2020年山西省中考数学试卷【含答案；word版本试题；可编辑】
2020年山西省中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 计算(-6)÷(-13)的结果是（ ）
A.-18 B.2 C.18 D.-2
2. 自XXXXXX发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是（ ）
A.3a+2a＝5a2 B.-8a2÷4a＝2a C.(-2a2)3＝-8a6 D.4a3⋅3a2＝12a6
4. 下列几何体都是由4个大小相同的小正方体组成的，其中主视图与左视图相同的几何体是（ ）
A. B. C. D.
5. 泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的（ ）
A.图形的平移 B.图形的旋转 C.图形的轴对称 D.图形的相似
6. 不等式组2x-6>0,4-x<-1 的解集是（ ）
A.x>5 B.3
-5
7. 已知点A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)都在反比例函数y=kx(k<0)的图象上，且x1y1>y3 B.y3>y2>y1 C.y1>y2>y3 D.y3>y1>y2
8. 中国美食讲究色香味美，优雅的摆造型出会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到AC＝BD＝12cm，C，D两点之间的距离为4cm，圆心角为60∘，则图中摆盘的面积是（ ）
A.80πcm2 B.40πcm2 C.24πcm2 D.2πcm2
9. 竖直上抛物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系可以近似地用公式h＝-5t2+v0t+h0表示，其中h0(m)是物体抛出时离地面的高度，v0(m/s)是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（ ）
A.23.5m B.22.5m C.21.5m D.20.5m
10. 如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形．将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（ ）
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A.13 B.14 C.16 D.18
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 计算：(3+2)2-24=________．
12. 如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…按此规律摆下去，第n个图案有________个三角形（用含n的代数式表示）．
13. 某校为了选拔一名百米赛跑运动员参加市中学生运动会，组织了6次预选赛，其中甲，乙两名运动员较为突出，他们在6次预选赛中的成绩（单位：秒）如下表所示：
甲
12.0
12.0
12.2
11.8
12.1
11.9
乙
12.3
12.1
11.8
12.0
11.7
12.1
由于甲，乙两名运动员的成绩的平均数相同，学校决定依据他们成绩的稳定性进行选拔，那么被选中的运动员是________．
14. 如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为 2 cm．
15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90∘，AC＝3，BC＝4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为________．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. （1）计算：(-4)2×(-12)3-(-4+1)．
（2）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．
x2-9x2+6x+9-2x+12x+6
=(x+3)(x-3)(x+3)2-2x+12(x+3)⋯第一步
=x-3x+3-2x+12(x+3)⋯第二步
=2(x-3)2(x+3)-2x+12(x+3)⋯第三步
=2x-6-(2x+1)2(x+3)⋯第四步
=2x-6-2x+12(x+3)⋯第五步
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=-52x+6⋯第六步
任务一：填空：
①以上化简步骤中，第________步是进行分式的通分，通分的依据是________．或填为：________；
②第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________；
任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果；
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．
17. 2020年5月份，省城太原开展了“活力太原•乐购晋阳”消费暖心活动，本次活动中的家电消费券单笔交易满600元立减128元（每次只能使用一张）．某品牌电饭煲按进价提高50%后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金568元．求该电饭煲的进价．
18. 如图，四边形OABC是平行四边形，以点O为圆心，OC为半径的⊙O与AB相切于点B，与AO相交于点D，AO的延长线交⊙O于点E，连接EB交OC于点F．求∠C和∠E的度数．
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19. 2020年国家提出并部署了“新基建”项目，主要包含“特高压，城际高速铁路和城市轨道交通，5G基站建设，工业互联网，大数据中心，人工智能，新能源汽车充电桩”等．《2020新基建中高端人才市场就业吸引力报告》重点刻画了“新基建”中五大细分领域（5G基站建设，工业互联网，大数据中心，人工智能，新能源汽车充电桩）总体的人才与就业机会．如图是其中的一个统计图．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）填空：图中2020年“新基建”七大领域预计投资规模的中位数是________亿元；
（2）甲，乙两位待业人员，仅根据上面统计图中的数据，从五大细分领域中分别选择了“5G基站建设”和“人工智能”作为自己的就业方向．请简要说明他们选择就业方向的理由各是什么；
（3）小勇对“新基建”很感兴趣，他收集到了五大细分领域的图标，依次制成编号为W，G，D，R，X的五张卡片（除编号和内容外，其余完全相同），将这五张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张．请用列表或画状图的方法求抽到的两张卡片恰好是编号为W（5G基站建设）和R（人工智能）的概率．
20. 阅读与思考
如图是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．
×年×月×日星期日
没有直角尺也能作出直角
今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线AB，现根据木板的情况，要过AB上的一点C，作出AB的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？
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办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD＝30cm，然后分别以D，C为圆心，以50cm与40cm为半径画圆弧，两弧相交于点E，作直线CE，则∠DCE必为90∘．
办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出M，N两点，然后把木棒斜放在木板上，使点M与点C重合，用铅笔在木板上将点N对应的位置标记为点Q，保持点N不动，将木棒绕点N旋转，使点M落在AB上，在木板上将点M对应的位置标记为点R．然后将RQ延长，在延长线上截取线段QS＝MN，得到点S，作直线SC，则∠RCS＝90∘．
我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？……
任务：
（1）填空：“办法一”依据的一个数学定理是________；
（2）根据“办法二”的操作过程，证明∠RCS＝90∘；
（3）①尺规作图：请在图③的木板上，过点C作出AB的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）；
②说明你的作法所依据的数学定理或基本事实．
21. 图①是某车站的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形ABC和DEF是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，BC和EF均垂直于地面，扇形的圆心角∠ABC＝∠DEF＝28∘，半径BA＝ED＝60cm，点A与点D在同一水平线上，且它们之间的距离为10cm．
（1）求闸机通道的宽度，即BC与EF之间的距离（参考数据：sin28∘≈0.47，cos28∘≈0.88，tan28∘≈0.53）；
（2）经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2倍，180人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约3分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数．
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22. 综合与实践
问题情境：
如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90∘，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90∘，得到△CBE'（点A的对应点为点C）．延长AE交CE'于点F，连接DE．
猜想证明：
（1）试判断四边形BE'FE的形状，并说明理由；
（2）如图②，若DA＝DE，请猜想线段CF与FE'的数量关系并加以证明；
解决问题：
（3）如图①，若AB＝15，CF＝3，请直接写出DE的长．
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23. 综合与探究
如图，抛物线y=14x2-x-3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为(4, -3)．
（1）请直接写出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式；
（2）若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为m(m≥0)，过点P作PM⊥x轴，垂足为M．PM与直线l交于点N，当点N是线段PM的三等分点时，求点P的坐标；
（3）若点Q是y轴上的点，且∠ADQ＝45∘，求点Q的坐标．
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参考答案与试题解析
2020年山西省中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1.C
2.D
3.C
4.B
5.D
6.A
7.A
8.B
9.C
10.B
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11.5
12.(3n+1)
13.甲
14.2
15.5485
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.(-4)2×(-12)3-(-4+1)
＝16×(-18)+3
＝-2+3
＝1；
三,分式的基本性质,分式的分子分母都乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变,五,括号前面是“-”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号
17.该电饭煲的进价为580元
18.连接OB，如图，
∵ ⊙O与AB相切于点B，
∴ OB⊥AB，
∵ 四边形ABCO为平行四边形，
∴ AB // OC，OA // BC，
∴ OB⊥OC，
∴ ∠BOC＝90∘，
∵ OB＝OC，
∴ △OCB为等腰直角三角形，
∴ ∠C＝∠OBC＝45∘，
∵ AO // BC，
∴ ∠AOB＝∠OBC＝45∘，
∴ ∠E=12∠AOB＝22.5∘．
19.300
甲更关注在线职位的增长率，在“新基建”五大细分领域中，2020年一季度“5G基站建设”在线职位与2019年同期相比增长率最高；
乙更关注预计投资规模，在“新基建”五大细分领域中，“人工智能”在2020年预计投资规模最大；
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列表如下：
W
G
D
R
X
W
(G, W)
(D, W)
(R, W)
(X, W)
G
(W, G)
(D, G)
(R, G)
(X, G)
D
(W, D)
(G, D)
(R, D)
(X, D)
R
(W, R)
(G, R)
(D, R)
(X, R)
X
(W, X)
(G, X)
(D, X)
(R, X)
由表可知，共有20种等可能结果，其中抽到“W”和“R”的结果有2种，
∴ 抽到的两张卡片恰好是编号为W（5G基站建设）和R（人工智能）的概率220=110．
20.勾股定理的逆定理
由作图方法可知，QP＝QC，QS＝QC，
∴ ∠QCR＝∠QRC，∠QCS＝∠QSC，
∵ ∠SRC+∠RCS+∠QRC+∠QSC＝180∘，
∴ 2(∠QCR+∠QCS)＝180∘，
∴ ∠QCR+∠QCS＝90∘，
即∠RCS＝90∘；
①如图③所示，直线PC即为所求；
②答案不唯一，到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
21.连接AD，并向两方延长，分别交BC，EF于M，N，
由点A，D在同一条水平线上，BC，EF 均垂直于地面可知，MN⊥BC，MN⊥EF，
所以MN的长度就是BC与EF之间的距离，
同时，由两圆弧翼成轴对称可得，AM＝DN，
在Rt△ABM中，∠AMB＝90∘，∠ABM＝28∘，AB＝60cm，
∵ sin∠ABM=AMAB，
∴ AM＝AB⋅sin∠ABM＝60⋅sin28∘≈60×0.47＝28.2，
∴ MN＝AM+DN+AD＝2AM+AD＝28.2×2+10＝66.4，
∴ BC与EF之间的距离为66.4cm；
设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为x人，
根据题意得，180x-3=1802x，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的根，
当x＝30时，2x＝60，
答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为60人．
22.四边形BE'FE是正方形，
理由如下：
∵ 将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90∘，
∴ ∠AEB＝∠CE'B＝90∘，BE＝BE'，∠EBE'＝90∘，
又∵ ∠BEF＝90∘，
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∴ 四边形BE'FE是矩形，
又∵ BE＝BE'，
∴ 四边形BE'FE是正方形；
CF＝E'F；
理由如下：如图②，过点D作DH⊥AE于H，
∵ DA＝DE，DH⊥AE，
∴ AH=12AE，DH⊥AE，
∴ ∠ADH+∠DAH＝90∘，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AD＝AB，∠DAB＝90∘，
∴ ∠DAH+∠EAB＝90∘，
∴ ∠ADH＝∠EAB，
又∵ AD＝AB，∠AHD＝∠AEB＝90∘，
∴ △ADH≅△BAE(AAS)，
∴ AH＝BE=12AE，
∵ 将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90∘，
∴ AE＝CE'，
∵ 四边形BE'FE是正方形，
∴ BE＝E'F，
∴ E'F=12CE'，
∴ CF＝E'F；
如图①，过点D作DH⊥AE于H，
∵ 四边形BE'FE是正方形，
∴ BE'＝E'F＝BE，
∵ AB＝BC＝15，CF＝3，BC2＝E'B2+E'C2，
∴ 225＝E'B2+(E'B+3)2，
∴ E'B＝9＝BE，
∴ CE'＝CF+E'F＝12，
由（2）可知：BE＝AH＝9，DH＝AE＝CE'＝12，
∴ HE＝3，
∴ DE=DH2+HE2=144+9=317．
23.令y＝0，得y=14x2-x-3＝0，
解得，x＝-2，或x＝6，
∴ A(-2, 0)，B(6, 0)，
设直线l的解析式为y＝kx+b(k≠0)，则
-2k+b=04k+b=-3 ，
解得，k=-12b=-1 ，
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∴ 直线l的解析式为y=-12x-1；
如图1，根据题意可知，点P与点N的坐标分别为
P(m, 14m2-m-3)，N(m, -12m-1)，
∴ PM=-14m2+m+3，MN=12m+1，NP=-14m2+12m+2，
分两种情况：
①当PM＝3MN时，得-14m2+m+3＝3(12m+1)，
解得，m＝0，或m＝-2（舍），
∴ P(0, -3)；
②当PM＝3NP时，得-14m2+m+3＝3(-14m2+12m+2)，
解得，m＝3，或m＝-2（舍），
∴ P(3, -154)；
∴ 当点N是线段PM的三等分点时，点P的坐标为(3, -154)或(0, -3)；
∵ 直线l:y=-12x-1与y轴于点E，
∴ 点E的坐标为(0, -1)，
分再种情况：①如图2，当点Q在y轴的正半轴上时，记为点Q1，
过Q1作Q1H⊥AD于点H，则∠Q1HE＝∠AOE＝90∘，
∵ ∠Q1EH＝∠AEO，
∴ △Q1EH∽△AEO，
∴ Q1HAO=EHEO，即Q1H2=EH1
∴ Q1H＝2HE，
∵ ∠Q1DH＝45∘，∠Q1HD＝90∘，
∴ Q1H＝DH，
∴ DH＝2EH，
∴ HE＝ED，
连接CD，
∵ C(0, -3)，D(4, -3)，
∴ CD⊥y轴，
∴ ED=CE2+CD2=22+42=25，
∴ HE=ED=25，Q1H=2EH=45，
∴ Q1E=Q1H2+EH2=10，
∴ Q1O＝Q1E-OE＝9，
∴ Q1(0, 9)；
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②如图3，当点Q在y轴的负半轴上时，记为点Q2，过Q2作Q2G⊥AD于G，则∠Q2GE＝∠AOE＝90∘，
∵ ∠Q2EG＝∠AEO，
∴ △Q2GE∽△AOE，
∴ Q2GAO=EGOE，即Q2G2=EG1，
∴ Q2G＝2EG，
∵ ∠Q2DG＝45∘，∠Q2GD＝90∘，
∴ ∠DQ2G＝∠Q2DG＝45∘，
∴ DG＝Q2G＝2EG，
∴ ED＝EG+DG＝3EG，
由①可知，ED＝25，
∴ 3EG＝25，
∴ EG=253，
∴ Q2G=453，
∴ EQ2=EG2+Q2G2=103，
∴ OQ2=OE+EQ2=133，
∴ Q2(0,-133)，
综上，点Q的坐标为(0, 9)或(0, -133)．
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