2013年广东省茂名市中考数学试题（含答案）

2013年广东省茂名市中考数学试题（含答案）

广东省茂名市2013年中考数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的.）‎ ‎1．（3分）（2013•茂名）下列实数中，最小的数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎﹣3‎ B．‎ ‎3‎ C．‎ D．‎ ‎0‎ 考点：‎ 实数大小比较 分析：‎ 在数轴上表示出各数，再根据数轴的特点即可得出结论．‎ 解答：‎ 解：如图所示：‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查的是实数的大小比较，利用数形结合求解是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2013•茂名）下列食品商标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 中心对称图形；轴对称图形 分析：‎ 根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．‎ 解答：‎ 解：A、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；‎ B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；‎ C、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项错误；‎ D、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误．‎ 故选：A．‎ 点评：‎ 此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2013•茂名）下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ a（x+y）=ax+ay B．‎ x2﹣4x+4=x（x﹣4）+4‎ ‎　‎ C．‎ ‎10x2﹣5x=5x（2x﹣1）‎ D．‎ x2﹣16+6x=（x+4）（x﹣4）+6x 考点：‎ 因式分解的意义 分析：‎ 根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解．‎ 解答：‎ 解：A、是多项式乘法，故选项错误；‎ B、右边不是积的形式，x2﹣4x+4=（x﹣2）2，故选项错误；‎ C、提公因式法，故选项正确；‎ D、右边不是积的形式，故选项错误．‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 此题考查了因式分解的意义；这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2013•茂名）下列事件中为必然事件的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 打开电视机，正在播放茂名新闻 B．‎ 早晨的太阳从东方升起 ‎　‎ C．‎ 随机掷一枚硬币，落地后正面朝上 D．‎ 下雨后，天空出现彩虹 考点：‎ 随机事件 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．‎ 解答：‎ 解：A、打开电视机，正在播放茂名新闻，可能发生，也可能不发生，是随机事件，故本选项错误；‎ B、早晨的太阳从东方升起，是必然事件，故本选项正确；‎ C、随机掷一枚硬币，落地后可能正面朝上，也可能背面朝上，故本选项错误；‎ D、下雨后，天空出现彩虹，可能发生，也可能不发生，故本选项错误．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．[来源:Zxxk.Com]‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2013•茂名）如图，由两个相同的正方体和一个圆锥体组成一个立体图形，其俯视图是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 简单组合体的三视图 分析：‎ 找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．‎ 解答：‎ 解：从几何体的上面看：可以得到两个正方形，右边的正方形里面有一个内接圆，‎ 故选：D．‎ 点评：‎ 本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2013•茂名）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm（0.0000025m）的颗粒物，含有大量有毒、有害物质，也称可入肺颗粒物．将0.0000025用科学记数法表示为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎25×10﹣7‎ B．‎ ‎2.5×10﹣6‎ C．‎ ‎0.25×10﹣5‎ D．‎ ‎2.5×106‎ 考点：‎ 科学记数法—表示较小的数 分析：‎ 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．‎ 解答：‎ 解：0.0000025=2.5×10﹣6；‎ 故选：B．‎ 点评：‎ 本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2013•茂名）商店某天销售了13双运动鞋，其尺码统计如下表：‎ 尺码（单位：码）‎ ‎38‎ ‎39‎ ‎40‎ ‎41‎ ‎42‎ 数量（单位：双）‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎2‎ 则这13双运动鞋尺码的众数和中位数分别是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎39码、39码 B．‎ ‎39码、40码 C．‎ ‎40码、39码 D．‎ ‎40码、40码 考点：‎ 众数；中位数．‎ 分析：‎ 根据众数的定义由于39出现了5次，出现次数最多，所以可得到众数是39（码），13个数中最中间的数，即第7个数为39，所以中位数39（码）．‎ 解答：‎ 解：数字39出现了5次，出现次数最多，所以这13双运动鞋尺码的众数是39（码），‎ 由于第7个数为39，所以中位数39（码）．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．也考查了中位数．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2013•茂名）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=60°，AD=2，则AC的长是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2‎ B．‎ ‎4‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 矩形的性质；等边三角形的判定与性质．‎ 分析：‎ 根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC=OD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠OCD=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．‎ 解答：‎ 解：在矩形ABCD中，OC=OD，‎ ‎∴∠OCD=∠ODC，‎ ‎∵∠AOD=60°，‎ ‎∴∠OCD=∠AOD=×60°=30°，‎ 又∵∠ADC=90°，‎ ‎∴AC=2AD=2×2=4．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了矩形的性质，主要利用了矩形的对角线互相平分且相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）（2013•茂名）下列二次函数的图象，不能通过函数y=3x2的图象平移得到的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ y=3x2+2‎ B．‎ y=3（x﹣1）2‎ C．‎ y=3（x﹣1）2+2‎ D．‎ y=2x2‎ 考点：‎ 二次函数图象与几何变换．‎ 分析：‎ 根据平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小对各选项分析判断后利用排除法求解．‎ 解答：‎ 解：A、y=3x2的图象向上平移2个单位得到y=3x2+2，故本选项错误；‎ B、y=3x2的图象向右平移1个单位得到y=3（x﹣1）2，故本选项错误；‎ C、y=3x2的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位得到y=3（x﹣1）2+2，故本选项错误；‎ D、y=3x2的图象平移不能得到y=2x2，故本选项正确．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小的关键，理解二次项系数确定抛物线的形状．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2013•茂名）如图，小聪把一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，并测得∠1=25°，则∠2的度数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎15°‎ B．‎ ‎25°‎ C．‎ ‎35°‎ D．‎ ‎45°‎ 考点：‎ 平行线的性质．‎ 分析：‎ 先根据两直线平行，内错角相等求出∠3，再根据直角三角形的性质用∠2=60°﹣∠3代入数据进行计算即可得解．‎ 解答：‎ 解：∵直尺的两边互相平行，∠1=25°，‎ ‎∴∠3=∠1=25°，‎ ‎∴∠2=60°﹣∠3=60°﹣25°=35°．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了平行线的性质，三角板的知识，比较简单，熟记性质是解题的关键．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.）‎ ‎11．（3分）（2013•茂名）计算：3﹣2=　　．‎ 考点：‎ 二次根式的加减法 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 直接进行同类二次根式的合并即可得出答案．‎ 解答：‎ 解：原式=．‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 本题考查二次根式的减法运算，比较简单，注意计算时要细心．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）（2013•茂名）小李和小林练习射箭，射完10箭后两人的成绩如图所示，通常新手的成绩不太稳定，根据图中的信息，估计这两人中的新手是　小李　．‎ 考点：‎ 方差；折线统计图．‎ 分析：‎ 根据图中的信息找出波动性大的即可．‎ 解答：‎ 解：根据图中的信息可知，小李的成绩波动性大，‎ 则这两人中的新手是小李；‎ 故答案为：小李．‎ 点评：‎ 本题考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）（2013•茂名）如图，四条直径把两个同心圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在白色区域的概率是　　．‎ 考点：‎ 几何概率．‎ 分析：‎ 根据两个同心圆被均分成八等份，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，由此计算出白色区域的面积，利用几何概率的计算方法解答即可．‎ 解答：‎ 解：∵两个同心圆被等分成八等份，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，其中白色区域的面积占了其中的四等份，‎ ‎∴P（飞镖落在白色区域）==；‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）（2013•茂名）如图是李大妈跳舞用的扇子，这个扇形AOB的圆心角∠O=120°，半径OA=3，则弧AB的长度为　2π　（结果保留π）．‎ 考点：‎ 弧长的计算 分析：‎ 根据弧长公式是l=，代入就可以求出弧长．‎ 解答：‎ 解：∵这个扇形AOB的圆心角∠O=120°，半径OA=3，‎ ‎∴弧AB的长度为：=2π．‎ 故答案为：2π．‎ 点评：‎ 本题考查的是扇形的弧长公式的运用，正确记忆弧长公式是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）（2013•茂名）如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y=ax，②y=bx，③y=cx，将a，b，c从小到大排列并用“＜”连接为　b＞c＞a　．‎ 考点：‎ 正比例函数的图象 分析：‎ 根据直线所过象限可得a＜0，b＞0，c＞0，再根据直线陡的情况可判断出b＞c，进而得到答案．‎ 解答：‎ 解：根据三个函数图象所在象限可得a＜0，b＞0，c＞0，‎ 再根据直线越陡，|k|越大，则b＞c．‎ 则b＞c＞a，‎ 故答案为：b＞c＞a．‎ 点评：‎ 此题主要考查了正比例函数图象，关键是掌握：当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．同时注意直线越陡，则|k|越大 ‎　‎ 三、用心做一做（本大题共3小题，每小题7分，共21分.）‎ ‎16．（7分）（2013•茂名）先化简，后求值：a2•a4﹣a8÷a2+（a3）2，其中a=﹣1．‎ 考点：‎ 整式的混合运算—化简求值．‎ 分析：‎ 原式第一项利用同底数幂的乘法法则计算，第二项利用同底数幂的除法法则计算，最后一项利用幂的乘方运算法则计算，合并得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值．‎ 解答：‎ 解：原式=a6﹣a6+a6=a6，‎ 当a=﹣1时，原式=1．‎ 点评：‎ 此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，涉及的知识有：同底数幂的乘除法则，幂的乘方，以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎17．（7分）（2013•茂名）解分式方程：．‎ 考点：‎ 解分式方程 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．‎ 解答：‎ 解：去分母得：3x=4x﹣4，‎ 解得：x=4，‎ 经检验x=4是分式方程的解．‎ 点评：‎ 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．‎ ‎　‎ ‎18．（7分）（2013•茂名）在格纸上按以下要求作图，不用写作法：‎ ‎（1）作出“小旗子”向右平移6格后的图案；‎ ‎（2）作出“小旗子”绕O点按逆时针方向旋转90°后的图案．‎ 考点：‎ 利用旋转设计图案 分析：‎ ‎（1）将对应顶点向右平移6个单位即可得出答案；‎ ‎（2）将各对应点的坐标绕O逆时针旋转90°即可得出答案．‎ 解答：‎ 解；（1）如图所示：蓝色小旗子即为所求；‎ ‎（2）如图所示：黄色小旗子即为所求．‎ 点评：‎ 此题主要考查了图形的旋转变换与平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．‎ ‎　‎ 四、沉着冷静，缜密思考（本大题共2小题，每小题7分，共14分.）‎ ‎19．（7分）（2013•茂名）在某校举行的“中国学生营养日”活动中，设计了抽奖环节：在一只不透明的箱子中有3个球，其中2个红球，1个白球，它们除颜色外均相同．‎ ‎（1）随机摸出一个球，恰好是红球就能中奖，则中奖的概率是多少？‎ ‎（2）同时摸出两个球，都是红球 就能中特别奖，则中特别奖的概率是多少？（要求画树状图或列表求解）‎ 考点：‎ 列表法与树状图法；概率公式 专题：‎ 图表型．‎ 分析：‎ ‎（1）根据概率的意义解答即可；‎ ‎（2）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．‎ 解答：‎ 解：（1）∵2个红球，1个白球，‎ ‎∴中奖的概率为；‎ ‎（2）根据题意画出树状图如下：‎ 一共有6种情况，都是红球的有2种情况，‎ 所以，P（都是红球）==，‎ 即中特别奖的概率是．‎ 点评：‎ 本题考查了列表法与树状图法，概率的意义，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎　‎ ‎20．（7分）（2013•茂名）当前，“校园手机”现象已经受到社会广泛关注，某数学兴趣小组对“是否赞成中学生带手机进校园”的问题进行了社会调查．小文将调查数据作出如下不完整的整理：‎ 频数分布表 看法 频数 频率 赞成 ‎5‎ 无所谓 ‎0.1‎ 反对 ‎40‎ ‎0.8‎ ‎（1）请求出共调查了多少人；并把小文整理的图表补充完整；‎ ‎（2）小丽要将调查数据绘制成扇形统计图，则扇形图中“赞成”的圆心角是多少度？‎ 考点：‎ 频数（率）分布直方图；频数（率）分布表；扇形统计图[来源:Zxxk.Com]‎ 专题：‎ 图表型．‎ 分析：‎ ‎（1）首先用反对的频数除以反对的频率得到调查的总人数，然后求无所谓的人数和赞成的频率即可；‎ ‎（2）赞成的圆心角等于赞成的频率乘以360°即可；‎ 解答：‎ 解：（1）观察统计表知道：反对的频数为40，频率为0.8，‎ 故调查的人数为：40÷0.8=50人；‎ 无所谓的频数为：50﹣5﹣40=5人，‎ 赞成的频率为：1﹣0.1﹣0.8=0.1；‎ 看法 频数 频率 赞成 ‎5‎ ‎0.1‎ 无所谓 ‎5‎ ‎0.1‎ 反对 ‎40‎ ‎0.8[来源:Zxxk.Com]‎ 统计图为：‎ ‎（2）∵赞成的频率为：0.1，‎ ‎∴扇形图中“赞成”的圆心角是360°×0.1=36°；‎ 点评：‎ 本题考查的是条形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．‎ ‎　‎ 五、满怀信心，再接再厉（本大题共3小题，每小题8分，共24分.）‎ ‎21．（8分）（2013•茂名）如图，在▱ABCD中，点E是AB边的中点，DE与CB的延长线交于点F．‎ ‎（1）求证：△ADE≌△BFE；‎ ‎（2）若DF平分∠ADC，连接CE．试判断CE和DF的位置关系，并说明理由．‎ 考点：‎ 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质 分析：‎ ‎（1）由全等三角形的判定定理AAS证得结论；‎ ‎（2）由（1）中全等三角形的对应边相等推知点E是边DF的中点，∠1=∠2；根据角平分线的性质、等量代换以及等角对等边证得DC=FC，则由等腰三角形的“三合一”的性质推知CE⊥DF．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC．‎ 又∵点F在CB的延长线上，‎ ‎∴AD∥CF，‎ ‎∴∠1=∠2．‎ ‎∵点E是AB边的中点，‎ ‎∴AE=BE．‎ ‎∵在△ADE与△BFE中，‎ ‎，‎ ‎∴△ADE≌△BFE（AAS）；‎ ‎（2）解：CE⊥DF．理由如下：‎ 如图，连接CE．‎ 由（1）知，△ADE≌△BFE，‎ ‎∴DE=FE，即点E是DF的中点，∠1=∠2．‎ ‎∵DF平分∠ADC，‎ ‎∴∠1=∠3，‎ ‎∴∠3=∠2，‎ ‎∴CD=CF，‎ ‎∴CE⊥DF．‎ 点评：‎ 本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边、对顶角以及公共角．‎ ‎　‎ ‎22．（8分）（2013•茂名）如图，反比例函数的图象与一次函数y=kx+b的图象相交于两点A（m，3）和B（﹣3，n）．‎ ‎（1）求一次函数的表达式；‎ ‎（2）观察图象，直接写出使反比例函数值大于一次函数值的自变量x的取值范围．‎ 考点：‎ 反比例函数与一次函数的交点问题 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ ‎（1）将A与B坐标分别代入反比例解析式求出m与n的值，确定出A与B坐标，再将两点代入一次函数解析式中求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式；‎ ‎（2）由A与B的横坐标，利用函数图象即可求出满足题意x的范围．‎ 解答：‎ 解：（1）将A（m，3），B（﹣3，n）分别代入反比例解析式得：3=，n=，‎ 解得：m=2，n=﹣2，‎ ‎∴A（2，3），B（﹣3，﹣2），‎ 将A与B代入一次函数解析式得：，‎ 解得：，‎ 则一次函数解析式为y=x+1；‎ ‎（2）∵A（2，3），B（﹣3，﹣2），‎ ‎∴由函数图象得：反比例函数值大于一次函数值的自变量x的取值范围为x＜﹣3或0＜x＜2．‎ 点评：‎ 此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，熟练掌握数形结合思想是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎23．（8分）（2013•茂名）在信宜市某“三华李”种植基地有A、B两个品种的树苗出售，已知A种比B种每株多2元，买1株A种树苗和2株B种树苗共需20元．‎ ‎（1）问A、B两种树苗每株分别是多少元？‎ ‎（2）为扩大种植，某农户准备购买A、B两种树苗共360株，且A种树苗数量不少于B种数量的一半，请求出费用最省的购买方案．‎ 考点：‎ 二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．3718684‎ 分析：‎ ‎（1）设A种树苗每株x元，B中树苗每株y元，根据条件建立方程求出其解即可；‎ ‎（2）设A种树苗购买a株，则B中树苗购买（360﹣a）株，共需要的费用为W元，根据条件建立不等式组，求出其解即可．‎ 解答：‎ 解：（1）设A种树苗每株x元，B中树苗每株y元，由题意，得 ‎，‎ 解得：，[来源:学§科§网Z§X§X§K]‎ 答：A种树苗每株8元，B中树苗每株6元；‎ ‎（2）设A种树苗购买a株，则B中树苗购买（360﹣a）株，共需要的费用为W元，由题意，得 ‎，‎ 由①，得 a≥120．‎ 由②，得 W=2a+2160．‎ ‎∵k=2＞0，‎ ‎∴W随a的增大而增大，‎ ‎∴a=120时，W最小=2400，‎ ‎∴B种树苗为：360﹣120=240棵．‎ ‎∴最省的购买方案是：A种树苗购买120棵，B种树苗购买240棵．‎ 点评：‎ 本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，不等式的运用，一次函数的解析式的运用，解答时建立一次函数关系式时难点．‎ ‎　‎ 六、灵动智慧，超越自我（本大题共2小题，每小题8分，共16分.）‎ ‎24．（8分）（2013•茂名）如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B的直线与CD的延长线交于点F，AC∥BF．‎ ‎（1）若∠FGB=∠FBG，求证：BF是⊙O的切线；‎ ‎（2）若tan∠F=，CD=a，请用a表示⊙O的半径；‎ ‎（3）求证：GF2﹣GB2=DF•GF．‎ 考点：‎ 圆的综合题 专题：‎ 几何综合题．‎ 分析：‎ ‎（1）根据等边对等角可得∠OAB=∠OBA，然后根据OA⊥CD得到∠OAB+∠AGC=90°推出∠FBG+∠OBA=90°，从而得到OB⊥FB，再根据切线的定义证明即可；‎ ‎（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠ACF=∠F，根据垂径定理可得CE=CD=a，连接OC，设圆的半径为r，表示出OE，然后利用勾股定理列式计算即可求出r；‎ ‎（3）连接BD，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得∠DBG=∠ACF，然后求出∠DBG=∠F，从而求出△BDG和△FBG相似，根据相似三角形对应边成比例列式表示出BG2，然后代入等式左边整理即可得证．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：∵OA=OB，‎ ‎∴∠OAB=∠OBA，‎ ‎∵OA⊥CD，‎ ‎∴∠OAB+∠AGC=90°，‎ 又∵∠FGB=∠FBG，∠FGB=∠AGC，‎ ‎∴∠FBG+∠OBA=90°，‎ 即∠OBF=90°，‎ ‎∴OB⊥FB，‎ ‎∵AB是⊙O的弦，‎ ‎∴点B在⊙O上，‎ ‎∴BF是⊙O的切线；‎ ‎（2）解：∵AC∥BF，‎ ‎∴∠ACF=∠F，‎ ‎∵CD=a，OA⊥CD，‎ ‎∴CE=CD=a，‎ ‎∵tan∠F=，‎ ‎∴tan∠ACF==，‎ 即=，‎ 解得AE=a，‎ 连接OC，设圆的半径为r，则OE=r﹣a，‎ 在Rt△OCE中，CE2+OE2=OC2，‎ 即（a）2+（r﹣a）2=r2，‎ 解得r=a；‎ ‎（3）证明：连接BD，‎ ‎∵∠DBG=∠ACF，∠ACF=∠F（已证），‎ ‎∴∠DBG=∠F，‎ 又∵∠F=∠F，‎ ‎∴△BDG∽△FBG，‎ ‎∴=，‎ 即GB2=DG•GF，‎ ‎∴GF2﹣GB2=GF2﹣DG•GF=GF（GF﹣DG）=GF•DF，‎ 即GF2﹣GB2=DF•GF．‎ 点评：‎ 本题是圆的综合题型，主要考查了切线的证明，解直角三角形，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，作辅助线构造出直角三角形与相似三角形是解题的关键，（3）的证明比较灵活，想到计算整理后得证是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎25．（8分）（2013•茂名）如图，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，已知点B的坐标为（3，0）．‎ ‎（1）求a的值和抛物线的顶点坐标；‎ ‎（2）分别连接AC、BC．在x轴下方的抛物线上求一点M，使△AMC与△ABC的面积相等；‎ ‎（3）设N是抛物线对称轴上的一个动点，d=|AN﹣CN|．探究：是否存在一点N，使d的值最大？若存在，请直接写出点N的坐标和d的最大值；若不存在，请简单说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．3718684‎ 分析：‎ ‎（1）先把点B的坐标代入y=ax2﹣x+2，可求得a的值，再利用配方法将一般式化为顶点式，即可求得抛物线的顶点坐标；‎ ‎（2）先由抛物线的解析式y=﹣x2﹣x+2，求出与x轴的交点A的坐标，与y轴的交点C的坐标，再由△AMC与△ABC的面积相等，得出这两个三角形AC边上的高相等，又由点B与点M都在AC的下方，得出BM∥AC，则点M既在过B点与AC平行的直线上，又在抛物线y=﹣x2﹣x+2上，所以先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=x+2，再设直线BM的解析式为y=x+n，将点B（3，0）代入，求出n的值，得到直线BM的解析式为y=x﹣1，然后解方程组，即可求出点M的坐标；‎ ‎（3）连接BC并延长，交抛物线的对称轴x=﹣于点N，连接AN，根据轴对称的性质得出AN=BN，并且根据三角形三边关系定理得出此时d=|AN﹣CN|=|BN﹣CN|=BC最大．运用待定系数法求出直线BC的解析式，再将x=﹣代入，求出y的值，得到点N的坐标，然后利用勾股定理求出d的最大值BC即可．‎ 解答：‎ 解：（1）∵抛物线y=ax2﹣x+2经过点B（3，0），‎ ‎∴9a﹣×3+2=0，‎ 解得a=﹣，‎ ‎∴y=﹣x2﹣x+2，‎ ‎∵y=﹣x2﹣x+2=﹣（x2+3x）+2=﹣（x+）2+，‎ ‎∴顶点坐标为（﹣，）；‎ ‎（2）∵抛物线y=﹣x2﹣x+2的对称轴为直线x=﹣，‎ 与x轴交于点A和点B，点B的坐标为（3，0），‎ ‎∴点A的坐标为（﹣6，0）．‎ 又∵当x=0时，y=2，‎ ‎∴C点坐标为（0，2）．‎ 设直线AC的解析式为y=kx+b，‎ 则，解得，‎ ‎∴直线AC的解析式为y=x+2．‎ ‎∵S△AMC=S△ABC，‎ ‎∴点B与点M到AC的距离相等，‎ 又∵点B与点M都在AC的下方，‎ ‎∴BM∥AC，‎ 设直线BM的解析式为y=x+n，‎ 将点B（3，0）代入，得×3+n=0，‎ 解得n=﹣1，‎ ‎∴直线BM的解析式为y=x﹣1．‎ 由，解得，，‎ ‎∴M点的坐标是（﹣9，﹣4）；‎ ‎（3）在抛物线对称轴上存在一点N，能够使d=|AN﹣CN|的值最大．理由如下：‎ ‎∵抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于点A和点B，‎ ‎∴点A和点B关于抛物线的对称轴对称．‎ 连接BC并延长，交直线x=﹣于点N，连接AN，则AN=BN，此时d=|AN﹣CN|=|BN﹣CN|=BC最大．‎ 设直线BC的解析式为y=mx+t，将B（3，0），C（0，2）两点的坐标代入，‎ 得，，‎ ‎∴直线BC的解析式为y=﹣x+2，‎ 当x=﹣时，y=﹣×（﹣）+2=3，‎ ‎∴点N的坐标为（﹣，3），d的最大值为BC==．‎ 点评：‎ 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积，轴对称的性质等知识，难度适中．其中第（2）小题根据三角形的面积公式及平行线的性质得出BM∥AC是关键，第（3）小题根据轴对称及三角形三边关系定理确定点N的位置是关键．‎