- 2021-11-11 发布 |
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文档介绍
人教版中考数学二轮复习专题练习上常用辅助线-旋转
3.辅助线之—旋转 1.如图,以正方形的边为斜边在正方形内作直角三角形,,、交于.已知、的长分别为、,求三角形的面积. 解析: 显然, 所以, 所以, 所以, 则逆时针旋转,旋转,则与重合, 落在上的处, 且,,, 因为, 所以, 所以是等腰直角三角形. 且, 作,所以. 所以. 2.如图所示,在四边形中,,,于,若四边形的面积是,求的长. 解析: 把绕点逆时针旋转,使与重合, 则, ,四边形为矩形. 旋转至,则, 矩形为正方形,且, ∴. 3.如图,正方形中,.求证:. 答案:见解析 解析: ∵四边形是正方形,∴. 将绕点顺时针旋转至,使与重合. 则,且,. ∵,∴. ∵,且, ∴. 故. 4.如图,正方形的边长为,点在线段上运动,平分交边于点.求证:. 答案:见解析 解析: ∵四边形是正方形,∴. 将绕点顺时针旋转至,使与重合. 则,且,. ∵平分,∴, ∴, 即.∵,∴, ∴,∴.即. ∴,得证. 5.、分别是正方形的边、上的点,且,,为垂足,求证:. 答案:见解析 解析: ∵四边形绕为正方形,∴. 将绕点顺时针旋转至. 则,. ∵,∴. ∴,即. ∵,∴. 根据全等三角形的对应高相等(利用三角形全等可证得),可得. 6.如图所示,在正方形中,,点、分别在、上,且,,求的面积. 答案:见解析 解析: 如图所示,将绕点顺时针旋转,得到,则、、共线. ,. 而,且, 故,∵,∴. 由此可得,, ∴,∴. 在中,,,故, .在中,,则. 故. 7.如图,正方形的边长为,、上各存一点、,若的周长为,求的度数. 解析: 把绕点旋转到的位置, .∵, 又,∴. 又,∴. ∴.∴. 又∵,∴. 8.如图:正方形的边长为,是的中点,点在上,且.则的长是多少.的面积是多少. 答案:5;15 解析: ①求的长: ∵四边形为正方形,∴. 将绕点逆时针旋转至处,使与重合, 则,.. ∵,∴, 则, ∵,∴,∴. 设,则,. ∴在中,有. ∴,解得. ∴. ②求的面积: ∵, ∴. 9.如图,在直角梯形中,,,,是 上一点,且,,求的长. 解析: 过作,交延长线于. ∵四边形是正方形,∴. 将绕点顺时针旋转,至,使与重合. 则有,,. ∵,∴. ∴. ∵,∴.故. 设,则,, 在中,. 即. 解这个方程,得:. ∴. 10.如图,在中,,,是内的一点,且,求的度数. 解析: 如图,将绕点旋转,使与重合, 即,PC=CE,, ∵,∴. ∴为等腰直角三角形, ∴,. 又∵,∴ 则.∴. 11.如图,是等边内一点,若,,,求的度数. 解析: 如图,将沿点逆时针旋转,则,连接,. ,, ∴为等边三角形, ,. ∴, , 12.为等边内一点,,,求证:以、、为边可以构成一个三角形,并确定所构成的三角形的各内角的度数. 答案:见解析 解析: 要判断、、三条线段可以构成一个三角形的三边,常采用判定其中任意两条线段之和大于第三条线段的办法,然而求所构成的三角形各内角的度数时又会束手无策.如果以为中心,将逆时针旋转,则点变到点,线段变到,点变到点, 此时,,并且,. 为等边三角形,所以,. 这时,就是以、、为三边构成的三角形. 易知 而 所以 因此 13.如图,为正方形内一点,.求的度数. 解析: ∵四边形为正方形,∴. 将绕着点按顺时针旋转到的位置(如图),连接. 则 ∴是等腰直角三角形. ∴ ∵ ∴ ∴为直角三角形. ∴, ∴. 13.如图所示,是等边中的一点,,,,试求的边长. 答案: 解析: 由于有等边三角形,故可考虑将绕点旋转,使、、出现在一个三角形中,从而构造出一个直角三角形. 解:将绕点逆时针旋转,则与重合,点转至点, 点转至点,连接,如图所示,有,,. 故为等边三角形,, 在中,, 故,, 从而有, 故. 所以,在中,,. 14.如图所示,为正方形内一点,若,,. 求:⑴ 的度数;⑵ 正方形的边长. 答案:(1);(2) 解析: (1)将绕点顺时针旋转,得到.连接,因为,, 所以,. 在中,,,,则, 所以,故. (2)因,则、、三点共线, 故,, 在中,根据勾股定理得 所以. 15.在中,,是内任意一点,已知,求证:. 答案:见解析 解析: 因为,所以可将绕点旋转到的位置, 连结、、,则,, 因为,所以 由,可得,则. ,即. 16.如图,是等边外的一点,,,,求的度数. 答案:30 解析: ∵, ∴将绕点逆时针旋转至,使与重合, 则,, ,. ∴, ∴为等边三角形, 则,, 在中,∵, ∴为直角三角形,即. ∴. 17.如图,正方形内一点,,连结、,请问:是等边三角形吗?为什么? 答案:见解析 解析: 将绕点逆时针旋转,得, 再作关于的轴对称图形,得. 所以,, , ∴为等边三角形,即. 又∵, ∴. ∵, ∴,则有. ∵. ∴,∴. ∴,∴. 同理可得. ∴为等边三角形. 18.中,,四边形是的内接正方形,,,求的值. 解析: 如图,∵四边形是正方形,∴, 将绕点逆时针旋转至,使与重合.则有. ∵,∴. ∵,∴. 故. 19.梯形中,,,,,,且,求的长和面积. 解析: ∵,∴将绕点顺时针旋转,至处,使与重合. 则,,, 延长交于点, ∵旋转角是,∴, ∵,∴, ∴四边形是矩形,, ∵,∴,, 在中,根据勾股定理有, 即,解得. . 20.在梯形中,,,,,若,求的长。 答案:6或4 解析: ∵,∴, 过点作,交延长线与点,故四边形是矩形, ∵,∴矩形是正方形,则, 将绕点顺时针,至处,则, ∴, ∵,∴,∴, ∵,∴,∴, 设,则,, ∴, ∵,∴在中,, 解得或,即的长为或. 21.如图,等边三角形内一点,且,,求以为边的三角形各内角的度数。 答案:见解析 解析: 要判断、、三条线段可以构成一个三角形的三边,常采用判定其中任意两条线段之和大于第三条线段的办法,然而求所构成的三角形各内角的度数时又会束手无策.如果以为中心,将逆时针旋转,则点变到点,线段变到,点变到点, 此时,,并且,. 为等边三角形,所以,. 这时,就是以、、为三边构成的三角形. 易知 而 所以 因此 22.如图,中,,,是中点,,与交于,与交于.求证:,. 答案:见解析 解析: 连结. ∵,,∴ ∵是中点,∴且 ∵,∴ ∵,∴ 在与中,,, ∴ ∴. ∵∴. 23.在等腰直角中,,,是的中点,点从出发向运动, 交于点,试说明的形状和面积将如何变化. 答案:见解析 解析: 连接.因为且,所以. 因为是的中点,所以,, ∴,则. 因为,所以, 所以,所以. 因此是等腰直角三角形,在的运动过程中形状不变. 的面积与边的大小有关.当点从出发到中点时,面积由大变小; 当是中点时,三角形的面积最小;继续向点运动时,面积又由小变大. 24.等腰直角三角形,,,为中点,,试猜想,、、三者的关系. 答案:见解析 解析: 如图,过点作,交于, 连结,∵,. ∴, ∵且. ∴, ∴,, ,, ∴,∴. ∴. 又∵, ∴、、又存在另一关系式.查看更多