人教版中考数学二轮复习专题练习上二次函数与相切

人教版中考数学二轮复习专题练习上二次函数与相切

二次函数与相切 ‎1.如图，抛物线经过点，和，点是轴上的一个动点，连接，取的中点，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接、、．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）当为何值时，点在此抛物线上；‎ ‎（3）在点运动过程中，是否存在为等腰三角形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（4）在点运动过程中，若以为直径的圆与直线相切，直接写出的值．‎ 解析：（1）设该抛物线的解析式为，把代入 得，解得 ‎∴，即 ‎（2）分别过点、作轴的垂线，‎ 垂足为、‎ ‎∵，∴‎ ‎∵，∴‎ 又∵，∴‎ ‎∴，即 ‎∴，，∴‎ 把点坐标代入抛物线的解析式，得 整理得：，‎ 解得：或 ‎∴当或时，点在此抛物线上 ‎（3）存在 ‎∵，，‎ ‎∴，‎ 若，则，解得 ‎∴，‎ 若AB＝BC，‎ 则 解得，∴‎ 若，则，解得 ‎∴，‎ ‎（4）或 提示：设的中点为，过点作轴，交于，作于 ‎∵，，∴，，‎ ‎∵，，∴‎ ‎∴，，，‎ ‎∴,‎ 由，‎ 得 ‎∴‎ ‎∵，∴‎ 又∵，∴‎ ‎∴，即，∴‎ ‎∵以为直径的圆与直线相切，∴‎ ‎∴‎ 整理得：，解得：或 ‎2.如图，在平面直角坐标系中，点、点，四边形是矩形，以点为圆心的过点，点从点出发，沿以每秒个单位的速度运动，设运动时间为秒．‎ ‎（1）当为何值时，与相切？‎ ‎（2）当直线将的周长分成的两部分时，求的值；‎ ‎（3）直线为的垂直平分线，垂足为．当点在、上运动时，是否存在点，使直线与相切？若存在，求的值；若不存在，说明理由．‎ 解析：‎ ‎（1）设与相切于点，连接 则，∴‎ 由得：‎ ‎∴，∴‎ ‎∴当时，与相切 ‎（2）‎ 设直线交于、，与轴交于另一点 连接、、、，作于 ‎∵直线将的周长分成的两部分 ‎∴，∴‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 设，则 ‎∵，‎ ‎∴‎ 又，∴‎ ‎∴，∴‎ 整理得：‎ 解得：（舍去），‎ ‎∴‎ 由得：‎ ‎∴，∴‎ 即 ‎（3）‎ 设直线与相切于点 i）当点在上时，连接，‎ 直线与轴相交于点 设，，则，‎ 由得：‎ 即①‎ 由得：‎ 即②‎ 由①②得：，即，代入②并整理得：‎ ‎，解得：（舍去），‎ ‎∴‎ 即 ii）‎ 当点在上时，则四边形是矩形 ‎∴，∴‎ ‎∴‎ 综上所述，当或时，直线与相切 ‎3.矩形内接于，将沿翻折，点落在上点处，连接．‎ ‎（1）如图1，判断四边形的形状，并说明理由；‎ ‎（2）如图2，是的切线，切点是，交的延长线于点．动点从点出发，以的速度沿射线的方向运动，以点为圆心，长为半径作圆，设点运动的时间为（秒）．若的直径为，．‎ ‎①当为何值时，与直线相切；‎ ‎②根据与线段公共点的个数，直接写出相应的的值或取值范围．‎ 解析：（1）四边形是等腰梯形，理由如下：‎ 连接 由题意，，‎ ‎∵，‎ ‎∴，∴‎ ‎∴，∴四边形是等腰梯形 ‎（2）‎ ‎①设与直线相切于点，连接 则 ‎∵的直径为，∴‎ 易证，∴‎ 设，则 在中，‎ 解得，∴，，‎ ‎∵是的切线，∴‎ ‎∵，∴‎ ‎∴，∴，∴‎ ‎∴，∴‎ ‎∴‎ ‎∵，∴，解得 ‎∴当秒时，与直线相切 ‎②当与线段公共点的个数是个时，或 当与线段公共点的个数是个时，‎ 当与线段公共点的个数是个时，‎ ‎4.如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴正半轴交于点，与轴负半轴交于点，且，．点为线段上的一个动点，过点作轴的平行线分别交直线、于点、．‎ ‎（1）设线段的长为，求与之间的函数关系式；‎ ‎（2）当时，求点的坐标；‎ ‎（3）是否存在点，使得过、、三点的圆与x轴相切？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．‎ 解析：‎ ‎（1）在中，令，得 ‎∴，‎ ‎∵，∴‎ ‎∵直线与轴正半轴交于点，‎ 与轴负半轴交于点 ‎∴，‎ 设直线的解析式为，把代入 ‎，∴‎ ‎∴直线的解析式为 在中，当时，‎ 在中，当时，‎ ‎∴‎ ‎（2）设线段的中点为，以为斜边向上作等腰 以为圆心，长为半径作 ‎∵，∴过点 ‎∴，∴‎ 由（1）知，，，‎ ‎∴,‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴整理得：‎ 解得：（舍去），‎ ‎∴点的坐标为 ‎（3）假设存在 设过、、三点的圆为 显然圆心是线段的中垂线和线段的中垂线的交点 由题意，，∴‎ ‎∴，是等腰直角三角形 ‎∴线段的中垂线过点 设线段的中垂线交轴于，直线的解析式为 ‎∵，∴‎ ‎∴，代入，得 ‎∴直线的解析式为 设线段的中点为，与轴相切于点 由（2）知 把代入，得 ‎∴‎ 由，得 整理得：，解得：，（舍去）‎ ‎∴存在点，使得过、、三点的圆与x轴相切 ‎5.如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，将抛物线沿轴翻折得抛物线．‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）在的对称轴上找出点，使点到点的对称点及两点的距离差最大，并说出理由 ‎（3）平行于轴的一条直线交抛物线于、两点，若以为直径的圆恰与轴相切，求此圆的半径．‎ 解析：‎ ‎（1）由题意知，抛物线上的点、、关于轴的对称点为，，‎ 设的解析式为 则∴‎ ‎∴l1的解析式为 ‎（2）的对称轴为，在直线上，故 当点与点、点不在一直线上时，中，当点与点、点在一直线上时，这些线段间关系为：‎ 故此时点到、两点的距离差最大 设的解析式为，将代入上式得 ‎∴直线的解析式为 而直线和直线的交点即为 由得 ‎∴即为所求 ‎（3）‎ 设，，所求圆的半径为，由图可知 ‎∵对称轴为，∴‎ 由得，即 将代入的解析式 得，即 ‎∵圆与轴相切，∴‎ 当时，，解得，（舍去）‎ 当时，，解得，（舍去）‎ 故所求的圆有两个，在轴上方的圆半径为，在轴下方的圆半径为 ‎6.已知过原点的两条直线与圆心为，半径为的圆相切，切点分别为、，交轴于点，抛物线经过、两点，顶点为，且与轴交于、两点．‎ ‎（1）求点的坐标；‎ ‎（2）求抛物线解析式；‎ ‎（3）直线与抛物线交于不同的两点、，当该直线与相切时，求点、、、围成的多边形的面积（结果保留根号）．‎ 解析：（1）∵直线与相切于、‎ ‎∴，‎ ‎∵，，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎（2）‎ 设抛物线解析式为，把点代入得：‎ ‎，∴‎ ‎∴抛物线解析式为 ‎（3）令，解得，‎ ‎∴，，∴‎ 当直线与相切时，‎ 令，解得，x2＝2‎ ‎∴，，∴‎ ‎∴‎ ‎7.已知抛物线（）恒过定点、（在的左侧）．‎ ‎（1）求、两点的坐标；‎ ‎（2）点在直线下方的抛物线上，当面积的最大值为时，求抛物线的解析式；‎ ‎（3）若经过点的始终与轴相切，设，求与的函数关系式，并求点到点距离的最小值．‎ 解析：（1）‎ ‎∵‎ 对于任意实数，当时，；当时，‎ ‎∴抛物线恒过定点和 ‎∵在的左侧，∴，‎ ‎（2）设直线的解析式为 ‎∴解得 ‎∴直线的解析式为 过点作轴，交直线于点 设，则 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎＝‎ ‎∵面积的最大值为 ‎∴‎ 解得 ‎∴抛物线的解析式为 ‎（3）‎ ‎∵，，‎ 过点且与轴相切 ‎∴，∴‎ 即 设点到点的距离为 则 ‎∴的最小值为 ‎∴的最小值为 ‎8.如图，在平面直角坐标系中，和是两个全等的直角三角形，，，直角边、在轴上，点的坐标为，抛物线经过、、三点，与轴的另一个交点为 ‎．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点为线段上一动点（不与、重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，连接、，当四边形为等腰梯形时，求点的坐标；‎ ‎（3）在抛物线的段上（包括点）是否存在点，使既与轴相切，又与直线相交？若存在，求点横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．‎ 解析：（1）∵，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵抛物线经过点 ‎∴，∴‎ ‎∵抛物线过、两点 ‎∴解得，‎ ‎∴抛物线的解析式为 ‎（2）‎ 设直线的解析式为 ‎∴，∴，∴‎ 设，则 作于，于 ‎∵四边形为等腰梯形，∴‎ ‎∴，∴‎ ‎∴或 当时，，∴‎ 此时点与点重合，不能形成等腰梯形 当时，，∴‎ ‎∴当四边形为等腰梯形时，点的坐标为 ‎（3）‎ 作的平分线交CD于，交抛物线于，作于，则 设，则 ‎∵，，∴‎ 易证，∴‎ ‎∴，∴，∴‎ 易得直线的解析式为 令，解得（舍去），‎ ‎∵既与轴相切，又与直线相交 ‎∴点横坐标的取值范围为：‎ ‎9.如图，直线与抛物线交于、两点，抛物线的对称轴与轴交于点．‎ ‎（1）证明直线过定点，并求出点的坐标；‎ ‎（2）当时，证明是等腰直角三角形；‎ ‎（3）对于任意的实数，是否都存在一条固定的直线与以为直径的圆相切？若存在，请求出该直线的解析式；若不存在，请说明理由．‎ 解析：（1）∵‎ ‎∴当时，‎ ‎∴直线过定点 ‎（2）‎ 当时，直线 交点、的坐标符合方程组：‎ 解得 ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∵,，∴‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴是等腰直角三角形 ‎（3）存在一条固定的直线与以为直径的圆相切，此直线即轴，解析式是 理由如下：‎ 交点、的坐标符合方程组：‎ ‎∴‎ 即 ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 即以为直径的圆的半径为 ‎∵的中点是，即 ‎∴以为直径的圆的圆心坐标为 ‎∵圆心到轴的距离等于圆的半径 ‎∴存在定直线与以为直径的圆相切，此直线即轴，解析式是 ‎10.如图，已知抛物线与坐标轴分别交于、、三点，过坐标原点的直线与抛物线交于、两点．分别过点、作平行于轴的直线、．‎ ‎（1）求抛物线对应二次函数的解析式；‎ ‎（2）求证以为直径的圆与直线相切；‎ ‎（3）求线段的长（用表示），并证明、两点到直线的距离之和等于线段的长．‎ 解析：（1）设抛物线对应二次函数的解析式为 把、、三点坐标代入得 解得 ‎∴‎ ‎（2）‎ 设，，∵点、在抛物线上 ‎∴，，∴‎ 又∵，∴‎ ‎∵，∴‎ 设的中点，分别过点、向直线作垂线，垂足为、‎ 则，∴‎ 即的中点到直线的距离等于长度的一半 ‎∴以为直径的圆与直线相切 ‎（3）过点作交于点 则 又∵，，∴‎ ‎∴‎ ‎∵点、既在的图象上又在抛物线上 ‎∴，即，解得 ‎∴，∴‎ ‎∴‎ 延长交于点，过点作于点 则 又∵‎ ‎∴‎ 即、两点到距离之和等于线段的长