2013年广西自治区梧州市中考数学试卷（含答案）

2013年广西自治区梧州市中考数学试卷（含答案）

2013 年梧州市中考数学试卷分析 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 正确的，每小题选对得 3 分，选错、不选或多选均的零分） 1.（2013 广西梧州，1， 3 分） （ ） A.6 B.7 C.8 D.10 【答案】A. 【解析】本题考查了求实数的绝对值．∵6 是一个正数，正数的绝对值等于它本身，∴6 的绝对值 是 6. 故选 A． 2. （2013 广西梧州，2， 3 分）化简：a+a=（ ） A.2 B.a2 C.2a2 D.2a 【答案】D. 【解析】本题考查了合并同类项的法则.因为 a 和 a 是同类项，所以 a+a=2a.故选 D. 3. （2013 广西梧州，3， 3 分）sin300=（ ） A.0 B.1 C. D. 【答案】C. 【解析】本题考查了三角函数的特殊值.由三角函数知 sin30°= .故选 C. 4. （2013 广西梧州，4， 3 分）如图 1，直线 AB∥CD，AB、CD 与直线 BE 分别交与点 B、E，∠B=70 °，∠BED=（ ） A.1100 B.500 C.600 D.700 【答案】D. 【解析】本题考查了平行线的性质.根据“两直线平行，内错角相等”知：∠BED=∠B =70°. 故选 D. =6 1 2 1 4 2 1 5. （2013 广西梧州，5， 3 分）如图 2，⊿ABC 以点 O 为旋转中心，旋转 1800 后得到⊿A’B’C’.ED 是⊿ABC 的中位线，经旋转后为线段 E’D’.已知 BC=4，则 E’D’=（ ） A.2 B. 3 C.4 D.1.5 【答案】A 【解析】本题考查了旋转图形的性质、三角形的中位线的性质，因为 ED 是△ABC 的中位线，BC=4， 所以 ED= BC= ×4=2，因为线段 E’D’ 是 ED 的旋转，根据“旋转前后的对应线段相等”所 以 E’D’ =ED=2，故选 A. 6. （2013 广西梧州，6， 3 分）如图 3，由四个正方体组成的图形，观察这个图形，不能得到的平 面图形是（ ） 【答案】D 【解析】本题考查了组合体的三视图.掌握三视图的定义是解题的关键.A 是从正面看到的图形，B 是从上面看到的图形，C 是从左侧看到的图形，因此不能得到的平面图形是 D.故选 D. 7. （2013 广西梧州，7， 3 分）如图 4，在菱形 ABCD 中，已知∠A=600，AB=5，则⊿ABD 的周长 是（ ） A.10 B.12 C.15 D.20 【答案】C. 【解析】因为四边形 ABCD 是菱形，所以 AB=AD，又因为∠A=60°，所以△ABD 是等边三角形，所以 AB=AD=BD=5，所以△ABD 的周长=5+5+5=15.故选 C. 2 1 2 1 8. （2013 广西梧州，8， 3 分）以下列各组线段的长为边，能组成三角形的是（ ） A.2cm，3cm，4cm B. 2cm，3cm，5cm C. 2cm，5cm，10cm D. 8cm，4cm，4cm 【答案】A. 【解析】本题考查了三角形的三边关系．只要满足两条较短线段的长度和大于第三条线段的长就能 组成三角形.因为 2cm＜3cm＜4cm，且 2+3＞4，所以长为 2cm，3cm，4cm 的线段能组成三角形. 因为 2cm＜3cm＜5cm，但 2+3=5，不大于 5，所以长为 2cm，3cm，5cm 的线段不能组成三角形. 因为 2cm＜5cm＜10cm，但 2+5＜10，不大于 10，所以长为 2cm，5cm，10cm 的线段不能组成三角形. 因为 4cm=4cm＜8cm，但 4+4=8，不大于 8，所以长为 8cm，4cm，4cm 的线段不能组成三角形. 故选 A. 9. （2013 广西梧州，9， 3 分）如图 5，把矩形 ABCD 沿直线 EF 折叠，若∠1=200，则∠2=（ ） A. 800 B. 700 C. 400 D. 200 【答案】B. 【解析】如图 5（1），延长 A1B1 交 BC 于 G， 在矩形 ABCD 中，∠B=90°，∵∠A1B1 F 是∠B 的折叠， ∴∠A1B1 F =∠B=90°，∴∠F B1 G =90°， 在△B1FG 中，因为∠F B1 G =90°，∠1=20°， ∴∠3=70°， 在矩形 ABCD 中，∵AD∥BC，∴∠2=∠3=70°. 故选 B. 10. （2013 广西梧州，10， 3 分）小李是 9 人队伍中的一员，他们随机排成一列队伍，从 1 开始按 顺序报数，小李报到偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B. 【解析】本题考查了一般等可能事件发生的概率计算公式. 9 个人随机排成一列队伍，小李报数所 有可能的结果共有 9 个，其中报到偶数的结果共有 4 个，所以小李报到偶数的概率是 .故选 B. 【方法归纳】一般地，在试验中，如果各种结果发生的可能性都相同，那么一个事件 A 发生的概率 计算公式为 P(A)= ．因此分清事件 A 发生所有可能的结果数与所有等可能 结果的总数是正确计算的关键所在． 2 3 4 9 1 2 1 9 4 9 所有等可能结果的总数 可能发生的结果数事件A 11. （2013 广西梧州，11， 3 分）如图 6，AB 是⊙O 的直径，AB 垂直于弦 CD，∠BOC=700，则∠ABD= （ ） A. 200 B. 460 C. 550 D. 700 【答案】C. 【解析】如图６（１）连接 BC，在△OBC 中，∵∠BOC=70°，OB=OC，∴∠OBC=∠OCB =55°， ∵AB 是⊙O 的直径，AB 垂直于弦 CD，∴⌒ AC=⌒ AD,∴∠ABD=∠ABC=55°.故选 C. 12. （2013 广西梧州，12， 3 分）父子两人沿周长为 a 的圆周骑自行车匀速行驶.同向行驶时父亲 不时超过儿子，而反向行驶时相遇的频率增大为 11 倍.已知儿子的速度为 v，则父亲的速度为 （ ） A.1.1v B.1.2v C.1.3v D.1.4v 【答案】B. 【解析】设父亲的速度为 x，设同向行驶相遇 1 次所用时间为 t，则反向行驶相遇 1 次所用时间为 ， 根据题意列方程组得： ，解得 x=1.2v，故选 B. 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 13. （2013 广西梧州，13， 3 分）计算：0-7= . 【答案】-7. 【解析】本题考查有理数的加法法则. 根据“一个数同 0 相加，仍得这个数”知：0-7=-7.故填-7. 14. （2013 广西梧州，14， 3 分）若反比例函数 的图象经过点（2，4），则 k 的值为 . 【答案】8. 【解析】本题考查待定系数法确定函数解析式.把（2，4）代入 得 4= ，解得 k=4×2=8.故 填 8. 15. （2013 广西梧州，15， 3 分）若一个三角形的各边长扩大为原来的 5 倍，则此三角形的周长扩 大为原来的 倍. 【答案】5. 【解析】本题考查相似三角形的判定及性质. 一个三角形的各边长扩大为原来的 5 倍，那么所得三 角形与原三角形各对应边之比都等于 5，所以所得三角形与原三角形相似，且相似比等于 5；根据相 似三角形周长的比等于相似比，可得此三角形的周长扩大为原来的 5 倍. 11 t    =+ =− atvtx avtxt 11·11· ky x = ky x = 2 k 16. （2013 广西梧州，16， 3 分）因式分解：ax2-9a= . 【答案】a(x+3)(x-3) 【解析】本题考查因式分解.先提公因式,再用公式进行分解.原式= a (x2-9)= a(x+3)(x-3). 17. （2013 广西梧州，17， 3 分）若一条直线经过点（-1，1）和点（1，5），则这条直线与 x 轴的 交点坐标为 . 【答案】（-1.5，3） 【解析】设这条直线的解析式为 y=kx+b，将(-1,1)，（1，5）代入上式，得 解得 所以直线的解析式为 y＝2x＋3 当 y＝0 时，0＝2x＋3，解得 x＝-1.5 所以这条直线与 x 轴的交点坐标为（-1.5，3）.故填（-1.5，3）. 18. （2013 广西梧州，18， 3 分）如图 7，AC⊥BC，AC=BC=4，以 AC 为直径作半圆，圆心为点 O；以点 C 为圆心，BC 为半径作⌒ AB.过点 O 作 BC 的平行线交两弧于点 D、E，则阴影部分的面 积是 . 【答案】 【解析】如图 7（1），作出弓形 EAF，连接 CE、CF， ∵OE∥BC，AC⊥BC，∴OC⊥OE. 在 Rt△OCE 中，∵OC=2，OE=4，∴OC= OE，∴∠OEC=30°，∠OCE=60°， 易知△OCE≌△OCF（HL），∴∠ECF=2∠OCE =120°， 在 Rt△OCE 中，根据勾股定理知，OE= ， ∴EF=2OE=4 . ∴S 弓形 EAF＝S 扇形 CEF－S△CEF＝ - ×4 ×2= -4 ， ∴S 阴影＝ S 弓形 EAF －S 扇形 OAD＝ ×( -4 )- = . 故填 .    =+ =+− 5 1 bk bk    = = 3 2 b k -π5 2 33 2 1 3224 22 =− 3 360 4120 2π 2 1 3 π 3 16 3 2 1 1 2 π 3 16 3 360 290 2π -π5 2 33 -π5 2 33 三、解答题（本大题共 8 分，满分 66 分.） 19. （2013 广西梧州，19， 6 分）解方程： . 【答案】解： ∴ 20. （2013 广西梧州，20， 6 分）如图，已知：AB∥CD，BE⊥AD，垂足为点 E，CF⊥AD，垂足 为点 F，并且 AE=DF. 求证：四边形 BECF 是平行四边形. 【答案】证明：∵BE⊥AD，BE⊥AD，∴∠AEB=∠DFC=900， ∵AB∥CD，∴∠A=∠D， 又∵AE=DF，∴⊿AEB≌⊿DFC，∴BE=CF. ∵BE⊥AD，BE⊥AD， ∴BE∥CF. ∴四边形 BECF 是平行四边形. 21. （2013 广西梧州，21， 6 分）某校为了招聘一名优秀教师，对入选的三名候选人进行教学技能 与专业知识两种考核，现将甲、乙、丙三人的考核成绩统计如下： （1）如果校方认为教师的教学技能水平与专业知识水平同等重要，则候选人 将被录取. （2）如果校方认为教师的教学技能水平比专业知识水平重要，因此分别赋予它们 6 和 4 的权. 计算他们赋权后各自的平均成绩，并说明谁将被录取. 【答案】解：（1）甲； （2）甲的平均成绩为：（85×6+92×4）÷10=87.8（分） 乙的平均成绩为：（91×6+85×4）÷10=88.6（分） 丙的平均成绩为：（80×6+90×4）÷10=84（分） 显然，乙的平均分数最高，所以乙将被录取. x x x 1 5 + 2 +1 = 8+ 2 4  x x x 1 5+ + 2 = 8+2 2 x x3 + 2 = 8+ x2 = 6 x = 3 22. （2013 广西梧州，22， 8 分）某工厂现在平均每天比原计划多生产 50 台机器，现在生产 600 台机器所需的时间与原计划生产 450 台机器所需的时间相同，现在每天生产多少台机器？ 【答案】解：设现在每天生产 x 台机器，则原计划每天生产（x-50）台机器.依题意，得： 解之，得：x=200 经检验：x=200 是所列方程的解. 答：现在每天生产 200 台机器. 23. （2013 广西梧州，23， 8 分）海上有一小岛，为了测量小岛两端 A、B 的距离，测量人员设计 了一种测量方法，如图所示，已知 B 点是 CD 的中点，E 是 BA 延长线上的一点，测得 AE=8.3 海里，DE=30 海里，且 DE⊥EC，cos∠D= . （1）求小岛两端 A、B 的距离； （2）过点 C 作 CF⊥AB 交 AB 的延长线于点 F，求 sin∠BCF 的值. 【答案】解：（1）在 Rt⊿CED 中，∠CED=900，DE=30 海里， ∴cos∠D= ，∴CE=40（海里），CD=50（海里）. ∵B 点是 CD 的中点，∴BE= CD=25（海里） ∴AB=BE-AE=25-8.3=16.7（海里）. 答：小岛两端 A、B 的距离为 16.7 海里. （2）设 BF=x 海里. 在 Rt⊿CFB 中，∠CFB=900，∴CF2=CB2-BF2=252-x2=625-x2. 在 Rt⊿CFE 中，∠CFE=900，∴CF2+EF2=CE2，即 625-x2+（25+x）2=1600. 解之，得 x=7. ∴sin∠BCF= . x x 600 450= −50 3 5 DE CD 3= 5 1 2 BF BC 7= 25 24. （2013 广西梧州，24， 10 分）我市某商场有甲、乙两种商品，甲种每件进价 15 元，售价 20 元；乙种每件进价 35 元，售价 45 元. （1）若商家同时购进甲、乙两种商品 100 件，设甲商品购进 x 件，售完此两种商品总利润为 y 元.写出 y 与 x 的函数关系式. （2）该商家计划最多投入 3000 元用于购进此两种商品共 100 件，则至少要购进多少件甲种商 品？若售完这些商品，商家可获得的最大利润是多少元？ （3）“五·一”期间，商家对甲、乙两种商品进行表中的优惠活动，小王到该商场一次性付款 324 元购买此类商品，商家可获得的最小利润和最大利润各是多少？ 【答案】解：（1）y=(20-15)x+(45-35)(100-x)=-5x+1000 （2）15x+35(100-x)≤3000，解之，得 x≥25. 对 y=-5x+1000，∵k=-5＜0，∴y 随 x 的增大而减小. ∴当 x 最小=25 时，y 最大=-5×25+1000=875（元） ∴至少要购进 25 件甲种商品；若售完这些商品，商家可获得的最大利润是 875 元. （3）设购买甲种商品 m 件，购买乙种商品 n 件. ①当打折前一次性购物总金额不超过 400 时，购物总金额为 324÷0.9=360（元）. 则 20m+45n=360， ，∴ .∵n 是 4 的倍数，∴n=4.∴m=9. 此时的利润为：324-（15×9+35×4）=49（元）. ②当打折前一次性购物总金额超过 400 时，购物总金额为 324÷0.8=405（元）. 则 20m+45n=405， ，∴ .∵m、n 均是正整数，∴m=9， n=5 或 m=18， n=1. 当 m=9， n=5 的利润为：324-（9×15+5×35）= 14（元）； 当 m=18， n=1 的利润为：324-（18×15+1×35）= 19（元）. 综上所述，商家可获得的最小利润是 14 元，最大利润各是 49 元. m n 9=18− > 04 n0 < < 8 - nm 81 9= > 04 n0 < < 9 25. （2013 广西梧州，25， 10 分）已知，点 C 在以 AB 为直径的半圆上，∠CAB 的平分线 AD 交 BC 于点 D，⊙O 经过 A、D 两点，且圆心 O 在 AB 上. （1）求证：BD 是⊙O 的切线. （2）若 ， ，求⊙O 的面积. 【答案】解：（1）连接 OD. ∵AB 为直径，∴∠ACB=900， ∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD， ∵AD 平分∠CAB，∴∠OAD=∠CAD， ∴∠ODA=∠CAD，∴OD∥AC，∴∠ODB=∠ACB=900，∴BD 是⊙O 的切线. （2）∵ ，∴AB=4AC， ∵BC2=AB2-AC2，∴15AC2=80，∴AC= ，∴AB=4 . 设⊙O 的半径为 r，∵OD∥AC，∴△BOD∽△BAC，∴ ∴ ，解得：r= ∴πr2= = ，∴⊙O 的面积为 . 26. （2013 广西梧州，26， 12 分）如图，抛物线 y=a(x-h)2+k 经过点 A（0，1），且顶点坐标为 B （1，2），它的对称轴与 x 轴交于点 C. （1）求此抛物线的解析式. （2）在第一象限内的抛物线上求点 P，使得⊿ACP 是以 AC 为底的等腰三角形，请求出此时点 P 的坐标. （3）上述点是否是第一象限内此抛物线上与 AC 距离最远的点，若是，请说明理由；若不是， 请求出第一象限内此抛物线上与 AC 距离最远的点的坐标. (1)由抛物线的顶点坐标是 B（1，2）知：h=1，k=2，∴y=a(x-1)2+2，再把 A 点坐标代入此解析式 即可；（2）易知△OAC 是等腰直角三角形，可得 AC 的垂直平分线是直线 y=x，根据“线段垂 直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”知直线 y=x 与抛物线的交点即为点 P，解方程组 即可求出 P 点坐标；（3）先求出第一象限内此抛物线上与 AC 距离最远的点的坐标，再与 P 点 的坐标比较进行判断.满足条件的点一定是与直线 AC 平行且与抛物线有唯一交点的直线与抛物 AC AB 1= 4 BC = 4 5 AC AB 1= 4 16 3 16 3 AC OD AB OB = 3 16 3 164 4 164 rr = − 15 316 2 15 316· ）（π π 75 256 π 75 256 线相交产生的，易求出直线 AC 的解析式，设出与 AC 平行的直线的解析式，令它与抛物线的解 析式组成的方程组有唯一解，求出交点坐标，通过判断它与点 P 是否重合来判断点 P 是否是第 一象限内此抛物线上与 AC 距离最远的点. 【答案】解：（1）∵抛物线 y=a(x-h)2+k 顶点坐标为 B（1，2），∴y=a(x-1)2+2， ∵抛物线经过点 A（0，1），∴a(0-1)2+2=1，∴a=-1，∴y=- (x-1)2+2=-x2+2x+1. （2）∵A（0，1），C 的坐标为（1，0） ∴OA=OC，∴△OAC 是等腰直角三角形 过点 O 作 AC 的垂线 l， 根据等腰三角形的“三线合一”知：l 是 AC 的中垂线， ∴l 与抛物线的交点即为点 P.如图， 直线 l 的解析式为 y=x， 解方程组 得得 ， （舍） 当 时， .∴点 P 的坐标为（ ， ）. （3）点 P 不是第一象限内此抛物线上与 AC 距离最远的点. 由（1）知，点 C 的坐标为（1，0）. 设直线 AC 为 y=kx+b，则 ，解之，得 ，∴直线 AC 为 y=-x+1. 设与 AC 平行的直线的解析式为 y=-x+m. 解方程组 代入消元，得-x2+2x+1=-x+m， ∵此点与 AC 距离最远，∴直线 y=-x+m 与抛物线有且只有一个交点， 即方程-x2+2x+1=-x+m 有两个相等的实数根. 整理方程得：x2-3x+ m- 1=0 ⊿=9-4（m- 1）=0，解之得 m= . 则 x2-3x+ - 1=0，解之得 ，此时 y= .    ++−= = 122 xxy xy x1 1+ 5= 2 -=x2 1 5 2 +=x 1 5 2 y 5 +1= 2 5 +1 2 5 +1 2 b k b =1  + = 0 k b = −1  =1    ++−= +−= 122 xxy mxy 13 4 13 4 x x1 2 3= = 2 7 4 ∴第一象限内此抛物线上与 AC 距离最远的点的坐标为（ ， ）. 3 2 7 4