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文档介绍
2019年湖南省长沙市中考数学试卷
2019年湖南省长沙市中考数学试卷 一、选择题(本题共12小题,每题3分,共36分) 1.(3分)下列各数中,比﹣3小的数是( ) A.﹣5 B.﹣1 C.0 D.1 2.(3分)根据《长沙市电网供电能力提升三年行动计划》,明确到2020年,长沙电网建设改造投资规模达到15000000000元,确保安全供用电需求.数据15000000000用科学记数法表示为( ) A.15×109 B.1.5×109 C.1.5×1010 D.0.15×1011 3.(3分)下列计算正确的是( ) A.3a+2b=5ab B.(a3)2=a6 C.a6÷a3=a2 D.(a+b)2=a2+b2 4.(3分)下列事件中,是必然事件的是( ) A.购买一张彩票,中奖 B.射击运动员射击一次,命中靶心 C.经过有交通信号灯的路口,遇到红灯 D.任意画一个三角形,其内角和是180° 5.(3分)如图,平行线AB,CD被直线AE所截,∠1=80°,则∠2的度数是( ) A.80° B.90° C.100° D.110° 6.(3分)某个几何体的三视图如图所示,该几何体是( ) A. B. C. D. 7.(3分)在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中,11名参赛同学的成绩各不相同,按照成绩取前5名进入决赛.如果小明知道了自己的比赛成绩,要判断能否进入决赛,小明需要知道这11名同学成绩的( ) A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差 8.(3分)一个扇形的半径为6,圆心角为120°,则该扇形的面积是( ) A.2π B.4π C.12π D.24π 9.(3分)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧相交于M、N两点,作直线MN,交BC于点D,连接AD,则∠CAD的度数是( ) A.20° B.30° C.45° D.60° 10.(3分)如图,一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向,距离灯塔60nmile的小岛A出发,沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处,这时轮船B与小岛A的距离是( ) A.30nmile B.60nmile C.120nmile D.(30+30)nmile 11.(3分)《孙子算经》是中国传统数学的重要著作,其中有一道题,原文是:“今有木,不知长短,引绳度之,余绳四尺五寸;屈绳量之,不足一尺.木长几何?”意思是:用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺;将绳子对折再量木头,则木头还剩余1尺,问木头长多少尺?可设木头长为x尺,绳子长为y尺,则所列方程组正确的是( ) A. B. C. D. 12.(3分)如图,△ABC中,AB=AC=10,tanA=2,BE⊥AC于点E,D是线段BE上的一个动点,则CD+BD的最小值是( ) A.2 B.4 C.5 D.10 二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分) 13.(3分)式子在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是 . 14.(3分)分解因式:am2﹣9a= . 15.(3分)不等式组的解集是 . 16.(3分)在一个不透明的袋子中有若干个小球,这些球除颜色外无其他差别,从袋中随机摸出一球,记下其颜色,这称为一次摸球试验,然后把它重新放回袋中并摇匀,不断重复上述过程.以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表: 摸球实验次数 100 1000 5000 10000 50000 100000 “摸出黑球”的次数 36 387 2019 4009 19970 40008 “摸出黑球”的频率(结果保留小数点后三位) 0.360 0.387 0.404 0.401 0.399 0.400 根据试验所得数据,估计“摸出黑球”的概率是 .(结果保留小数点后一位) 17.(3分)如图,要测量池塘两岸相对的A,B两点间的距离,可以在池塘外选一点C,连接AC,BC,分别取AC,BC的中点D,E,测得DE=50m,则AB的长是 m. 18.(3分)如图,函数y=(k为常数,k>0)的图象与过原点的O的直线相交于A,B两点,点M是第一象限内双曲线上的动点(点M在点A的左侧),直线AM分别交x轴,y轴于C,D两点,连接BM分别交x轴,y轴于点E,F.现有以下四个结论: ①△ODM与△OCA的面积相等;②若BM⊥AM于点M,则∠MBA=30°;③若M点的横坐标为1,△OAM为等边三角形,则k=2+;④若MF=MB,则MD=2MA. 其中正确的结论的序号是 .(只填序号) 三、解答题(本大题共8个小题,第19、20题每小题6分,第21、22题每小题6分,第23、24题每小题6分,第25、26题每小题6分,共66分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤) 19.(6分)计算:|﹣|+()﹣1﹣÷﹣2cos60°. 20.(6分)先化简,再求值:(﹣)÷,其中a=3. 21.(8分)某学校开展了主题为“垃圾分类,绿色生活新时尚”的宣传活动.为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况,该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查,将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计,并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图. 等级 频数 频率 优秀 21 42% 良好 m 40% 合格 6 n% 待合格 3 6% (1)本次调查随机抽取了 名学生;表中m= ,n= ; (2)补全条形统计图; (3)若全校有2000名学生,请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人. 22.(8分)如图,正方形ABCD,点E,F分别在AD,CD上,且DE=CF,AF与BE相交于点G. (1)求证:BE=AF; (2)若AB=4,DE=1,求AG的长. 23.(9分)近日,长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》,鼓励教师参与志愿辅导,某区率先示范,推出名师公益大课堂,为学生提供线上线下免费辅导,据统计,第一批公益课受益学生2万人次,第三批公益课受益学生2.42万人次. (1)如果第二批,第三批公益课受益学生人次的增长率相同,求这个增长率; (2)按照这个增长率,预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次? 24.(9分)根据相似多边形的定义,我们把四个角分别相等,四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形.相似四边形对应边的比叫做相似比. (1)某同学在探究相似四边形的判定时,得到如下三个命题,请判断它们是否正确(直接在横线上填写“真”或“假”). ①四条边成比例的两个凸四边形相似;( 命题) ②三个角分别相等的两个凸四边形相似;( 命题) ③两个大小不同的正方形相似.( 命题) (2)如图1,在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中,∠ABC=∠A1B1C1,∠BCD=∠B1C1D1,==.求证:四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似. (3)如图2,四边形ABCD中,AB∥CD,AC与BD相交于点O,过点O作EF∥AB分别交AD,BC于点E,F.记四边形ABFE的面积为S1,四边形EFCD的面积为S2 ,若四边形ABFE与四边形EFCD相似,求的值. 25.(10分)已知抛物线y=﹣2x2+(b﹣2)x+(c﹣2020)(b,c为常数). (1)若抛物线的顶点坐标为(1,1),求b,c的值; (2)若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称,求c的取值范围; (3)在(1)的条件下,存在正实数m,n(m<n),当m≤x≤n时,恰好≤≤,求m,n的值. 26.(10分)如图,抛物线y=ax2+6ax(a为常数,a>0)与x轴交于O,A两点,点B为抛物线的顶点,点D的坐标为(t,0)(﹣3<t<0),连接BD并延长与过O,A,B三点的⊙P相交于点C. (1)求点A的坐标; (2)过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E. ①如图1,求证:CE=DE; ②如图2,连接AC,BE,BO,当a=,∠CAE=∠OBE时,求﹣的值. 2019年湖南省长沙市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本题共12小题,每题3分,共36分) 1.(3分)下列各数中,比﹣3小的数是( ) A.﹣5 B.﹣1 C.0 D.1 【分析】有理数大小比较的法则:①正数都大于0;②负数都小于0;③正数大于一切负数;④两个负数,绝对值大的其值反而小,据此判断即可. 【解答】解:﹣5<﹣3<﹣1<0<1, 所以比﹣3小的数是﹣5, 故选:A. 【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①正数都大于0;②负数都小于0;③正数大于一切负数;④两个负数,绝对值大的其值反而小. 2.(3分)根据《长沙市电网供电能力提升三年行动计划》,明确到2020年,长沙电网建设改造投资规模达到15000000000元,确保安全供用电需求.数据15000000000用科学记数法表示为( ) A.15×109 B.1.5×109 C.1.5×1010 D.0.15×1011 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数. 【解答】解:数据150 0000 0000用科学记数法表示为1.5×1010. 故选:C. 【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值. 3.(3分)下列计算正确的是( ) A.3a+2b=5ab B.(a3)2=a6 C.a6÷a3=a2 D.(a+b)2=a2+b2 【分析】 分别根据合并同类项的法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则以及完全平方公式解答即可. 【解答】解:A、3a与2b不是同类项,故不能合并,故选项A不合题意; B、(a3)2=a6,故选项B符合题意; C、a6÷a3=a3,故选项C不符合题意; D、(a+b)2=a2+2ab+b2,故选项D不合题意. 故选:B. 【点评】本题主要考查了幂的运算性质、合并同类项的法则以及完全平方公式,熟练掌握运算法则是解答本题的关键. 4.(3分)下列事件中,是必然事件的是( ) A.购买一张彩票,中奖 B.射击运动员射击一次,命中靶心 C.经过有交通信号灯的路口,遇到红灯 D.任意画一个三角形,其内角和是180° 【分析】先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件,事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件,必然事件和不可能事件都是确定的. 【解答】解:A.购买一张彩票中奖,属于随机事件,不合题意; B.射击运动员射击一次,命中靶心,属于随机事件,不合题意; C.经过有交通信号灯的路口,遇到红灯,属于随机事件,不合题意; D.任意画一个三角形,其内角和是180°,属于必然事件,符合题意; 故选:D. 【点评】本题主要考查了必然事件,事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件. 5.(3分)如图,平行线AB,CD被直线AE所截,∠1=80°,则∠2的度数是( ) A.80° B.90° C.100° D.110° 【分析】直接利用邻补角的定义结合平行线的性质得出答案. 【解答】解:∵∠1=80°, ∴∠3=100°, ∵AB∥CD, ∴∠2=∠3=100°. 故选:C. 【点评】此题主要考查了平行线的性质以及邻补角的定义,正确掌握平行线的性质是解题关键. 6.(3分)某个几何体的三视图如图所示,该几何体是( ) A. B. C. D. 【分析】根据几何体的三视图判断即可. 【解答】解:由三视图可知:该几何体为圆锥. 故选:D. 【点评】考查了由三视图判断几何体的知识,解题的关键是具有较强的空间想象能力,难度不大. 7.(3分)在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中,11名参赛同学的成绩各不相同,按照成绩取前5名进入决赛.如果小明知道了自己的比赛成绩,要判断能否进入决赛,小明需要知道这11名同学成绩的( ) A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差 【分析】由于比赛取前5名参加决赛,共有11名选手参加,根据中位数的意义分析即可. 【解答】解:11个不同的成绩按从小到大排序后,中位数及中位数之后的共有5个数, 故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了. 故选:B. 【点评】本题考查了中位数意义.解题的关键是正确的求出这组数据的中位数. 8.(3分)一个扇形的半径为6,圆心角为120°,则该扇形的面积是( ) A.2π B.4π C.12π D.24π 【分析】根据扇形的面积公式S=计算即可. 【解答】解:S==12π, 故选:C. 【点评】本题考查的是扇形面积的计算,掌握扇形的面积公式S=是解题的关键. 9.(3分)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧相交于M、N两点,作直线MN,交BC于点D,连接AD,则∠CAD的度数是( ) A.20° B.30° C.45° D.60° 【分析】根据内角和定理求得∠BAC=60°,由中垂线性质知DA=DB,即∠DAB=∠B=30°,从而得出答案. 【解答】解:在△ABC中,∵∠B=30°,∠C=90°, ∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=60°, 由作图可知MN为AB的中垂线, ∴DA=DB, ∴∠DAB=∠B=30°, ∴∠CAD=∠BAC﹣∠DAB=30°, 故选:B. 【点评】本题主要考查作图﹣基本作图,熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键. 10.(3分)如图,一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向,距离灯塔60nmile的小岛A出发,沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处,这时轮船B与小岛A的距离是( ) A.30nmile B.60nmile C.120nmile D.(30+30)nmile 【分析】过点C作CD⊥AB,则在Rt△ACD中易得AD的长,再在直角△BCD中求出BD,相加可得AB的长. 【解答】解:过C作CD⊥AB于D点, ∴∠ACD=30°,∠BCD=45°,AC=60. 在Rt△ACD中,cos∠ACD=, ∴CD=AC•cos∠ACD=60×=30. 在Rt△DCB中,∵∠BCD=∠B=45°, ∴CD=BD=30, ∴AB=AD+BD=30+30. 答:此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是(30+30)nmile. 故选:D. 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题,求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题,解决的方法就是作高线. 11.(3分)《孙子算经》是中国传统数学的重要著作,其中有一道题,原文是:“今有木,不知长短,引绳度之,余绳四尺五寸;屈绳量之,不足一尺.木长几何?”意思是:用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺;将绳子对折再量木头,则木头还剩余1尺,问木头长多少尺?可设木头长为x尺,绳子长为y尺,则所列方程组正确的是( ) A. B. C. D. 【分析】根据题意可以列出相应的方程组,本题得以解决. 【解答】解:由题意可得, , 故选:A. 【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组,解答本题的关键是明确题意,列出相应的方程组. 12.(3分)如图,△ABC中,AB=AC=10,tanA=2,BE⊥AC于点E,D是线段BE上的一个动点,则CD+BD的最小值是( ) A.2 B.4 C.5 D.10 【分析】如图,作DH⊥AB于H,CM⊥AB于M.由tanA==2,设AE=a,BE=2a,利用勾股定理构建方程求出a,再证明DH=BD,推出CD+BD=CD+DH,由垂线段最短即可解决问题. 【解答】解:如图,作DH⊥AB于H,CM⊥AB于M. ∵BE⊥AC, ∴∠ABE=90°, ∵tanA==2,设AE=a,BE=2a, 则有:100=a2+4a2, ∴a2=20, ∴a=2或﹣2(舍弃), ∴BE=2a=4, ∵AB=AC,BE⊥AC,CM⊥AC, ∴CM=BE=4(等腰三角形两腰上的高相等)) ∵∠DBH=∠ABE,∠BHD=∠BEA, ∴sin∠DBH===, ∴DH=BD, ∴CD+BD=CD+DH, ∴CD+DH≥CM, ∴CD+BD≥4, ∴CD+BD的最小值为4. 故选:B. 【点评】 本题考查解直角三角形,等腰三角形的性质,垂线段最短等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,用转化的思想思考问题,属于中考常考题型. 二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分) 13.(3分)式子在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是 x≥5 . 【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案. 【解答】解:式子在实数范围内有意义,则x﹣5≥0, 故实数x的取值范围是:x≥5. 故答案为:x≥5. 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件,正确把握相关定义是解题关键. 14.(3分)分解因式:am2﹣9a= a(m+3)(m﹣3) . 【分析】先提取公因式a,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解. 【解答】解:am2﹣9a =a(m2﹣9) =a(m+3)(m﹣3). 故答案为:a(m+3)(m﹣3). 【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止. 15.(3分)不等式组的解集是 ﹣1≤x<2 . 【分析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:大小小大中间找,确定不等式组的解集. 【解答】解: 解不等式①得:x≥﹣1, 解不等式②得:x<2, ∴不等式组的解集为:﹣1≤x<2, 故答案为:﹣1≤x<2. 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组,正确求出每一个不等式解集是基础,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键. 16.(3分)在一个不透明的袋子中有若干个小球,这些球除颜色外无其他差别,从袋中随机摸出一球,记下其颜色,这称为一次摸球试验,然后把它重新放回袋中并摇匀,不断重复上述过程.以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表: 摸球实验次数 100 1000 5000 10000 50000 100000 “摸出黑球”的次数 36 387 2019 4009 19970 40008 “摸出黑球”的频率(结果保留小数点后三位) 0.360 0.387 0.404 0.401 0.399 0.400 根据试验所得数据,估计“摸出黑球”的概率是 0.4 .(结果保留小数点后一位) 【分析】大量重复试验下摸球的频率可以估计摸球的概率,据此求解; 【解答】观察表格发现随着摸球次数的增多频率逐渐稳定在0.4附近, 故摸到白球的频率估计值为0.4; 故答案为:0.4. 【点评】本题考查了利用频率估计概率的知识,解题的关键是了解大量重复试验中某个事件发生的频率能估计概率. 17.(3分)如图,要测量池塘两岸相对的A,B两点间的距离,可以在池塘外选一点C,连接AC,BC,分别取AC,BC的中点D,E,测得DE=50m,则AB的长是 100 m. 【分析】先判断出DE是△ABC的中位线,再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AB=2DE,问题得解. 【解答】解:∵点D,E分别是AC,BC的中点, ∴DE是△ABC的中位线, ∴AB=2DE=2×50=100米. 故答案为:100. 【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半,熟记定理并准确识图是解题的关键. 18.(3分)如图,函数y=(k为常数,k>0)的图象与过原点的O的直线相交于A,B两点,点M是第一象限内双曲线上的动点(点M在点A的左侧),直线AM分别交x轴,y轴于C,D两点,连接BM分别交x轴,y轴于点E,F.现有以下四个结论: ①△ODM与△OCA的面积相等;②若BM⊥AM于点M,则∠MBA=30°;③若M点的横坐标为1,△OAM为等边三角形,则k=2+;④若MF=MB,则MD=2MA. 其中正确的结论的序号是 ①③④ .(只填序号) 【分析】①设点A(m,),M(n,),构建一次函数求出C,D坐标,利用三角形的面积公式计算即可判断. ②△OMA不一定是等边三角形,故结论不一定成立. ③设M(1,k),由△OAM为等边三角形,推出OA=OM=AM,可得1+k2=m2+,推出m=k,根据OM=AM,构建方程求出k即可判断. ④如图,作MK∥OD交OA于K.利用平行线分线段成比例定理解决问题即可. 【解答】解:①设点A(m,),M(n,), 则直线AC的解析式为y=﹣x++, ∴C(m+n,0),D(0,), ∴S△ODM=n×=,S△OCA=(m+n)×=, ∴△ODM与△OCA的面积相等,故①正确; ∵反比例函数与正比例函数关于原点对称, ∴O是AB的中点, ∵BM⊥AM, ∴OM=OA, ∴k=mn, ∴A(m,n),M(n,m), ∴AM=(n﹣m),OM=, ∴AM不一定等于OM, ∴∠BAM不一定是60°, ∴∠MBA不一定是30°.故②错误, ∵M点的横坐标为1, ∴可以假设M(1,k), ∵△OAM为等边三角形, ∴OA=OM=AM, 1+k2=m2+, ∴m=k, ∵OM=AM, ∴(1﹣m)2+=1+k2, ∴k2﹣4k+1=0, ∴k=2, ∵m>1, ∴k=2+,故③正确, 如图,作MK∥OD交OA于K. ∵OF∥MK, ∴==, ∴=, ∵OA=OB, ∴=, ∴=, ∵KM∥OD, ∴==2, ∴DM=2AM,故④正确. 故答案为①③④. 【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题,三角形的面积,平行线分线段成比例定理等知识,解题的关键是学会利用参数解决问题,学会构造平行线,利用平行线分线段成比例定理解决问题,属于中考填空题中的压轴题. 三、解答题(本大题共8个小题,第19、20题每小题6分,第21、22题每小题6分,第23、24题每小题6分,第25、26题每小题6分,共66分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤) 19.(6分)计算:|﹣|+()﹣1﹣÷﹣2cos60°. 【分析】根据绝对值的意义、二次根式的除法法则、负整数指数幂的意义和特殊角的三角函数值进行计算. 【解答】解:原式=+2﹣﹣2× =+2﹣﹣1 =1. 【点评】本题考查了二次根式的混合运算:先把二次根式化为最简二次根式,然后进行二次根式的乘除运算,再合并即可.在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点,灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往往能事半功倍. 20.(6分)先化简,再求值:(﹣)÷,其中a=3. 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再将a的值代入进行计算即可. 【解答】解:原式=• =, 当a=3时,原式==. 【点评】本题考查的是分式的化简求值,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键. 21.(8分)某学校开展了主题为“垃圾分类,绿色生活新时尚”的宣传活动.为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况,该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查,将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计,并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图. 等级 频数 频率 优秀 21 42% 良好 m 40% 合格 6 n% 待合格 3 6% (1)本次调查随机抽取了 50 名学生;表中m= 20 ,n= 12 ; (2)补全条形统计图; (3)若全校有2000名学生,请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人. 【分析】(1)用优秀的人数除以优秀的人数所占的百分比即可得到总人数; (2)根据题意补全条形统计图即可得到结果; (3)全校2000名乘以“优秀”和“良好”等级的学生数所占的百分比即可得到结论. 【解答】解:(1)本次调查随机抽取了21÷42%=50名学生,m=50×40%=20,n=×100=12, 故答案为:50,20,12; (2)补全条形统计图如图所示; (3)2000×=1640人, 答:该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有1640人. 【点评】本题考查的是条形统计图,读懂统计图,从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据. 22.(8分)如图,正方形ABCD,点E,F分别在AD,CD上,且DE=CF,AF与BE相交于点G. (1)求证:BE=AF; (2)若AB=4,DE=1,求AG的长. 【分析】(1)由正方形的性质得出∠BAE=∠ADF=90°,AB=AD=CD,得出AE=DF,由SAS证明△BAE≌△ADF,即可得出结论; (2)由全等三角形的性质得出∠EBA=∠FAD,得出∠GAE+∠AEG=90°,因此∠AGE =90°,由勾股定理得出BE==5,在Rt△ABE中,由三角形面积即可得出结果. 【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴∠BAE=∠ADF=90°,AB=AD=CD, ∵DE=CF, ∴AE=DF, 在△BAE和△ADF中,, ∴△BAE≌△ADF(SAS), ∴BE=AF; (2)解:由(1)得:△BAE≌△ADF, ∴∠EBA=∠FAD, ∴∠GAE+∠AEG=90°, ∴∠AGE=90°, ∵AB=4,DE=1, ∴AE=3, ∴BE===5, 在Rt△ABE中,AB×AE=BE×AG, ∴AG==. 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理以及三角形面积公式;熟练掌握正方形的性质,证明三角形全等是解题的关键. 23.(9分)近日,长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》,鼓励教师参与志愿辅导,某区率先示范,推出名师公益大课堂,为学生提供线上线下免费辅导,据统计,第一批公益课受益学生2万人次,第三批公益课受益学生2.42万人次. (1)如果第二批,第三批公益课受益学生人次的增长率相同,求这个增长率; (2)按照这个增长率,预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次? 【分析】(1)设增长率为x,根据“第一批公益课受益学生2万人次,第三批公益课受益学生2.42万人次”可列方程求解; (2)用2.42×(1+增长率),计算即可求解. 【解答】解:(1)设增长率为x,根据题意,得 2(1+x)2=2.42, 解得x1=﹣2.1(舍去),x2=0.1=10%. 答:增长率为10%. (2)2.42(1+0.1)=2.662(万人). 答:第四批公益课受益学生将达到2.662万人次. 【点评】本题考查了一元二次方程的应用,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解. 24.(9分)根据相似多边形的定义,我们把四个角分别相等,四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形.相似四边形对应边的比叫做相似比. (1)某同学在探究相似四边形的判定时,得到如下三个命题,请判断它们是否正确(直接在横线上填写“真”或“假”). ①四条边成比例的两个凸四边形相似;( 假 命题) ②三个角分别相等的两个凸四边形相似;( 假 命题) ③两个大小不同的正方形相似.( 真 命题) (2)如图1,在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中,∠ABC=∠A1B1C1,∠BCD=∠B1C1D1,==.求证:四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似. (3)如图2,四边形ABCD中,AB∥CD,AC与BD相交于点O,过点O作EF∥AB分别交AD,BC于点E,F.记四边形ABFE的面积为S1,四边形EFCD的面积为S2,若四边形ABFE与四边形EFCD相似,求的值. 【分析】(1)根据相似多边形的定义即可判断. (2)根据相似多边形的定义证明四边成比例,四个角相等即可. (3)四边形ABFE与四边形EFCD相似,证明相似比是1即可解决问题,即证明DE=AE即可. 【解答】(1)解:①四条边成比例的两个凸四边形相似,是假命题,角不一定相等. ②三个角分别相等的两个凸四边形相似,是假命题,边不一定成比例. ③两个大小不同的正方形相似.是真命题. 故答案为假,假,真. (2)证明:如图1中,连接BD,B1D1. ∵∠BCD=∠B1C1D1,且=, ∴△BCD∽△B1C1D1, ∴∠CDB=∠C1D1B1,∠C1B1D1=∠CBD, ∵==, ∴=, ∵∠ABC=∠A1B1C1, ∴∠ABD=∠A1B1D1, ∴△ABD∽△A1B1D1, ∴=,∠A=∠A1,∠ADB=∠A1D1B1, ∴,===,∠ADC=∠A1D1C1,∠A=∠A1,∠ABC=∠A1B1C1,∠BCD=∠B1C1D1, ∴四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似. (3)如图2中, ∵四边形ABCD与四边形EFCD相似. ∴=, ∵EF=OE+OF, ∴=, ∵EF∥AB∥CD, ∴=,==, ∴+=+, ∴=, ∵AD=DE+AE, ∴=, ∴2AE=DE+AE, ∴AE=DE, ∴=1. 【点评】本题属于相似形综合题,考查了相似三角形的判定和性质,相似多边形的判定和性质等知识,解题的关键是学会用转化的思想思考问题,属于中考压轴题. 25.(10分)已知抛物线y=﹣2x2+(b﹣2)x+(c﹣2020)(b,c为常数). (1)若抛物线的顶点坐标为(1,1),求b,c的值; (2)若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称,求c的取值范围; (3)在(1)的条件下,存在正实数m,n(m<n),当m≤x≤n时,恰好≤≤,求m,n的值. 【分析】(1)利用抛物线的顶点坐标和二次函数解析式y=﹣2x2+(b﹣2)x+(c﹣ 2020)可知,y=﹣2(x﹣1)2+1,易得b、c的值; (2)设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是(x0,y0),(﹣x0,﹣y0),代入函数解析式,经过化简得到c=2x02+2020,易得c≥2020; (3)由题意知,抛物线为y=﹣2x2+4x﹣1=﹣2(x﹣1)2+1,则y≤1.利用不等式的性质推知:,易得1≤m<n.由二次函数图象的性质得到:当x=m时,y最大值=﹣2m2+4m﹣1.当x=n时,y最小值=﹣2n2+4n﹣1.所以=﹣2m2+4m﹣1,=﹣2n2+4n﹣1通过解方程求得m、n的值. 【解答】解:(1)由题可知,抛物线解析式是:y=﹣2(x﹣1)2+1=﹣2x2+4x﹣1. ∴. ∴b=6,c=2019. (2)设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是(x0,y0),(﹣x0,﹣y0), 代入解析式可得:. ∴两式相加可得:﹣4x02+2(c﹣2020)=0. ∴c=2x02+2020, ∴c>2020; (3)由(1)可知抛物线为y=﹣2x2+4x﹣1=﹣2(x﹣1)2+1. ∴y≤1. ∵0<m<n,当m≤x≤n时,恰好≤≤, ∴≤. ∴. ∴≤1,即m≥1. ∴1≤m<n. ∵抛物线的对称轴是x=1,且开口向下, ∴当m≤x≤n时,y随x的增大而减小. ∴当x=m时,y最大值=﹣2m2+4m﹣1. 当x=n时,y最小值=﹣2n2+4n﹣1. 又, ∴. 将①整理,得2n3﹣4n2+n+1=0, 变形,得2n2(n﹣1)﹣(2n+1)(n﹣1)=0. ∴(n﹣1)(2n2﹣2n﹣1)=0. ∵n>1, ∴2n2﹣2n﹣1=0. 解得n1=(舍去),n2=. 同理,由②得到:(m﹣1)(2m2﹣2m﹣1)=0. ∵1≤m<n, ∴2m2﹣2m﹣1=0. 解得m1=1,m2=(舍去),m3=(舍去). 综上所述,m=1,n=. 【点评】主要考查了二次函数综合题,解答该题时,需要熟悉二次函数图象上点的坐标特征,二次函数图象的对称性,二次函数图象的增减性,二次函数最值的意义以及一元二次方程的解法.该题计算量比较大,需要细心解答.难度较大. 26.(10分)如图,抛物线y=ax2+6ax(a为常数,a>0)与x轴交于O,A两点,点B为抛物线的顶点,点D的坐标为(t,0)(﹣3<t<0),连接BD并延长与过O,A,B三点的⊙P相交于点C. (1)求点A的坐标; (2)过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E. ①如图1,求证:CE=DE; ②如图2,连接AC,BE,BO,当a=,∠CAE=∠OBE时,求﹣的值. 【分析】(1)令y=0,可得ax(x+6)=0,则A点坐标可求出; (2)①连接PC,连接PB延长交x轴于点M,由切线的性质可证得∠ECD=∠COE,则CE=DE; ②设OE=m,由CE2=OE•AE,可得,由∠CAE=∠OBE可得,则,综合整理代入可求出的值. 【解答】解:(1)令ax2+6ax=0, ax(x+6)=0, ∴A(﹣6,0); (2)①证明:如图,连接PC,连接PB延长交x轴于点M, ∵⊙P过O、A、B三点,B为顶点, ∴PM⊥OA,∠PBC+∠BOM=90°, 又∵PC=PB, ∴∠PCB=∠PBC, ∵CE为切线, ∴∠PCB+∠ECD=90°, 又∵∠BDP=∠CDE, ∴∠ECD=∠COE, ∴CE=DE. ②解:设OE=m,即E(m,0), 由切割线定理得:CE2=OE•AE, ∴(m﹣t)2=m•(m+6), ∴①, ∵∠CAE=∠CBD, ∠CAE=∠OBE,∠CBO=∠EBO, 由角平分线定理:, 即:, ∴②, 由①②得, 整理得:t2+18t+36=0, ∴t2=﹣18t﹣36, ∴. 【点评】本题是二次函数与圆的综合问题,涉及二次函数图象与x轴的交点坐标、切线的性质、等腰三角形的判定、切割线定理等知识.把圆的知识镶嵌其中,会灵活运用圆的性质进行计算是解题的关键. 声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布 日期:2019/7/2 13:53:18;用户:初中校园号;邮箱:wjwl@xyh.com;学号:24424282查看更多