北师大版数学九年级上册同步课件-第四章- 小结与复习

北师大版数学九年级上册同步课件-第四章- 小结与复习

第四章 图形的相似 复习课 如果选用一个长度单位量得两条线段a 、b 的长度分 别为m 、n ，那么两条线段的比 . n m b anmba  或:: 四条线段a 、 b 、c 、 d中，如果a与b的比等于c与d的 比，那么这四条线段a、 b 、 c 、 d叫做成比例线段，简称 比例线段. d c b a  线段的比和成比例线段的定义1 .bcadd c b a  d dc b ba d c b a  )( 0  ndbb a ndb mca n m d c b a 比例的更比性质— d b c a d c b a  比例的性质2 点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果 AC BC AB AC  点C叫做线段AB的 AC与AB（或BC与AC）的比叫做 黄金比 2 15  黄金分割 黄金分割点 黄金比 黄金分割3 1.定义： 三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形叫相似三角形. 相似三角形的定义、判定、性质4 3.性质： （1）相似三角形对应角相等，对应边成比例. （2）相似三角形对应高的比，对应角平分线的比和对应中线的 比都等于相似比. ★相似三角形周长的比等于 相似比 ★相似三角形面积的比等于 相似比的平方 ★相似多边形的周长比等于 相似比 ★相似多边形面积的比等于 相似比的平方 （1） 测高 测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形 求解. （不能直接使用皮尺或刻度尺量的） （不能直接测量的两点间的距离） 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同 一时刻物高与影长成比例”的原理解决. （2） 测距 相似三角形的应用5 例如用相似测物体的高度 A B C E D 1.6m 8.4m 1.2m 测山高 测楼高 测内孔直径 A B D E F G H 求最大值与最小值 C 如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点 所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做 位似图形. ★这个点叫做位似中心. ★这两个相似图形的相似比又称为位似比. ★位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比. 图形的位似6 3.体会位似图形何时为正像何时为倒像. 2.如何作位似图形(缩小). O P 1.如何作位似图形(放大). A B G C ED F ●P B′ A′ C′ D′E′ F′ G′ A′ B′ C′ D′ E′ F′ G′ A B G C ED F ●P 位似图形的作法7 下列各组不同长度的线段是成比例线段的是(　　) A．3 cm, 6 cm, 7 cm ，9 cm　　　 B．2 cm, 5 cm , 0.6 dm, 8 cm C．3 cm, 9 cm, 1.8 dm, 6 cm D．1 cm, 2 cm, 3 cm, 4 cm 解析：根据成比例线段的定义，对各选项进行一一分析． A. 故不是成比例线段； B．0.6 dm＝6 cm， 故不是成比例线段； C．1.8 dm＝18 cm，从小到大排序为3 cm，6 cm ， 9 cm，18 cm， 故是成比例线段； D. 故不是成比例线段． 3 7 ,6 9  2 6 ,5 8  3 9 ,6 18  1 3 ,2 4  C 成比例线段、比例的性质和黄金分割 例1 专题1 练习1：四条线段a、b、c、d成比例，其中b=3 cm，c=2 cm， d=6 cm，则 a= . 练习2：四个正数a、b、c、d能构成比例式，其中 b=3,c=2,d=6，则a= . 练习3： 若 5 2 a c b d   ，   db ca a b c d b d   则  d dc b ba 1 cm 4或9或1 7 2 2 3 2 5 练习4：若线段MN=10，点K为MN的黄金分割点，则KM的 长为 . , , . 如图，已知△ABC中，DE∥BC，AD=3，DB=6，AE=2， 求AC的长． 解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC, ∵AD=3，DB=6，AE=2， 解得EC=4． ∴AC=AE+EC=6. . AD AE BD EC  3 2 6 EC  ， 平行线分线段成比例 例2 专题2 练习5：如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分 别交于点A、B、C和点D、E、F， ， DE=6，则EF= ___ ． 3 2 BC AB 练习6：如图，DE∥BC，DF∥AC，AD＝4 cm，BD＝8 cm，DE＝5 cm，则线段BF的长为_________cm． 9 10 如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线， 点D在AC上，连结BD并延长与CE交于点E. (1)求证：△ABD∽△CED； (2)若AB=6，AD=2CD，求BE的长. （1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∠ACF＝120°． ∵CE是外角平分线，∴∠ACE＝60°， ∴∠BAC＝∠ACE． 又∵∠ADB＝∠CDE，∴△ABD∽△CED． 相似三角形的判定和性质 例3 专题3 （2）解：作BM⊥AC于点M，AC＝AB＝6． ∴AM＝CM＝3， ∵AD＝2CD，∴CD＝2，AD＝4，MD＝1. 在Rt△BDM中， ， 由（1）△ABD∽△CED得， 2 26 3 3 3BM    2 2 2 7.BD BM MD   2 7 =2BD AD ED CD ED  ，即 . 7 3 7.ED BE BD ED   ∵ ，∴ M 练习7：如图，在△ABC中，已知DE//BC，AD=3BD， S△ABC=48，求S△ADE. A B C D E 3 1 解：∵ DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC， ∴S△ABC : S△ADE = ∵AD : BD = 1：3, ∴AD : AB = 1：4， ∴S△ADE=27. 2AD( ) .AB 练习8：如图，将矩形ABCD沿两条较长边的中点的连线对折， 得到的矩形ADFE与矩形ABCD相似，确定矩形ABCD长与宽的 比. A B CD E F 解：矩形ADFE与矩形ABCD 相似. 2AD AE AD AB AE.AB AD     2 2 21 .1 2 2 AD AB AE AD AB AE AB       2 22 2 1AB AD AB : AD : .    练习9：如图，在长8 cm、宽6 cm的矩形中，截去一个矩形（图 中阴影部分所示），使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩 形面积为多少？ 8cm 6cm 由题意得 解：设留下矩形的面积为 x cm2， 解得 x =27 cm2. 即留下矩形的面积为 27 cm2. 26( ) .48 8 x  练习10：如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上 的高，BC=40，AD=30．从这张硬纸片剪下一个长HG是宽HE的2 倍的矩形EFGH．使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC、 AB上．AD与HG的交点为M． （1）求证： ； （2）求这个矩形EFGH的周长． BC HG AD AM  (1)证明：∵矩形EFGH, ∴EF∥GH. .AM HG AD BC   D A B C E F M N G D A B C E F M N G (2)解：设矩形的宽HE = x,则MD = HE = x. ∵AD = 30， ∴AM = 30 – x . ∵HG = 2HE, ∴HG = 2x . ∴x = 12，∴HE = 12, HG = 24. ∴矩形EFGH的周长=2（HE + HG）=2（12+24）= 72. , 40AM HG BCAD BC   ， (30 ) 2 .30 40 x x  小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼 下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了 一种测量方案，具体测量情况如下： 如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使 自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度 恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD＝1.2 m， CE＝0.8 m，CA＝30 m（点A、E、C在同一直线上）． 已知小明的身高EF是1.7 m，请你帮小明求出楼高AB（结果 精确到0.1 m）． 相似三角形的实际应用 例5 专题4 解：过点D作DG⊥AB，分别交AB、EF于点G、H， 则EH＝AG＝CD＝1.2 m， DH＝CE＝0.8 m，DG＝CA＝30 m． ∵EF和AB都垂直于地面，∴EF∥AB， ∴∠BGD=∠FHD=90°,∠GBD=∠HFD， ∴△BDG∽△FDH， .FH DH BG DG   G H 由题意，知 FH＝EF－EH＝1.7－1.2＝0.5（m）． 解得BG＝18.75（m）． ∴AB＝BG+AG＝18.75+1.2＝19.95≈20.0（m）． ∴楼高AB约为20.0 m． 0.5 0.8 ,30BG ∴ 练习11： 在比例尺为1∶ 200的地图上，测得A、B两地间 的图上距离为4.5 cm，则A、B两地间的实际距离为 __________m.9 练习12：如图，王芳同学跳起来把一个排球打在离地2 m远的地 上，然后反弹碰到墙上，如果她跳起击球时的高度是1.8 m，排 球落地点离墙的距离是6 m，假设球扬直沿直线运动，球能碰到 墙面离地多高的地方？ 解：∠ABO=∠CDO=90°， ∠AOB=∠COD， ∴△AOB∽△COD， AB BO CD DO   ， 1.8 2 6CD   ，∴ CD=5.4 m. 即球能碰到墙面离地5.4 m高的地方． 2 4 6 8 2 4 6 8 -2 -4 -6 -8 -2-4-6-8 O 9101112-9-10-12 如图，△ABC三个顶点 坐标分别为A（2，－2）、B （4，－5）、C（5，－2）、 以原点O为位似中心，将这个 三角形放大为原来的2倍． A B C 解： A'（ ， ），B ' （ ， ），C ' （ ， ），4 － 4 － 108 －410 A" （ ， ），B" （ ， ），C" （ ， ）.4－ 4 － 8 10 －10 4 A' B ' C ' A" B" C" 位似图形 例5 专题5 练习13：如图，在边长为1的小正方形组成的网格中， 建立平面直角坐标系，△ABO与△A′B′O′是以点P为 位似中心的位似图形，它们的顶点均在 格点(网格线的交点)上，则 点P的坐标为(　　) A．(0，0) B．(0，1) C．(－3，2) D．(3，－2) C 练习14：如图，正方形ABCD和正方形OEFG中, 点A和点 F的坐标分别为 (3，2)，(－1，－1)，则两个正方形的 位似中心的坐标是___________________．(1，0)或(－5，－2) O x 图形的相似 比例线段 相似三角形 相似多边形 位似 比例的基本性质 比例线段 平行线分线段成比例 判定 性质 应用