镇江市2020年中考数学试题及答案

镇江市2020年中考数学试题及答案

镇江市 2020 年中考数学试题及答案 1．下列计算正确的是（ ） A．a3+a3＝a6 B．（a3）2＝a6 C．a6÷a2＝a3 D．（ab）3＝ab3 2．如图，将棱长为 6的正方体截去一个棱长为 3的正方体后，得到一个新的几何体， 这个几何体的主视图是（ ） A． B． C． D． 3．一次函数 y＝kx+3（k≠0）的函数值 y随 x的增大而增大，它的图象不经过的象限是 （ ） A．第一 B．第二 C．第三 D．第四 4．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠ADC＝106°，则∠CAB等于 （ ） A．10° B．14° C．16° D．26° 5．点 P(m，n)在以 y轴为对称轴的二次函数 y＝x2+ax+4的图象上．则 m﹣n的最大值 等于（ ） A． 15 4 B．4 C．﹣ 15 4 D．﹣ 17 4 6．如图①，AB＝5，射线 AM∥BN，点 C在射线 BN上，将△ABC沿 AC所在直线翻折， 点 B的对应点 D落在射线 BN上，点 P，Q分别在射线 AM、BN上，PQ∥AB．设 AP ＝x，QD＝y．若 y关于 x的函数图象（如图②）经过点 E(9，2)，则 cosB的值等于 （ ） A． 2 5 B． 1 2 C． 3 5 D． 7 10 7． 2 3 倒数是________． 8．使 x 2 有意义的 x的取值范围是______． 9．分解因式：9x2-1=______． 10．2020年我国将完成脱贫攻坚目标任务．从 2012年底到 2019年底，我国贫困人口 减少了 93480000人，用科学记数法把 93480000表示为_____． 11．一元二次方程 x2﹣2x=0的解是 ． 12．一只不透明的袋子中装有 5个红球和 1个黄球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从 中任意摸出 1个球，摸出红球的概率等于_____． 13．圆锥底面圆半径为 5，母线长为 6，则圆锥侧面积等于_____． 14．点 O是正五边形 ABCDE的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组 成了一幅美丽的图案（如图）．这个图案绕点 O至少旋转_____°后能与原来的图案互 相重合． 15．根据数值转换机的示意图，输出的值为_____． 16．如图，点 P是正方形 ABCD内位于对角线 AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的 度数为_____°． 17．在从小到大排列的五个数 x，3，6，8，12中再加入一个数，若这六个数的中位数、 平均数与原来五个数的中位数、平均数分别相等，则 x的值为_____． 18．如图，在△ABC中，BC＝3，将△ABC平移 5个单位长度得到△A1B1C1，点 P、Q分 别是 AB、A1C1的中点，PQ的最小值等于_____． 19．（1）计算：4sin60°﹣ 12 +( 3﹣1)0； （2）化简(x+1)÷(1+ 1 x )． 20．（1）解方程： 2 3 x x  ＝ 1 3x  +1； （2）解不等式组： 4 2 7 3( 2) 4 x x x x        21．如图，AC是四边形 ABCD的对角线，∠1＝∠B，点 E、F分别在 AB、BC上，BE ＝CD，BF＝CA，连接 EF． （1）求证：∠D＝∠2； （2）若 EF∥AC，∠D＝78°，求∠BAC的度数． 22．教育部发布的义务教育质量监测结果报告显示，我国八年级学生平均每天的睡眠时 间达 9小时及以上的比例为 19.4%．某校数学社团成员采用简单随机抽样的方法，抽取 了本校八年级 50名学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间 t（单位：小时）进行了调 查，将数据整理后绘制成下表： 平均每天的 睡眠时间分 组 5≤t＜6 6≤t＜7 7≤t＜8 8≤t＜9 9小时及以上 频数 1 5 m 24 n 该样本中学生平均每天的睡眠时间达 9小时及以上的比例高于全国的这项数据，达到了 22%． （1）求表格中 n的值； （2）该校八年级共 400名学生，估计其中平均每天的睡眠时间在 7≤t＜8这个范围内 的人数是多少． 23．智慧的中国古代先民发明了抽象的符号来表达丰富的含义．例如，符号“ ” 有刚毅的含义，符号“ ”有愉快的含义．符号中的“ ”表示“阴”，“ ” 表示“阳”，类似这样自上而下排成的三行符号还有其他的含义．所有这些三行符号中， 每一行只有一个阴或一个阳，且出现阴、阳的可能性相同． （1）所有这些三行符号共有 种； （2）若随机画一个这样的三行符号，求“画出含有一个阴和两个阳的三行符号”的概 率． 24．如图，点 E与树 AB的根部点 A、建筑物 CD的底部点 C在一条直线上，AC＝10m．小 明站在点 E处观测树顶 B的仰角为 30°，他从点 E出发沿 EC方向前进 6m到点 G时， 观测树顶 B的仰角为 45°，此时恰好看不到建筑物 CD的顶部 D（H、B、D三点在一 条直线上）．已知小明的眼睛离地面 1.6m，求建筑物 CD的高度（结果精确到 0.1m）．（参 考数据： 2 ≈1.41， 3≈1.73．） 25．如图，正比例函数 y＝kx（k≠0）的图象与反比例函数 y＝﹣ 8 x 的图象交于点 A(n， 2)和点 B． （1）n＝ ，k＝ ； （2）点 C在 y轴正半轴上．∠ACB＝90°，求点 C的坐标； （3）点 P（m，0）在 x轴上，∠APB为锐角，直接写出 m的取值范围． 26．如图，▱ ABCD中，∠ABC的平分线 BO交边 AD于点 O，OD＝4，以点 O为圆心， OD长为半径作⊙O，分别交边 DA、DC于点 M、N．点 E在边 BC上，OE交⊙O于点 G，G为MN的中点． （1）求证：四边形 ABEO为菱形； （2）已知 cos∠ABC＝ 1 3 ，连接 AE，当 AE与⊙O相切时，求 AB的长． 27．（算一算） 如图①，点 A、B、C在数轴上，B为 AC的中点，点 A表示﹣3，点 B表示 1，则点 C 表示的数为 ，AC长等于 ； （找一找） 如图②，点 M、N、P、Q中的一点是数轴的原点，点 A、B分别表示实数 2 2 ﹣1、 2 2 +1， Q是 AB的中点，则点 是这个数轴的原点； （画一画） 如图③，点 A、B分别表示实数 c﹣n、c+n，在这个数轴上作出表示实数 n的点 E（要 求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （用一用） 学校设置了若干个测温通道，学生进校都应测量体温，已知每个测温通道每分钟可检测 a个学生．凌老师提出了这样的问题：假设现在校门口有 m个学生，每分钟又有 b个学 生到达校门口．如果开放 3个通道，那么用 4分钟可使校门口的学生全部进校；如果开 放 4个通道，那么用 2分钟可使校门口的学生全部进校．在这些条件下，a、m、b会有 怎样的数量关系呢？ 爱思考的小华想到了数轴，如图④，他将 4分钟内需要进校的人数 m+4b记作+(m+4b)， 用点 A表示；将 2分钟内由 4个开放通道检测后进校的人数，即校门口减少的人数 8a 记作﹣8a，用点 B表示． ①用圆规在小华画的数轴上分别画出表示+（m+2b）、﹣12a的点 F、G，并写出+(m+2b) 的实际意义； ②写出 a、m的数量关系： ． 28．如图①，直线 l经过点（4，0）且平行于 y轴，二次函数 y＝ax2﹣2ax+c（a、c是 常数，a＜0）的图象经过点 M(﹣1，1)，交直线 l于点 N，图象的顶点为 D，它的对称 轴与 x轴交于点 C，直线 DM、DN分别与 x轴相交于 A、B两点． （1）当 a＝﹣1时，求点 N的坐标及 AC BC 的值； （2）随着 a的变化， AC BC 的值是否发生变化？请说明理由； （3）如图②，E是 x轴上位于点 B右侧的点，BC＝2BE，DE交抛物线于点 F．若 FB ＝FE，求此时的二次函数表达式． 参考答案 1．B 【解析】 【分析】 根据合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的计算法则进行计算即可． 【详解】 解： 3 3 32a a a  ，因此选项 A不正确； 3 2 3 2 6( )a a a  ，因此选项 B正确； 6 2 6 2 4a a a a   ，因此选项C不正确； 3 3 3( )ab a b ，因此选项D不正确； 故选：B． 【点睛】 本题考查合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的计算方法，掌握相关运算 方法是解题的关键． 2．A 【解析】 【分析】 根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案． 【详解】 解：从正面看是一个正方形，正方形的右上角是一个小正方形， 故选：A． 【点评】 本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图． 3．D 【解析】 【分析】 根据一次函数 y＝kx+3（k≠0）的函数值 y随 x的增大而增大，可以得到 k＞0，与 y轴的交 点为（0，3），然后根据一次函数的性质，即可得到该函数图象经过哪几个象限，不经过哪 个象限，从而可以解答本题． 【详解】 解：∵一次函数 y＝kx+3（k≠0）的函数值 y随 x的增大而增大， ∴k＞0，该函数过点（0，3）， ∴该函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 故选：D． 【点睛】 本题考查了一次函数的性质及一次函数的图象．解答本题的关键是明确题意，利用一次函数 的性质解答． 4．C 【解析】 【分析】 连接 BD，如图，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，则可计算出∠BDC＝16°，然后根据 圆周角定理得到∠CAB的度数． 【详解】 解：连接 BD，如图， ∵AB是半圆的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝106°﹣90°＝16°， ∴∠CAB＝∠BDC＝16°． 故选：C． 【点睛】 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所 对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 5．C 【解析】 【分析】 根据题意，可以得到 a的值以及 m和 n的关系，然后将 m、n作差，利用二次函数的性质， 即可求出 m﹣n的最大值． 【详解】 解：∵点 P（m，n）在以 y轴为对称轴的二次函数 y＝x2+ax+4的图象上， ∴a＝0， ∴n＝m2+4， ∴m﹣n＝m﹣（m2+4）＝﹣m2+m﹣4＝﹣（m﹣ 1 2 ）2﹣ 15 4 ， ∴当 m＝ 1 2 时，m﹣n取得最大值，此时 m﹣n＝﹣ 15 4 ， 故选：C． 【点睛】 本题考查了二次函数的图象与性质，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握二次函数的性 质是解题的关键． 6．D 【解析】 【分析】 由题意可得四边形 ABQP是平行四边形，可得 AP＝BQ＝x，由图象②可得当 x＝9时，y＝2， 此时点 Q在点 D下方，且 BQ＝x＝9时，y＝2，如图①所示，可求 BD＝7，由折叠的性质 可求 BC的长，由锐角三角函数可求解． 【详解】 解：∵AM∥BN，PQ∥AB， ∴四边形 ABQP是平行四边形， ∴AP＝BQ＝x， 由图②可得当 x＝9时，y＝2， 此时点 Q在点 D下方，且 BQ＝x＝9时，y＝2，如图①所示， ∴BD＝BQ﹣QD＝x﹣y＝7， ∵将△ABC沿 AC所在直线翻折，点 B的对应点 D落在射线 BN上， ∴BC＝CD＝ 1 2 BD＝ 7 2 ，AC⊥BD， ∴cosB＝ BC AB ＝ 7 2 5 ＝ 7 10 ， 故选：D． 【点睛】 本题考查了平行四边形的判定与性质，折叠的性质，锐角三角函数等知识．理解函数图象上 的点的具体含义是解题的关键． 7． 3 2 【解析】 【分析】 【详解】 因为互为倒数的两个数的乘积为 1，所以 2 3 倒数是 3 2 故答案为： 3 2 ． 【点睛】 本题主要考查倒数的定义,解决本题的关键是要掌握倒数的定义． 8． x 2 【解析】 二次根式有意义的条件． 【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使 x 2 在实数范围内有意义， 必须 x 2 0 x 2    ． 9．(3x+1)(3x-1) 【解析】 【分析】 式子符合平方差公式的结构特点，利用平方差公式分解即可． 【详解】 解：9x2-1， =(3x)2-12， =(3x+1)(3x-1)． 【点睛】 本题考查了平方差公式因式分解，熟记平方差公式的特点：两项平方项，符号相反是解题的 关键． 10．9.348×107 【解析】 【分析】 科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中 1≤|a|＜10，n为整数．确定 n的值是易错点， 由于 93480000有 8位，所以可以确定 n＝8﹣1＝7． 【详解】 解：93480000＝9.348×107． 故答案为：9.348×107． 【点睛】 本题考查科学记数法，熟记科学记数法的表示形式，会确定 n值是解答的关键． 11． 1 2x 0 x 2 ， 【解析】 【分析】 方程整理后，利用因式分解法求出解即可． 【详解】 方程整理得：x（x﹣2）=0， 可得 x=0或 x﹣2=0， 解得：x1=0，x2=2． 故答案为 x1=0，x2=2. 12． 5 6 【解析】 【分析】 根据概率计算公式，用红球的个数除以球的总个数即可得． 【详解】 解：∵袋子中共有 5+1＝6个小球，其中红球有 5个， ∴搅匀后从中任意摸出 1个球，摸出红球的概率等于 5 6 ， 故答案为： 5 6 ． 【点睛】 本题考查了概率计算，熟练掌握概率计算方法是解答的关键． 13．30π 【解析】 【分析】 利用扇形的面积公式计算圆锥侧面积． 【详解】 解：圆锥侧面积＝ 1 2 ×2π×5×6＝30π． 故答案为 30π． 【点睛】 本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长， 扇形的半径等于圆锥的母线长． 14．72 【解析】 【分析】 直接利用旋转图形的性质进而得出旋转角． 【详解】 解：连接 OA，OE，则这个图形至少旋转∠AOE才能与原图象重合， ∠AOE＝ 360 5  ＝72°． 故答案为：72． 【点睛】 本题主要考查了旋转图形．正确掌握旋转图形的性质是解题的关键． 15． 1 9 【解析】 【分析】 利用代入法和负整数指数幂的计算方法进行计算即可． 【详解】 解：当 x＝﹣3时，31+x＝3﹣2＝ 1 9 ， 故答案为： 1 9 ． 【点睛】 本题考查了代入求值及负整数指数幂．用具体的数值代替代数式中的字母，按照代数式规定 的运算，求出的结果即为代数式的值． 16．135 【解析】 【分析】 由正方形的性质可得∠ACB＝∠BAC＝45°，可得∠2＋∠BCP＝45°＝∠1＋∠BCP，由三角 形内角和定理可求解． 【详解】 解：∵四边形 ABCD是正方形， ∴∠ACB＝∠BAC＝45°， ∴∠2+∠BCP＝45°， ∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠BCP＝45°， ∵∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠BCP， ∴∠BPC＝135°， 故答案为：135． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，掌握正方形的性质是本题的关键． 17．1 【解析】 【分析】 原来五个数的中位数是 6，如果再加入一个数，变成了偶数个数，则中位数是中间两位数的 平均数，由此可知加入的一个数是 6，再根据平均数的公式得到关于 x的方程，解方程即可 求解． 【详解】 解：从小到大排列的五个数 x，3，6，8，12的中位数是 6， ∵再加入一个数，这六个数的中位数与原来五个数的中位数相等， ∴加入的一个数是 6， ∵这六个数的平均数与原来五个数的平均数相等， ∴ ( ) ( )1 6 1 3 6 8 12 3 6 6 8 12 5 x x+ + + + = + + + + + 解得 x＝1． 故答案为：1． 【点睛】 本题考查了确定一组数据的中位数和平均数，熟悉相关性质是解题的关键． 18． 7 2 【解析】 【分析】 取 AC的中点M ， 1 1A B 的中点N ，连接PM，MQ，NQ， PN ，根据平移的性质和三 角形的三边关系即可得到结论． 【详解】 解：取 AC的中点M ， 1 1A B 的中点N ，连接PM，MQ，NQ， PN ， 将 ABC 平移 5个单位长度得到△ 1 1 1A BC ， 1 1 3BC BC = = ， 5PN = ， 点 P、Q分别是 AB、 1 1AC 的中点， 1 1 1 3 2 2 NQ BC = = ， 3 35 5 2 2 PQ - +„ „ ， 即 7 13 2 2 PQ„ „ ， PQ 的最小值等于 7 2 ， 故答案为： 7 2 ． 【点睛】 本题考查了平移的性质，三角形的三边关系，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 19．（1）1；（2）x． 【解析】 【分析】 （1）先求三角函数值、化简二次根式、计算零指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）先计算括号内分式的加法，再将除法转化为乘法，最后约分即可． 【详解】 解：（1）原式＝4× 3 2 ﹣2 3 +1 ＝2 3﹣2 3 +1 ＝1； （2）原式＝（x+1）÷（ 1x x x  ） ＝（x+1）÷ 1x x  ＝（x+1）• 1 x x  ＝x． 【点睛】 本题考查特殊角的三角函数值、二次根式化简、零指数幂、分式的混合运算，熟练掌握这些 知识的运算顺序和运算法则是解答的关键． 20．（1）x＝4；（2）﹣3＜x＜5． 【解析】 【分析】 （1）解分式方程的步骤有：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为 1，检验； （2）先求出每个不等式的解集，再在数轴上表示出其解集，然后根据是否存在公共部分求 解即可． 【详解】 解：（1） 2 3 x x  ＝ 1 3x  +1， 2x＝1+x+3， 2x﹣x＝1+3， x＝4， 经检验，x＝4是原方程的解， ∴此方程的解是 x＝4； （2）   4 2 7 3 2 4 x x x x        ① ② ， 由①得，4x﹣x＞﹣2﹣7， 3x＞﹣9， x＞﹣3； 由②得，3x﹣6＜4+x， 3x﹣x＜4+6， 2x＜10， x＜5， 两个不等式的解集在数轴上表示为： ∴不等式组的解集是﹣3＜x＜5． 【点睛】 此题考查了解一元一次不等式组、分式方程，要掌握解方程和不等式的步骤和方法，解分式 方程时要进行检验． 21．（1）证明见解析；（2）78°． 【解析】 【分析】 （1）由“SAS”可证△BEF≌△CDA，可得∠D＝∠2； （2）由（1）可得∠D＝∠2＝78°，由平行线的性质可得∠2＝∠BAC＝78°． 【详解】 证明：（1）在△BEF和△CDA中， 1 BE CD B BF CA      ， ∴△BEF≌△CDA（SAS）， ∴∠D＝∠2； （2）∵∠D＝∠2，∠D＝78°， ∴∠D＝∠2＝78°， ∵EF∥AC， ∴∠2＝∠BAC＝78°． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质．证明△BEF≌△CDA是解题的关键 22．（1）11；（2）72． 【解析】 【分析】 （1）根据频率＝ 频数 总体数量 求解可得； （2）先根据频数的和是 50求出 m的值，再用总人数乘以样本中平均每天的睡眠时间在 7≤t ＜8这个范围内的人数所占比例即可． 【详解】 解：（1）n＝50×22%＝11； （2）m＝50﹣1﹣5﹣24﹣11＝9， 所以估计该校平均每天的睡眠时间在 7≤t＜8这个范围内的人数是 400× 9 50 ＝72（人）． 【点睛】 本题考查了频数分布表和利用样本估计总体等知识，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌 握上述基本知识是解题的关键． 23．（1）8；（2） 3 8 ． 【解析】 【分析】 （1）用列举法举出所有等可能的结果数即可； （2）根据（1）列举的结果数和概率公式即可得出答案． 【详解】 解：（1）共有 8种等可能的情况数，分别是：阴，阴，阴；阴，阳，阴；阴，阴，阳；阳， 阴，阴；阳，阳，阴；阳，阴，阳；阴，阳，阳；阳、阳、阳； 故答案为：8； （2）根据第（1）问一个阴、两个阳的共有 3种， 则有一个阴和两个阳的三行符号”的概率是 3 8 ． 【点睛】 本题考查了用列举法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况之比． 24．19.8m． 【解析】 【分析】 延长 FH，交 CD于点 M，交 AB于点 N，求 CD，只需求出 DM即可，即只要求出 HN就可 以，在 Rt△BNF中，设 BN＝NH＝x，则根据 tan∠BFN＝ BN NF 就可以求出 x的值，再根据 等腰直角三角形的性质和线段的和可求得 CD的长． 【详解】 解：如图，延长 FH，交 CD于点 M，交 AB于点 N， ∵ ∠BHN＝45°，BA⊥MH， 则 BN＝NH， 设 BN＝NH＝x， ∵ HF＝6，∠BFN＝30°，且 tan∠BFN＝ BN NF ＝ BN NH HF ， ∴tan30°＝ 6 x x  ， 解得 x≈8.22， 根据题意可知： DM＝MH＝MN+NH， ∵ MN＝AC＝10， 则 DM＝10+8.22＝18.22， ∴ CD＝DM+MC＝DM+EF＝18.22+1.6＝19.82≈19.8（m）． 答：建筑物 CD的高度约为 19.8m． 【点睛】 本题考查解直角三角形应用-仰角俯角问题，理解仰角俯角的概念，根据题意构造直角三角 形，利用锐角三角函数解直角三角形是解答的关键． 25．（1）﹣4，﹣ 1 2 ；（2）C(0，2 5 )；（3）m＜﹣2 5或 m＞2 5 【解析】 【分析】 （1）把 A点坐标代入反比例函数解析式求得 n，再把求得的 A点坐标代入正比例函数解析 式求得 k； （2）可设点 C（0，b），只要求出 b的值就行，求值一般的方法是相似和勾股定理，此题用 相似，只需证明△ACD∽△CBE即可； （3）在 x轴上找到点 P1，P2，使 AP1⊥P1B，AP2⊥BP2，则点 P在 P1的左边，在 P2的右边 就符合要求了． 【详解】 解：（1）把 A（n，2）代入反比例函数 y＝﹣ 8 x 中，得 n＝﹣4， ∴ A（﹣4，2）， 把 A（﹣4，2）代入正比例函数 y＝kx（k≠0）中，得 k＝﹣ 1 2 ， 故答案为：﹣4；﹣ 1 2 ； （2）如图 1，过 A作 AD⊥y轴于 D，过 B作 BE⊥y轴于 E， ∵ A（﹣4，2）， ∴ 根据双曲线与正比例函数图象的对称性得 B（4，﹣2）， 设 C（0，b），则 CD＝b﹣2，AD＝4，BE＝4，CE＝b+2， ∵ ∠ACO+∠OCB＝90°，∠OCB+∠CBE＝90°， ∴ ∠ACO＝∠CBE， ∵ ∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴ △ACD∽△CBE， ∴ CD AD BE CE  ，即 2 4 4 2 b b    ， 解得，b＝2 5，或 b＝﹣2 5（舍）， ∴ C（0，2 5）； （3）如图 2，过 A作 AM⊥x轴于 M，过 B作 BN⊥x轴于 N，在 x轴上原点的两旁取两点 P1，P2，使得 OP1＝OP2＝OA＝OB， ∴ 2 2 1 2 4 2 2 5OP OP OA     ， ∴ P1（﹣2 5，0），P2（2 5，0）， ∵ OP1＝OP2＝OA＝OB， ∴ 四边形 AP1BP2为矩形， ∴ AP1⊥P1B，AP2⊥BP2， ∵ 点 P（m，0）在 x轴上，∠APB为锐角， ∴ P点必在 P1的左边或 P2的右边， ∴ m＜﹣2 5或 m＞2 5． 【点睛】 本题是正比例函数与反比例函数的综合题，涉及用待定系数法求解析式、利用相似三角形的 判定与性质求点的坐标、借助做辅助线构造矩形求满足条件的参数范围，解答关键是认真审 题，分析图象，找到相关信息的关联点，进而推理、计算． 26．（1）证明见解析；（2）2 6 ． 【解析】 【分析】 （1）先由 G为MN的中点及同弧所对的圆周角和圆心角的关系得出∠MOG＝∠MDN，再 由平行四边形的性质得出 AO∥BE，∠MDN+∠A＝180°，进而判定四边形 ABEO是平行四 边形，然后证明 AB＝AO，则可得结论； （2）过点 O作 OP⊥BA，交 BA的延长线于点 P，过点 O作 OQ⊥BC于点 Q，设 AB＝AO ＝OE＝x，则由 cos∠ABC＝ 1 3 ，可用含 x的式子分别表示出 PA、OP及 OQ，由勾股定理得 关于 x的方程，解得 x的值即可． 【详解】 解：（1）证明：∵G为MN的中点， ∴∠MOG＝∠MDN． ∵四边形 ABCD是平行四边形． ∴AO∥BE，∠MDN+∠A＝180°， ∴∠MOG+∠A＝180°， ∴AB∥OE， ∴四边形 ABEO是平行四边形． ∵BO平分∠ABE， ∴∠ABO＝∠OBE， 又∵∠OBE＝∠AOB， ∴∠ABO＝∠AOB， ∴AB＝AO， ∴四边形 ABEO为菱形； （2）如图，过点 O作 OP⊥BA，交 BA的延长线于点 P，过点 O作 OQ⊥BC于点 Q，设 AE 交 OB于点 F， 则∠PAO＝∠ABC， 设 AB＝AO＝OE＝x，则 ∵cos∠ABC＝ 1 3 ， ∴cos∠PAO＝ 1 3 ， ∴ PA AO ＝ 1 3 ， ∴PA＝ 1 3 x， ∴OP＝OQ＝ 2 2 3 x 当 AE与⊙O相切时，由菱形的对角线互相垂直，可知 F为切点， ∴由勾股定理得： 2 2 24 2 2( ) ( ) 8 3 3 x x  ， 解得：x＝2 6 ． ∴AB的长为 2 6 ． 【点睛】 本题主要考查菱形的证明，切线的性质，三角函数以及勾股定理，巧妙的作出辅助线和列出 勾股定理的方程是解决本题的关键． 27．（1）5，8；（2）N；（3）图见解析；（4）①+(m+2b)的实际意义：2分钟后，校门口需要 进入学校的学生人数，图见解析；②m＝4a． 【解析】 【分析】 （1）根据数轴上点 A对应﹣3，点 B对应 1，求得 AB的长，进而根据 AB＝BC可求得 AC 的长以及点 C表示的数； （2）可设原点为 O，根据条件可求得 AB中点表示的数以及线段 AB的长度，根据 AB＝2， 可得 AQ＝BQ＝1，结合 OQ的长度即可确定 N为数轴的原点； （3）设 AB的中点为 M，先求得 AB的长度，得到 AM＝BM＝n，根据线段垂直平分线的作 法作图即可； （4）①根据每分钟进校人数为 b，每个通道每分钟进入人数为 a，列方程组 4 12 2 8 m b a m b a      ， 根据 m+2b＝OF，m+4b＝12a，即可画出 F，G点，其中 m+2b表示两分钟后，校门口需要 进入学校的学生人数； ②解①中的方程组，即可得到 m＝4a． 【详解】 解：（1）【算一算】：记原点为 O， ∵AB＝1﹣（﹣3）＝4， ∴AB＝BC＝4， ∴OC＝OB+BC＝5，AC＝2AB＝8． 所以点 C表示的数为 5，AC长等于 8． 故答案为：5，8； （2）【找一找】：记原点为 O， ∵AB＝ 2 2 +1﹣（ 2 2 ﹣1）＝2， ∴AQ＝BQ＝1， ∴OQ＝OB﹣BQ＝ 2 2 +1﹣1＝ 2 2 ， ∴N为原点． 故答案为：N． （3）【画一画】：记原点为 O， 由 AB＝c+n﹣（c﹣n）＝2n， 作 AB的中点 M， 得 AM＝BM＝n， 以点 O为圆心， AM＝n长为半径作弧交数轴的正半轴于点 E， 则点 E即为所求； （4）【用一用】：在数轴上画出点 F，G；2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数为：m ＝4a． ∵4分钟内开放 3个通道可使学生全部进校， ∴m+4b＝3×a×4，即 m+4b＝12a（Ⅰ）； ∵2分钟内开放 4个通道可使学生全部进校， ∴m+2b＝4×a×2，即 m+2b＝8a（Ⅱ）； ①以 O为圆心，OB长为半径作弧交数轴的正半轴于点 F，则点 F即为所求． 作 OB的中点 E，则 OE＝BE＝4a，在数轴负半轴上用圆规截取 OG＝3OE＝12a， 则点 G即为所求． +（m+2b）的实际意义：2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数； ②方程（Ⅱ）×2﹣方程（Ⅰ）得：m＝4a． 故答案为：m＝4a． 【点睛】 本题考查了二元一次方程组的应用，实数与数轴，作图．解决本题的关键是根据题意找到等 量关系． 28．（1）N(4，﹣4)， AC BC ＝ 3 2 ；（2）不变，理由见解析；（3）y＝﹣ 75 68 x2+ 75 34 x+ 293 68 或 y ＝﹣ 5 68 x2+ 5 34 x+ 83 68 ． 【解析】 【分析】 （1）证明△DME∽△DAC，△DCB∽△DFN，则 ME DE AC DC  ， BC DC FN DF  ，求出 AC＝ 5 2 ， BC＝ 5 3 ，即可求解； （2）点 D(1，1﹣4a)，N(4，1+5a)，则 ME＝2，DE＝﹣4a，由（1）的结论得：AC＝ 1 4 2 a a   ， BC＝ 1 4 3 a a   ，即可求解； （3）利用△FHE∽△DCE，求出 F( 5 3 ﹣ 5 12a ， 1 6 ﹣ 2 3 a )，即可求解． 【详解】 解：（1）分别过点 M、N作 ME⊥CD于点 E，NF⊥DC于点 F， ∵ME∥FN∥x轴， ∴△DME∽△DAC，△DCB∽△DFN， ∴ ME DE AC DC  ， BC DC FN DF  ， ∵a＝﹣1，则 y＝﹣x2+2x+c， 将 M(﹣1，1)代入上式并解得：c＝4， ∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+4， 则点 D(1，5)，N(4，﹣4)， 则 ME＝2，DE＝4，DC＝5，FN＝3，DF＝9， ∴ 2 4 5, 5 3 9 BC AC   ，解得：AC＝ 5 2 ，BC＝ 5 3 ， ∴ AC BC ＝ 3 2 ； （2）不变，理由： ∵y＝ax2﹣2ax+c过点 M(﹣1，1)，则 a+2a+c＝1， 解得：c＝1﹣2a， ∴y＝ax2﹣2ax+(1﹣3a)， ∴点 D(1，1﹣4a)，N(4，1+5a)， ∴ME＝2，DE＝﹣4a， 由（1）的结论得：AC＝ 1 4 2 a a   ，BC＝ 1 4 3 a a   ， ∴ AC BC ＝ 3 2 ； （3）过点 F作 FH⊥x轴于点 H，则 FH∥l，则△FHE∽△DCE， ∵FB＝FE，FH⊥BE， ∴BH＝HE， ∵BC＝2BE， 则 CE＝6HE， ∵CD＝1﹣4a， ∴FH＝ 1 4 6 a ， ∵BC＝ 4 1 3 a a  ， ∴CH＝ 5 4 × 4 1 3 a a  ＝ 20 5 12 a a  ， ∴F( 5 3 ﹣ 5 12a ， 1 6 ﹣ 2 3 a )， 将点 F的坐标代入 y＝ax2﹣2ax+(1﹣3a)＝a(x+1)(x﹣3)+1得： 1 6 ﹣ 2 3 a＝a( 5 3 ﹣ 5 12a +1)( 5 3 ﹣ 5 12a ﹣3)+1， 解得：a＝﹣ 75 68 或﹣ 5 68 ， 故 y＝﹣ 75 68 x2+ 75 34 x+ 293 68 或 y＝﹣ 5 68 x2+ 5 34 x+ 83 68 ． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的综合运用等知识．综合性强．