人教版中考数学二轮复习专题练习上常用辅助线-构造等边三角形

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人教版中考数学二轮复习专题练习上常用辅助线-构造等边三角形

‎6.构造等边三角形 ‎1.公园里有一块形如四边形的草地,测得米,,.请你求出这块草地的面积?‎ 答案:见解析 解析:‎ 延长交于,连结,‎ ‎∵,∴,‎ ‎∴是等边三角形,‎ ‎∵,∴,‎ ‎∴,,‎ ‎∵,∴,‎ ‎∴,,‎ ‎∴这块草地的面积为平方米.‎ ‎2.如图:已知,点在线段上且;是线段上的动点,分别以为边在线段的同侧作等边和等边,连结,设的中点为;当点从点运动到点时,则点移动路径的长是____.‎ 答案:3 ‎ 解析:分别延长交于点,易证四边形为平行四边形,得出为PH中点,则G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN.再求出CD的长,运用中位线的性质求出MN的长度即可.‎ 解:如图,分别延长AE、BF交于点H.‎ ‎∵∠A=∠FPB=60°‎‎,‎∴AH∥PF,‎∵∠B=∠EPA=60°‎,‎∴BH∥PE,‎∴‎四边形EPFH为平行四边形,‎∴EF与HP互相平分.‎∵G为EF的中点,‎∴G正好为PH中点,即在P的运动过程中,G始终为PH的中点,所以G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN.‎∵CD=10-2-2=6‎,∴MN=3‎,即G的移动路径长为‎3‎ ‎3.四边形,有,,.请你求____.‎ 答案:75‎ 解析:‎ 延长交于,连结,‎ ‎∵,∴,‎ ‎∴是等边三角形,‎ ‎∵,∴,‎ ‎∴,‎ ‎∵,∴,‎ ‎∴ ‎ ‎4.如图,四边形 中, 是对角线, 是等边三角形. ,则 的长为____.‎ 答案:4‎ 解析:首先以为边作等边,连接,利用全等三角形的判定得出 ,进而求出 的长即可.‎ 解:如图,以为边作等边,连接 ‎ ,‎ ‎ 在 和 中,‎ ‎ ‎ ‎ ,‎ ‎ .‎ 又 ,‎ ‎ .‎ 在 中, ,‎ 于是 ,‎ ‎.‎ ‎5.如图所示,在中,是内两点,平分,若,则的长度是__.‎ 答案:8‎ 解析:作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出,进而得出 为等边三角形, 为等边三角形,从而得出 的长,进而求出答案.‎ 解:延长 交 于 ,延长 交 于 ,作 于 ,‎ 平分 ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ 为等边三角形,‎ 为等边三角形,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ 为等边三角形,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎6.如图,六边形 中,每一个内角都是.求这个六边形的周长为_____.‎ 答案:116‎ 解析:凸六边形,并不是一规则的六边形,但六个角都是 ,所以通过适当的向外作延长线,可得到等边三角形,进而求解.‎ 解:如图,分别作直线 的延长线和反向延长线使它们交于点 .‎ ‎ 六边形 的六个角都是120°,‎ ‎ 六边形 的每一个外角的度数都是60°.‎ ‎ 都是等边三角形.‎ ‎ .‎ ‎.‎ ‎ 六边形的周长为: .‎ ‎7.如图,已知 , 平分 ,若 ,则 的长是_____.‎ 答案:5‎ 解析:在 的延长线上取点 ,使 ,连接 ,则可证得 为等边三角形,再结合条件可证明 ,可得 ,再利用线段的和差可求得 ,则可求得 .‎ 解:在 的延长线上取点 ,使 ,连接,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ 为等边三角形,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ 平分 ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ 在 和 中,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎8.如图,在 中, 是 内两点, 平分 ,若 ,则 ____.‎ 答案:62‎ 解析:作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出 ,进而得出 为等边三角形, 为等边三角形,从而得出 的长,进而求出答案.‎ 解:延长 交 于 ,延长 交 于 ,作 ,‎ ‎ , 平分 ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ 为等边三角形,‎ ‎ 为等边三角形,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ 为等边三角形,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ 故答案为62.‎ ‎9.如图,过边长为的等边 的边 上一点 ,作 于 为 延长线上一点,当 时,连 交 边于 ,则的长为____.(注:若答案不是整数,请化为小数)‎ 答案:0.5‎ 解析:过 作 交 于 ,得出等边三角形 ,推出 ,根据等腰三角形性质求出 ,证 ,推出 ,推出即可.‎ 解:过 作 交 于.‎ ‎ , 是等边三角形,‎ ‎ 是等边三角形,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ .‎ ‎ 在 和 中,‎ ‎,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ .‎ ‎10.如图, 中, 平分 是 内两点,且 ,若 ,则_____.‎ 答案:10‎ 解析:延长 交 于 ,延长 交 于 ,根据等腰三角形的性质得出 ,进而得出 为等边三角形,从而得出 的长,进而求出答案.‎ 解:延长交 于 ,延长 交 于 ,‎ ‎ 平分 ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ 为等边三角形,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ 为等边三角形,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ‎ ‎ .‎ 故答案为:10.‎ ‎11.如图,凸四边形 满足条件: 那么 ____.(填“大于”或“小于”或“等于”)‎ 答案:等于 解析:延长 到点 ,使得 ,连接 和 ,根据已知条件和所作辅助线可得 与 均为等边三角形,证明 和 全等即可证明;‎ 解:延长 到点 ,使得 ,连接 和.‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 又 ,‎ ‎ 与 均为等边三角形 ‎ ‎ ‎ ,即 ‎ 在 和 中 ‎,‎ ‎∴ ‎ ‎∴‎ ‎∵ ‎ ‎ .‎ 故答案为:相等 ‎12.已知:如图,等边 中, 是 边上一动点,作 ,垂足为 ;作 ,垂足为 ;作 ,垂足为 .‎ ‎(1)设 ,求 与 之间的函数关系式;‎ ‎(2)当点 和点 重合时,求线段 的长;‎ ‎(3)当点 和点不重合,但线段 延长线相交时,求它们与线段 围成的三角形周长的取值范围.‎ 答案:见解析 解析:(1)由已知等边 中,可得每个角都是 ,由作 ,垂足为 ;作 ,垂足为 ;作 ,垂足为 ,得三个直角三角形且都有 的角,据此用 可表示出 ,相继表示出 ,求出与之间的函数关系式.‎ ‎(2)由已知可列出方程组结合已知求出 的长.‎ ‎(3)当线段 相交时,根据已知得到它们与线段围成的三角形三个角都是 ‎ 解:(1) 是等边三角形, .‎ ‎ .‎ 又 .‎ ‎ ,.‎ ‎ ,‎ ‎ .‎ ‎(2)由方程组 ‎ 得 .‎ ‎ 当点和点重合时,,‎ ‎ .‎ ‎(3)设线段 的延长线相交于点 ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ 是等边三角形,‎ 且当点和点 重合时, 最短为.‎ 且当点和点 重合时, 最长为 ‎ .‎ ‎13.如图,在四边形 中, ,连接 交于点 .‎ ‎(1)若 , 为线段 上一点,且 ,连接 ,求点 到 的距离.‎ ‎(2)证明: .‎ 答案:见解析 解析:(1)由条件可以证明,可以得出 , ,求出 ,由勾股定理可以求出 ,由 可以求得 的值,在 中由勾股定理可以求出 的值,从而求出 的值,过点 作 于 ,利用三角形的面积相等建立等量关系就可以求出结论.‎ ‎(2)要证 ,延长 到 ,使 ,则求 即可.由 ,得 是等边三角形,进而得 又有 ,则 是等边三角形,所以得 ,则 .‎ 解:(1) ,‎ ‎ 是等边三角形,‎ ‎ .‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ .‎ ‎ ,‎ ‎, .‎ ‎ ,‎ ‎, ,‎ ‎ ,在 中由勾股定理得 ‎ ‎ 过点 作 于点 .‎ ‎ .‎ ‎ ,‎ ‎ .‎ 即点 到 的距离.‎ ‎(2)证明:延长 到点 ,使 ,连接 , ,‎ ‎ 是等边三角形,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ .‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ 是等边三角形,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ 又 ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ 即 .‎ ‎14.已知:如图,在等边三角形 中,点 是 边上的一个动点( 与 不重合),延长 到 ,使 ,连接 交 于点 .‎ ‎(1)求证: ;‎ ‎(2)若 的边长为 ,设 ,求 与 的函数关系式,写出自变量的取值范围.‎ 答案:见解析 解析:(1)过 作 交 于 ,则 为等边三角形,得 ,而 ,得到 ,易证得 ,根据全等三角形的性质即可得到结论;‎ ‎(2)由(1)得 ,得到 ,易得 ,而 ,即有 ,即可得到 与 间的函数关系式.‎ 解:(1)证明:过 作 交 于,‎ ‎ ,‎ 又∵在等边三角形 中, ,‎ ‎ ,‎ ‎ 是等边三角形,‎ ‎ ,‎ 又 ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ 在 和 中,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ; ‎ ‎(2)由(1)得 ,‎ ‎ ,‎ 由(1)得 是等边三角形,‎ ‎ ,‎ 又 ,‎ ‎ ,‎ 即.‎ ‎15.如图,在四边形 中, .‎ ‎(1)求 的度数.‎ ‎(2)求四边形 的面积.‎ 答案:见解析 解析:(1)连接 ,根据 ,得出 是等边三角形,求得 ,然后根据勾股定理的逆定理判断三角形 是直角三角形,从而求得 ;‎ ‎(2)根据四边形的面积等于三角形 和三角形 的和即可求得;‎ 解:(1)连接 ,‎ ‎ ,‎ ‎ 是等边三角形,‎ ‎,‎ ‎ ,‎ 则 ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ;‎ ‎(2).‎ ‎16.已知:如图,四边形 中, .‎ ‎(1)连接 的形状是?‎ ‎(2)求证: .‎ 答案:见解析 解析:(1)根据全等三角形的判定定理“有一内角为 的等腰三角形是等边三角形”推知 是等边三角形.‎ ‎(2)如图,以 为边向形外作等边 ,连接 .构造全等三角形( ),然后根据全等三角形的性质、勾股定理证得结论.‎ 解:(1)如图,连接 .‎ ‎ ,‎ ‎ 是等边三角形;‎ 故答案是:等边三角形;‎ ‎(2)如图,以 为边向形外作等边,连接.‎ 由(1)知,是等边三角形,‎ 则 ,‎ 在 与 ,‎ ‎∵ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ 在 中,有 ,即 .‎ ‎17.如图,在 中, 是三角形外一点,且 .求证: ____°.‎ 答案:60‎ 解析:首先延长 至 ,使 ,连接 ,由 ,易得 是等边三角形,继而证得 ,则可证得: .‎ 证明:延长 至 ,使 ,连接,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ 是等边三角形,‎ ‎ ,‎ 在 和 中,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ .‎ ‎18.如图,凸六边形 的六个角都是 ,边长 ,求出这个六边形的周长为____ .‎ 答案:46‎ 解析:凸六边形,并不是一规则的六边形,但六个角都是 ,所以通过适当的向外作延长线,可得到等边三角形,进而求解.‎ 解:如图,分别作直线 的延长线使它们交于点 .‎ 因为六边形的六个角都是,‎ 所以六边形的每一个外角的度数都是 .‎ 所以三角形 、三角形 、三角形 、三角形 都是等边三角形.‎ 所以 .‎ 所以 , , .‎ 所以六边形的周长为 .‎ ‎19.如图,在六边形中, .‎ ‎(1)试说明 为等边三角形;‎ ‎(2)请探索 之间的关系(等量关系或位置关系)并说明理由.‎ 答案:见解析 解析:(1)根据多边形的内角和定理求出 ,求出 ,得出等边三角形 ,推出 ,同理求出 是等边三角形,推出 ,求出 ,即可求出答案.‎ 解:(1)作直线 、直线 、直线 和 交于 和 交于 和 交于 ,‎ ‎ , ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ 为等边三角形.‎ ‎(2) ,‎ 理由是: ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ 是等边三角形,‎ ‎ ,‎ 同理 ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ 为等边三角形,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ , ,‎ ‎ .‎ ‎20.如图所示,一个六边形的六个内角都是 ,其中连续四边的长依次是 .求这个六边形的周长为____.‎ 答案:42‎ 解析:首先延长并反向延长 ,两两相交于点 ,可得 是等边三角形,同理: 是等边三角形,即可求得 与 ‎ 的长,继而求得答案.‎ 解:如图,延长并反向延长 ,两两相交于点,‎ ‎ 六边形 的每个内角都是,‎ ‎ ,‎ ‎ 是等边三角形,‎ 同理: 是等边三角形,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ 六边形的周长 .‎
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