2020年湖州市中考数学试题及答案

2020年湖州市中考数学试题及答案

2020 年湖州市中考数学试题及答案 1．4 的算术平方根是（ ） A．-2 B．2 C． D． 2．近几年来，我国经济规模不断扩大，综合国力显著增强．2019 年我国国内生产总值 约 991000 亿元，则数 991000 用科学记数法可表示为（ ） A．991×103 B．99.1×104 C．9.91×105 D．9.91×106 3．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（ ） A． B． C． D． 4．如图，已知四边形 ABCD 内接于⊙O，∠ABC=70°，则∠ADC 的度数是（ ） A．70° B．110° C．130° D．140° 5．数据﹣1，0，3，4，4 的平均数是（ ） A．4 B．3 C．2.5 D．2 6．已知关于 x 的一元二次方程 x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是 （ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数与实数 b 的取值有关 7．四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形．当内角度数发生变化时，其形 状也会随之改变．如图，改变正方形 ABCD 的内角，正方形 ABCD 变为菱形 ABC′D′．若 ∠D′AB＝30°，则菱形 ABC′D′的面积与正方形 ABCD 的面积之比是（ ） A．1 B． 1 2 C． 2 2 D． 3 2 8．已知在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y＝2x+2 和直线 y＝ 2 3 x+2 分别交 x 轴于点 A 和点 B．则下列直线中，与 x 轴的交点不在线段 AB 上的直线是（ ） A．y＝x+2 B．y＝ 2 x+2 C．y＝4x+2 D．y＝ 2 3 3 x+2 9．如图，已知 OT 是 Rt △ ABO 斜边 AB 上的高线，AO=BO．以 O 为圆心，OT 为半径的 圆交 OA 于点 C，过点 C 作⊙O 的切线 CD，交 AB 于点 D．则下列结论中错误的是 （ ） A．DC=DT B．AD= 2 DT C．BD=BO D．2OC=5AC 10．七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地．由边长为 2 的正方形可以制 作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图 1 所示．分别用这两副七巧板试拼如图 2 中 的平行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是 （ ） A．1 和 1 B．1 和 2 C．2 和 1 D．2 和 2 11．计算：﹣2﹣1＝_____． 12．化简： 2 1 2 1 x x x    ＝_____． 13．如图，已知 AB 是半圆 O 的直径，弦 CD∥AB，CD＝8．AB＝10，则 CD 与 AB 之 间的距离是_____． 14．在一个布袋里放有 1 个白球和 2 个红球，它们除颜色外其余都相同，从布袋里摸出 1 个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出 1 个球．将 2 个红球分别记为红Ⅰ，红Ⅱ．两 次摸球的所有可能的结果如表所示， 第二次 第一次 白 红Ⅰ 红Ⅱ 白 白，白 白，红Ⅰ 白，红Ⅱ 红Ⅰ 红Ⅰ，白 红Ⅰ，红Ⅰ 红Ⅰ，红Ⅱ 红Ⅱ 红Ⅱ，白 红Ⅱ，红Ⅰ 红Ⅱ，红Ⅱ 则两次摸出的球都是红球的概率是_____． 15．在每个小正方形的边长为 1 的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都 是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知 Rt △ ABC 是 6×6 网格图形中的格点三角形， 则该图中所有与 Rt △ ABC 相似的格点三角形中．面积最大的三角形的斜边长是_____． 16．如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，Rt △ OAB 的直角顶点 B 在 x 轴的正半轴上， 点 A 在第一象限，反比例函数 y＝ k x （x＞0）的图象经过 OA 的中点 C．交 AB 于点 D， 连结 CD．若 △ ACD 的面积是 2，则 k 的值是_____． 17．计算： 8 +| 2 ﹣1|． 18．解不等式组 3 2 1 23 x x x     ． 19．有一种升降熨烫台如图 1 所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨 烫台的高度．图 2 是这种升降熨烫台的平面示意图．AB 和 CD 是两根相同长度的活动 支撑杆，点 O 是它们的连接点，OA=OC，h（cm）表示熨烫台的高度． （1）如图 2﹣1．若 AB=CD=110cm，∠AOC=120°，求 h 的值； （2）爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度为 120cm 时，两根支撑杆的 夹角∠AOC 是 74°（如图 2﹣2）．求该熨烫台支撑杆 AB 的长度（结果精确到 lcm）． （参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6．） 20．为了解学生对网上在线学习效果的满意度，某校设置了：非常满意、满意、基本满 意、不满意四个选项，随机抽查了部分学生，要求每名学生都只选其中的一项，并将抽 查结果绘制成如图统计图（不完整）． 请根据图中信息解答下列问题： （1）求被抽查的学生人数，并补全条形统计图；（温馨提示：请画在答题卷相对应的图 上） （2）求扇形统计图中表示“满意”的扇形的圆心角度数； （3）若该校共有 1000 名学生参与网上在线学习，根据抽查结果，试估计该校对学习效 果的满意度是“非常满意”或“满意”的学生共有多少人? 21．如图，已知 △ ABC 是⊙O 的内接三角形，AD 是⊙O 的直径，连结 BD，BC 平分∠ABD． （1）求证：∠CAD=∠ABC； （2）若 AD=6，求 CD 的长． 22．某企业承接了 27000 件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共 50 名工人， 合作生产 20 天完成．已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间 每人每天生产 25 件，乙车间每人每天生产 30 件． （1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产? （2）为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案： 方案一 甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高 20%，乙车间维持不变． 方案二 乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变． 设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同． ①求乙车间需临时招聘的工人数； ②若甲车间租用设备的租金每天 900 元，租用期间另需一次性支付运输等费用 1500 元； 乙车间需支付临时招聘的工人每人每天 200 元．问：从新增加的费用考虑，应选择哪种 方案能更节省开支？请说明理由． 23．已知在 △ ABC 中，AC＝BC＝m，D 是 AB 边上的一点，将∠B 沿着过点 D 的直线折 叠，使点 B 落在 AC 边的点 P 处（不与点 A，C 重合），折痕交 BC 边于点 E． （1）特例感知 如图 1，若∠C＝60°，D 是 AB 的中点，求证：AP＝ 1 2 AC； （2）变式求异 如图 2，若∠C＝90°，m＝6 2 ，AD＝7，过点 D 作 DH⊥AC 于点 H， 求 DH 和 AP 的长； （3）化归探究 如图 3，若 m＝10，AB＝12，且当 AD＝a 时，存在两次不同的折叠， 使点 B 落在 AC 边上两个不同的位置，请直接写出 a 的取值范围． 24．如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝﹣x2+bx+c(c＞0)的顶点为 D，与 y 轴的交点为 C．过点 C 的直线 CA 与抛物线交于另一点 A(点 A 在对称轴左侧)，点 B 在 AC 的延长线上，连结 OA，OB，DA 和 DB． (1)如图 1，当 AC∥x 轴时， ①已知点 A 的坐标是(﹣2，1)，求抛物线的解析式； ②若四边形 AOBD 是平行四边形，求证：b2＝4c． (2)如图 2，若 b＝﹣2， BC AC ＝ 3 5 ，是否存在这样的点 A，使四边形 AOBD 是平行四边 形？若存在，求出点 A 的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案 1．B 【解析】 试题分析：因 ，根据算术平方根的定义即可得 4 的算术平方根是 2．故答案选 B． 考点：算术平方根的定义． 2．C 【解析】 【分析】 科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值 ≥10 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【详解】 解：将 991000 用科学记数法表示为：9.91×105． 故选：C． 【点睛】 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10， n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 3．A 【解析】 【分析】 主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，从而得出答案． 【详解】 ∵主视图和左视图是三角形， ∴几何体是锥体， ∵俯视图的大致轮廓是圆， ∴该几何体是圆锥． 故选：A． 【点睛】 本题考查了由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力． 4．B 【解析】 【分析】 根据圆内接四边形的对角互补计算即可． 【详解】 ∵四边形 ABCD 内接于⊙O，∠ABC=70°， ∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣70°=110°， 故选：B． 【点睛】 本题考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 5．D 【解析】 【分析】 根据题目中的数据，可以求得这组数据的平均数，本题得以解决． 【详解】 解： x ＝ 1 0 3 4 4 5      ＝2， 故选：D． 【点睛】 本题考查算术平均数，解答本题的关键是明确算术平均数的计算方法． 6．A 【解析】 【分析】 先计算出判别式的值，再根据非负数的性质判断△＞0，然后利用判别式的意义对各选项进 行判断． 【详解】 解：∵△＝b2﹣4×（﹣1）＝b2+4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】 本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac 有如下关系： 当△＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当△=0 时，方程有两个相等的实数根；当△＜0 时，方程无实数根． 7．B 【解析】 【分析】 如图，连接 DD＇,延长 C＇D＇交 AD 于 E，由菱形 ABC＇D＇，可得 AB∥C＇D＇,进一步 说明∠ED＇D=30°,得到菱形 AE= 1 2 AD;又由正方形 ABCD,得到 AB=AD,即菱形的高为 AB 的一半,然后分别求出菱形 ABC＇D＇和正方形 ABCD 的面积,最后求比即可． 【详解】 解：如图：延长 C＇D＇交 AD 于 E ∵菱形 ABC＇D＇ ∴AB∥C＇D＇ ∵∠D＇AB=30° ∴∠A D＇E=∠D＇AB=30° ∴AE= 1 2 AD 又∵正方形 ABCD ∴AB=AD,即菱形的高为 AB 的一半 ∴菱形 ABC′D′的面积为 21 2 AB ，正方形 ABCD 的面积为 AB2． ∴菱形 ABC′D′的面积与正方形 ABCD 的面积之比是 1 2 ． 故答案为 B． 【点睛】 本题主要考出了正方形的性质、菱形的性质以及含 30°直角三角形的性质，其中表示出菱 形 ABC′D′的面积是解答本题的关键． 8．C 【解析】 【分析】 分别求出点 A、B 坐标，再根据各选项解析式求出与 x 轴交点坐标，判断即可． 【详解】 解：∵直线 y＝2x+2 和直线 y＝ 2 3 x+2 分别交 x 轴于点 A 和点 B． ∴A（﹣1，0），B（﹣3，0） A. y＝x+2 与 x 轴的交点为（﹣2，0）；故直线 y＝x+2 与 x 轴的交点在线段 AB 上； B. y＝ 2 x+2 与 x 轴的交点为（﹣ 2 ，0）；故直线 y＝ 2 x+2 与 x 轴的交点在线段 AB 上； C. y＝4x+2 与 x 轴的交点为（﹣ 1 2 ，0）；故直线 y＝4x+2 与 x 轴的交点不在线段 AB 上； D. y＝ 2 3 3 x+2 与 x 轴的交点为（﹣ 3 ，0）；故直线 y＝ 2 3 3 x+2 与 x 轴的交点在线段 AB 上； 故选：C 【点睛】 本题考查了求直线与坐标轴的交点，注意求直线与 x 轴交点坐标，即把 y=0 代入函数解析式． 9．D 【解析】 【分析】 根据切线的判定知 DT 是⊙O 的切线，根据切线长定理可判断选项 A 正确；可证得 △ ADC 是 等腰直角三角形，可计算判断选项 B 正确；根据切线的性质得到 CD=CT，根据全等三角形 的性质得到∠DOC=∠TOC，根据三角形的外角的性质可判断选项 C 正确； 【详解】 解：如图，连接 OD． ∵OT 是半径，OT⊥AB， ∴DT 是⊙O 的切线， ∵DC 是⊙O 的切线， ∴DC=DT，故选项 A 正确； ∵OA=OB，∠AOB=90°， ∴∠A=∠B=45°， ∵DC 是切线， ∴CD⊥OC， ∴∠ACD=90°， ∴∠A=∠ADC=45°， ∴AC=CD=DT， ∴AD= 2 CD= 2 DT，故选项 B 正确； ∵OD=OD，OC=OT，DC=DT， ∴△DOC≌△DOT（SSS）， ∴∠DOC=∠DOT， ∵OA=OB，OT⊥AB，∠AOB=90°， ∴∠AOT=∠BOT=45°， ∴∠DOT=∠DOC=22.5°， ∴∠BOD=∠ODB=67.5°， ∴BO=BD，故选项 C 正确； ∵OA=OB，∠AOB=90°，OT⊥AB， 设⊙O 的半径为 2， ∴OT=OC=AT=BT=2， ∴OA=OB=2 2 ， ∴ 2 2 2 22 12 5 AC OC     ， 2OC  5AC 故选项 D 错误； 故选：D． 【点睛】 本题考查了切线的性质，圆的有关知识，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质， 正确的识别图形、灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 10．D 【解析】 【分析】 解答此题要熟悉中国和日本七巧板的结构，中国七巧板的结构：五个等腰直角三角形，有大、 小两对全等三角形；一个正方形；一个平行四边形；日本七巧板的结构：三个等腰直角三角 形，一个直角梯形，一个等腰梯形，一个平行四边形，一个正方形，根据这些图形的性质便 可解答． 【详解】 解：中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数都是 2，如图所示： 故选：D． 【点睛】 此题是一道趣味性探索题，结合我国传统玩具七巧板，用七巧板来拼接图形，可以培养学生 动手能力，展开学生的丰富想象力． 11．﹣3 【解析】 【分析】 根据有理数减法的运算法则计算即可． 【详解】 ﹣2﹣1 =﹣3 故答案为：﹣3． 【点睛】 本题主要考查了有理数减法的运算方法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 12． 1 1x  【解析】 【分析】 先将分母因式分解，再根据分式的基本性质约分即可． 【详解】 2 1 2 1 x x x    ＝ 2 1 ( 1) x x   ＝ 1 1x  ． 故答案为： 1 1x  ． 【点睛】 本题考查了分式的除法以及利用完全平方公式因式分解，解答本题的关键是掌握分式的基本 性质以及因式分解的方法． 13．3 【解析】 【分析】 过点 O 作 OH⊥CD 于 H，连接 OC，先利用垂径定理得到 CH=4，然后在 Rt △ OCH 中，利用 勾股定理即可求解． 【详解】 解：过点 O 作 OH⊥CD 于 H， 连接 OC，如图，则 CH＝DH＝ 1 2 CD＝4， 在 Rt △ OCH 中，OH＝ 2 25 4 ＝3， 所以 CD 与 AB 之间的距离是 3． 故答案为 3． 【点睛】 此题主要考查垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题关键． 14． 4 9 【解析】 【分析】 由图表求得所有等可能的结果及两次都摸到红球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】 解：根据图表给可知，共有 9 种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的有 4 种， 则两次摸出的球都是红球的概率为 4 9 ； 故答案为： 4 9 ． 【点睛】 本题考查了用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列 出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况 数之比． 15．5 2 【解析】 【分析】 根据相似三角形的性质确定两直角边的比值为 1：2，以及 6×6 网格图形中，最长线段为 6 2 ， 进行尝试，可确定 10 、 2 10 、 5 10 为边的这样一组三角形满足条件． 【详解】 解：∵在 Rt △ ABC 中，AC=1，BC=2， ∴AB= 5 ，AC：BC=1：2， ∴与 Rt △ ABC 相似的格点三角形的两直角边的比值为 1：2， 若该三角形最短边长为 4，则另一直角边长为 8，但在 6×6 网格图形中，最长线段为 6 2 ， 但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为 8 的线段，故 最短直角边长应小于 4，在图中尝试，可画出 DE= 10 ，EF=2 10 ，DF=5 2 的三角形， ∵ 10 1 = 2 10 2 = 5 2 5 = 10 ， ∴△ABC∽△DEF， ∴∠DEF=∠C=90°， ∴此时 △ DEF 的面积为： 10 ×2 10 ÷2=10， △ DEF 为面积最大的三角形，其斜边长为：5 2 ． 故答案为：5 2 ． 【点睛】 本题考查了作图-应用与设计、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是 学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 16． 8 3 【解析】 【分析】 作辅助线，构建直角三角形，利用反比例函数 k 的几何意义得到 S △ OCE=S △ OBD= 1 2 k，根据 OA 的中点 C，利用△OCE∽△OAB 得到面积比为 1：4，代入可得结论． 【详解】 解：连接 OD，过 C 作 CE∥AB，交 x 轴于 E， ∵∠ABO＝90°，反比例函数 y＝ k x （x＞0）的图象经过 OA 的中点 C， ∴S △ COE＝S △ BOD＝ 1 2 k ，S △ ACD＝S △ OCD＝2， ∵CE∥AB， ∴△OCE∽△OAB， ∴ 1 4 OCES S △ △OAB ， ∴4S △ OCE＝S △ OAB， ∴4× 1 2 k＝2+2+ 1 2 k， ∴k＝ 8 3 ， 故答案为： 8 3 ． 【点睛】 本题考查了反比例函数比例系数 k 的几何意义：在反比例函数 y= k x 图象中任取一点，过这 一个点向 x 轴和 y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的 图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 1 2 |k|，且保持不变．也考查了相似三角形的判定与性质． 17．3 2 ﹣1 【解析】 【分析】 根据算术平方根定义和绝对值的性质计算，再合并同类二次根式即可． 【详解】 原式=2 2 + 2 ﹣1=3 2 ﹣1． 【点睛】 本题考查了算术平方根和绝对值以及同类二次根式的合并，解题的关键是正确理解定义． 18．x＜﹣6 【解析】 【分析】 先分别解每一个不等式，然后取其公共解即可． 【详解】 解： 3 2x x  ①， 1 23 x   ②， 解①得：x＜1； 解②得：x＜﹣6． 故不等式组的解集为 x＜﹣6． 【点睛】 本题考查解一元一次不等式组，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部 分． 19．（1）55；（2）150cm． 【解析】 【分析】 （1）作 BE⊥AC 于 E，利用等腰三角形的性质求得∠OAC，然后解直角三角形即可求解； （2）作 BE⊥AC 于 E，利用等腰三角形的性质求得∠OAC，解直角三角形即可求解． 【详解】 （1）过点 B 作 BE⊥AC 于 E， ∵OA=OC，∠AOC=120°， ∴∠OAC=∠OCA=180 120 2   =30°， ∴h=BE=AB•sin30°=110× 1 2 =55； （2）过点 B 作 BE⊥AC 于 E， ∵OA=OC，∠AOC=74°， ∴∠OAC=∠OCA= 180 74 2   =53°， ∴AB=BE÷sin53°=120÷0.8=150（cm）， 即该熨烫台支撑杆 AB 的长度约为 150cm． 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用，作出辅助线构造直角三角形，弄清题中的数据是解本题的 关键． 20．（1）50 人，条形图见解析；（2）108°；（3）700 【解析】 【分析】 （1）从两个统计图中可知，在抽查人数中，“非常满意”的人数为 20 人，占调查人数的 40%，可求出调查人数，进而求出“基本满意”的人数，即可补全条形统计图； （2）样本中“满意”占调查人数的 15 50 ，即 30%，因此相应的圆心角的度数为 360°的 30%； （3）样本中“非常满意”或“满意”的占调查人数的（ 20 15 50 50  ），进而估计总体中“非常 满意”或“满意”的人数． 【详解】 解：（1）抽查的学生数：20÷40%＝50（人）， 抽查人数中“基本满意”人数：50﹣20﹣15﹣1＝14（人），补全的条形统计图如图所示： （2）360°× 15 50 ＝108°， 答：扇形统计图中表示“满意”的扇形的圆心角度数为 108°； （3）1000× 20 15 50 50     ＝700（人）， 答：该校共有 1000 名学生中“非常满意”或“满意”的约有 700 人． 【点睛】 考查扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，从统计图中获取数量和数量之间的关系， 是解决问题的前提，样本估计总体是统计中常用的方法． 21．（1）证明见解析；（2） 3 2 π． 【解析】 【分析】 （1）利用角平分线的性质结合圆周角定理即可证明； （2）可证得 CD = AC ，则 CD 的长为圆周长的 1 4 ． 【详解】 （1）证明：∵BC 平分∠ABD， ∴∠DBC=∠ABC， ∵∠CAD=∠DBC， ∴∠CAD=∠ABC； （2）解：∵∠CAD=∠ABC， ∴ CD = AC ， ∵AD 是⊙O 的直径，且 AD=6， ∴ CD 的长= 1 4 ×π×6= 3 2 π． 【点睛】 本题考查了角平分线的性质以及圆周角定理，证得 CD = AC 是解(2)题的关键． 22．（1）甲车间有 30 名工人参与生产，乙车间各有 20 名工人参与生产；（2）①乙车间需临 时招聘 5 名工人；②选择方案一能更节省开支． 【解析】 【分析】 （1）设甲、乙两车间各有 x、y 人，根据甲、乙两车间共有 50 人和甲、乙两车间 20 天共生 产零件总数之和为 2700 个列方程组，解方程组即可解决问题； （2）①设方案二中乙车间需临时招聘 m 名工人，根据“完成生产任务的时间相同”列分式 方程求解即可； ②先求得企业完成生产任务所需的时间，分别求得需增加的费用，再比较即可解答． 【详解】 （1）设甲车间有 x 名工人参与生产，乙车间各有 y 名工人参与生产，由题意得： 50 20(25 30 ) 2700 x y x y      ， 解得 30 20 x y    ． ∴甲车间有 30 名工人参与生产，乙车间各有 20 名工人参与生产； （2）①设方案二中乙车间需临时招聘 m 名工人，由题意得： 27000 30 25 (1 20%) 20 30     = 27000 30 25 (20 ) 30m    ， 解得 m=5． 经检验，m=5 是原方程的解，且符合题意， ∴乙车间需临时招聘 5 名工人； ②企业完成生产任务所需的时间为： 27000 30 25 (1 20%) 20 30     =18（天）． ∴选择方案一需增加的费用为 900×18+1500=17700（元）． 选择方案二需增加的费用为 5×18×200=18000（元）． ∵17700＜18000， ∴选择方案一能更节省开支． 【点睛】 本题主要考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，分析题意，找到合适的数量关 系是解决问题的关键． 23．（1）证明见解析；（2） 7 2 2 ，4 2 或 3 2 ；（3）6≤a＜ 20 3 . 【解析】 【分析】 （1）根据等边三角形的性质，运用等边三角形内角都为 60°以及三边相等进行求解． （2）根据相似三角形的性质，运用对应边成比例以及勾股定理进行求解． （3）根据三角函数以及三线合一性质，运用勾股定理以及比例关系进行求解． 【详解】 （1）证明：∵AC＝BC，∠C＝60°， ∴△ABC 是等边三角形， ∴AC＝AB，∠A＝60°， 由题意，得 DB＝DP，DA＝DB， ∴DA＝DP， ∴△ADP 使得等边三角形， ∴AP＝AD＝ 1 2 AB＝ 1 2 AC． （2）解：∵AC＝BC＝6 2 ，∠C＝90°， ∴AB＝ 2 2AC BC ＝ 2 2(6 2) (6 2) ＝12， ∵DH⊥AC， ∴DH∥BC， ∴△ADH∽△ABC， ∴ DH BC ＝ AD AB ， ∵AD＝7， ∴ 6 2 DH ＝ 7 12 ， ∴DH＝ 7 2 2 ， 将∠B 沿过点 D 的直线折叠， 情形一：当点 B 落在线段 CH 上的点 P1 处时，如图 2﹣1 中， ∵AB＝12， ∴DP1＝DB＝AB﹣AD＝5， ∴HP1＝ 2 2 1DP DH ＝ 2 2 7 25 2      ＝ 2 2 ， ∴A1＝AH+HP1＝4 2 ， 情形二：当点 B 落在线段 AH 上的点 P2 处时，如图 2﹣2 中， 同法可证 HP2＝ 2 2 ， ∴AP2＝AH﹣HP2＝3 2 ， 综上所述，满足条件的 AP 的值为 4 2 或 3 2 ． （3）如图 3 中，过点 C 作 CH⊥AB 于 H，过点 D 作 DP⊥AC 于 P． ∵CA＝CB，CH⊥AB， ∴AH＝HB＝6， ∴CH＝ 2 2AC AH ＝ 2 210 6 ＝8， 当 DB＝DP 时，设 BD＝PD＝x，则 AD＝12﹣x， ∵tanA＝ CH AC ＝ PD AD ， ∴ 8 10 ＝ 12 x x ， ∴x＝16 3 ， ∴AD＝AB﹣BD＝ 20 3 ， 观察图形可知当 6≤a＜ 20 3 时，存在两次不同的折叠，使点 B 落在 AC 边上两个不同的位置． 【点睛】 本题考查等边三角形性质，勾股定理，相似三角形性质以及三角形函数的知识点，知识点的 灵活运用，以及通过对图形的理解分析出结果的所以可能性是解决此类问题的关键所在． 24．(1)①y＝﹣x2﹣2x+1；②证明见解析；(2)存在这样的点 A，A(﹣ 5 2 ， 1 4 ) 【解析】 【分析】 (1)①由点 A(﹣2，1)得到 C(0，1)，利用待定系数法即可求解； ②作 DE⊥x 轴于 E，交 AB 于点 F，利用顶点坐标及点 C 的坐标求得 DF＝ 2 4 b ，利用“AAS” 证得△AFD≌△BCO，得到 DF＝OC，即可证得结论； (2)由题意知顶点坐标 D(﹣1，c+1)，设点 A(m，﹣m2﹣2m+c)，利用“AAS”证得 △AFD≌△BCO，作如图的辅助线，证得△ANF∽△AMC，结合已知 BC AC ＝ 3 5 ，求得 5m 2   ， 利用比例线段即可求解． 【详解】 (1)①∵AC∥x 轴，点 A(﹣2，1)， ∴C(0，1)， 将点 A(﹣2，1)，C(0，1)代入抛物线解析式中，得： 4 2 1 1 b c c       ， ∴ 2 1 b c     ， ∴抛物线的解析式为 y＝﹣x2﹣2x+1； ②如图 1，过点 D 作 DE⊥x 轴于 E，交 AB 于点 F， ∵AC∥x 轴， ∴EF＝OC＝c， ∵点 D 是抛物线的顶点坐标， ∴D( 2 b ， 2 4 bc  )， ∴DF＝DE﹣EF＝ 2 4 bc c  ＝ 2 4 b ， ∵四边形 AOBD 是平行四边形， ∴AD＝OB，AD∥OB， ∴∠DAF＝∠OBC， ∵∠AFD＝∠BCO＝90°， ∴△AFD≌△BCO(AAS)， ∴DF＝OC， ∴ 2 4 b ＝c， 即 b2＝4c； (2)如图 2， ∵b＝﹣2． ∴抛物线的解析式为 y＝﹣x2﹣2x+c， ∴顶点坐标 D(﹣1，c+1)， 假设存在这样的点 A 使四边形 AOBD 是平行四边形， 设点 A(m，﹣m2﹣2m+c)(m＜0)， 过点 D 作 DE⊥x 轴于点 E，交 AB 于 F， ∴∠AFD＝∠EFC＝∠BCO， ∵四边形 AOBD 是平行四边形， ∴AD＝BO，AD∥OB， ∴∠DAF＝∠OBC， ∴△AFD≌△BCO(AAS)， ∴AF＝BC，DF＝OC， 过点 A 作 AM⊥y 轴于 M，交 DE 于 N， ∴DE∥CO， ∴△ANF∽△AMC， ∴ AN FN AF BC AM CM AC AC    ＝ 3 5 ， ∵AM＝﹣m，AN＝AM﹣NM＝﹣m﹣1， ∴ 1 3 5 m m    ， ∴ 5m 2   ， ∴点 A 的纵坐标为﹣(﹣ 5 2 )2﹣2×(﹣ 5 2 )+c＝c﹣ 5 4 ＜c， ∵AM∥x 轴， ∴点 M 的坐标为(0，c﹣ 5 4 )，N(﹣1，c﹣ 5 4 )， ∴CM＝c﹣(c﹣ 5 4 )＝ 5 4 ， ∵点 D 的坐标为(﹣1，c+1)， ∴DN＝(c+1)﹣(c﹣ 5 4 )＝ 9 4 ， ∵DF＝OC＝c， ∴FN＝DN﹣DF＝ 9 4 ﹣c， ∵ FN CM ＝ 3 5 ， ∴ 9 34 5 5 4 c  ， ∴c＝ 3 2 ， ∴c﹣ 5 4 ＝ 1 4 ， ∴点 A 纵坐标为 1 4 ， ∴A(﹣ 5 2 ， 1 4 )， ∴存在这样的点 A，使四边形 AOBD 是平行四边形． 【点睛】 本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数对称轴顶点坐标的公式，平行四边形的判定 和性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质等，求得 D 的坐标是解题的 关键．