2020年九年级中考复习 三轮冲刺《圆的综合》（解析版）

2020年九年级中考复习 三轮冲刺《圆的综合》（解析版）

三轮冲刺复习培优同步练习：《圆的综合》‎ ‎1．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，点C从点B出发沿射线BO运动，点D在射线BA上，且BD＝OC，以CD为直径作⊙Q，设点C（0，m）．‎ ‎（1）求线段AB的长；‎ ‎（2）当点Q在x轴上方且⊙Q与x轴相切时，求m的值；‎ ‎（3）若直径CD将⊙Q分成的两个半圆弧中有一个半圆弧落在∠ABO的内部时（含角的边上），直接写出m的取值范围．‎ ‎2．如图，在以AG为直径的半圆C中，∠ACB＝90°，且BC＝AC＝6，D为半圆上的一动点，在运动的过程中，CD与CE始终保持垂直，且∠CED始终保持30°．‎ ‎（1）如图1，当BD＝2时，试判断直线BD与圆C的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）如图2，设AC的中点为Q，DE的中点为P，连接QP，当∠ACD为多少度时，QP长度最大，并求出QP的最大值．‎ ‎3．如图，AC为⊙O的直径，B为AC延长线上一点，且∠BAD＝∠ABD＝30°，BC＝1，AD为⊙O的弦，连结BD，连结DO并延长交⊙O于点E，连结BE交⊙O于点M．‎ ‎（1）求证：直线BD是⊙O的切线；‎ ‎（2）求⊙O的半径OD的长；‎ ‎（3）求线段BM的长．‎ ‎4．如图，AC是⊙O的直径，AB是⊙O的一条弦，AP是⊙O的切线．作BM＝AB并与AP交于点M，延长MB交AC于点E，交⊙O于点D，连接AD．‎ ‎（1）求证：AB＝BE；‎ ‎（2）若⊙O的半径R＝2.5，MB＝3，求AD的长．‎ ‎5．如图，已知AB为⊙O的直径，AC为⊙O的切线，连结CO，过B作BD∥OC交⊙O于D，连结AD交OC于G，延长AB、CD交于点E．‎ ‎（1）求证：CD是⊙O的切线；‎ ‎（2）若BE＝4，DE＝8，求CD的长；‎ ‎（3）在（2）的条件下，连结BC交AD于F，求的值．‎ ‎6．如图：AB是⊙O的直径，AC交⊙O于G，E是AG上一点，D为△BCE内心，BE交AD于F，且∠DBE＝∠BAD．‎ ‎（1）求证：BC是⊙O的切线；‎ ‎（2）求证：DF＝DG；‎ ‎（3）若∠ADG＝45°，DF＝1，求证：AD﹣BD＝．‎ ‎7．如图F为⊙O上的一点，过点F作⊙O的切线与直径AC的延长线交于点D，过圆上的另一点B作AO的垂线，交DF的延长线于点M，交⊙O于点E，垂足为H，连接AF，交BM于点G．‎ ‎（1）求证：△MFG为等腰三角形．‎ ‎（2）若AB∥MD，求证：FG2＝EG•MF．‎ ‎（3）在（2）的条件下，若DF＝6，tan∠M＝，求AG的长．‎ ‎8．如图，已知⊙C过菱形ABCD的三个顶点B，A，D，连结BD，过点A作AE∥BD交射线CB于点E．‎ ‎（1）求证：AE是⊙C的切线．‎ ‎（2）若半径为2，求图中线段AE、线段BE和围成的部分的面积．‎ ‎（3）在（2）的条件下，在⊙C上取点F，连结AF，使∠DAF＝15°，求点F到直线AD的距离．‎ ‎9．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P是⊙C外一点，连接CP交⊙C于点Q，点P关于点Q的对称点为P′，当点P′在线段CQ上时，称点P为⊙C“友好点”．已知A（0，2），B（2，2），E（﹣1，0）．‎ ‎（1）当⊙O的半径为1时，‎ ‎①点A，B，E中是⊙O“友好点”的是　 　；‎ ‎②已知点M在直线y＝x+2上，且点M是⊙O“友好点”，求点M的横坐标m的取值范围；‎ ‎（2）已知点D（3，﹣1），连接AD，⊙T的圆心为T（t，﹣1），半径为1，若在线段AD上存在一点N，使 点N是⊙T“友好点”，直接写出圆心T的横坐标t的取值范围．‎ ‎10．如图，半圆⊙O中，直径AB＝4，点C为弧AB中点，点D在弧BC上，连结CD并延长交AB的延长线于点E，连结AD交⊙O于点F，连结EF．‎ ‎（1）①求证：△DCA∽△ACE；‎ ‎②若点D为CE中点，求AE的长．‎ ‎（2）求证：△ACE面积与△AFE的面积差为定值，并求出该定值．‎ ‎（3）若tan∠FEA＝，求tan∠FAO的值．‎ ‎11．如图，线段AB＝10，P是线段AB上的动点，以AP为腰在线段AB的上方作等腰△PAC，且PA＝PC，cos∠CAP＝，以P为圆心，PB长为半径作⊙P交腰PC于点D（不与点P，C重合）．‎ ‎（1）若D是PC的中点，求AC的长；‎ ‎（2）当⊙P与AC相切时，求⊙P的半径；‎ ‎（3）设BD＝x，AC＝y．‎ ‎①求y关于x的函数表达式；‎ ‎②连结AD，当△ADB的外接圆的圆心O在⊙P上时，求AC的长．‎ ‎12．如图①，AB为⊙O的一条弦（不是直径），点H为AB上一动点，弦CD过点H．且+180°．‎ ‎（1）求证：CD⊥AB．‎ ‎（2）如图②，若AB＝CD，求证：OH平分∠BHD．‎ ‎（3）在（2）的情况下，若AH＜BH．记＝m，＝n．‎ ‎①求m关于n的函数关系式；‎ ‎②如图③，作HM⊥OH交OC于P，HP的延长线交⊙O于M，OC交AB于N．设tan∠POH＝x，＝y，求y关于x的函数关系式．‎ ‎13．如图，在△ABC中，AC＝AB，点E在BC上，以BE为直径的⊙O经过点A，点D是直径BE下方半圆的中点，AD交BC于点F，且∠B＝2∠D．‎ ‎（1）求∠B的度数；‎ ‎（2）求证：AC为⊙O的切线；‎ ‎（3）连接DE，若OD＝3，求的值．‎ ‎14．如图⊙O的半径OA⊥弦BC于点D，E为优弧上一点，弦EA与BC交于点G，F为EA延长线上一点，连结BF，∠FBC＝2∠BEA．‎ ‎（1）求证：BF为⊙O的切线．‎ ‎（2）若OA＝25，DG＝6，GC＝18．‎ ‎①请探究∠EBF与∠EGB的数量关系；‎ ‎②求BF的长．‎ ‎15．已知：如图，矩形ABCD中，点E，F分别在DC，AB边上，且点A，F，C在以点E为圆心，EC为半径的圆上，连结CF，作EG⊥CF于G，交AC于H．已知AB＝6，设BC＝x，AF＝y．‎ ‎（1）求证：∠CAB＝∠CEG．‎ ‎（2）在不增加点的前提下，△CHE与　 　三点构成的三角形相似，△CHG与　 　三点构成的三角形相似（空格内填写图中已有的三个字母）．‎ ‎（3）①求y与x之间的函数关系式．‎ ‎②x＝　 　时，点F是AB的中点．‎ ‎（4）当x为何值时，点F是的中点？此时以A，E，C，F为顶点的四边形是何种特殊四边形？试说明理由．‎ ‎16．若三角形的一条角平分线与被平分的角的一边相等，则称这个三角形为“弱等腰三角形”，这条角平分线叫做这个三角形的“弱线”，如图①，AD是△ABC的角平分线，当AD＝AB时，则△ABC是“弱等腰三角形”，线段AD是△ABC的“弱线”．‎ ‎（1）如图②，在△ABC中．∠B＝60°，∠C＝45°．求证：△ABC是“弱等腰三角形”；‎ ‎（2）如图③，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．以B为圆心在矩形内部作，交BC于点E，点F是上一点，连结CF．且CF与有另一个交点G．连结BG．当BG是△BCF的“弱线”时，求CG的长．‎ ‎（3）已知△ABC是“弱等腰三角形”，AD是“弱线”，且AB＝3BD，求AC：BC的值．‎ ‎17．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，连接AC，过弧BD上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG＝FG，连接CE．‎ ‎（1）求证：△ECF∽△GCE；‎ ‎（2）求证：EG是⊙O的切线；‎ ‎（3）延长AB交GE的延长线于点M，若，求EM的值．‎ ‎18．我们把两组对边的平方和相等的四边形称为勾股四边形．‎ ‎（1）在平行四边形，矩形，菱形，正方形中，哪些一定是勾股四边形？‎ ‎（2）如图①，四边形ABCD是勾股四边形，求证：AC⊥BD．‎ ‎（3）如图②，在Rt△ABC中，AC＝BC，D是AC边的中点，DO⊥AB于点O，以OD为半径的⊙O交DO的延长线于点E，DF切⊙O于点D，交BC于点F，G是⊙O上一点，当四边形AGFD为勾股四边形时，求tan∠AFG的值．‎ ‎（4）如图③，在（3）的条件下，BD交CE于点P，求证：点P在⊙O上．‎ 参考答案 ‎1．解：（1）对于y＝﹣x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝4，‎ 即点A、B的坐标分别为：（4，0）、（0，3），‎ ‎∴AB＝＝5；‎ ‎（2）由点A、B的坐标知，OA＝4，OB＝3，‎ tan∠ABO＝＝，则sin∠ABO＝，cos∠ABO＝，‎ ‎∵BD＝OC＝m，‎ ‎∴xD＝BDsin∠ABO＝m×＝m，同理yD＝3﹣BDcos∠ABO＝3﹣m，‎ 故点D（m，3﹣m）；‎ ‎∵点Q是CD的中点，‎ ‎∴由中点公式得，点Q的坐标为（m，），‎ ‎∵当点Q在x轴上方且⊙Q与x轴相切时，yQ＝CD＝，‎ ‎∴CD＝3，‎ 故（m）2+（3﹣m﹣m）2＝9，‎ 解得：m＝；‎ ‎（3）∵AB与BC交圆Q在直径CD的上方，‎ ‎∴CD上方的半圆与∠ABO必有第三个交点（设为E），即只有CD下方的半圆可能在∠ABO的内部，‎ ‎∴∠OCD≥90°，∠ADC≥90°，‎ ‎∴∠BCD≤90°，∠BDC≤90°，‎ 连接CE、DF，‎ ‎∵CD是直径，‎ ‎∴DF⊥OB，CE⊥AB，‎ ‎∴BE≤BD，BF≤BC，‎ 在Rt△BCE中，BC＝3﹣m，BE＝BCcos∠OBC＝（3﹣m），‎ ‎①当m≥0时，‎ BD＝m，BF＝BDcos∠OBC＝m，‎ ‎∵BE≤BD，BF≤BC，‎ ‎∴（3﹣m）≤m且m≤3﹣m，‎ 解得：≤m≤；‎ ‎②当m＜0时，‎ BD＝﹣m，BF＝﹣m，‎ ‎∵BE≤BD，BF≤BC，‎ ‎∴（3﹣m）≤﹣m且﹣m≤3﹣m，‎ 解得：m≤﹣；‎ 综上，≤m≤或m≤﹣．‎ ‎2．解：（1）直线BD与圆C相切．理由如下：‎ ‎∵BC＝AC＝6，CD＝AC，‎ ‎∴BC2﹣AC2＝36﹣12＝24，‎ ‎∵BD＝2，‎ ‎∴BD2＝24，‎ ‎∴BC2﹣AC2＝BD2，‎ ‎∴∠BDC＝90°，‎ ‎∴线BD与圆C相切；‎ ‎（2）连接CP，如图1，‎ ‎∵P为DE的中点为，∠DCE＝90°，‎ ‎∴CP＝DE，‎ ‎∵∠CED＝30°，‎ ‎∴CD＝DE，‎ ‎∴CP＝CD＝CA＝，‎ ‎∵Q点为AC的中点，‎ ‎∴CQ＝AC＝，‎ ‎∵CQ+CP≥PQ，‎ ‎∴当点P在QC的延长线上时，PQ＝CQ+CP＝+2＝3值最大，‎ ‎∴PQ的最大值为3．‎ ‎3．解：（1）证明：∵OA＝OD，∠BAD＝∠ABD＝30°，‎ ‎∴∠BAD＝∠ADO＝30°，‎ ‎∴∠DOB＝∠BAD+∠ADO＝60°，‎ ‎∴∠ODB＝∠180°﹣∠DOB﹣∠ABD＝90°，‎ ‎∵OD为⊙O的半径，‎ ‎∴直线BD是⊙O的切线；‎ ‎（2）∵∠ODB＝90°，∠ABD＝30°，‎ ‎∴OD＝OB，‎ ‎∵OC＝OD，‎ ‎∴BC＝OC＝1，‎ ‎∴⊙O的半径OD的长为1；‎ ‎（3）∵OD＝1，‎ ‎∴DE＝2，BD＝，‎ ‎∴BE＝＝，‎ 如图，连接DM，‎ ‎∵DE为⊙O的直径，‎ ‎∴∠DME＝90°，‎ ‎∴∠DMB＝90°，‎ ‎∵∠EDB＝90°，‎ ‎∴∠EDB＝∠DME，‎ 又∵∠DBM＝∠EBD，‎ ‎∴△BMD∽△BDE，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴BM＝＝＝．‎ ‎∴线段BM的长为．‎ ‎4．（1）证明：∵AP是⊙O的切线，‎ ‎∴∠EAM＝90°，‎ ‎∴∠BAE+∠MAB＝90°，∠AEB+∠AMB＝90°．‎ 又∵AB＝BM，‎ ‎∴∠MAB＝∠AMB，‎ ‎∴∠BAE＝∠AEB，‎ ‎∴AB＝BE；‎ ‎（2）解：连接BC，‎ ‎∵AC是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ABC＝90°，‎ ‎∴∠ABC＝∠EAM，‎ 在Rt△ABC中，AC＝5，BM＝AB＝3，‎ ‎∴BC＝＝＝4，‎ ‎∵BE＝AB＝BM，‎ ‎∴EM＝6，‎ 由（1）知，∠BAE＝∠AEB，‎ ‎∴△ABC∽△EAM，‎ ‎∴，∠AMB＝∠C，‎ 即，‎ ‎∴AM＝，‎ 又∵∠C＝∠D，‎ ‎∴∠AMB＝∠D，‎ ‎∴AD＝AM＝．‎ ‎5．解：（1）证明：如图，连接OD，‎ ‎∵AB为⊙O的直径，AC为⊙O的切线，‎ ‎∴∠CAB＝90°＝∠ADB，‎ ‎∵OD＝OB，‎ ‎∴∠DBO＝∠BDO，‎ ‎∴CO∥BD，‎ ‎∴∠AOC＝∠COD，‎ ‎∵AO＝OD，CO＝CO，‎ ‎∴△AOC≌△DOC（SAS），‎ ‎∴∠CAO＝∠CDO＝90°，‎ ‎∴OD⊥CD，且OD是半径，‎ ‎∴CD是⊙O的切线；‎ ‎（2）设⊙O的半径为r，则OD＝OB＝r，‎ 在Rt△ODE中，‎ ‎∵OD2+DE2＝OE2，‎ ‎∴r2+82＝（r+4）2，‎ 解得r＝6，‎ ‎∴OB＝6，‎ ‎∵CO∥BD，‎ ‎∴，‎ ‎∴CD＝12；‎ ‎（3）∵CO∥BD，‎ ‎∴△BDF∽△CGF；△EBD∽△EOC．‎ ‎∴，．‎ 设OG＝x，‎ ‎∵OG为△ABD的中位线，‎ ‎∴BD＝2OG＝2x，BE＝4，OE＝10，‎ ‎∴OC＝5x，CG＝4x，‎ ‎∴．‎ ‎6．（1）证明：如图1，连接DE，BG．‎ ‎∵D为△BCE内心，‎ ‎∴∠DBC＝∠DBE，‎ ‎∵∠DBE＝∠BAD，‎ ‎∴∠DBC＝∠BAD，‎ ‎∵AB是⊙O 的直径，‎ ‎∴∠AGB＝90°，‎ ‎∴∠BCG+∠CBG＝90°，‎ ‎∴∠BCG+∠CBD+∠GBD＝90°，‎ ‎∵∠DAC＝∠DBG，∠ADB＝∠DAC+∠ACB+∠CBD，‎ ‎∴∠ADB＝∠DBG+∠ACB+∠CBD＝90°，‎ ‎∴∠BAD+∠ABD＝90°，‎ ‎∴∠DBC+∠ABD＝90°，即∠ABC＝90°，‎ ‎∴AB⊥BC，‎ ‎∴BC是⊙O 的切线；‎ ‎（2）证明：如图1，连接DE，‎ ‎∵∠DBC＝∠BAD，∠DBC＝∠DBE，‎ ‎∴∠DBE＝∠BAD，‎ ‎∴∠ABF+∠BAD＝∠ABF+∠DBE，‎ ‎∴∠BFD＝∠ABD，‎ ‎∵∠DGC＝∠ABD，‎ ‎∴∠BFD＝∠DGC，‎ ‎∴∠DFE＝∠DGE，‎ ‎∵D为△BCE内心，‎ ‎∴∠DEG＝∠DEB，‎ 在△DEF和△DEG中 ‎，‎ ‎∴△DEF≌△DEG（AAS），‎ ‎∴DF＝DG；‎ ‎（3）证明：如图2，在AD上截取DH＝BD，连接BH、BG，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADB＝∠AGB＝90°，‎ ‎∵∠ADG＝45°，‎ ‎∴∠ABG＝∠ADG＝45°，‎ ‎∴AB＝BG，‎ ‎∵∠BDH＝90°，BD＝DH，‎ ‎∴∠BHD＝45°，‎ ‎∴∠AHB＝180°﹣45°＝135°，‎ ‎∵∠BDG＝∠ADB+∠ADG＝90°+45°＝135°，‎ ‎∴∠AHB＝∠BDG，‎ ‎∵∠BAD＝∠BGD，‎ ‎∴△ABH∽△GBD，‎ ‎∴，‎ ‎∵DG＝DF＝1，‎ ‎∴AH＝，‎ ‎∵AD﹣BD＝AD﹣DH＝AH，‎ ‎∴AD﹣BD＝．‎ ‎7．（1）证明：连接OF．‎ ‎∵DM是⊙O的切线，‎ ‎∴DM⊥OF，‎ ‎∴∠MFG+∠OFA＝90°，‎ ‎∵BM⊥AD，‎ ‎∴∠AHG＝90°，‎ ‎∴∠OAF+∠AGH＝90°，‎ ‎∵OF＝OA，‎ ‎∴∠OFA＝∠OAF，‎ ‎∵∠MGF＝∠AGH，‎ ‎∴∠MFG＝∠AGF，‎ ‎∴MF＝MG，‎ ‎∴△MFG是等腰三角形．‎ ‎（2）证明：连接EF．‎ ‎∵AB∥DM，‎ ‎∴∠MFA＝∠FAB，‎ ‎∵∠FAB＝∠FEG，∠MFG＝∠MGF，‎ ‎∴∠FEG＝∠MFG，‎ ‎∵∠EGF＝∠MGF，‎ ‎∴△EGF∽△FGM，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴FG2＝EG•GM，‎ ‎∵MF＝MG，‎ ‎∴FG2＝EG•MF．‎ ‎（3）解：连接OB．‎ ‎∵∠M+∠D＝90°，∠FOD+∠D＝90°，‎ ‎∴∠M＝∠FOD，‎ ‎∴tanM＝tan∠FOD＝＝，‎ ‎∵DF＝6，‎ ‎∴OF＝8，‎ ‎∵DM∥AB，‎ ‎∴∠M＝∠ABH，‎ ‎∴tanM＝tan∠ABH＝＝，‎ ‎∴可以假设AH＝3k，BH＝4k，则AB＝BG＝5k，GH＝k，AG＝k，‎ 在Rt△OHB中，∵OH2+BH2＝OB2，‎ ‎∴（8﹣3k）2+（4k）2＝82，‎ 解得k＝，‎ ‎∴AG＝．‎ ‎8．（1）证明：如图1中，连结AC，‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AC⊥BD，‎ 又∵BD∥AE，‎ ‎∴AC⊥AE，‎ ‎∴AE是⊙O的切线．‎ ‎（2）如图1中，∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AB＝BC，‎ 又∵AC＝BC，‎ ‎∴△ABC是等边三角形，‎ ‎∴∠ACB＝60°，‎ ‎∵AC＝2，‎ ‎∴AE＝AC•tan60°＝2，‎ ‎∴S阴＝S△AEC﹣S扇形ACB＝×2×2﹣＝2﹣π．‎ ‎（3）①如图2中，当点F在上时，‎ ‎∵∠DAF＝15°，‎ ‎∴∠DCF＝30°，‎ ‎∵∠ACD＝60°，‎ ‎∴∠ACF＝∠FCD，‎ ‎∴点F是弧AD的中点，‎ ‎∴CF⊥AD，‎ ‎∴点F到直线AD的距离＝CF﹣CA•cos30°＝2﹣．‎ ‎②如图3中，当点F在优弧上时，‎ ‎∵∠DAF＝15°，‎ ‎∴∠DCF＝30°，‎ 过点C作CG⊥AD于D，过点F作FH⊥CG于H，‎ 可得∠AFH＝15°，∠HFC＝30°，‎ ‎∴CH＝1，‎ ‎∴点F到直线AD的距离＝CG﹣CH＝AC•cos30°﹣CH＝﹣1．‎ 综上所述，满足条件的点F到直线AD的距离为2﹣或﹣1．‎ ‎9．解：（1）①如图1中，‎ ‎∵r＝1，OA＝＜2r＝2，‎ ‎∴根据“友好点”的定义，点A是⊙O“友好点”，‎ ‎∵OB＝2＞2r＝2，‎ ‎∴点B不是⊙O“友好点”，‎ ‎∵E（﹣1，0）在⊙O上，‎ ‎∴点E不是⊙O“友好点”，‎ 故答案为A．‎ ‎②如图2中，当OM＝OA时，连接OM，过点M作MH⊥x轴于H．‎ ‎∵直线y＝x+2交y轴于A（0，2），交x轴于C（，﹣2，0），‎ ‎∴OA＝2，CO＝2，‎ ‎∴tan∠CAO＝＝，‎ ‎∴∠CAO＝60°，‎ ‎∵OA＝OM＝2，‎ ‎∴△AOM是等边三角形，‎ ‎∴∠AOM＝60°，‎ ‎∴∠MOH＝30°，‎ ‎∴MH＝OM＝1，OH＝MH＝，‎ ‎∴M（﹣，1），‎ 根据“友好点”的定义，OM≤2，‎ 点M的横坐标m的取值范围为﹣≤m≤0．‎ ‎（2）如图3中，过点T作TN⊥AD于N．‎ 当TN＝2时，设直线DT交y轴于H．‎ ‎∵A（0，2），H（0，﹣1），D（3，﹣1），‎ ‎∴OA＝2，OH＝1，DH＝3，‎ ‎∴tan∠ADH＝＝，‎ ‎∴∠ADH＝30°，‎ ‎∴TD＝2TN＝4，‎ ‎∴TH＝3﹣4，‎ ‎∴T（3﹣4，﹣1），‎ 当DT′＝2时，线段AD上存在一点D是⊙T“友好点”，此时T′（3+2，﹣1），‎ 观察图象可知，满足条件的t的取值范围为3﹣4≤t≤3+2．‎ ‎10．解：（1）①证明：∵点C为弧AB的中点，‎ ‎∴CO⊥AB，‎ ‎∵OC＝OA，‎ ‎∴∠CDA＝∠CAE＝45°，‎ 又∵∠DCA＝∠ACE，‎ ‎∴△DCA∽△ACE；‎ ‎②∵D为CE的中点，AC＝2，‎ 由（1）知，△DCA∽△ACE，‎ ‎∴，‎ ‎∴AC2＝CD•CE＝CD•2CD，‎ 即CD＝2，‎ ‎∴CE＝4，‎ ‎∴OE＝2，‎ 即AE＝AO+OE＝2+2．‎ ‎（2）证明：∵△DCA∽△ACE，‎ ‎∴∠CAF＝∠CEA，‎ 又∵∠ACF＝∠CAE＝45°，‎ ‎∴△ACF∽△EAC，‎ ‎∴，‎ ‎∴S△ACE﹣S△AEF＝＝＝4．‎ ‎（3）∵tan∠FEA＝＝，‎ 设OF＝2a，‎ ‎∴OE＝6a，‎ ‎∵AC2＝AE•CF，‎ ‎∴8＝（2+5a）（2﹣a），‎ 得（3a﹣2）（a﹣1）＝0，‎ 即a＝1或a＝，‎ 当OF＝2时，tan∠FAO＝＝，‎ 当OF＝时，tan∠FAO＝＝＝，‎ ‎∴tan∠FAO＝或．‎ ‎11．解：（1）如图1，作PE⊥AC于点E，‎ ‎∵D是AC的中点，‎ ‎∴PC＝2PD，‎ ‎∵PA＝PC，PD＝PB，‎ ‎∴PA＝2PB，AE＝CE，‎ ‎∵AB＝10，cos∠CAP＝，‎ ‎∴AP＝，‎ ‎∴AC＝2AP•cos∠CAP＝2×＝8，‎ ‎（2）设⊙P的半径为r，则AP＝10﹣r，‎ 作PE⊥AC于点E，则E点为所求的切点，‎ 在Rt△PEA中，sin∠CAP＝，‎ ‎∴EP＝（10﹣r），‎ 当⊙P与AC相切时，有EP＝r，‎ ‎∴（10﹣r）＝r，‎ 解得，r＝，‎ ‎∴当⊙P与AC相切时，⊙P的半径为．‎ ‎（3）①如图2，作PF⊥BD于点F，则BF＝DF，‎ ‎∵PD＝PB，PA＝PC，‎ ‎∴∠PBD＝∠PDB，∠CAP＝∠C，‎ ‎∴∠BPF＝∠BPD＝（∠CAP+∠C）＝∠CAP，‎ ‎∵DB＝x，AC＝y，‎ ‎∴PB＝FB＝x，AP＝AE＝y，‎ ‎∵PB+PA＝10，‎ ‎∴y＝10，‎ ‎∴y关于x的函数表达式为y＝12﹣x．‎ ‎②如图3，由题意得，延长FP与⊙P的交点O即为△ADB的外接圆的圆心，‎ 作OH⊥AB于点H，连接OB，OA，‎ ‎∵OA＝OB，‎ ‎∴AH＝BH＝5，‎ ‎∵∠BPF＝∠CAP，‎ ‎∴cos∠BPF＝cos∠OPH＝cos∠CAP＝，‎ 设PF＝3k，PB＝5k，则BF＝DF＝4k，PO＝PB＝5k，PH＝3k，‎ ‎∴BH＝5k+3k＝5，‎ ‎∴k＝，‎ ‎∴x＝BD＝8k＝5，‎ ‎∴AC＝y＝12﹣x＝12﹣×5＝．‎ ‎12．解：（1）证明：连接BC，‎ ‎∵∠B，∠C，+180°．‎ ‎∴∠B+∠C（+）＝90°，‎ ‎∴AB⊥CD．‎ ‎（2）证明：过点O分别作OE⊥AB，OF⊥CD，‎ ‎∵OE⊥AB，OF⊥CD，AB⊥CD，‎ ‎∴四边形OEHF是矩形，‎ ‎∵AB＝CD，‎ ‎∴OE＝OF，‎ ‎∴四边形OEHF是正方形，‎ ‎∴OH平分∠BHD．‎ ‎（3）①∵AB⊥CD，OH平分∠BHD，‎ ‎∴∠EHO＝45°，‎ ‎∴OH＝EH，‎ ‎∵OE⊥AB，‎ ‎∴AE＝BE，‎ ‎∴BH﹣AH＝2EH．‎ ‎∵＝n，‎ ‎∴n﹣m＝，‎ ‎∴m＝n﹣．‎ ‎②过点P作PQ⊥CD，‎ ‎∴OF∥PQ，‎ ‎∴＝y，‎ 设FH＝OF＝a，则CQ＝ay，OH＝a，‎ ‎∵tan∠POH＝x，‎ ‎∴PH＝ax，PQ＝QH＝ax，‎ ‎∵OF∥PQ，‎ ‎∴△PCQ∽△OCF，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴x＝，‎ ‎∴y＝‎ ‎13．解：（1）如图1，连接OA，‎ ‎∵点D是直径BE下方半圆的中点，‎ ‎∴，‎ ‎∴∠BOD＝∠EOD＝90°，‎ ‎∴∠BAD＝∠BOD＝45°，‎ ‎∴∠BAO+∠DAO＝45°，‎ ‎∵OA＝OB＝OD，‎ ‎∴∠DAO＝∠D，∠BAO＝∠B，‎ ‎∴∠B+∠D＝45°，‎ ‎∵∠B＝2∠D，‎ ‎∴∠B＝30°；‎ ‎（2）由（1）知，∠B＝30°，‎ ‎∵AC＝AB，‎ ‎∴∠C＝∠B＝30°，‎ ‎∴∠AOC＝2∠B＝60°，‎ ‎∴∠CAO＝180°﹣∠C﹣∠CAO＝90°，‎ ‎∵OA为⊙O的半径，‎ ‎∴AC为⊙O的切线；‎ ‎（3）如图2，连接OA，AE，则∠BAE＝90°，‎ 在Rt△ACO中，∠CAO＝90°，∠C＝30°，AO＝OE＝DO＝3，‎ ‎∴，OC＝2AO＝6，‎ ‎∴CE＝OC﹣OE＝3，‎ ‎∴CE＝OE＝3，‎ 由（2）知，∠CAO＝90°，‎ ‎∴AE＝OC＝3，‎ ‎∵∠CAO＝∠COD＝90°，∠OAD＝∠ODA＝∠B＝15°，‎ ‎∴∠CAF＝∠OFD＝75°，‎ ‎∵∠CFA＝∠OFD，‎ ‎∴∠CAF＝∠CFA，‎ ‎∴CF＝AC＝3，‎ ‎∴，‎ 连接DE，‎ ‎∴∠DEF＝∠BAD＝45°，‎ ‎∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝45°，‎ ‎∴∠DEF＝∠DAE，‎ ‎∵∠EDF＝∠ADE，‎ ‎∴△EDF∽△ADE，‎ ‎∴．‎ ‎14．解：（1）证明：如图1，连接BO，‎ ‎∵OA⊥BC，‎ ‎∴∠ODB＝90°，‎ ‎∴∠OBD+∠BOD＝90°，‎ ‎∵∠BOD＝2∠BEA，∠FBC＝2∠BEA，‎ ‎∴∠BOD＝∠FBC，‎ ‎∴∠OBD+∠FBC＝90°，‎ 即∠OBF＝90°，‎ ‎∴BF⊥OB，‎ ‎∴BF为⊙O的切线；‎ ‎（2）①∠EBF＝∠EGB，‎ 理由如下：‎ 如图2，连接BO，AB，OE，过点B作BH⊥AG于点H，‎ ‎∵OA⊥BC，‎ ‎∴BD＝CD＝DG+CG＝6+18＝24，‎ 在Rt△OBD中，OB＝OA＝25，BD＝24，‎ ‎∴OD＝＝7，‎ ‎∴AD＝OA﹣OD＝25﹣7＝18．‎ 在Rt△BDA中，由勾股定理可得，AB＝＝30，‎ ‎∵BG＝BD+DG＝30，‎ ‎∴AB＝BG，‎ ‎∴∠BAG＝∠BGA，‎ ‎∵BH⊥AG，‎ ‎∴∠BGA+∠GBH＝90°，‎ ‎∴∠BAG+∠GBH＝90°，‎ ‎∵∠BOE+2∠EBO＝180°，∠BOE＝2∠BAG，‎ ‎∴2（∠BAG+∠EBO）＝180°，‎ ‎∴∠BAG+∠EBO＝90°，‎ ‎∴∠EBO＝∠GBH，‎ ‎∴∠EBO+∠OBF＝∠GBH+∠BHG，‎ 即∠EBF＝∠EGB．‎ ‎②如图2，在Rt△DAG中，由勾股定理得，AG＝＝6，‎ ‎∵OA⊥BC，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴∠BEA＝∠GBA，‎ ‎∵∠BAE＝∠GAB，‎ ‎∴△ABE∽△AGB，‎ ‎∴，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴AE＝BE＝15，‎ ‎∴EG＝AE﹣AG＝9，‎ ‎∵∠EBF＝∠EGB，∠BEF＝∠GEB，‎ ‎∴△EBF∽△EGB，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴BF＝50．‎ ‎15．解：（1）证明：连接EF，‎ ‎∵点A，F，C在以点E为圆心，EC为半径的圆上，‎ ‎∴EF＝EC，‎ ‎∵EG⊥CF，‎ ‎∴∠CEF＝2∠CEG，‎ ‎∵∠CEF＝2∠CAB，‎ ‎∴∠CAB＝∠CEG．‎ ‎（2）C，G，B或C，E，A；A，E，D．‎ 连接EF，AE，BG，‎ ‎∵矩形ABCD中，∠BCD＝90°，EG⊥CF，‎ ‎∴∠FCB+∠ECG＝90°，∠ECG+∠GEC＝90°，‎ ‎∴∠FCB＝∠GEC，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠CAB＝∠ECH，‎ 又∵∠CAB＝∠CEG ‎∴∠ECH＝∠CEG，‎ ‎∵CE＝EF，EG⊥CF，‎ ‎∴CG＝GF，‎ ‎∴CG＝BG，‎ ‎∴∠GCB＝∠GBC，‎ 即∠GCB＝∠GBC＝∠HEC＝∠HCE，‎ ‎∴△CHE∽△CGB；‎ ‎∵AE＝CE，‎ ‎∴∠EAC＝∠ECA＝∠HEC，‎ ‎∵∠ECH＝∠ACE，‎ ‎∴△CHE∽△CEA；‎ ‎∵EA＝EF，‎ ‎∴∠EAF＝∠EFA，‎ ‎∴∠AEF+2∠EAF＝180°，‎ ‎∵∠DAE+∠EAF＝90°，‎ ‎∴∠DAE＝，‎ ‎∵，‎ ‎∴∠DAE＝∠ACF，‎ ‎∵∠ADE＝∠CGH＝90°，‎ ‎∴△CHG∽△AED．‎ 故答案为：C，G，B或C，E，A；A，E，D．‎ ‎（3）①如图3，连接EF，EA，设⊙E的半径为r；‎ 在Rt△ADE中，EA＝r，DE＝6﹣r，AD＝x，‎ ‎∴x2+（6﹣r）2＝r2，r＝x2+3，‎ ‎∵EF＝EA，‎ ‎∴AF＝2DE，‎ 即y＝2（6﹣r）＝﹣x2+6，‎ ‎∴y与x的函数关系式为：y＝﹣x2+6；‎ ‎②∵点F是AB的中点时，‎ ‎∴AF＝3，即y＝3，‎ ‎∴﹣x2+6＝3，‎ ‎∴x＝3（负值舍去）；‎ 故答案为：3．‎ ‎（3）解：如图3，当x＝2时，F是弧AC的中点．此时，四边形AECF是菱形．‎ 理由如下：‎ ‎∵BC＝2，AB＝6，‎ ‎∴∠CAB＝∠CEG＝∠BCF＝30°，‎ ‎∴∠ECF＝60°，‎ ‎∴△CEF是正三角形，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠AFE＝∠CEF＝60°，‎ ‎∴△AEF为正三角形，‎ ‎∴∠AEF＝∠CEF＝60°，‎ ‎∴F是的中点．‎ ‎∵△CEF和△AEF都是等边三角形，‎ ‎∴AE＝EC＝AF＝CF＝EF，‎ ‎∴四边形AECF是菱形．‎ ‎16．（1）证明：如图②作△ABC的角平分线BD，交AC于D，‎ ‎∴∠DBC＝∠ABC＝30°，‎ ‎∵∠ABC＝60°，∠C＝45°，‎ ‎∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣60°﹣45°＝75°，‎ ‎∵∠ADB＝∠DBC+∠C＝30°+45°＝75°，‎ ‎∴∠ADB＝∠A，‎ ‎∴BA＝BD，‎ ‎∴△ABC是“弱等腰三角形”；‎ ‎（2）如图③，连接EG，‎ ‎∵BG是△BCF的“弱线”，‎ ‎∴BG平分∠FBC，‎ ‎∴∠FBG＝∠GBE，‎ ‎∵BF＝BE，BG＝BG，‎ ‎∴△BGF≌△BGE（SAS），‎ ‎∴∠BGF＝∠BGE，‎ ‎∵BG＝BE，‎ ‎∴∠BGE＝∠BEG＝（180°﹣∠GBE），‎ ‎∴∠FGE＝180°﹣∠GBE，‎ ‎∵∠CGE＝180°﹣∠FGE，‎ ‎∴∠CGE＝∠CBG，‎ ‎∵∠GCE＝∠BCG，‎ ‎∴△GCE∽△BCG，‎ ‎∴＝，‎ ‎∵CE＝4﹣3＝1，‎ ‎∴CG2＝CE•BC＝1×4＝4，‎ ‎∴CG＝2；‎ ‎（3）①如图④，当AB＝AD时，在AC上取一点E，使得AE＝AB，连接DE，‎ ‎∵AD是“弱线”，‎ ‎∴AD是△ABC的角平分线，‎ ‎∴∠BAD＝∠CAD，‎ ‎∵AD＝AD，‎ ‎∴△ABD≌△AED（SAS），‎ ‎∴DE＝BD，∠B＝∠AED，‎ ‎∵AD＝AB，‎ ‎∴∠B＝∠ADB，‎ ‎∴∠AED＝∠ADB，‎ ‎∴∠CED＝180°﹣∠AED，∠ADC＝180°﹣∠ADB，‎ ‎∴∠CED＝∠ADC，‎ ‎∵∠C＝∠C，‎ ‎∴△ADC∽△DEC，‎ ‎∴＝＝＝＝，‎ ‎∴CE＝CD，CD＝AC，‎ ‎∴CE＝AC，‎ ‎∴CE＝AE＝BD，CD＝3CE＝BD，‎ AC＝9CE＝BD，‎ ‎∴BC＝BD+BD＝BD，‎ ‎∴AC：BC＝27：17；‎ ‎②当AC＝AD时，如图⑤，在AB上取一点E，使AE＝AC，连接DE，‎ 同理可得，＝＝，即＝，由上面计算可得，BC＝CD，‎ ‎∵AC＝3CD，‎ ‎∴AC：BC＝24：17．‎ ‎17．（1）证明：如图1中，‎ ‎∵AC∥EG，‎ ‎∴∠G＝∠ACG，‎ ‎∵AB⊥CD，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴∠CEF＝∠ACD，‎ ‎∴∠G＝∠CEF，‎ ‎∵∠ECF＝∠ECG，‎ ‎∴△ECF∽△GCE；‎ ‎（2）证明：如图2中，连接OE，‎ ‎∵GF＝GE，‎ ‎∴∠GFE＝∠GEF＝∠AFH，‎ ‎∵OA＝OE，‎ ‎∴∠OAE＝∠OEA，‎ ‎∵∠AFH+∠FAH＝90°，‎ ‎∴∠GEF+∠AEO＝90°，‎ ‎∴∠GEO＝90°，‎ ‎∴GE⊥OE，‎ ‎∴EG是⊙O的切线．‎ ‎（3）解：如图3中，连接OC．设⊙O的半径为r．‎ 在Rt△AHC中，tan∠ACH＝tan∠G＝，‎ ‎∵AH＝3，‎ ‎∴HC＝4，‎ 在Rt△HOC中，∵OC＝r，OH＝r﹣3，HC＝4，‎ ‎∴（r﹣3）2+（4）2＝r2，‎ ‎∴r＝，‎ ‎∵GM∥AC，‎ ‎∴∠CAH＝∠M，‎ ‎∵∠OEM＝∠AHC，‎ ‎∴△AHC∽△MEO，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴EM＝．‎ ‎18．（1）解：菱形，正方形是勾股四边形．‎ ‎（2）证明：如图①中，连接BD，过点A作AE⊥BD于E，过点C作CF⊥BD于F．‎ ‎∵四边形ABCD是勾股四边形，‎ ‎∴AB2+CD2＝AD2+BC2，‎ ‎∴AE2+BE2+DF2+CF2＝AE2+DE2+CF2+BF2，‎ ‎∴BE2﹣DE2＝BF2﹣DF2，‎ ‎∴（BE+DE）（BE﹣DE）＝（BF+DF）（BF﹣DF），‎ ‎∴BE﹣DE＝BF﹣DF，‎ ‎∴BE﹣BF＝DE﹣DF，‎ ‎∴EF＝﹣EF，‎ ‎∴EF＝0，‎ ‎∴点E与点F重合，‎ ‎∴AC⊥BD．‎ ‎（3）解：如图②中，连接DG交AF于H．‎ ‎∵DF 是切线，‎ ‎∴DF⊥CD，‎ ‎∵AB⊥OD，‎ ‎∴DF∥AB，‎ ‎∵D是AC的中点，‎ ‎∴F是BC的中点，‎ ‎∵四边形AGFD是勾股四边形，‎ ‎∴DG⊥AF，‎ ‎∵∠AGD＝∠AOD＝45°，‎ ‎∴△AHG是等腰直角三角形，‎ ‎∴AH＝HG，‎ ‎∵∠C＝∠AHD＝90°，∠DAH＝∠CAF，‎ ‎∴△DAH∽△FAC，‎ ‎∴＝＝，‎ 设DH＝a，则AH＝2a＝HG，AD＝a，‎ ‎∴AF＝5a，‎ ‎∴HF＝3a，‎ ‎∴tan∠AFG＝＝．‎ ‎（4）证明：如图③中，‎ 设⊙O的半径为r．则OE＝r，AD＝r，DC＝r，BC＝2r，OB＝3r，BE＝r，‎ ‎∵BE2+CD2＝（r）2+（r）2＝12r2，DE2+BC2＝（2r）2+（2r）2＝12r2，‎ ‎∴BE2+CD2＝DE2+BC2，‎ ‎∴四边形DEBC是勾股四边形，‎ ‎∴BD⊥EC，‎ 连接OP．‎ 在Rt△DPE中，OD＝OE，‎ ‎∴OP＝OD＝OE，‎ ‎∴点P在⊙O上．‎