2018年江西省中考数学试卷

2018年江西省中考数学试卷

‎2018年江西省中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（本大共6分，每小题3分，共18分。每小题只有一个正确选项）‎ ‎1．（3.00分）﹣2的绝对值是（　　）‎ A．﹣2 B．2 C．﹣ D．‎ ‎2．（3.00分）计算（﹣a）2•的结果为（　　）‎ A．b B．﹣b C．ab D．‎ ‎3．（3.00分）如图所示的几何体的左视图为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（3.00分）某班组织了针对全班同学关于“你最喜欢的一项体育活动”的问卷调查后，绘制出频数分布直方图，由图可知，下列结论正确的是（　　）‎ A．最喜欢篮球的人数最多 B．最喜欢羽毛球的人数是最喜欢乒乓球人数的两倍 C．全班共有50名学生 D．最喜欢田径的人数占总人数的10%‎ ‎5．（3.00分）小军同学在网络纸上将某些图形进行平移操作，他发现平移前后的两个图形所组成的图形可以是轴对称图形、如图所示，现在他将正方形ABCD从当前位置开始进行一次平移操作，平移后的正方形顶点也在格点上，则使平移前后的两个正方形组成轴对称图形的平移方向有（　　）‎ A．3个 B．4个 C．5个 D．无数个 ‎6．（3.00分）在平面直角坐标系中，分别过点A（m，0），B（m+2，0）作x轴的垂线l1和l2，探究直线l1，直线l2与双曲线y=的关系，下列结论错误的是（　　）‎ A．两直线中总有一条与双曲线相交 B．当m=1时，两直线与双曲线的交点到原点的距离相等 C．当﹣2＜m＜0时，两直线与双曲线的交点在y轴两侧 D．当两直线与双曲线都有交点时，这两交点的最短距离是2‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）‎ ‎7．（3.00分）若分式有意义，则x的取值范围为　 　．‎ ‎8．（3.00分）2018年5月13口，中国首艘国产航空母舰首次执行海上试航任务，共排水量超过6万吨，将数60000用科学记数法表示应为　 　．‎ ‎9．（3.00分）中国的《九章算术》是世界现代数学的两大源泉之一，其中有一问题：“今有牛五、羊二，直金十两，牛二、羊五，直金八两．问牛羊各直金几何？”译文：今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两．问牛、羊每头各值金多少？设牛、羊每头各值金x两、y两，依题意，可列出方程组为　 　．‎ ‎10．（3.00分）如图，在矩形ABCD中，AD=3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE=FF，则AB的长为　 　．‎ ‎11．（3.00分）一元二次方程x2﹣4x+2=0的两根为x1，x2．则x12﹣4x1+2x1x2的值为　 　．‎ ‎12．（3.00分）在正方形ABCD中，AB=6，连接AC，BD，P是正方形边上或对角线上一点，若PD=2AP，则AP的长为　 　．‎ ‎　‎ 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）‎ ‎13．（6.00分）（1）计算：（a+1）（a﹣1）﹣（a﹣2）2；‎ ‎（2）解不等式：x﹣1≥+3．‎ ‎14．（6.00分）如图，在△ABC中，AB=8，BC=4，CA=6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E，求AE的长．‎ ‎15．（6.00分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，E为AB的中点，请仅用无刻度直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．‎ ‎（1）在图1中，画出△ABD的BD边上的中线；‎ ‎（2）在图2中，若BA=BD，画出△ABD的AD边上的高．‎ ‎16．（6.00分）今年某市为创评“全国文明城市”称号，周末团市委组织志愿者进行宣传活动．班主任梁老师决定从4名女班干部（小悦、小惠、小艳和小倩）中通过抽签方式确定2名女生去参加．抽签规则：将4名女班干部姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，梁老师先从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩余的3张卡片中随机抽取第二张，记下姓名．‎ ‎（1）该班男生“小刚被抽中”是　 　事件，“小悦被抽中”是　 　事件（填“不可能”或“必然”或“随机”）；第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为　 　；‎ ‎（2）试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出“小惠被抽中”的概率．‎ ‎17．（6.00分）如图，反比例函数y=（k≠0）的图象与正比例函数y=2x的图象相交于A（1，a），B两点，点C在第四象限，CA∥y轴，∠ABC=90°．‎ ‎（1）求k的值及点B的坐标；‎ ‎（2）求tanC的值．‎ ‎　‎ 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）‎ ‎18．（8.00分）4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人漱养浩然之气．”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读．该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间，过程如下：‎ 数据收集：从全校随机抽取20名学生，进行了每周用于课外阅读时间的调查，数据如下（单位：min）‎ ‎30‎ ‎60‎ ‎81‎ ‎50‎ ‎40‎ ‎110‎ ‎130‎ ‎146‎ ‎90‎ ‎100‎ ‎60‎ ‎81‎ ‎120‎ ‎140‎ ‎70‎ ‎81‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎100‎ ‎81‎ 整理数据：按如下分段整理样本数据并补全表格：‎ 课外阅读时间x（min）‎ ‎0≤x＜40‎ ‎40≤x＜80‎ ‎80≤x＜120‎ ‎120≤x＜160‎ 等级 D C B A 人数 ‎3‎ ‎　 　‎ ‎8‎ ‎　 　‎ 分析数据：补全下列表格中的统计量：‎ 平均数 中位数 众数 ‎80‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ 得出结论：‎ ‎（1）用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间的情况等级为　 　；‎ ‎（2）如果该校现有学生400人，估计等级为“B”的学生有多少名？‎ ‎（3）假设平均阅读一本课外书的时间为160分钟，请你选择样本中的一种统计量估计该校学生每人一年（按52周计算）平均阅读多少本课外书？‎ ‎19．（8.00分）图1是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴固定在门框上，通过推动左侧活页门开关．图2是其俯视简化示意图，已知轨道AB=120cm，两扇活页门的宽OC=OB=60m，点B固定，当点C在AB上左右运动时，OC与OB的长度不变．（所有的结果保留小数点后一位）‎ ‎（1）若∠OBC=50°，求AC的长；‎ ‎（2）当点C从点A向右运动60cm时，求点O在此过程中运动的路径长．‎ 参考数据：sn50°≈0.77．cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，π取3.14．‎ ‎20．（8.00分）如图，在△ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径做圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO交BO的廷长线于点D，且∠AOD=∠BAD．‎ ‎（1）求证：AB为⊙O的切线；‎ ‎（2）若BC=6，tan∠ABC=，求AD的长．‎ ‎　‎ 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）‎ ‎21．（9.00分）某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚，到了收获季节，已知该蜜柚的成本价为8元/千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示．‎ ‎（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；‎ ‎（2）当该品种的蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？‎ ‎（3）某农户今年共采摘蜜柚4800千克，该品种蜜柚的保质期为40天，根据（2）中获得最大利润的方式进行销售，能否销售完这批蜜柚？请说明理由．‎ ‎22．（9.00分）在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化．‎ ‎（1）如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是　 　，CE与AD的位置关系是　 　；‎ ‎（2）当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由（选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）；‎ ‎（3）如图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB=2，BE=2，求四边形ADPE的面积．‎ ‎　‎ 六、（本大题共12分 ‎23．（12.00分）小资与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：‎ 求解体验：‎ ‎（1）已知抛物线y=﹣x2+bx﹣3经过点（﹣1，0），则b=　 　，顶点坐标为　 　，该抛物线关于点（0，1）成中心对称的抛物线表达式是　 　．‎ 抽象感悟：‎ 我们定义：对于抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），以y轴上的点M（0，m）为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线y′，则我们又称抛物线y′为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．‎ ‎（2）已知抛物线y=﹣x2﹣2x+‎ ‎5关于点（0，m）的衍生抛物线为y′，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围．‎ 问题解决：‎ ‎（1）已知抛物线y=ax2+2ax﹣b（a≠0）‎ ‎①若抛物线y的衍生抛物线为y′=bx2﹣2bx+a2（b≠0），两个抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a、b的值及衍生中心的坐标；‎ ‎②若抛物线y关于点（0，k+12）的衍生抛物线为y1；其顶点为A1；关于点（0，k+22）的衍生抛物线为y2，其顶点为A2；…；关于点（0，k+n2）的衍生抛物线为yn；其顶点为An…（n为正整数）求AnAn+1的长（用含n的式子表示）．‎ ‎　‎ ‎2018年江西省中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大共6分，每小题3分，共18分。每小题只有一个正确选项）‎ ‎1．（3.00分）﹣2的绝对值是（　　）‎ A．﹣2 B．2 C．﹣ D．‎ ‎【分析】根据绝对值的定义，可直接得出﹣2的绝对值．‎ ‎【解答】解：|﹣2|=2．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．（3.00分）计算（﹣a）2•的结果为（　　）‎ A．b B．﹣b C．ab D．‎ ‎【分析】先计算乘方，再计算乘法即可得．‎ ‎【解答】解；原式=a2•=b，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．（3.00分）如图所示的几何体的左视图为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．‎ ‎【解答】解：从左边看是上大下小等宽的两个矩形，矩形的公共边是虚线，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．（3.00分）某班组织了针对全班同学关于“你最喜欢的一项体育活动”的问卷调查后，绘制出频数分布直方图，由图可知，下列结论正确的是（　　）‎ A．最喜欢篮球的人数最多 B．最喜欢羽毛球的人数是最喜欢乒乓球人数的两倍 C．全班共有50名学生 D．最喜欢田径的人数占总人数的10%‎ ‎【分析】根据频数分布直方图中的数据逐一判断可得．‎ ‎【解答】解：A、最喜欢足球的人数最多，此选项错误；‎ B、最喜欢羽毛球的人数是最喜欢田径人数的两倍，此选项错误；‎ C、全班学生总人数为12+20+8+4+6=50名，此选项正确；‎ D、最喜欢田径的人数占总人数的×100%=8%，此选项错误 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．（3.00分）小军同学在网络纸上将某些图形进行平移操作，他发现平移前后的两个图形所组成的图形可以是轴对称图形、如图所示，现在他将正方形ABCD从当前位置开始进行一次平移操作，平移后的正方形顶点也在格点上，则使平移前后的两个正方形组成轴对称图形的平移方向有（　　）‎ A．3个 B．4个 C．5个 D．无数个 ‎【分析】直接利用平移的性质结合轴对称图形的性质得出答案．‎ ‎【解答】解：如图所示：正方形ABCD可以向上、下、向右以及沿AC所在直线，沿BD所在直线平移，‎ 所组成的两个正方形组成轴对称图形．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．（3.00分）在平面直角坐标系中，分别过点A（m，0），B（m+2，0）作x轴的垂线l1和l2，探究直线l1，直线l2与双曲线y=的关系，下列结论错误的是（　　）‎ A．两直线中总有一条与双曲线相交 B．当m=1时，两直线与双曲线的交点到原点的距离相等 C．当﹣2＜m＜0时，两直线与双曲线的交点在y轴两侧 D．当两直线与双曲线都有交点时，这两交点的最短距离是2‎ ‎【分析】A、由m、m+2不同时为零，可得出：两直线中总有一条与双曲线相交；‎ B、找出当m=1时两直线与双曲线的交点坐标，利用两点间的距离公式可得出：当m=1时，两直线与双曲线的交点到原点的距离相等；‎ C、当﹣2＜m＜0时，0＜m+2＜2，可得出：当﹣2＜m＜0时，两直线与双曲线的交点在y轴两侧；‎ D、由y与x之间一一对应结合两交点横坐标之差为2，可得出：当两直线与双曲线都有交点时，这两交点的距离大于2．此题得解．‎ ‎【解答】解：A、∵m、m+2不同时为零，‎ ‎∴两直线中总有一条与双曲线相交；‎ B、当m=1时，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0），‎ 当x=1时，y==3，‎ ‎∴直线l1与双曲线的交点坐标为（1，3）；‎ 当x=3时，y==1，‎ ‎∴直线l2与双曲线的交点坐标为（3，1）．‎ ‎∵=，‎ ‎∴当m=1时，两直线与双曲线的交点到原点的距离相等；‎ C、当﹣2＜m＜0时，0＜m+2＜2，‎ ‎∴当﹣2＜m＜0时，两直线与双曲线的交点在y轴两侧；‎ D、∵m+2﹣m=2，且y与x之间一一对应，‎ ‎∴当两直线与双曲线都有交点时，这两交点的距离大于2．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）‎ ‎7．（3.00分）若分式有意义，则x的取值范围为　x≠1　．‎ ‎【分析】分式有意义，分母不等于零．‎ ‎【解答】解：依题意得 x﹣1≠0，即x≠1时，分式有意义．‎ 故答案是：x≠1．‎ ‎　‎ ‎8．（3.00分）2018年5月13口，中国首艘国产航空母舰首次执行海上试航任务，共排水量超过6万吨，将数60000用科学记数法表示应为　6×104　．‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜‎ ‎1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：60000=6×104，‎ 故答案为：6×104．‎ ‎　‎ ‎9．（3.00分）中国的《九章算术》是世界现代数学的两大源泉之一，其中有一问题：“今有牛五、羊二，直金十两，牛二、羊五，直金八两．问牛羊各直金几何？”译文：今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两．问牛、羊每头各值金多少？设牛、羊每头各值金x两、y两，依题意，可列出方程组为　　．‎ ‎【分析】设每头牛值金x两，每头羊值金y两，根据“牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，此题得解．‎ ‎【解答】解：设每头牛值金x两，每头羊值金y两，‎ 根据题意得：．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎10．（3.00分）如图，在矩形ABCD中，AD=3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE=FF，则AB的长为　3　．‎ ‎【分析】由旋转的性质得到AD=EF，AB=AE，再由DE=EF，等量代换得到AD=DE，即三角形AED为等腰直角三角形，利用勾股定理求出AE的长，即为AB的长．‎ ‎【解答】解：由旋转得：AD=EF，AB=AE，∠D=90°，‎ ‎∵DE=EF，‎ ‎∴AD=DE，即△ADE为等腰直角三角形，‎ 根据勾股定理得：AE==3，‎ 则AB=AE=3，‎ 故答案为：3‎ ‎　‎ ‎11．（3.00分）一元二次方程x2﹣4x+2=0的两根为x1，x2．则x12﹣4x1+2x1x2的值为　2　．‎ ‎【分析】根据根与系数的关系及一元二次方程的解可得出x12﹣4x1=﹣2、x1x2=2，将其代入x12﹣4x1+2x1x2中即可求出结论．‎ ‎【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+2=0的两根为x1、x2，‎ ‎∴x12﹣4x1=﹣2，x1x2=2，‎ ‎∴x12﹣4x1+2x1x2=﹣2+2×2=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎12．（3.00分）在正方形ABCD中，AB=6，连接AC，BD，P是正方形边上或对角线上一点，若PD=2AP，则AP的长为　2或2或﹣　．‎ ‎【分析】根据正方形的性质得出AC⊥BD，AC=BD，OB=OA=OC=OD，AB=BC=AD=CD=6，∠ABC=90°，根据勾股定理求出AC、BD、求出OA、OB、OC、OD，画出符合的三种情况，根据勾股定理求出即可．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=6，‎ ‎∴AC⊥BD，AC=BD，OB=OA=OC=OD，AB=BC=AD=CD=6，∠ABC=∠DAB=90°，‎ 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC===6，‎ ‎∴OA=OB=OC=OD=3，‎ 有三种情况：①点P在AD上时，‎ ‎∵AD=6，PD=2AP，‎ ‎∴AP=2；‎ ‎②点P在AC上时，‎ 设AP=x，则DP=2x，‎ 在Rt△DPO中，由勾股定理得：DP2=DO2+OP2，‎ ‎（2x）2=（3）2+（3﹣x）2，‎ 解得：x=﹣（负数舍去），‎ 即AP=﹣；‎ ‎③点P在AB上时，‎ 设AP=y，则DP=2y，‎ 在Rt△APD中，由勾股定理得：AP2+AD2=DP2，‎ y2+62=（2y）2，‎ 解得：y=2（负数舍去），‎ 即AP=2；‎ 故答案为：2或2或﹣．‎ ‎　‎ 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）‎ ‎13．（6.00分）（1）计算：（a+1）（a﹣1）﹣（a﹣2）2；‎ ‎（2）解不等式：x﹣1≥+3．‎ ‎【分析】（1）原式利用平方差公式，以及完全平方公式计算即可求出值；‎ ‎（2）不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解集．‎ ‎【解答】解：（1）原式=a2﹣1﹣a2+4a﹣4=4a﹣5；‎ ‎（2）去分母得：2x﹣2≥x﹣2+6，‎ 移项合并得：x≥6．‎ ‎　‎ ‎14．（6.00分）如图，在△ABC中，AB=8，BC=4，CA=6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E，求AE的长．‎ ‎【分析】根据角平分线定义和平行线的性质求出∠D=∠CBD，求出BC=CD=4，证△AEB∽△CED，得出比例式，求出AE=2CE，即可得出答案．‎ ‎【解答】解：∵BD为∠ABC的平分线，‎ ‎∴∠ABD=∠CBD，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠D=∠ABD，‎ ‎∴∠D=∠CBD，‎ ‎∴BC=CD，‎ ‎∵BC=4，‎ ‎∴CD=4，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴△ABE∽△CDE，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴AE=2CE，‎ ‎∵AC=6=AE+CE，‎ ‎∴AE=4．‎ ‎　‎ ‎15．（6.00分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，E为AB的中点，请仅用无刻度直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．‎ ‎（1）在图1中，画出△ABD的BD边上的中线；‎ ‎（2）在图2中，若BA=BD，画出△ABD的AD边上的高．‎ ‎【分析】（1）连接EC，利用平行四边形的判定和性质解答即可；‎ ‎（2）连接EC，ED，FA，利用三角形重心的性质解答即可．‎ ‎【解答】解：（1）如图1所示，AF即为所求：‎ ‎（2）如图2所示，BH即为所求．‎ ‎　‎ ‎16．（6.00分）今年某市为创评“全国文明城市”称号，周末团市委组织志愿者进行宣传活动．班主任梁老师决定从4名女班干部（小悦、小惠、小艳和小倩）中通过抽签方式确定2名女生去参加．抽签规则：将4名女班干部姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，梁老师先从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩余的3张卡片中随机抽取第二张，记下姓名．‎ ‎（1）该班男生“小刚被抽中”是　不可能　事件，“小悦被抽中”是　随机　事件（填“不可能”或“必然”或“随机”）；第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为　　；‎ ‎（2）试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出“小惠被抽中”的概率．‎ ‎【分析】（1）根据随机事件和不可能事件的概念及概率公式解答可得；‎ ‎（2）列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．‎ ‎【解答】解：（1）该班男生“小刚被抽中”是不可能事件，“小悦被抽中”是随机事件，第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为，‎ 故答案为：不可能、随机、；‎ ‎（2）记小悦、小惠、小艳和小倩这四位女同学分别为A、B、C、D，‎ 列表如下：‎ A B C D A ‎﹣﹣﹣‎ ‎（B，A）‎ ‎（C，A）‎ ‎（D，A）‎ B ‎（A，B）‎ ‎﹣﹣﹣‎ ‎（C，B）‎ ‎（D，B）‎ C ‎（A，C）‎ ‎（B，C）‎ ‎﹣﹣﹣‎ ‎（D，C）‎ D ‎（A，D）‎ ‎（B，D）‎ ‎（C，D）‎ ‎﹣﹣﹣‎ 由表可知，共有12种等可能结果，其中小惠被抽中的有6种结果，‎ 所以小惠被抽中的概率为=．‎ ‎　‎ ‎17．（6.00分）如图，反比例函数y=（k≠0）的图象与正比例函数y=2x的图象相交于A（1，a），B两点，点C在第四象限，CA∥y轴，∠ABC=90°．‎ ‎（1）求k的值及点B的坐标；‎ ‎（2）求tanC的值．‎ ‎【分析】（1）先利用正比例函数解析式确定A（1，2），再把A点坐标代入y=中求出k得到反比例函数解析式为y=，然后解方程组得B点坐标；‎ ‎（2）作BD⊥AC于D，如图，利用等角的余角相等得到∠C=∠ABD，然后在在Rt△ABD中利用正切的定义求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）把A（1，a）代入y=2x得a=2，则A（1，2），‎ 把A（1，2）代入y=得k=1×2=2，‎ ‎∴反比例函数解析式为y=，‎ 解方程组得或，‎ ‎∴B点坐标为（﹣1，﹣2）；‎ ‎（2）作BD⊥AC于D，如图，‎ ‎∴∠BDC=90°，‎ ‎∵∠C+∠CBD=90°，∠CBD+∠ABD=90°，‎ ‎∴∠C=∠ABD，‎ 在Rt△ABD中，tan∠ABD===2，‎ 即tanC=2．‎ ‎　‎ 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）‎ ‎18．（8.00分）4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人漱养浩然之气．”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读．该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间，过程如下：‎ 数据收集：从全校随机抽取20名学生，进行了每周用于课外阅读时间的调查，数据如下（单位：min）‎ ‎30‎ ‎60‎ ‎81‎ ‎50‎ ‎40‎ ‎110‎ ‎130‎ ‎146‎ ‎90‎ ‎100‎ ‎60‎ ‎81‎ ‎120‎ ‎140‎ ‎70‎ ‎81‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎100‎ ‎81‎ 整理数据：按如下分段整理样本数据并补全表格：‎ 课外阅读时间x（min）‎ ‎0≤x＜40‎ ‎40≤x＜80‎ ‎80≤x＜120‎ ‎120≤x＜160‎ 等级 D C B A 人数 ‎3‎ ‎　5　‎ ‎8‎ ‎　4　‎ 分析数据：补全下列表格中的统计量：‎ 平均数 中位数 众数 ‎80‎ ‎　81　‎ ‎　81　‎ 得出结论：‎ ‎（1）用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间的情况等级为　B　；‎ ‎（2）如果该校现有学生400人，估计等级为“B”的学生有多少名？‎ ‎（3）假设平均阅读一本课外书的时间为160分钟，请你选择样本中的一种统计量估计该校学生每人一年（按52周计算）平均阅读多少本课外书？‎ ‎【分析】根据中位数、众数的定义可以填表格，利用样本和总体之间的比例关系可以估计或计算得到（1）（2）（3）结果．‎ ‎【解答】解：（1）根据上表统计显示：样本中位数和众数都是81，平均数是80，都是B等级，‎ ‎ 故估计该校学生每周的用于课外阅读时间的情况等级为B．‎ ‎（2）∵=160‎ ‎∴该校现有学生400人，估计等级为“B”的学生有160名．‎ ‎（3）以平均数来估计：‎ ‎×52=26‎ ‎∴假设平均阅读一本课外书的时间为160分钟，以样本的平均数来估计该校学生每人一年（按52周计算）平均阅读26本课外书．‎ ‎　‎ ‎19．（8.00分）图1是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴固定在门框上，通过推动左侧活页门开关．图2是其俯视简化示意图，已知轨道AB=120cm，两扇活页门的宽OC=OB=60m，点B固定，当点C在AB上左右运动时，OC与OB的长度不变．（所有的结果保留小数点后一位）‎ ‎（1）若∠OBC=50°，求AC的长；‎ ‎（2）当点C从点A向右运动60cm时，求点O在此过程中运动的路径长．‎ 参考数据：sn50°≈0.77．cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，π取3.14．‎ ‎【分析】（1）作OH⊥BC于H，如图2，利用等腰三角形的性质得BH=CH，在Rt△OBH中利用余弦定义计算出BH，从而得到BC的长，然后计算AB﹣BC即可；‎ ‎（2）先判断△OBC为等边三角形得到∠OBC=60°，再根据圆的定义得到点O在此过程中运动路径是以B点为圆心，BO为半径，圆心角为60°的弧，然后根据弧长公式计算即可．‎ ‎【解答】解：（1）作OH⊥BC于H，如图2，‎ ‎∵OB=OC，‎ ‎∴BH=CH，‎ 在Rt△OBH中，∵cos∠OBH=，‎ ‎∴BH=60•cos50°=60×0.64=38.4，‎ ‎∴BC=2BH=2×38.4=76.8，‎ ‎∴AC=AB﹣BC=120﹣76.8=43.2．‎ 答：AC的长为43.2cm；‎ ‎（2）∵OB=OC=60，‎ 而BC=60，‎ ‎∴△OBC为等边三角形，‎ ‎∴∠OBC=60°，‎ ‎∴当点C从点A向右运动60cm时，点O在此过程中运动路径是以B点为圆心，BO为半径，圆心角为60°的弧，‎ ‎∴点O在此过程中运动的路径长==20π≈62.8（cm）．‎ ‎　‎ ‎20．（8.00分）如图，在△ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径做圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO交BO的廷长线于点D，且∠AOD=∠BAD．‎ ‎（1）求证：AB为⊙O的切线；‎ ‎（2）若BC=6，tan∠ABC=，求AD的长．‎ ‎【分析】（1）作OE⊥AB，先由∠AOD=∠BAD求得∠ABD=∠OAD，再由∠BOC=∠D=90°及∠BOC=∠AOD求得∠OBC=∠OAD=∠ABD，最后证△BOC≌△BOE得OE=OC，依据切线的判定可得；‎ ‎（2）先求得∠EOA=∠ABC，在Rt△‎ ABC中求得AC=8、AB=10，由切线长定理知BE=BC=6、AE=4、OE=3，继而得BO=3，再证△ABD∽△OBC得=，据此可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）过点O作OE⊥AB于点E，‎ ‎∵AD⊥BO于点D，‎ ‎∴∠D=90°，‎ ‎∴∠BAD+∠ABD=90°，∠AOD+∠OAD=90°，‎ ‎∵∠AOD=∠BAD，‎ ‎∴∠ABD=∠OAD，‎ 又∵BC为⊙O的切线，‎ ‎∴AC⊥BC，‎ ‎∴∠BOC=∠D=90°，‎ ‎∵∠BOC=∠AOD，‎ ‎∴∠OBC=∠OAD=∠ABD，‎ 在△BOC和△BOE中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△BOC≌△BOE（AAS），‎ ‎∴OE=OC，‎ ‎∵OE⊥AB，‎ ‎∴AB是⊙O的切线；‎ ‎（2）∵∠ABC+∠BAC=90°，∠EOA+∠BAC=90°，‎ ‎∴∠EOA=∠ABC，‎ ‎∵tan∠ABC=、BC=6，‎ ‎∴AC=BC•tan∠ABC=8，‎ 则AB=10，‎ 由（1）知BE=BC=6，‎ ‎∴AE=4，‎ ‎∵tan∠EOA=tan∠ABC=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴OE=3，OB==3，‎ ‎∵∠ABD=∠OBC，∠D=∠ACB=90°，‎ ‎∴△ABD∽△OBC，‎ ‎∴=，即=，‎ ‎∴AD=2．‎ ‎　‎ 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）‎ ‎21．（9.00分）某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚，到了收获季节，已知该蜜柚的成本价为8元/千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示．‎ ‎（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；‎ ‎（2）当该品种的蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？‎ ‎（3）某农户今年共采摘蜜柚4800千克，该品种蜜柚的保质期为40天，根据（2）中获得最大利润的方式进行销售，能否销售完这批蜜柚？请说明理由．‎ ‎【分析】（1）利用待定系数法求解可得；‎ ‎（2）根据“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式，并配方成顶点式即可得出最大值；‎ ‎（3）求出在（2）中情况下，即x=19时的销售量，据此求得40天的总销售量，比较即可得出答案．‎ ‎【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，‎ 将（10，200）、（15，150）代入，得：，‎ 解得：，‎ ‎∴y与x的函数关系式为y=﹣10x+300（8≤x≤30）；‎ ‎（2）设每天销售获得的利润为w，‎ 则w=（x﹣8）y ‎=（x﹣8）（﹣10x+300）‎ ‎=﹣10（x﹣19）2+1210，‎ ‎∵8≤x≤30，‎ ‎∴当x=19时，w取得最大值，最大值为1210；‎ ‎（3）由（2）知，当获得最大利润时，定价为19元/千克，‎ 则每天的销售量为y=﹣10×19+300=110千克，‎ ‎∵保质期为40天，‎ ‎∴总销售量为40×110=4400，‎ 又∵4400＜4800，‎ ‎∴不能销售完这批蜜柚．‎ ‎　‎ ‎22．（9.00分）在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化．‎ ‎（1）如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是　BP=CE　，CE与AD的位置关系是　AD⊥CE　；‎ ‎（2）当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由（选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）；‎ ‎（3）如图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB=2，BE=2，求四边形ADPE的面积．‎ ‎【分析】（1）如图1中，结论：PB=EC，CE⊥AD．连接AC，想办法证明△BAP≌△CAE即可解决问题；‎ ‎（2）结论仍然成立．证明方法类似；‎ ‎（3）首先证明△BAP≌△CAE，解直角三角形求出AP，DP，OA即可解决问题；‎ ‎【解答】解：（1）如图1中，结论：PB=EC，CE⊥AD．‎ 理由：连接AC．‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，‎ ‎∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD=∠CBD=30°，‎ ‎∵△APE是等边三角形，‎ ‎∴AB=AC，AP=AE，∠BAC=∠PAE=60°，‎ ‎∴△BAP≌△CAE，‎ ‎∴BP=CE，∠BAP=∠ACE=30°，‎ 延长CE交AD于H，‎ ‎∵∠CAH=60°，‎ ‎∴∠CAH+∠ACH=90°，‎ ‎∴∠AHC=90°，即CE⊥AD．‎ 故答案为PB=EC，CE⊥AD．‎ ‎（2）结论仍然成立．‎ 理由：选图2，连接AC交BD于O，设CE交AD于H．‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，‎ ‎∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD=∠CBD=30°，‎ ‎∵△APE是等边三角形，‎ ‎∴AB=AC，AP=AE，∠BAC=∠PAE=60°，‎ ‎∴△BAP≌△CAE，‎ ‎∴BP=CE，∠BAP=∠ACE=30°，‎ ‎∵∠CAH=60°，‎ ‎∴∠CAH+∠ACH=90°，‎ ‎∴∠AHC=90°，即CE⊥AD．‎ 选图3，连接AC交BD于O，设CE交AD于H．‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，‎ ‎∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD=∠CBD=30°，‎ ‎∵△APE是等边三角形，‎ ‎∴AB=AC，AP=AE，∠BAC=∠PAE=60°，‎ ‎∴△BAP≌△CAE，‎ ‎∴BP=CE，∠BAP=∠ACE=30°，‎ ‎∵∠CAH=60°，‎ ‎∴∠CAH+∠ACH=90°，‎ ‎∴∠AHC=90°，即CE⊥AD．‎ ‎（3）∴△BAP≌△CAE，‎ 由（2）可知EC⊥AD，CE=BP，‎ 在菱形ABCD中，AD∥BC，‎ ‎∴EC⊥BC，‎ ‎∵BC=AB=2，BE=2，‎ 在Rt△BCE中，EC==8，‎ ‎∴BP=CE=8，‎ ‎∵AC与BD是菱形的对角线，‎ ‎∴∠ABD=∠ABC=30°，AC⊥BD，‎ ‎∴BD=2BO=2AB•cos30°=6，‎ ‎∴OA=AB=，DP=BP﹣BD=8﹣6=2，‎ ‎∴OP=OD+DP=5，‎ 在Rt△AOP中，AP==2，‎ ‎∴S四边形ADPE=S△ADP+S△AEP=×2×+×（2）2=8．‎ ‎　‎ 六、（本大题共12分 ‎23．（12.00分）小资与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：‎ 求解体验：‎ ‎（1）已知抛物线y=﹣x2+bx﹣3经过点（﹣1，0），则b=　﹣4　，顶点坐标为　（﹣2，1）　，该抛物线关于点（0，1）成中心对称的抛物线表达式是　y=x2﹣4x+5　．‎ 抽象感悟：‎ 我们定义：对于抛物线y=ax2+bx+c（a≠‎ ‎0），以y轴上的点M（0，m）为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线y′，则我们又称抛物线y′为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．‎ ‎（2）已知抛物线y=﹣x2﹣2x+5关于点（0，m）的衍生抛物线为y′，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围．‎ 问题解决：‎ ‎（1）已知抛物线y=ax2+2ax﹣b（a≠0）‎ ‎①若抛物线y的衍生抛物线为y′=bx2﹣2bx+a2（b≠0），两个抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a、b的值及衍生中心的坐标；‎ ‎②若抛物线y关于点（0，k+12）的衍生抛物线为y1；其顶点为A1；关于点（0，k+22）的衍生抛物线为y2，其顶点为A2；…；关于点（0，k+n2）的衍生抛物线为yn；其顶点为An…（n为正整数）求AnAn+1的长（用含n的式子表示）．‎ ‎【分析】求解体验：（1）利用待定系数法求出b的值，进而求出顶点坐标，在抛物线上取一点（0，﹣3），求出点（﹣2，1）和（0，﹣3）关于（0，1）的对称点坐标，利用待定系数法即可得出结论；‎ 抽象感悟：（2）求出抛物线的顶点坐标（﹣1，6），再在抛物线上取一点（0，5），求出此两点关于（0，m）的对称点（1，2m﹣6）和（0，2m﹣5），利用待定系数法求出衍生函数解析式，联立即可得出结论；‎ 问题解决：（1）①求出抛物线的顶点坐标和衍生抛物线的顶点坐标，分别代入抛物线解析式中，即可求出a，b的值，即可得出结论；‎ ‎②求出抛物线顶点关于（0，k+n2）和（0，k+（n+1）2）坐标，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：求解体验：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx﹣3经过点（﹣1，0），‎ ‎∴﹣1﹣b﹣3=0，‎ ‎∴b=﹣4，‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣4x﹣3=﹣（x+2）2+1，‎ ‎∴抛物线的顶点坐标为（﹣2，1），‎ ‎∴抛物线的顶点坐标（﹣2，1）关于（0，1）的对称点为（2，1），‎ 即：新抛物线的顶点坐标为（2，1），‎ 令原抛物线的x=0，‎ ‎∴y=﹣3，‎ ‎∴（0，﹣3）关于点（0，1）的对称点坐标为（0，5），‎ 设新抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+1，‎ ‎∵点（0，5）在新抛物线上，‎ ‎∴5=a（0﹣2）2+1，‎ ‎∴a=1，‎ ‎∴新抛物线解析式为y=（x﹣2）2+1=x2﹣4x+5，‎ 故答案为﹣4，（﹣2，1），y=x2﹣4x+5；‎ 抽象感悟：（2）∵抛物线y=﹣x2﹣2x+5=﹣（x+1）2+6①，‎ ‎∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，6），‎ 抛物线上取点（0，5），‎ ‎∴点（﹣1，6）和（0，5）关于点（0，m）的对称点为（1，2m﹣6）和（0，2m﹣5），‎ 设衍生抛物线为y′=a（x﹣1）2+2m﹣6，∴2m﹣5=a+2m﹣6，‎ ‎∴a=1，‎ ‎∴衍生抛物线为y′=（x﹣1）2+2m﹣6=x2﹣2x+2m﹣5②，‎ 联立①②得，x2﹣2x+2m﹣5=﹣x2﹣2x+5，‎ 整理得，2x2=10﹣2m，‎ ‎∵这两条抛物线有交点，‎ ‎∴10﹣2m≥0，‎ ‎∴m≤5；‎ 问题解决：‎ ‎（1）①抛物线y=ax2+2ax﹣b=a（x+1）2﹣a﹣b，‎ ‎∴此抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣a﹣b），‎ ‎∵抛物线y的衍生抛物线为y′=bx2﹣2bx+a2=b（x﹣1）2+a2﹣b，‎ ‎∴此函数的顶点坐标为（1，a2﹣b），‎ ‎∵两个抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，‎ ‎∴，‎ ‎∴a=0（舍）或a=3，‎ ‎∴b=﹣3，‎ ‎∴抛物线y的顶点坐标为（﹣1，0），抛物线y的衍生抛物线的顶点坐标为（1，12），‎ ‎∴衍生中心的坐标为（0，6）；‎ ‎②抛物线y=ax2+2ax﹣b的顶点坐标为（﹣1，﹣a﹣b），‎ ‎∵点（﹣1，﹣a﹣b）关于点（0，k+n2）的对称点为（1，a+b+k+n2），‎ ‎∴抛物线yn的顶点坐标An为（1，a+b+k+n2），‎ 同理：An+1（1，a+b+k+（n+1）2）‎ ‎∴AnAn+1=a+b+k+（n+1）2﹣（a+b+k+n2）=2n+1．‎ ‎　‎