2010年中考数学压轴题(二)及解答

2010年中考数学压轴题(二)及解答

2010 年中考数学压轴题（二）及解答 27、（2010 年甘肃省兰州市）27.（本题满分 10 分）已知平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，AC=10，BD=8． （1）若 AC⊥BD，试求四边形 ABCD 的面积 ； （2）若 AC 与 BD 的夹角∠AOD= ，求四边形 ABCD 的面积； （3）试讨论：若把题目中“平行四边形 ABCD”改为“四边形 ABCD”，且∠AOD= ，AC= ，BD= ，试求四边形 ABCD 的面积 （用含 ， ， 的代数式表示）． 【解答】 27. （本题满分 10 分） 解：（1）∵AC⊥BD ∴四边形 ABCD 的面积是 ……………2 分 （2）过点 A 分别作 AE⊥BD，垂足为 E …………………………………3 分 ∵四边形 ABCD 为平行四边形 在 Rt⊿AOE 中， ∴ …………4 分 ∴ ………………………………5 分 ∴四边形 ABCD 的面积 ……………………………………6 分 (3）如图所示过点 A,C 分别作 AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为 E,F …………7 分 在 Rt⊿AOE 中， ∴ 同理可得 ……………8 分 ∴四边形 ABCD 的面积 60 θ a b θ a b 52 1 === ACCOAO 42 1 === BDDOBO AO AEAOE =∠sin 2 35 2 3560sinsin =×=×=∠•= oAOAOEAOAE 3552 342 1 2 1 =×××=•=∆ AEODS AOD 3204 == ∆AODSS AO AEAOE =∠sin θsinsin ×=∠•= AOAOEAOAE θsinsin ×=∠•= COCOFCOCF 1 1AC BD= 10 8=402 2 ⋅ × × θ θ θ sin2 1 sin2 1 )(sin2 1 2 1 2 1 ab ACBD COAOBD CFBDAEBDSSS CBDABD = •= += •+•=+= ∆∆ …………………………………10 分 （第 27 题图） 28、（2010 年甘肃省兰州市）28.（本题满分 11 分）如图 1，已知矩形 ABCD 的顶点 A 与点 O 重合，AD、AB 分别在 x 轴、y 轴上，且 AD=2，AB=3；抛物线 经过坐标原点 O 和 x 轴上另一点 E （4,0） （1）当 x 取何值时，该抛物线的最大值是多少？ （2）将矩形 ABCD 以每秒 1 个单位长度的速度从图 1 所示的位置沿 x 轴的正方向匀速平行移动，同时 一动点 P 也以相同的速度从点 A 出发向 B 匀速移动.设它们运动的时间为 t 秒（0≤t≤3），直线 AB 与 该 抛物线的交点为 N（如图 2 所示）. ① 当 时，判断点 P 是否在直线 ME 上，并说明理由； ② 以 P、N、C、D 为顶点的多边形面积是否可能为 5，若有可能，求出此时 N 点的坐标；若无可 能，请说明理由． 图 1 第 28 题图 图 2 【解答】 28. （本题满分 11 分） 解：（1）因抛物线 经过坐标原点 O（0,0）和点 E（4,0） 故可得 c=0,b=4 所以抛物线的解析式为 …………………………………………1 分 由 得当 x=2 时，该抛物线的最大值是 4. …………………………………………2 分 （2）① 点 P 不在直线 ME 上. 已知 M 点的坐标为(2,4)，E 点的坐标为(4,0)， 设直线 ME 的关系式为 y=kx+b. 于是得 ，解得 所以直线 ME 的关系式为 y=-2x+8. …………………………………………3 分 由已知条件易得，当 时，OA=AP= ， …………………4 分 ∵ P 点的坐标不满足直线 ME 的关系式 y=-2x+8. [来源:Zxxk.Com] ∴ 当 时，点 P 不在直线 ME 上. ……………………………………5 分 ②以 P、N、C、D 为顶点的多边形面积可能为 5 ∵ 点 A 在 x 轴的非负半轴上，且 N 在抛物线上， ∴ OA=AP=t. ∴ 点 P，N 的坐标分别为(t,t)、(t,-t 2+4t) …………………………………6 分 cbxxy ++−= 2 4 11=t cbxxy ++−= 2 xxy 42 +−= xxy 42 +−= ( )22 4y x=− − +    =+ =+ 42 04 bk bk    = −= 8 2 b k 4 11=t 4 11 )4 11,4 11(P 4 11=t a b c d ac bc ad bd ∴ AN=-t 2+4t (0≤t≤3) , ∴ AN-AP=(-t 2+4 t)- t=-t 2+3 t=t(3- t)≥0 , ∴ PN=-t 2+3 t …………………………………………………………………………………7 分 （ⅰ）当 PN=0，即 t=0 或 t=3 时，以点P，N，C，D 为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为 AD，∴ S= DC·AD= ×3×2=3. （ⅱ）当 PN≠0 时，以点 P，N，C，D 为顶点的多边形是四边形 ∵ PN∥CD，AD⊥CD， ∴ S= (CD+PN)·AD= [3+(-t 2+3 t)]×2=-t 2+3 t+3…………………8 分 当-t 2+3 t+3=5 时，解得 t=1、2…………………………………………………9 分 而 1、2 都在 0≤t≤3 范围内，故以 P、N、C、D 为顶点的多边形面积为 5 综上所述，当 t=1、2 时，以点 P，N，C，D 为顶点的多边形面积为 5， 当 t=1 时，此时 N 点的坐标（1,3）………………………………………10 分 当 t=2 时，此时 N 点的坐标（2,4）………………………………………11 分 说明：（ⅱ）中的关系式，当 t=0 和 t=3 时也适合.（故在阅卷时没有（ⅰ），只有（ⅱ）也可以, 不扣分） 29、(2010 年广东省佛山市)24、新知识一般有两类：第一类是一般不依赖其他知识的新知识，如“数”， “字母表示数”这样的初始性知识，第二类是在某些旧知识的基础上联系，拓广等方式产生的知识， 大多数知识是这样一类。 （1）多项式乘以多项式的法则，是第几类知识？ （2）在多项式乘以多项式之前，我们学习了哪些有关知识？（写出三条即可） （3）请用你已有的有关知识，通过数和形两个方面说明多项式乘以多项式法则如何获得的？（用 （a+b）(c+d)来说明） 【解答】 24.（1）第二类知识， （2）单项式乘以单项式，分配律，字母表示数，数可以表示线段的长或图形的面积，等 （3） ， 30、（2010 年广东省佛山市）25、一般来说，数学研究对象本质属性的共同点和差异点。将数学对象分为 不同种类的数学思想叫“分类”的思想。将事物分类，然后对划分的每一类 进行研究和求解的方法叫做：“分类讨论”的方法。请依据分类的思想和 分类讨论的方法解决下列问题： 如图，在 中， > （1）若 是锐角,请探索在直线 AB 上有多少个点 D，能保证 ∽ （不包括全等） （2）请对 进行恰当的分类，直接写出每一类在直线 AB 上能保证 ∽ （不包括全等）的点 D 的个数。 2 1 2 1 2 1 2 1 ( )( )a b c d ac ad bc bd+ + = + + + ABC∆ ACB∠ ABC∠ BAC∠ ACD∆ ABC∆ BAC∠ ACD∆ ABC∆ A B C 【解答】 25. （1）若点 D 在线段 AB 上，存在点 D，满足要求。 若点 D 在线段 AB 的延长线上，则不存在点 D，满足要求。 若点 D 在线段 AB 的反向延长线上，则不存在点 D，满足要求。 综上所述，这样的点 D 只有一个。 （2）若∠BAC 为锐角，由（1）知，这样的点 D 只有一个。 若∠BAC 为直角，这样的点 D 有两个， 若∠BAC 为钝角，这样的点 D 只有一个。 31、（2010 年广东省广州市）24．（14 分）如图，⊙O 的半径为 1，点 P 是⊙O 上 一点，弦 AB 垂直平分线段 OP，点 D 是 上任一点（与端点 A、B 不重 合），DE⊥AB 于点 E，以点 D 为圆心、DE 长为半径作⊙D，分别过点 A、B 作⊙D 的切线，两条切线相交于点 C． （1）求弦 AB 的长； （2）判断∠ACB 是否为定值，若是，求出∠ACB 的大小；否则，请说明理 由； （3）记△ABC 的面积为 S，若 ＝4 ，求△ABC 的周长. 【分析】（1）连接 OA，OP 与 AB 的交点为 F，则△OAF 为直角三角形，且 OA＝1，OF＝ ，借助勾 股定理可求得 AF 的长； （2）要判断∠ACB 是否为定值，只需判定∠CAB＋∠ABC 的值是否是定值，由于⊙D 是△ABC 的内 切圆，所以 AD 和 BD 分别为∠CAB 和∠ABC 的角平分线，因此只要∠DAE＋∠DBA 是定值，那么 CAB＋∠ ABC 就是定值，而∠DAE＋∠DBA 等于弧 AB 所对的圆周角，这个值等于∠AOB 值的一半； （ 3 ） 由 题 可 知 ＝ DE (AB ＋ AC ＋ BC) ， 又 因 为 ， 所 以 ，所以 AB＋AC＋BC＝ ，由于 DH＝DG＝DE，所以在 Rt△CDH 中， CH＝ DH＝ DE，同理可得 CG＝ DE，又由于 AG＝AE，BE＝BH，所以 AB＋AC＋BC＝CG＋CH＋ AG＋AB＋BH＝ DE＋ ，可得 ＝ DE＋ ，解得：DE＝ ，代入 AB＋AC＋BC＝ APB 2 S DE 3 1 2 F C P D O BA E H G ABD ACD BCDS S S S∆ ∆ ∆= + + 1 2 2 4 3S DE = 2 1 ( )2 4 3 DE AB AC BC DE + + = 8 3DE 3 3 3 2 3 2 3 8 3DE 2 3 2 3 1 3 C P D O BA E ，即可求得周长为 ． 【解答】解：（1）连接 OA，取 OP 与 AB 的交点为 F，则有 OA＝1． ∵弦 AB 垂直平分线段 OP，∴OF＝ OP＝ ，AF＝BF． 在 Rt△OAF 中，∵AF＝ ＝ ＝ ，∴AB＝2AF＝ ． （2）∠ACB 是定值. 理由：由（1）易知，∠AOB＝120°， 因为点 D 为△ABC 的内心，所以，连结 AD、BD，则∠CAB＝2∠DAE，∠CBA＝2∠DBA， 因为∠DAE＋∠DBA＝ ∠AOB＝60°，所以∠CAB＋∠CBA＝120°，所以∠ACB＝60°； （3）记△ABC 的周长为 l，取 AC，BC 与⊙D 的切点分别为 G，H，连接 DG，DC，DH，则有 DG＝DH ＝DE，DG⊥AC，DH⊥BC. ∴ ＝ AB•DE＋ BC•DH＋ AC•DG＝ (AB＋BC＋AC) •DE＝ l•DE． ∵ ＝4 ，∴ ＝4 ，∴l＝8 DE. ∵CG，CH 是⊙D 的切线，∴∠GCD＝ ∠ACB＝30°， ∴在 Rt△CGD 中，CG＝ ＝ ＝ DE，∴CH＝CG＝ DE． 又由切线长定理可知 AG＝AE，BH＝BE， ∴l＝AB＋BC＋AC＝2 ＋2 DE＝8 DE，解得 DE＝ ， ∴△ABC 的周长为 ． 【涉及知识点】垂径定理 勾股定理 内切圆 切线长定理 三角形面积 【点评】本题巧妙将垂径定理、勾股定理、内切圆、切线长定理、三角形面积等知识综合在一起，需 要考生从前往后按顺序解题，前面问题为后面问题的解决提供思路，是一道难度较大的综合题 8 3DE 8 3 3 F C P D O BA E H G 1 2 1 2 2 2OA OF− 2 211 ( )2 − 3 2 3 1 2 ABD ACD BCDS S S S∆ ∆ ∆= + + 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 S DE 3 2 1 2 l DE DE  3 3 1 2 tan30 DG  3 3 DE 3 3 3 3 3 1 3 8 3 3 32、（2010 年广东省广州市）25．（14 分）如图所示，四边形 OABC 是矩形，点 A、C 的坐标分别为（3， 0），（0，1），点 D 是线段 BC 上的动点（与端点 B、C 不重合），过点 D 作直线 ＝－ ＋ 交折线 OAB 于点 E． （1）记△ODE 的面积为 S，求 S 与 的函数关系式； （2）当点 E 在线段 OA 上时，若矩形 OABC 关于直线 DE 的对称图形为四边形 OA1B1C1，试探究 OA1B1C1 与矩形 OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改 变，请说明理由. 【分析】（1）要表示出△ODE 的面积，要分两种情况讨论，①如果点 E 在 OA 边上，只需求出这个三 角形的底边 OE 长（E 点横坐标）和高（D 点纵坐标），代入三角形面积公式即可；②如果点 E 在 AB 边上， 这时△ODE 的面积可用长方形 OABC 的面积减去△OCD、△OAE、△BDE 的面积； （2）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积 是否变化的因素就是看这个平行四边形落在 OA 边上的线段长度是否变化． 【解答】（1）由题意得 B（3，1）． 若直线经过点 A（3，0）时，则 b＝ 若直线经过点 B（3，1）时，则 b＝ 若直线经过点 C（0，1）时，则 b＝1 ①若直线与折线 OAB 的交点在 OA 上时，即 1＜b≤ ，如图 25-a， 此时 E（2b，0）∴S＝ OE·CO＝ ×2b×1＝b ②若直线与折线 OAB 的交点在 BA 上时，即 ＜b＜ ，如图 2 此时 E（3， ），D（2b－2，1） ∴S＝S 矩－(S△OCD＋S△OAE ＋S△DBE ) ＝ 3－[ (2b－1)×1＋ ×(5－2b)·( )＋ ×3( )]＝ y 1 2 x b b C D B AEO x y 3 2 5 2 3 2 1 2 1 2 3 2 5 2 3 2b − 1 2 1 2 5 2 b− 1 2 3 2b − 25 2 b b− 图 1 D E x y C B A O D E x y C B AO 图 2 ∴ （2）如图 3，设 O1A1 与 CB 相交于点 M，OA 与 C1B1 相交于点 N， 则矩形 OA1B1C1 与矩形 OABC 的重叠部分的面积即为四边形 DNEM 的面积。 由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形 DNEM 为平行四边形 根据轴对称知，∠MED＝∠NED 又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，∴MD＝ME，∴平行四边形 DNEM 为菱形． 过点 D 作 DH⊥OA，垂足为 H， 由题易知，tan∠DEN＝ ，DH＝1，∴HE＝2， 设菱形 DNEM 的边长为 a， 则在 Rt△DHM 中，由勾股定理知： ，∴ ∴S 四边形 DNEM＝NE·DH＝ ∴矩形 OA1B1C1 与矩形 OABC 的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为 ． 【涉及知识点】轴对称 四边形 勾股定理 【点评】本题是一个动态图形中的面积是否变化的问题，看一个图形的面积是否变化，关键是看决定这个 面积的几个量是否变化，本题题型新颖是个不可多得的好题，有利于培养学生的思维能力，但难度较大， 具有明显的区分度． 33、（2010 年广东省河源市）21．本题满分 9 分． 如图 9， 中，点 P 是边 上的一个动点，过 P 作直线 MN ∥BC，设 MN 交∠BCA 的平分线于点 E，交∠BCA 的外角平分线于点 F． （1）求证:PE=PF； （2）当点 P 在边 上运动时，四边形 BCFE 可能是菱形吗？说 明理由； （3）若在 AC 边上存在点 P,使四边形 AECF 是正方形,且 .求此时∠A 的大小. 【解答】 21、⑴，证明：∵CE 平分∠BCA , ∴∠BCE=∠PCE 又 MN∥BC， ∴∠BCE=∠PEC 2 31 2 5 3 5 2 2 2 b b S b b b  < ≤=   − < < 1 2 2 2 2(2 ) 1a a= − + 5 4a = 5 4 5 4 ABC△ AC AC 2 3= BC AP 图 3 H N M C1 A1 B1 O1 D E x y C B A O ∴∠PCE=∠PEC ∴PE=PC┄┄2′ 同理 PF=PC ∴PE=PF┄┄3′ ⑵不能。┄┄4′，理由是： ∵由⑴可知，PE＝PF＝PC， 又 PC+PF>CF, ∴PE+PF>CF 即 EF>CF┄┄5′ 又菱形的四条边都相等， 所以四边形 BCFE 不可能是菱形。┄┄6′ ⑶若四边形 AECF 是正方形。则 AP=CP, ∠ACE= ∵∠BCE=∠PCE ∴∠BCA= ┄┄7′ 又∵ ∴ 即 tan∠B＝ ┄┄8′ ∴∠B＝60°∴∠A=90°-∠B=30°┄┄9′ 34、（2010 年广东省河源市）22．本题满分 9 分． 如图 10，直角梯形 OABC 中，OC∥AB，C（0，3），B（4，1），以BC 为直径的圆交 轴于 E，D 两点（D 点在 E 点右方）. （1）求点 E,D 的坐标; （2）求过 B,C,D 三点的抛物线的函数关系式； (3)过 B,C,D 三点的抛物线上是否存在点 Q，使△BDQ 是以 BD 为 直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点 Q 的坐 标. 【解答】 22、解：⑴,在 BC 上取中点 G,并过 G 作 GH⊥x 轴于 H ,连接 GD, ∵ , ∴G ∴H(2,0) ┄┄1′ ∵BC= ,GH=2-0=2 又 DG=BG= 090 0 0 452 90 2 ==∠ECF 2 3= BC AP 3= BC AC 3 x 22 40 =+ 22 13 =+ ( )2,2 ( ) 52134 22 =−+ 52 =BC 图 10 ∴HD= ∴D(3,0),E(1,0) ┄┄2′ ⑵设过 B、C、D 三点的抛物线表达式为 则， ┄┄3′ 解得， ┄┄4′ ∴ ┄┄5′ ⑶设 Q ，由（2）可得 Q 。过 Q 作 QN⊥X 轴于 N 分 2 种情况： ①当∠BDQ=90 时，∴∠NDQ+∠BDA=90° ∵∠DNQ=∠BAD=90 ∴∠NDQ+∠NQD=90°∴∠NQD=∠BDA ∴△NDQ∽△ABD ∴ ┄┄6′ 即 解得 ， 当 ，当 ， ∴ , (与点 D 重合，舍去) ┄┄7′ ② 当∠DBQ=90 时，则有 , ∵B(4,1),D(3,0),Q ， ∴BD = ( ) 125 22 =− cbxaxy ++= 2    =++ = =++ 1416 3 039 cba c cba         = −= = 3 2 5 2 1 c b a 32 5 2 1 2 +−= xxy ( )yx,      +− 32 5 2 1, 2 xxx 0 AB ND AD NQ = 1 3 1 32 5 2 1 2 xxx −= +− 3,0 21 == xx 30 11 == yx 时， 32 =x 02 =y ( )3,01Q ( )0,32Q 0 222 BQBDDQ =+      +− 32 5 2 1, 2 xxx 2 ( ) ( ) 20134 222 =−+−=BD ( ) 2 222 132 5 2 14      −+−+−= xxxBQ ( ) 2 222 32 5 2 13      +−+−= xxxDQ ∴ +2＝ 整理得， ，解得 ， ┄┄8′ ∴当 时， ＝1,（此时，Q 点与 B 点重合，舍去）当 时， ∴ (与点 B 重合，舍去)， 综上所述符合条件的点有 2 个，分别是 ， 。┄┄9′ 35（2010 年广东省深圳市）22．（本题 9 分）如图 9，抛物线 y＝ax2＋c （a＞0）经过梯形 ABCD 的四个顶点，梯形的底 AD 在 x 轴上，其 中 A（－2,0），B（－1, －3）． （1）求抛物线的解析式；（3 分） （2）点 M 为 y 轴上任意一点，当点 M 到 A、B 两点的距离之和为 最小时，求此时点 M 的坐标；（2 分） （3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点 P 使 S△PAD＝4S△ABM 成 立，求点 P 的坐标．（4 分） 【解答】 22、（1）、因为点 A、B 均在抛物线上，故点 A、B 的坐标适合抛物线方程 ∴ 解之得： ；故 为所求 （2）如图 2，连接 BD，交 y 轴于点 M，则点 M 就是所求作的点 设 BD 的解析式为 ，则有 ， ， 故 BD 的解析式为 ；令 则 ，故 (3)、如图 3，连接 AM，BC 交 y 轴于点 N，由（2）知，OM=OA=OD=2， 易知 BN=MN=1，易求 ；设 ， 依题意有： ，即： 解之得： ， ，故 符合条件的 P 点有三个： 4 0 3 a c a c + =  + = − 1 4 a c =  = − 2 4y x= − y kx b= + 2 0 3 k b k b + = − + = − 1 2 k b =  = − 2y x= − 0,x = 2y = − (0, 2)M − 90AMB∠ = ° 2 2, 2AM BM= = 1 2 2 2 22ABMS = × × =  2( , 4)P x x − 21 4 4 22 AD x − = × 21 4 4 4 22 x× − = × 2 2x = ± 0x = 1 2 3(2 2,4), ( 2 2,4), (0, 4)P P P− − ( ) 2 22 32 5 2 13      +−+− xxx ( ) 2 22 132 5 2 14      −+−+− xxx 0452 =−− xx 43 =x 14 −=x 43 =x 3y 14 −=x 6=y ( )1,43Q ( )6,14 −Q ( )3,01Q ( )6,12 −Q x y N M O P2 P1 B DA P3 C 图 3 x y M CB DA O 图 2 36、（2010 年广东省深圳市）23．（本题 9 分）如图 10，以点 M（－1,0）为圆心的圆与 y 轴、x 轴分别交 于点 A、B、C、D，直线 y＝－ 3 3 x－ 5 3 3 与⊙M 相切于点 H，交 x 轴于点 E，交 y 轴于点 F． （1）请直接写出 OE、⊙M 的半径 r、CH 的长；（3 分） （2）如图 11，弦 HQ 交 x 轴于点 P，且 DP:PH＝3:2，求 cos∠QHC 的值；（3 分） （3）如图 12，点 K 为线段 EC 上一动点（不与 E、C 重合），连接 BK 交⊙M 于点 T，弦 AT 交 x 轴于 点 N．是否存在一个常数 a，始终满足 MN·MK＝a，如果存在，请求出 a 的值；如果不存在， 请说明理由．（3 分） 【解答】 23、（1）、如图 4，OE=5， ，CH=2 （2）、如图 5，连接 QC、QD，则 ， 易知 ，故 ， ， ，由于 ， ； （3）、如图 6，连接 AK，AM，延长 AM， 与圆交于点 G，连接 TG，则 ， 由于 ，故， ； 而 ，故 在 和 中， ； 故 ； ; 即： 故存在常数 ，始终满足 常数 2r = 90CQD∠ = ° QHC QDC∠ = ∠ CHP DQP∆ ∆ DP DQ PH CH = 3 2 2 DQ= 3DQ = 4CD = 3cos cos 4 QDQHC QDC CD ∴ ∠ = ∠ = = 90GTA∠ = ° 2 4 90∴∠ + ∠ = ° 3 4∠ = ∠ 2 3 90°∴∠ + ∠ = 3 90BKO∠ + ∠ = ° 2BKO∠ = ∠ 1BKO∠ = ∠ 1 2∠ = ∠ AMK∆ NMA∆ 1 2∠ = ∠ AMK NMA∠ = ∠ AMK NMA∆  MN AM AM MK = 2 4MN MK AM= = a MN MK a= 4a = xD A B H CE M O F 图 10 x y D A B H CE M O 图 11 P Q x y D A B H CE M O F 图 12 NK y 图 5 x y P D A B H C E M O Q F 4 3 2 1 x y NT D A B H CE M O K G F 图 6 1 x y D A B H C E M O F 图 4 AB O C P E F 37、（2010 年广东省肇庆市）24．(10 分)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点 A，且 AC＝AB，CO 交 ⊙O 于点 P，CO 的延长线交⊙O 于点 F，BP 的延长线交 AC 于点 E，连接 AP、AF． 求证：(1)AF∥BE；(2)△ACP∽△FCA；(3)CP＝AE． 【解答】 24．(本小题满分 10 分) (1)∵∠B、∠F 同对劣弧 AP ，∴ ∠B ＝∠F (1 分) ∵BO＝PO，∴∠B ＝∠B PO (2 分) ∴∠F＝∠B P F，∴AF∥BE (3 分) (2)∵AC 切⊙O 于点 A，AB 是⊙O 的直径， ∴ ∠BAC＝90° ∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ ∠B PA＝90° (4 分) ∴∠EA P ＝90°—∠BE A，∠B＝90°—∠BE A， ∴∠EA P ＝∠B＝∠F (5 分) 又∠C＝∠C，∴△ACP∽△FCA (6 分) (3)∵ ∠C PE＝ ∠B PO＝∠B＝∠EA P， ∠C＝∠C ∴△P C E ∽△ACP ∴ (7 分) ∵∠EA P＝∠B，∠E P A ＝∠A P B ＝90° ∴△EA P ∽△A B P ∴ (8 分) 又 AC＝AB，∴ (9 分) 于是有 ∴CP＝AE． (10 分) 38、(2010 年广东省肇庆市)25．(10 分)已知二次函数 y＝x2＋bx＋c＋1 的图象过点 P(2，1)． (1)求证：c＝―2b―4； (2)求 bc 的最大值； (3)若二次函数的图象与 x 轴交于点 A(x1，0)、B(x2，0)，△ABP 的面积是 3 4，求 b 的值． 【解答】 25．(本小题满分 10 分) (1)证明：将点 P(2，1)代入 得： (1 分) 整理得： (2 分) (2)解：∵ ∴ ＝ (4 分) ∵—2<0 ∴当 ＝ —1 时， 有最大值 2； (5 分) AP AC PE PC = AP AB PE AE = AP AC PE AE = PE AE PE PC = 12 +++= cbxxy 1221 2 +++= cb 42 −−= bc 42 −−= bc bc 2)1(2)42( 2 ++−=−− bbb b bc · AB O C P E F 图 7 (3)解：由题意得： ， ∴ ＝︱ — ︱＝ ，即︱ — ︱ ＝ (6 分) 亦即 (7 分) 由根与系数关系得： ， (8 分) 代入 得： ， 整理得： (9 分) 解得： ，经检验均合题意． (10 分) 39、（2010 年广东省中山市）22．如图（1），（2）所示，矩形 ABCD 的边长 AB=6，BC=4，点 F 在 DC 上， DF=2。动点 M、N 分别 从点 D、B 同时出发，沿射线 DA、线段 BA 向点 A 的方向运动（点 M 可运动到 DA 的延长线上）， 当动点 N 运动到点 A 时，M、N 两点同时停止运动。连接 FM、FN，当 F、N、M 不在同一直线时， 可得△FMN，过△FMN 三边的中点作△PQW。设动点 M、N 的速度都是 1 个单位/秒，M、N 运动的 时间为 x 秒。试解答下列问题： （1）说明△FMN∽△QWP； （2）设 0≤x≤4（即 M 从 D 到 A 运动的时间段）。试问 x 为何值时，△PQW 为直角三角形？ 当 x 在何范围时，△PQW 不为直角三角形？ （3）问当 x 为何值时，线段 MN 最短？求此时 MN 的值。 【解答】 22、（1）提示：∵PQ∥FN，PW∥MN ∴∠QPW =∠PWF，∠PWF =∠MNF ∴∠QPW =∠MNF 同理可得：∠PQW =∠NFM 或∠PWQ =∠NFM ∴△FMN∽△QWP （2）当 时，△PQW 为直角三角形； 当 0≤ x< ， MN 成立的 x 的取值范围。 【解答】 解：（1）∠ABE＝∠CBD=30° 在△ABE 中，AB＝6 BC=BE= CD=BCtan30°=4 ∴OD=OC-CD=2 ∴B( ，6) D(0,2) 设 BD 所在直线的函数解析式是 y=kx+b ∴ 5 5 2 1 5 5= PA AE 5 cbxaxy ++= 2 3430cos =° AB 34 2 634 = =+ b bk 2 3 3 = = b k 所以 BD 所在直线的函数解析式是 (2)∵EF=EA=ABtan30°= ∠FEG=180°-∠FEB-∠AEB=60° 又∵FG⊥OA ∴FG＝EFsin60°=3 GE=EFcos60°= OG=OA-AE-GE= 又 H 为 FG 中点 ∴H（ ， ） …………4 分 ∵B( ，6) 、 D(0,2)、 H（ ， ）在抛物线 图象上 ∴ ∴抛物线的解析式是 (2)∵MP= MN=6- H=MP-MN= 由 得 该函数简图如图所示： 当 00，即 HP>MN 42、（2010 年广西桂林市）25．（本题满分 10 分）如图，⊙O 是△ABC 的外 接圆，FH 是⊙O 的切线，切点为 F， FH∥BC，连结 AF 交 BC 于 E，∠ABC 的平分线 BD 交 AF 于 D，连结 BF． （1）证明：AF 平分∠BAC； 23 3 += xy 32 3 3 3 2 3 34 3 2 3 cbxaxy ++= 2 2 333 2 63448 =++ = =++ cba c cba 2 3 3 6 1 = −= = c b a 23 3 6 1 2 +−= xxy xxxxx 3 32 6 1)23 3 6 1()23 3( 22 +−=+−−+ xx 3 34)23 3( −=+ 436 1)3 34()3 32 6 1( 22 −+−=−−+− xxxxx 0436 1 2 =−+− xx 34,32 21 == xx 32 32 32 34 A B C D E F O H （2）证明：BF＝FD； （3）若 EF＝4，DE＝3，求 AD 的长．[来源:Zxxk.Com] 【解答】 25．(本题 10 分)证明（1）连结 OF ∵FH 是⊙O 的切线，∴OF⊥FH ……………1 分 ∵FH∥BC ，∴OF 垂直平分 BC ………2 分 ∴ ∴AF 平分∠BAC …………3 分 （2）证明：由（1）及题设条件可知 ∠1=∠2，∠4=∠3，∠5=∠2 ……………4 分 ∴∠1+∠4=∠2+∠3，∴∠1+∠4 =∠5+∠3 ……………5 分 ∠FDB=∠FBD，∴BF=FD ………………6 分 （3）解： 在△BFE 和△AFB 中 ∵∠5=∠2=∠1，∠F=∠F ∴△BFE∽△AFB ………………7 分 ∴ ， ……………8 分 ∴ ，∴ ……………………9 分 ∴ ，∴AD= = …………………10 分 43、（2010 年广西桂林市）26．（本题满分 12 分）如图，过 A（8，0）、B（0， ）两点的直线与直线 交于点 C．平行于 轴的直线 从原点 O 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 轴向右平移， 到 C 点时停止； 分别交线段 BC、OC 于点 D、E，以 DE 为边向左侧作等边△ DEF，设△DEF 与△BCO 重叠部分的面积为 S（平方单位），直线 的运动时间为 t（秒）． （1）直接写出 C 点坐标和 t 的取值范围； （2）求 S 与 t 的函数关系式； （3）设直线 与 轴交于点 P，是否存在这样的点 P，使得以 P、O、F 为顶点的三角形为等腰三角形， 若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．  BF FC= BF AF FE BF = 2BF FE FA= ⋅ 2BFFA FE = 27 49 4 4FA = = 49 74 − 21 4 8 3 xy 3= y l x l l l x A 8 C O B 备用图1 8 3 x y 3y x= A 8P C E O D F B l 3y x= x y 8 3 A B C D E F O 1 2 34 5 H A B C D E F O 1 2 H 【解答】 26．(本题 12 分)解（1）C（4， ） ……………………………2 分 的取值范围是：0≤ ≤4 ……………………………… 3 分 （2）∵D 点的坐标是（ ， ），E 的坐标是（ ， ） ∴DE= - = ……………………4 分 ∴等边△DEF 的 DE 边上的高为： ∴当点 F 在 BO 边上时： = ，∴ =3 ……………………5 分 ① 当 0≤ <3 时，重叠部分为等腰梯形，可求梯形上底为： - …7 分 S= = = …… …………………………8 分 ② 当 3≤ ≤4 时，重叠部分为等边三角形 S= ………………… 9 分 = ……………………10 分 （3）存在，P（ ，0） ……………………12 分 说 明：∵FO≥ ，FP≥ ，OP≤4 ∴以 P，O，F 以顶点的等腰三角形，腰只有可能是 FO，FP, 若 FO=FP 时， =2（12-3 ）， = ，∴P（ ，0） 44、（2010 年广西柳州市）25．（本题满分 10 分） 如图 12， 为 直径，且弦 于 ，过点 的 切线与 的延长线交于点 ． （1）若 是 的中点，连接 并延长 交 于 ．求证： ． （2）若 ，求 的半径． 4 3 t t t 3 8 3t− + t 3t 3 8 3t− + 3t 8 3 2 3t− 12 3t− 12 3t− t t t 8 3 2 3t− 2 3 3 t 2 3(8 3 2 3 8 3 2 3 )2 3 t t t t− + − − 14(16 3 3 )2 3 t t− 27 3 8 33 t t− + t 1 (8 3 2 3 )(12 3 )2 t t− − 23 3 24 3 48 3t t− + 24 7 4 3 4 3 t t t 24 7 24 7 AB O⊙ CD AB⊥ E B AD F M AD ME ME BC N MN BC⊥ 4cos 35C DF∠ = =， O⊙ A 8P C E O D F B l 3y x= x y 8 3 图 12 【解答】 25．本题满分 10 分 （1）（方法一） 连接 ． 为 的直径，且 于 ， 由垂径定理得：点 是 的中点． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分 又 是 的中点 是 的中位线 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分 为 直径， ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分 即 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分 （方法二） ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分 是 的中点， ，即有 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分 又 ，由 与 同对 知 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分 又 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分 ，即 ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分 （方法三） ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分 由于 是 的中点， ，即有 又 与 同对 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分 又 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分 又 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分 即有 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分 （2）连接 与 同对 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分 为 的切线， 在 中， 设 ，则 ，由勾股定理得： AC AB O⊙ AB CD⊥ E E CD  M AD ME∴ DAC△ MN AC∴ ∥ AB O⊙ 90ACB∴∠ = ° 90MNB∴∠ = ° MN BC⊥ AB CD⊥ 90AED BEC∴∠ = ∠ = ° M AD ME AM∴ = MEA A∠ = ∠ MEA BEN∠ = ∠ A∠ C∠ BD C A∠ = ∠ C BEN∴∠ = ∠ 90C CBE∠ + ∠ = ° 90CBE BEN∴∠ + ∠ = ° 90BNE∴∠ = ° MN BC⊥ AB CD⊥ 90AED∴∠ = ° M AD ME MD∴ = MED EDM∠ = ∠ CBE∠ EDA∠ AC CBE EDA∴∠ = ∠ MED NEC∠ = ∠ NEC CBE∴∠ = ∠ 90C CBE∠ + ∠ = ° 90NEC C∴∠ + ∠ = ° 90CNE∠ = ° MN BC∴ ⊥ BD BCD∠ BAF∠ BD C A∴∠ = ∠ 4cos cos 5A C∴ ∠ = ∠ = BF O⊙ 90ABF∴∠ = ° Rt ABF△ 4cos 5 ABA AF ∠ = = 4AB x= 5AF x= 3BF x= ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分 又 为 直径， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分 即 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分 直径 则 的半径为 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分 （说明：其他解法参照此法给分） 45、（2010 年广西柳州市）26．（本题满分 12 分） 如图 13，过点 作 轴、 轴的垂线，分别交 轴、 轴于 A、 B 两点，交双曲线 于 两点． （1）点 的坐标是　　　　，点 的坐标是　　　　；（均用含 的 式子表示） （2）判断 与 的位置关系，并证明你的结论； （3）记 ， 是否有最小值？若有，求出其最小值； 若没有，请说明理由． 【解答】 26．本题满分 12 分． 解：（1） ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分 （说明：只写对一个点的坐标给 2 分，写对两个点的坐标给 3 分） （2）（证法一）结论： ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分 证明： ， ， 即得： ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分 AB O⊙ BD AD∴ ⊥ ABF BDF∴△ ∽△ BF DF AF BF ∴ = 3 3 5 3 x x x = 5 3x = ∴ 5 204 4 3 3AB x= = × = O⊙ 10 3 ( 4 3)P − ， x y x y ( 2)ky kx = ≥ E F、 E F k EF AB PEF OEFS S S= −△ △ S 4 4 kE  − −  ， 33 kF     ， EF AB∥ ( 4 3)P − ， 4 4 kE  ∴ − −  ， 33 kF     ， 3 44 3 k kPE PF= + = +， 3 12 4 12 12 123 44 3 PA PB k kPE k PF k = = = =+ ++ + ， APB EPF∠ = ∠ PAB PEF∴△ ∽△ PAB PEF∴∠ = ∠ 图 13 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分 （证法二）结论： ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分 证明： ， ， 即得： ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分 在 中， 在 中， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分 （3）（方法一） 有最小值 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分 = ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分 由（2）知， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分 又 ，此时 的值随 值增大而增大， 当 时， 的最小值是 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分 （方法二） 有最小值 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分 分别过点 作 的平行线，交点为 由（2）知， 四边形 为矩形 EF AB∴ ∥ EF AB∥ ( 4 3)P − ， 4 4 kE  ∴ − −  ， 33 kF     ， 3 44 3 k kPE PF= + = +， Rt PAB△ 4tan 3 PBPAB PA ∠ = = Rt PEF△ 4 43tan 33 4 k PFPEF kPE + ∠ = = = + tan tanPAB PEF∴ ∠ = ∠ PAB PEF∴∠ = ∠ EF AB∴ ∥ S EAO FBOPAOBPEOFS S S= + △ △矩形四边形 +S 12 k+ 12EOF PEF PEFPEOFS S S S k∴ = − = − +△ △ △四边形 1 1 3 42 2 4 3PEF k kS PE PF   = = + +    △ · · 2 12PEF OEF PEFS S S S k∴ = − − −△ △ △= 2 21 ( 6) 312 12 k k k= + = + − 2k ≥ S k ∴ 2k = 7 3S =最小 S∴ 7 3 S E F、 PF PE、 P′ 3 4 k kP  ′ −  ，  PEP F′ P EF PEFS S′∴ =△ △ = = ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分 = ………10 分 = = ………11 分 又 ，此时 的值随 值增大而增大， 当 时， 的最小值是 ．………12 分 （说明：其他解法参照此法给分） 46、（2010 年广西南宁市）七、（本大题满分 10 分） 25．如图 11-①， 为 的直径， 与 相切于点 与 相切于点 ，点 为 延 长线上一点，且 （1）求证： 为 的切线； （2）连接 ， 的延长线与 的延长线交于点（如图 11-②所示）.若 ，求线段 和 的长. 【解答】 七、（本大题满分 10 分） 25．（1）连接 ………………（1 分） PEF OEFS S S∴ = −△ △ P EF OEFS S′ −△ △ OME ONFOMP NS S S′+ +△ △矩形 2 2 12 2 k k k+ + 2 12 k k+ 21 ( 6) 312 k + − 2k ≥ S k ∴ 2k = 7 3S =最小 S∴ 7 3 AB ⊙ O AD ⊙ O A DE， ⊙ O E C DE .CE CB= BC ⊙ O AE AE BC 2 5 2AB AD= =， BC EG OE OC， CB CE OB OE OC OC= = = ， ， ， ( )OBC OEC SSS∴△ ≌△ ， B 图 11-② G O A D E C 图 11-① B O A D E C B O A D E C ………………………（2 分） 又 与 相切于点 ， …………………………（3 分） 为 的切线.…………………………（4 分） （2）过点 作 于点 ， 分别切 于点 ………………………………（5 分） 设 为 ，则 . 在 中， 解得： ……………………………（6 分） ………………………………………………………………（7 分） ……………………………………………（8 分） 解法一：连接 …………………………………………………………………………（9 分） 在 中， …………………（10 分） 解法二： …………………………………………………………………（9 分） 解得： …………………………………………………………………（10 分） OBC OEC∴∠ = ∠ ． DE O⊙ E 90OEC∴∠ = °． 90OBC∴∠ = °． BC∴ O⊙ D DF BC⊥ F AD DC BG ， ， O⊙ A E B， ， ， DA DE CE CB∴ = =， ． BC x 2 2CF x DC x= − = +， Rt DFC△ ( ) ( ) ( )22 22 2 2 5x x+ − − = ， 5 2x = ． AD BG ∥ ， DAE EGC∴∠ = ∠ ． DA DE= ， DAE AED∴∠ = ∠ . AED CEG∠ = ∠ ， EGC CEG∴∠ = ∠ ， 5 2CG CE CB∴ = = = ， 5BG∴ = ． ( )2 22 5 5 45 3 5AG∴ = + = = ． BE， 1 2ABG∆ =S AB BG AG BE= 1· · ， 2 2 5 5 3 5BE∴ × = ， 10 3BE∴ = ． Rt BEG△ 2 2 2 2 10 55 53 3EG BG BE  = − = − =   ． DAE EGC AED CEG∠ = ∠ ∠ = ∠ ， ， ADE GCE∴△ ∽△ ， 3 5AD AE EG CG EG EG −∴ = =2， ， 2. 5 5 5 3EG = ． B G O A D E CF 47、(2010 年广西南宁市)八、（本大题满分 10 分） 26．如图 12，把抛物线 （虚线部分）向右平移 1 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，得到抛 物线 ，抛物线 与抛物线 关于 轴对称.点 、 、 分别是抛物线 、 与 轴的交点， 、 分 别是抛物线 、 的顶点，线段 交 轴于点 . （1）分别写出抛物线 与 的解析式； （2）设 是抛物线 上与 、 两点不重合的任意一点， 点是 点关于 轴的对称点，试判断以 、 、 、 为顶点的四边形是什么特殊的四边形？说明你的理由. （ 3 ） 在 抛 物 线 上 是 否 存 在 点 ， 使 得 ，如果存在，求出 点的坐标，如果不 存在，请说明理由. 【解答】 八、（本大题满分 10 分） 26．解：（1） （或 ）；………………………………（1 分） （或 ）；………………………………（2 分）（2）以 、 、 、 为顶点的四边形为矩形或等腰梯形.………………………（3 分） 理由： 点 与点 ，点 与点 关于 轴对称， 轴. ①当 点是 的对称轴与 的交点时，点 、 的坐标分别为（ 1， 3）和（1， 3），而点 、 的 坐 标 分 别 为 （ ） 和 （ 1 ， 1 ）， 所 以 四 边 形 是 矩 形.………………………………………………………………………………………（4 分） ②当 点不是 的对称轴与 的交点时，根据轴对称性质， 有： （或 ），但 . 四边形 （或四边形 ）是等腰梯形.…………………………………（5 分） （3）存在.设满足条件的 点坐标为 ，连接 依题意得： 2y x= − 1l 2l 1l y A O B 1l 2l x D C 1l 2l CD y E 1l 2l P 1l D O Q P y P Q C D 1l M ABM AOEDS S∆ ∆= 四边形 M ( )2 1 : 1 1l y x= − − + 2 2y x x= − + ( )2 2 : 1 1l y x= − − + 2 2y x x= − − P Q C D  C D P Q y CD PQ x∴ ∥ ∥ P 2l l1 P Q − − − C D 1− ，1 CD PQ CP CD= ⊥， ， CPQD P 2l 1l CP DQ= CQ DP= CD PQ≠ ∴ CPQD CQPD M ( )x y， MA MB AD， ， ， A C DE B O 2l 1l 图 12 y x A B DE O C H A B DE O C H ， .……………………………………………………………（6 分） ①当 时， …………………………………………………………………………………（7 分） 将 代入 的解析式，解得： ， ……………………………………………………………（8 分） ②当 时， ………………………………………………………………………………（9 分） 将 代入 的解析式，解得： ， ……………………………………（10 分） 48、（2010 年广西河池市）25.（本小题满分 10 分）如图 10， 为 的直径， 为弦，且 ， 垂足为 ． （1）如果 的半径为 4， ，求 的度数； （2）若点 为 的中点，连结 ， ．求证： 平分 ； （3）在（1）的条件下，圆周上到直线 距离为 3 的点有多少个？并说明理由． 【解答】 25．解：（1）∵ AB 为⊙O 的直径，CD⊥AB ∴ CH＝ CD＝2 ……（1 分） 　　　　　　在 Rt△COH 中，sin∠COH= = ∴ ∠COH=60° …………………………………（2 分） ∵ OA=OC ∴∠BAC= ∠COH=30° ………（3 分）　 AB O CD CD AB⊥ H O 4 3CD = BAC∠ E ADB OE CE CE OCD∠ AC 2 1 3 OC CH 2 3 2 1 ( ) ( ) ( )2 0A B E， ， - 2，0 ， 0，1 ( )1 2 1 3 2 2AOEDS + ×= =梯形 0y > 1 342 2ABMS y∆ = × × = ， 3 4y∴ = ． 3 4y = 1l 1 3 2x = ， 2x 1= ． 2 1 3 2M  ∴    3， 4 2 1 2M      3， ． 4 0y < ( )1 342 2ABMS y∆ = × × − = ， 3 4y∴ = − ． 3 4y = − 1l 71 2x = ± ． 3 2 7 2M  +∴     3，- 4 4 2 7 2M  −    3，- ． 4 图 10 （2）∵ 点 E 是 的中点 ∴OE⊥AB ……………（4 分） ∴ OE∥CD ∴ ∠ECD=∠OEC ………………（5 分） 又∵ ∠OEC=∠OCE ∴ ∠OCE=∠DCE …………………………………（6 分） ∴ CE 平分∠OCD …………………………………（6 分） 　（3）圆周上到直线 的距离为 3 的点有 2 个. …………………（8 分） 因为劣弧 上的点到直线 的最大距离为 2， 上的点到直线 AC 的最大距离为 6， ，根据圆的轴对称性， 到直线 AC 距离为 3 的点有 2 个. ……………（10 分） 49 、（2010 年广西河池市）26. （本小题满分 12 分）如图 11 ，在 直角梯形 中， ∥ ， ，点 为坐标原 点，点 在 轴的正半轴上，对角线 ， 相交于点 ， ， ． （1）线段 的长为 ，点 的坐标为 ； （2）求△ 的面积； （3）求过 ， ， 三点的抛物线的解析式； （4）若点 在（3）的抛物线的对称轴上，点 为该 抛物线上的点，且以 ， ， ， 四点为顶点的四边形 为平行四边形，求点 的坐标． 【解答】 26.解：（1）4 ； . …………………（2 分） （2）在直角梯形 OABC 中，OA=AB=4， ∵ ∥ ∴ △OAM∽△BCM ………（3 分） 又 ∵ OA=2BC ∴ AM＝2CM ，CM＝ AC ………………（4 分） 所以 ………（5 分） （注：另有其它解法同样可得结果，正确得本小题满分.） （3）设抛物线的解析式为 　　　由抛物线的图象经过点 , , .所以 ADB AC AC AC ADC 2 3 6< < ADC OABC CB OA 90OAB∠ =  O A x OB AC M 4OA AB= = 2OA CB= OB C OCM O A C E F A O F E F 2 ( )2,4 90OAB∠ =  CB OA 3 1 1 1 1 84 43 3 2 3OCM OACS S∆ ∆= = × × × = ( )2 0y ax bx c a= + + ≠ ( )0,0O ( )4,0A ( )2,4C y x M C B O A 图 11 y x M C B O AD 　　　　　 ……………………………（6 分） 　　　解这个方程组，得 ， ， ………………（7 分） 所以抛物线的解析式为 ………………（8 分） （4）∵ 抛物线 的对称轴是 CD， ① 当点 E 在 轴的下方时，CE 和 OA 互相平分则可知四边形 OEAC 为平行四边形，此时点 F 和点 C 重合，点 F 的坐标即为点 ； …（9 分） ② 当点 E 在 轴的下方，点 F 在对称轴 的右侧，存在平行四边形 ， ∥ ，且 ， 此 时 点 F 的 横 坐 标 为 6 ， 将 代 入 ， 可 得 . 所 以 . ………………………………………（11 分） 同理，点 F 在对称轴 的左侧，存在平行四边形 ， ∥ ，且 ，此时点 F 的 横坐标为 ，将 代入 ，可得 .所以 .（12 分） 综上所述，点 F 的坐标为 ， . ………（12 分） 　　 50、（2010 年贵州省毕节地区）27．（本题 16 分）某物流公司的快递车和货车每天往返于 A、B 两地，快 递车比货车多往返一趟．下图表示快递车距离 A 地的路程 （单位：千米）与所用时间 （单位：时）的 函数图象．已知货车比快递车早 1 小时出发，到达 B 地后用 2 小时装卸货物，然后按原路、原速返回，结 果比快递车最后一次返回 A 地晚 1 小时． (1) 请在下图中画出货车距离 A 地的路程 （千米）与所用时间 (时)的函数图象；(3 分) (2) 求两车在途中相遇的次数（直接写出答案）；（3 分） (3) 求两车最后一次相遇时，距离 A 地的路程和货车从 A 地出发了几小时．（10 分）    =++ =++ = 424 0416 0 cba cba c 1a = − 4b = 0c = 2 4y x x= − + 2 4y x x= − + 2x = x ( )2,4C x 2x = AOEF OA EF OA EF= 6x = 2 4y x x= − + 12y = − ( )6, 12F − 2x = OAEF OA FE OA FE= 2− 2x = − 2 4y x x= − + 12y = − ( )2, 12F − − ( )2,4 ( )6, 12− ( ), 2, 12− − y x y x P3 P2 P1 O BA 【解答】 27． 解：（1）图象如图； 3 分 （2）4 次； 6 分 （3）如图，设直线 的解析式为 ， ∵图象过 ， ， 8 分 ．① 10 分 设直线 的解析式为 ，∵图象过 ， ， 12 分 ．② 14 分 解由①，②组成的方程组得 最后一次相遇时距离 地的路程为 100km，货车从 地出发 8 小时． 16 分 51、（2010 年贵州省贵阳市）24．（本题满分 12 分） 如图 11，已知 AB 是⊙O 的弦，半径 OA＝2cm，∠AOB＝120 . （1） 求 tan∠OAB 的值（4 分） （2） 计算 S （4 分） （3） ⊙O 上一动点 P 从 A 点出发，沿逆时针方向运动， 当 S ＝S 时，求 P 点所经过的弧长（不考虑点 P 与点 B 重合的情形）（4 分） 【解答】 24．解：（1） ………………………………………………………………4 分 （2） （cm ）………………………8 分 （3）如图，延长 BO 交⊙O 于点 ， EF 1 1y k x b= + (9 0)， (5 200)， 1 1 1 1 200 5 0 9 . k b k b = +∴ = + ， 1 1 50 450. k b = −∴ = ， 50 450y x∴ = − + CD 2 2y k x b= + (8 0)， (6 200)， 2 2 2 2 200 6 0 8 . k b k b = +∴ = + ， 2 2 100 800. k b = −∴ = ， 100 800y x∴ = − + 7 100. x y =  = ， ∴ A A  AOB∆ POA∆ AOB∆ 3 3 3 2 1P x (时) y (千米) 1 2 43 5 6 7 8 9-1 50 100 150 200 O F G CE D P O BA ( 图 11) （图 12） AP1 AP2 ABP3 ∵点 O 是直径 的中点 ∴S ＝S ∠AOP ＝60 ∴ 的长度为 （cm）………………………………………………10 分 作点 A 关于直径 的对称点 ，连结 , ． 易得 S ＝S ， ∠AOP ＝120 ∴ 的长度为 （cm）………………………………………………11 分 过点 B 作 ∥ 交⊙O 于点 易得 ， ∴ 的长度为 （cm）………………………………………………12 分 52、（2010 年贵州省贵阳市）25. （本题满分 12 分） 如图 12，在直角坐标系中，已知点 的坐标为（1,0），将线段 绕原点 O 沿逆时针方向旋转 45 ，再将其延长到 ，使得 ，得到线段 ；又将线段 绕原点 O 沿逆时针方向旋 转 45 ，再将其延长到 ，使得 ，得到线段 ，如此下去，得到线段 ， ，…， ． （1）写出点 M5 的坐标；（4 分） （2）求 的周长；（4 分） （3）我们规定：把点 （ 0,1,2,3…） 的横坐标 ，纵坐标 都取绝对值后得到的新坐标 称之为点 的“绝对坐标”．根据图中点 的分布规律，请你猜想点 的“绝对坐标”，并写出来．（4 分） 1BP OAP1∆ AOB∆ 1  π 3 2 1BP 2P 2AP 2OP OAP2∆ AOB∆ 2  π 3 4 3BP OA 3P AOBOAP SS ∆∆ = 3 π 3 10 0M 0OM  1M 001 OMMM ⊥ 1OM 1OM  2M 112 OMMM ⊥ 2OM 3OM 4OM nOM 65OMM∆ )( nnn yxM ， =n nx ny ( )nn yx , nM nM nM 【解答】 25．（1）M5（―4，―4）………………………………………………………………4 分 （2）由规律可知， , ， ………………6 分 ∴ 的周长是 ……………………………………………………8 分 （3）解法一：由题意知， 旋转 8 次之后回到 轴的正半轴，在这 8 次旋转中，点 分别落在坐标 象限的分角线上或 轴或 轴上，但各点“绝对坐标”的横、纵坐标均为非负数，因此，点 的“绝对 坐标”可分三类情况： 令旋转次数为 ① 当点 M 在 x 轴上时: M0（ ），M4（ ），M8（ ），M12（ ）,…， 即：点 的“绝对坐标”为（ ）。…………………………………………………9 分 ② 当点 M 在 y 轴上时: M2 ，M6 ，M10 ，M14 ,……， 即：点 的“绝对坐标”为 。…………………………………………………10 分 ③ 当点 M 在各象限的分角线上时：M1 ，M3 ，M5 ，M7 ,……，即： 的“绝对坐标”为 。………………………………………………………………12 分 解法二：由题意知， 旋转 8 次之后回到 轴的正半轴，在这 8 次旋转中，点分别落在坐标象限的分 角线上或 轴或 轴上，但各点“绝对坐标”的横、纵坐标均为非负数，因此，各点的“绝对坐标”可分 三种情况： ①当 时（其中 =0，1，2，3，…），点在 轴上，则 （ ）…………9 分 ②当 时（其中 =1，2，3，…），点在 轴上，点 （ ）…………10 分 ③当 =1，2，3，…，时，点在各象限的分角线上，则点 （ ）………12 分 53、（2010 年贵州省遵义市）26．（12 分）如图，在△ABC 中，∠C= ，AC+BC=8，点 O 是 245 =OM 2465 =MM 86 =OM 65OMM∆ 288 + 0OM x nM x y nM n 0,)2( 0 0,)2( 4 0,)2( 8 0,)2( 12 nM 0,)2( n ))2(,0( 2 ))2(,0( 6 ))2(,0( 10 ))2(,0( 14 nM ))2(,0( n ))2(,)2(( 00 ))2(,)2(( 22 ))2(,)2(( 44 ))2(,)2(( 66 nM ))2(,)2(( 11 −− nn 0OM x x y kn 2= k x nM 2 0,2n 12 −= kn k y nM 2 n2,0 n 12 −nM 11 2,2 −− nn 90 斜边 AB 上一点，以 O 为圆心的⊙O 分别与 AC、BC 相切于 点 D、E． （1）当 AC＝2 时，求⊙O 的半径； （2）设 AC＝ ，⊙O 的半径为 ，求 与 的函数关系式． 【解答】 26．（12 分）(1)(5 分) 解: 连接 OD、OE、OC ∵D、E 为切点 ∴OD⊥AC， OE⊥BC， OD=OE ∵ ∴ AC·BC= AC·OD+ BC·OE ∵AC+BC=8， AC=2，∴BC=6 ∴ ×2×6= ×2×OD+ ×6×OE 而 OD=OE， ∴OD= ，即⊙O 的半径为 （2）（7 分）解：连接 OD、OE、OC ∵D、E 为切点 ∴OD⊥AC， OE⊥BC， OD=OE= ∵ ∴ AC·BC= AC·OD+ BC·OE ∵AC+BC=8， AC= ，∴BC=8- ∴ （8- ）= + （8- ） 化简： 即： 54、（2010 年贵州省遵义市）27．（14 分）如图，已知抛物线 的顶点坐 标为 Q ，且与 轴交于点 C ，与 轴交于 A、B 两 点（点 A 在点 B 的右侧），点 P 是该抛物线上一动点，从点 C 沿抛物线向点 A 运动（点 P 与 A 不重合），过点 P 作 PD∥ 轴， 交 AC 于点 D． (1)求该抛物线的函数关系式； (2)当△ADP 是直角三角形时，求点 P 的坐标； (3)在问题(2)的结论下，若点 E 在 轴上，点 F 在抛物线上， 问是否存在以 A、P、E、F 为顶点的平行四边形？若存在， 求点 F 的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】 27．（14 分）解：（1）（3 分） x y y x BOCAOCABC SSS ∆∆∆ += 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 2 3 2 y BOCAOCABC SSS ∆∆∆ += 2 1 2 1 2 1 x x 2 1 x x 2 1 x y 2 1 x y xyyxyxx −+=− 88 2 xxy +−= 2 8 1 )0(2 ≠++= acbxaxy ( )1,2 − y ( )3,0 x y x （27 题图） ∵抛物线的顶点为 Q（2，-1） ∴设 将 C（0，3）代入上式，得 ∴ ， 即 （2）（7 分）分两种情况： ①(3 分)当点 P1 为直角顶点时,点 P1 与点 B 重合(如图) 令 =0, 得 解之得 , ∵点 A 在点 B 的右边, ∴B(1,0), A(3,0) ∴P1(1,0) ②(4 分)解:当点 A 为△APD2 的直角顶点是(如图) ∵OA=OC, ∠AOC= , ∴∠OAD2= 当∠D2AP2= 时, ∠OAP2= , ∴AO 平分∠D2AP2 又∵P2D2∥ 轴, ∴P2D2⊥AO, ∴P2、D2 关于 轴对称. 设直线 AC 的函数关系式为 将 A(3,0), C(0,3)代入上式得 , ∴ ∴ ∵D2 在 上, P2 在 上, ∴设 D2( , ), P2( , ) ∴( )+( )=0 , ∴ , (舍) ∴当 =2 时, = =-1 ∴P2 的坐标为 P2(2,-1)(即为抛物线顶点) ∴P 点坐标为 P1(1,0), P2(2,-1) (3)(4 分)解: 由题(2)知,当点 P 的坐标为 P1(1,0)时,不能构成平行四边形 当点 P 的坐标为 P2(2,-1)(即顶点 Q)时, 平移直线 AP(如图)交 轴于点 E,交抛物线于点 F. 当 AP=FE 时,四边形 PAFE 是平行四边形 ∵P(2,-1), ∴可令 F( ,1) ∴ 解之得: , ∴F 点有两点,即 F1( ,1), F2( ,1) ( ) 12 2 −−= xay ( ) 1203 2 −−=a 1=a ( ) 12 2 −−= xy 342 +−= xxy y 0342 =+− xx 11 =x 32 =x 90 45 90 45 y x bkxy +=    = += b bk 3 30    = −= 3 1 b k 3+−= xy 3+−= xy 342 +−= xxy x 3+− x x 342 +− xx 3+− x 342 +− xx 0652 =+− xx 21 =x 32 =x x 342 +−= xxy 32422 +×− x x 1342 =+− xx 221 −=x 222 +=x 22 − 22 +