2018年江苏省宿迁市中考数学试卷

2018年江苏省宿迁市中考数学试卷

‎2018年江苏省宿迁市中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（每小题只有一个选项符合题意．共8小题，每小题3分，共24分）‎ ‎1．（3分）2的倒数是（　　）‎ A．2 B． C．﹣ D．﹣2‎ ‎2．（3分）下列运算正确的是（　　）‎ A．a2•a3=a6 B．a2﹣a=a C．（a2）3=a6 D．a8÷a4=a2‎ ‎3．（3分）如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC．若∠A=35°，∠C=24°，则∠D的度数是（　　）‎ A．24° B．59° C．60° D．69°‎ ‎4．（3分）函数y=中，自变量x的取值范围是（　　）‎ A．x≠0 B．x＜1 C．x＞1 D．x≠1‎ ‎5．（3分）若a＜b，则下列结论不一定成立的是（　　）‎ A．a﹣1＜b﹣1 B．2a＜2b C．﹣＞﹣ D．a2＜b2‎ ‎6．（3分）若实数m、n满足等式|m﹣2|+=0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（　　）‎ A．12 B．10 C．8 D．6‎ ‎7．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E为边CD的中点，若菱形ABCD的周长为16，∠BAD=60°，则△OCE的面积是（　　）‎ A． B．2 C．2 D．4‎ ‎8．（3分）在平面直角坐标系中，过点（1，2）作直线l，若直线l与两坐标轴围成的三角形面积为4，则满足条件的直线l的条数是（　　）‎ A．5 B．4 C．3 D．2‎ ‎　‎ 二、填空题（本题包括10小题，每小题3分，共30分）‎ ‎9．（3分）一组数据：2，5，3，1，6，则这组数据的中位数是　 　．‎ ‎10．（3分）地球上海洋总面积约为360000000km2，将360000000用科学记数法表示是　 　．‎ ‎11．（3分）分解因式：x2y﹣y=　 　．‎ ‎12．（3分）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是　 　．‎ ‎13．（3分）已知圆锥的底面圆半径为3cm、高为4cm，则圆锥的侧面积是　 　cm2．‎ ‎14．（3分）在平面直角坐标系中，将点（3，﹣2）先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则所得点的坐标是　 　．‎ ‎15．（3分）为了改善生态环境，防止水土流失，红旗村计划在荒坡上种树960棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的2倍，结果提前4天完成任务，则原计划每天种树的棵数是　 　．‎ ‎16．（3分）小明和小丽按如下规则做游戏：桌面上放有7根火柴棒，每次取1根或2根，最后取完者获胜．若由小明先取，且小明获胜是必然事件，则小明第一次应该取走火柴棒的根数是　 　．‎ ‎17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象与正比例函数y=kx、y=x（k＞1）的图象分别交于点A、B．若∠AOB=45°，则△AOB的面积是　 　．‎ ‎18．（3分）如图，将含有30°角的直角三角板ABC放入平面直角坐标系，顶点A、B分别落在x、y轴的正半轴上，∠OAB=60°，点A的坐标为（1，0）．将三角板ABC沿x轴向右作无滑动的滚动（先绕点A按顺时针方向旋转60°，再绕点C按顺时针方向旋转90°…），当点B第一次落在x轴上时，则点B运动的路径与两坐标轴围成的图形面积是　 　．‎ ‎　‎ 三、填空题（本题包括10小题，共96分）‎ ‎19．（8分）解方程组：．‎ ‎20．（8分）计算：（﹣2）2﹣（π﹣）0+|﹣2|+2sin60°．‎ ‎21．（8分）某市举行“传承好家风”征文比赛，已知每篇参赛征文成绩记m分（60≤m≤100），组委会从1000篇征文中随机抽取了部分参赛征文，统计了它们的成绩，并绘制了如图不完整的两幅统计图表．‎ 征文比赛成绩频数分布表 分数段 频数 频率 ‎60≤m＜70‎ ‎38‎ ‎0.38‎ ‎70≤m＜80‎ a ‎0.32‎ ‎80≤m＜90‎ b c ‎90≤m≤100‎ ‎10‎ ‎0.1‎ 合计 ‎1‎ 请根据以上信息，解决下列问题：‎ ‎（1）征文比赛成绩频数分布表中c的值是　 　；‎ ‎（2）补全征文比赛成绩频数分布直方图；‎ ‎（3）若80分以上（含80分）的征文将被评为一等奖，试估计全市获得一等奖征文的篇数．‎ ‎22．（8分）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边CB、AD的延长线上，且BE=DF，EF分别与AB、CD交于点G、H．求证：AG=CH．‎ ‎23．（10分）有2部不同的电影A、B，甲、乙、丙3人分别从中任意选择1部观看．‎ ‎（1）求甲选择A部电影的概率；‎ ‎（2）求甲、乙、丙3人选择同1部电影的概率（请用画树状图的方法给出分析过程，并求出结果）．‎ ‎24．（10分）某种型号汽车油箱容量为40L，每行驶100km耗油10L．设一辆加满油的该型号汽车行驶路程为x（km），行驶过程中油箱内剩余油量为y（L）．‎ ‎（1）求y与x之间的函数表达式；‎ ‎（2）为了有效延长汽车使用寿命，厂家建议每次加油时油箱内剩余油量不低于油箱容量的，按此建议，求该辆汽车最多行驶的路程．‎ ‎25．（10分）如图，为了测量山坡上一棵树PQ的高度，小明在点A处利用测角仪测得树顶P的仰角为45°，然后他沿着正对树PQ的方向前进10m到达点B处，此时测得树顶P和树底Q的仰角分别是60°和30°，设PQ垂直于AB，且垂足为C．‎ ‎（1）求∠BPQ的度数；‎ ‎（2）求树PQ的高度（结果精确到0.1m，≈1.73）．‎ ‎26．（10分）如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与 OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．‎ ‎（1）求证：PC是⊙O的切线；‎ ‎（2）若∠ABC=60°，AB=10，求线段CF的长．‎ ‎27．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x﹣a）（x﹣3）（0＜a＜3）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CP⊥x轴，垂足为点P，连接AD、BC．‎ ‎（1）求点A、B、D的坐标；‎ ‎（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值；‎ ‎（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．‎ ‎28．（12分）如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点E、F分别在边AB、CD上，将正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M始终落在边AD上（点M不与点A、D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，设BE=x．‎ ‎（1）当AM=时，求x的值；‎ ‎（2）随着点M在边AD上位置的变化，△PDM的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值；‎ ‎（3）设四边形BEFC的面积为S，求S与x之间的函数表达式，并求出S的最小值．‎ ‎　‎ ‎2018年江苏省宿迁市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每小题只有一个选项符合题意．共8小题，每小题3分，共24分）‎ ‎1．（3分）2的倒数是（　　）‎ A．2 B． C．﹣ D．﹣2‎ ‎【分析】根据乘积是1的两数互为倒数可得答案．‎ ‎【解答】解：2的倒数是，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）下列运算正确的是（　　）‎ A．a2•a3=a6 B．a2﹣a=a C．（a2）3=a6 D．a8÷a4=a2‎ ‎【分析】根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，合并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，逐项判定即可．‎ ‎【解答】解：∵a2•a3=a5，‎ ‎∴选项A不符合题意；‎ ‎∵a2﹣a≠a，‎ ‎∴选项B不符合题意；‎ ‎∵（a2）3=a6，‎ ‎∴选项C符合题意；‎ ‎∵a8÷a4=a4，‎ ‎∴选项D不符合题意．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC．若∠A=35°，∠C=24°，则∠D的度数是（　　）‎ A．24° B．59° C．60° D．69°‎ ‎【分析】根据三角形外角性质求出∠DBC，根据平行线的性质得出即可．‎ ‎【解答】解：∵∠A=35°，∠C=24°，‎ ‎∴∠DBC=∠A+∠C=59°，‎ ‎∵DE∥BC，‎ ‎∴∠D=∠DBC=59°，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）函数y=中，自变量x的取值范围是（　　）‎ A．x≠0 B．x＜1 C．x＞1 D．x≠1‎ ‎【分析】根据分母不等于零分式有意义，可得答案．‎ ‎【解答】解：由题意，得 x﹣1≠0，‎ 解得x≠1，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）若a＜b，则下列结论不一定成立的是（　　）‎ A．a﹣1＜b﹣1 B．2a＜2b C．﹣＞﹣ D．a2＜b2‎ ‎【分析】由不等式的性质进行计算并作出正确的判断．‎ ‎【解答】解：A、在不等式a＜b的两边同时减去1，不等式仍成立，即a﹣1＜b﹣1，故本选项错误；‎ B、在不等式a＜b的两边同时乘以2，不等式仍成立，即2a＜2b，故本选项错误；‎ C、在不等式a＜b的两边同时乘以﹣，不等号的方向改变，即﹣＞﹣，故本选项错误；‎ D、当a=﹣5，b=1时，不等式a2＜b2不成立，故本选项正确；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）若实数m、n满足等式|m﹣2|+=0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（　　）‎ A．12 B．10 C．8 D．6‎ ‎【分析】由已知等式，结合非负数的性质求m、n的值，再根据m、n分别作为等腰三角形的腰，分类求解．‎ ‎【解答】解：∵|m﹣2|+=0，‎ ‎∴m﹣2=0，n﹣4=0，‎ 解得m=2，n=4，‎ 当m=2作腰时，三边为2，2，4，不符合三边关系定理；‎ 当n=4作腰时，三边为2，4，4，符合三边关系定理，周长为：2+4+4=10．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E为边CD的中点，若菱形ABCD的周长为16，∠BAD=60°，则△OCE的面积是（　　）‎ A． B．2 C．2 D．4‎ ‎【分析】由菱形的性质四条边相等可求出菱形的周长，结合题干已知条件可求出菱形的面积，则△ADC的面积也可求出，易证OE为△ADC的中位线，所以OE∥AD，再由相似三角形的性质即可求出△OCE的面积．‎ ‎【解答】解：过点D作DH⊥AB于点H，‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，AO=CO，‎ ‎∴AB=BC=CD=AD，‎ ‎∵菱形ABCD的周长为16，‎ ‎∴AB=AD=4，‎ ‎∵∠BAD=60°，‎ ‎∴DH=4×=2，‎ ‎∴S菱形ABCD=4×2=8，‎ ‎∴S△ABD=×8=4，‎ ‎∵点E为边CD的中点，‎ ‎∴OE为△ADC的中位线，‎ ‎∴OE∥AD，‎ ‎∴△CEO∽△CDA，‎ ‎∴△OCE的面积=×4=，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）在平面直角坐标系中，过点（1，2）作直线l，若直线l与两坐标轴围成的三角形面积为4，则满足条件的直线l的条数是（　　）‎ A．5 B．4 C．3 D．2‎ ‎【分析】根据题意可以设出直线l的函数解析式，然后根据题意即可求得k的值，从而可以解答本题．‎ ‎【解答】解：设过点（1，2）的直线l的函数解析式为y=kx+b，‎ ‎2=k+b，得b=2﹣k，‎ ‎∴y=kx+2﹣k，‎ 当x=0时，y=2﹣k，当y=0时，x=，‎ 令=4，‎ 解得，k1=﹣2，k2=6﹣4，k3=6+4，‎ 故满足条件的直线l的条数是3条，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题（本题包括10小题，每小题3分，共30分）‎ ‎9．（3分）一组数据：2，5，3，1，6，则这组数据的中位数是　3　．‎ ‎【分析】根据中位数的定义求解可得．‎ ‎【解答】解：将数据重新排列为1、2、3、5、6，‎ 所以这组数据的中位数为3，‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）地球上海洋总面积约为360000000km2，将360000000用科学记数法表示是　3.6×108　．‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：360000000=3.6×108，‎ 故答案为：3.6×108．‎ ‎　‎ ‎11．（3分）分解因式：x2y﹣y=　y（x+1）（x﹣1）　．‎ ‎【分析】观察原式x2y﹣y，找到公因式y后，提出公因式后发现x2﹣1符合平方差公式，利用平方差公式继续分解可得．‎ ‎【解答】解：x2y﹣y，‎ ‎=y（x2﹣1），‎ ‎=y（x+1）（x﹣1），‎ 故答案为：y（x+1）（x﹣1）．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是　8　．‎ ‎【分析】任何多边形的外角和是360°，即这个多边形的内角和是3×360°．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．‎ ‎【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意，得 ‎（n﹣2）•180=3×360，‎ 解得n=8．‎ 则这个多边形的边数是8．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）已知圆锥的底面圆半径为3cm、高为4cm，则圆锥的侧面积是　15π　cm2．‎ ‎【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的母线长=5（cm），然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算圆锥的侧面积．‎ ‎【解答】解：圆锥的母线长==5（cm），‎ 所以圆锥的侧面积=•2π•3•5=15π（cm2）．‎ 故答案为15π．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）在平面直角坐标系中，将点（3，﹣2）先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则所得点的坐标是　（5，1）　．‎ ‎【分析】直接利用平移的性质得出平移后点的坐标即可．‎ ‎【解答】解：∵将点（3，﹣2）先向右平移2个单位长度，‎ ‎∴得到（5，﹣2），‎ ‎∵再向上平移3个单位长度，‎ ‎∴所得点的坐标是：（5，1）．‎ 故答案为：（5，1）．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）为了改善生态环境，防止水土流失，红旗村计划在荒坡上种树960棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的2倍，结果提前4天完成任务，则原计划每天种树的棵数是　120棵　．‎ ‎【分析】设原计划每天种树x棵，由题意得等量关系：原计划所用天数﹣实际所用天数=4，根据等量关系，列出方程，再解即可．‎ ‎【解答】解：设原计划每天种树x棵，由题意得：‎ ‎﹣=4，‎ 解得：x=120，‎ 经检验：x=120是原分式方程的解，‎ 故答案为：120棵．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）小明和小丽按如下规则做游戏：桌面上放有7根火柴棒，每次取1根或2根，最后取完者获胜．若由小明先取，且小明获胜是必然事件，则小明第一次应该取走火柴棒的根数是　1　．‎ ‎【分析】从小明拿到第7根火柴着手，进行倒推，就能找到小明保证获胜的方法．‎ ‎【解答】解：若小明第一次取走1根，小丽也取走1根，小明第二次取2根，小丽不论取走1根还是两根，小明都将取走最后一根，‎ 若小明第一次取走1根，小丽取走2根，小明第二次取1根，小丽不论取走1根还是两根，小明都将取走最后一根，由小明先取，且小明获胜是必然事件，‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ ‎17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象与正比例函数y=kx、y=x（k＞1）的图象分别交于点A、B．若∠AOB=45°，则△AOB的面积是　2　．‎ ‎【分析】领用AB两点分别在反比例函数和正比例函数图象上，且存在相同k值，可先证明点A横坐标和B纵坐标相等，利用旋转知识证明△AOB面积为△A′OB的面积，再利用反比例函数k的几何意义．‎ ‎【解答】解：如图，过B作BD⊥x轴于点D，过A作AC⊥y轴于点C 设点A横坐标为a，则A（a，）‎ ‎∵A在正比例函数y=kx图象上 ‎∴=ka ‎∴k=‎ 同理，设点B横坐标为b，则B（b，）‎ ‎∴=‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴ab=2‎ 当点A坐标为（a，）时，点B坐标为（，a）‎ ‎∴OC=OD 将△AOC绕点O顺时针旋转90°，得到△ODA′‎ ‎∵BD⊥x轴 ‎∴B、D、A′共线 ‎∵∠AOB=45°，∠AOA′=90°‎ ‎∴∠BOA′=45°‎ ‎∵OA=OA′，OB=OB ‎∴△AOB≌△A′OB ‎∵S△BOD=S△AOC=2×=1‎ ‎∴S△AOB=2‎ 故答案为：2‎ ‎　‎ ‎18．（3分）如图，将含有30°角的直角三角板ABC放入平面直角坐标系，顶点A、B分别落在x、y轴的正半轴上，∠OAB=60°，点A的坐标为（1，0）．将三角板ABC沿x轴向右作无滑动的滚动（先绕点A按顺时针方向旋转60°，再绕点C按顺时针方向旋转90°…），当点B第一次落在x轴上时，则点B运动的路径与两坐标轴围成的图形面积是　　．‎ ‎【分析】利用三角函数能把三角形ABC各边长度解出，画出几个旋转过程，点B运动的轨迹，结合图形分析可得所求面积转化为扇形面积与三角形面积之和．‎ ‎【解答】解：由点A的坐标为（1，0）．得OA=1，又∵∠OAB=60°，∴AB=2，‎ ‎∵∠ABC=30°，AB=2，∴AC=1，BC=，‎ 在旋转过程中，三角板的长度和角度不变，‎ ‎∴点B运动的路径与两坐标轴围成的图形面积 ‎=．‎ 故答案：‎ ‎　‎ 三、填空题（本题包括10小题，共96分）‎ ‎19．（8分）解方程组：．‎ ‎【分析】直接利用加减消元法解方程得出答案．‎ ‎【解答】解：，‎ ‎①×2﹣②得：‎ ‎﹣x=﹣6，‎ 解得：x=6，‎ 故6+2y=0，‎ 解得：y=﹣3，‎ 故方程组的解为：．‎ ‎　‎ ‎20．（8分）计算：（﹣2）2﹣（π﹣）0+|﹣2|+2sin60°．‎ ‎【分析】本题涉及乘方、零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．‎ ‎【解答】解：原式=4﹣1+2﹣+2×，‎ ‎=4﹣1+2﹣+，‎ ‎=5．‎ ‎　‎ ‎21．（8分）某市举行“传承好家风”征文比赛，已知每篇参赛征文成绩记m分（60≤m≤100），组委会从1000篇征文中随机抽取了部分参赛征文，统计了它们的成绩，并绘制了如图不完整的两幅统计图表．‎ 征文比赛成绩频数分布表 分数段 频数 频率 ‎60≤m＜70‎ ‎38‎ ‎0.38‎ ‎70≤m＜80‎ a ‎0.32‎ ‎80≤m＜90‎ b c ‎90≤m≤100‎ ‎10‎ ‎0.1‎ 合计 ‎1‎ 请根据以上信息，解决下列问题：‎ ‎（1）征文比赛成绩频数分布表中c的值是　0.2　；‎ ‎（2）补全征文比赛成绩频数分布直方图；‎ ‎（3）若80分以上（含80分）的征文将被评为一等奖，试估计全市获得一等奖征文的篇数．‎ ‎【分析】（1）依据1﹣0.38﹣0.32﹣0.1，即可得到c的值；‎ ‎（2）求得各分数段的频数，即可补全征文比赛成绩频数分布直方图；‎ ‎（3）利用80分以上（含80分）的征文所占的比例，即可得到全市获得一等奖征文的篇数．‎ ‎【解答】解：（1）1﹣0.38﹣0.32﹣0.1=0.2，‎ 故答案为：0.2；‎ ‎（2）10÷0.1=100，‎ ‎100×0.32=32，100×0.2=20，‎ 补全征文比赛成绩频数分布直方图：‎ ‎（3）全市获得一等奖征文的篇数为：1000×（0.2+0.1）=300（篇）．‎ ‎　‎ ‎22．（8分）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边CB、AD的延长线上，且BE=DF，EF分别与AB、CD交于点G、H．求证：AG=CH．‎ ‎【分析】利用平行四边形的性质得出AF=EC，再利用全等三角形的判定与性质得出答案．‎ ‎【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD=BC，∠A=∠C，AD∥BC，‎ ‎∴∠E=∠F，‎ ‎∵BE=DF，‎ ‎∴AF=EC，‎ 在△AGF和△CHE中 ‎，‎ ‎∴△AGF≌△CHE（ASA），‎ ‎∴AG=CH．‎ ‎　‎ ‎23．（10分）有2部不同的电影A、B，甲、乙、丙3人分别从中任意选择1部观看．‎ ‎（1）求甲选择A部电影的概率；‎ ‎（2）求甲、乙、丙3人选择同1部电影的概率（请用画树状图的方法给出分析过程，并求出结果）．‎ ‎【分析】（1）直接利用概率公式求解；‎ ‎（2）画树状图展示所有8种等可能的结果数，找出甲、乙、丙3人选择同1部电影的结果数，然后利用概率公式求解．‎ ‎【解答】解：（1）甲选择A部电影的概率=；‎ ‎（2）画树状图为：‎ 共有8种等可能的结果数，其中甲、乙、丙3人选择同1部电影的结果数为2，‎ 所以甲、乙、丙3人选择同1部电影的概率==．‎ ‎　‎ ‎24．（10分）某种型号汽车油箱容量为40L，每行驶100km耗油10L．设一辆加满油的该型号汽车行驶路程为x（km），行驶过程中油箱内剩余油量为y（L）．‎ ‎（1）求y与x之间的函数表达式；‎ ‎（2）为了有效延长汽车使用寿命，厂家建议每次加油时油箱内剩余油量不低于油箱容量的，按此建议，求该辆汽车最多行驶的路程．‎ ‎【分析】（1）根据题意可知，y=40﹣，即y=﹣0.1x+40‎ ‎（2）油箱内剩余油量不低于油箱容量的，即当y=40×=10，求x的值．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可知：y=40﹣，即y=﹣0.1x+40‎ ‎∴y与x之间的函数表达式：y=﹣0.1x+40．‎ ‎（2）∵油箱内剩余油量不低于油箱容量的 ‎∴y≥40×=10，则﹣0.1x+40≥10．‎ ‎∴x≤300‎ 故，该辆汽车最多行驶的路程是300km．‎ ‎　‎ ‎25．（10分）如图，为了测量山坡上一棵树PQ的高度，小明在点A处利用测角仪测得树顶P的仰角为45°，然后他沿着正对树PQ的方向前进10m到达点B处，此时测得树顶P和树底Q的仰角分别是60°和30°，设PQ垂直于AB，且垂足为C．‎ ‎（1）求∠BPQ的度数；‎ ‎（2）求树PQ的高度（结果精确到0.1m，≈1.73）．‎ ‎【分析】（1）延长PQ交直线AB于点C，根据直角三角形两锐角互余求得即可；‎ ‎（2）设PC=x米，在直角△APC和直角△BPC中，根据三角函数利用x表示出AC和BC，根据AB=AC﹣BC即可列出方程求得x的值，再在直角△BQC中利用三角函数求得QC的长，则PQ的长度即可求解．‎ ‎【解答】解：延长PQ交直线AB于点C，‎ ‎（1）∠BPQ=90°﹣60°=30°；‎ ‎（2）设PC=x米．‎ 在直角△APC中，∠PAC=45°，‎ 则AC=PC=x米；‎ ‎∵∠PBC=60°，‎ ‎∴∠BPC=30°．‎ 在直角△BPC中，BC=PC=x米，‎ ‎∵AB=AC﹣BC=10，‎ ‎∴x﹣x=10，‎ 解得：x=15+5．‎ 则BC=（5+5）米．‎ 在直角△BCQ中，QC=BC=（5+5）=（5+）米．‎ ‎∴PQ=PC﹣QC=15+5﹣（5+）=10+≈15.8（米）．‎ 答：树PQ的高度约为15.8米．‎ ‎　‎ ‎26．（10分）如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与 OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．‎ ‎（1）求证：PC是⊙O的切线；‎ ‎（2）若∠ABC=60°，AB=10，求线段CF的长．‎ ‎【分析】（1）连接OC，可以证得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到：∠OCP=90°，即OC⊥PC，即可证得；‎ ‎（2）先证△OBC是等边三角形得∠COB=60°，再由（1）中所证切线可得∠OCF=90°，结合半径OC=5可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）连接OC，‎ ‎∵OD⊥AC，OD经过圆心O，‎ ‎∴AD=CD，‎ ‎∴PA=PC，‎ 在△OAP和△OCP中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△OAP≌△OCP（SSS），‎ ‎∴∠OCP=∠OAP ‎∵PA是半⊙O的切线，‎ ‎∴∠OAP=90°．‎ ‎∴∠OCP=90°，‎ 即OC⊥PC ‎∴PC是⊙O的切线．‎ ‎（2）∵OB=OC，∠OBC=60°，‎ ‎∴△OBC是等边三角形，‎ ‎∴∠COB=60°，‎ ‎∵AB=10，‎ ‎∴OC=5，‎ 由（1）知∠OCF=90°，‎ ‎∴CF=OCtan∠COB=5．‎ ‎　‎ ‎27．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x﹣a）（x﹣3）（0＜a＜‎ ‎3）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CP⊥x轴，垂足为点P，连接AD、BC．‎ ‎（1）求点A、B、D的坐标；‎ ‎（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值；‎ ‎（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）根据函数解析式可以直接得到抛物线与x轴的两个交点坐标；令x=0，即可求得点D的纵坐标；‎ ‎（2）由抛物线顶点坐标公式求得点C的坐标，易得线段PB、PC的长度；‎ ‎①若△AOD∽△BPC时，则=，将相关线段的长度代入求得a的值；‎ ‎②若△AOD∽△CPB时，则=，将相关线段的长度代入求得a的值；‎ ‎（3）能．理由如下：联结BD，取中点M，则D、O、B在同一个圆上，且圆心M为（，a）．若点C也在圆上，则MC=MB．根据两点间的坐标求得相关线段的长度，借助于方程解答即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵y=（x﹣a）（x﹣3）（0＜a＜3），‎ ‎∴A（a，0），B（3，0）．‎ 当x=0时，y=3a，‎ ‎∴D（0，3a）；‎ ‎（2）∵A（a，0），B（3，0），‎ ‎∴对称轴直线方程为：x=．‎ 当x=时，y=﹣（）2，‎ ‎∴C（，﹣（）2），‎ PB=3﹣，PC=（）2，‎ ‎①若△AOD∽△BPC时，则=，即=，‎ 解得a=±3（舍去）；‎ ‎②若△AOD∽△CPB时，则=，即=，‎ 解得a=3（舍去）或a=．‎ 所以a的值是．‎ ‎（3）能．理由如下：‎ 联结BD，取中点M ‎∵D、O、B在同一个圆上，且圆心M为（，a）．‎ 若点C也在圆上，则MC=MB．即（﹣）2+（a+（）2）2=（﹣3）2+（a﹣0）2，‎ 整理，得 a4﹣14a2+45=0，‎ 所以（a2﹣5）（a2﹣9）=0，‎ 解得a1=，a2=﹣（舍），a3=3（舍），a4=﹣3（舍），‎ ‎∴a=．‎ ‎　‎ ‎28．（12分）如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点E、F分别在边AB、CD上，将正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M始终落在边AD上（点M不与点A、D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，设BE=x．‎ ‎（1）当AM=时，求x的值；‎ ‎（2）随着点M在边AD上位置的变化，△PDM的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值；‎ ‎（3）设四边形BEFC的面积为S，求S与x之间的函数表达式，并求出S的最小值．‎ ‎【分析】（1）利用勾股定理构建方程，即可解决问题；‎ ‎（2）设AM=y，则BE=EM=x，MD=1﹣y，在Rt△AEM中，由勾股定理得出x、y的关系式，可证Rt△AEM∽Rt△DMP，根据相似三角形的周长比等于相似比求△DMP的周长；‎ ‎（3）作FH⊥AB于H．则四边形BCFH是矩形．连接BM交FN于O，交FH于K．根据梯形的面积公式构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题即可；‎ ‎【解答】解：（1）如图，在Rt△AEM中，AE=1﹣x，EM=BE=x，AM=，‎ ‎∵AE2+AM2=EM2，‎ ‎∴（1﹣x）2+（）2=x2，‎ ‎∴x=．‎ ‎（2）△PDM的周长不变，为2．‎ 理由：设AM=y，则BE=EM=x，MD=1﹣y，‎ 在Rt△AEM中，由勾股定理得AE2+AM2=EM2，‎ ‎（1﹣x）2+y2=x2，解得1+y2=2x，‎ ‎∴1﹣y2=2（1﹣x）‎ ‎∵∠EMP=90°，∠A=∠D，‎ ‎∴Rt△AEM∽Rt△DMP，‎ ‎∴=，即=，‎ 解得DM+MP+DP==2．‎ ‎∴△DMP的周长为2．‎ ‎（3）作FH⊥AB于H．则四边形BCFH是矩形．连接BM交FN于O，交FH于K．‎ 在Rt△AEM中，AM==，‎ ‎∵B、M关于EF对称，‎ ‎∴BM⊥EF，‎ ‎∴∠KOF=∠KHB，∵∠OKF=∠BKH，‎ ‎∴∠KFO=∠KBH，‎ ‎∵AB=BC=FH，∠A=∠FHE=90°，‎ ‎∴△ABM≌△HFE，‎ ‎∴EH=AM=，‎ ‎∴CF=BH=x﹣，‎ ‎∴S=（BE+CF）•BC=（x+x﹣）=[（）2﹣+1]=（‎ ‎﹣）2+．‎ 当=时，S有最小值=．‎ ‎　‎