人教版中考数学二轮复习专题练习下几何问题-翻折问题

人教版中考数学二轮复习专题练习下几何问题-翻折问题

‎7.翻折问题 ‎1.在中，，，为延长线上一点，为内部一点，且．‎ ‎（1）若，如图1，直接写出间的数量关系：___________；‎ ‎（2）若，如图2，求证：；‎ ‎（3）在（2）的条件下，如图3，将线段沿翻折，翻折后的点落在点处，且，连接，交的延长线于，若，求的长．‎ 解析：（1）‎ 提示：作于，交延长线于 ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎（2）作于，交延长线于 ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎（3）作于，于 则，‎ 由题意，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 由（2）知，，‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎2.如图，在中，，翻折，使点落在斜边上某一点处，折痕为（点分别在边上）‎ ‎（1）若与相似．‎ ‎①当时，求的长；‎ ‎②当时，求的长；‎ ‎（2）当点是的中点时，与相似吗？请说明理由．‎ 解析：（1）若与相似．‎ ‎①当时，为等腰直角三角形，如答图1所示．‎ 此时为边中点，．‎ ‎②当时，有两种情况：‎ ‎（I）若，如答图2所示．‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ 由折叠性质可知，，‎ ‎∴，即此时为边上的高．‎ 在中，，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎；‎ ‎（II）若，如答图3所示．‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ 由折叠性质可知，，‎ 又∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 同理可得：，‎ ‎∴此时．‎ 综上所述，当时，的长为或．‎ ‎（2）当点是的中点时，与相似．理由如下：‎ 如答图3所示，连接，与交于点．‎ ‎∵是的中线，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 由折叠性质可知，，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 又∵，‎ ‎∴．‎ ‎3.在矩形中，，点分别在边上，且．点为边上的一个动点，连接，把沿直线翻折得到．‎ ‎（1）如图1，当时，‎ ‎①填空：___________度；‎ ‎②若，求的度数，并求此时的最小值；‎ ‎（2）如图3，，连接，交边于点，且，为垂足，求的值．‎ 解析：（1）①‎ ‎②分两种情况：‎ 第一种情况（如图1）‎ ‎，‎ ‎∴‎ 由折叠可知：‎ 又∵，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 即，‎ ‎∴‎ 此时，当与重合时，的值最小，最小值是 第二种情况（如图2）‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ 即 由折叠可知：，‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 此时，当与重合时，的值最小 设，则 在中，，‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎（2）过点作交于，‎ 则 在矩形中，‎ ‎∴‎ ‎∴四边形为矩形，‎ ‎∴‎ 设，则 由折叠可知：‎ ‎∴‎ 在中，‎ 在中，‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 由折叠可知：‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ ‎4.如图，为等边三角形，为内一点，且，把沿翻折，点落在点处，连接．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）连接，若，求的长．‎ 解析：（1）将绕点逆时针旋转得，连接、‎ 则是等边三角形，‎ ‎∴‎ ‎∵，∴‎ ‎∴三点在同一直线上 ‎∵，∴‎ 由题意，‎ ‎∴，‎ ‎∴是等边三角形 ‎∴‎ ‎∴三点在同一直线上 ‎∴‎ ‎（2）过作于 ‎∵是等边三角形，∴‎ 设，则，，‎ 在中，‎ 解得 ‎∴的长为或 ‎5.已知矩形的一条边，将矩形折叠，使顶点落在边上的点处．‎ ‎（1）如图1，已知折痕与边交于点，连结．‎ ‎①求证：；‎ ‎②若与的面积比为，求边的长；‎ ‎（2）若图1中的点恰好是边的中点，求的度数；‎ ‎（3）如图2，在（1）的条件下，擦去折痕、线段，连结．动点在线段上（点与点不重合），动点在线段的延长线上，且，连结交于点，作于点．试问当点在移动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段的长度．‎ 解析：‎ ‎（1）①∵四边形是矩形，∴‎ ‎∴‎ ‎∵是由沿折叠，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎②∵，的面积比为 ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ 设，则 在中，‎ ‎∴，∴‎ 即边的长为 ‎（2）∵折叠后与重合，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∵是的中点，‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ 又，‎ ‎∴‎ ‎（3）线段的长度不变 作交于点 ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ 由（1）得：‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎6.如图1，在平行四边形中，点是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，且．连接．‎ ‎（1）求证：四边形是矩形；‎ ‎（2）在图1中，若点是上一点，沿折叠，使点恰好落在线段上的点处（如图2），，求的长．‎ 解析：（1）∵四边形是平行四边形，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵是的中点，∴‎ ‎∴，∴‎ ‎∴四边形是平行四边形 ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴四边形是矩形 ‎（2）‎ ‎∵四边形是矩形，‎ ‎∴‎ ‎∵是由折叠得到的 ‎∴‎ 在中，‎ ‎∴‎ 设，则 在中，‎ 即，解得 ‎∴.‎ ‎7.在直角梯形中，，，点在射线上，将沿翻折，点落到点处，射线与射线交于点．‎ ‎（1）如图1，当点在边上时，求证：.‎ ‎（2）如图2，当点在边的延长线上时，线段的数量关系是：_______________；‎ ‎（3）在（2）的条件下，过点作，垂足为点，设直线与直线交于点，若求的长．‎ 解析：（1）过作，交的延长线于，连接 ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ 又 ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎（2）‎ 提示：过作于，连接 同（1）可证：‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎（3）连接，作于，于 ‎∵‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∴，，‎ 设，则 ‎∵，‎ 解得，‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 又，‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎8.如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形的顶点重合，将此三角板绕点旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边于点，连结．‎ ‎（1）猜想三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；‎ ‎（2）在图1中，过点作于点，请直接写出和的数量关系；‎ ‎（3）如图2，将沿斜边翻折得到，分别是边上的点，，连接，过点作于点．试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想．‎ 答案：见解析 解析：（1）猜想：‎ 证明：延长到，使，连接 ‎∵四边形是正方形 ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 又∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 即 ‎（2）‎ ‎（3）猜想：‎ 证明：延长到，使，连接 ‎∵沿斜边翻折得到 ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 又∵，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎9.（1）如图1，将矩形纸片沿对角线折叠，使点落在点处，交于点．‎ 求证：；‎ ‎（2）若矩形纸片中，，将矩形沿过点的直线折叠，使点落在点处，折痕交线段（不含端点）于点，线段交直线于点．图2是该矩形折叠后的一种情况．请探究并解决以下问题：‎ ‎①当为直角三角形时，求的长；‎ ‎②当时，求的取值范围．‎ 解析：（1）‎ 由题意，‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎（2）①‎ ‎∵不与端点重合 ‎∴‎ ‎∴当为直角三角形时，只能 连接 ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 即，解得或 ‎∴当为直角三角形时，的长为或 ‎②‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎10.已知矩形的一条边，将矩形折叠，使得顶点落在边上的点处．‎ ‎ ‎ ‎（1）如图1，已知折痕与边交于点，连结．‎ ‎①图中___‎ ‎②若与的面积比为，求边的长为_____；‎ ‎（2）若图1中的点恰好是边的中点，求的度数为_____度；‎ ‎（3）如图2，在（1）的条件下，擦去折痕、线段，连结．动点在线段上（点与点不重合），动点在线段的延长线上，且，连结交于点，作于点．试问当点在移动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段的长度．‎ 解析：（1）如图1，‎ ‎①∵四边形是矩形，．‎ 由折叠可得：．‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎②与的面积比为，‎ ‎．‎ ‎．‎ 设，则．‎ 在中，‎ ‎，‎ ‎．‎ 解得：．‎ ‎．‎ 边的长为．‎ ‎（2）如图1，‎ 是边的中点，‎ ‎．‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎，‎ ‎．‎ 的度数为．‎ ‎（3）作，交于点，如图2．‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎，，‎ ‎．‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎，‎ ‎．‎ 在和中，‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎．‎ 由（1）中的结论可得：‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎∴在（1）的条件下，当点在移动过程中，线段的长度不变，长度为．‎ ‎11.问题解决 如图（1），将正方形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点，重合），压平后得到折痕．‎ 当时，求的值为_____． ‎ 方法指导：‎ 为了求得的值，可先求、的长，不妨设：=2‎ 类比归纳 在图（1）中，若则的值等于______；（注：若答案不是整数，请化为小数）；若则的值等于______；若（为整数），则的值等于____．（用含的式子表示）‎ 联系拓广 如图（2），将矩形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点重合），压平后得到折痕设则的值等于______．（用含的式子表示）‎ 解析：方法一：如图（1-1），连接 由题设，得四边形和四边形关于直线对称．‎ ‎∴垂直平分．∴‎ ‎∵四边形是正方形，‎ ‎∴‎ ‎∵‎ 设,则 在中，．‎ ‎∴解得，即 在和在中，‎ ‎，‎ ‎，‎ 设则 ‎∴‎ 解得即 方法二：同方法一，‎ 如图（1－2），过点做交于点，连接 ‎　　　‎ ‎∵‎ ‎∴四边形是平行四边形．‎ ‎∴‎ 同理，四边形也是平行四边形．∴‎ ‎∵‎ 在与中 ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 类比归纳 ‎（或）；；‎ 联系拓广 ‎12.中，，为延长线上一点，为内部一点，且．‎ ‎（1）若，如图1，直接写出间的数量关系：______；‎ ‎（2）若，如图2，求证：； ‎ ‎（3）在（2）的条件下，如图3，将线段沿翻折，翻折后的点落在点处，且，连接，交的延长线于，若，求的长为______．‎ 解析：‎ ‎（1）‎ 提示：作于交延长线于 ‎∴AC＝BE ‎（2）作于交延长线于 ‎（3）作于于 则 由题意，‎ 由（2）知，，‎ ‎,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎13.如图1，四边形是一张正方形纸片，先将正方形对折，使与重合，折痕为，把这个正方形展平，然后沿直线折叠，使点落在上，对应点为．‎ ‎（1）求的度数为______度；‎ ‎（2）如图2，在图1的基础上，连接，试判断与的大小关系，并说明理由；‎ ‎（3）如图3，按以下步骤进行操作：‎ 第一步：先将正方形对折，使与重合，折痕为，把这个正方形展平，然后继续对折，使与重合，折痕为，再把这个正方形展平，设和相交于点；‎ 第二步：沿直线折叠，使点落在上，对应点为；再沿直线折叠，使点落在上，对应点为；‎ 第三步：设分别与相交于点，连接，．‎ 试判断四边形的形状为______，并证明你的结论． ‎ 解析：（1）如图1，由对折可知，‎ ‎∵四边形为正方形，‎ 又由折叠可知，‎ ‎∴在中，‎ 解法二：如图1，连接．‎ ‎（2）理由如下：‎ 如图2，连接 由对折知，垂直平分 由折叠知，‎ ‎∵四边形为正方形，‎ 为等边三角形 ‎∵四边形为正方形 由（1）知 由折叠知，‎ ‎（3）四边形为正方形 如图3，连接 由（2）知，‎ 由折叠知，‎ 由对折知，‎ 又∵四边形是正方形，‎ 同理可得，‎ 由对称性可知，‎ 由两次对折可知，‎ ‎，∴四边形为矩形 由对折知，于点于点 ‎∴四边形为正方形 ‎14.如图，在中，是边上一点，，是边上一动点（不与重合），过点作交于点．‎ ‎（1）设，求关于的函数关系式；‎ ‎（2）以为半径的与以为半径的能否相切？若能，求的值；若不能，请说明理由；‎ ‎（3）将沿直线翻折，得到，连接，当时，求的长．‎ 解析：（1）在中，‎ ‎，∴，即 ‎（2）对于；对于；圆心距 当两圆外切时，，‎ ‎∴‎ 解得 当两圆内切时，，‎ 解得或（舍去），‎ ‎（3）延长交于，则垂直平分 在中，，‎ ‎，‎ 当时，‎ ‎，即，‎ ‎∴，解得 ‎15.如图①，把矩形纸片沿同时折叠，两点恰好落在边的点处，已知．‎ ‎（1）求图①中矩形的边的长为______；‎ ‎（2）求图①中四边形的面积为______； ‎ ‎（3）如图②，点是直线上的动点，点是直线上的动点，连接，求的最小值为______．‎ 答案：24；57.6；24‎ 解析：（1）由题意，‎ ‎，‎ ‎（2）连接 同理，‎ 作于，则 ‎（3）连接 由题意，‎ 当点都落在线段上时，取得最小值 即等于线段的长 的最小值为 ‎16.如图1，在梯形中，，为线段上的一动点，且和不重合，连接，过作交所在直线于．设．‎ ‎（1）求与的函数关系式 ‎（2）若点在线段上运动时，点总在线段上，求的取值范围 ‎（3）如图2，若，将沿翻折至位置，，求长为______. ‎ 解析：（1）‎ 在和中，‎ ‎，‎ ‎，‎ 与的函数关系式为 ‎（2）‎ ‎∴当时，‎ ‎∵点总在线段上，‎ ‎，‎ ‎（3）连接，过作于 由翻折可知 ‎∴四边形为平行四边形 ‎，‎ ‎∴四边形为矩形 在中，‎ ‎，‎ 解得 或 ‎17.如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，．‎ ‎（1）如图1，是的中点，将沿翻折后得到，的延长线交于，求点的坐标为_____.‎ ‎（2）如图2，点分别是线段上的动点，，如果以三点中的一点为圆心的圆恰好过另外两个点（三点不在同一条直线上），求点的坐标为______．‎ 解析：（1）连接 由题意，‎ 是的中点，‎ 又 又 ‎，‎ 是的中点 ‎，‎ ‎（2）‎ 设 ‎①当点为圆心时，则 ‎②当点为圆心时，则 过作于 则，‎ ‎，‎ 解得（舍去），‎ ‎③当点为圆心时，则 ‎，‎ 解得 综上所述，点坐标为