新人教版九年级数学全册教案+期中考试九年级数学试卷

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新人教版九年级 数学全册教案+期中考试九年级数学试卷 人教版九年级下册数学全册教案 第二十一章 一元二次方程 单元要点分析 教材内容 1．本单元教学的主要内容． 一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题． 2．本单元在教材中的地位与作用． 一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习 的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高 中数学的奠基工程．应该说，一元二次方程是本书的重点内容． 教学目标 1．知识与技能 了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元 二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识 解决问题． 2．过程与方法 （1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．根据数学模 型恰如其分地给出一元二次方程的概念． （2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等． （3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，导入用配方法解一元 二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程． （4）通过用已学的配方法解 ax2+bx+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接 着讨论求根公式的条件：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0． （5）通过复习八年级上册《整式》的第 5 节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解 法解一元二次方程，并用练习巩固它． （6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，并用该模型解决实际问题． 3．情感、态度与价值观 经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二 次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解 因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景， 使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发 学生的学习兴趣． 教学重点 1．一元二次方程及其它有关的概念． 2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程． 3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题． 教学难点 1．一元二次方程配方法解题． 2．用公式法解一元二次方程时的讨论． 3．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别． 教学关键 1．分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型． 2．用配方法解一元二次方程的步骤． 3．解一元二次方程公式法的推导． 课时划分 本单元教学时间约需 16 课时，具体分配如下： 21．1 一元二次方程 2 课时 21．2 降次──解一元二次方程 7 课时 21．3 实际问题与一元二次方程 5 课时 发现一元二次方程根与系数的关系 2 课时 第 1 课时 21．1 一元二次方程 教学内容 一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念． 教学目标 了解一元二次方程的概念；一般式 ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念；应用一元二 次方程概念解决一些简单题目． 1．通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义． 2．一元二次方程的一般形式及其有关概念． 3．解决一些概念性的题目． 4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情． 重难点关键 1．重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念 解决问题． 2．难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概 念迁移到一元二次方程的概念． 教学过程 一、复习引入 学生活动：列方程． 问题（1）古算趣题：“执竿进屋” 笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭。 有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足。 借问竿长多少数，谁人算出我佩服。 如果假设门的高为 x尺，那么，这个门的宽为_______尺，长为_______尺， 根据题意，得________． 整理、化简，得：__________． 问题（2）如图，如果 AC CB AB AC  ，那么点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点． B C A www.czsx.com.cn 如果假设 AB=1，AC=x，那么 BC=________，根据题意，得：________． 整理得：_________． 问题（3）有一面积为 54m2 的长方形，将它的一边剪短 5m，另一边剪短 2m，恰好变 成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？ 如果假设剪后的正方形边长为 x，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题 意，得：_______． 整理，得：________． 老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理． 二、探索新知 学生活动：请口答下面问题． （1）上面三个方程整理后含有几个未知数？ （2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？ （3）有等号吗？还是与多项式一样只有式子？ 老师点评：（1）都只含一个未知数 x；（2）它们的最高次数都是 2 次的；（3）都有等 号，是方程． 因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次 数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程． 一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式 ax2+bx+c=0 （a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式． 一个一元二次方程经过整理化成 ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中 ax2 是二次项，a 是二次 项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项． 例 1．将方程 3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系 数、一次项系数及常数项． 分析：一元二次方程的一般形式是 ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程 3x（x-1）=5(x+2) 必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等． 解：略 注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号. 例 2．（学生活动：请二至三位同学上台演练） 将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1 化 成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常 数项． 分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1 化成 ax2+bx+c=0（a ≠0）的形式． 解：略 三、巩固练习 教材 P32 练习 1、2 补充练习:判断下列方程是否为一元二次方程？ (1)3x+2=5y-3 (2) x2=4 (3) 3x2- 5 x =0 (4) x2-4=(x+2) 2 (5) ax2+bx+c=0 四、应用拓展 例 3．求证：关于 x 的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论 m 取何值，该方程都是一 元二次方程． 分析：要证明不论 m 取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明 m2-8m+17≠0 即 可． 证明：m2-8m+17=（m-4）2+1 ∵（m-4）2≥0 ∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0 ∴不论 m 取何值，该方程都是一元二次方程． • 练习: 1.方程（2a—4）x2—2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么 条件下此方程为一元一次方程？ 2.当 m 为何值时,方程(m+1)x ／4m／-4+27mx+5=0 是关于的一元二次方程 五、归纳小结（学生总结，老师点评） 本节课要掌握： （1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0（a≠0）和二次 项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用． 六、布置作业 1．教材 P34 习题 22．1 1(2)(4)(6)、2． 2．选用作业设计．补充:若 x2-2xm-1+3=0 是关于 x 的一元二次方程,求 m 的值 作业设计 一、选择题 1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）． ①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2- 5 x =0 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 2．方程 2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）． A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，6 3．px2-3x+p2-q=0 是关于 x 的一元二次方程，则（ ）． A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p 为任意实数 二、填空题 1．方程 3x2-3=2x+1 的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为 _________． 2．一元二次方程的一般形式是__________． 3．关于 x 的方程（a-1）x2+3x=0 是一元二次方程，则 a 的取值范围是________． 三、综合提高题 1．a 满足什么条件时，关于 x 的方程 a（x2+x）= 3 x-（x+1）是一元二次方程？ 2．关于 x 的方程（2m2+m）xm+1+3x=6 可能是一元二次方程吗？为什么？ 3．一块矩形铁片，面积为 1m2，长比宽多 3m，求铁片的长，小明在做这道题时，是 这样做的： 设铁片的长为 x，列出的方程为 x（x-3）=1，整理得：x2-3x-1=0．小明列出方程后，想 知道铁片的长到底是多少，下面是他的探索过程： 第一步： x 1 2 3 4 x2-3x-1 -3 -3 所以，________0，4a2＞0, 当 b2-4ac≥0 时 2 2 4 4 b ac a  ≥0 ∴（x+ 2 b a ）2=( 2 4 2 b ac a  )2 直接开平方，得：x+ 2 b a =± 2 4 2 b ac a  即 x= 2 4 2 b b ac a    ∴x1= 2 4 2 b b ac a    ，x2= 2 4 2 b b ac a    由上可知，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数 a、b、c 而定，因此： （1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式 ax2+bx+c=0，当 b2-4ac≥0 时， 将 a、b、c 代入式子 x= 2 4 2 b b ac a    就得到方程的根．(公式所出现的运算，恰好包括了 所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。) （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式． （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． 公式的理解 （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根． 例 1．用公式法解下列方程． （1）2x2-x-1=0 （2）x2+1.5=-3x (3) x2- 2 x+ 1 2 =0 （4）4x2-3x+2=0 分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可． 补:（5）（x-2）（3x-5）=0 三、巩固练习 教材 P42 练习 1．（1）、（3）、（5）或(2) 、(4) 、(6) 四、应用拓展 例 2．某数学兴趣小组对关于 x 的方程（m+1） 2 2mx  +（m-2）x-1=0 提出了下列问题． （1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出 m 并解此方程． （2）若使方程为一元二次方程 m 是否存在？若存在，请求出． 你能解决这个问题吗？ 分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足 m2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0． （2）要使它为一元一次方程，必须满足: ① 2 1 1 ( 1) ( 2) 0 m m m         或② 2 1 0 2 0 m m       或③ 1 0 2 0 m m      解：（1）存在．根据题意，得：m2+1=2 m2=1 m=±1 当 m=1 时，m+1=1+1=2≠0 当 m=-1 时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去） ∴当 m=1 时，方程为 2x2-1-x=0 a=2，b=-1，c=-1 b2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9 x= ( 1) 9 1 3 2 2 4     x1=，x2=- 1 2 因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根 x1=1，x2=- 1 2 ． （2）存在．根据题意，得：①m2+1=1，m2=0，m=0 因为当 m=0 时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0 所以 m=0 满足题意． ②当 m2+1=0，m 不存在． ③当 m+1=0，即 m=-1 时，m-2=-3≠0 所以 m=-1 也满足题意． 当 m=0 时，一元一次方程是 x-2x-1=0， 解得：x=-1 当 m=-1 时，一元一次方程是-3x-1=0 解得 x=- 1 3 因此，当 m=0 或-1 时，该方程是一元一次方程，并且当 m=0 时，其根为 x=-1； 当 m=-1 时，其一元一次方程的根为 x=- 1 3 ． 五、归纳小结 本节课应掌握： （1）求根公式的概念及其推导过程； （2）公式法的概念； （3）应用公式法解一元二次方程的步骤:1）将所给的方程变成一般形式，注意移项要 变号，尽量让 a>0.2)找出系数 a,b,c,注意各项的系数包括符号。3)计算 b2-4ac，若结果为负数， 方程无解，4）若结果为非负数，代入求根公式，算出结果。 （4）初步了解一元二次方程根的情况． 六、布置作业 1．教材 P45 复习巩固 4． 2．选用作业设计: 一、选择题 1．用公式法解方程 4x2-12x=3，得到（ ）． A．x= 3 6 2   B．x= 3 6 2  C．x= 3 2 3 2   D．x= 3 2 3 2  2．方程 2 x2+4 3 x+6 2 =0 的根是（ ）． A．x1= 2 ，x2= 3 B．x1=6，x2= 2 C．x1=2 2 ，x2= 2 D．x1=x2=- 6 3．（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则 m2-n2 的值是（ ）． A．4 B．-2 C．4 或-2 D．-4 或 2 二、填空题 1．一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，条件是________． 2．当 x=______时，代数式 x2-8x+12 的值是-4． 3．若关于 x 的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0 有一根为 0，则 m 的值是_____． 三、综合提高题 1．用公式法解关于 x 的方程：x2-2ax-b2+a2=0． 2．设 x1，x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，（1）试推导 x1+x2=- b a ，x1·x2= c a ； （2）求代数式 a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值． 3．某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过 A 千瓦时，那么这户居 民这个月只交 10 元电费，如果超过 A 千瓦时，那么这个月除了交 10元用电费外超过部分 还要按每千瓦时 100 A 元收费． （1）若某户 2 月份用电 90 千瓦时，超过规定 A 千瓦时，则超过部分电费为多少元？ （用 A 表示） （2）下表是这户居民 3 月、4 月的用电情况和交费情况 月份 用电量（千瓦时） 交电费总金额（元） 3 80 25 4 45 10 根据上表数据，求电厂规定的 A 值为多少？ 课后反思: 第 7 课时 21.2.4 判别一元二次方程根的情况 教学内容 用 b2-4ac 大于、等于 0、小于 0 判别 ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况及其运用． 教学目标 掌握 b2-4ac>0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实根，反之也成立；b2-4ac=0，ax2+bx+c=0 （a≠0）有两个相等的实数根，反之也成立；b2-4ac<0，ax2+bx+c=0（a≠0）没实根，反之 也成立；及其它们关系的运用． 通过复习用配方法解一元二次方程的 b2-4ac>0、b2-4ac=0、b2-4ac<0 各一题，分析它们 根的情况，从具体到一般，给出三个结论并应用它们解决一些具体题目． 重难点关键 1．重点：b2-4ac>0  一元二次方程有两个不相等的实根；b2-4ac=0  一元二次方程有 两个相等的实数；b2-4ac<0  一元二次方程没有实根． 2．难点与关键 从具体题目来推出一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的 b2-4ac 的情况与根的情况的关系． 教具、学具准备 小黑板 教学过程 一、复习引入 （学生活动）用公式法解下列方程． （1）2x2-3x=0 （2）3x2-2 3 x+1=0 （3）4x2+x+1=0 老师点评，（三位同学到黑板上作）老师只要点评（1）b2-4ac=9>0，有两个不相等的 实根；（2）b2-4ac=12-12=0，有两个相等的实根；（3）b2-4ac=│-4×4×1│=<0，方程没有 实根. 二、探索新知 方程 b2-4ac 的值 b2-4ac 的符号 x1、x2 的关系 （填相等、不等或不存在） 2x2-3x=0 3x2-2 3 x+1=0 4x2+x+1=0 请观察上表，结合 b2-4ac 的符号，归纳出一元二次方程的根的情况。证明你的猜想。 从前面的具体问题，我们已经知道 b2-4ac>0（<0，=0）与根的情况，现在我们从求 根公式的角度来分析： 求根公式：x= 2 4 2 b b ac a    ，当 b2-4ac>0 时，根据平方根的意义， 2 4b ac 等于 一个具体数，所以一元一次方程的 x1= 2 4 2 b b ac a    ≠x1= 2 4 2 b b ac a    ，即有两个不 相等的实根．当 b2-4ac=0 时，根据平方根的意义 2 4b ac =0，所以 x1=x2= 2 b a  ，即有两个 相等的实根；当 b2-4ac<0 时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以没有实数解． 因此，（结论）（1）当 b2-4ac>0 时，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等实 数根即 x1= 2 4 2 b b ac a    ，x2= 2 4 2 b b ac a    ． （2）当 b-4ac=0 时，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根即 x1=x2= 2 b a  ． （3）当 b2-4ac<0 时，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根． 例 1．不解方程，判定方程根的情况 （1）16x2+8x=-3 （2）9x2+6x+1=0 （3）2x2-9x+8=0 （4）x2-7x-18=0 分析：不解方程，判定根的情况，只需用 b2-4ac 的值大于 0、小于 0、等于 0的情况进 行分析即可． 解：（1）化为 16x2+8x+3=0 这里 a=16，b=8，c=3，b2-4ac=64-4×16×3=-128<0 所以，方程没有实数根． 三、巩固练习 不解方程判定下列方程根的情况: （1）x2+10x+26=0 （2）x2-x- 3 4 =0 （3）3x2+6x-5=0 （4）4x2-x+ 1 16 =0 （5）x2- 3 x- 1 4 =0 （6）4x2-6x=0 （7）x（2x-4）=5-8x 四、应用拓展 例 2．若关于 x 的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0 没有实数解，求 ax+3>0 的解集（用 含 a 的式子表示）． 分析：要求 ax+3>0 的解集，就是求 ax>-3 的解集，那么就转化为要判定 a 的值是正、 负或 0．因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0 没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）<0 就可求出 a 的取值范围． 解：∵关于 x 的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0 没有实数根． ∴（-2a）2-4（a-2）（a+1）=4a2-4a2+4a+8<0 a<-2 ∵ax+3>0 即 ax>-3 ∴x<- 3 a ∴所求不等式的解集为 x<- 3 a 五、归纳小结 本节课应掌握： b2-4ac>0  一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实根；b2-4ac=0  一元 二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实根；b2-4ac<0  一元二次方程 ax2+bx+c=0（a ≠0）没有实数根及其它的运用． 六、布置作业 1．教材 P46 复习巩固 6 综合运用 9 拓广探索 1、2． 2．选用课时作业设计． 第 7 课时作业设计 一、选择题 1．以下是方程 3x2-2x=-1 的解的情况，其中正确的有（ ）． A．∵b2-4ac=-8，∴方程有解 B．∵b2-4ac=-8，∴方程无解 C．∵b2-4ac=8，∴方程有解 D．∵b2-4ac=8，∴方程无解 2．一元二次方程 x2-ax+1=0 的两实数根相等，则 a 的值为（ ）． A．a=0 B．a=2 或 a=-2 C．a=2 D．a=2 或 a=0 3．已知 k≠1，一元二次方程（k-1）x2+kx+1=0 有根，则 k 的取值范围是（ ）． A．k≠2 B．k>2 C．k<2 且 k≠1 D．k 为一切实数 二、填空题 1．已知方程 x2+px+q=0 有两个相等的实数，则 p 与 q 的关系是________． 2．不解方程，判定 2x2-3=4x 的根的情况是______（填“二个不等实根”或“二个相等 实根或没有实根”）． 3．已知 b≠0，不解方程，试判定关于 x 的一元二次方程 x2-（2a+b）x+（a+ab-2b2）=0 的根的情况是________． 三、综合提高题 1．不解方程，试判定下列方程根的情况． （1）2+5x=3x2 （2）x2-（1+2 3 ）x+ 3 +4=0 2．当 c<0 时，判别方程 x2+bx+c=0 的根的情况． 3．不解方程，判别关于 x 的方程 x2-2kx+（2k-1）=0 的根的情况． 4．某集团公司为适应市场竞争，赶超世界先进水平，每年将销售总额的 8%作为新产品 开发研究资金，该集团 2000 年投入新产品开发研究资金为 4000 万元，2002 年销售总额为 7.2 亿元，求该集团 2000 年到 2002 年的年销售总额的平均增长率． 第 8 课时 21.2.5 因式分解法 教学内容 用因式分解法解一元二次方程． 教学目标 掌握用因式分解法解一元二次方程． 通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法──因式分解 法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题． 重难点关键 1．重点：用因式分解法解一元二次方程． 2．难点与关键：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题 简便． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）解下列方程． （1）2x2+x=0（用配方法） （2）3x2+6x=0（用公式法） 老师点评：（1）配方法将方程两边同除以 2 后，x 前面的系数应为 1 2 ，1 2 的一半应为 1 4 ， 因此，应加上（ 1 4 ）2，同时减去（ 1 4 ）2．（2）直接用公式求解． 二、探索新知 （学生活动）请同学们口答下面各题． （老师提问）（1）上面两个方程中有没有常数项？ （2）等式左边的各项有没有共同因式？ （学生先答，老师解答）上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解: 因此，上面两个方程都可以写成： （1）x（2x+1）=0 （2）3x（x+2）=0 因为两个因式乘积要等于 0，至少其中一个因式要等于 0，也就是（1）x=0 或 2x+1=0， 所以 x1=0，x2=- 1 2 ． （2）3x=0 或 x+2=0，所以 x1=0，x2=-2．（以上解法是如何实现降次的？） 因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解 使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次式分别等于 0，从而实现降次， 这种解法叫做因式分解法． 例 1．解方程 （1）10x-4.9 x2 =0 （2）x（x-2）+x-2 =0 (3)5x2-2x- 1 4 =x2-2x+ 3 4 (4)(x-1) 2 =(3-2x) 2 思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？ 解：略 （方程一边为 0，另一边可分解为两个一次因式乘积。） 练习：1．下面一元二次方程解法中，正确的是（ ）． A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7 B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x1= 2 5 ，x2= 3 5 C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2 D．x2=x 两边同除以 x，得 x=1 三、巩固练习 教材 P45 练习 1、2． 例 2．已知 9a2-4b2=0，求代数式 2 2a b a b b a ab   的值． 分析：要求 2 2a b a b b a ab   的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出 a 与 b 的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发生错误． 解：原式= 2 2 2 2 2a b a b b ab a      ∵9a2-4b2=0 ∴（3a+2b）（3a-2b）=0 3a+2b=0 或 3a-2b=0， a=- 2 3 b 或 a= 2 3 b 当 a=- 2 3 b 时，原式=- 2 2 3 b b =3 当 a= 2 3 b 时，原式=-3． 四、应用拓展 例 3．我们知道 x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么 x2-（a+b）x+ab=0 就可转化为（x-a） （x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程． （1）x2-3x-4=0 （2）x2-7x+6=0 （3）x2+4x-5=0 分析：二次三项式 x2-（a+b）x+ab 的最大特点是 x2 项是由 x·x 而成，常数项 ab 是由-a·（-b） 而成的，而一次项是由-a·x+（-b·x）交叉相乘而成的．根据上面的分析，我们可以对上 面的三题分解因式． 解（1）∵x2-3x-4=（x-4）（x+1） ∴（x-4）（x+1）=0 ∴x-4=0 或 x+1=0 ∴x1=4，x2=-1 下略。 上面这种方法，我们把它称为十字相乘法． 五、归纳小结 本节课要掌握： （1）用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用． （2）因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为 0，再分别使各一次因 式等于 0． 六、布置作业 教材 P46 复习巩固 5 综合运用 8、10 拓广探索 11． 第 8 课时作业设计 一、选择题 1．下面一元二次方程解法中，正确的是（ ）． A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7 B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x1= 2 5 ，x2= 3 5 C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2 D．x2=x 两边同除以 x，得 x=1 2．下列命题①方程 kx2-x-2=0 是一元二次方程；②x=1 与方程 x2=1 是同解方程；③方程 x2=x 与方程 x=1 是同解方程；④由（x+1）（x-1）=3 可得 x+1=3 或 x-1=3，其中正确的命题有 （ ）． A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 3．如果不为零的 n 是关于 x 的方程 x2-mx+n=0 的根，那么 m-n 的值为（ ）． A．- 1 2 B．-1 C． 1 2 D．1 二、填空题 1．x2-5x 因式分解结果为_______；2x（x-3）-5（x-3）因式分解的结果是______． 2．方程（2x-1）2=2x-1 的根是________． 3．二次三项式 x2+20x+96 分解因式的结果为________；如果令 x2+20x+96=0，那么它的 两个根是_________． 三、综合提高题 1．用因式分解法解下列方程． （1）3y2-6y=0 （2）25y2-16=0 （3）x2-12x-28=0（4）x2-12x+35=0 2．已知（x+y）（x+y-1）=0，求 x+y 的值． 3．今年初，湖北武穴市发生禽流感，某养鸡专业户在禽流感后，打算改建养鸡场，建 一个面积为 150m2 的长方形养鸡场．为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长 am，另三边用竹篱围成，如果篱笆的长为 35m，问鸡场长与宽各为多少？（其中 a≥20m） 课后反思 第 9 课时 一元二次方程的解法复习课 教学内容 习题课 教学目标 能掌握解一元二次方程的四种方法以及各种解法的要点。会根据不同的方程特点选用恰 当的方法，是解题过程简单合理，通过揭示各种解法的本质联系，渗透降次化归的思想方法。 重难点关键 1． 重点：会根据不同的方程特点选用恰当的方法，是解题过程简单合理。 2． 难点：通过揭示各种解法的本质联系，渗透降次化归的思想。 教学过程 1．用不同的方法解一元二次方程 3 x2-5x-2=0(配方法，公式法，因式分解发) 教师点评：三种不同的解法体现了同样的解题思路——把一元二次方程“降次”转化为 一元一次方程求解。 2 把下列方程的最简洁法选填在括号内。 (A)直接开平方法 (B) 配方法 (C) 公式法 (D)因式分解法 （1）7x-3=2 x2 ( ) (2)4(9x-1) 2=25 ( ) (3)(x+2)(x-1)=20 ( ) (4) 4x2+7x=2 ( ) (5)2(0.2t+3) 2-12.5=0 ( ) (6) x2+2 2 x-4=0 ( ) 说明:一元二次方程解法的选择顺序一般为因式分解法、公式法，若没有特殊说明一般 不采用配方法。其中，公式法是一般方法，适用于解所有的一元二次方程，因式分解法 是特殊方法，在解符合方程左边易因式分解，右边为 0 的特点的一元二次方程时，非常 简便。 3． 将下列方程化成一般形式，在选择恰当的方法求解。 (1)3x2=x+4 (2)(2x+1)(4x-2)=(2x-1) 2+2 (3)(x+3)(x-4)=-6（4）(x+1) 2-2(x-1) 2=6x-5 说明：将一元二次方程化成一般形式不仅是解一元二次方程的基本技能，而节能为揭发 的选择提供基础。 4.阅读材料，解答问题： 材料：为解方程(x2-1) 2-5(x2-1) 2+4=0,我们可以视（x2-1）为一个整体，然后设 x2-1=y,原方 程可化为 y 2-5y+4=0①.解得 y1=1,y2=4。当 y1=1 时，x2-1=1 即 x2=2，x=± 2 .当 y2=4 时， x2-1=4 即 x2=5, x=±√5。原方程的解为 x1= 2 ,x2=- 2 ,x3=√5, x4=-√5 解答问题：（1）填空：在由原方程得到①的过程中利用_______法，达到了降次的目的， 体现_______的数学思想。（2）解方程 x4—x2—6=0. 5.小结(1)说说你对解一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程的认识 (消元、降次、化归的思想) (2)三种方法（配方法、公式法、因式分解法）的联系与区别： 联系①降次，即它的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次． ②公式法是由配方法推导而得到． ③配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程． 区别：①配方法要先配方，再开方求根． ②公式法直接利用公式求根． ③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为 0，再分别使各一次因式 等于 0． 作业 P58 复习题 22 1. 第 10 课时 21.3 实际问题与一元二次方程(1) 教学内容 由“倍数关系”等问题建立数学模型，并通过配方法或公式法或分解因式法解决实际问 题． 教学目标 掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题． 通过复习二元一次方程组等建立数学模型，并利用它解决实际问题，引入用“倍数关系” 建立数学模型，并利用它解决实际问题． 重难点关键 1．重点：用“倍数关系”建立数学模型 2．难点与关键：用“倍数关系”建立数学模型 教学过程 一、复习引入 （学生活动）问题 1：列一元一次方程解应用题的步骤？ ①审题，②设出未知数. ③找等量关系. ④列方程， ⑤解方程， ⑥答. 二、探索新知 上面这道题大家都做得很好，这是一种利用一元一次方程的数量关系建立的数学模型， 那么还有没有利用其它形式，也就是利用我们前面所学过的一元二次方程建立数学模型解应 用题呢？请同学们完成下面问题． （学生活动）探究 1: 有一人患了流感,经过两轮传染后共有 121 人患了流感,每轮传 染中平均一个人传染了几个人? 分析: 1 第一轮传染 1+x 第二轮传染后 1+x+x(1+x) 解 : 设 每 轮 传 染 中 平 均 一 个 人 传 染 了 x 个 人 , 则 第 一 轮 后 共 有 人患了流感,第二轮后共有 人患了流感. 列方程得 1+x+x(x+1)=121 x2+2x-120=0 解方程,得 x1=-12, x2=10 根据问题的实际意义,x=10 答:每轮传染中平均一个人传染了 10 个人. 思考:按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感? (121+121×10=1331) 通过对这个问题的探究,你对类似的传播问题中的数量关系有新的认识吗? （后一轮被传染的人数前一轮患病人数的 x 倍）烈已于 四.巩固练习. 1.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分 支的总数是 91,每个支干长出多少小分支? 解:设每个支干长出 x 个小分支, 则 1+x+x.x=91 即 x2+x-90=0 解得 x1=9,x2=－10(不合题意,舍去) 答:每个支干长出 9 个小分支. 2.要组织一场篮球联赛, 每两队之间都赛 2 场,计划安排 90 场比赛,应邀请多少个球队参加比 赛? 五、归纳小结 本节课应掌握： 1. 利用“倍数关系”建立关于一元二次方程的数学模型，并利用恰当方法解它． 2. 列一元二次方程解一元二次方程的一般步骤（1）审（2）设（3）列（4）解（5）验 ——检验方程的解是否符合题意，将不符合题意的解舍去。（6）答 六、布置作业 1．教材 P58 复习题 22 6 ．P34 7 第 11 课时 21.3 实际问题与一元二次方程(2) 教学内容 建立一元二次方程的数学模型，解决增长率与降低率问题。 教学目标 掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题。 重难点关键 1．重点：如何解决增长率与降低率问题。 2．难点与关键：解决增长率与降低率问题的公式 a(1±x)n=b,其中 a 是原有量,x 增长（或 降低）率,n 为增长（或降低）的次数,b 为增长（或降低）后的量。 教学过程 探究 2 两年前生产 1 吨甲种药品的成本是 5000 元,生产 1 吨乙种药品的成本是 6000 元,随着 生产技术的进步,现在生产 1 吨甲种药品的成本是 3000 元,生产 1 吨乙种药品的成本是 3600 元，哪种药品成本的年平均下降率较大? 分析:甲种药品成本的年平均下降额为 (5000-3000)÷2=1000(元) 乙种药品成本的年平均下降额为 (6000-3600)÷2=1200(元) 乙种药品成本的年平均下降额较大.但是,年平均下降额(元)不等同于年平均下降率 解:设甲种药品成本的年平均下降率为 x,则一年后甲种药品成本为 5000(1-x)元,两年后甲 种药品成本为 5000(1-x)2 元,依题意得 5000（1-x）2=3000 解方程,得 答:甲种药品成本的年平均下降率约为 22.5%. 算一算:乙种药品成本的年平均下降率是多少? 比较:两种药品成本的年平均下降率 (22.5%,相同) 思考：经过计算,你能得出什么结论?成本下降额较大的药品,它的成本下降率一定也较大 吗 ?应怎样全面地比较对象的变化状况? （经过计算,成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格.） 小结：类似地 这种增长率的问题在实际生活普遍存在,有一定的模式 若平均增长(或降低)百分率为 x,增长(或降低)前的是 a,增长(或降低)n 次后的量是 b,则它 们的数量关系可表示为 a(1±x)n=b(中增长取+,降低取－) 二巩固练习 （1）某林场现有木材 a 立方米，预计在今后两年内年平均增长 p%，那么两年后该林场 有木材多少立方米? （2）某化工厂今年一月份生产化工原料 15 万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一 季度共生产化工原料 60 万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为 x，可列出方程 为__________． (3)公司 2001 年的各项经营中，一月份的营业额为 200 万元，一月、二月、三月的营业额 共 950 万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率． 4. 某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后，共有 256 个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖 了多少个细菌？ 三应用拓展 ),(775.1,225.0 21 舍去不合题意 xx 例 2．某人将 2000 元人民币按一年定期存入银行，到期后支取 1000 元用于购物，剩下 的 1000 元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息 共 1320 元，求这种存款方式的年利率． 分析：设这种存款方式的年利率为 x，第一次存 2000 元取 1000 元，剩下的本金和利息 是 1000+2000x·80%；第二次存，本金就变为 1000+2000x·80%，其它依此类推． 解：设这种存款方式的年利率为 x 则：1000+2000x·80%+（1000+2000x·8%）x·80%=1320 整理，得：1280x2+800x+1600x=320，即 8x2+15x-2=0 解得：x1=-2（不符，舍去），x2= 1 8 =0.125=12.5% 答：所求的年利率是 12．5%． 四归纳小结 本节课应掌握：增长率与降低率问题 五作业 1。 P53-7 P58-8 2．选用作业设计: 一、选择题 1．2005 年一月份越南发生禽流感的养鸡场 100 家，后来二、三月份新发生禽流感的养鸡 场共 250 家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为 x，依题意列出的方程是（ ）． A．100（1+x）2=250 B．100（1+x）+100（1+x）2=250 C．100（1-x）2=250 D．100（1+x）2 2．一台电视机成本价为 a 元，销售价比成本价增加 25%，因库存积压，所以就按销售价的 70%出售，那么每台售价为（ ）． A．（1+25%）（1+70%）a 元 B．70%（1+25%）a 元 C．（1+25%）（1-70%）a 元 D．（1+25%+70%）a 元 3．某商场的标价比成本高 p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即 降低的百分数）不得超过 d%，则 d 可用 p 表示为（ ）． A． 100 p p B．p C． 100 1000 p p D． 100 100 p p 二、填空题 1．某农户的粮食产量，平均每年的增长率为 x，第一年的产量为 6 万 kg，第二年的产量为 _______kg，第三年的产量为_______，三年总产量为_______． 2．某糖厂 2002 年食糖产量为 at，如果在以后两年平均增长的百分率为 x，那么预计 2004 年的产量将是________． 3．我国政府为了解决老百姓看病难的问题，决定下调药品价格，某种药品在 1999 年涨 价30%后，2001年降价70%至a元，则这种药品在1999年涨价前价格是__________． 三、综合提高题 1．为了响应国家“退耕还林”，改变我省水土流失的严重现状，2000 年我省某地退耕还林 1600 亩，计划到 2002 年一年退耕还林 1936 亩，问这两年平均每年退耕还林的平均增长 率 2．洛阳东方红拖拉机厂一月份生产甲、乙两种新型拖拉机，其中乙型 16 台，从二月 份起，甲型每月增产 10 台，乙型每月按相同的增长率逐年递增，又知二月份甲、乙两型 的产量之比是 3：2，三月份甲、乙两型产量之和为 65 台，求乙型拖拉机每月的增长率 及甲型拖拉机一月份的产量． 2．某商场于第一年初投入 50 万元进行商品经营，以后每年年终将当年获得的利润与当年 年初投入的资金相加所得的总资金，作为下一年年初投入的资金继续进行经营． （1）如果第一年的年获利率为 p，那么第一年年终的总资金是多少万元?（用代数式 来表示）（注：年获利率= 年利润 年初投入资金 ×100%） （2）如果第二年的年获利率多 10 个百分点（即第二年的年获利率是第一年的年获利率 与 10%的和），第二年年终的总资金为 66 万元，求第一年的年获利率． 课后反思 第 12 课时 21.3 实际问题与一元二次方程(3) 教学内容 根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题． 教学目标 掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题． 利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课，解决新课中的问题． 重难点关键 1．重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决 实际问题． 2．难点与关键：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型． 教具、学具准备 小黑板 教学过程 一、复习引入 （一）通过上节课的学习，大家学到了哪些知识和方法？ （二）上一节，我们学习了解决“平均增长(下降)率问题”，现在，我们要学习解决“面积、 体积问题。 1．直角三角形的面积公式是什么？一般三角形的面积公式是什么呢？ 2．正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？ 3．梯形的面积公式是什么？ 4．菱形的面积公式是什么？ 5．平行四边形的面积公式是什么？ 6．圆的面积公式是什么？ （学生口答，老师点评） 二、探索新知 现在，我们根据刚才所复习的面积公式来建立一些数学模型，解决一些实际问题． 例 1．某林场计划修一条长 750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为 1.6m2，上口 宽比渠深多 2m，渠底比渠深多 0.4m． （1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？ （2）如果计划每天挖土 48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？ 分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为 xm，则上口宽为 x+2，渠底为 x+0.4， 那么，根据梯形的面积公式便可建模． 解：（1）设渠深为 xm 则渠底为（x+0.4）m，上口宽为（x+2）m 依题意，得： 1 2 （x+2+x+0.4）x=1.6 整理，得：5x2+6x-8=0 解得：x1= 4 5 =0.8m，x2=-2（舍） ∴上口宽为 2.8m，渠底为 1.2m． （2）1.6 750 48  =25 天 答：渠道的上口宽与渠底深各是 2.8m 和 1.2m；需要 25 天才能挖完渠道． 学生活动：例 2．如图，要设计一本书的封面，封面长 27cm，宽 21cm，正中央是一 个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分 之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到 0.1cm）？ 九 年 级练 数 学习 同 步 思考： (1)本体中有哪些数量关系？ （2）正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形如何理解？ （3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？ 老师点评：依据题意知：中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比＝9：7，由此可以判定： 上下边衬宽与左右边衬宽之比为 9：7，设上、下边衬的宽均为 9xcm，则左、右边衬的宽 均为 7xcm，依题意，得：中央矩形的长为（27-18x）cm，宽为（21-14x）cm． 因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的 1 4 ，则中央矩形的面积是封面面积的． 所以（27-18x）（21-14x）= 3 4 ×27×21 整理，得：16x2-48x+9=0 解方程，得：x= 6 3 3 4  ， x1≈2.8cm，x2≈0.2 所以：9x1=25.2cm（舍去），9x2=1.8cm，7x2=1.4cm 因此，上下边衬的宽均为 1.8cm，左、右边衬的宽均为 1.4cm． 分析:这本书的长宽之比是 9:7,依题知正中央的矩形两边之比也为 9:7 解法二:设正中央的矩形两边分别为 9xcm，7xcm。依题意得 21274 379  xx 解方程，得： 故上下边衬的宽度为: 左右边衬的宽度为: 思考：对比几种方法各有什么特点？ 四、应用拓展 例 3 某校为了美化校园,准备在一块长 32 米,宽 20 米的长方形场地上修筑若干条道路, 余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有两位学生各设计了一种方案(如图),根据两种 设计方案各列出方程,求图中道路的宽分别是多少?使图(1),(2)的草坪面积为 540 米 2. （1） 练习 如图，在宽为 20m，长为 32m 的矩形地面上，修筑同样宽的两条平行且与另一 条相互垂直的道路，余下的六个相同的部分作为耕地，要使得耕地的面积为 500m2，道路的 宽为多少？ 解法一: 设道路的宽为 x，我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、 横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的 位 置 修 路 ） 则 可 列 方 程 ： （ 20-x ） （ 32-2x ） =500 整理，得：x2-36x+70=0 解法二:20×32-2×20x-32x+2x2=500 例 4．如图（a）、（b）所示，在△ABC 中∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点 P 从点 A开 始沿 AB 边向点 B 以 1cm/s 的速度运动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度运 动． （1）如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，经过几秒钟，使 S△PBQ=8cm2． （2）如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，并且 P 到 B 后又继续在 BC 边上前进，Q 到 C 后又继续在 CA 边上前进，经过几秒钟，使△PCQ 的面积等于 12.6cm2．（友情提示：过点 www.czsx.com.cn （2） 2 33 1 x ),(2 33 2 舍去不合题意x 8.14 32754 2 2 33927 2 927    x 4.14 32142 2 2 33721 2 721    x Q作 DQ⊥CB，垂足为 D，则： DQ CQ AB AC  ） (a) B A C Q www.czsx.com.cn P (b) B A C Q D www.czsx.com.cn P 分析：（1）设经过 x 秒钟，使 S△PBQ=8cm2，那么 AP=x，PB=6-x，QB=2x，由面积公式便 可得到一元二次方程的数学模型． （2）设经过 y 秒钟，这里的 y>6 使△PCQ 的面积等于 12.6cm2．因为 AB=6，BC=8，由 勾股定理得：AC=10，又由于 PA=y，CP=（14-y），CQ=（2y-8），又由友情提示，便可得到 DQ， 那么根据三角形的面积公式即可建模． 解：（1）设 x 秒，点 P 在 AB 上，点 Q 在 BC 上，且使△PBQ 的面积为 8cm2． 则： 1 2 （6-x）·2x=8 整理，得：x2-6x+8=0 解得：x1=2，x2=4 ∴经过 2 秒，点 P 到离 A 点 1×2=2cm 处，点 Q 离 B 点 2×2=4cm 处，经过 4 秒，点 P 到离 A 点 1×4=4cm 处，点 Q 离 B 点 2×4=8cm 处，所以它们都符合要求． （2）设 y 秒后点 P 移到 BC 上，且有 CP=（14-y）cm，点 Q 在 CA 上移动，且使 CQ=（2y-8） cm，过点 Q 作 DQ⊥CB，垂足为 D，则有 DQ CQ AB AC  ∵AB=6，BC=8 ∴由勾股定理，得：AC= 2 26 8 =10 ∴DQ= 6(2 8) 6( 4) 10 5 y y  则： 1 2 （14-y）· 6( 4) 5 y  =12.6 整理，得：y2-18y+77=0 解得：y1=7，y2=11 即经过 7 秒，点 P 在 BC 上距 C 点 7cm 处（CP=14-y=7），点 Q 在 CA 上距 C 点 6cm 处 （CQ=2y-8=6），使△PCD 的面积为 12.6cm2． 经过 11 秒，点 P 在 BC 上距 C 点 3cm 处，点 Q 在 CA 上距 C 点 14cm>10， ∴点 Q 已超过 CA 的范围，即此解不存在． ∴本小题只有一解 y1=7． 五、归纳小结 本节课应掌握：利用已学的特殊图形的面积公式建立一元二次方程的数学模型并运用它 解决实际问题． 六、布置作业 1．教材 P53 综合运用 5、6 拓广探索全部． 2．选用作业设计: 一、选择题 1．直角三角形两条直角边的和为 7，面积为 6，则斜边为（ ）． A． 37 B．5 C． 38 D．7 2．有两块木板，第一块长是宽的 2 倍，第二块的长比第一块的长少 2m，宽是第一块宽的 3 倍，已知第二块木板的面积比第一块大 108m2，这两块木板的长和宽分别是（ ）． A．第一块木板长 18m，宽 9m，第二块木板长 16m，宽 27m; B．第一块木板长 12m，宽 6m，第二块木板长 10m，宽 18m; C．第一块木板长 9m，宽 4.5m，第二块木板长 7m，宽 13.5m; D．以上都不对 3．从正方形铁片，截去 2cm 宽的一条长方形，余下的面积是 48cm2，则原来的正方形铁片 的面积是（ ）． A．8cm B．64cm C．8cm2 D．64cm2 二、填空题 1．矩形的周长为 8 2 ，面积为 1，则矩形的长和宽分别为________． 2．长方形的长比宽多 4cm，面积为 60cm2，则它的周长为________． 3．如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为 35m，所围的面积为 150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为_______． B A C E D www.czsx.com.cn F 图 22-10 三、综合提高题 1．如图所示的一防水坝的横截面（梯形），坝顶宽 3m，背水坡度为 1：2，迎水坡度为 1： 1，若坝长 30m，完成大坝所用去的土方为 4500m2，问水坝的高应是多少?（说明：背水 坡度 CF BF = 1 2 ，迎水坡度 1 1 DE AE  ）（精确到 0.1m） 2．在一块长 12m，宽 8m 的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为 8m2的长方形花台， 要使花坛四周的宽地宽度一样，则这个宽度为多少? 3．谁能量出道路的宽度: 如图 22-10，有矩形地 ABCD 一块，要在中央修一矩形花辅 EFGH，使其面积为这块地面 积的一半，且花圃四周道路的宽相等，今无测量工具，只有无刻度的足够长的绳子一条， 如何量出道路的宽度? 请同学们利用自己掌握的数学知识来解决这个实际问题，相信你一定能行． 第 13 课时 21.3 实际问题与一元二次方程(4) 教学内容 运用速度、时间、路程的关系建立一元二次方程数学模型解决实际问题． 教学目标 掌握运用速度、时间、路程三者的关系建立数学模型并解决实际问题． 通过复习速度、时间、路程三者的关系，提出问题，用这个知识解决问题． 重难点关键 1．重点：通过路程、速度、时间之间的关系建立数学模型解决实际问题． 2．难点与关键：建模． 教具、学具准备 小黑板 教学过程 一、复习引入 （老师口问，学生口答）路程、速度和时间三者的关系是什么？ 二、探究新知 我们这一节课就是要利用同学们刚才所回答的“路程＝速度×时间”来建立一元二次方 程的数学模型，并且解决一些实际问题． 请思考下面的二道例题． 例 1．某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程 s（m）和时间 t（s）之间的关系为： s=10t+3t2，那么行驶 200m 需要多长时间? 分析：这是一个加速运运，根据已知的路程求时间，因此，只要把 s=200代入求关系 t 的一元二次方程即可． 解：当 s=200 时，3t2+10t=200，3t2+10t-200=0 解得 t= 20 3 （s） 答：行驶 200m 需 20 3 s． 例 2．一辆汽车以 20m/s 的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又 滑行 25m 后停车． （1）从刹车到停车用了多少时间? （2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少? （3）刹车后汽车滑行到 15m 时约用了多少时间（精确到 0.1s）? 分析：（1）刚刹车时时速还是 20m/s，以后逐渐减少，停车时时速为 0．因为刹车以 后，其速度的减少都是受摩擦力而造成的，所以可以理解是匀速的，因此，其平均速度为 20 0 2  =10m/s，那么根据：路程=速度×时间，便可求出所求的时间． （2）很明显，刚要刹车时车速为 20m/s，停车车速为 0，车速减少值为 20-0=20，因为 车速减少值 20，是在从刹车到停车所用的时间内完成的，所以 20 除以从刹车到停车的时间 即可． （3）设刹车后汽车滑行到 15m 时约用除以 xs．由于平均每秒减少车速已从上题求出， 所以便可求出滑行到 15 米的车速，从而可求出刹车到滑行到 15m 的平均速度，再根据：路 程=速度×时间，便可求出 x 的值． 解：（1）从刹车到停车所用的路程是 25m；从刹车到停车的平均车速是 20 0 2  =10（m/s） 那么从刹车到停车所用的时间是 25 10 =2.5（s） （2）从刹车到停车车速的减少值是 20-0=20 从刹车到停车每秒平均车速减少值是 20 2.5 =8（m/s） （3）设刹车后汽车滑行到 15m 时约用了 xs，这时车速为（20-8x）m/s 则这段路程内的平均车速为 20 (20 8 ) 2 x  =（20-4x）m/s 所以 x（20-4x）=15 整理得：4x2-20x+15=0 解方程：得 x= 5 10 2  x1≈4.08（不合，舍去），x2≈0.9（s） 答：刹车后汽车行驶到 15m 时约用 0.9s． 三、巩固练习 （1）同上题，求刹车后汽车行驶 10m 时约用了多少时间．（精确到 0.1s） （2）刹车后汽车行驶到 20m 时约用了多少时间．（精确到 0.1s） 四、应用拓展 例 3．如图，某海军基地位于 A 处，在其正南方向 200 海里处有一重要目标 B，在 B 的正东方向 200 海里处有一重要目标 C，小岛 D 位于 AC 的中点，岛上有一补给码头：小岛 F 位于 BC 上且恰好处于小岛 D 的正南方向，一艘军舰从 A 出发，经 B 到 C 匀速巡航，一般 补给船同时从 D 出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰． （1）小岛 D 和小岛 F 相距多少海里? （2）已知军舰的速度是补给船的 2 倍，军舰在由 B 到 C 的途中与补给船相遇于 E 处， 那么相遇时补给船航行了多少海里?（结果精确到 0.1 海里） B A C E D www.czsx.com.cn F 分析：（1）因为依题意可知△ABC 是等腰直角三角形，△DFC 也是等腰直角三角形，AC 可求，CD 就可求，因此由勾股定理便可求 DF 的长． （2）要求补给船航行的距离就是求 DE 的长度，DF 已求，因此，只要在 Rt△DEF 中， 由勾股定理即可求． 解：（1）连结 DF，则 DF⊥BC ∵AB⊥BC，AB=BC=200 海里． ∴AC= 2 AB=200 2 海里，∠C=45° ∴CD= 1 2 AC=100 2 海里 DF=CF， 2 DF=CD ∴DF=CF= 2 2 CD= 2 2 ×100 2 =100（海里） 所以，小岛 D 和小岛 F 相距 100 海里． （2）设相遇时补给船航行了 x 海里，那么 DE=x 海里，AB+BE=2x 海里， EF=AB+BC-（AB+BE）-CF=（300-2x）海里 在 Rt△DEF 中，根据勾股定理可得方程 x2=1002+（300-2x）2 整理，得 3x2-1200x+100000=0 解这个方程，得：x1=200- 100 6 3 ≈118.4 x2=200+ 100 6 3 （不合题意，舍去） 所以，相遇时补给船大约航行了 118.4 海里． 五、归纳小结 本节课应掌握： 运用路程＝速度×时间，建立一元二次方程的数学模型，并解决一些实际问题． 六、布置作业 1．教材 P53 综合运用 9 P58 复习题 22 综合运用 9． 2．选用作业设计: 一、选择题 1．一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大 3，则这个两位数为（ ）． A．25 B．36 C．25 或 36 D．-25 或-36 2．某种出租车的收费标准是：起步价 7 元（即行驶距离不超过 3km 都需付 7 元车费）；超 过 3km 以后，每增加 1km，加收 2.4 元（不足 1km 按 1km 计），某人乘出租车从甲地到 乙地共支付车费 19 元，则此人从甲地到乙地经过的路程（ ）． A．正好 8km B．最多 8km C．至少 8km D．正好 7km 二、填空题 1．以大约与水平成 45°角的方向，向斜上方抛出标枪，抛出的距离 s（单位：m）与标枪 出手的速度 v（单位：m/s）之间大致有如下关系：s= 2 9.8 v +2 如果抛出 40m，那么标枪出手时的速度是________（精确到 0.1） 2．一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离 s（m） 与时间 t（s）的数据如下： 时间 t（s） 1 2 3 4 …… 距离 s（m） 2 8 1 8 3 2 …… 写出用 t 表示 s 的关系式为_______． 三、综合提高题 1．一个小球以 10m/s 的速度在平坦地面上开始滚动，并且均匀减速，滚动 20m 后小球停下 来． （1）小球滚动了多少时间? （2）平均每秒小球的运动速度减少多少? （3）小球滚动到 5m 时约用了多少时间（精确到 0.1s）? 2．某军舰以 20 节的速度由西向东航行，一艘电子侦察船以 30节的速度由南向北航行，它 能侦察出周围 50 海里（包括 50 海里）范围内的目标．如图，当该军舰行至 A 处时，电 子侦察船正位于 A 处正南方向的 B 处，且 AB=90 海里，如果军船和侦察船仍按原速度沿 原方向继续航行，那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰?如果能，最早何时能侦察到? 如果不能，请说明理由． 北 东 B A www.czsx.com.cn 课后反思 第 14 课时 21.3 实际问题与一元二次方程(5) 教学内容 建立一元二次方程的数学模型，解决如何全面地比较几个对象的变化状况． 教学目标 掌握建立数学模型以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题． 复习一种对象变化状况的解题过程，引入两种或两种以上对象的变化状况的解题方法． 重难点关键 1．重点：如何全面地比较几个对象的变化状况． 2．难点与关键：某些量的变化状况，不能衡量另外一些量的变化状况． 教具、学具准备 小黑板 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们独立完成下面的题目． 问题：某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出 500 张， 每张盈利 0.3 元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种 贺年卡的售价每降低 0.1 元，那么商场平均每天可多售出 100 张，商场要想平均每天盈利 120 元，每张贺年卡应降价多少元? 老师点评：总利润=每件平均利润×总件数．设每张贺年卡应降价 x 元，则每件平均利 润应是（0.3-x）元，总件数应是（500+ 0.1 x ×100） 解：设每张贺年卡应降价 x 元 则（0.3-x）（500+100 0.1 x ）=120 解得：x=0.1 答：每张贺年卡应降价 0.1 元． 二、探索新知 刚才，我们分析了一种贺年卡原来平均每天可售出 500 张，每张盈利 0.3 元，为了减少 库存降价销售，并知每降价 0.1 元，便可多售出 100 元，为了达到某个目的，每张贺年卡应 降价多少元?如果本题中有两种贺年卡或者两种其它东西，量与量之间又有怎样的关系呢? 即绝对量与相对量之间的关系． 例 1．某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出 500 张，每张盈利 0.3 元，乙种贺年卡平均每天可售出 200 张，每张盈利 0.75 元，为了尽快减 少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价 0.1 元， 那么商场平均每天可多售出 100 张；如果乙种贺年卡的售价每降价 0.25 元，那么商场平均 每天可多售出 34张．如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利 120 元，那么哪种贺年卡每 张降价的绝对量大． 分析：原来，两种贺年卡平均每天的盈利一样多，都是 150 元； 0.3 0.75 100 0.1 0.25 34   ， 从这些数目看，好象两种贺年卡每张降价的绝对量一样大，下面我们就通过解题来说明这 个问题． 解：（1）从“复习引入”中，我们可知，商场要想平均每天盈利 120 元，甲种贺年卡应 降价 0.1 元． （2）乙种贺年卡：设每张乙种贺年卡应降价 y 元， 则：（0.75-y）（200+ 0.25 y ×34）=120 即（ 3 4 -y）（200+136y）=120 整理：得 68y2+49y-15=0 y= 49 6481 2 68    ∴y≈-0.98（不符题意，应舍去） y≈0.23 元 答：乙种贺年卡每张降价的绝对量大． 三、巩固练习 新华商场销售甲、乙两种冰箱，甲种冰箱每台进货价为 2500 元，市场调研表明：当销 售价为 2900 元时，平均每天能售出 8 台；而当销售价每降低 50 元时，平均每天就能多售出 4 台．乙种冰箱每台进货价为 2000 元，市场调研表明：当销售价为 2500 元时，平均每天 能售出 8 台；而当销售价每降低 45 元时，平均每天就能多售出 4 台，商场要想使这两种冰 箱的销售利润平均每天达到 5000 元，那么两种冰箱的定价应各是多少? 四、应用拓展 例 3．某商店经销一种销售成本为每千克 40 元的水产品，据市场分析，若每千克 50 元销售，一个月能售出 500kg，销售单价每涨 1 元，月销售量就减少 10kg，针对这种水产品 情况，请解答以下问题： （1）当销售单价定为每千克 55 元时，计算销售量和月销售利润． （2）设销售单价为每千克 x 元，月销售利润为 y 元，求 y 与 x 的关系式． （3）商品想在月销售成本不超过 10000 元的情况下，使得月销售利润达到 8000 元， 销售单价应为多少? 分析：（1）销售单价定为 55 元，比原来的销售价 50 元提高 5 元，因此，销售量就减少 5×10kg． （2）销售利润 y=（销售单价 x-销售成本 40）×销售量[500-10（x-50）] （3）月销售成本不超过 10000 元，那么销售量就不超过10000 40 =250kg，在这个提前下， 求月销售利润达到 8000 元，销售单价应为多少． 解：（1）销售量：500-5×10=450（kg）；销售利润：450×（55-40）=450×15=6750 元 （2）y=（x-40）[500-10（x-50）]=-10x2+1400x-40000 （3）由于水产品不超过 10000÷40=250kg，定价为 x 元，则（x-400）[500-10（x-50）]=8000 解得：x1=80，x2=60 当 x1=80 时，进货 500-10（80-50）=200kg<250kg，满足题意． 当 x2=60 时，进货 500-10（60-50）=400kg>250kg，（舍去）． 五、归纳小结 本节课应掌握： 建立多种一元二次方程的数学建模以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题． 六、布置作业 1．教材 P53 复习巩固 2 综合运用 7、9． 2．选用作业设计： 作业设计 一、选择题 1．一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡 72 张，则这个小组共（ ）． A．12 人 B．18 人 C．9 人 D．10 人 2．某一商人进货价便宜 8%，而售价不变，那么他的利润（按进货价而定）可由目前 x 增加 到（x+10%），则 x 是（ ）． A．12% B．15% C．30% D．50% 3．育才中学为迎接香港回归，从 1994 年到 1997 年四年内师生共植树 1997 棵，已知该校 1994 年植树 342 棵，1995 年植树 500 棵，如果 1996 年和 1997 年植树的年增长率相同， 那么该校 1997 年植树的棵数为（ ）． A．600 B．604 C．595 D．605 二、填空题 1．一个产品原价为 a 元，受市场经济影响，先提价 20%后又降价 15%，现价比原价多 _______%． 2．甲用 1000 元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票转卖给乙，获利 10%，乙而后又 将这手股票返卖给甲，但乙损失了 10%，最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这手股票卖 出，在上述股票交易中，甲盈了_________元． 3．一个容器盛满纯药液 63L，第一次倒出一部分纯药液后用水加满，第二次又倒出同样多 的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是 28L，设每次倒出液体 xL，则列出的 方程是________． 三、综合提高题 1．上海甲商场七月份利润为 100 万元，九月份的利率为 121 万元，乙商场七月份利率为 200 万元，九月份的利润为 288 万元，那么哪个商场利润的年平均上升率较大? 2．某果园有 100 棵桃树，一棵桃树平均结 1000 个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量， 试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少 2 个，如果要使产量增加 15.2%， 那么应多种多少棵桃树? 3．某玩具厂有 4 个车间，某周是质量检查周，现每个车间都原有 a（a>0）个成品，且每个 车间每天都生产 b（b>0）个成品，质量科派出若干名检验员周一、周二检验其中两个 车间原有的和这两天生产的所有成品，然后，周三到周五检验另外两个车间原有的和本 周生产的所有成品，假定每名检验员每天检验的成品数相同． （1）这若干名检验员 1 天共检验多少个成品?（用含 a、b 的代数式表示） （2）若一名检验员 1 天能检验 4 5 b 个成品，则质量科至少要派出多少名检验员? 课后反思 第 15 课时 发现一元二次方程根与系数的关系(1) 教学目标 1. 掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用．2.培养学生分析、观察、归纳的能 力和推理论证的能力．3.渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律； 4.培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神． 教学重点 根与系数的关系及其推导 教学难点 正确理解根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两 根的和，两根的积与系数的关系． 教学过程 一、复习引入 1.已知方程 x2-ax-3a=0 的一个根是 6,则求 a 及另一个根的值。 2．有上题可知一元二次方程的系数与根有着密切的关系。其实我们已学过的求根公式也反 映了根与系数的关系，这种关系比较复杂，是否有根简洁的关系？ 3．有求根公式可知，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为 x1= 2 4 2 b b ac a    ， x2= 2 4 2 b b ac a    .观察两式左边，分母相同，分子是-b+√b 2-4ac 与-b-√b 2-4ac。两根之间 通过什么计算才能得到更简洁的关系？ 二、探索新知 解下列方程，并填写表格： 方 程 x1 x2 x1+x2 x1. x2 x2-2x=0 x2+3x-4=0 x2-5x+6=0 观察上面的表格，你能得到什么结论？ （1）关于 x 的方程 x2+px+q=0(p,q 为常数,p2-4q≥0)的两根 x1，x2 与系数 p，q 之间 有什么关系？ （2）关于 x 的方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的两根 x1， x2 与系数 a，b，c 之间又有何关系呢？ 你能证明你的猜想吗？ 解下列方程，并填写表格： 方 程 x1 x2 x1+x2 x1. x2 2x2-7x-4=0 3x2+2x-5=0 5x2-17x+6=0 小结:1.根与系数关系： （1）关于 x 的方程 x2+px+q=0(p,q 为常数,p2-4q≥0)的两根 x1，x2 与系数 p，q 的关系是： x1+x2=－p, x1. x2=q(注意：根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零。) （2）形如的方程 ax2+bx+c=0（a≠0），可以先将二次项系数化为 1，再利用上面的结论。 即： 对于方程 ax2+bx+c=0（a≠0） ∵ 0a ∴ 02  a cxa bx ∴ a bxx  21 ， a cxx  21 （可以利用求根公式给出证明） 例 1：不解方程，写出下列方程的两根和与两根积： 013)1( 2  xx 0532)2( 2  xx 022 3 1)3(  xx 362)4( 2  xx 01)5( 2 x 012)6( 2  xx 例 2：不解方程，检验下列方程的解是否正确？ 0122)1( 2  xx )12,12( 21  xx 0832)2( 2  xx )4 735,4 737 21(  xx 例 3：已知一元二次方程的两个根是-1 和 2，请你写出一个符合条件的方程.（你有几种 方法？） 例 4：已知方程 092 2  kxx 的一个根是 3 ，求另一根及 k 的值. 变式一：已知方程 0922  kxx 的两根互为相反数，求 k； 变式二：已知方程 052 2  kxx 的两根互为倒数，求 k； 三、巩固练习 1.已知方程 032  mxx 的一个根是 1，求另一根及 m 的值. 2.已知方程 042  cxx 的一个根为 32  ，求另一根及 c 的值. 四、应用拓展 1.已知关于 x 的方程 032  mxx 的一个根是另一个根的 2 倍，求 m 的值. 2.已知两数和为 8，积为 9，求这两个数. 3. x2-2x+6=0 的两根为 x1，x2，则 x1+x2=2，x1x2=6.是否正确？ 五、归纳小结 1.根与系数的关系： 2.根与系数关系使用的前提是：（1）是一元二次方程；（2）判别式大于等于零. 六、布置作业 1．不解方程，写出下列方程的两根和与两根积。 （1）x2-5x-3=0 (2)9x+2= x2 (3) 6 x2-3x+2=0 (4)3x2+x+1=0 2. 已知方程 x2-3x+m=0 的一个根为 1,求另一根及 m 的值. 3. 已知方程 x2+bx+6=0 的一个根为-2 求另一根及 b 的值. 第 16 课时 发现一元二次方程根与系数的关系(2) 教学目标 1.熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系； 2.灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决实际问题； 3.渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律； 4. 提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力． 教学重点:一元二次方程根与系数关系的灵活运用 教学难点: 某些代数式的变形 教学过程 一、复习引入 一元二次方程的根与系数的关系： 结论 1．如果 ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是 x1，x2， 那么： a cxxa bxx  2121 , 结论 2．如果方程 x2+px+q＝0 的两个根是 x1，x2， 那么 x1＋x2＝-p，x1·x2=q． 一元二次方程根与系数的关系充分刻化了两根和与两根积和方程系数的关系，它的应用 不仅在验根，已知一根求另一根及待定系数 k 的值，还在其它数学问题中有广泛而又简明的 应用 二、探索新知 例 1. 已知 xx 21 , 是方程 0132 2  xx 的两个根，不解方程，求下列代数式的值. xx 21 22 )1(  xx 21 11)2(  )3)(3 21)(3(  xx ))(4( 21 2 xx  xxxx 21 2 12 2)5(  x x x x 2 1 1 2)6(  小结：运用根与系数的关系，求某些代数式的值，关键是将所求的代数式恒等变 形为用 x1+x2 和 x1x2 表示的代数式． 三、巩固练习 1.已知方程 0132  xx 的两个根为 xx 21 , ，求 )1)(1( 21 xx  的值. 2.若 m，n 是方程 0120042  xx 的两个实数根,求代数式 mnmnnm  22 的值. 例 2 已知关于 x 的方程 0)12( 22  kxkx 的两个实数根的平方和是 11，求 k 的值. 提示：使用根与系数关系的前提是判别式大于等于零. 练 习 ： 若 关 于 x 的 方 程 042 2  mxx 的 两 根 是 xx 21 , ， 且 满 足 211 21  xx ，求实数 m 的值. 四、应用拓展 m 为何值时,（1）方程 01342  mxx 有两个不相等的正数根？ （2）方程 0122 2  mxx 的两根异号？ 五、归纳小结 1.利用根与系数的关系求代数式的值；（关键是将所求代数式用含有两根和与两根积的 式子表示出来） 2.已知两根满足某种关系式，求字母的值.（注意判别式要大于等于零） 六、布置作业 已知 x1， x2 是方程 5 x2-7x+2=0 的两个根，不解方程，求下列代数式的值. (1) x12+x22 (2)( x1+x2)2 (3) )1)(1( 21 xx  课题： 第 22 章 二次函数 教学目标： 1、 从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步 体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。 2、 理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式。 3、 会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围。 4、 会用待定系数法求二次函数的解析式。 教学重点：二次函数的概念和解析式 教学难点：本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力。 教学设计： 一、创设情境，导入新课 问题 1、现有一根 12m 长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？ 小明同学认为当围成的矩形是正方形时 ，它的面积最大，他说的有道理吗？ 问题 2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计 算篮球达到最高点时的高度？ 这些问题都可以通过学习俄二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”（板书 课题） 二、合作学习，探索新知 请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量 y 与 x 之间的关系： （1）面积 y (cm2)与圆的半径 x ( Cm ) (2)王先生存人银行 2 万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定 期,设一年定期的年存款利率为文 x 两年后王先生共得本息 y 元; (3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形，周长为 12Om , 室内通道的 尺寸如图,设一条边长为 x (cm), 种植面积为 y (m2) 1 1 1 3x （一） 教师组织合作学习活动： 1、 先个体探求，尝试写出 y 与 x 之间的函数解析式。 2、 上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨。 （1）y =πx2 （2）y = 2000(1+x)2 = 20000x2+40000x+20000 (3) y = (60-x-4)(x-2)=-x2+58x-112 （二）上述三个函数解析式具有哪些共同特征？ 让学生充分发表意见，提出各自看法。 教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具 y=ax²+bx+c (a,b,c 是常数, a≠0)的形式. 板书：我们把形如 y=ax²+bx+c(其中 a,b,C 是常数，a≠0)的函数叫做二次函数(quadratic funcion) 称 a 为二次项系数， b 为一次项系数，c 为常数项， 请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项 （二） 做一做 1、 下列函数中，哪些是二次函数？ (1) 2xy  (2) 2 1 x y  (3) 12 2  xxy （4） )1( xxy  （5） )1)(1()1( 2  xxxy 2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项： （1） 12  xy （2） 1273 2  xxy （3） )1(2 xxy  3、若函数 mmxmy  2 )1( 2 为二次函数，则 m 的值为 。 三、例题示范，了解规律 例 1、已知二次函数 qpxxy  2 当 x=1 时，函数值是 4；当 x=2 时，函数值是-5。求 这个二次函数的解析式。 此题难度较小，但却反映了求二次函数解析式的一般方法，可让学生一边说，教师一边板书 示范，强调书写格式和思考方法。 练习：已知二次函数 cbxaxy  2 ，当 x=2 时，函数值是 3；当 x=-2 时，函数值是 2。 求这个二次函数的解析式。 例 2、如图，一张正方形纸板的边长为 2cm，将它剪去 4 个全等的直角三角形（图中阴影部 分）。设 AE=BF=CG=DH=x(cm) ,四边形 EFGH 的面积为 y(cm2),求： （1） y 关于 x 的函数解析式和自变量 x 的取值范围。 （2） 当 x 分别为 0.25，0.5，1.5，1.75 时，对应的四边形 EFGH 的面积，并列表表示。 A BE F CGD H 方法： （1）学生独立分析思考，尝试写出 y 关于 x 的函数解析式，教师巡回辅导，适时点拨。 （2）对于第一个问题可以用多种方法解答，比如： 求差法：四边形 EFGH 的面积=正方形 ABCD 的面积-直角三角形 AEH 的面积 DE4 倍。 直接法：先证明四边形 EFGH 是正方形，再由勾股定理求出 EH2 (3)对于自变量的取值范围，要求学生要根据实际问题中自变量的实际意义来确定。 （4）对于第（2）小题，在求解并列表表示后，重点让学生看清 x 与 y 之间数值的对应关 系和内在的规律性：随着 x 的取值的增大，y 的值先减后增；y 的值具有对称性。 练习： 用 20 米的篱笆围一个矩形的花圃（如图），设连墙的一边为 x,矩形的面积为 y,求： (1)写出 y 关于 x 的函数关系式. (2)当 x=3 时,矩形的面积为多少? 四、归纳小结，反思提高 本节课你有什么收获？ 五、布置作业 课本作业题 26.2 二次函数的图像（1） 教学目标： 1、经历描点法画函数图像的过程；2、学会观察、归纳、概括函数图像的特征；3、 掌握 型二次函数图像的特征； 4、经历从特殊到一般的认识过程，学会合情推理。 教学重点： 2axy  型二次函数图像的描绘和图像特征的归纳 教学难点： 选择适当的自变量的值和相应的函数值来画函数图像，该过程较为复杂。 教学设计： 一、回顾知识 前面我们在学习正比例函数、一次函数和反比例函数时时如何进一步研究这些函数的？ 先 （用描点法画出函数的图像，再结合图像研究性质。） 引入：我们仿照前面研究函数的方法来研究二次函数，先从最特殊的形式即 2axy  入手。 因此本节课要讨论二次函数 2axy  （ 0a ）的图像。 板书课题：二次函数 2axy  （ 0a ）图像 二、探索图像 1、 用描点法画出二次函数 2xy  和 2xy  图像 （1） 列表 x x … -2 2 11 -1 2 1 0 2 1 1 2 11 2 … 2xy  … 4 4 12 1 4 1 0 4 12 1 4 12 4 … 2xy  … -4 - 4 12 -1 - 4 1 0 - 4 1 -1 - 4 12 -4 … 引导学生观察上表，思考一下问题： ①无论 x 取何值，对于 2xy  来说，y 的值有什么特征？对于 2xy  来说，又有什么特征？ ②当 x 取 1,2 1  等互为相反数时，对应的 y 的值有什么特征？ （2） 描点（边描点，边总结点的位置特征，与上表中观察的结果联系起来）. （3） 连线，用平滑曲线按照 x 由小到大的顺序连接起来，从而分别得到 2xy  和 2xy  的图像。 2、 练习：在同一直角坐标系中画出二次函数 22xy  和 22xy  的图像。 学生画图像，教师巡视并辅导学困生。（利用实物投影仪进行讲评） 3、二次函数 2axy  （ 0a ）的图像 由上面的四个函数图像概括出： （1） 二次函数的 2axy  图像形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线， （2） 这条抛物线关于 y 轴对称，y 轴就是抛物线的对称轴。 （3） 对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。注意：顶点不是与 y 轴的交点。 （4） 当 oa  时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点，图像在 x 轴的上方(除 顶点外)；当 oa  时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点图像在 x 轴的 下方(除顶点外)。 （最好是用几何画板演示，让学生加深理解与记忆） 三、课堂练习 观察二次函数 2xy  和 2xy  的图像 (1) 填空： 抛物线 2xy  2xy  顶点坐标 对称轴 位 置 开口方向 (2)在同一坐标系内，抛物线 2xy  和抛物线 2xy  的位置有什么关系？如果在同一个坐 标系内画二次函数 2axy  和 2axy  的图像怎样画更简便？ (抛物线 2xy  与抛物线 2xy  关于 x 轴对称，只要画出 2axy  与 2axy  中的一条抛 物线，另一条可利用关于 x 轴对称来画) 四、例题讲解 例题：已知二次函数 2axy  （ 0a ）的图像经过点（-2，-3）。 （1） 求 a 的值，并写出这个二次函数的解析式。 （2） 说出这个二次函数图像的顶点坐标、对称轴、开口方向和图像的位置。 练习：（1）课本第 31 页课内练习第 2 题。 (2) 已知抛物线 y=ax2 经过点 A（-2，-8）。 （1）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点 B（-1，- 4）是否在此抛物线上。 （3）求出此抛物线上纵坐标为-6 的点的坐标。 五、谈收获 1.二次函数 y=ax2(a≠0)的图像是一条抛物线. 2.图象关于 y 轴对称,顶点是坐标原点 3.当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线上的最低点;当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是 抛物线的最高点 六、作业：见作业本。 课题：22.2 二次函数的图像（2） 教学目标： 1、经历二次函数图像平移的过程；理解函数图像平移的意义。 2、了解 2axy  ， 2)( mxay  ， kmxay  2)( 三类二次函数图像之间的关系。 3、会从图像的平移变换的角度认识 kmxay  2)( 型二次函数的图像特征。 教学重点：从图像的平移变换的角度认识 kmxay  2)( 型二次函数的图像特征。 教学难点：对于平移变换的理解和确定，学生较难理解。 教学设计： 一、知识回顾 二次函数 2axy  的图像和特征： 1、名称 ；2、顶点坐标 ；3、对称轴 ； 4、当 oa  时，抛物线的开口向 ，顶点是抛物线上的最 点，图像在 x 轴的 (除顶 点外)；当 oa  时，抛物线的开口向 ，顶点是抛物线上的最 点图像在 x 轴的 (除 顶点外)。 二、合作学习 在同一坐标系中画出函数图像 2 2 1 xy  ， ,)2(2 1 2 xy 2)2(2 1  xy 的图像。 （1） 请比较这三个函数图像有什么共同特征？ （2） 顶点和对称轴有什么关系？ （3） 图像之间的位置能否通过适当的变换得到？ （4） 由此，你发现了什么？ 三、探究二次函数 2axy  和 2)( mxay  图像之间的关系 1、 结合学生所画图像，引导学生观察 ,)2(2 1 2 xy 与 2 2 1 xy  的图像位置关系，直观得 出 2 2 1 xy  的图像  向左平移两个单位 ,)2(2 1 2 xy 的图像。 教师可以采取以下措施：①借助几何画板演示几个对应点的位置关系 ，如： （0，0）  向左平移两个单位 （-2，0） （2，2）  向左平移两个单位 （0，2）； （-2，2）  向左平移两个单位 （-4，2） ②也可以把这些对应点在图像上用彩色粉笔标出，并用带箭头的线段表示平移过程。 2、 用同样的方法得出 2 2 1 xy  的图像  向右平移两个单位 2)2(2 1  xy 的图像。 3、请你总结二次函数 y=a(x+ m)2 的图象和性质. 2axy  （ 0a ）的图像 个单位时向右平移当 个单位向左平移 时当 m0m m 0m     2)2(2 1  xy 的图像。 函数 2)( mxay  的图像的顶点坐标是（-m,0）,对称轴是直线 x=-m 4、做一做 （1）、 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 y =2(x+3)2 y = -3(x-1)2 y = -4(x-3)2 （2）、填空： ①、由抛物线 y=2x²向 平移 个单位可得到 y= 2(x+1)2 ②、函数 y= -5(x -4)2 的图象。可以由抛物线 向 平移 4 个单位而得到的。 3、对于二次函数 2)4(3 1  xy ，请回答下列问题： ①把函数 2 3 1 xy  的图像作怎样的平移变换，就能得到函数 2)4(3 1  xy 的图像？ ②说出函数 2)4(3 1  xy 的图像的顶点坐标和对称轴。 第 3 题的解答作如下启发：这里的 m 是什么数？大于零还是小于零？应当把 2 3 1 xy  的 图像向左平移还是向右平移？在此同时用平移的方法画出函数 2)4(3 1  xy 的大致图像 （事先画好函数 2 3 1 xy  的图像），借助图像有学生回答问题。 五、 探究二次函数 kmxay  2)( 和 2axy  图像之间的关系 1、在上面的平面直角坐标系中画出二次函数 3)2(2 1 2  xy 的图像。 首先引导学生观察比较 ,)2(2 1 2 xy 与 3)2(2 1 2  xy 的图像关系，直观得出： ,)2(2 1 2 xy 的图像   个单位向上平移3 3)2(2 1 2  xy 的图像。（结合多媒体演示） 再引导学生刚才得到的 2 2 1 xy  的图像与 ,)2(2 1 2 xy 的图像之间的位置关系，由此得 出：只要把抛物线 2 2 1 xy  先向左平移 2 个单位，在向上平移 3 个单位，就可得到函数 3)2(2 1 2  xy 的图像。 2、做一做：请填写下表： 函数解析式 图像的对称轴 图像的顶点坐标 2 2 1 xy  ,)2(2 1 2 xy 3)2(2 1 2  xy 3、 总结 kmxay  2)( 的图像和 2axy  图像的关系 2axy  （ 0a ） 的 图 像 个单位时向右平移当 个单位向左平移 时当 m0m m 0m     2)2(2 1  xy 的 图 像 个单位时向下平移当 个单位向上平移 时当 m0k m 0k     kmxay  2)( 的图像。 kmxay  2)( 的图像的对称轴是直线 x=-m，顶点坐标是（-m，k） 。 口诀：（m、k）正负左右上下移 （ m 左加右减 k 上加下减） 4、练习：课本第 34 页课内练习地 1、2 题 六、谈收获： 1、函数 kmxay  2)( 的图像和函数 2axy  图像之间的关系。 2、函数 kmxay  2)( 的图像在开口方向、顶点坐标和对称轴等方面的性质。 七、布置作业 课本第 35 页作业题 预习题：对于函数 122  xxy ，请回答下列问题： （1）对于函数 122  xxy 的图像可以由什么抛物线，经怎样平移得到的？ （2）函数图像的对称轴、顶点坐标各是什么？ 课题：22.2 二次函数的图像（3） 教学目标： 1、了解二次函数图像的特点。 2、掌握一般二次函数 cbxaxy  2 的图像与 2axy  的图像之间的关系。 3、会确定图像的开口方向，会利用公式求顶点坐标和对称轴。 教学重点：二次函数的图像特征 教学难点：例 2 的解题思路与解题技巧。 教学设计： 一、回顾知识 1、二次函数 kmxay  2)( 的图像和 2axy  的图像之间的关系。 2、讲评上节课的选作题 对于函数 122  xxy ，请回答下列问题： （1）对于函数 122  xxy 的图像可以由什么抛物线，经怎样平移得到的？ （2）函数图像的对称轴、顶点坐标各是什么？ 思 路 ： 把 122  xxy 化 为 kmxay  2)( 的 形 式 。 =     2)1(2)1(2)12()12( 2222  xxxxxx 在 2)1( 2  xy 中，m、k 分别是什么？从而可以确定由什么函数的图像经怎样的平移 得到的？ 二、探索二次函数 cbxaxy  2 的图像特征 1、问题：对于二次函数 y=ax²+bx+c （ a≠0 ）的图象及图象的形状、开口方向、位置又是 怎样的？学生有难度时可启发：通过变形能否将 y=ax²+bx+c 转化为 y = a(x+m)2 +k 的形式 ？ cbxaxy  2 2 2 1y x x    = a bac a bxaa c a b a bxa bxaa cxa bxa 4 4)2()2()2()( 2 22222      由此可见函数 cbxaxy  2 的图像与函数 2axy  的图像的形状、开口方向均相同，只 是位置不同，可以通过平移得到。 练习：课本第 37 页课内练习第 2 题（课本的例 2 删掉不讲） 2、二次函数 cbxaxy  2 的图像特征 （1）二次函数 cbxaxy  2 ( a≠0)的图象是一条抛物线； （2）对称轴是直线 x= a b 2  ，顶点坐标是为（ a b 2  ， a bac 4 4 2 ） (3)当 a>0 时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点。 当 a<0 时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点。 三、巩固知识 1、例 1、求抛物线 2 532 1 2  xxy 的对称轴和顶点坐标。 有由学生自己完成。师生点评后指出：求抛物线的对称轴和顶点坐标可以采用配方法或者是 用顶点坐标公式。 2、做一做课本第 36 页的做一做和第 37 页的课内练习第 1 题 3、（补充例题）例 2 已知关于 x 的二次函数的图像的顶点坐标为（-1，2），且图像过点（1， -3）。 （1）求这个二次函数的解析式； （2）求这个二次函数的图像与坐标轴的交点坐标。(此小题供血有余力的学生解答) 分析与启发：（1）在已知抛物线的顶点坐标的情况下，将所求的解析式设为什么比较简便？ 4、练习：（1）课本第 37 页课内练习第 3 题。 （2）探究活动：一座拱桥的示意图如图（图在书上第 37 页），当水面宽 12m 时，桥洞顶部 离水面 4m。已知桥洞的拱形是抛物线，要求该抛物线的函数解析式，你认为首先要做的工 作是什么?如果以水平方向为 x 轴，取以下三个不同的点为坐标原点： 1、点 A 2、点 B 3、抛物线的顶点 C 所得的函数解析式相同吗？请试一试。哪一种取法求得的函数解析式最简单？ 四、小结 1、函数 cbxaxy  2 的图像与函数 2axy  的图像之间的关系。 2、函数 cbxaxy  2 的图像在对称轴、顶点坐标等方面的特征。 3、函数的解析式类型： 一般式： cbxaxy  2 顶点式： kmxay  2)( 五、布置作业 课题：22.3 二次函数的性质（1） 教学目标： 1.从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质. 2.了解二次函数与二次方程的相互关系. 3.探索二次函数的变化规律,掌握函数的最大值(或最小值)及函数的增减性的概念,会求二次 函数的最值,并能根据性质判断函数在某一范围内的增减性 教学重点： 二次函数的最大值,最小值及增减性的理解和求法. 教学难点：二次函数的性质的应用. 教学过程： 复习引入 二次函数: y=ax2 +bx + c (a  0)的图象是一条抛物线,它的开口由什么决定呢? 补充: 当 a 的绝对值相等时,其形状完全相同,当 a 的绝对值越大,则开口越小,反之成立. 二,新课教学: 1. 探 索 填 空 : 根 据 下 边 已 画 好 抛 物 线 y= -2x2 的 顶 点 坐 标 是 , 对称轴是 ， 在 侧，即 x_____0 时, y 随 着 x 的 增 大 而 增 大 ； 在 侧 ， 即 x_____0 时 , y 随 着 x 的 增 大 而 减 小 . 当 x= 时 ， 函 数 y 最 大 值 是 ____. 当 x____0 时,y<0. 2. 探索填空:：据上边已画好的函数图象填空： 抛物线 y= 2x2 的顶点坐标是 , 对称轴是 ，在 侧，即 x_____0 时, y 随 着 x 的 增 大 而 减 少 ； 在 侧 ， 即 x_____0 时 , y 随 着 x 的 增 大 而 增 大 . 当 x= 时 ， 函 数 y 最 小 值 是 ____. 当 x____0 时,y>0 3.归纳: 二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质 (1).顶点坐标与对称轴 (2).位置与开口方向 (3).增减性与最值 当 a ﹥0 时，在对称轴的左侧，y 随着 x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随着 x 的增大 而增大；当 时，函数 y 有最小值 。当 a ﹤0 时， 在对称轴的左侧，y 随着 x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随着 x 的增大而减小。当 时，函数 y 有最大值 0 y= -2x2 0 y= 2x2y x a2 bx  a2 bx  a4 ac4 b2 a4 ac4 b2 4.探索二次函数与一元二次方程 二次函数 y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2 的图象如图所示. (1).每个图象与 x 轴有几个交点？ (2).一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗? (3).二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和 x 轴交点的坐标与一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根有什 么关系? 归纳: (3).二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和 x 轴交点有三种情况: ①有两个交点, ②有一个交点, ③没有交点. 当二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和 x 轴有交点时, 交点的横坐标就是当 y=0 时自变量 x 的值,即一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根. 当 b2-4ac﹥0 时，抛物线与 x 轴有两个交点，交点的横坐标是一元二次方程 0=ax2+bx+c 的两 个根 x1 与 x2；当 b2-4ac=0 时，抛物线与 x 轴有且只有一个公共点；当 b2-4ac﹤0 时，抛物线 与 x 轴没有交点。 举例: 求二次函数图象 y=x2-3x+2 与 x 轴的交点 A、B 的坐标。 结论 1：方程 x2-3x+2=0 的解就是抛物线 y=x2-3x+2 与 x 轴的两个交点的横坐标。因此，抛物 线与一元二次方程是有密切联系的。 即：若一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个根是 x1、x2，则抛物线 y=ax2+bx+c 与轴的两个交点坐 标分别是 A（ x1，0），B（x2,0） 5.例题教学:例 1: 已知函数 ⑴写出函数图像的顶点、图像与坐标轴的交点，以及图像与 y 轴的交点关于图象对称轴的对 称点。然后画出函数图像的草图； (2)自变量 x 在什么范围内时， y 随着 x 的增大而增大？何时 y 随着 x 的增大而减少；并求 出函数的最大值或最小值。 归纳:二次函数五点法的画法 三.巩固练习: 请完成课本练习：p42. 1,2 四.尝试提高:1 五.学习感想: 1、你能正确地说出二次函数的性质吗？ 2、你能用“五点法”快速地画出二次函数的图象吗？你能利用函数图象回答有关性质吗？ 六：作业：作业本,课本作业题 1、2、3、4。 课题：22.3 二次函数的性质（2） 教学目标： 1、掌握二次函数解析式的三种形式，并会选用不同的形式，用待定系数法求二次函数的解 2 15x72 1y x2  析式。 2、能根据二次函数的解析式确定抛物线的开口方向，顶点坐标，和对称轴、最值和增减性。 3、能根据二次函数的解析式画出函数的图像，并能从图像上观察出函数的一些性质。 教学重点：二次函数的解析式和利用函数的图像观察性质 教学难点：利用图像观察性质 教学设计： 一、复习 1 、 抛 物 线 5)4(2 2  xy 的 顶 点 坐 标 是 ， 对 称 轴 是 ， 在 侧，即 x_____0 时， y 随着 x 的增大而增大； 在 侧，即 x_____0 时, y 随着 x 的增大而减小；当 x= 时，函数 y 最 值是____。 2 、 抛 物 线 6)3(2 2  xy 的 顶 点 坐 标 是 ， 对 称 轴 是 ， 在 侧，即 x_____0 时， y 随着 x 的增大而增大； 在 侧，即 x_____0 时, y 随着 x 的增大而减小；当 x= 时，函数 y 最 值是____。 二、例题讲解 例 1、根据下列条件求二次函数的解析式： （1）函数图像经过点 A（-3，0），B（1，0），C（0，-2） (2) 函数图像的顶点坐标是（2，4）且经过点（0，1） （3）函数图像的对称轴是直线 x=3,且图像经过点（1，0）和（5，0） 说明：本题给出求抛物线解析式的三种解法，关键是看题目所给条件。一般来说：任意给定 抛物线上的三个点的坐标，均可设一般式去求；若给定顶点坐标（或对称轴或最值）及另一 个点坐标，则可设顶点式较为简单；若给出抛物线与 x 轴的两个交点坐标，则用分解式较为 快捷。 例 2 已知函数 y= x2 -2x -3 , （１）把它写成 kmxay  2)( 的形式；并说明它是由怎样的抛物线经过怎样平移得到 的？ （2）写出函数图象的对称轴、顶点坐标、开口方向、最值； （3）求出图象与坐标轴的交点坐标； （4）画出函数图象的草图； (5)设图像交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于 P 点，求△APB 的面积； （6）根据图象草图，说出 x 取哪些值时， ① y=0; ② y<0; ③ y>0. 说明：（1）对于解决函数和几何的综合题时要充分利用图形，做到线段和坐标的互相转化； （2）利用函数图像判定函数值何时为正，何时为负，同样也要充分利用图像，要使 y<0;， 其对应的图像应在 x 轴的下方，自变量 x 就有相应的取值范围。 例 3、二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则： a 0; b 0;c 0; acb 42  0。 说明：二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与系数 a、b、c、 acb 42  的关系 ： y xo 系数的符号 图像特征 a 的符号 a>0. 抛物线开口向 a<0 抛物线开口向 b 的符号 b>0. 抛物线对称轴在 y 轴的 侧 b=0 抛物线对称轴是 轴 b<0 抛物线对称轴在 y 轴的 侧 c 的符号 c>0. 抛物线与 y 轴交于 C=0 抛物线与 y 轴交于 c<0 抛物线与 y 轴交于 acb 42  的符号 acb 42  >0. 抛物线与 x 轴有 个交点 acb 42  =0 抛物线与 x 轴有 个交点 acb 42  <0 抛物线与 x 轴有 个交点 三、小结本节课你学到了什么？ 四、布置作业：课本作业题第 5、6 题 补充作业题：已知二次函数的图像如图所示，下列结论： ⑴a+b+c﹤0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a 其中正确的结论的个数是（ ）A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 课题：22.4 二次函数的应用（1） 教学目标： 1、经历数学建模的基本过程。 2、会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值。 3、体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值。 教学重点和难点： 重点：二次函数在最优化问题中的应用。 难点：例 1 是从现实问题中建立二次函数模型，学生较难理解。 教学设计： 一、创设情境、提出问题 出示引例 （将作业题第 3 题作为引例） 给你长 8m 的铝合金条，设问： ①你能用它制成一矩形窗框吗？ ②怎样设计，窗框的透光面积最大？ ③如何验证？ 二、观察分析，研究问题 演示动画，引导学生观察、思考、发现：当矩形的一边变化时，另一边和面积也随之改变。 x-1 1 y 深入探究如设矩形的一边长为 x 米，则另一边长为(4-x)米，再设面积为 ym2,则它们的函数关 系式为 xxy 42      ox x   4 0 40  x 并当 x =2 时（属于 40  x 范围）即当设计为正方形时，面积最大=4(m2) 引导学生总结，确定问题的解决方法：在一些涉及到变量的最大值或最小值的应用问题中， 可以考虑利用二次函数最值方面的性质去解决。 步骤： 第一步设自变量； 第二步建立函数的解析式； 第三步确定自变量的取值范围； 第四步根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值（在自变量的取值范围内）。 三、例练应用，解决问题 在上面的矩形中加上一条与宽平行的线段，出示图形 设问：用长为 8m 的铝合金条制成如图形状的矩形窗框， 问窗框的宽和高各是多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？ 引导学生分析，板书解题过程。 变式（即课本例 1）：现在用长为 8 米的铝合金条制成如图所示的窗框（把矩形的窗框改为 上部分是由 4 个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形），那么如何设计使窗框的透光面 积最大？（结果精确到 0.01 米） 练习：课本作业题第 4 题 四、知识整理，形成系统 这节课学习了用什么知识解决哪类问题？ 解决问题的一般步骤是什么？应注意哪些问题？ 学到了哪些思考问题的方法？ 五、布置作业：作业本 课题：22.4 二次函数的应用(2) 教学目标： 1、继续经历利用二次函数解决实际最值问题的过程。 2、会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离等函数最值问题。 3、发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值。 教学重点和难点： 重点：利用二次函数的知识对现实问题进行数学地分析，即用数学的方式表示问题以及用数 学的方法解决问题。 难点：例 2 将现实问题数学化，情景比较复杂。 教学过程： 一、复习： 1、利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法 是： (1)列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取 值范围。 (2)在自变量取值范围内，运用公式或配方法求出二次函数的最大值和最小值。 2、上节课我们讨论了用二次函数的性质求面积的最值问题。出示上节课的引例的动态 图形（在周长为 8 米的矩形中）（多媒体动态显示） 设问：（1）对角线（L）与边长（x）有什何关系？ 222 )4( xxl  )40(962 2  xxxl  （2）对角线（L）是否也有最值？如果有怎样求？ L 与 x 并不是二次函数关系，而被开方数却可看成是关于 x 的二次函数，并且有最小值。 引导学生回忆算术平方根的性质：被开方数越大（小）则它的算术平方根也越大（小）。指 出：当被开方数 962 2  xx 取最小值时，对角线也为最小值。 二、例题讲解 例题 2：B 船位于 A 船正东 26km 处，现在 A、B 两船同时出发，A 船发每小时 12km 的 速度朝正北方向行驶，B 船发每小时 5km 的速度向正西方向行驶，何时两船相距最近？最近 距离是多少？ 多媒体动态演示，提出思考问题：（1）两船的距离随着什么的变化而变化？ (2)经过 t 小时后，两船的行程是多少？ 两船的距离如何用 t 来表示？ 设 经 过 t 小 时 后 AB 两 船 分 别 到 达 A’ ， B’ ， 两 船 之 间 距 离 为 A’B’= AB'2+AA'2 = (26-5t)2+(12t)2 = 169t2-260t+676 。（这里估计学生会联想刚才解决类似 的问题） 因此只要求出被开方式 169t2-260t+676 的最小值，就可以求出两船之间的距离 s 的最小值。 解:设经过 t 时后，A，B AB 两船分别到达 A’，B’，两船之间距离为 S=A’B’= AB'2+AA'2 = (26-5t)2+(12t)2 = 169t2-260t+676 = 169（t-10 13 ）2+576 （t>0） 当 t=10 13 时，被开方式 169（t-10 13 ）2+576 有最小值 576。 所以当 t=10 13 时，S 最小值= 576 =24（km） 答：经过10 13 时，两船之间的距离最近，最近距离为 24km 练习：直角三角形的两条直角边的和为 2，求斜边的最小值。 三、课堂小结 应用二次函数解决实际问题的一般步骤 四、布置作业 见作业本 课题：22.4 二次函数的应用(3) 教学目标： 1、继续经历利用二次函数解决实际最值问题的过程。 2、会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离等函数最值问题。 3、发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值。 教学重点和难点： 重点：利用二次函数的知识对现实问题进行数学地分析，即用数学的方式表示问题以及用数 学的方法解决问题。 难点：例 3 将现实问题数学化，情景比较复杂。 教学过程： 例 3 某饮料经营部每天的固定成本为 200 元,某销售的饮料每瓶进价为 5 元。 销售单价(元) 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量(瓶) 480 440 400 360 320 280 240 (1)若记销售单价比每瓶进价多 x 元时，日均毛利润(毛利润＝售价－进价－固定成本)为 y 元，求 y 关于 x 的函数解析式和自变量的取值范围； (2)若要使日均毛利润达到最大，销售单价应定为多少元(精确到 0.1 元)？最大日均毛利 润为多少？ 练习：P47 课内练习 九年级数学第二十三章旋转全章教案 单元要点分析 教学内容 1．主要内容： 图形的旋转及其有关概念：包括旋转、旋转中心、旋转角．图形旋转的有关性质：对应 点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图 形全等．通过不同形式的旋转，设计图案．中心对称及其有关概念：中心对称、对称中心、 关于中心的对称点；关于中心对称的两个图形．中心对称的性质：对称点所连线段都经过对 称中心，而且被对称中心所平分；关于中心对称的两个图形是全等图形．中心对称图形：概 念及性质：包括中心对称图形、对称中心．关于原点对称的点的坐标：两个点关于原点对称 时，它们的坐标符号都相反，即点 P（x，y）关于原点的对称点为 P′（-x，-y）．课题学习．图 案设计． 2．本单元在教材中的地位与作用： 学生通过平移、平面直角坐标系，轴对称、反比例函数、四边形等知识的学习，初步积 累了一定的图形变换数学活动经验．本章在此基础上，让学生进行观察、分析、画图、简单 图案的欣赏与设计等操作性活动形成图形旋转概念．它又对今后继续学习数学，尤其是几何， 包括圆等内容的学习起着桥梁铺垫之作用． 教学目标 1．知识与技能 了解图形的旋转的有关概念并理解它的基本性质． 了解中心对称的概念并理解它的基本性质． 了解中心对称图形的概念；掌握关于原点对称的两点的关系并应用；再通过几何操作题 的练习，掌握课题学习中图案设计的方法． 2．过程与方法 （1）让学生感受生活中的几何，通过不同的情景设计归纳出图形旋转的有关概念，并 用这些概念来解决一些问题． （2）通过复习图形旋转的有关概念从中归纳出“对应点到旋转中心的距离相等，对应 点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前后的图形全等”等重要性质，并运用它解 决一些实际问题． （3）经历复习图形的旋转的有关概念和性质，分析不同的旋转中心，不同的旋转角， 出现不同的效果并对各种情况进行分类． （4）复习对称轴和轴对称图形的有关概念，通过知识迁移讲授中心对称图形和对称中 心的有关内容，并附加练习巩固这个内容． （5）通过几何操作题，探究猜测发现规律，并给予证明，附加例题进一步巩固． （6）复习中心对称图形和对称中心的有关概念，然后提出问题，让学生观察、思考， 老师归纳得出中心对称图形和对称中心的有关概念，最后用一些例题、练习来巩固这个内容． （7）复习平面直角坐标系的有关概念，通过实例归纳出两个点关于原点对称时，坐标 符号之间的关系，并运用它解决一些实际问题． （8）通过复习平移、轴对称、旋转等有关概念研究如何进行图形设计． 3．情感、态度与价值观 让学生经历观察、操作等过程，了解图形旋转的概念，从事图形旋转基本性质的探索活 动，进一步发展空间观察，培养运动几何的观点，增强审美意识．让学生通过独立思考，自 主探究和合作交流进一步体会旋转的数学内涵，获得知识，体验成功，享受学习乐趣．让学 生从事应用所学的知识进行图案设计的活动，享受成功的喜悦，激发学习热情． 教学重点 1．图形旋转的基本性质． 2．中心对称的基本性质． 3．两个点关于原点对称时，它们坐标间的关系． 教学难点 1．图形旋转的基本性质的归纳与运用． 2．中心对称的基本性质的归纳与运用． 教学关键 1．利用几何直观，经历观察，产生概念； 2．利用几何操作，通过观察、探究，用不完全归纳法归纳出图形的旋转和中心对称的 基本性质． 单元课时划分 本单元教学时间约需 10 课时，具体分配如下： 23．1 图形的旋转 3 课时 23．2 中心对称 4 课时 23．3 课题学习；图案设计 1 课时 教学活动、习题课、小结 2 课时 23.1 图形的旋转（1） 第一课时 教学内容 1．什么叫旋转？旋转中心？旋转角？ 2．什么叫旋转的对应点？ 教学目标 了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念，了解旋转对应点的概念及其应用它们解决一些 实际问题． 通过复习平移、轴对称的有关概念及性质，从生活中的数学开始，经历观察，产生概念， 应用概念解决一些实际问题． 重难点、关键 1．重点：旋转及对应点的有关概念及其应用． 2．难点与关键：从活生生的数学中抽出概念． 教具、学具准备 小黑板、三角尺 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下面各题． 1．将如图所示的四边形 ABCD 平移，使点 B 的对应点为点 D，作出平移后的图形． 2．如图，已知△ABC 和直线 L，请你画出△ABC 关于 L 的对称图形△A′B′C′． 3．圆是轴对称图形吗？等腰三角形呢？你还能指出其它的吗？ （口述）老师点评并总结： （1）平移的有关概念及性质． （2）如何画一个图形关于一条直线（对称轴）的对称图形并口述它既有的一些性质． （3）什么叫轴对称图形？ 二、探索新知 我们前面已经复习平移等有关内容，生活中是否还有其它运动变化呢？回答是肯定的， 下面我们就来研究． 1．请同学们看讲台上的大时钟，有什么在不停地转动？旋绕什么点呢？从现在到下课 时钟转了多少度？分针转了多少度？秒针转了多少度？ （口答）老师点评：时针、分针、秒针在不停地转动，它们都绕时针的中心．如果从 现在到下课时针转了_______度，分针转了_______度，秒针转了______度． 2．再看我自制的好像风车风轮的玩具，它可以不停地转动．如何转到新的位置？（老 师点评略） 3．第 1、2 两题有什么共同特点呢？ 共同特点是如果我们把时针、风车风轮当成一个图形，那么这些图形都可以绕着某一固 定点转动一定的角度． 像这样，把一个图形绕着某一点 O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，点 O 叫做旋转中 心，转动的角叫做旋转角． 如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点． 下面我们来运用这些概念来解决一些问题． 例 1．如图，如果把钟表的指针看做三角形 OAB，它绕 O 点按顺 时针方向旋转得到△OEF，在这个旋转过程中： （1）旋转中心是什么？旋转角是什么？ （2）经过旋转，点 A、B 分别移动到什么位置？ 解：（1）旋转中心是 O，∠AOE、∠BOF 等都是旋转角． （2）经过旋转，点 A 和点 B 分别移动到点 E 和点 F 的位置． 例 2．（学生活动）如图，四边形 ABCD、四边形 EFGH 都是边长为 1 的正方形． （1）这个图案可以看做是哪个“基本图案”通过旋转得到的？ （2）请画出旋转中心和旋转角． （3）指出，经过旋转，点 A、B、C、D 分别移到什么位置？ （老师点评） （1）可以看做是由正方形 ABCD 的基本图案通过旋转而得到 的．（2）画图略．（3）点 A、点 B、点 C、点 D 移到的位置是点 E、点 F、点 G、点 H． 最后强调，这个旋转中心是固定的，即正方形对角线的交点，但旋转角和对应点都是 不唯一的． 三、巩固练习 教材 P65 练习 1、2、3． 23.1 图形的旋转(2) 第二课时 教学内容 1．对应点到旋转中心的距离相等． 2．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 3．旋转前后的图形全等及其它们的运用． 教学目标 理解对应点到旋转中心的距离相等；理解对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转 角；理解旋转前、后的图形全等．掌握以上三个图形的旋转的基本性质的运用． 先复习旋转及其旋转中心、旋转角和旋转的对应点概念，接着用操作几何、实验探究图 形的旋转的基本性质． 重难点、关键 1．重点：图形的旋转的基本性质及其应用． 2．难点与关键：运用操作实验几何得出图形的旋转的三条基本性质． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）老师口问，学生口答． 1．什么叫旋转？什么叫旋转中心？什么叫旋转角？ 2．什么叫旋转的对应点？ 3．请独立完成下面的题目． 如图，O 是六个正三角形的公共顶点，正六边形 ABCDEF 能否看做是 某条线段绕 O 点旋转若干次所形成的图形？ （老师点评）分析：能．看做是一条边（如线段 AB）绕 O 点，按照 同一方法连续旋转 60°、120°、180°、240°、300°形成的． 二、探索新知 上面的解题过程中，能否得出什么结论，请回答下面的问题： 1．A、B、C、D、E、F 到 O 点的距离是否相等？ 2．对应点与旋转中心所连线段的夹角∠BOC、∠COD、∠DOE、∠EOF、∠FOA 是否相等？ 3．旋转前、后的图形这里指三角形△OAB、△OBC、△OCD、△ODE、△OEF、△OFA 全等 吗？ 老师点评：（1）距离相等，（2）夹角相等，（3）前后图形全等，那么这个是否有一般性？ 下面请看这个实验． 请看我手里拿着的硬纸板，我在硬纸板上挖下一个三角形的洞，再挖一个点 O 作为旋 转中心，把挖好的硬纸板放在黑板上，先在黑板上描出这个挖掉的三角形图案（△ABC），然 后围绕旋转中心 O 转动硬纸板，在黑板上再描出这个挖掉的三角形（△A′B′C′），移去 硬纸板． （分组讨论）根据图回答下面问题（一组推荐一人上台说明） 1．线段 OA 与 OA′，OB 与 OB′，OC 与 OC′有什么关系？ 2．∠AOA′，∠BOB′，∠COC′有什么关系？ 3．△ABC 与△A′B′C′形状和大小有什么关系？ 老师点评：1．OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′，也就是对应点 到旋转中心相等． 2．∠AOA′=∠BOB′=∠COC′，我们把这三个相等的角，即 对应点与旋转中心所连线段的夹角称为旋转角． 3．△ABC 和△A′B′C′形状相同和大小相等，即全等． 综合以上的实验操作和刚才作的（3），得出 （1）对应点到旋转中心的距离相等； （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； （3）旋转前、后的图形全等． 例 1．如图，△ABC 绕 C 点旋转后，顶点 A 的对应点为点 D，试确 定顶点 B对应点的位置，以及旋转后的三角形． 分析：绕 C 点旋转，A 点的对应点是 D 点，那么旋转角就是∠ACD，根据对应点与旋转 中心所连线段的夹角等于旋转角，即∠BCB′=ACD，又由对应点到旋转中心的距离相等，即 CB=CB′，就可确定 B′的位置，如图所示． 解：（1）连结 CD （2）以 CB 为一边作∠BCE，使得∠BCE=∠ACD （3）在射线 CE 上截取 CB′=CB 则 B′即为所求的 B 的对应点． （4）连结 DB′ 则△DB′C 就是△ABC 绕 C 点旋转后的图形． 例 2．如图，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，且 DE= 1 4 ，△ABF 是△ADE 的旋转图形． （1）旋转中心是哪一点？ （2）旋转了多少度？ （3）AF 的长度是多少？ （4）如果连结 EF，那么△AEF 是怎样的三角形？ 分析：由△ABF 是△ADE 的旋转图形，可直接得出旋转中心和旋转角，要求 AF的长度， 根据旋转前后的对应线段相等，只要求 AE 的长度，由勾股定理很容易得到．△ABF 与△ADE 是完全重合的，所以它是直角三角形． 解：（1）旋转中心是 A 点． （2）∵△ABF 是由△ADE 旋转而成的 ∴B 是 D 的对应点 ∴∠DAB=90°就是旋转角 （3）∵AD=1，DE= 1 4 ∴AE= 2 211 ( )4  = 17 4 ∵对应点到旋转中心的距离相等且 F 是 E 的对应点 ∴AF= 17 4 （4）∵∠EAF=90°（与旋转角相等）且 AF=AE ∴△EAF 是等腰直角三角形． 三、巩固练习 教材 P64 练习 1、2． 四、应用拓展 例 3．如图，K 是正方形 ABCD 内一点，以 AK 为一边作正方形 AKLM， 使 L、M在 AK 的同旁，连接 BK 和 DM，试用旋转的思想说明线段 BK 与 DM 的关系． 分析：要用旋转的思想说明就是要用旋转中心、旋转角、对应点的 知识来说明． 解：∵四边形 ABCD、四边形 AKLM 是正方形 ∴AB=AD，AK=AM，且∠BAD=∠KAM 为旋转角且为 90° ∴△ADM 是以 A 为旋转中心，∠BAD 为旋转角由△ABK 旋转而成的 ∴BK=DM 五、归纳小结（学生总结，老师点评） 本节课应掌握： 1．对应点到旋转中心的距离相等； 2．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 3．旋转前、后的图形全等及其它们的应用． 23.1 图形的旋转(3) 第三课时 教学内容 选择不同的旋转中心或不同的旋转角，设计出不同的美丽的图案． 教学目标 理解选择不同的旋转中心、不同的旋转角度，会出现不同的效果，掌握根据需要用旋转 的知识设计出美丽的图案． 复习图形旋转的基本性质，着重强调旋转中心和旋转角然后应用已学的知识作图，设计 出美丽的图案． 重难点、关键 1．重点：用旋转的有关知识画图． 2．难点与关键：根据需要设计美丽图案． 教具、学具准备 小黑板 教学过程 一、复习引入 1．（学生活动）老师口问，学生口答． （1）各对应点到旋转中心的距离有何关系呢？ （2）各对应点与旋转中心所连线段的夹角与旋转角有何关系？ （3）两个图形是旋转前后的图形，它们全等吗？ 2．请同学独立完成下面的作图题． 如图，△AOB 绕 O 点旋转后，G 点是 B 点的对应点，作出 △AOB 旋转后的三角形． （老师点评）分析：要作出△AOB 旋转后的三角形，应找 出三方面：第一，旋转中心：O；第二，旋转角：∠BOG；第三， A 点旋转后的对应点：A′． 二、探索新知 从上面的作图题中，我们知道，作图应满足三要素：旋转中心、旋转角、对应点，而旋 转中心、旋转角固定下来，对应点就自然而然地固定下来．因此，下面就选择不同的旋转中 心、不同的旋转角来进行研究． 1．旋转中心不变，改变旋转角 画出以下图所示的四边形 ABCD 以 O 点为中心，旋转角分别为 30°、60°的旋转图形． 2．旋转角不变，改变旋转中心 画出以下图，四边形 ABCD 分别为 O、O 为中心，旋转角都为 30°的旋转图形． 因此，从以上的画图中，我们可以得到旋转中心不变，改变旋转角与旋转角不变，改变 旋转中心会产生不同的效果，所以，我们可以经过旋转设计出美丽的图案． 例 1．如下图是菊花一叶和中心与圆圈，现以 O为旋转中心画出分别旋转 45°、90°、 135°、180°、225°、270°、315°的菊花图案． 分析：只要以 O 为旋转中心、旋转角以上面为变化，旋转长度为菊花 的最长 OA，按菊花叶的形状画出即可． 解：（1）连结 OA （2）以 O 点为圆心，OA 长为半径旋转 45°，得 A． （3）依此类推画出旋转角分别为 90°、135°、180°、225°、270°、 315°的 A、A、A、A、A、A． （4）按菊花一叶图案画出各菊花一叶． 那么所画的图案就是绕 O 点旋转后的图形． 例 2．（学生活动）如图，如果上面的菊花一叶，绕下面 的点 O′为旋转中心，请同学画出图案，它还是原来的菊花 吗？ 老师点评：显然，画出后的图案不是菊花，而是另外的一 种花了． 三、巩固练习 教材 P65 练习． 四、应用拓展 例 3．如图，如何作出该图案绕 O 点按逆时针旋转 90°的图形． 分析：该备案是一个比较复杂的图案，是作出几个复合图形 组成的图案，因此，要先画出图中的关键点，这些关键点往往是 图案里线的端点、角的顶点、圆的圆心等，然后再根据旋转的特 征，作出这些关键点的对应点，最后再按原图案作出旋转后的图 案． 解：（1）连结 OA，过 O 点沿 OA 逆时针作∠AOA′=90°，在射 线 OA′上截取 OA′=OA； （2）用同样的方法分别求出 B、C、D、E、F、G、H 的对应点 B′、C′、D′、E′、F′、 G′、H′； （3）作出对应线段 A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′F′、F′A′、A′G′、G′ D′、D′H′、H′A′； （4）所作出的图案就是所求的图案． 五、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握： 1．选择不同的旋转中心、不同的旋转角，设计出美丽的图案； 2．作出几个复合图形组成的图案旋转后的图案，要先求出图中的关键点──线的端点、 角的顶点、圆的圆心等． 六、布置作业 1．教材 P67 综合运用 7、8、9． 1．如图，五角星也可以看作是一个三角形绕中心点旋转_______次得到的，每次旋转的角度 是________． 2．图形之间的变换关系包括平移、_______、轴对称以及它们的组合变换． 3．如图，过圆心 O 和图上一点 A 连一条曲线，将 OA 绕 O 点按同一方向连续旋转三次，每次 旋转 90°，把圆分成四部分，这四部分面积_________． 23.2 中心对称(1) 第一课时 教学内容 两个图形关于这个点对称或中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念及其运用它 们解决一些实际问题． 教学目标 了解中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念及掌握这些概念解决一些问题． 复习运用旋转知识作图，旋转角度变化，设计出不同的美丽图案来引入旋转 180°的 特殊旋转──中心对称的概念，并运用它解决一些实际问题． 重难点、关键 1．重点：利用中心对称、对称中心、关于中心对称点的概念解决一些问题． 2．难点与关键：从一般旋转中导入中心对称． 教具、学具准备 小黑板、三角尺 教学过程 一、复习引入 请同学们独立完成下题． 如图，△ABC 绕点 O 旋转，使点 A 旋转到点 D 处，画出旋转 后的三角形，并写出简要作法． 老师点评：分析，本题已知旋转后点 A 的对应点是点 D，且 旋转中心也已知，所以关键是找出旋转角和旋转方向．显然， 逆时针或顺时针旋转都符合要求，一般我们选择小于 180°的 旋转角为宜，故本题选择的旋转方向为顺时针方向；已知一对 对应点和旋转中心，很容易确定旋转角．如图，连结 OA、OD，则∠AOD 即为旋转角．接下来 根据“任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角”和“对应点到旋转中心的距 离相等”这两个依据来作图即可． 作法：（1）连结 OA、OB、OC、OD； （2）分别以 OB、OB 为边作∠BOM=∠CON=∠AOD； （3）分别截取 OE=OB，OF=OC； （4）依次连结 DE、EF、FD； 即：△DEF 就是所求作的三角形，如图所示． 二、探索新知 问题：作出如图的两个图形绕点 O 旋转 180°的图 案，并回答下列的问题： 1．以 O 为旋转中心，旋转 180°后两个图形是否重合？ 2．各对称点绕 O 旋转 180°后，这三点是否在一条直线上？ 老师点评：可以发现，如图所示的两个图案绕 O 旋转 180°都是重合的，即甲图与乙图 重合，△OAB 与△COD 重合． 像这样，把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就 说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心． 这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点． 例 1．如图，四边形 ABCD 绕 D 点旋转 180°，请作出旋转后的图案，写出作法并回答． （1）这两个图形是中心对称图形吗？如果是对称中心是哪一点？如果不是，请说明理 由． （2）如果是中心对称，那么 A、B、C、D 关于中心的对称点是哪些点． 分析：（1）根据中心对称的定义便直接可知这两个图形是中心对称图形，对称中心就 是旋转中心． （3）旋转后的对应点，便是中心的对称点． 解：作法：（1）延长 AD，并且使得 DA′=AD （2）同样可得：BD=B′D，CD=C′D （3）连结 A′B′、B′C′、C′D，则四边形 A′B′C′D 为所求的四边形，如图 23-44 所示． 答：（1）根据中心对称的定义便知这两个图形是中心对称图形，对称中心是 D 点． （2）A、B、C、D 关于中心 D 的对称点是 A′、B′、C′、D′，这里的 D′与 D 重合． 例 2．如图，已知 AD 是△ABC 的中线，画出以点 D 为对称中心，与△ABD成中心对称的 三角形． 分析：因为 D 是对称中心且 AD 是△ABC 的中线，所以 C、B 为一对的对应点，因此，只 要再画出 A 关于 D 的对应点即可． 解：（1）延长 AD，且使 AD=DA′，因为 C 点关于 D 的中心对称点是 B（C′），B点关于 中心 D 的对称点为 C（B′） （2）连结 A′B′、A′C′． 则△A′B′C′为所求作的三角形，如图所示． C( B ' ) B( C ' ) A A ' D www.czsx.com.cn 三、巩固练习 教材 P74 练习 2． 23.2 中心对称(2) 第二课时 教学内容 1．关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平 分． 2．关于中心对称的两个图形是全等图形． 教学目标 理解关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平 分；理解关于中心对称的两个图形是全等图形；掌握这两个性质的运用． 复习中心对称的基本概念（中心对称、对称中心，关于中心的对称点），提出问题，让 学生分组讨论解决问题，老师引导总结中心对称的基本性质． 重难点、关键 1．重点：中心对称的两条基本性质及其运用． 2．难点与关键：让学生合作讨论，得出中心对称的两条基本性质． 教学过程 一、复习引入 （老师口问，学生口答） 1．什么叫中心对称？什么叫对称中心？ 2．什么叫关于中心的对称点？ 3．请同学随便画一三角形，以三角形一顶点为对称中心，画出这个三角形关于这个对 称中心的对称图形，并分组讨论能得到什么结论． （每组推荐一人上台陈述，老师点评） （老师）在黑板上画一个三角形 ABC，分两种情况作两个图形 （1）作△ABC 一顶点为对称中心的对称图形； （2）作关于一定点 O 为对称中心的对称图形． 第一步，画出△ABC． 第二步，以△ABC 的 C 点（或 O 点）为中心，旋转 180°画出△A′B′和△A′B′C′， 如图 1 和用 2 所示． (1) (2) 从图 1 中可以得出△ABC 与△A′B′C 是全等三角形； 分别连接对称点 AA′、BB′、CC′，点 O 在这些线段上且 O 平分这些线段． 下面，我们就以图 2 为例来证明这两个结论． 证明：（1）在△ABC 和△A′B′C′中， OA=OA′，OB=OB′，∠AOB=∠A′OB′ ∴△AOB≌△A′OB′ ∴AB=A′B′ 同理可证：AC=A′C′，BC=B′C′ ∴△ABC≌△A′B′C′ （2）点 A′是点 A 绕点 O 旋转 180°后得到的，即线段 OA 绕点 O旋转 180°得到线段 OA′，所以点 O 在线段 AA′上，且 OA=OA′，即点 O 是线段 AA′的中点． 同样地，点 O 也在线段 BB′和 CC′上，且 OB=OB′，OC=OC′，即点 O 是 BB′和 CC′ 的中点． 因此，我们就得到 1．关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平 分． 2．关于中心对称的两个图形是全等图形． 例 1．如图，已知△ABC 和点 O，画出△DEF，使△DEF 和△ABC 关于点 O 成中心对称． 分析：中心对称就是旋转 180°，关于点 O 成中心对称就是绕 O 旋转 180°，因此，我 们连 AO、BO、CO 并延长，取与它们相等的线段即可得到． 解：（1）连结 AO 并延长 AO 到 D，使 OD=OA，于是得到点 A 的对称点 D，如图所示． （2）同样画出点 B 和点 C 的对称点 E 和 F． （3）顺次连结 DE、EF、FD． 则△DEF 即为所求的三角形． 例 2．（学生练习，老师点评）如图，已知四边形 ABCD 和点 O，画四边形 A′B′C′D′， 使四边形 A′B′C′D′和四边形 ABCD 关于点 O 成中心对称（只保留作图痕迹，不要求写出 作法）． 二、巩固练习 教材 P70 练习． 四、归纳小结（学生总结，老师点评） 本节课应掌握： 中心对称的两条基本性质： 1．关于中心对称的两个图形，对应点所连线都经过对称中心，而且被对称中心所平分； 2．关于中心对称的两个图形是全等图形及其它们的应用． 五、布置作业 1．教材 P74 复习巩固 1 综合运用 6、7． 1．下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A．直角 B．等边三角形 C．直角梯形 D．两条相交直线 2．下列命题中真命题是（ ） A．两个等腰三角形一定全等 B．正多边形的每一个内角的度数随边数增多而减少 C．菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形 D．两直线平行，同旁内角相等 3．将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，得到如图的所示的图形，已知∠CED′=60°，则∠AED 的 大小是（ ） A．60° B．50° C．75° D．55° 23.2 中心对称(3) 第三课时 教学内容 1．中心对称图形的概念． 2．对称中心的概念及其它们的运用． 教学目标 了解中心对称图形的概念及中心对称图形的对称中心的概念，掌握这两个概念的应用． 复习两个图形关于中心对称的有关概念，利用这个所学知识探索一个图形是中心对称图 形的有关概念及其它的运用． 重难点、关键 1．重点：中心对称图形的有关概念及其它们的运用． 2．难点与关键：区别关于中心对称的两个图形和中心对称图形． 教具、学具准备 小黑板、三角形 教学过程 一、复习引入 1．（老师口问）口答：关于中心对称的两个图形具有什么性质？ （老师口述）：关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对 称中心所平分． 关于中心对称的两个图形是全等图形． 2．（学生活动）作图题． （1）作出线段 AO 关于 O 点的对称图形，如图所示． A O （2）作出三角形 AOB 关于 O 点的对称图形，如图所示． B A O （2）延长 AO 使 OC=AO， 延长 BO 使 OD=BO， 连结 CD 则△COD 为所求的，如图所示． B A C D O B A C D www.czsx.com.cn O 二、探索新知 从另一个角度看，上面的（1）题就是将线段 AB 绕它的中点旋转 180°，因为 OA=OB， 所以，就是线段 AB 绕它的中点旋转 180°后与它重合． 上面的（2）题，连结 AD、BC，则刚才的两个关于中心对称的两个图形，就成平行四边 形，如图所示． ∵AO=OC，BO=OD，∠AOB=∠COD ∴△AOB≌△COD ∴AB=CD 也就是，ABCD 绕它的两条对角线交点 O 旋转 180°后与它本身重合． 因此，像这样，把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的 图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． （学生活动）例 1：从刚才讲的线段、平行四边形都是中心对称图形外，每一位同学举 出三个图形，它们也是中心对称图形． 老师点评：老师边提问学生边解答． （学生活动）例 2：请说出中心对称图形具有什么特点？ 老师点评：中心对称图形具有匀称美观、平稳． 例 3．求证：如图任何具有对称中心的四边形是平行四边形． B A C D O 分析：中心对称图形的对称中心是对应点连线的交点，也是对应点间的线段中点，因此， 直接可得到对角线互相平分． 证明：如图，O 是四边形 ABCD 的对称中心，根据中心对称性质，线段 AC、BD 必过点 O， 且 AO=CO，BO=DO，即四边形 ABCD 的对角线互相平分，因此，四边形 ABCD 是平行四边形． 三、巩固练习 教材 P72 练习． 四、应用拓展 例 4．如图，矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，若将矩形折叠，使 C 点和 A 点重合，求折痕 EF 的长． 分析：将矩形折叠，使 C 点和 A 点重合，折痕为 EF，就是 A、C 两点关于 O 点对称，这 方面的知识在解决一些翻折问题中起关键作用，对称点连线被对称轴垂直平分，进而转化为 中垂线性质和勾股定理的应用，求线段长度或面积． 解：连接 AF， B A C E D www.czsx.com.cn O F ∵点 C 与点 A 重合，折痕为 EF，即 EF 垂直平分 AC． ∴AF=CF，AO=CO，∠FOC=90°，又四边形 ABCD 为矩形，∠B=90°，AB=CD=3，AD=BC=4 设 CF=x，则 AF=x，BF=4-x， 由勾股定理，得 AC2=BC2+AB2=52 ∴AC=5，OC= 1 2 AC= 5 2 ∵AB2+BF2=AF2 ∴32+（4-x）=2=x2 ∴x= 25 8 ∵∠FOC=90° ∴OF2=FC2-OC2=（ 25 8 ）2-（ 5 2 ）2=（15 8 ）2 OF=15 8 同理 OE=15 8 ，即 EF=OE+OF=15 4 五、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握： 1．中心对称图形的有关概念； 2．应用中心对称图形解决有关问题． 六、布置作业 1．教材 P74 综合运用 5 P75 拓广探索 8、9 23.2 中心对称（4） 第四课时 教学内容 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点 P（x，y），关于原点的对称点为 P′ （-x，-y）及其运用． 教学目标 理解 P 与点 P′点关于原点对称时，它们的横纵坐标的关系，掌握 P（x，y）关于原点 的对称点为 P′（-x，-y）的运用． 复习轴对称、旋转，尤其是中心对称，知识迁移到关于原点对称的点的坐标的关系及其 运用． 重难点、关键 1．重点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点 P（x，y）关于原点的 对称点 P′（-x，-y）及其运用． 2．难点与关键：运用中心对称的知识导出关于原点对称的点的坐标的性质及其运用它 解决实际问题． 教具、学具准备 小黑板、三角尺 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下面三题． 1．已知点 A 和直线 L，如图，请画出点 A 关于 L 对称的点 A′． l A 2．如图，△ABC 是正三角形，以点 A 为中心，把△ADC 顺时针旋转 60°，画出旋转后 的图形． 3．如图△ABO，绕点 O 旋转 180°，画出旋转后的图形． B A C www.czsx.com.cn 老师点评：老师通过巡查，根据学生解答情况进行点评．（略） 二、探索新知 （学生活动）如图 23-74，在直角坐标系中，已知 A（-3，1）、B（-4，0）、C（0，3）、 D（2，2）、E（3，-3）、F（-2，-2），作出 A、B、C、D、E、F 点关于原点 O 的中心对称点， 并写出它们的坐标，并回答： 这些坐标与已知点的坐标有什么关系？ -3 -3 3 O B A C -2 -2 1 -1 y x 3 -4 D 4 2 2 1 -1 老师点评：画法：（1）连结 AO 并延长 AO （2）在射线 AO 上截取 OA′=OA （3）过 A 作 AD′⊥x 轴于 D′点，过 A′作 A′D″⊥x 轴于点 D″． ∵△AD′O 与△A′D″O 全等 ∴AD′=A′D″，OA=OA′ ∴A′（3，-1） 同理可得 B、C、D、E、F 这些点关于原点的中心对称点的坐标． （学生活动）分组讨论（每四人一组）：讨论的内容：关于原点作中心对称时，①它们 的横坐标与横坐标绝对值什么关系？纵坐标与纵坐标的绝对值又有什么关系？②坐标与坐 标之间符号又有什么特点？ 提问几个同学口述上面的问题． 老师点评：（1）从上可知，横坐标与横坐标的绝对值相等，纵坐标与纵坐标的绝对值相 等．（2）坐标符号相反，即设 P（x，y）关于原点 O 的对称点 P′（-x，-y）． 例 1．如图，利用 关于原点对称的点的坐标的特点，作出与线段 AB关于原点对称的图形． -3 -3 3 O B A -2 -2 1 -1 y x 3 -4 4 2 2 1 -1 分析：要作出线段 AB 关于原点的对称线段，只要作出点 A、点 B 关于原点的对称点 A′、 B′即可． 解：点 P（x，y）关于原点的对称点为 P′（-x，-y）， 因此，线段 AB 的两个端点 A（0，-1），B（3，0）关于原点的对称点分别为 A′（1，0）， B（-3，0）． 连结 A′B′． 则就可得到与线段 AB 关于原点对称的线段 A′B′． （学生活动）例 2．已知△ABC，A（1，2），B（-1，3），C（-2，4）利用关于原点对称 的点的坐标的特点，作出△ABC 关于原点对称的图形． 老师点评分析：先在直角坐标系中画出 A、B、C 三点并连结组成△ABC，要作出△ABC 关于原点 O 的对称三角形，只需作出△ABC 中的 A、B、C 三点关于原点的对称点，依次连 结，便可得到所求作的△A′B′C′． 三、巩固练习 教材 P73 练习． 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反， 即点 P（x，y）关于原点 O 的对称点 P′（-x，-y）． 23.3 课题学习 图案设计 教学内容 课题学习──图案设计 教学目标 利用平移、轴对称和旋转的这些图形变换中的一种或组合进行图案设计，设计出称心如 意的图案． 通过复习平移、轴对称、旋转的知识，然后利用这些知识让学生开动脑筋，敝开胸怀大 胆联想，设计出一幅幅美丽的图案． 重难点、关键 1．重点：设计图案． 2．难点与关键：如何利用平移、轴对称、旋转等图形变换中的一种或它们的组合得出 图案． 教具、学具准备 小黑板、三角尺 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们独立完成下面的各题． 1．如图，已知线段 CD 是线段 AB 平移后的图形，D 是 B点的对称点，作出线段 AB， 并回答，AB 与 CD 有什么位置关系． B C D 2．如图，已知线段 CD，作出线段 CD 关于对称轴 L 的对称线段 C′D′，并说明 CD 与 对称线段 C′D′之间有什么关系？ l C D 3．如图，已知线段 CD，作出线段 CD 关于 D 点旋转 90°的旋转后的图形，并说明这两 条线段之间有什么关系？ C D 老师点评： 1．AB 与 CD 平行且相等； 2．过 D 点作 DE⊥L，垂足为 E 并延长，使 ED′=ED，同理作出 C′点，连结 C′D′， 则 CD′就是所求的．CD 的延长线与 C′D′的延长线相交于一点，这一点在 L 上并且 CD=C′ D′． 3．以 D 点为旋转中心，旋转后 CD⊥C′D′，垂足为 D，并且 CD=C′D． 二、探索新知 请用以上所讲的平移、轴对称、旋转等图形变换中的一种或组合完成下面的图案设计． 例 1．（学生活动）学生亲自动手操作题． 按下面的步骤，请每一位同学完成一个别致的图案． （1）准备一张正三角形纸片（课前准备）（如图 a） （2）把纸片任意撕成两部分（如图 b，如图 c） （3）将撕好的如图 b 沿正三角形的一边作轴对称，得到新的图形． （4）并将（3）得到的图形以正三角形的一个顶点作为旋转中心旋转，得到如图（d） （如图 c）保持不动） （5）把如图（d）平移到如图（c）的右边，得到如图（e） （6）对如图（e）进行适当的修饰，使得到一个别致美丽的如图（f）的图案． 老师必要时可以给予一定的指导． 三、巩固练习 教材 P78 活动 1． 四、应用拓展 例 2．（学生活动）请利用线段、三角形、矩形、菱形、圆作为基本图形，绘制一幅反 映你身边面貌的图案，并在班级里交流展示． 老师点评：老师点到为止，让学生自由联想，老师也可在黑板上设计一、二图案． 五、归纳小结 本节课应掌握： 利用平移、轴对称和旋转的图形变换中的一种或组合设计图案． 六、布置作业 1．教材 P78 活动 2 P80 综合运用 4、5、6、7． 2．选用作业设计． 作业设计 一、选择题 1．在图所示的 4 个图案中既包含图形的旋转，还有图形轴对称是（ ） 2．将三角形绕直线 L 旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（ ） 二、填空题 1．基本图案在轴对称、平移、旋转变化的过程中，图形的______和______都保持不变． 2．如上右图，是由________关系得到的图形． 三、综合提高题 1．（1）图案设计人员在进行图设计时，常常用一个模具板来设计一幅幅美丽漂亮的图 案，你能说出用同一模具板设计出的两个图案之间是什么关系吗？ （2）现利用同一模具板经过平移、旋转、轴对称设计一个图案，并说明你所表达的意 义． 第二十四章 圆 单元要点分析 教学内容 1．本单元数学的主要内容． （1）圆有关的概念：垂直于弦的直径，弧、弦、圆心角、圆周角． （2）与圆有关的位置关系：点和圆的位置关系，直线与圆的位置关系，圆和圆的位置 关系． （3）正多边形和圆． （4）弧长和扇形面积：弧长和扇形面积，圆锥的侧面积和全面积． 2．本单元在教材中的地位与作用． 学生在学习本章之前，已通过折叠、对称、平移旋转、推理证明等方式认识了许多图形 的性质，积累了大量的空间与图形的经验．本章是在学习了这些直线型图形的有关性质的基 础上，进一步来探索一种特殊的曲线──圆的有关性质．通过本章的学习，对学生今后继续 学习数学，尤其是逐步树立分类讨论的数学思想、归纳的数学思想起着良好的铺垫作用．本 章的学习是高中的数学学习，尤其是圆锥曲线的学习的基础性工程． 教学目标 1．知识与技能 （1）了解圆的有关概念，探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角、弧、弦之间的相 等关系的定理，探索并理解圆周角和圆心角的关系定理． （2）探索并理解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系：了解切线的概念，探索切 线与过切点的直径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线． （3）进一步认识和理解正多边形和圆的关系和正多边的有关计算． （4）熟练掌握弧长和扇形面积公式及其它们的应用；理解圆锥的侧面展开图并熟练掌 握圆锥的侧面积和全面积的计算． 2．过程与方法 （1）积极引导学生从事观察、测量、平移、旋转、推理证明等活动．了解概念，理解 等量关系，掌握定理及公式． （2）在教学过程中，鼓励学生动手、动口、动脑，并进行同伴之间的交流． （3）在探索圆周角和圆心角之间的关系的过程中，让学生形成分类讨论的数学思想和 归纳的数学思想． （4）通过平移、旋转等方式，认识直线与圆、圆与圆的位置关系，使学生明确图形在 运动变化中的特点和规律，进一步发展学生的推理能力． （5）探索弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积的计算公式并理解公式的意义、 理解算法的意义． 3．情感、态度与价值观 经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生 有意识地积累活动经验，获得成功的体验；利用现实生活和数学中的素材，设计具有挑战性 的情景，激发学生求知、探索的欲望． 教学重点 1．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧及其运用． 2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等及其运用． 3．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一 半及其运用． 4．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其运用． 5．不在同一直线上的三个点确定一个圆． 6．直线 L 和⊙O 相交  dr 及其 运用． 7．圆的切线垂直于过切点的半径及其运用． 8．经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线并利用它解决一些具体问 题． 9．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两 条切线的夹角及其运用． 10．两圆的位置关系：d 与 r1 和 r2 之间的关系：外离  d>r1+r2；外切  d=r1+r2；相 交  │r2-r1│AD B A C E D O B A O M B A C D P O (1) (2) (3) 2．如图 2，⊙O 的直径为 10，圆心 O 到弦 AB 的距离 OM 的长为 3，则弦 AB 的长是（ ） A．4 B．6 C．7 D．8 3．如图 3，在⊙O 中，P 是弦 AB 的中点，CD 是过点 P 的直径，则下列结论中不正确的是（ ） A．AB⊥CD B．∠AOB=4∠ACD C．  AD BD D．PO=PD 二、填空题 1．如图 4，AB 为⊙O 直径，E 是 BC 中点，OE 交 BC 于点 D，BD=3，AB=10，则 AC=_____． B A C E D O B A C E D O F (4) (5) 2．P 为⊙O 内一点，OP=3cm，⊙O 半径为 5cm，则经过 P 点的最短弦长为________；最长弦 长为_______． 3．如图 5，OE、OF 分别为⊙O 的弦 AB、CD 的弦心距，如果 OE=OF，那么_______（只需写一 个正确的结论） 三、综合提高题 1．如图 24-11，AB 为⊙O 的直径，CD 为弦，过 C、D 分别作 CN⊥CD、DM⊥CD，分别交 AB 于 N、M，请问图中的 AN 与 BM 是否相等，说明理由． B A C D O N M 2．如图，⊙O 直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦 CD 长． B A C E D O F B A C E D O 3．（开放题）AB 是⊙O 的直径，AC、AD 是⊙O 的两弦，已知 AB=16，AC=8，AD=8，求∠DAC 的度数． 答案: 一、1．D 2．D 3．D 二、1．8 2．8 10 3．AB=CD 三、1．AN=BM 理由：过点 O 作 OE⊥CD 于点 E，则 CE=DE，且 CN∥OE∥DM． ∴ON=OM，∴OA-ON=OB-OM， ∴AN=BM． 2．过 O 作 OF⊥CD 于 F，如右图所示 ∵AE=2，EB=6，∴OE=2， ∴EF= 3 ，OF=1，连结 OD， 在 Rt△ODF 中，42=12+DF2，DF= 15 ，∴CD=2 15 ． 3．（1）AC、AD 在 AB 的同旁，如右图所示: ∵AB=16，AC=8，AD=8 3 ， ∴ 1 2 AC= 1 2 （ 1 2 AB），∴∠CAB=60°， 同理可得∠DAB=30°， ∴∠DAC=30°． （2）AC、AD 在 AB 的异旁，同理可得：∠DAC=60°+30°=90°． 24.1 圆(第 2 课时) 教学内容 1．圆心角的概念． 2．有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等． 3．定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所 _D _O _B _A _C 对的弦相等． 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等． 教学目标 了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可 以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用． 通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等 圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都 分别相等，最后应用它解决一些具体问题． 重难点、关键 1．重点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对弦也相等及其两 个推论和它们的应用． 2．难点与关键：探索定理和推导及其应用． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下题． 已知△OAB，如图所示，作出绕 O 点旋转 30°、45°、60°的图形． B A O 老师点评：绕 O 点旋转，O 点就是固定点，旋转 30°，就是旋转角∠BOB′=30°． 二、探索新知 如图所示，∠AOB 的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角． B A O （学生活动）请同学们按下列要求作图并回答问题： 如图所示的⊙O 中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′OB′将圆心角∠AOB 绕圆心 O 旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ B ' B A A ' O AB = ' 'A B ，AB=A′B′ 理由：∵半径 OA 与 O′A′重合，且∠AOB=∠A′OB′ ∴半径 OB 与 OB′重合 ∵点 A 与点 A′重合，点 B 与点 B′重合 ∴ AB 与 ' 'A B 重合，弦 AB 与弦 A′B′重合 ∴ AB = ' 'A B ，AB=A′B′ 因此，在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？请同学们现在动 手作一作． （学生活动）老师点评：如图 1，在⊙O 和⊙O′中，分别作相等的圆心角∠AOB 和∠A′ O′B′得到如图 2，滚动一个圆，使 O 与 O′重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角 度，使得 OA 与 O′A′重合． O( O ' ) O ' O B ' A ' B B ' O( O ' ) O ' O B A A A ' (1) (2) 你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？ 我能发现： AB = ' 'A B ，AB=A/B/． 现在它的证明方法就转化为前面的说明了，这就是又回到了我们的数学思想上去呢─ ─化归思想，化未知为已知，因此，我们可以得到下面的定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 同样，还可以得到： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等． 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等． （学生活动）请同学们现在给予说明一下． 请三位同学到黑板板书，老师点评． 例 1．如图，在⊙O 中，AB、CD 是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为 EF． （1）如果∠AOB=∠COD，那么 OE 与 OF 的大小有什么关系？为什么？ （2）如果 OE=OF，那么 AB 与 CD 的大小有什么关系？AB 与 CD 的大小有什么关系？ 为什么？∠AOB 与∠COD 呢？ O B A C E D F 分析：（1）要说明 OE=OF，只要在直角三角形 AOE 和直角三角形 COF 中说明 AE=CF，即 说明 AB=CD，因此，只要运用前面所讲的定理即可． （2）∵OE=OF，∴在 Rt△AOE 和 Rt△COF 中， 又有 AO=CO 是半径，∴Rt△AOE≌Rt△COF， ∴AE=CF，∴AB=CD，又可运用上面的定理得到 AB = CD 解：（1）如果∠AOB=∠COD，那么 OE=OF 理由是：∵∠AOB=∠COD ∴AB=CD ∵OE⊥AB，OF⊥CD ∴AE= 1 2 AB，CF= 1 2 CD ∴AE=CF 又∵OA=OC ∴Rt△OAE≌Rt△OCF ∴OE=OF （2）如果 OE=OF，那么 AB=CD， AB = CD ，∠AOB=∠COD 理由是： ∵OA=OC，OE=OF ∴Rt△OAE≌Rt△OCF ∴AE=CF 又∵OE⊥AB，OF⊥CD ∴AE= 1 2 AB，CF= 1 2 CD ∴AB=2AE，CD=2CF ∴AB=CD ∴ AB = CD ，∠AOB=∠COD 三、巩固练习 教材 P89 练习 1 教材 P90 练习 2． 四、应用拓展 例 2．如图 3 和图 4，MN 是⊙O 的直径，弦 AB、CD相交于 MN上的一点 P，∠APM=∠ CPM． （1）由以上条件，你认为 AB 和 CD 大小关系是什么，请说明理由． （2）若交点 P 在⊙O 的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请 说明理由． B A C E D P O N M F B A C E D P N M F (3) (4) 分析：（1）要说明 AB=CD，只要证明 AB、CD 所对的圆心角相等，只要说明它们的一半 相等． 上述结论仍然成立，它的证明思路与上面的题目是一模一样的． 解：（1）AB=CD 理由：过 O 作 OE、OF 分别垂直于 AB、CD，垂足分别为 E、F ∵∠APM=∠CPM ∴∠1=∠2 OE=OF 连结 OD、OB 且 OB=OD ∴Rt△OFD≌Rt△OEB ∴DF=BE 根据垂径定理可得：AB=CD （2）作 OE⊥AB，OF⊥CD，垂足为 E、F ∵∠APM=∠CPN 且 OP=OP，∠PEO=∠PFO=90° ∴Rt△OPE≌Rt△OPF ∴OE=OF 连接 OA、OB、OC、OD 易证 Rt△OBE≌Rt△ODF，Rt△OAE≌Rt△OCF ∴∠1+∠2=∠3+∠4 ∴AB=CD 五、归纳总结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握： 1．圆心角概念． 2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所 对应的其余各组量都部分相等，及其它们的应用． 六、布置作业 1．教材 P94-95 复习巩固 4、5、6、7、8． 2．选用课时作业设计． 第二课时作业设计 一、选择题． 1．如果两个圆心角相等，那么（ ） A．这两个圆心角所对的弦相等;B．这两个圆心角所对的弧相等 C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等;D．以上说法都不对 2．在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD，则两条弧 AB 与 CD 关系是（ ） A． AB =2 CD B． AB > CD C． AB <2 CD D．不能确定 3．如图 5，⊙O 中，如果 AB =2 AC ，那么（ ）． A．AB=AC B．AB=AC C．AB<2AC D．AB>2AC O B A C O B A C E D (5) (6) 二、填空题 1．交通工具上的轮子都是做圆的，这是运用了圆的性质中的_________． 2．一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_________． 3．如图 6，AB 和 DE 是⊙O 的直径，弦 AC∥DE，若弦 BE=3，则弦 CE=________． 三、解答题 1．如图，在⊙O 中，C、D 是直径 AB 上两点，且 AC=BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M、N在⊙O 上． （1）求证： AM = BN ； （2）若 C、D 分别为 OA、OB 中点，则   AM MN NB  成立吗？ O B A C D www.czsx.com.cn N M 2．如图，以ABCD 的顶点 A 为圆心，AB 为半径作圆，分别交 BC、AD 于 E、F，若∠ D=50°，求 BE 的度数和 EF 的度数． B A C E D www.czsx.com.cn F 3．如图，∠AOB=90°，C、D 是 AB 三等分点，AB 分别交 OC、OD 于点 E、F，求证：AE=BF=CD． O B A C E D www.czsx.com.cn F 答案: 一、1．D 2．A 3．C 二、1．圆的旋转不变形 2． 1 3 或 5 3 3．3 三、1．（1）连结 OM、ON，在 Rt△OCM 和 Rt△ODN 中 OM=ON，OA=OB， ∵AC=DB，∴OC=OD，∴Rt△OCM≌Rt△ODN， ∴∠AOM=∠BON，∴  AM NB （2）   AM MN NB  2．BE 的度数为 80°，EF 的度数为 50°． 3．连结 AC、BD，∵C、D 是 AB 三等分点， ∴AC=CD=DB，且∠AOC= 1 3 ×90°=30°， ∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=75°， 又∠AEC=∠OAE+∠AOE=45°+30°=75°， ∴AE=AC， 同理可证 BF=BD，∴AE=BF=CD 24.1 圆(第 3 课时) 教学内容 1．圆周角的概念． 2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弦所对 的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的 应用． 教学目标 1．了解圆周角的概念． 2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条 弧所对的圆心角的一半． 3．理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对 的弦是直径． O B A C E www.czsx.com.cn F O B A C 4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用． 设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予 逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决 一些实际问题． 重难点、关键 1．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题． 2．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理． 3．关键：探究圆周角的定理的存在． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们口答下面两个问题． 1．什么叫圆心角？ 2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？ 老师点评：（1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角． （2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们 所对的其余各组量都分别相等． 刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的 位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解 决的问题． 二、探索新知 问题：如图所示的⊙O，我们在射门游戏中，设 E、F 是球门，设球员们只能在 EF 所 在的⊙O 其它位置射门，如图所示的 A、B、C 点．通过观察，我们可以发现像∠EAF、∠EBF、 ∠ECF 这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题． 1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？ 2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？ 3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？ （学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言． 老师点评： 1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个． 2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的． 3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半． 下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数 恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．” （1）设圆周角∠ABC 的一边 BC 是⊙O 的直径，如图所示 ∵∠AOC 是△ABO 的外角 ∴∠AOC=∠ABO+∠BAO ∵OA=OB ∴∠ABO=∠BAO ∴∠AOC=∠ABO ∴∠ABC= 1 2 ∠AOC O B A C D www.czsx.com.cn O B A C D www.czsx.com.cn （2）如图，圆周角∠ABC 的两边 AB、AC 在一条直径 OD 的 两侧，那么∠ABC= 1 2 ∠AOC 吗？请同学们独立完成这道题的说 明 过程． 老师点评：连结 BO 交⊙O 于 D 同理∠AOD 是△ABO 的外角， ∠ COD 是△BOC 的外角，那么就有∠AOD=2∠ABO，∠DOC=2∠CBO， 因 此∠AOC=2∠ABC． （3）如图，圆周角∠ABC 的两边 AB、AC 在一条直径 OD 的同侧，那么∠ABC= 1 2 ∠AOC 吗？请同学们独立完成证明． 老师点评：连结 OA、OC，连结 BO 并延长交⊙O 于 D，那么∠ AOD=2∠ABD，∠COD=2∠CBO，而∠ABC=∠ABD-∠CBO= 1 2 ∠AOD- 1 2 ∠ COD= 1 2 ∠AOC 现在，我如果在画一个任意的圆周角∠AB′C，同样可证得它等于同弧上圆心角一半， 因此，同弧上的圆周角是相等的． 从（1）、（2）、（3），我们可以总结归纳出圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 进一步，我们还可以得到下面的推导： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目． 例 1．如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长 BD 到 C，使 AC=AB，BD 与 CD 的大 小有什么关系？为什么？ 分析：BD=CD，因为 AB=AC，所以这个△ABC 是等腰，要证明 D 是 BC 的中点，只要连结 AD 证明 AD 是高或是∠BAC 的平分线即可． 解：BD=CD 理由是：如图 24-30，连接 AD ∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠ADB=90°即 AD⊥BC 又∵AC=AB ∴BD=CD 三、巩固练习 1．教材 P92 思考题． 2．教材 P93 练习． 四、应用拓展 例 2．如图，已知△ABC 内接于⊙O，∠A、∠B、∠C 的对边分别设为 a，b，c，⊙O 半 径为 R，求证： sin a A = sin b B = sin c C =2R． 分析：要证明 sin a A = sin b B = sin c C =2R，只要证明 sin a A =2R， sin b B =2R， sin c C =2R， 即 sinA= 2 a R ，sinB= 2 b R ，sinC= 2 c R ，因此，十分明显要在直角三角形中进行． 证明：连接 CO 并延长交⊙O 于 D，连接 DB O B A C D O B A C D www.czsx.com.cn ∵CD 是直径 ∴∠DBC=90° 又∵∠A=∠D 在 Rt△DBC 中，sinD= BC DC ，即 2R= sin a A 同理可证： sin b B =2R， sin c C =2R ∴ sin a A = sin b B = sin c C =2R 五、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握： 1．圆周角的概念； 2．圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都相等这条弧所 对的圆心角的一半； 3．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 4．应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题． 六、布置作业 1．教材 P95 综合运用 9、10、11 拓广探索 12、13． 2．选用课时作业设计． 第三课时作业设计 一、选择题 1．如图 1，A、B、C 三点在⊙O 上，∠AOC=100°，则∠ABC 等于（ ）． A．140° B．110° C．120° D．130° O B A C www.czsx.com.cn 2 1 4 3 O B A C D (1) (2) (3) 2．如图 2，∠1、∠2、∠3、∠4 的大小关系是（ ） A．∠4<∠1<∠2<∠3 B．∠4<∠1=∠3<∠2 C．∠4<∠1<∠3∠2 D．∠4<∠1<∠3=∠2 3．如图 3，AD 是⊙O 的直径，AC 是弦，OB⊥AD，若 OB=5，且∠CAD=30°，则 BC 等于 （ ）． A．3 B．3+ 3 C．5- 1 2 3 D．5 二、填空题 1．半径为 2a 的⊙O 中，弦 AB 的长为 2 3 a，则弦 AB 所对的圆周角的度数是________． 2．如图 4，A、B 是⊙O 的直径，C、D、E 都是圆上的点，则∠1+∠2=_______． O B A C 2 1 E D O B A C www.czsx.com.cn (4) (5) 3．如图 5，已知△ABC 为⊙O 内接三角形，BC=1，∠A=60°，则⊙O半径为_______． 三、综合提高题 1．如图，弦 AB 把圆周分成 1：2 的两部分，已知⊙O 半径为 1，求弦长 AB． O B A 2．如图，已知 AB=AC，∠APC=60° （1）求证：△ABC 是等边三角形． （2）若 BC=4cm，求⊙O 的面积． O B A C P 3．如图，⊙C 经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点 A 与点 B，点 A 的坐标为（0，4）， M 是圆上一点，∠BMO=120°． （1）求证：AB 为⊙C 直径． （2）求⊙C 的半径及圆心 C 的坐标． O B A C y x M 答案: 一、1．D 2．B 3．D 二、1．120°或 60° 2．90° 3． 3 3 三、1． 3 2．（1）证明：∵∠ABC=∠APC=60°， 又  AB AC ，∴∠ACB=∠ABC=60°，∴△ABC 为等边三角形． （2）解：连结 OC，过点 O 作 OD⊥BC，垂足为 D， 在 Rt△ODC 中，DC=2，∠OCD=30°， 设 OD=x，则 OC=2x，∴4x2-x2=4，∴OC= 4 3 3 3．（1）略 （2）4，（-2 3 ，2） 24.2 与圆有关的位置关系(第 1 课时) 教学内容 1．设⊙O 的半径为 r，点 P 到圆心的距离 OP=d，则有：点 P 在圆外  d>r；点 P 在圆 上  d=r；点 P 在圆内  dr； 点 P 在圆上  d=r；点 P 在圆内  dr 点 P 在圆上 d=r 点 P 在圆内 dr 点 P 在圆外；如果 d=r 点 P 在圆上；如果 dr 点 P 在圆上  d=r 点 P 在圆内  dr． 3．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 4．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 5．应用以上的内容解答题目． 教学目标 （1）了解直线和圆的位置关系的有关概念． （2）理解设⊙O 的半径为 r，直线 L 到圆心 O 的距离为 d，则有： 直线 L 和⊙O 相交  dr． （3）理解切线的判定定理：理解切线的性质定理并熟练掌握以上内容解决一些实际问 题． 复习点和圆的位置关系，引入直线和圆的位置关系，以直线和圆的位置关系中的 d=r  直线和圆相切，讲授切线的判定定理和性质定理． 重难点、关键 1．重点：切线的判定定理；切线的性质定理及其运用它们解决一些具体的题目． 2．难点与关键：由上节课点和圆的位置关系迁移并运动直线导出直线和圆的位置关系 的三个对应等价． 教学过程 一、复习引入 （老师口答，学生口答，老师并在黑板上板书）同学们，我们前一节课已经学到点和 圆的位置关系．设⊙O 的半径为 r，点 P 到圆心的距离 OP=d， (a) r d P O (b) r d P O (c) r d P O 则有：点 P 在圆外  d>r，如图（a）所示； 点 P 在圆上  d=r，如图（b）所示； 点 P 在圆内  dr，如图（c）所示． 因为 d=r 直线 L 和⊙O 相切，这里的 d 是圆心 O 到直线 L 的距离，即垂直，并由 d=r 就可得到 L 经过半径 r 的外端，即半径 OA 的 A 点，因此，很明显的，我们可以得到切线的 判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （学生分组讨论）：根据上面的判定定理，如果你要证明一条直线是⊙O 的切线，你应 该如何证明？ （老师点评）：应分为两步：（1）说明这个点是圆上的点，（2）过这点的半径垂直于直 线． 例 1．如图，已知 Rt△ABC 的斜边 AB=8cm，AC=4cm． （1）以点 C 为圆心作圆，当半径为多长时，直线 AB 与⊙C 相切？为什么？ （2）以点 C 为圆心，分别以 2cm 和 4cm 为半径作两个圆，这两个圆与直线 AB 分别有 怎样的位置关系？ 分析：（1）根据切线的判定定理可知，要使直线 AB 与⊙C 相切，那么这条半径应垂直 于直线 AB，并且 C 点到垂足的长就是半径，所以只要求出如图所示的 CD 即可． （2）用 d 和 r 的关系进行判定，或借助图形进行判定． 解：（1）如图 24-54：过 C 作 CD⊥AB，垂足为 D． 在 Rt△ABC 中 BC= 2 28 4 = 3 ∴CD= 4 3 4 8  =2 3 因此，当半径为 2 3 cm 时，AB 与⊙C 相切． 理由是：直线 AB 为⊙C 的半径 CD 的外端并且 CD⊥AB，所以 AB 是⊙C 的切线． （2）由（1）可知，圆心 C 到直线 AB 的距离 d=2 3 cm，所以 当 r=2 时，d>r，⊙C 与直线 AB 相离； 当 r=4 时，dr 3．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 4．切线的性质定理，圆的切线垂直于过切点的半径． 5．应用上面的知识解决实际问题． 六、布置作业 1．教材 P110 复习巩固 4、5． 2．选用课时作业设计． 第二课时作业设计 一、选择题． 1．如图，AB 与⊙O 切于点 C，OA=OB，若⊙O 的直径为 8cm，AB=10cm，那么 OA 的长是 （ ） A． 41 B． 40 . 14 . 60C D 2．下列说法正确的是（ ） A．与圆有公共点的直线是圆的切线． B．和圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线; C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线; D．过圆的半径的外端的直线是圆的切线 3．已知⊙O 分别与△ABC 的 BC 边，AB 的延长线，AC 的延长线相切，则∠BOC 等于（ ） A． 1 2 （∠B+∠C） B．90°+ 1 2 ∠A C．90°- 1 2 ∠A D．180°-∠A 二、填空题 1．如图，AB 为⊙O 直径，BD 切⊙O 于 B 点，弦 AC 的延长线与 BD 交于 D点，若 AB=10， AC=8，则 DC 长为________． B A C D O B A C P O 2．如图，P 为⊙O 外一点，PA、PB 为⊙O 的切线，A、B 为切点，弦 AB 与 PO 交于 C， ⊙O 半径为 1，PO=2，则 PA_______，PB=________，PC=_______AC=______，BC=______ ∠AOB=________． 3．设 I 是△ABC 的内心，O 是△ABC 的外心，∠A=80°，则∠BIC=________，∠ BOC=________． 三、综合提高题 1．如图，P 为⊙O 外一点，PA 切⊙O 于点 A，过点 P 的任一直线交⊙O 于 B、C，连结 AB、AC，连 PO 交⊙O 于 D、E． （1）求证：∠PAB=∠C． （2）如果 PA2=PD·PE，那么当 PA=2，PD=1 时，求⊙O 的半径． B A C O www.czsx.com.cn B A C E D P O 2．设 a、b、c 分别为△ABC 中∠A、∠B、∠C 的对边，面积为 S，则内切圆半径 r= S P ， 其中 P= 1 2 （a+b+c）；（2）Rt△ABC 中，∠C=90°，则 r= 1 2 （a+b-c） 3．如图 1，平面直角坐标系中，⊙O1 与 x 轴相切于点 A（-2，0），与 y 轴交于 B、C 两 点，O1B 的延长线交 x 轴于点 D（ 4 3 ，0），连结 AB． （1）求证：∠ABO=∠ABO； （2）设 E 为优弧 AC 的中点，连结 AC、BE 交于点 F，请你探求 BE·BF 的值． （3）如图 2，过 A、B 两点作⊙O2 与 y 轴的正半轴交于点 M，与 BD的延长线交于点 N， 当⊙O2 的大小变化时，给出下列两个结论． ①BM-BN 的值不变；②BM+BN 的值不变，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断 哪一个结论正确，证明正确的结论并求出其值． （友情提示：如图 3，如果 DE∥BC，那么 AE AD AC AB  ） O 1 www.czsx.com.cn 0 B A C y x D O 2 O 1 0 B A y x D N M www.czsx.com.cn B A C E D (1) (2) (3) 答案: 一、1．A 2．B 3．C 二、1．4 1 2 2． 3 3 3 2 3 2 3 2 120° 3．130° 160° 三、1．（1）提示：作直径 AF，连 BF，如右图所示． （2）由已知 PA2=PD·PE，可得⊙O 的半径为 3 2 ． 2．（1）设 I 为△ABC 内心，内切圆半径为 r， 则 S△ABC= 1 2 AB·r+ 1 2 BC·r+ 1 2 AC·r，则 r= s p ； （2）设内切圆与各边切于 D、E、F，连结 ID、IE， 如图，则 ID⊥AC，IE⊥BC，又∠C=90°，ID=IE， ∴DIEC 为正方形，∴CE=CD=r， ∴AD=AF=b-r，BE=BF=a-r，∴b-r+a-r=c，∴r= 1 2 （a+b-c）． l www.czsx.com.cn B A C E D F 3．（1）证明：连结 O1A，则 O1A⊥OA，∴O1A∥OB，∴∠O1AB=∠ABO， 又∵O1A=O1B，∴∠O1AB=∠O1BA，∴∠ABO1=∠ABO （2）连结 CE，∵O1A∥OB，∴ 1 2 5 OB OD O D AD   ， 设 DB=2x，则 O1D=5x，∴O1A=O1B=5x-2x=3x， 在 Rt△DAO1 中，（3x）2+（10 3 ）2=（5x）2，∴x= 6 5 ， ∴O1A=O1B= 5 2 ，OB=1， ∵OA 是⊙O1 的切线，∴OA2=OB·OC，∴OC=4，BC=3，AB= 5 ， ∵E 为优弧 AC 的中点，∴∠ABF=∠EBC， ∵∠BAF=∠E，∴△ABF≌△EBC，∴ AB BF BE BC  ， ∴BE·BF=AB·BC=3 5 ． （3）解：①BM-BN 的值不变． 证明：在 MB 上取一点 G，使 MG=BN，连结 AM、AN、AG、MN， ∵∠ABO=∠ABO，∠ABO=∠AMN，∠ABO=∠ANM， ∴∠AMN=∠ANM，∴AM=AN， ∵∠AMG=∠ANB，MG=BN， ∴△AMG≌△ANB，∴AG=AB， ∵AD⊥BG，∴BG=2BO=2， ∴BM-BN=BG=2 其值不变． www.czsx.com.cn O B A P 24.2 与圆有关的位置关系(第 3 课时) 教学内容 1．切线长的概念． 2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心 的连线平分两条切线的夹角． 3．三角形的内切圆及三角形内心的概念． 教学目标 了解切线长的概念． 理解切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，熟练掌握它的应用． 复习圆与直线的位置关系和切线的判定定理、性质定理知识迁移到切长线的概念和切线 长定理，然后根据所学三角形角平分线的性质给出三角形的内切圆和三角形的内心概念，最 后应用它们解决一些实际问题． 重难点、关键 1．重点：切线长定理及其运用． 2．难点与关键：切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题． 教学过程 一、复习引入 1．已知△ABC，作三个内角平分线，说说它具有什么性质？ 2．点和圆有几种位置关系？你能说说在这一节中应掌握几个方面的知识？ 3．直线和圆有什么位置关系？切线的判定定理和性质定理，它们如何？ 老师点评：（1）在黑板上作出△ABC 的三条角平分线，并口述其性质：①三条角平分 线相交于一点；②交点到三条边的距离相等． （2）（口述）点和圆的位置关系有三种，点在圆内  dr；不在同一直线上的三个点确定一个圆；反证法的思想． （3）（口述）直线和圆的位置关系同样有三种：直线 L 和⊙O 相交  dr；切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于半 径的直线是圆的切线；切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 二、探索新知 从上面的复习，我们可以知道，过⊙O 上任一点 A 都可以作一条切线，并且只有一条， 根据下面提出的问题操作思考并解决这个问题． 问题：在你手中的纸上画出⊙O，并画出过 A 点的唯一切线 PA，连结 PO，沿着直线 PO 将纸对折，设圆上与点 A 重合的点为 B，这时，OB 是⊙O 的一条半径吗？PB 是⊙O 的切线 吗？利用图形的轴对称性，说明圆中的 PA 与 PB，∠APO 与∠BPO 有什么关系？ 学生分组讨论，老师抽取 3～4 位同学回答这个问题． 老师点评：OB 与 OA 重叠，OA 是半径，OB 也就是半径了．又因为 OB 是半径，PB 为 OB 的外端，又根据折叠后的角不变，所以 PB 是⊙O 的又一条切线，根据轴对称性质，我们很 容易得到 PA=PB，∠APO=∠BPO． 我们把 PA 或 PB 的长，即经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫 做这点到圆的切线长． 从上面的操作几何我们可以得到： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切 线的夹角． 下面，我们给予逻辑证明． B A C E D O F 例 1．如图，已知 PA、PB 是⊙O 的两条切线． 求证：PA=PB，∠OPA=∠OPB． 证明：∵PA、PB 是⊙O 的两条切线． ∴OA⊥AP，OB⊥BP 又 OA=OB，OP=OP， ∴Rt△AOP≌Rt△BOP ∴PA=PB，∠OPA=∠OPB 因此，我们得到切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条 切线的夹角． 我们刚才已经复习，三角形的三条角平分线于一点，并 且这个点到三条边的距离相等． （同刚才画的图）设交点为 I，那么 I 到 AB、AC、BC 的距离相等，如图所示，因此以点 I 为圆心，点 I 到 BC 的 距离 ID 为半径作圆，则⊙I 与△ABC 的三条边都相切． 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切 圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内 心． 例 2．如图，已知⊙O 是△ABC 的内切圆，切点为 D、E、F，如果 AE=1，CD=2，BF=3， 且△ABC 的面积为 6．求内切圆的半径 r． 分析：直接求内切圆的半径有困难，由于面积是已知的，因此要转化为面积法来求．就 需添加辅助线，如果连结 AO、BO、CO，就可把三角形 ABC 分为三块，那么就可解决． 解：连结 AO、BO、CO ∵⊙O 是△ABC 的内切圆且 D、E、F 是切点． ∴AF=AE=1，BD=BF=3，CE=CD=2 ∴AB=4，BC=5，AC=3 又∵S△ABC=6 ∴ 1 2 （4+5+3）r=6 ∴r=1 答：所求的内切圆的半径为 1． 三、巩固练习 教材 P106 练习． 四、应用拓展 例 3．如图，⊙O 的直径 AB=12cm，AM、BN 是两条切线，DC 切⊙O 于 E，交 AM 于 D， 交 BN 于 C，设 AD=x，BC=y． （1）求 y 与 x 的函数关系式，并说明是什么函数？ （2）若 x、y 是方程 2t2-30t+m=0 的两根，求 x，y 的值． （3）求△COD 的面积． l www.czsx.com.cn B A C www.czsx.com.cn B A C E D O N M 分析：（1）要求 y 与 x 的函数关系，就是求 BC 与 AD 的关系， 根据切线长定理：DE=AD=x，CE=CB=y，即 DC=x+y， 又因为 AB=12，所以只要作 DF⊥BC 垂足为 F， 根据勾股定理，便可求得． （2）∵x，y 是 2t2-30t+m=0 的两根， 那么 x1+x2= 30 900 8 30 900 8 60 4 4 4 m m     ，x1x2= 2 m ，便可求得 x、y 的值． （3）连结 OE，便可求得． 解：（1）过点 D 作 DF⊥BC，垂足为 F，则四边形 ABFD 为矩形． ∵⊙O 切 AM、BN、CD 于 A、B、E ∴DE=AD，CE=CB ∵AD=x，CB=y ∴CF=y-x，CD=x+y 在 Rt△DCF 中，DC2=DF2+CF2 即（x+y）2=（x-y）2+122 ∴xy=36 ∴y= 36 x 为反比例函数； （2）由 x、y 是方程 2t-30t+m=0 的两根，可得： x+y= 2 230 30 8 30 30 8 4 4 m m    =15 同理可得：xy=36 ∴x=3，y=12 或 x=12，y=3． （3）连结 OE，则 OE⊥CD ∴S△COD= 1 2 CD·OE= 1 2 ×（AD+BC）· 1 2 AB = 1 2 ×15× 1 2 ×12 =45cm2 五、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握： 1．圆的切线长概念； 2．切线长定理； 3．三角形的内切圆及内心的概念． 六、布置作业 1．教材 P117 综合运用 5、6、7、8． 2．选用课时作业设计． 第三课时作业设计 一、选择题． 1．如图 1，PA、PB 分别切圆 O 于 A、B 两点，C 为劣弧 AB 上一点，∠APB=30°，则∠ ACB=（ ）． A．60° B．75° C．105° D．120° B A C P O B A C D P O B A C B A C E D O F (1) (2) (3) (4) 2．从圆外一点向半径为 9 的圆作切线，已知切线长为 18，从这点到圆的最短距离为 （ ）． A．9 3 B．9（ 3 -1） C．9（ 5 -1） D．9 3．圆外一点 P，PA、PB 分别切⊙O 于 A、B，C 为优弧 AB 上一点，若∠ACB=a，则∠APB= （ ） A．180°-a B．90°-a C．90°+a D．180°-2a 二、填空题 1．如图 2，PA、PB 分别切圆 O 于 A、B，并与圆 O 的切线，分别相交于 C、D，已知 PA=7cm， 则△PCD 的周长等于_________． 2．如图 3，边长为 a 的正三角形的内切圆半径是_________． 3．如图 4，圆 O 内切 Rt△ABC，切点分别是 D、E、F，则四边形 OECF 是_______． 三、综合提高题 1．如图所示，EB、EC 是⊙O 的两条切线，B、C 是切点，A、D 是⊙O 上两点， 如果∠ E=46°，∠DCF=32°，求∠A 的度数． B A C E D O F 2．如图所示，PA、PB 是⊙O 的两条切线，A、B 为切点， 求证∠ABO= 1 2 ∠APB. www.czsx.com.cn B A P O 3．如图所示，已知在△ABC 中，∠B=90°，O 是 AB 上一点，以 O 为圆心，OB为半径的 圆与 AB 交于点 E，与 AC 切于点 D． （1）求证：DE∥OC； （2）若 AD=2，DC=3，且 AD2=AE·AB，求 OB BC 的值． www.czsx.com.cn B A C E D O 答案: 一、1．C 2．C 3．D 二、1．14cm 2． 3 6 a 3．正方形 三、1．解：∵EB、EC 是⊙O 的两条切线， ∴EB=EC，∴∠ECB=∠EBC， 又∠E=46°，而∠E+∠EBC+∠ECB=180°，∠ECB=67°， 又∠DCF+∠ECB+∠DCB=180°， ∴∠BCD=180°-67°-32°=81°， 又∠A+∠BCD=180°， ∴∠A=180°-81°=99° 2．证明：连结 OP、OA，OP 交 AB 于 C， ∵B 是切点，∴∠OBP=90°，∠OAP=90°， ∴∠BOP=∠APO， ∵OA=OB，∴∠BOP=∠AOC，∴∠OCB=90°， ∵∠OBA=∠OPB，∴∠OBA= 1 2 ∠APB． 3．（1）证明：连结 OD， 则∠ODC=Rt∠，∠ODE=∠OED， 由切线长定理得：CD=CB， ∴Rt△ODC≌Rt△OBC，∴∠COB=∠COD， ∵∠DOE+2∠OED=180°， 又∠DOE+2∠COB=180°，∴∠OED=∠COB，∴DE∥OC （2）由 AD=2，DC=3 得：BC=3，AB=4， 又∵AD2=AE·AB，∴AE=1， ∴BE=3，OB= 1 2 BE= 3 2 ，∴ OB BC = 1 2 ． 24.2 与圆有关的位置关系(第 4 课时) 教学内容 1．两个圆相离（外离、内含），两个圆相切（外切、内切），两个圆相交等概念． 2．设两圆的半径分别为 r1、r2，圆心距（两圆圆心的距离）为 d，则有两圆的位置关系， d 与 r1 和 r2 之间的关系． 外离  d>r1+r2 外切  d=r1+r2 相交  │r1-r2│r 二、探索新知 请每位同学完成下面一段话的操作几何，四人一组讨论你能得到什么结论． （1）在一张透明纸上作一个⊙O1，再在另一张透明纸上作一个与⊙O1 半径不等的⊙O2， 把两张透明纸叠在一起，固定⊙O1，平移⊙O2，⊙O1 与⊙O2 有几种位置关系？ （2）设两圆的半径分别为 r1 和 r2（r1r1+r2； 外切只有一个交点，结合图（a），也很明显 d=r1+r2； 相交有两个交点，如图两圆相交于 A、B 两点，连接 O1A 和 O2A，很明显 r2-r1r1+r2 外切  d=r1+r2 相交  r2-r11+3，外离． （2）设 B（x，0）x≠-2，则 AB= 29 x ，⊙B 半径为│x+2│， ①设⊙B 与⊙A 外切，则 29 x =│x+2│+1， 当 x>-2 时， 29 x =x+3，平方化简得：x=0 符题意，∴B（0，0）， 当 x<-2 时， 29 x =-x-1，化简得 x=4>-2（舍）， ②设⊙B 与⊙A 内切，则 29 x =│x+2│-1， 当 x>-2 时， 29 x =x+1，得 x=4>-2，∴B（4，0）， 当 x<-2 时， 29 x =-x-3，得 x=0， ∵0>-2，∴应舍去． 综上所述：B（0，0）或 B（4，0）． 24.3 正多边形和圆 教学内容 1．正多边形和圆的有关概念：正多边形的外接圆，正多边形的中心，正多边形的半径， 正多边形的中心角，正多边形的边心距． 2．在正多边形和圆中，圆的半径、边长、边心距中心角之间的等量关系． 3．正多边形的画法． 教学目标 了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间 的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多边形． 复习正多边形概念，让学生尽可能讲出生活中的多边形为引题引入正多边形和圆这一节 间的内容． 重难点、关键 1．重点：讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系． 2．难点与关键：通过例题使学生理解四者：正多边形半径、中心角、弦心距、边长之 间的关系． 教学过程 一、复习引入 请同学们口答下面两个问题． 1．什么叫正多边形？ 2．从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形具有轴对称、中心对称吗？其对称 轴有几条，对称中心是哪一点？ 老师点评：1．各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 2．实例略．正多边形是轴对称图形，对称轴有无数多条；正多边形是中心对称图形， 其对称中心是正多边形对应顶点的连线交点． 二、探索新知 如果我们以正多边形对应顶点的交点作为圆心，过点到顶点的连线 为半径，能够作一个圆，很明显，这个正多边形的各个顶点都在这个圆 上，如图，正六边形 ABCDEF，连结 AD、CF 交于一点，以 O 为圆心，OA 为半径作圆，那么肯定 B、C、D、E、F 都在这个圆上． 因此，正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一 些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的 外接圆． 我们以圆内接正六边形为例证明． 如图所示的圆，把⊙O分成相等的 6段弧，依次连接各分点得到六边 ABCDEF，下面证 明，它是正六边形． ∵AB=BC=CD=DE=EF ∴AB=BC=CD=DE=EF 又∴∠A= 1 2 BCF= 1 2 （BC+CD+DE+EF）=2BC ∠B= 1 2 CDA= 1 2 （CD+DE+EF+FA）=2CD ∴∠A=∠B 同理可证：∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=∠A 又六边形 ABCDEF 的顶点都在⊙O 上 ∴根据正多边形的定义，各边相等、各角相等、六边形 ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形， ⊙O 是正六边形 ABCDEF 的外接圆． 为了今后学习和应用的方便，我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的 中心． 外接圆的半径叫做正多边形的半径． 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 例 1．已知正六边形 ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径 是 a，求正六边形的周长和面积． 分析：要求正六边形的周长，只要求 AB 的长，已知条件是 外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应 连接 OA，过 O 点作 OM⊥AB 垂于 M，在 Rt△AOM中便可求得 AM， 又应用垂径定理可求得 AB 的长．正六边形的面积是由六块正三 角形面积组成的． 解：如图所示，由于 ABCDEF 是正六边形，所以它的中心角 等于 360 6  =60°，△OBC 是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径． 因此，所求的正六边形的周长为 6a 在 Rt△OAM 中，OA=a，AM= 1 2 AB= 1 2 a 利用勾股定理，可得边心距 OM= 2 21( )2a a = 1 2 3 a ∴所求正六边形的面积=6× 1 2 ×AB×OM=6× 1 2 ×a× 3 2 a= 3 2 3 a2 现在我们利用正多边形的概念和性质来画正多边形． 例 2．利用你手中的工具画一个边长为 3cm 的正五边形． 分析：要画正五边形，首先要画一个圆，然后对圆五等分，因此，应该先求边长为 3 的正五边形的半径． 解：正五边形的中心角∠AOB= 360 5  =72°， 如图，∠AOC=30°，OA= 1 2 AB÷sin36°=1.5÷sin36°≈2.55（cm） 画法（1）以 O 为圆心，OA=2.55cm 为半径画圆； （2）在⊙O 上顺次截取边长为 3cm 的 AB、BC、CD、DE、EA． （3）分别连结 AB、BC、CD、DE、EA． 则正五边形 ABCDE 就是所要画的正五边形，如图所示． 三、巩固练习 教材 P115 练习 1、2、3 P116 探究题、练习． 四、应用拓展 例 3．在直径为 AB 的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为 AB， F D E C B A O M 顶点 C 在半圆圆周上，其它两边分别为 6 和 8，现要建造一个内接于△ABC的矩形水池 DEFN， 其中 D、E 在 AB 上，如图 24-94 的设计方案是使 AC=8，BC=6． （1）求△ABC 的边 AB 上的高 h． （2）设 DN=x，且 h DN NF h AB   ，当 x 取何值时，水池 DEFN 的面积最大？ （3）实际施工时，发现在 AB 上距 B 点 1．85 的 M 处有一棵大树，问：这棵大树是否 位于最大矩形水池的边上？如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条 件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树． h F D E C B A N G 分析：要求矩形的面积最大，先要列出面积表达式，再考虑最值的求法，初中阶段，尤 其现学的知识，应用配方法求最值．（3）的设计要有新意，应用圆的对称性就能圆满解决 此题． 解：（1）由 AB·CG=AC·BC 得 h= 8 6 10 AC BC AB  =4.8 （2）∵h= h DN NF h AB   且 DN=x ∴NF=10(4.8 ) 4.8 x 则 S 四边形 DEFN=x· 10 4.8 （4.8-x）=- 25 12 x2+10x =- 25 12 （x2-120 25 x） =- 25 12 [（x- 60 25 ）2- 3600 625 ] =- 25 x （x-2.4）2+12 ∵- 25 x （x-2.4）2≤0 ∴- 25 x （x-2.4）2+12≤12 且当 x=2.4 时，取等号 ∴当 x=2.4 时，SDEFN 最大． （3）当 SDEFN 最大时，x=2.4，此时，F 为 BC 中点，在 Rt△FEB 中，EF=2.4，BF=3． ∴BE= 2 2 2 23 2.4DE EF   =1.8 ∵BM=1.85，∴BM>EB，即大树必位于欲修建的水池边上，应重新设计方案． ∵当 x=2.4 时，DE=5 ∴AD=3.2， 由圆的对称性知满足条件的另一设计方案，如图所示: www.czsx.com.c F D E C B A G 此时，AC=6，BC=8，AD=1.8，BE=3.2，这样设计既满足条件，又避开大树． 五、归纳小结（学生小结，老师点评） 本节课应掌握： 1．正多边和圆的有关概念：正多边形的中心，正多边形的半径，正多边形的中心角， 正多边的边心距． 2．正多边形的半径、正多边形的中心角、边长、正多边的边心距之间的等量关系． 3．画正多边形的方法． 4．运用以上的知识解决实际问题． 六、布置作业 1．教材 P117 复习巩固 1 综合运用 5、7 P118 8． 2．选用课时作业设计． 课时作业设计 一、选择题 1．如图 1 所示，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O，则∠ADB 的度数是（ ）． A．60° B．45° C．30° D．22．5° (1) (2) (3) 2．圆内接正五边形 ABCDE 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 P，则∠APB 的度数是（ ）． A．36° B．60° C．72° D．108° 3．若半径为5cm的一段弧长等于半径为2cm的圆的周长，则这段弧所对的圆心角为（ ） A．18° B．36° C．72° D．144° 二、填空题 1．已知正六边形边长为 a，则它的内切圆面积为_______． 2．在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=15°，以 C 为圆心，CA 长为半径的圆交 AB 于 D，如 图 2 所示，若 AC=6，则 AD 的长为________． 3．四边形 ABCD 为⊙O 的内接梯形，如图 3 所示，AB∥CD，且 CD 为直径，如果⊙O 的 半径等于 r，∠C=60°，那图中△OAB 的边长 AB 是______；△ODA 的周长是_______； ∠BOC 的度数是________． 三、综合提高题 1．等边△ABC 的边长为 a，求其内切圆的内接正方形 DEFG 的面积． 2．如图所示，已知⊙O的周长等于 6 cm，求以它的半径为边长的正六边形 ABCDEF 的面积． 3．如图所示，正五边形 ABCDE 的对角线 AC、BE 相交于 M． （1）求证：四边形 CDEM 是菱形； （2）设 MF2=BE·BM，若 AB=4，求 BE 的长． 答案: 一、1．C 2．C 3．D 二、1． 3 4  a2 2． 3．r 3r 60° 三、1．设 BC 与⊙O 切于 M，连结 OM、OB， 则 OM⊥BC 于 M，OM= 3 6 a， 连 OE，作 OE⊥EF 于 N，则 OE=OM= 3 6 a，∠EOM=45°，OE= 3 6 a， ∵EN= 6 12 a，EF=2EN= 6 6 a，∴S 正方形= 1 6 a2． 2．设正六边形边长为 a，则圆 O 半径为 a， 由题意得：2 a=6 ，∴a=3． 如右图，设 AB 为正六边形的一边，O 为它的中心， 过 O 作 OD⊥AB，垂足为 D， www.czsx.com.c D B A O 则 OD=r6，则∠DOA=180 6  =30°，AD= 1 2 AB= 3 2 ， 在 Rt△ABC 中，OD=r6= 3 3 2 cm， ∴S=6· 1 2 ar6= 1 2 ×3× 3 3 2 ×6= 27 2 3 cm2． 3．略. 24.4 弧长和扇形面积(第 1 课时) 教学内容 1．n°的圆心角所对的弧长 L= 180 n R 2．扇形的概念； 3．圆心角为 n°的扇形面积是 S 扇形= 2 360 n R ； 4．应用以上内容解决一些具体题目． 教学目标 了解扇形的概念，理解 n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它 们的应用． 通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索 n°的圆心角所对的弧长 L= 2 180 n R 和扇形面积 S 扇= 2 360 n R 的计算公式，并应用这些公式解决一些题目． 重难点、关键 1．重点：n°的圆心角所对的弧长 L= 180 n R ，扇形面积 S 扇= 2 360 n R 及其它们的应用． 2．难点：两个公式的应用． 3．关键：由圆的周长和面积迁移到弧长和扇形面积公式的过程． 教具、学具准备 小黑板、圆规、直尺、量角器、纸板． 教学过程 一、复习引入 （老师口问，学生口答）请同学们回答下列问题． 1．圆的周长公式是什么？ 2．圆的面积公式是什么？ 3．什么叫弧长？ 老师点评：（1）圆的周长 C=2 R （2）圆的面积 S 图= R2 （3）弧长就是圆的一部分． 二、探索新知 （小黑板）请同学们独立完成下题：设圆的半径为 R，则： 1．圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧． 2．1°的圆心角所对的弧长是_______． 3．2°的圆心角所对的弧长是_______． 4．4°的圆心角所对的弧长是_______． …… 5．n°的圆心角所对的弧长是_______． （老师点评）根据同学们的解题过程，我们可得到： n°的圆心角所对的弧长为 360 n R 例 1 制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算如图所示的 管道的展直长度，即 AB 的长（结果精确到 0.1mm） 40mm www.czsx.com.c B A O 110 分析：要求 AB 的弧长，圆心角知，半径知，只要代入弧长公式即可． 解：R=40mm，n=110 ∴ AB 的长= 180 n R =110 40 180  ≈76.8（mm） 因此，管道的展直长度约为 76.8mm． 问题:（学生分组讨论）在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长 5m的绳 子，绳子的另一端拴着一头牛，如图所示: （1）这头牛吃草的最大活动区域有多大？ （2）如果这头牛只能绕柱子转过 n°角，那么它的最大活动区域有多大？ 学生提问后，老师点评：（1）这头牛吃草的最大活动区域是一个以 A（柱子）为圆心， 5m 为半径的圆的面积． （2）如果这头牛只能绕柱子转过 n°角，那么它的最大活动区域应该是 n°圆心角的 两个半径的 n°圆心角所对的弧所围成的圆的一部分的图形，如图: 5 www.czsx.com.c n 像这样，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （小黑板），请同学们结合圆心面积 S= R2 的公式，独立完成下题： 1．该图的面积可以看作是_______度的圆心角所对的扇形的面积． 2．设圆的半径为 R，1°的圆心角所对的扇形面积 S 扇形=_______． 3．设圆的半径为 R，2°的圆心角所对的扇形面积 S 扇形=_______． 4．设圆的半径为 R，5°的圆心角所对的扇形面积 S 扇形=_______． …… 5．设圆半径为 R，n°的圆心角所对的扇形面积 S 扇形=_______． 老师检察学生练习情况并点评 1．360 2．S 扇形= 1 360  R2 3．S 扇形= 2 360  R2 4．S 扇形= 25 360 R 5．S 扇形= 2 360 n R 因此：在半径为 R 的圆中，圆心角 n°的扇形 S 扇形= 2 360 n R 例 2．如图，已知扇形 AOB 的半径为 10，∠AOB=60°，求 AB 的长（结果精确到 0．1） 和扇形 AOB 的面积结果精确到 0．1） 分析：要求弧长和扇形面积，只要有圆心角，半径的已知量便可求，本题已满足． 解： AB 的长= 60 180  ×10=10 3  ≈10.5 S 扇形= 60 360  ×102=100 6  ≈52.3 因此， AB 的长为 25.1cm，扇形 AOB 的面积为 150.7cm2． 三、巩固练习 课本 P122 练习． 四、应用拓展 例 3．（1）操作与证明：如图所示，O 是边长为 a 的正方形 ABCD 的中心，将一块半径 足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在 O 处，并将纸板绕 O 点旋转，求证：正方形 ABCD 的边被纸板覆盖部分的总长度为定值 a． （2）尝试与思考：如图 a、b 所示，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心角放在边长 为 a 的正三角形或边长为 a 的正五边形的中心点处，并将纸板绕 O 旋转，，当扇形纸板的圆 心角为________时，正三角形边被纸覆盖部分的总长度为定值 a；当扇形纸板的圆心角为 _______时，正五边形的边长被纸板覆盖部分的总长度也为定值 a． D E C B A O (a) (b) （3）探究与引申：一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为 a 的正 n 边形的中心 O 点处，若将纸板绕 O 点旋转，当扇形纸板的圆心角为_______时，正 n 边形的 边被纸板覆盖部分的总长度为定值 a，这时正 n边形被纸板所覆盖部分的面积是否也为定 值？若为定值，写出它与正 n 边形面积 S 之间的关系（不需证明）；若不是定值，请说明理 由． 解：（1）如图所示，不妨设扇形纸板的两边与正方形的边 AB、AD分别交于点 M、N， 连结 OA、OD． ∵四边形 ABCD 是正方形 ∴OA=OD，∠AOD=90°，∠MAO=∠NDO， 又∠MON=90°，∠AOM=∠DON ∴△AMO≌△DNO ∴AM=DN ∴AM+AN=DN+AN=AD=a 特别地，当点 M 与点 A（点 B）重合时，点 N 必与点 D（点 A）重合，此时 AM+AN 仍为定 值 a． 故总有正方形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值 a． （2）120°；70° （3） 360 n  ；正 n 边形被纸板覆盖部分的面积是定值，这个定值是 S n ． 五、归纳小结（学生小结，老师点评） 本节课应掌握： 1．n°的圆心角所对的弧长 L= 180 n R 2．扇形的概念． 3．圆心角为 n°的扇形面积是 S 扇形= 2 360 n R 4．运用以上内容，解决具体问题． 六、布置作业 1．教材 P124 复习巩固 1、2、3 P125 综合运用 5、6、7． 2．选用课时作业设计． 第一课时作业设计 一、 选择题 1．已知扇形的圆心角为 120°，半径为 6，则扇形的弧长是（ ）． A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图 1 所示，把边长为 2 的正方形 ABCD 的一边放在定直线 L 上，按顺时针方向绕点 D 旋转到如图的位置，则点 B 运动到点 B′所经过的路线长度为（ ） A．1 B． C． 2 D． 2  (1) (2) (3) 3．如图 2 所示，实数部分是半径为 9m 的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都 经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为（ ） A．12 m B．18 m C．20 m D．24 m 二、填空题 1．如果一条弧长等于 4  R，它的半径是 R，那么这条弧所对的圆心角度数为______， 当圆心角增加 30°时，这条弧长增加________． 2．如图 3 所示，OA=30B，则 AD 的长是 BC 的长的_____倍． 三、综合提高题 1．已知如图所示， AB 所在圆的半径为 R， AB 的长为 3  R，⊙O′和 OA、OB 分别相切 于点 C、E，且与⊙O 内切于点 D，求⊙O′的周长． 2．如图，若⊙O 的周长为 20 cm，⊙A、⊙B 的周长都是 4 cm，⊙A 在⊙O内沿⊙O 滚动，⊙B 在⊙O 外沿⊙O 滚动，⊙B 转动 6 周回到原来的位置，而⊙A 只需转动 4 周 即可，你能说出其中的道理吗？ www.czsx.com.c B A O 3．如图所示，在计算机白色屏幕上，有一矩形着色画刷 ABCD，AB=1，AD= 3 ，将画刷 以 B 为中心，按顺时针转动 A′B′C′D′位置（A′点转在对角线 BD 上），求屏幕被 着色的面积． 答案: 一、1．B 2．D 3．D 二、1．45° 1 6  R 2．3 三、1．连结 OD、O′C，则 O′在 OD 上 由 ABl = 3  R，解得：∠AOB=60°， 由 Rt△OO′C解得⊙O′的半径 r= 1 3 R，所以⊙O′的周长为 2 r= 2 3  R． 2．⊙O、⊙A、⊙B 的周长分别为 20 cm，4 cm，4 cm， 可求出它的半径分别为 10cm、2cm、2cm， 所以 OA=8cm，OB=12cm， 因为圆滚动的距离实际等于其圆心经过的距离， 所以⊙A 滚动回原位置经过距离为 2 ×8=16 =4 ×4， 而⊙B 滚动回原位置经过距离为 2 ×12=24 =4 ×6． 因此，与原题意相符． 3．设屏幕被着色面积为 S， 则 S=S△ABD+S 扇形 BDD`+S△BC`D`=S 矩形 ABCD+S 扇形 BDD`， 连结 BD′， 在 Rt△A′BD′中，A′B=1，A′D′=AD= 3 ， ∴BD′=BD=2，∠DBD′=60°， ∴S= 1 6  ·22+1· 3 = 3 + 2 3  ． 24.4 弧长和扇形面积(第 2 课时) 教学内容 1．圆锥母线的概念． 2．圆锥侧面积的计算方法． 3．计算圆锥全面积的计算方法． 4．应用它们解决实际问题． 教学目标 了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，并会应 用公式解决问题． 通过设置情景和复习扇形面积的计算方法探索圆锥侧面积和全面积的计算公式以及应 用它解决现实生活中的一些实际问题． 重难点、关键 1．重点：圆锥侧面积和全面积的计算公式． 2．难点：探索两个公式的由来． 3．关键：你通过剪母线变成面的过程． 教具、学具准备 直尺、圆规、量角器、小黑板． 教学过程 一、复习引入 1．什么是 n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并请讲讲它们的异同点． 2．问题 1：一种太空囊的示意图如图所示，太空囊的外表面须作特别处理，以承受重 返地球大气层时与空气摩擦后产生的高热，那么该太空囊要接受防高热处理的面积应由几部 分组成的． 老师点评：（1）n°圆心角所对弧长：L= 180 n R ，S 扇形= 2 360 n R ，公式中没有 n°，而是 n； 弧长公式中是 R，分母是 180；而扇形面积公式中是 R，分母是 360，两者要记清，不能混淆． （2）太空囊要接受热处理的面积应由三部分组成；圆锥上的侧面积，圆柱的侧面积和 底圆的面积． 这三部分中，第二部分和第三部分我们已经学过，会求出其面积，但圆锥的侧面积， 到目前为止，如何求，我们是无能为力，下面我们来探究它． 二、探索新知 我们学过圆柱的侧面积是沿着它的母线展开成长方形，同理道理，我们也把连接圆锥顶 点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线． （学生分组讨论，提问二三位同学） 问题 2：与圆柱的侧面积求法一样，沿母锥一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到， 圆锥的侧面展开图是一个扇形，设圆锥的母线长为 L，底面圆的半径为 r，如图 24-115 所示，那么这个扇形的半径为________，扇形的弧长为________，因此圆锥的侧面积为 ________，圆锥的全面积为________． 老师点评：很显然，扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长．因 此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积 S= 2 360 n l ，其中 n 可由 2 r= 2 180 n l 求得： n= 360r l ，∴扇形面积 S= 2360 360 r ll  = rL；全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的，所 以全面积= rL+r2． 例 1．圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽，已知纸帽的底面周长为 58cm，高为 20cm，要制作 20 顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？（结果精确到 0.1cm2） 分析：要计算制作 20 顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸，只要计算纸帽的侧面 积． 解：设纸帽的底面半径为 rcm，母线长为 Lcm，则 r= 58 2 L= 2 258( ) 202  ≈22.03 S 纸帽侧= rL≈ 1 2 ×58×22.03=638.87（cm） 638.87×20=12777.4（cm2） 所以，至少需要 12777.4cm2 的纸． 例 2．已知扇形的圆心角为 120°，面积为 300 cm2． （1）求扇形的弧长； （2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？ 分析：（1）由 S 扇形= 2 360 n R 求出 R，再代入 L= 180 n R 求得．（2）若将此扇形卷成一个圆 锥，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长，就可求圆的半径，其截面是一个以底是直径， 圆锥母线为腰的等腰三角形． 解：（1）如图所示： ∵300 = 2120 360 R ∴R=30 ∴弧长 L=120 30 180   =20 （cm） （2）如图所示： ∵20 =20 r ∴r=10，R=30 AD= 900 100 =20 2 ∴S 轴截面= 1 2 ×BC×AD = 1 2 ×2×10×20 2 =200 2 （cm2） 因此，扇形的弧长是 20 cm 卷成圆锥的轴截面是 200 2 cm2． 三、巩固练习 教材 P124 练习 1、2． 四、应用拓展 例 3．如图所示，经过原点 O（0，0）和 A（1，-3），B（-1，5）两点的曲线是抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）. （1）求出图中曲线的解析式； （2）设抛物线与 x 轴的另外一个交点为 C，以 OC 为直径作⊙M，如果抛物线上一点 P 作⊙M 的切线 PD，切点为 D，且与 y 轴的正半轴交点为 E，连结 MD，已知点 E 的坐标为（0， m），求四边形 EOMD 的面积（用含 m 的代数式表示）． （3）延长 DM 交⊙M 于点 N，连结 ON、OD，当点 P 在（2）的条件下运动到什么位置时， 能使得 S 四边形 EOMD=S△DON 请求出此时点 P 的坐标． 解：（1）∵O（0，0），A（1，-3），B（-1，5）在曲线 y=ax2+bx+c（a≠0）上 ∴ 0 3 5 c a b c a b c          解得 a=1，b=-4，c=0 ∴图中曲线的解析式是 y=x2-4x （2）抛物线 y=x2-4x 与 x 轴的另一个交点坐标为 c（4，0）, 连结 EM， ∴⊙M 的半径为 2，即 OM=DM=2 ∵ED、EO 都是⊙M 的切线 ∴EO=ED ∴△EOM≌△EDM ∴S 四边形 EOMD=2S△OME=2× 1 2 OM·OE=2m （3）设点 D 的坐标为（x0，y0） ∵S△DON=2S△DOM=2× 1 2 OM×y0=2y0 ∴S 四边形 ECMD=S△DON 时即 2m=2y0，m=y0 ∵m=y0 ∴ED∥x 轴 又∵ED 为切线 ∴D（2，2） ∵点 P 在直线 ED 上，故设 P（x，2） ∵P 在圆中曲线 y=x2-4x 上 ∴2=x2-4x 解得：x= 4 16 8 2   =2± 6 ∴P1（2+ 6 ，0），P2（2- 6 ，2）为所求． 五、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握： 1．什么叫圆锥的母线． 2．会推导圆锥的侧面积和全面积公式并能灵活应用它们解决问题． 六、布置作业 1．教材 P124 复习巩固 4 P125 综合运用 8 拓广探索 9、10． 2．选用课时作业设计． 第二课时作业设计 一、选择题 1．圆锥的母线长为 13cm，底面半径为 5cm，则此圆锥的高线为（ ） A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 2．在半径为 50cm 的圆形铁皮上剪去一块扇形铁皮，用剩余部分制作成一个底面直径 为 80cm，母线长为 50cm 的圆锥形烟囱帽，则剪去的扇形的圆心角度数为（ ） A．228° B．144° C．72° D．36° 3．如图所示，圆锥的母线长是 3，底面半径是 1，A 是底面圆周上一点，从点 A 出发 绕侧面一周，再回到点 A 的最短的路线长是（ ） A．6 3 B． 3 3 2 C．3 3 D．3 二、填空题 1．母线长为 L，底面半径为 r 的圆锥的表面积=_______． 2．矩形 ABCD 的边 AB=5cm，AD=8cm，以直线 AD 为轴旋转一周，所得圆柱体的表面积 是__________（用含 的代数式表示） 3．粮仓顶部是一个圆锥形，其底面周长为 36m，母线长为 8m，为防雨需在粮仓顶部铺 上油毡，如果按用料的 10%计接头的重合部分，那么这座粮仓实际需用________m2 的 油毡． 三、综合提高题 1．一个圆锥形和烟囱帽的底面直径是 40cm，母线长是 120cm，需要加工这样的一个烟 囱帽，请你画一画： （1）至少需要多少厘米铁皮（不计接头） （2）如果用一张圆形铁皮作为材料来制作这个烟囱帽，那么这个圆形铁皮的半径至少 应是多少？ 2．如图所示，已知圆锥的母线长 AB=8cm，轴截面的顶角为 60°，求圆锥全面积． 3．如图所示，一个几何体是从高为 4m，底面半径为 3cm的圆柱中挖掉一个圆锥后得到 的，圆锥的底面就是圆柱的上底面，圆锥的顶点在圆柱下底面的圆心上，求这个几 何体的表面积． 答案: 一、1．D 2．C 3．C 二、1． r2+ rL 2．1 30 cm2 3．158.4 三、1．（1）2400 cm2 （2）40 3 cm 2．48 cm2 3．S 表=S 柱侧+S 柱底+S 锥侧=2 ×3×4+ ×32+ ×3×5=24 +9 +15 =48 cm2． 第二十五章 概 率 课题： 25.1 随机事件（一） 教学目标： 知识技能目标 了解必然发生的事件、不可能发生的事件、随机事件的特点. 数学思考目标 学生经历体验、操作、观察、归纳、总结的过程,发展学生从纷繁复杂的表 象中，提炼出本质特征并加以抽象概括的能力. 解决问题目标 能根据随机事件的特点,辨别哪些事件是随机事件. 情感态度目标 引领学生感受随机事件就在身边,增强学生珍惜机会，把握机会的意识. 教学重点： 随机事件的特点. 教学难点： 判断现实生活中哪些事件是随机事件. 教学过程 <活动一> 【问题情境】 摸球游戏 三个不透明的袋子均装有 10 个乒乓球.挑选多名同学来参加游戏. 游戏规则 每人每次从自己选择的袋子中摸出一球,记录下颜色,放回,搅匀,重复前面的试验.每 人摸球 5 次.按照摸出黄色球的次数排序,次数最多的为第一名,其次为第二名,最少的为第 三名. 【师生行为】 教师事先准备的三个袋子中分别装有 10 个白色的乒乓球；5 个白色的乒乓球和 5 个黄 色的乒乓球；10 个黄色的乒乓球. 学生积极参加游戏,通过操作和观察,归纳猜测出在第 1 个袋子中摸出黄色球是不可能 的,在第 2 个袋子中能否摸出黄色球是不确定的,在第 3 个袋子中摸出黄色球是必然的. 教师适时引导学生归纳出必然发生的事件、随机事件、不可能发生的事件的特点. <活 动二> 【问题情境】 指出下列事件中哪些是必然发生的,哪些是不可能发生的，哪些是随机事件？ 1.通常加热到 100°C 时，水沸腾； 2.姚明在罚球线上投篮一次，命中； 3.掷一次骰子，向上的一面是 6 点； 4.度量三角形的内角和，结果是 360°； 5. 经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯； 6.某射击运动员射击一次，命中靶心； 7.太阳东升西落； 8.人离开水可以正常生活 100 天； 9.正月十五雪打灯； 10.宇宙飞船的速度比飞机快. <活动二> 【问题情境】 指出下列事件中哪些是必然发生的,哪些是不可能发生的，哪些是随机事件？ 1.通常加热到 100°C 时，水沸腾； 2.姚明在罚球线上投篮一次，命中； 3.掷一次骰子，向上的一面是 6 点； 4.度量三角形的内角和，结果是 360°； 5. 经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯； 6.某射击运动员射击一次，命中靶心； 7.太阳东升西落； 8.人离开水可以正常生活 100 天； 9.正月十五雪打灯； 10.宇宙飞船的速度比飞机快. 归纳总结 作业：P131～132，1～3 题。 课题： 25.1 随机事件（二） 教学目标： 知识技能目标 了解必然发生的事件、不可能发生的事件、随机事件的特点. 数学思考目标 学生经历体验、操作、观察、归纳、总结的过程,发展学生从纷繁复杂的表 象中，提炼出本质特征并加以抽象概括的能力. 解决问题目标 能根据随机事件的特点,辨别哪些事件是随机事件. 情感态度目标 引领学生感受随机事件就在身边,增强学生珍惜机会，把握机会的意识. 教学重点： 随机事件的特点. 教学难点： 判断现实生活中哪些事件是随机事件. 教学过程 <活动三> 【问题情境】 情境 1 5 名同学参加讲演比赛,以抽签方式决定每个人的出场顺序.签筒中有 5 根形状、大小相 同的纸签,上面分别标有出场的序号 1,2,3,4,5.小军首先抽签,他在看不到纸签上的数字的 情况下从签筒中随机地抽取一根纸签. 情境 2 小伟掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数. 在具体情境中列举不可能发生的事件、必然发生的事件和随机事件. 【师生行为】 学生首先独立思考,再把自己的观点和小组其他同学交流,并提炼出小组成员列举的主 要事件，在全班发布. 【设计意图】 开放性的问题有利于培养学生的发散性思维和创新思维,也有利于学生加深对学习内容 的理解. <活动四> 【问题情境】 请你列举一些生活中的必然发生的事件、随机事件和不可能发生的事件. 【师生行为】 教师引导学生充分交流，热烈讨论. 【设计意图】 随机事件在现实世界中广泛存在.通过让学生自己找到大量丰富多彩的实例，使学生从 不同侧面、不同视角进一步深化对随机事件的理解与认识. <活动五> 【问题情境】 李宁运动品牌打出的口号是“一切皆有可能”，请你谈谈对这句话的理解. 【师生行为】 教师注意引导学生独立思考,交流合作,提升学生对问题的理解与判断能力. 【设计意图】 有意识地引领学生从数学的角度重新审视现实世界，初步感悟辩证统一的思想. <活动六> 【问题情境】 归纳、小结 布置作业 P132 4～7 题。 课题: 25.1.2 概率的意义（一） 教学目标: 〈一〉知识与技能 1.知道通过大量重复试验时的频率可以作为事件发生概率的估计值 2.在具体情境中了解概率的意义 〈二〉教学思考 让学生经历猜想试验--收集数据--分析结果的探索过程，丰富对随机现象的体验，体会 概率是描述不确定现象规律的数学模型.初步理解频率与概率的关系. 〈三〉解决问题 在分组合作学习过程中积累数学活动经验，发展学生合作交流的意识与能力.锻炼质疑、 独立思考的习惯与精神，帮助学生逐步建立正确的随机观念. 〈四〉情感态度与价值观 在合作探究学习过程中，激发学生学习的好奇心与求知欲.体验数学的价值与学习的乐 趣.通过概率意义教学，渗透辩证思想教育. 【教学重点】在具体情境中了解概率意义. 【教学难点】对频率与概率关系的初步理解 【教具准备】壹元硬币数枚、图钉数枚、多媒体课件 【教学过程】 一、创设情境，引出问题 教师提出问题：周末市体育场有一场精彩的篮球比赛，老师手中只有一张球票，小强与 小明都是班里的篮球迷，两人都想去.我很为难，真不知该把球给谁.请大家帮我想个办法来 决定把球票给谁. 学生：抓阄、抽签、猜拳、投硬币，…… 教师对同学的较好想法予以肯定.（学生肯定有许多较好的想法，在众多方法中推举出 大家较认可的方法.如抓阄、投硬币） 追问，为什么要用抓阄、投硬币的方法呢？ 由学生讨论：这样做公平.能保证小强与小明得到球票的可能性一样大 在学生讨论发言后，教师评价归纳. 用抛掷硬币的方法分配球票是个随机事件，尽管事先不能确定“正面朝上”还上“反面 朝上”，但同学们很容易感觉到或猜到这两个随机事件发生的可能性是一样的，各占一半， 所以小强、小明得到球票的可能性一样大. 质疑：那么，这种直觉是否真的是正确的呢？ 引导学生以投掷壹元硬币为例，不妨动手做投掷硬币的试验来验证一下. 二 、动手实践，合作探究 1．教师布置试验任务. （1）明确规则. 把全班分成 10 组，每组中有一名学生投掷硬币，另一名同学作记录，其余同学观察试 验必须在同样条件下进行. （2）明确任务，每组掷币 50 次，以实事求是的态度，认真统计“正面朝上” 的频数 及 “正面朝上”的频率，整理试验的数据,并记录下来.. 2．教师巡视学生分组试验情况. 注意： （1）．观察学生在探究活动中，是否积极参与试验活动、是否愿意交流等，关注学生是 否积极思考、勇于克服困难. （2）．要求真实记录试验情况.对于合作学习中有可能产生的纪律问题予以调控. 3.各组汇报实验。 4．全班交流. 把各组测得数据一一汇报，教师将各组数据记录在黑板上.全班同学对数据进行累计， 按照书上 P140 要求填好 25-2.并根据所整理的数据，在 25.1-1 图上标注出对应的点,完成统 计图. 表 25-2 抛掷次数 n 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 “正面向上”的频数 m “正面向上”的频率 nm 想一想 1（投影出示）. 观察统计表与统计图，你发现“正面向上”的频率有什么规律？ 注意学生的语言表述情况，意思正确予以肯定与鼓励.“正面朝上”的频率在 0.5 上下 波动. 想一想 2（投影出示） 随着抛掷次数增加，“正面向上”的频率变化趋势有何规律？ 0.5 1 正面向上的频率 n m 投掷次数n10050 250150 500450300 350200 图25.1-1 其实，历史上有许多著名数学家也做过掷硬币的试验.让学生阅读历史上数学家做掷币试 验的数据统计表（看书 P141 表 25-3）. 表 25-3 试验者 抛掷次数（n） “正面朝上”次数（m） “ 正 面 向 上 ” 频 率 （m/n） 棣莫弗 2048 1061 0.518 布丰 4040 2048 0.5069 费勒 10000 4979 0.4979 皮尔逊 12000 6019 0.5016 皮尔逊 24000 12012 0.5005 5.下面我们能否研究一下“反面向上”的频率情况？ 学生自然可依照“正面朝上”的研究方法，很容易总结得出：“反面向上”的频率也相应稳 定到 0.5. 教师归纳： （1）由以上试验，我们验证了开始的猜想，即抛掷一枚质地均匀的硬币时，“正面向上” 与“反面向上”的可能性相等（各占一半）.也就是说，用抛掷硬币的方法可以使小明与小 强得到球票的可能性一样. 作业：P137～138，1～3 题。 课题: 25.1.2 概率的意义（二） 教学目标: 〈一〉知识与技能 1.知道通过大量重复试验时的频率可以作为事件发生概率的估计值 2.在具体情境中了解概率的意义 〈二〉教学思考 让学生经历猜想试验--收集数据--分析结果的探索过程，丰富对随机现象的体验，体会 概率是描述不确定现象规律的数学模型.初步理解频率与概率的关系. 〈三〉解决问题 在分组合作学习过程中积累数学活动经验，发展学生合作交流的意识与能力.锻炼质疑、 独立思考的习惯与精神，帮助学生逐步建立正确的随机观念. 〈四〉情感态度与价值观 在合作探究学习过程中，激发学生学习的好奇心与求知欲.体验数学的价值与学习的乐 趣.通过概率意义教学，渗透辩证思想教育. 【教学重点】在具体情境中了解概率意义. 【教学难点】对频率与概率关系的初步理解 【教具准备】壹元硬币数枚、图钉数枚、多媒体课件 【教学过程】 三、评价概括，揭示新知 问题 1.通过以上大量试验，你对频率有什么新的认识？有没有发现频率还有其他作 用？ 学生探究交流.发现随机事件的可能性的大小可以用随机事件发生的频率逐渐稳定到的 值（或常数）估计或去描述. 通过猜想试验及探究讨论，学生不难有以上认识.对学生可能存在语言上、描述中的不 准确等注意予以纠正，但要求不必过高. 归纳：以上我们用随机事件发生的频率逐渐稳定到的常数刻画了随机事件的可能性的大 小. 那么我们给这样的常数一个名称，引入概率定义.给出概率定义（板书）：一般地，在大 量重复试验中，如果事件 A 发生的频率 n m 会稳定在某个常数 p 附近，那么这个常数 p 就 叫做事件 A 的概率（probability）, 记作 P（A）= p. 注意指出： 1．概率是随机事件发生的可能性的大小的数量反映. 2．概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件 发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同. 四．练习巩固，发展提高. 学生练习 1．书上 P143.练习.1. 巩固用频率估计概率的方法. 2．书上 P143.练习.2 巩固对概率意义的理解. 教师应当关注学生对知识掌握情况，帮助学生解决遇到的问题. 五．归纳总结，交流收获： 1．学生互相交流这节课的体会与收获，教师可将学生的总结与板书串一起，使学生对 知识掌握条理化、系统化. 2．在学生交流总结时，还应注意总结评价这节课所经历的探索过程，体会到的数学价 值与合作交流学习的意义. 【作业设计】 （1） 完成 P132 （2） 习题 25. 第 4～7 题 课题: 25.2 列举法求概率（一） 教学目标： 知识与技能目标 学习用列表法、画树形图法计算概率，并通过比较概率大小作出合理的决策。 过程与方法目标 经历实验、列表、统计、运算、设计等活动，学生在具体情境中分析事件，计算其发生 的概率。渗透数形结合，分类讨论，由特殊到一般的思想，提高分析问题和解决问题的能力。 情感与态度目标 通过丰富的数学活动，交流成功的经验，体验数学活动充满着探索和创造，体会数学的 应用价值，培养积极思维的学习习惯。 教学重点： 习运用列表法或树形图法计算事件的概率。 教学难点： 能根据不同情况选择恰当的方法进行列举，解决较复杂事件概率的计算问题。 教学过程 1.创设情景，发现新知 教材是通过 P151—P152 的例 5、例 6 来介绍列表法和树形图法的。 例 5（教材 P151）：同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率： (1) 两个骰子的点数相同； (2) 两个骰子的点数的和是 9； (3) 至少有一个骰子的点数为 2。 （1）创设情景 引例：为活跃联欢晚会的气氛，组织者设计了以下转盘游戏：A、B 两个带指针的转盘 分别被分成三个面积相等的扇形，转盘 A 上的数字分别是 1，6，8，转盘 B 上的数字分别是 4，5，7（两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同）。每次选择 2 名同学分别拨动 A、B 两个转盘上的指针，使之产生旋转，指针停止后所指数字较大的一方为获胜者，负者则表演 一个节目（若箭头恰好停留在分界线上，则重转一次）。作为游戏者，你会选择哪个装置呢？ 并请说明理由。 （2）学生分组讨论，探索交流 在这个环节里，首先要求学生分组讨论，探索交流。然后引导学生将实际问题转化为数 学问题，即： “停止转动后，哪个转盘指针所指数字较大的可能性更大呢？” 由于事件的随机性，我们必须考虑事件发生概率的大小。此时我首先引导学生观看转盘 动画，同学们会发现这个游戏涉及 A、B 两转盘， 即涉及 2 个因素，与前一课所讲授单转盘 概率问题（教材 P148 例 2）相比，可能产生的结果数目增多了，列举时很容易造成重复或 遗漏。怎样避免这个问题呢？ 实际上，可以将这个游戏分两步进行。 于是，指导学生构造表格 （3）指导学生构造表格 A B 4 5 7 1 6 8 A 4 5 7 B 图 2 联欢晚会游戏转盘 1 6 8 首先考虑转动 A 盘：指针可能指向 1，6，8 三个数字中的任意一个，可能出现的结果就 会有 3 个。接着考虑转动 B 盘：当 A 盘指针指向 1 时，B 盘指针可能指向 4、5、7 三个数字 中的任意一个，这是列举法的简单情况。当 A 盘指针指向 6 或 8 时，B 盘指针同样可能指向 4、5、7 三个数字中的任意一个。一共会产生 9 种不同的结果。 【设计意图】 这样既分散了难点，又激发了学生兴趣，渗透了转化的数学思想。 （4）学生独立填写表格，通过观察与计算，得出结论（即列表法） A B 4 5 7 1 （1，4） （1，5） （1，7） 6 （6，4） （6，5） （6，7） 8 （8，4） （8，5） （8，7） 从表中可以发现：A 盘数字大于 B 盘数字的结果共有 5 种。 ∴P(A 数较大)= 9 5 , P(B 数较大)= 9 4 . ∴P(A 数较大)＞ P(B 数较大) ∴选择 A 装置的获胜可能性较大。 在学生填写表格过程中，注意向学生强调数对的有序性。 由于游戏是分两步进行的，我们也可用其他的方法来列举。即先转动Ａ盘，可能出现 1， 6，8 三种结果；第二步考虑转动Ｂ盘，可能出现 4，5，7 三种结果。 （5）解法二： 1 6 8 开始 A 装置 4 5 7 4 5 7 4 5 7B 装置 由图知：可能的结果为： （1，4），（1，5），（1，7）， （6，4），（6，5），（6，7）， （8，4），（8，5），（8，7）。共计 9 种。 ∴P(A 数较大)= 9 5 , P(B 数较大)= 9 4 . ∴P(A 数较大)＞ P(B 数较大) ∴选择 A 装置的获胜可能性较大。 然后，引导学生对所画图形进行观察：若将图形倒置，你会联想到什么？这个图形很像 一棵树，所以称为树形图（在幻灯片上放映）。列表和树形图是列举法求概率的两种常用的 方法。 作业：P137～138.1、2、3 题。 课题: 25.2 列举法求概率 教学目标： 知识与技能目标 学习用列表法、画树形图法计算概率，并通过比较概率大小作出合理的决策。 过程与方法目标 经历实验、列表、统计、运算、设计等活动，学生在具体情境中分析事件，计算其发生 的概率。渗透数形结合，分类讨论，由特殊到一般的思想，提高分析问题和解决问题的能力。 情感与态度目标 通过丰富的数学活动，交流成功的经验，体验数学活动充满着探索和创造，体会数学的 应用价值，培养积极思维的学习习惯。 教学重点： 习运用列表法或树形图法计算事件的概率。 教学难点： 能根据不同情况选择恰当的方法进行列举，解决较复杂事件概率的计算问题。 2.自主分析，再探新知 通过引例的分析，学生对列表法和树形图法求概率有了初步的了解，为了帮助学生熟练 掌握这两种方法，我选用了下列两道例题（本节教材 P151—P152 的例 5 和例 6）。 例 1：同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率： (1) 两个骰子的点数相同； (2) 两个骰子的点数的和是 9； (3) 至少有一个骰子的点数为 2。 例 1 是教材上一道“掷骰子”的问题，有了引例作基础，学生不难发现：引例涉及两个 转盘，这里涉及两个骰子，实质都是涉及两个因素。于是，学生通过类比列出下列表。 第 2 个 第 1 个 1 2 3 4 5 6 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6） 5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6） 6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6） 由上表可以看出，同时掷两个骰子，可能出现的结果有 36 个，它们出现的可能性相等。 由所列表格可以发现： （1）满足两个骰子的点数相同（记为事件 A）的结果有 6 个，即（1，1），（2，2），（3， 3），（4，4），（5，5），（6，6），所以 P(A)= 36 6 = 6 1 。 [满足条件的结果在表格的对角线上] （2）满足两个骰子的点数的和是 9（记为事件 B）的结果有 4 个，即（3，6），（4，5）， （5，4），（6，3），所以 P(B)= 36 4 = 9 1 。 [满足条件的结果在（3，6）和（6，3）所在的斜线上] （3）至少有一个骰子的点数为 2（记为事件 C）的结果有 11 个，所以 P(C)= 36 11 。 [满足条件的结果在数字 2 所在行和 2 所在的列上] 接着，引导学生进行题后小结： 当一个事件要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，通常采用列表法。运用列 表法求概率的步骤如下： ①列表 ； ②通过表格计数，确定公式 P(A)= n m 中 m 和 n 的值； ③利用公式 P(A)= n m 计算事件的概率。 分析到这里，我会问学生：“例 1 题目中的“掷两个骰子”改为“掷三个骰子”，还可以 使用列表法来做吗？”由此引出下一个例题。 例 2： 甲口袋中装有 2 个相同的球，它们分别写有字母 A 和 B；乙口袋中 3 个相同的球， 它们分别写有字母 C、D 和 E；丙口袋中 2 个相同的球，它们分别写有字母 H 和 I。从三个口 袋中各随机地取出 1 个球。 （1）取出的三个球上恰好有 1 个、2 个和 3 个元音字母的概率分别为多少？ （2）取出的三个球上全是辅音字母的概率是多少？ 例 2 与前面两题比较，有所不同：要从三个袋子里摸球，即涉及到 3 个因素。此时同学 们会发现用列表法就不太方便，可以尝试树形图法。 本游戏可分三步进行。分步画图和分类排列相关的结论是解题的关键。 A C D E H I H I H I B C D E H I H I H I 甲 乙 丙 从图形上可以看出所有可能出现的结果共有 12 个，即： （幻灯片上用颜色区分） 这些结果出现的可能性相等。 （1）只有一个元音字母的结果（黄色）有 5 个，即 ACH，ADH，BCI，BDI，BEH，所以 12 5P （一个元音） ； 有两个元音的结果（白色）有 4 个，即 ACI，ADI，AEH，BEI，所以 3 1 12 4P )( 两个元音 ； 全部为元音字母的结果（绿色）只有 1 个，即 AEI ，所以 12 1P )( 三个元音 。 （2）全是辅音字母的结果（红色）共有 2 个，即 BCH，BDH，所以 6 1 12 2P )( 三个辅音 。 通过例 2 的解答，很容易得出题后小结： 当一次试验要涉及 3 个或更多的因素时，通常采用“画树形图”。运用树形图法 求概率的步骤如下：（幻灯片） ①画树形图 ； ②列出结果，确定公式 P(A)= n m 中 m 和 n 的值； ③利用公式 P(A)= n m 计算。 3.应用新知，深化拓展 为了检验学生对列表法和画树形图法的掌握情况，提高应用所学知识解决问题的能力， 在此我选择了教材 P154 课后练习作为随堂练习。 （1）经过某十字路口的汽车，它可能继续前行，也可能向左或向右，如果这三种可能 性大小相同。三辆汽车经过这个十字路口，求下列事件的概率： ①三辆车全部继续前行； A C H A C I A D H A D I A E H A E I B C H B D H B D I B E H B E I B C I ②两辆车向右转，一辆车向左转； ③至少有两辆车向左转。 [随堂练习（1）是一道与实际生活相关的交通问题，可用树形图法来解决。] （2）在 6 张卡片上分别写有 1——6 的整数，随机地抽取一张后放回，再随机地抽取一 张，那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是多少？ 通过解答随堂练习（2），学生会发现列出的表格和例 1 的表格完全一样。不同的是：变 换了实际背景，设置的问题也不一样。这时，我提出：我们是否可以根据这个表格再编一道 用列举法求概率的题目来呢？ 为了进一步拓展思维，我向学生提出了这样一个问题，供学生课后思考。； 4.归纳总结，形成能力 我将引导学生从知识、方法、情感三方面来谈一谈这节课的收获。要求每个学生在组内 交流，派小组代表。 5.布置作业，巩固提高 考虑到学生的个体差异，为促使每一个学生得到不同的发展，同时促进学生对自己的学 习进行反思，在第五个环节“布置作业，巩固提高”里作如下安排： （1）必做题：书本 P154/ 3，P155/ 4， 25．3 利用频率估计概率 疑难分析： 1．当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的 方法来估计概率． 2．利用频率估计概率的数学依据是大数定律：当试验次数很大时，随机事件 A 出现的频率， 稳定地在某个数值 P 附近摆动．这个稳定值 P，叫做随机事件 A 的概率，并记为 P(A)=P． 3．利用频率估计出的概率是近似值. 例题选讲 例 1 某篮球运动员在最近的几场大赛中罚球投篮的结果如下： 投篮次数 n 8 1 0 1 2 9 1 6 1 0 进球次数 m 6 8 9 7 1 2 7 进球频率 m n (1)计算表中各次比赛进球的频率； (2)这位运动员投篮一次，进球的概率约为多少？ 解答：（1）0.75,0.8,0.75,0.78,0.75,0.7； （2）0.75． 评注：本题中将同一运动员在不同比赛中的投篮视为同等条件下的重复试验，所求出的概率 只是近似值． 例 2 某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图)，并规定：顾客购物 10 元以上能获得 一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是活 动进行中的一组统计数据： (1) 计算并完成表格： 转动转盘的次数 n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”的次数 m 68 111 136 345 546 701 落在“铅笔”的频率 m n (2) 请估计，当 n 很大时，频率将会接近多少？ (3) 转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是多少？ (4) 在该转盘中，标有“铅笔”区域的扇形的圆心角大约是多少？ (精确到 1°) 解答：（1）0.68、0.74、0.68、0.69、0.6825、0.701； （2）0.69； （3）0.69； （4）0.69×360°≈248°． 评注：（1）试验的次数越多，所得的频率越能反映概率的大小； （2）频数分布表、扇形图、条形图、直方图都能较好地反映频数、频率的分布情况，我们 可以利用它们所提供的信息估计概率． 基础训练 一、选一选（请将唯一正确答案的代号填入题后的括号内） 1．盒子中有白色乒乓球 8 个和黄色乒乓球若干个，为求得盒中黄色乒乓球的个数，某同学 进行了如下实验：每次摸出一个乒乓球记下它的颜色，如此重复 360 次，摸出白色乒乓球 90 次，则黄色乒乓球的个数估计为 ( ) A．90 个 B．24 个 C．70 个 D．32 个 2．从生产的一批螺钉中抽取 1000 个进行质量检查，结果发现有 5 个是次品，那么从中任取 1 个是次品概率约为（ ）． A． 1 1000 B． 1 200 C． 1 2 D． 1 5 3．下列说法正确的是( )． A．抛一枚硬币正面朝上的机会与抛一枚图钉钉尖着地的机会一样大； B．为了解汉口火车站某一天中通过的列车车辆数，可采用全面调查的方式进行； C．彩票中奖的机会是 1％，买 100 张一定会中奖； D．中学生小亮，对他所在的那栋住宅楼的家庭进行调查，发现拥有空调的家庭占 100％， 于是他得出全市拥有空调家庭的百分比为 100％的结论． 4．小亮把全班 50 名同学的期中数学测试成绩，绘成如 图所示的条形图，其中从左起第一、二、三、四个小长 方形高的比是 1∶3∶5∶1．从中同时抽一份最低分数 段和一份最高分数段的成绩的概率分别是（ ）． A． 1 10 、 1 10 B． 1 10 、 1 2 C． 1 2 、 1 10 D． 1 2 、 1 2 5．某人把 50 粒黄豆染色后与一袋黄豆充分混匀，接着抓出 100 黄豆，数出其中有 10 粒黄 豆被染色，则这袋黄豆原来有（ ）． A．10 粒 B．160 粒 C．450 粒 D．500 粒 6．某校男生中，若随机抽取若干名同学做“是否喜欢足球”的问卷调查，抽到喜欢足球的 同学的概率是 5 3 ，这个 5 3 的含义是（ ）． A．只发出 5 份调查卷，其中三份是喜欢足球的答卷； B．在答卷中，喜欢足球的答卷与总问卷的比为 3∶8； C．在答卷中，喜欢足球的答卷占总答卷的 5 3 ； D．在答卷中，每抽出 100 份问卷，恰有 60 份答卷是不喜欢足球． 7．要在一只口袋中装入若干个形状与大小都完全相同的球，使得从袋中摸到红球的概率为 5 1 ，四位同学分别采用了下列装法，你认为他们中装错的是（ ）． A．口袋中装入 10 个小球，其中只有两个红球； B．装入 1 个红球，1 个白球，1 个黄球，1 个蓝球，1 个黑球； C．装入红球 5 个，白球 13 个，黑球 2 个； D．装入红球 7 个，白球 13 个，黑球 2 个，黄球 13 个． 8．某学生调查了同班同学身上的零用钱数，将每位同学的零用钱数记录了下来（单位：元）： 2，5，0，5，2，5，6，5，0，5，5，5，2，5，8，0，5，5，2，5，5，8，6，5，2，5，5， 2，5，6，5，5，0，6，5，6，5，2，5，0. 假如老师随机问一个同学的零用钱，老师最有可能得到的回答是（ ）． A． 2 元 B．5 元 C．6 元 D．0 元 二、填一填 9． 同时抛掷两枚硬币，按照正面出现的次数，可以分为“2 个正面”、“1 个正面”和“没 有正面”这 3 种可能的结果，小红与小明两人共做了 6 组实验，每组实验都为同时抛掷两枚 硬币 10 次，下表为实验记录的统计表： 结果 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 两个正面 3 3 5 1 4 2 一个正面 6 5 5 5 5 7 没有正面 1 2 0 4 1 1 由上表结果，计算得出现“2 个正面”、“1 个正面”和“没有正面”这 3 种结果的频 率分别是___________________．当试验组数增加到很大时，请你对这三种结果的可能性 的大小作出预测：______________． 10．红星养猪场 400 头猪的质量(质量均为整数千克)频率分布如下，其中数据不在分点上 组别 频数 频率 46 ~ 50 40 51 ~ 55 80 56 ~ 60 160 61 ~ 65 80 66 ~ 70 30 71~ 75 10 从中任选一头猪，质量在 65kg 以上的概率是_____________． 11．为配和新课程的实施，某市举行了“应用与创新”知识竞赛，共有 1 万名学生参加了这 次竞赛（满分 100 分，得分全为整数）。为了解本次竞赛成绩情况，从中随机抽取了部分学 生的竞赛成绩，进行统计，整理见下表： 组别 分 组 频 数 频率 1 49.5～59.5 60 0.12 2 59.5～69.5 120 0.24 3 69.5～79.5 180 0.36 4 79.5～89.5 130 c 5 89.5～99.5 b 0.02 合 计 a 1.00 表中 a=________,b=________, c＝_______；若成绩在 90 分以上（含 90 分）的学生获 一等奖，估计全市获一等奖的人数为___________． 三、做一做 12．小颖有 20 张大小相同的卡片，上面写有 1~20 这 20 个数字，她把卡片放在一个盒子中 搅匀，每次从盒中抽出一张卡片，记录结果如下： 实验次数 2 0 4 0 6 0 8 0 10 0 12 0 14 0 16 0 18 0 20 0 3 的倍数的频数 5 1 3 1 7 2 6 32 36 39 49 55 61 3 的倍数的频率 （1）完成上表； （2）频率随着实验次数的增加，稳定于什么值左右？ （3）从试验数据看，从盒中摸出一张卡片是 3 的倍数的概率估计是多少？ （4）根据推理计算可知，从盒中摸出一张卡片是 3 的倍数的概率应该是多少？ 13．甲、乙两同学开展“投球进筐”比赛，双方约定：① 比赛分 6 局进行，每局在指定区 域内将球投向筐中，只要投进一次后该局便结束；② 若一次未进可再投第二次，以此类推， 但每局最多只能投 8 次，若 8 次投球都未进，该局也结束；③ 计分规则如下：a. 得分为正 数或 0；b. 若 8 次都未投进，该局得分为 0；c. 投球次数越多，得分越低；d.6 局比赛的 总得分高者获胜 . (1) 设某局比赛第 n(n=1,2,3,4,5,6,7,8)次将球投进，请你按上述约定，用公式、表格或 语言叙述等方式，为甲、乙两位同学制定一个把 n 换算为得分 M 的计分方案； (2) 若两人 6 局比赛的投球情况如下(其中的数字表示该局比赛进球时的投球次数，“×” 表示该局比赛 8 次投球都未进)： 第一局 第二局 第三局 第四局 第五局 第六局 甲 5 × 4 8 1 3 乙 8 2 4 2 6 × 四、试一试 16．理论上讲，两个随机正整数互质的概率为 P= 2 6  ．请你和你班上的同学合作，每人随机 写出若干对正整数（或自己利用计算器产生），共得到 n 对正整数，找出其中互质的对数 m， 计算两个随机正整数互质的概率，利用上面的等式估算 13．解：(1)计分方案如下表： n(次) 1 2 3 4 5 6 7 8 M(分) 8 7 6 5 4 3 2 1 期中考试下学期九年级数学试卷 一、选择题：（每小题 3 分,共 24 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是正确 的) 1．5 的相反数是【 】 A． 1 5 B．-5 C． 1 5  D．5 2．第六次全国人口普查结果显示，居住在城镇的人口总数达到 665575306 人， 用科学记数法表示这个数，结果正确的是【 】 A．0.665575306×108 B．6.65575306×108 C．66.5575306×107 D．6.65575306×107 3．下列运算正确的是【 】 A． 2 3a a a  B． 2 3 5( )a a C． 8 2 4a a a  D． 2a a a  4．不等式组      1 02 x x 的解集是【 】 l1 l2 l3 1 2 第11题图 A．x≥-1 B．-1≤x＜2 C．x＞2 D．x≤-1 5．如图所示的几何体的主视图是【 】 A． B． C． D． 6．若等腰三角形的一个内角是 80°，则它的顶角是【 】 A．80° B．20° C．80°或 20° D．100° 7．已知圆锥的母线长为 4，底面半径为 2，则圆锥的侧面积等 于【 】 A．11 B．10 C． 9 D． 8 8．如图，⊙O 的直径 CD⊥AB， ∠AOC=50°，则∠CDB 等于【 】 A．25° B．30° C．40° D．50° 二、填空题（每小题 3 分，共 21 分） 9．函数 1 2   x xy 中自变量 x 的取值范围是___________ 10．方程 xx 22  的解是 11．如图，l1∥l2，∠1=120°，则∠2= 12．反比例函数的图象在第二、四象限，写出一个满足条件的反 比例函数表达式___________ 13．点 A 在函数 y x 6 )0( x 的图象上，过点 A 作 AE 垂直 x 轴，垂足为 E ，过 点 A 作 AF 垂直 y 轴，垂足为 F ，则矩形 AEOF 的面积是____________ 第 5 题 正 面 ↗2 第 8 题图 A B O C D ⑴ 1+8=? 1+8+16=? ⑵ ⑶ 1+8+16+24=? 第 15 题 …… 14．化简分式 12 2   a aa 的结果是 ． 15．观察下列图形及图形所对应的算式，根据你发现的规律计算 1+8+16+24+…… +8n（n 是正整数）的结果为__________． 三、解答题（本大题共有 8 小题，共 55 分．） 16．（5 分）先化简，再求值： 23 4 2 2 x x x x x x       ，其中 1 2x  ． 17．（本小题 6 分）如图，□ABCD 的两条对角线 AC 、 BD相交于点O ． （1）图中有哪些三角形是全等的？ （2）选出其中一对全等三角形进行证明． 18．（本小题 7 分）如图，一幢楼房前有一棵竹子，楼底到竹子的距离 CB 为 2 米，阵风吹过，竹子的顶端恰好到达楼顶，此时测得竹子与水平地面的夹角为 75°,求这棵竹子比楼房高出多少米？（精确到 0.1 米） （参考数据：sin75°=0.996,cos75°=0.259, tan75°=3.732） 19．（8 分）我县开展小组合作学习，为了解学生课堂发 言情况，随机抽取某校九年级部分学生，对他们每天在课堂上发言的次数进 行调查和统计，统计表如下，并绘制了两幅不完整的统计图．已经知 A、B 两组发言人数直方图高度比为 1:5． 发言次数 n A 0≤n＜50 B 5≤n＜10 C 10≤n＜ 15 D 15≤n＜ 20 A B C D E F 组别 人数 0 25 20 15 10 5 10 发言人数直方图 发言人数扇形统计图 A B C 40% D 26% E F6% 4% 请结合图中相关的数据回答下列问题： （1）A 组的人数是多少？本次调查的样本容量是多少？ （2）求出 C 组的人数并补全直方图． （3）该校九年级共有 250 人，请估计全年级每天在课堂上发言次数不少于 15 次的人数． 20．（6 分）如图，一转盘被等分成三个扇形，上面分别标有-1，1，2 中的一个 数，指针位置固定，转动转盘后任其自由停止，这时，某个扇形会恰好停在指针 所指的位置，并相应得到这个扇形上的数（若指针恰好指在等分线上，当做指向 右边的扇形）． （1）若小静转动转盘一次，求得到负数的概率； （2）小宇和小静分别转动转盘一次，若两人得 到的数相同，则称两人“不谋而合”．用列表法 （或画树状图）求两人“不谋而合”的概率． 21．（本小题 8 分）今年四月份，李大叔收获洋葱 30 吨，黄瓜 13 吨，现计划租 用甲、乙两种货车共 10 辆将这两种蔬菜全部运往外地销售，已知一辆甲种货车 可装洋葱 4 吨和黄瓜 1 吨；一辆乙种货车可装洋葱和黄瓜各 2 吨． （1）李大叔安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来； （2）若甲种货车每辆要付运输费 2000 元，乙种货车每辆要付运输费 1300 元， 请帮李大叔算一算应选择哪种方案，才能使运费最少？最少运费是多少元？ 22．（6 分）如图，△ABC 中，A（-2，3），B（-3，1），C（-1，2）． （1）将△ABC 向右平移4 个单位长度，画出平移后的△A1B1C1； （2）画出△ABC 关于 x 轴对称的△A2B2C2； （3）将△ABC 绕原点 O 旋转 180°， 画出旋转后的△A3B3C3． A B C O x y 23．（9 分）如图，已知二次函数 cbxxy  2 的图象经过 A（-2，-1），B（0，7）两点． （1）求该抛物线的解析式及对称轴； （2）当 x 为何值时，y＞0？ （3）在 x 轴上方作平行于 x 轴的直线 l，与抛物线交于 C，D 两点（点 C 在对称轴的左侧），过点 C，D 作 x 轴的垂线， 垂足分别为 F，E．当矩形 CDEF 为正方形时，求 C 点的坐标．