中考数学复习专题十五：几何综合题

中考数学复习专题十五：几何综合题

中考数学复习专题15 几何综合题 概述： 几何综合题一般以圆为基础，涉及相似三角形等有关知识；这类题虽较难，但有梯度，一般题目中由浅入深有1～3个问题，解答这种题一般用分析综合法． 典型例题精析 ‎ 例1．如图，已知⊙O的两条弦AC、BD相交于点Q，OA⊥BD． ‎ （1）求证：AB2=AQ·AC： ‎（2）若过点C作⊙O的切线交DB的延长线于点P，求证：PC=PQ． ‎ 分析：要证AB2=AQ·AC，一般都证明△ABQ∽△ACB．∵有一个公共角∠QAB=∠BAC，∴只需再证明一个角相等即可． ‎ 可选定两个圆周角∠ABQ=∠ACB加以证明，以便转化，题目中有垂直于弦的直径，可知AB=AD，AD和AB所对的圆周角相等． ‎ （2）欲证PC=PQ， ‎ ∵是具有公共端点的两条线段， ‎ ∴可证∠PQC=∠PCQ（等角对等边） ‎ 将两角转化，一般原地踏步是不可能证明出来的，没有那么轻松愉快的题目给你做，因为数学是思维的体操． ‎ ∠BQC=∠AQD=90°-∠1（充分利用直角三角形中互余关系） ‎ ∵∠PCA是弦切角，易发现应延长AO与⊙交于E，再连结EC，利用弦切角定理得∠PCA=∠E，同时也得到直径上的圆周角∠ACE=90°， ‎ ∴∠PCA=∠E=90°-∠1． ‎ 做几何证明题大家要有信心，拓展思维，不断转化，寻根问底，不断探索，充分发挥题目中条件的总体作用，总能得到你想要的结论，同时也要做好一部分典型题，这样有利于做题时发生迁移，联想． ‎ 例2．如图，⊙O1与⊙O2外切于点C，连心线O1O2所在的直线分别交⊙O1，⊙O2于A、E，过点A作⊙O2的切线AD交⊙O1于B，切点为D，过点E作⊙O2的切线与AD交于F，连结BC、CD、DE． ‎ （1）如果AD：AC=2：1，求AC：CE的值； ‎ （2）在（1）的条件下，求sinA和tan∠DCE的值； ‎（3）当AC：CE为何值时，△DEF为正三角形？ ‎ 分析：（1）根据题的结构实质上证明△ADC∽△AED，进而可求AC，CE，设CD=2x，则AC=x，易证△ADC∽△AED， ‎ ∴， ‎ ∴， ‎ ∴AE=4x， ‎ ∴CE=AE-AC=3x， ‎ ∴AC：CE=x：3x=1：3（此题凭经验而做） ‎ （2）求sinA，必须在直角三角形中，现存的有Rt△ABC和Rt△AEF，但都只知一边无法求sinA ‎ ∴另想办法，连结DO2，则DO2=x， ‎ 且∠ADO2=90°，AO2=x+x=x， ‎ ∴sinA=． ‎ 欲求tan∠DCE即求，易证△ADC∽△AED， ‎ ∴==2， ‎ ∴tan∠DCE=2． ‎ （3）假设△DEF为等边△，则∠FED=∠DCE=60°， ‎ ∴tan60°==，∴设DE=x，则DC=x，CE=2x，易证△BDC∽△DEC， ‎ ∴， ‎ ∴BC=x，连DO2，易证BC∥DO2， ‎ ∴即， ‎ ∴AC=x， ∴AC：CE=1：2． 中考样题训练 ‎ 1．如图⊙O的直径DF与弦AB交于点E，C为⊙O外一点，CB⊥AB，G是直线CD上一点，∠ADG=∠ABD，求证：AD·CE=DE·DF． ‎ 说明：（1）如果你经过反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路推导过程写出来（要求至少写3步）．（2）在你经过说明（1）的过程之后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明． ‎ ①∠CDB=∠CEB；②AD∥EC；③∠DEC=∠ADF，且∠CDE=90°． ‎ 2．已知，如图，在半径为4的⊙O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM>MC，连结DE，DE=． ‎ （1）求EM的长；（2）求sin∠EOB的值． ‎ ‎3．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB． ‎ （1）求证：DE是⊙O切线； ‎（2）若AB=6，AE=，求BD和BC的长． ‎ 4．如图：⊙O1与⊙O2外切于点P，O1O2的延长线交⊙O2于点A，AB切⊙O1于点B，交⊙O2于点C，BE是⊙O1的直径，过点B作BF⊥O1P，垂足为F，延长BF交PE于点G． （1）求证：PB2=PG·PE；（2）若PF=，tan∠A=，求：O1O2的长．‎ ‎ ‎ 考前热身训练 ‎ 1．如图，P是⊙O外一点，割线PA、PB分别与⊙O相交于A、C、B、D四点，PT切⊙O于点T，点E、F分别在PB、PA上，且PE=PT，∠PFE=∠ABP．‎ ‎ （1）求证：PD·PF=PC·PE；‎ ‎（2）若PD=4，PC=5，AF=，求PT的长．‎ ‎ ‎ ‎ 2．如图，BC是半圆O的直径，EC是切线，C是切点，割线EDB交半圆O于D，A是半圆O上一点，AD=DC，EC=3，BD=2.5‎ ‎（1）求tan∠DCE的值；（2）求AB的长．‎ ‎ 3．如图，已知矩形ABCD，以A为圆心，AD为半径的圆交AC、AB于M、E，CE的延长线交⊙A于F，CM=2，AB=4．‎ ‎ （1）求⊙A的半径；（2）求CE的长和△AFC的面积．‎ ‎4．如图，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，延长BA到E，使AE=AB，连结ED．‎ ‎ （1）求证：直线ED是⊙O的切线；‎ ‎ （2）连结EO交AD于点F，求证：EF=2FO．‎ 答案:‎ 中考样题看台 ‎1．证明：连结AF，则∠ABD=∠F．‎ ‎ ∵∠ADG=∠ABD，∴∠ADG=∠F．‎ ‎ ∵DF为⊙O的直径，∴∠DAF=90°，‎ ‎ ∴∠ADF+∠F=90°，∴∠ADG+∠ADF=∠FDG=90°，‎ ‎ ∴∠DAF=∠CDE=90°，∵CB⊥AB，‎ ‎ ∴∠ADG+∠ADF=∠FDG=90°，‎ ‎ ∴∠DAF=∠CDE=90°，∵CB⊥AB，‎ ‎∴∠CBE=90°．取EC中点M，连结DM、BM，则DM=BM=CM=EM，‎ 即D、E、B、C在以EC为直径的圆上，‎ ‎ ∴∠ABD=∠DCE，∴∠DCE=∠F，‎ ‎ ∴△DAF∽△EDC，∴，‎ ‎ ∴AD·CE=DE·DF，以下略；‎ ‎2．（1）DC为⊙O的直径，DE⊥EC，‎ ‎ EC==7．‎ ‎ 设EM=x，由于M为OB的中点，‎ ‎ ∴BM=2，AM=6，∴AM·MB=x·（7-x），即6×2=x（7-x），‎ ‎ 解得x1=3，x2=4，∵EM>MC，∴EM=4．‎ ‎（2）∵OE=EM=4，∴△OEM为等腰三角形，过E作EF⊥OM，垂足为F，‎ 则OF=1，∴EF==．‎ ‎ ∴sin∠EOB=．‎ ‎3．（1）连结CO，则AO=BO=CO，‎ ‎ ∴∠CAO=∠ACO，又∵∠EAC=∠CAO，‎ ‎ ∠ACO=∠EAC，∴AE∥OC，‎ ‎ ∴DE是⊙O的切线．‎ ‎ （2）∵AB=6，∴AO=BO=CO=3．‎ ‎ 由（1）知，AE∥OC，‎ ‎ ∴△DCO∽△DEA，‎ ‎ =．‎ ‎ 又∵AE=，∴，‎ ‎ 解得BD=2．‎ ‎ ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．‎ 又∵∠EAC=∠CAB，∴Rt△EAC∽Rt△CAB，‎ ‎∴，即AC2=AB·AE=6×=．‎ ‎ 在Rt△ABC中，‎ ‎ 由勾股定理，得BC2=AB2-AC2=36-=．‎ ‎ ∵BC>0，BC==．‎ ‎4．（1）∵BE是⊙O1的直径，∴∠BPE=90°．‎ ‎ ∵BF⊥O1P，∴∠BPF+∠FBP=90°．‎ ‎ ∵∠GPE+∠BPF=90°，∴∠GPF=∠BPF．‎ ‎ ∵O1E=O1P，‎ ‎ ∴∠E=∠GPF=∠PBF，又∠BPG=∠EPB=90°，‎ ‎ ∴△GPB∽△BPE，∴PB2=PE·PG．‎ ‎ （2）∵AB是⊙O1的切线，∴O1B⊥AB，‎ ‎ ∴△O1BF∽△O1AB，∴∠O1BF=∠A．‎ ‎ ∵tan∠A=，∴tan∠O1BF=．‎ ‎ 设O‎1F=‎3m，则BF=‎4m．‎ ‎ 由勾股定理得：O1B=‎5m=O1P，∴PF=‎5m-3m=‎2m．‎ ‎ 又∵PF=，∴m=，∴O1B=O1P，∴BF=×4=3．‎ ‎ 由tan∠A=，∴AF==4，∴AP=4-=，‎ ‎ ∴PO2= ，∴O1O2=++==5．‎ 考前热身训练 1．（1）连CD，因A、B、D、C四点共圆，‎ ‎ ∴∠DCP=∠ABP，而∠PFE=∠ABP，‎ ‎ ∴∠DCP=∠PFE，CD∥EF，∴，即PD·PF=PC·PE．‎ ‎ （2）设PT长为x，∴PE=PT，由（1）结论得PF=x，‎ ‎ 由PT2=PC·PA得x2=5（x+），解之得x1=7，x2=-，∴PT=7．‎ ‎2．（1）由已知得EC2=ED（ED+）， 解之得ED=2或ED=-（舍去）．‎ ‎ ∵BC为直径，∴CD⊥BE，由勾股定理得CD=，∴tan∠DCE=．‎ ‎ （2）连AC交BD于F，由（1）得，AD=DC=，BC=．‎ ‎ 可证△ADF∽△BCF，∴=．‎ ‎ 设DF=2x，则CF=3x．由CF-DF=CD，得9x-4x=5，x=1，∴DF=2，CF=3，∴BF=．‎ ‎ 由相交弦定理得AF=， ∴AB== ．‎ ‎3．（1）由勾股定理，列方程可求AD=3．‎ ‎（2）过A作AG⊥EF于G，由勾股定理得CE=，‎ 由切割线定理得CF=，由△BCE∽△GAE，得AG=． S△AFC=．‎ ‎4．证明：（1）连结OD易得∠EDA=45°，∠ODA=45°，‎ ‎∴∠ODE=∠ADE+∠ODA=90°，∴直线ED是⊙O的切线 ‎ （2）作OM⊥AB于M，∴M为AB中点，‎ ‎ ∴AE=AB=2AM，AF∥OM，∴=2，∴EF=2FO.‎