位数所在的组别范围是 ；‎ ‎（3）九（1）班学生小明同学捐款24元，班主任拟在捐款最多的20﹣25元这组同学中随机选取一人代表班级在学校组织的献爱心活动大会上发言，小明同学被选中的概率是 ．‎ 考点：频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数；概率公式。‎ 专题：图表型。‎ 分析：（1）先求九（1）班的总人数，再分别算出捐款数在20﹣25之间的人数和捐款数在10﹣15之间的人数，补全条形图；‎ ‎（2）先计算出众数，再找众数所在的范围；‎ ‎（3）计算出20﹣25这个范围的人数，再求概率．‎ 解答：解（1）5÷10%=50（人），‎ 捐款数在20﹣25之间的人数：50×20%=10（人），‎ 捐款数在10﹣15之间的人数：50﹣5﹣10﹣20=15（人），（2分）‎ ‎（2）将捐款数额从小到大排列，第25和26位数的平均数是中位数，这两个数处在第三小组，则九（1）班学生捐款的中位数所在的组别范围是15﹣20，（4分）‎ ‎（3）小明同学被选中的概率是=‎1‎‎10‎=0.1．（6分）‎ 点评：‎ 本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．部分数目=总体数目乘以相应概率．一组数据按顺序排列后，中间的那两个数的平均数或中间的那个数叫做中位数 ‎20、（2010•襄樊）已知[（x2+y2）﹣（x﹣y）2+2y（x﹣y）]÷4y=1，求‎4x‎4x‎2‎﹣‎y‎2‎﹣‎1‎‎2x+y的值．‎ 考点：分式的加减法；整式的混合运算。‎ 专题：计算题。‎ 分析：先对所给的等式化简，可求出2x﹣y的值，然后化简所求代数式，再把2x﹣y的值整体代入求值即可．‎ 解答：解：[（x2+y2）﹣（x﹣y）2+2y（x﹣y）]÷4y ‎=（x2+y2﹣x2+2xy﹣y2+2xy﹣2y2）÷4y ‎=（4xy﹣2y2）÷4y ‎=x﹣‎1‎‎2‎y ‎∵x﹣‎1‎‎2‎y=1，‎ ‎∴2x﹣y=2，‎ ‎∴‎4x‎4x‎2‎﹣‎y‎2‎﹣‎‎1‎‎2+y ‎=‎4x‎（2x+y）（2x﹣y）‎﹣‎‎1‎‎2x+y ‎=‎‎4x﹣2x+y‎（2x+y）（2x﹣y）‎ ‎=‎‎2x+y‎（2x+y）（2x﹣y）‎ ‎=‎‎1‎‎2x﹣y ‎=‎1‎‎2‎．‎ 点评：本题利用了合并同类项、以及分式的加减运算法则、求代数式的值．‎ ‎21、（2010•襄樊）如图，是上海世博园内的一个矩形花园，花园长为100米，宽为50米，在它的四角各建有一个同样大小的正方形观光休息亭，四周建有与观光休息亭等宽的观光大道，其余部分（图中阴影部分）种植的是不同花草．已知种植花草部分的面积为3600米2，那么矩形花园各脚处的正方形观光休息亭的边长为多少米？‎ 考点：一元二次方程的应用。‎ 专题：几何图形问题。‎ 分析：可设正方形观光休息亭的边长为x米，根据长方形的面积公式列出一元二次方程求解．‎ 解答：解：设正方形观光休息亭的边长为x米．‎ 依题意，有（100﹣2x）（50﹣2x）=3600（3分）‎ 整理，得x2﹣75x+350=0（4分）‎ 解得x1=5，x2=70（5分）‎ ‎∵x=70＞50，不合题意，舍去，∴x=5（6分）‎ 答：矩形花园各角处的正方形观光休息亭的边长为5米（7分）‎ 点评：判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．注意本题表示出种植花草部分的长和宽是解题的关键．‎ ‎22、（2010•襄樊）如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋大楼顶部B的俯角为30°，看这栋大楼底部C的俯角为60°．热气球A的高度为240米，求这栋大楼的高度．‎ 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题。‎ 分析：过A作BC的垂线，设垂足为D．在Rt△ACD中，利用∠CAD的正切函数求出邻边AD的长；进而可在Rt△ABD中，利用已知角的三角函数求出BD的长；由BC=CD﹣BD即可求出楼的高度．‎ 解答：解：作AD⊥CB于D点．‎ 则∠CDA=90°，∠CAD=60°，∠BAD=30°，CD=240米．（1分）‎ 在Rt△ACD中，tan∠CAD=CDAD，‎ ‎∴AD=CDtan60°‎=‎240‎‎3‎=80‎3‎． （3分）‎ 在Rt△ABD中，tan∠BAD=BDAD，‎ ‎∴BD=AD•tan30°=80‎3‎×‎3‎‎3‎=80． （5分）‎ ‎∴BD=CD﹣BD=240﹣80=160．‎ 答：这栋大流的高为160米． （6分）‎ 点评：本题考查俯角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．‎ ‎23、（2010•襄樊）如图，点E，C在BF上，BE=FC，∠ABC=∠DEF=45°，∠A=∠D=90°．‎ ‎（1）求证：AB=DE；‎ ‎（2）若AC交DE于M，且AB=‎3‎，ME=‎2‎，将线段CE绕点C顺时针旋转，使点E旋转到AB上的G处，求旋转角∠ECG的度数．‎ 考点：旋转的性质；直角三角形全等的判定；锐角三角函数的定义；解直角三角形。‎ 专题：计算题；证明题。‎ 分析：（1）通过证明△ABC≌△DEF即可得出AB=DE．‎ ‎（2）要求角的度数就要解直角三角形，根据特殊角的三角函数值来计算．‎ 解答：证明：（1）∵BE=FC，‎ ‎∴BC=EF，‎ 又∵∠ABC=∠DEF，∠A=∠D，‎ ‎∴△ABC≌△DEF，（1分）‎ ‎∴AB=DE．（2分）‎ ‎（2）∵∠DEF=∠B=45°，‎ ‎∴DE∥AB，‎ ‎∴∠CME=∠A=90°，（3分）‎ ‎∴AC=AB=‎3‎，MC=ME=‎2‎，（4分）‎ ‎∴CG=CE=2，（5分）‎ 在Rt△CAG中，cos∠ACG=ACCG=‎3‎‎2‎，‎ ‎∴∠ACG=30°，（6分）‎ ‎∴∠ECG=∠ACB﹣∠ACG=45°﹣30°=15°．（7分）‎ 点评：本题综合考查了旋转变换作图与三角形全等和解直角三角形的综合应用．‎ ‎24、（2010•襄樊）为了扶持农民发展农业生产，国家对购买农机的农户给予农机售价13%的政府补贴．某市农机公司筹集到资金130万元，用于一次性购进A，B两种型号的收割机30台．根据市场需求，这些收割机可以全部销售，全部销售后利润不少于15万元．其中，收割机的进价和售价见下表：‎ 设公司计划购进A型收割机x台，收割机全部销售后公司获得的利润为y万元．‎ ‎（1）试写出y与x的函数关系式；‎ ‎（2）市农机公司有哪几种购进收割机的方案可供选择？‎ ‎（3）选择哪种购进收割机的方案，农机公司获利最大？最大利润是多少？此种情况下，购买这30台收割机的所有农户获得的政府补贴总额W为多少万元？‎ 考点：一次函数的应用；一元一次不等式组的应用。‎ 专题：方案型；图表型。‎ 分析：（1）y=（A型收割机售价﹣A型收割机进价）x+（B型收割机售价﹣B型收割机进价）×（30﹣x）；‎ ‎（2）购买收割机总台数为30台，用于购买收割机的总资金为130万元，总的销售后利润不少于15万元．可得到两个一元一次不等式．‎ ‎（3）利用y与x的函数关系式y=0.3x+12来求最大利润．‎ 解答：解：（1）y=（6﹣5.3）x+（4﹣3.6）（30﹣x）=0.3x+12（2分）‎ ‎（2）依题意，有‎&5.3x+（30﹣x）×3.6≤130‎‎&0.3x+12≥15‎（4分）‎ 即‎&x≤12‎‎16‎‎17‎‎&x≥10‎∴‎10≤x≤12‎‎16‎‎17‎（5分）‎ ‎∵x为整数，∴x=10，11，12（6分）‎ 即农机公司有三种购进收割机的方案可供选择：‎ 方案1：购进A型收割机10台，购进B型收割机20台；‎ 方案2：购A型收割机11台，购B型收割机19台；‎ 方案3：购进A型收割机12台，购B型收割机18台．（7分）‎ ‎（3）∵0.3＞0∴一次函数y随x的增大而增大．（8分）‎ 即当x=12时，y有最大值，y最大值=0.3×12+12=15.6（万元）（9分）‎ 此时，W=6×13%×12+4×13%×18=18.72（万元）（10分）‎ 点评：解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义．‎ ‎25、（2010•襄樊）如图，已知：AC是⊙O的直径，PA⊥AC，连接OP，弦CB∥OP，直线PB交直线AC于D，BD=2PA．‎ ‎（1）证明：直线PB是⊙O的切线；‎ ‎（2）探究线段PO与线段BC之间的数量关系，并加以证明；‎ ‎（3）求sin∠OPA的值．‎ 考点：锐角三角函数的定义；全等三角形的判定与性质；勾股定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质。‎ 专题：证明题；探究型。‎ 分析：（1）连接OB．证OB⊥PB即可．通过证明△POB≌△POA得证．‎ ‎（2）根据切线长定理PA=PB．BD=2PA，则BD=2PB，即BD：PD=2：3．‎ 根据BC∥OP可得△DBC∽△DPO，从而得出线段PO与线段BC之间的数量关系．‎ ‎（3）根据三角函数的定义即求半径与OP的比值．设OA=x，PA=y．则OD=3x，OB=x，BD=2y．在△BOD中可求y与x的关系，进而在△POB中求OP与x的关系，从而求比值得解．‎ 解答：（1）连接OB．‎ ‎∵BC∥OP，‎ ‎∴∠BCO=∠POA，∠CBO=∠POB． （1分）‎ 又∵PO=PO，OB=OA，‎ ‎∴△POB≌△POA． （3分）‎ ‎∴∠PBO=∠PAO=90°．‎ ‎∴PB是⊙O的切线． （4分）‎ ‎（2）2PO=3BC．（写PO=‎3‎‎2‎BC亦可）‎ 证明：∵△POB≌△POA，∴PB=PA． （5分）‎ ‎∵BD=2PA，∴BD=2PB．‎ ‎∵BC∥PO，∴△DBC∽△DPO． （6分）‎ ‎∴BCPO‎=BDPD=‎‎2‎‎3‎，‎ ‎∴2PO=3BC． （7分）‎ ‎（3）∵△DBC∽△DPO，‎ ‎∴DCDO‎=BDPD=‎‎2‎‎3‎，‎ 即DC=‎2‎‎3‎OD．‎ ‎∴DC=2OC． （8分）‎ 设OA=x，PA=y．则OD=3x，OB=x，BD=2y．‎ 在Rt△OBD中，由勾股定理得（3x）2=x2+（2y）2即2x2=y2．‎ ‎∵x＞0，y＞0，‎ ‎∴y=‎2‎x，OP=x‎2‎‎+‎y‎2‎=‎3‎x． （9分）‎ ‎∴sin∠OPA=OAOP=x‎3‎x=‎1‎‎3‎=‎3‎‎3‎． （10分）‎ 点评：此题考查了切线的判定、切线长定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理、三角函数等知识点，综合性强，难度大．‎ ‎26、（2010•襄樊）如图，四边形ABCO是平行四边形，AB=4，OB=2，抛物线过A、B、C三点，与x轴交于另一点D．一动点P以每秒1个单位长度的速度从B点出发沿BA向点A运动，运动到A停止，同时一动点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度沿DC向点C运动，与点P同时停止．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若抛物线的对称轴与AB交于点E，与x轴交于点F，当点P运动时间t为何值时，四边形POQE是等腰梯形？‎ ‎（3）当t为何值时，以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似？‎ 考点：二次函数综合题。‎ 专题：压轴题；分类讨论。‎ 分析：（1）根据AB、OB的长，即可得到A、B点的坐标；由于四边形ABCO是平行四边形，则AB=OC，由此可求出OC的长，即可得到C点的坐标，进而可用待定系数法求出抛物线的解析式；‎ ‎（2）根据抛物线的解析式可求出D点的坐标及抛物线的对称轴方程，进而可求出E、F的坐标；若四边形POQE是等腰梯形，则OP=EQ，而OB=EF，可得BP=FQ，根据这个等量关系即可求出t的值；‎ ‎（3）由于∠PBO、∠QOB都是直角，对应相等，若以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似，则有两种情况：‎ ‎①P、Q在y轴同侧，②P、Q在y轴两侧；‎ 每种情况又分为△PBO∽△QOB（此时两者全等），△PBO∽△BOQ两种情况；根据不同的相似三角形所得到的不同的比例线段即可求出t的值．‎ 解答：解：（1）∵四边形ABCO是平行四边形，‎ ‎∴OC=AB=4‎ ‎∴A（4，2），B（0，2），C（﹣4，0）；（1分）‎ ‎∵抛物线y=ax2+bx+c过点B，‎ ‎∴c=2（2分）‎ 由题意，有‎&16a﹣4b+2=0‎‎&16a+4b+2=2‎ 解得‎&a=﹣‎‎1‎‎16‎‎&b=‎‎1‎‎4‎（3分）‎ ‎∴所求抛物线的解析式为y=﹣‎1‎‎16‎x‎2‎+‎1‎‎4‎x+2；（4分）‎ ‎（2）将抛物线的解析式配方，得y=﹣‎‎1‎‎16‎‎（x﹣2）‎‎2‎‎+2‎‎1‎‎4‎ ‎∴抛物线的对称轴为x=2；（5分）‎ ‎∴D（8，0），E（2，2），F（2，0）‎ 欲使四边形POQE为等腰梯形，则有OP=QE，即BP=FQ；‎ ‎∴t=6﹣3t，‎ 即t=‎3‎‎2‎；（7分）‎ ‎（3）欲使以点P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似，‎ ‎∵∠PBO=∠BOQ=90°，‎ ‎∴有BPOB=OQBO或BPOB‎=‎BOOQ，‎ 即PB=OQ或OB2=PB•QO；‎ ‎①若P、Q在y轴的同侧；‎ 当PB=OQ时，t=8﹣3t，‎ ‎∴t=2．（8分）‎ 当OB2=PB•QO时，t（8﹣3t）=4，‎ 即3t2﹣8t+4=0，‎ 解得t=2，t=‎2‎‎3‎；‎ ‎②当P、Q在y轴的两侧；‎ 当PB=OQ时，Q、C重合，P、A重合，此时t=4；‎ 当OB2=PB•QO时，t（3t﹣8）=4，‎ 即3t2﹣8t﹣4=0，‎ 解得t=‎4±2‎‎7‎‎3‎；‎ ‎∵t=‎4﹣2‎‎7‎‎3‎＜0，故舍去；‎ ‎∴t=‎4+2‎‎7‎‎3‎；（11分）‎ ‎∴当t=2或t=‎2‎‎3‎或t=4或t=‎4+2‎‎7‎‎3‎秒时，以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似．（12分）‎ 点评：此题是二次函数的综合类试题，涉及到二次函数解析式的确定、等腰梯形的判定、相似三角形的判定和性质等重要知识点，在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．‎