2020九年级数学下册 第2章圆周角

2020九年级数学下册 第2章圆周角

‎2.2.2　‎圆周角 第2课时　圆周角定理的推论2及圆内接四边形 知|识|目|标 ‎1．通过特殊化思想探究直径所对的圆周角，理解圆周角定理的推论2.‎ ‎2．在学习圆周角的基础上，结合图形理解圆内接四边形的概念，并探究圆内接四边形的性质. ‎ 目标一　理解圆周角定理的推论2并能计算或证明 例1 教材补充例题2017·宁波模拟如图2－2－10，AB是⊙O的直径，且AB＝10，sin∠BAC＝，D为优弧ABC上任意一点．‎ 图2－2－10‎ ‎(1)求AC的长；‎ ‎(2)求tan∠ADC的值．‎ ‎【归纳总结】‎ ‎1．圆周角定理及其推论中的转化思想：‎ ‎(1)弧是圆周角、圆心角的中介，通过弧可实现圆周角、圆心角之间的相互转化； ‎ ‎(2)在同圆或等圆中，90°的圆周角和直径之间可以相互转化．‎ ‎2．圆周角定理及其推论中常用的辅助线：‎ 当题目中的条件出现直径时，通常作出直径所对的圆周角，得到直角，然后结合直角三角形的性质解决问题，即“见直径出直角”．‎ 目标二　理解圆内接四边形及其性质 5‎ 例2 教材补充例题如图2－2－11，两个等圆⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，经过点A的直线与两圆分别交于点C，D，经过点B的直线与两圆分别交于点E，F，且CD∥EF.‎ 求证：(1)四边形EFDC是平行四边形；‎ ‎(2)＝.‎ 图2－2－11‎ ‎【归纳总结】圆内接四边形的角的“三种关系”：‎ ‎(1)对角互补，若四边形ABCD为⊙O的内接四边形，则∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°；‎ ‎(2)若四边形ABCD为⊙O的内接四边形，则∠A＋∠C＋∠B＋∠D＝360°；‎ ‎(3)圆内接四边形任意一个外角与其相邻的内角的对角相等，简称圆内接四边形的外角等于其内对角．‎ 知识点一　圆周角定理的推论2‎ 直径所对的圆周角是______；90°的圆周角所对的弦是______．‎ 知识点二　圆内接四边形 定义：如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，这个四边形叫作圆内接四边形，这个圆叫作这个四边形的外接圆．‎ 性质：圆内接四边形的对角______．‎ ‎　‎ 如图2－2－12，已知AB是⊙O的直径，∠CAB＝40°，D是圆上一点(不与点A，B，C重合)，求∠ADC的度数．‎ 图2－2－12‎ 解：连接BC，如图2－2－13，‎ 5‎ 图2－2－13‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB＝90°.‎ ‎∵∠CAB＝40°，‎ ‎∴∠B＝50°，‎ ‎∴∠ADC＝50°.‎ 上述解答完整吗？若不完整，请补充完整．‎ 5‎ 教师详解详析 ‎【目标突破】‎ 例1　解：(1)连接BC.∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB＝90°.‎ ‎∵AB＝10，sin∠BAC＝，‎ ‎∴BC＝6，∴AC＝8.‎ ‎(2)∵∠ADC＝∠B，‎ ‎∴tan∠ADC＝tanB＝ ＝ ＝.‎ 例2　证明：(1)连接AB.∵四边形ABEC是⊙O1的内接四边形，∴∠BAC＋∠E＝180°.‎ 又∵四边形ADFB是⊙O2的内接四边形，‎ ‎∴∠BAD＋∠F＝180°.‎ 又∵∠BAC＋∠BAD＝180°，‎ ‎∴∠BAC＝∠F，‎ ‎∴∠E＋∠F＝180°，∴CE∥DF.‎ 又∵CD∥EF，‎ ‎∴四边形EFDC是平行四边形．‎ ‎(2)由(1)得四边形EFDC是平行四边形，‎ ‎∴CE＝DF.‎ 又∵⊙O1与⊙O2等圆，∴＝.‎ 备选目标　圆心角、圆周角性质定理的综合运用 例　已知：如图所示，BC为半圆⊙O的直径，＝，AC与BF相交于点M.‎ ‎(1)若∠FBC＝α，求∠ACB的度数(用α表示)；‎ ‎(2)过点A作AD⊥BC于点D，交BF于点E，求证：BE＝EM.‎ ‎[解析] (1)利用＝，探索∠ACB与∠FCB的关系；(2)欲证BE＝EM，因为它们所在的三角形不全等，故找中间线段转换，注意到∠BAC＝90°，因此选择AE为中间线段．‎ 解：(1)如图，连接CF.‎ ‎∵BC是⊙O的直径，∴∠F＝90°.‎ ‎∵∠FBC＝α，∴∠FCB＝90°－α.‎ ‎∵＝，‎ 5‎ ‎∴∠5＝∠ACF，‎ ‎∴∠5＝∠FCB＝×(90°－α)＝45°－α.‎ 即∠ACB＝45°－α.‎ ‎(2)证明：∵BC是⊙O的直径，‎ ‎∴∠BAC＝90°，即∠1＋∠2＝90°.‎ ‎∵∠ADC＝90°，‎ ‎∴∠5＋∠2＝90°，∴∠1＝∠5.‎ ‎∵＝，‎ ‎∴∠5＝∠4，∴∠1＝∠4，∴BE＝AE.‎ 在Rt△ABM中，‎ ‎∵∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°，∠1＝∠4，‎ ‎∴∠2＝∠3，∴EM＝AE，故BE＝EM.‎ ‎[归纳总结] 在圆中求角的度数时，一般从与所求角相关的圆周角或圆心角入手，在进行角的转换时，还应特别注意“等弧”在角的转换中的重要过渡作用；在证明不是弦的两条线段相等时，一般考虑全等三角形或利用中间线段进行等量代换．‎ ‎【总结反思】‎ ‎[小结] 知识点一　直角　直径 知识点二　互补 ‎[反思] 解答不完整．正确解法：连接BC，如图．‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB＝90°.‎ ‎∵∠CAB＝40°，∴∠B＝50°.‎ 当点D在优弧ABC上时，∠ADC＝∠B＝50°；当点D在劣弧AC上时，∠AD′C＝180°－∠B＝130°，∴∠ADC的度数为50°或130°.‎ 5‎