呼和浩特专版2020中考数学复习方案第四单元三角形课时训练21相似三角形及其应用试题

呼和浩特专版2020中考数学复习方案第四单元三角形课时训练21相似三角形及其应用试题

课时训练(二十一)　相似三角形及其应用 ‎(限时:45分钟)‎ ‎|夯实基础|‎ ‎1.[2019·陇南]如图K21-1,将图形用放大镜放大,应该属于 (　　)‎ 图K21-1‎ A.平移变换 B.相似变换 C.旋转变换 D.对称变换 ‎2.[2019·贺州]如图K21-2,在△ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,DE∥BC,若AD=2,AB=3,DE=4,则BC等于 (　　)‎ 图K21-2‎ A.5 B.6 C.7 D.8‎ ‎3.[2019·雅安]如图K21-3,每个小正方形的边长均为1,则下列图形中的三角形(阴影部分)与△A1B1C1相似的是 (　　)‎ 图K21-3‎ 图K21-4‎ ‎4.[2019·淄博]如图K21-5,在△ABC中,AC=2,BC=4,D为BC边上的一点,且∠CAD=∠B.若△ADC的面积为a,则△ABD的面积为 (　　)‎ 图K21-5‎ A.2a B.‎5‎‎2‎a C.3a D.‎7‎‎2‎a ‎5.[2019·杭州]如图K21-6,在△ABC中,点D,E分别在AB和AC边上,DE∥BC,M为BC边上一点(不与点B,C重 9‎ 合),连接AM交DE于点N,则 (　　)‎ 图K21-6‎ A.ADAN=ANAE B.BDMN=‎MNCE C.DNBM=NEMC D.DNMC=‎NEBM ‎6.[2019·眉山]如图K21-7,一束光线从点A(4,4)出发,经y轴上的点C反射后,经过点B(1,0),则点C的坐标是 (　　)‎ 图K21-7‎ A.0,‎1‎‎2‎ B.0,‎4‎‎5‎ C.(0,1) D.(0,2)‎ ‎7.[2019·乐山]把边长分别为1和2的两个正方形按如图K21-8的方式放置,则图中阴影部分的面积为 (　　)‎ 图K21-8‎ A.‎1‎‎6‎ B.‎1‎‎3‎ C.‎1‎‎5‎ D.‎‎1‎‎4‎ ‎8.[2019·乐山]如图K21-9,在边长为‎3‎的菱形ABCD中,∠B=30°,过点A作AE⊥BC于点E,现将△ABE沿直线AE翻折至△AFE的位置,AF与CD交于点G,则CG等于 (　　)‎ 图K21-9‎ A.‎3‎-1 B.1 C.‎1‎‎2‎ D.‎‎3‎‎2‎ ‎9.[2019·郴州]若x+yx=‎3‎‎2‎,则yx=　　　　. ‎ ‎10.[2019·淮安]如图K21-10,l1∥l2∥l3,直线a,b与l1,l2,l3分别相交于点A,B,C和点D,E,F.若AB=3,DE=2,BC=6,则EF=　　　　. ‎ 9‎ 图K21-10‎ ‎11.[2019·本溪]在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别是A(4,2),B(5,0),以点O为位似中心,相似比为‎1‎‎2‎,把△ABO缩小,得到△A1B1O,则点A的对应点A1的坐标为　　　　. ‎ ‎12.[2019·凉山州]在▱ABCD中,E是AD上一点,且点E将AD分为2∶3的两部分,连接BE,AC相交于F,则S△AEF∶S△CBF=　　　　. ‎ ‎13.[2019·自贡]如图K21-11,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=6,CD∥AB,∠ABC的平分线BD交AC于点E,DE=　　　　. ‎ 图K21-11‎ ‎14.[2019·黄冈]如图K21-12,Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的☉O交AB于点D.过点D作☉O的切线交BC于点E,连接OE.‎ ‎(1)求证:△DBE是等腰三角形;‎ ‎(2)求证:△COE∽△CAB.‎ 图K21-12‎ 9‎ ‎15.[2019·凉山州]如图K21-13,∠ABD=∠BCD=90°,DB平分∠ADC,过点B作BM∥CD交AD于M.连接CM交DB于N.‎ ‎(1)求证:BD2=AD·CD;‎ ‎(2)若CD=6,AD=8,求MN的长.‎ 图K21-13‎ ‎|拓展提升|‎ ‎16.[2019·眉山]如图K21-14,在菱形ABCD中,已知AB=4,∠ABC=60°,∠EAF=60°,点E在CB的延长线上,点F在DC的延长线上,有下列结论:①BE=CF;②∠EAB=∠CEF;③△ABE∽△EFC;④若∠BAE=15°,则点F到BC的距离为2‎3‎-2,其中正确结论的个数是 (　　)‎ 图K21-14‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎17.[2019·泸州]如图K21-15,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=15,点E在边CB上,CE=2EB,点D在边AB上,CD⊥AE,垂足为F,则AD的长为　　　　. ‎ 9‎ 图K21-15‎ ‎【参考答案】‎ ‎1.B ‎2.B　[解析]∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,‎ ‎∴ADAB=DEBC,即‎2‎‎3‎=‎4‎BC,‎ 解得BC=6,‎ 故选:B.‎ ‎3.B　[解析]三角形A1B1C1的各边长分别为1,‎2‎,‎5‎,A中三边长分别为:‎2‎,‎5‎,3,不能与三角形A1B1C1各边对应成比例,故两三角形不相似;B中三边长分别为:‎2‎,2,‎10‎,三边与三角形A1B1C1的各边对应成比例,故两三角形相似;C中三边长分别为:1,‎5‎,2‎2‎,三边不与三角形A1B1C1各边对应成比例,故两三角形不相似;D中三边长分别为:2,‎5‎,‎13‎,三边不能与三角形A1B1C1各边对应成比例,故两三角形不相似,故选:B.‎ ‎4.C　[解析]在△BAC和△ADC中,‎ ‎∵∠C是公共角,∠CAD=∠B,‎ ‎∴△BAC∽△ADC,‎ ‎∵BCAC=2,∴S‎△ABCS‎△DAC=BCAC2=4,‎ 又∵△ADC的面积为a,‎ ‎∴△ABC的面积为4a,‎ ‎∴△ABD的面积为3a.‎ ‎5.C　[解析]根据DE∥BC,可得△ADN∽△ABM,△ANE∽△AMC,应用相似三角形的性质可得结论.‎ ‎∵DN∥BM,∴△ADN∽△ABM,∴DNBM=ANAM,‎ ‎∵NE∥MC,∴△ANE∽△AMC,‎ ‎∴NEMC=ANAM,∴DNBM=NEMC.‎ 故选C.‎ ‎6.B　[解析]过点A作AD⊥y轴于点D,‎ ‎∵∠ADC=∠COB=90°,∠ACD=∠BCO,‎ ‎∴△OBC∽△DAC,∴OCOB=DCAD,‎ ‎∴OC‎1‎=‎4-OC‎4‎,解得OC=‎4‎‎5‎,‎ ‎∴点C0,‎4‎‎5‎.‎ ‎7.A　[解析]如图,‎ 9‎ ‎∵四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形,‎ ‎∴AD=DC=1,CE=2,AD∥CE,‎ ‎∴△ADH∽△ECH,∴ADCE=DHCH,‎ ‎∴‎1‎‎2‎=DH‎1-DH,解得DH=‎1‎‎3‎,‎ ‎∴阴影部分的面积为‎1‎‎2‎‎×‎‎1‎‎3‎×1=‎1‎‎6‎,‎ 故选A.‎ ‎8.A　[解析]∵AE⊥BC,∴∠AEB=90°,∵菱形ABCD的边长为‎3‎,∠B=30°,‎ ‎∴AE=‎1‎‎2‎AB=‎1‎‎2‎ ‎3‎,BE=EF=AB‎2‎-AE‎2‎=1.5,∴BF=3,CF=BF-BC=3-‎3‎,‎ ‎∵AD∥CF,∴△AGD∽△FGC,‎ ‎∴DGCG=ADCF,∴‎3‎‎-CGCG=‎3‎‎3-‎‎3‎,‎ 解得CG=‎3‎-1,故选A.‎ ‎9.‎1‎‎2‎　10.4‎ ‎11.(2,1)或(-2,-1)　[解析]以点O为位似中心,相似比为‎1‎‎2‎,把△ABO缩小,点A的坐标是(4,2),则点A的对应点A1的坐标为4×‎1‎‎2‎,2×‎1‎‎2‎或-4×‎1‎‎2‎,-2×‎1‎‎2‎,即(2,1)或(-2,-1),‎ 故答案为(2,1)或(-2,-1).‎ ‎12.4∶25或9∶25　[解析]在▱ABCD中,∵AD∥BC,∴△AEF∽△CBF.‎ 如图①,当AE∶DE=2∶3时,AE∶AD=2∶5,‎ ‎∵AD=BC,∴AE∶BC=2∶5,‎ ‎∴S△AEF∶S△CBF=4∶25;‎ 如图②,当AE∶DE=3∶2时,AE∶AD=3∶5,‎ ‎∵AD=BC,∴AE∶BC=3∶5,‎ ‎∴S△AEF∶S△CBF=9∶25.‎ 故答案为4∶25或9∶25.‎ ‎13.‎9‎‎5‎ ‎5‎　[解析]∵BD平分∠ABC,‎ 9‎ ‎∴∠ABD=∠CBD,‎ ‎∵AB∥CD,∴∠D=∠ABD,‎ ‎∴∠CBD=∠D,∴CD=BC=6.‎ 在Rt△ABC中,AC=AB‎2‎-BC‎2‎=‎1‎0‎‎2‎-‎‎6‎‎2‎=8.‎ ‎∵AB∥CD,∴△ABE∽△CDE,‎ ‎∴CEAE=DEEB=CDAB=‎6‎‎10‎=‎3‎‎5‎,‎ ‎∴CE=‎3‎‎5‎AE,DE=‎3‎‎5‎BE.‎ 即CE=‎3‎‎8‎AC=‎3‎‎8‎×8=3.‎ 在Rt△BCE中,BE=BC‎2‎+CE‎2‎=‎6‎‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎=3‎5‎.‎ ‎∴DE=‎3‎‎5‎BE=‎3‎‎5‎×3‎5‎=‎9‎‎5‎ ‎5‎.‎ ‎14.证明:(1)连接OD.‎ ‎∵DE是☉O的切线,‎ ‎∴∠ODE=90°,‎ ‎∴∠ADO+∠BDE=90°,‎ 又∵∠ACB=90°,‎ ‎∴∠A+∠B=90°,‎ ‎∵OA=OD,∴∠A=∠ADO,‎ ‎∴∠BDE=∠B,‎ ‎∴EB=ED,‎ ‎∴△DBE是等腰三角形.‎ ‎(2)∵∠ACB=90°,AC是☉O的直径,‎ ‎∴CB是☉O的切线,‎ 又∵DE是☉O的切线,∴DE=EC.‎ ‎∵DE=EB,∴EC=EB.‎ ‎∵OA=OC,‎ ‎∴OE∥AB.‎ ‎∴△COE∽△CAB.‎ ‎15.[解析](1)利用两角分别相等证△DAB∽△DBC,再由相似性质得到结论;‎ ‎(2)先利用相似性质与勾股定理求BD,AB的长,再借助角的关系得到△ABM是等边三角形,求得BM的长,最后利用相似和勾股定理求BC,CM,MN的长.‎ 解:(1)证明:∵DB平分∠ADC,∴∠ADB=∠BDC.‎ 又∵∠ABD=∠BCD=90°,‎ ‎∴△DAB∽△DBC,‎ ‎∴BDCD=ADBD,∴BD2=AD·CD.‎ 9‎ ‎(2)由(1)可知:BD2=AD·CD.‎ ‎∵CD=6,AD=8,∴BD=4‎3‎.‎ 又AD=8,‎ ‎∴AB=AD‎2‎-BD‎2‎=‎8‎‎2‎‎-(4‎‎3‎‎)‎‎2‎=4,‎ ‎∴AB=‎1‎‎2‎AD,‎ ‎∴∠ADB=30°,∠BDC=∠ADB=30°.‎ 又∠ABD=∠BCD=90°,‎ ‎∴∠A=∠DBC=60°.‎ ‎∵BM∥CD,∴∠MBD=∠BDC=30°,‎ ‎∴∠ABM=∠ABD-∠MBD=60°,‎ ‎∴△ABM是等边三角形,故BM=AB=4.‎ ‎∵△ABD∽△BCD,∴ABBC=DBCD,‎ ‎∴BC=AB×CDDB=‎4×6‎‎4‎‎3‎=2‎3‎.‎ ‎∵BM∥CD,∴∠CBM=180°-∠BCD=90°,‎ ‎∴CM=BM‎2‎+CB‎2‎=‎4‎‎2‎‎+(2‎‎3‎‎)‎‎2‎=2‎7‎.‎ ‎∵BM∥CD,∴△BMN∽△DCN,‎ ‎∴MNCN=MBCD=‎4‎‎6‎=‎2‎‎3‎,‎ 又CN+MN=CM=2‎7‎,∴MN=‎4‎‎5‎ ‎7‎.‎ ‎16.B　[解析]连接AC,在菱形ABCD中,AB=BC,∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形,‎ ‎∴AB=AC,∠BAC=60°,‎ ‎∵∠EAF=60°,‎ ‎∴∠EAB+∠BAF=∠CAF+∠BAF=60°,‎ 即∠EAB=∠CAF,‎ ‎∵∠ABE=∠ACF=120°,‎ ‎∴△ABE≌△ACF,∴BE=CF,故①正确;‎ 由△ABE≌△ACF,可得AE=AF,‎ ‎∵∠EAF=60°,∴△AEF是等边三角形,‎ ‎∴∠AEF=60°,∴∠AEB+∠CEF=60°,‎ ‎∵∠AEB+∠EAB=60°,‎ ‎∴∠CEF=∠EAB,故②正确;‎ 在△ABE中,∠AEB<60°,∠ECF=60°,∴③错误;‎ 过点A作AG⊥BC于点G,过点F作FH⊥EC于点H,‎ 9‎ ‎∵∠EAB=15°,∠ABC=60°,‎ ‎∴∠AEB=45°,‎ 在Rt△AGB中,∵∠ABC=60°,AB=4,‎ ‎∴BG=‎1‎‎2‎AB=2,AG=‎3‎BG=2‎3‎,‎ 在Rt△AEG中,∵∠AEG=∠EAG=45°,‎ ‎∴AG=GE=2‎3‎,∴EB=EG-BG=2‎3‎-2,‎ ‎∵△AEB≌△AFC,‎ ‎∴AE=AF,EB=CF=2‎3‎-2,‎ 在Rt△CHF中,∵∠HCF=180°-∠BCD=60°,CF=2‎3‎-2,‎ ‎∴FH=CF·sin60°=(2‎3‎-2)×‎3‎‎2‎=3-‎3‎.‎ ‎∴点F到BC的距离为3-‎3‎.故④错误.‎ 故选B.‎ ‎17.9‎2‎　[解析]过D作DH⊥AC于H,‎ ‎∵在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=15,‎ ‎∴AC=BC=15,∠CAD=45°,‎ ‎∴AH=DH,∴CH=15-DH,‎ ‎∵CF⊥AE,∴∠DHA=∠DFA=90°,‎ ‎∴∠HAF=∠HDF,∴△ACE∽△DHC,‎ ‎∴DHAC=CHCE,‎ ‎∵CE=2EB,∴CE=10,∴DH‎15‎=‎15-DH‎10‎,‎ ‎∴DH=9,∴AD=9‎2‎.‎ 9‎