2021年中考数学专题复习 专题46 中考数学分类讨论思想（教师版含解析）

2021年中考数学专题复习 专题46 中考数学分类讨论思想（教师版含解析）

专题 46 中考数学分类讨论思想 全国各地每年中考数学试题都离不开考查分类讨论的思想，分类讨论思想是在解决问题出现不确定性 时的有效方法。比如线段及端点的不确定；角的一边不确定；三角形形状不确定；等腰三角形腰或顶角不 确定；直角三角形斜边不确定；相似三角形对应角(边)不确定等，都需要我们正确地运用分类讨论的思想 进行解决。分类讨论思想不仅可以使我们有效地解决一些问题，同时还可以培养我们的观察能力和全面数 学思维能力。学生能够自觉合理的运用分类讨论的思想解决相应数学冋题，掌握分类讨论数学思想方法这 个锐利武器，提高学生的综合运用的能力和良好的思维品质。 1.分类讨论思想含义 数学问题比较复杂时，有时可以分解成若干小问题或一系列步骤进行分类并分别加以讨论的方法，我 们称为分类讨论法或分类讨论思想。 2.分类讨论一般应遵循以下原则 (1)对问题中的某些条件进行分类要遵循同一标准。 (2)分类要完整，不重复，不遗漏。 (3)有时分类并不是一次完成，还需进行逐级分类，对于不同级的分类，其分类标准不一定统一。 3.需要分类讨论的试题基本类型及其要求 (1)考查数学概念及定义的分类。熟练掌握数学中的概念及定义，其中以绝对值、方程及根的定义，函数的 定义尤为重要，必须明确讨论对象及原因，进而确定其存在的条件和标准。 (2)考查字母的取值情况或范围的分类。此类问题通常在函数中体现颇多，考查自变量的取值范围的分类， 解题中应十分注意性质、定理的使用条件及范围. (3)考查图形的位置关系或形状的分类。熟知直角三角形的直角，等腰三角形的腰与角以及圆的对称性，根 据图形的特殊性质，找准讨论对象，逐一解决. (4)考查图形的对应关系可能情况的分类。图形的对应关系多涉及到三角形的全等或相似问题，对其中可能 出现的有关角、边的可能对应情况加以分类讨论. 4.初中数学涉及分类讨论的常见问题 (1)绝对值中的分类讨论， (2)应用题中的方案类型， (3)概率统计中的分类讨论， (4)分式方程无解的分类讨论问题 (5)一元二次方程系数的分类讨论问题 (6)三角形的形状不定需要分类讨论 (7)等腰三角形的分类讨论 (8)相似三角形的对应角(或边)不确定而进行的分类 (9)常见平面问题中动点问题的分类讨论 (10)组合图形(一次函数、二次函数与平面图形等组合)中动点问题的分类。 (11)圆中的分类讨论等等。 【例题 1】(2020•凉山州)点 C 是线段 AB 的中点，点 D 是线段 AC 的三等分点．若线段 AB＝12cm，则线段 BD 的长为( ) A．10cm B．8cm C．10cm 或 8cm D．2cm 或 4cm 【答案】C 【分析】根据线段中点的定义和线段三等分点的定义即可得到结论． 【解析】∵C 是线段 AB 的中点，AB＝12cm， ∴AC＝BC AB ×12＝6(cm)， 点 D 是线段 AC 的三等分点， ①当 AD AC 时，如图， BD＝BC+CD＝BC AC＝6+4＝10(cm)； ②当 AD AC 时，如图， BD＝BC+CD′＝BC AC＝6+2＝8(cm)． 【对点练习】(2019 贵州贵阳)在平面直角坐标系内，已知点 A(﹣1，0)，点 B(1，1)都在直线 y＝ x+ 上， 若抛物线 y＝ax2﹣x+1(a≠0)与线段 AB 有两个不同的交点，则 a 的取值范围是( ) A．a≤﹣2 B．a＜ C．1≤a＜ 或 a≤﹣2 D．﹣2≤a＜ 【答案】C． 【解析】分 a＞0，a＜0 两种情况讨论，根据题意列出不等式组，可求 a 的取值范围． ∵抛物线 y＝ax2﹣x+1(a≠0)与线段 AB 有两个不同的交点， ∴令 x+ ＝ax2﹣x+1，则 2ax2﹣3x+1＝0 ∴△＝9﹣8a＞0 ∴a＜ ①当 a＜0 时， 解得：a≤﹣2 ∴a≤﹣2 ②当 a＞0 时， 解得：a≥1 ∴1≤a＜ 综上所述：1≤a＜ 或 a≤﹣2 【例题 2】(2020 浙江绍兴)如图，已知边长为 2 的等边三角形 ABC 中，分别以点 A，C 为圆心，m 为半径作 弧，两弧交于点 D，连结 BD．若 BD 的长为 2 ，则 m 的值为 ． 【分析】由作图知，点 D 在 AC 的垂直平分线上，得到点 B 在 AC 的垂直平分线上，求得 BD 垂直平分 AC，设 垂足为 E，得到 BE＝ ，当点 D、B 在 AC 的两侧时，如图，当点 D、B 在 AC 的同侧时，如图，解直角三角 形即可得到结论． 【解答】解：由作图知，点 D 在 AC 的垂直平分线上， ∵△ABC 是等边三角形， ∴点 B 在 AC 的垂直平分线上， ∴BD 垂直平分 AC， 设垂足为 E， ∵AC＝AB＝2，∴BE＝ ， 当点 D、B 在 AC 的两侧时，如图， ∵BD＝2 ，∴BE＝DE，∴AD＝AB＝2，∴m＝2； 当点 D、B 在 AC 的同侧时，如图， ∵BD′＝2 ，∴D′E＝3 ，[来源:学科网 ZXXK] ∴AD′＝ ＝2 ， ∴m＝2 ， 综上所述，m 的值为 2 或 2 ， 故答案为：2 或 2 ． 【对点练习】(2019 齐齐哈尔)等腰△ABC 中，BD⊥AC，垂足为点 D，且 BD＝ AC，则等腰△ABC 底角的度数 为 ． 【答案】15°或 45°或 75°． 【解析】分点 A 是顶点、点 A 是底角顶点、AD 在△ABC 外部和 AD 在△ABC 内部三种情况，根据等腰三角形 的性质、直角三角形的性质计算． ①如图 1，点 A 是顶点时， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD， ∵AD＝ BC， ∴AD＝BD＝CD， 在 Rt△ABD 中，∠B＝∠BAD＝ ×(180°﹣90°)＝45°； ②如图 2，点 A 是底角顶点，且 AD 在△ABC 外部时， ∵AD＝ BC，AC＝BC， ∴AD＝ AC， ∴∠ACD＝30°， ∴∠BAC＝∠ABC＝ ×30°＝15°； ③如图 3，点 A 是底角顶点，且 AD 在△ABC 内部时， ∵AD＝ BC，AC＝BC， ∴AD＝ AC， ∴∠C＝30°， ∴∠BAC＝∠ABC＝ (180°﹣30°)＝75° 【例题 3】(2020•无锡)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线 OA 交二次函数 y x2 的图象于点 A，∠ AOB＝90°，点 B 在该二次函数的图象上，设过点(0，m)(其中 m＞0)且平行于 x 轴的直线交直线 OA 于点 M， 交直线 OB 于点 N，以线段 OM、ON 为邻边作矩形 OMPN． (1)若点 A 的横坐标为 8． ①用含 m 的代数式表示 M 的坐标； ②点 P 能否落在该二次函数的图象上？若能，求出 m 的值；若不能，请说明理由． (2)当 m＝2 时，若点 P 恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线 OA 的函数表达 式． 【答案】见解析。 【分析】(1)①求出点 A 的坐标，直线直线 OA 的解析式即可解决问题． ②求出直线 OB 的解析式，求出点 N 的坐标，利用矩形的性质求出点 P 的坐标，再利用待定系数法求出 m 的 值即可． (2)分两种情形：①当点 A 在 y 轴的右侧时，设 A(a， a2)，求出点 P 的坐标利用待定系数法构建方程求出 a 即可． ②当点 A 在 y 轴的左侧时，即为①中点 B 的位置，利用①中结论即可解决问题． 【解析】(1)①∵点 A 在 y x2 的图象上，横坐标为 8， ∴A(8，16)， ∴直线 OA 的解析式为 y＝2x， ∵点 M 的纵坐标为 m， ∴M( m，m)． ②假设能在抛物线上， ∵∠AOB＝90°， ∴直线 OB 的解析式为 y x， ∵点 N 在直线 OB 上，纵坐标为 m， ∴N(﹣2m，m)， ∴MN 的中点的坐标为( m，m)， ∴P( m，2m)，把点 P 坐标代入抛物线的解析式得到 m ． (2)①当点 A 在 y 轴的右侧时，设 A(a， a2)， ∴直线 OA 的解析式为 y ax， ∴M( ，2)， ∵OB⊥OA， ∴直线 OB 的解析式为 y x，可得 N( ，2)， ∴P( ，4)，代入抛物线的解析式得到， 4， 解得 a＝4 ±4， ∴直线 OA 的解析式为 y＝( ±1)x． ②当点 A 在 y 轴的左侧时，即为①中点 B 的位置， ∴直线 OA 的解析式为 y x＝﹣( ±1)x， 综上所述，满足条件的直线 OA 的解析式为 y＝( ±1)x 或 y＝﹣( ±1)x． 【对点练习】在ΔABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝ 2 2 ，圆 A 的半径为 1，如图所示，若点 O 在 BC 边上运 动，(与点 B 和 C 不重合)，设 BO＝x，ΔAOC 的面积为 y . (1)求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域. (2)以点 O 为圆心，BO 长为半径作圆 O，求当圆 O 与圆 A 相切时ΔAOC 的面积. 【答案】见解析。 【解析】(1)过点 A 作 AD⊥BC 于点 D. ∵∠BAC=90° AB=AC= 2 2 ∴BC=4 AD＝ 1 2 BC＝2 ∴ 1 1 2 (4 ) 42 2AOCS OC AD x x         即 4(0 4)y x x     (2)当点 O 与点 D 重合时，圆 O 与圆 A 相交，不合题意；当点 O 与点 D 不重合时，在 RtΔAOD 中， 22 2 2 24 2 4 8AO AD OD x x x        ∵⊙A 的半径为 1，⊙O 的半径为 x ∴①当⊙A 与⊙O 外切时 2 2( 1) 4 8x x x    解得 7 6x  此时，ΔAOC 的面积 7 174 6 6y    ②当⊙A 与⊙O 内切时， 2 2( 1) 4 8x x x    解得 7 2x  此时ΔAOC 的面积 7 14 2 2y    ∴当⊙A 与⊙O 相切时，ΔAOC 的面积为17 1 6 2 或 . 【点拨】(1)过点 A 作 AD⊥BC 于 D 点 ∵AB＝AC＝ 2 2 ∴AD＝ AB sin 45 =2 445 ABBC Sin   ∴OC=BC－BO=4－x， 故ΔAOC 的面积 y 与 x 的函数解析式为 1 2y OC AD  即 1 (4 ) 2 42y x x     (2)由于圆与圆相切有两种情况：外切和内切，故解题中须分类讨论. 一、选择题 1．为推进新时代课改，王老师把班级里 40 名学生分成若干小组，每小组只能是 5 人或 6 人，则有几种分 组方案( ) A． 4 B． 3 C． 2 D． 1 【答案】C． 【解析】根据题意设 5 人一组的有 x 个，6 人一组的有 y 个，利用把班级里 40 名学生分成若干小组，进而 得出等式求出即可． 5x+6y=40， 当 x=1，则 y= (不合题意)； 当 x=2，则 y=5； 当 x=3，则 y= (不合题意)； 当 x=4，则 y= (不合题意)； 当 x=5，则 y= (不合题意)； 当 x=6，则 y= (不合题意)； 当 x=7，则 y= (不合题意)； 当 x=8，则 y=0； 故有 2 种分组方案． 【点拨】此题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意分情况讨论得出是解题关键． 2．(2020 齐齐哈尔模拟)关于 x 的分式方程 = 有解，则字母 a 的取值范围是( ) A. a=5 或 a=0 B. a≠0 C. a≠5 D. a≠5 且 a≠0 【答案】D 【解析】 = ， 去分母得：5(x﹣2)=ax， 去括号得：5x﹣10=ax， 移项，合并同类项得： (5﹣a)x=10， ∵关于 x 的分式方程 = 有解， ∴5﹣a≠0，x≠0 且 x≠2， 即 a≠5， 系数化为 1 得：x= ， ∴ ≠0 且 ≠2， 即 a≠5，a≠0， 综上所述：关于 x 的分式方程 = 有解，则字母 a 的取值范围是 a≠5，a≠0。 二、填空题 3．(2020•铜仁市)设 AB，CD，EF 是同一平面内三条互相平行的直线，已知 AB 与 CD 的距离是 12cm，EF 与 CD 的距离是 5cm，则 AB 与 EF 的距离等于 cm． 【答案】7 或 17． 【分析】分两种情况讨论，EF 在 AB，CD 之间或 EF 在 AB，CD 同侧，进而得出结论． 【解析】分两种情况： ①当 EF 在 AB，CD 之间时，如图： ∵AB 与 CD 的距离是 12cm，EF 与 CD 的距离是 5cm， ∴EF 与 AB 的距离为 12﹣5＝7(cm)． ②当 EF 在 AB，CD 同侧时，如图： ∵AB 与 CD 的距离是 12cm，EF 与 CD 的距离是 5cm， ∴EF 与 AB 的距离为 12+5＝17(cm)． 综上所述，EF 与 AB 的距离为 7cm 或 17cm． 4．(2020•齐齐哈尔)等腰三角形的两条边长分别为 3 和 4，则这个等腰三角形的周长是 ． 【答案】10 或 11． 【解析】分 3 是腰长与底边长两种情况讨论求解即可． ①3 是腰长时，三角形的三边分别为 3、3、4， ∵此时能组成三角形， ∴周长＝3+3+4＝10； ②3 是底边长时，三角形的三边分别为 3、4、4， 此时能组成三角形， 所以周长＝3+4+4＝11． 综上所述，这个等腰三角形的周长是 10 或 11． 5．(2020•泰州)如图，直线 a⊥b，垂足为 H，点 P 在直线 b 上，PH＝4cm，O 为直线 b 上一动点，若以 1cm 为半径的⊙O 与直线 a 相切，则 OP 的长为 ． 【答案】3cm 或 5cm． 【分析】当点 O 在点 H 的左侧⊙O 与直线 a 相切时，OP＝PH﹣OH；当点 O 在点 H 的右侧⊙O 与直线 a 相切时， OP＝PH+OH，即可得出结果． 【解析】∵直线 a⊥b，O 为直线 b 上一动点， ∴⊙O 与直线 a 相切时，切点为 H， ∴OH＝1cm， 当点 O 在点 H 的左侧，⊙O 与直线 a 相切时，如图 1 所示： OP＝PH﹣OH＝4﹣1＝3(cm)； 当点 O 在点 H 的右侧，⊙O 与直线 a 相切时，如图 2 所示： OP＝PH+OH＝4+1＝5(cm)； ∴⊙O 与直线 a 相切，OP 的长为 3cm 或 5cm. 6．(2020•哈尔滨)在△ABC 中，∠ABC＝60°，AD 为 BC 边上的高，AD＝6 ，CD＝1，则 BC 的长为 ． 【答案】7 或 5． 【解析】在 Rt△ABD 中，利用锐角三角函数的意义，求出 BD 的长，再分类进行解答． 在 Rt△ABD 中，∠ABC＝60°，AD＝6 ， ∴BD h 6， 如图 1、图 2 所示： BC＝BD+CD＝6+1＝7， BC＝BD﹣CD＝6﹣1＝5 7．(2020•黑龙江)在矩形 ABCD 中，AB＝1，BC＝a，点 E 在边 BC 上，且 BE a，连接 AE，将△ABE 沿 AE 折 叠．若点 B 的对应点 B′落在矩形 ABCD 的边上，则折痕的长为 ． 【答案】 或 ． 【解析】分两种情况：①当点 B'落在 AD 边上时，证出△ABE 是等腰直角三角形，得出 AE AB ； ②当点 B'落在 CD 边上时，证明△ADB'∽△B'CE，得出 ᦙ ᦙ ᦙ ，求出 BE a ，由勾股定理求出 AE 即可． 解：分两种情况： ①当点 B'落在 AD 边上时，如图 1 所示： ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠BAD＝∠B＝90°， ∵将△ABE 沿 AE 折叠．点 B 的对应点 B′落在矩形 ABCD 的 AD 边上， ∴∠BAE＝∠B'AE ∠BAD＝45°， ∴△ABE 是等腰直角三角形， ∴AB＝BE＝1，AE AB ； ②当点 B'落在 CD 边上时，如图 2 所示： ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝a， ∵将△ABE 沿 AE 折叠．点 B 的对应点 B′落在矩形 ABCD 的 CD 边上， ∴∠B＝∠AB'E＝90°，AB'＝AB＝1，BE'＝BE a， ∴CE＝BC﹣BE＝a a a，B'D ᦙ ， 在△ADB'和△B'CE 中，∠B'AD＝∠EB'C＝90°﹣∠AB'D，∠D＝∠C＝90°， ∴△ADB'∽△B'CE， ∴ ᦙ ᦙ ᦙ ，即 ， 解得：a ，或 a＝0(舍去)， ∴BE a ， ∴AE ； 综上所述，折痕的长为 或 ； 故答案为： 或 ． 三、解答题 8．(2020•湖州)已知在△ABC 中，AC＝BC＝m，D 是 AB 边上的一点，将∠B 沿着过点 D 的直线折叠，使点 B 落在 AC 边的点 P 处(不与点 A，C 重合)，折痕交 BC 边于点 E． (1)特例感知 如图 1，若∠C＝60°，D 是 AB 的中点，求证：AP AC； (2)变式求异 如图 2，若∠C＝90°，m＝6 ，AD＝7，过点 D 作 DH⊥AC 于点 H，求 DH 和 AP 的长； (3)化归探究 如图 3，若 m＝10，AB＝12，且当 AD＝a 时，存在两次不同的折叠，使点 B 落在 AC 边上两个 不同的位置，请直接写出 a 的取值范围． 【答案】见解析。 【解析】(1)证明：∵AC＝BC，∠C＝60°， ∴△ABC 是等边三角形， ∴AC＝AB，∠A＝60°， 由题意，得 DB＝DP，DA＝DB， ∴DA＝DP， ∴△ADP 使得等边三角形， ∴AP＝AD AB AC． (2)解：∵AC＝BC＝6 ，∠C＝90°， ∴AB 12， ∵DH⊥AC， ∴DH∥BC， ∴△ADH∽△ABC， ∴ ， ∵AD＝7， ∴ ， ∴DH ， 将∠B 沿过点 D 的直线折叠， 情形一：当点 B 落在线段 CH 上的点 P1 处时，如图 2﹣1 中， ∵AB＝12， ∴DP1＝DB＝AB﹣AD＝5， ∴HP1 ， ∴A1＝AH+HP1＝4 ， 情形二：当点 B 落在线段 AH 上的点 P2 处时，如图 2﹣2 中， 同法可证 HP2 ， ∴AP2＝AH﹣HP2＝3 ， 综上所述，满足条件的 AP 的值为 4 或 3 ． (3)如图 3 中，过点 C 作 CH⊥AB 于 H，过点 D 作 DP⊥AC 于 P． ∵CA＝CB，CH⊥AB， ∴AH＝HB＝6， ∴CH 8， 当 DB＝DP 时，设 BD＝PD＝x，则 AD＝12﹣x， ∵sinA ， ∴ ， ∴x ， ∴AD＝AB﹣BD ， 观察图形可知当 6＜a＜ 时，存在两次不同的折叠，使点 B 落在 AC 边上两个不同的位置． 、9．(2020•遵义)如图，抛物线 y＝ax2 x+c 经过点 A(﹣1，0)和点 C(0，3)与 x 轴的另一交点为点 B，点 M 是直线 BC 上一动点，过点 M 作 MP∥y 轴，交抛物线于点 P． (1)求该抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在一点 Q，使得△QCO 是等边三角形？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明 理由； (3)以 M 为圆心，MP 为半径作⊙M，当⊙M 与坐标轴相切时，求出⊙M 的半径． 【答案】见解析。 【解析】(1)把点 A(﹣1，0)和点 C (0，3)代入 y＝ax2 x+c 得： ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为：y x2 x+3； (2)不存在，理由如下： ①当点 Q 在 y 轴右边时，如图 1 所示： 假设△QCO 为等边三角形， 过点 Q 作 QH⊥OC 于 H， ∵点 C (0，3)， ∴OC＝3， 则 OH OC ，tan60° ， ∴QH＝OH•tan60° × ，∴Q( ， )， 把 x 代入 y x2 x+3， 得：y ， ∴假设不成立， ∴当点 Q 在 y 轴右边时，不存在△QCO 为等边三角形； ②当点 Q 在 y 轴的左边时，如图 2 所示： 假设△QCO 为等边三角形， 过点 Q 作 QT⊥OC 于 T， ∵点 C (0，3)， ∴OC＝3， 则 OT OC ，tan60° ， ∴QT＝OT•tan60° × ， ∴Q( ， )， 把 x 代入 y x2 x+3， 得：y ， ∴假设不成立， ∴当点 Q 在 y 轴左边时，不存在△QCO 为等边三角形； 综上所述，在抛物线上不存在一点 Q，使得△QCO 是等边三角形； (3)令 x2 x+3＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝4， ∴B(4，0)， 设 BC 直线的解析式为：y＝kx+b， 把 B、C 的坐标代入则 解 式 式 ， 解得： 解 式 ， ∴BC 直线的解析式为：y x+3， 当 M 在线段 BC 上，⊙M 与 x 轴相切时，如图 3 所示： 延长 PM 交 AB 于点 D， 则点 D 为⊙M 与 x 轴的切点，即 PM＝MD， 设 P(x， x2 x+3)，M(x， x+3)， 则 PD x2 x+3，MD x+3， ∴( x2 x+3)﹣( x+3) x+3， 解得：x1＝1，x2＝4(不合题意舍去)， ∴⊙M 的半径为：MD 3 ； 当 M 在线段 BC 上，⊙M 与 y 轴相切时，如图 4 所示： 延长 PM 交 AB 于点 D，过点 M 作 ME⊥y 轴于 E， 则点 E 为⊙M 与 y 轴的切点，即 PM＝ME，PD﹣MD＝EM＝x， 设 P(x， x2 x+3)，M(x， x+3)， 则 PD x2 x+3，MD x+3， ∴( x2 x+3)﹣( x+3)＝x， 解得：x1 ，x2＝0(不合题意舍去)， ∴⊙M 的半径为：EM ； 当 M 在 BC 延长线，⊙M 与 x 轴相切时，如图 5 所示： 点 P 与 A 重合， ∴M 的横坐标为﹣1， ∴⊙M 的半径为：M 的纵坐标的值， 即： ×(﹣1)+3 ； 当 M 在 CB 延长线，⊙M 与 y 轴相切时，如图 6 所示： 延长 PD 交 x 轴于 D，过点 M 作 ME⊥y 轴于 E， 则点 E 为⊙M 与 y 轴的切点，即 PM＝ME，PD﹣MD＝EM＝x， 设 P(x， x2 x+3)，M(x， x+3)， 则 PD x2 x﹣3，MD x﹣3， ∴( x2 x﹣3)﹣( x﹣3)＝x， 解得：x1 ，x2＝0(不合题意舍去)， ∴⊙M 的半径为：EM ； 综上所述，⊙M 的半径为 或 或 或 ． 10．(2019 辽宁本溪)在 Rt△ABC 中，∠BCA＝90°，∠A＜∠ABC，D 是 AC 边上一点，且 DA＝DB，O 是 AB 的 中点，CE 是△BCD 的中线． (1)如图 a，连接 OC，请直接写出∠OCE 和∠OAC 的数量关系： ； (2)点 M 是射线 EC 上的一个动点，将射线 OM 绕点 O 逆时针旋转得射线 ON，使∠MON＝∠ADB，ON 与射线 CA 交于点 N． ①如图 b，猜想并证明线段 OM 和线段 ON 之间的数量关系； ②若∠BAC＝30°，BC＝m，当∠AON＝15°时，请直接写出线段 ME 的长度(用含 m 的代数式表示)． 【答案】见解析。 【解析】(1)结论：∠ECO＝∠OAC． 理由：如图 1 中，连接 OE． ∵∠BCD＝90°，BE＝ED，BO＝OA， ∵CE＝ED＝EB＝ BD，CO＝OA＝OB， ∴∠OCA＝∠A， ∵BE＝ED，BO＝OA， ∴OE∥AD，OE＝ AD， ∴CE＝EO． ∴∠EOC＝∠OCA＝∠ECO， ∴∠ECO＝∠OAC． 故答案为：∠OCE＝∠OAC． (2)如图 2 中， ∵OC＝OA，DA＝DB， ∴∠A＝∠OCA＝∠ABD， ∴∠COA＝∠ADB， ∵∠MON＝∠ADB， ∴∠AOC＝∠MON， ∴∠COM＝∠AON， ∵∠ECO＝∠OAC， ∴∠MCO＝∠NAO， ∵OC＝OA， ∴△COM≌△AON(ASA)， ∴OM＝ON． ②如图 3﹣1 中，当点 N 在 CA 的延长线上时， ∵∠CAB＝30°＝∠OAN+∠ANO，∠AON＝15°， ∴∠AON＝∠ANO＝15°， ∴OA＝AN＝m， ∵△OCM≌△OAN， ∴CM＝AN＝m， 在 Rt△BCD 中，∵BC＝m，∠CDB＝60°， ∴BD＝ m， ∵BE＝ED， ∴CE＝ BD＝ m， ∴EM＝CM+CE＝m+ m． 如图 3﹣2 中，当点 N 在线段 AC 上时，作 OH⊥AC 于 H． ∵∠AON＝15°，∠CAB＝30°， ∴∠ONH＝15°+30°＝45°， ∴OH＝HN＝ m， ∵AH＝ m， ∴CM＝AN＝ m﹣ m， ∵EC＝ m， ∴EM＝EC﹣CM＝ m﹣( m﹣ m)＝ m﹣ m， 综上所述，满足条件的 EM 的值为 m+ m 或 m﹣ m．